1. 기본 도형 ⦁
67
1 | 기본 도형
01
a=4,b=6이므로a+b=4+6=10
02
③AC³와BC³는방향은같으나시작점이다르므로AC³+BC³④BA³와BC³는시작점은같으나방향이다르므로BA³+BC³
03
선분은ABÓ,ACÓ,BCÓ의3개이고반직선은AB³,AC³,BA³,BC³,CA³,CB³의6개이다.
04
①점M은ABÓ의중점이므로AMÓ=BMÓ②점N은AMÓ의중점이므로ANÓ=MNÓ
②∴AMÓ=ANÓ+NMÓ=2NMÓ
③ABÓ=2AMÓ=2_2ANÓ=4ANÓ
④ABÓ=2AMÓ=2_2NMÓ=4NMÓ
⑤NBÓ=NMÓ+BMÓ=NMÓ+AMÓ
=NMÓ+2NMÓ=3NMÓ
따라서옳지않은것은③이다.
05
ABÓ=2MBÓ=2_2MNÓ=4MNÓ=4_4=16`(cm)
06
BCÓ=2ABÓ=2_2MBÓ=4MBÓ=4_3=12`(cm)
쌍둥이 유형 테스트
p.201 ⑤ 02 ③, ④ 03 선분：3개, 반직선：6개 04 ③ 05 ④ 06 ③
01 점, 선, 면
01
③점A를지나는직선은무수히많다.02
㈎l∥m,l∥n이면 l n㈎m∥n m
㈏l⊥m,l⊥n이면
l
n m
㈎m∥n
㈐l∥m,l⊥n이면
l m
n
㈎m⊥n
쌍둥이 유형 테스트
p.4~p.501 ③ 02 ② 03 ①, ③ 04 CDÓ 05 ⑤ 06 ④ 07 8`cm 08 ㉡, ㉢ 09 ② 10 ⑤
11 ④ 12 ⑤
03 위치 관계
01
(4∠x-10ù)+(∠x+20ù)+30ù=180ù이므로5∠x+40ù=180ù,5∠x=140ù ∴∠x=28ù
02
∠x=180ù_3+4+53 =180ù_;4!;=45ù쌍둥이 유형 테스트
p.301 ④ 02 ② 03 100ù 04 50ù 05 ∠x=17ù, ∠y=22ù 06 6쌍 07 ②
02 각
03
∠ABD=40ù이므로∠DBE=180ù-40ù=140ù
∴∠CBE=∠DBE-∠DBC
∴∠CBE=∠DBE-;7@;∠DBE
∴∠CBE=;7%;∠DBE
∴∠CBE=;7%;_140ù=100ù
04
오른쪽그림에서x 2x-40∞
2x-40∞
x+20∞
(∠x+20ù)+(2∠x-40ù)+∠x
=180ù
4∠x-20ù=180ù,4∠x=200ù
∴∠x=50ù
05
(65ù-∠x)+90ù=7∠x+19ù(맞꼭지각)이므로8∠x=136ù ∴∠x=17ù
이때(65ù-∠x)+90ù+(∠y+20ù)=180ù이므로
∠y+158ù=180ù ∴∠y=22ù
06
ABê와 CDê,ABê와 EFê, CDê와 EFê가만나서생기는맞꼭 지각이각각2쌍이므로모두2_3=6(쌍)이생긴다.07
점D와ABÓ사이의거리는ADÓ의길이와같으므로4`cm이 다.03
②모서리BC와모서리EH는평행하다.④모서리CD와모서리FG는꼬인위치에있다.
⑤모서리FG와모서리GH는한점에서만난다.
05
①모서리AB와평행한면은면DEF의1개이다.②모서리AD와수직인면은면ABC,면DEF의2개이다.
③면ADEB와만나는면은면ABC,면ADFC,면BEFC,
면DEF의4개이다.
④면ABC와평행한모서리는DEÓ,EFÓ,DFÓ의3개이다.
⑤모서리BC와꼬인위치에있는모서리는ADÓ,DEÓ,DFÓ 의3개이다.
따라서옳지않은것은⑤이다.
06
①모서리BC와모서리FJ는꼬인위치에있다.②모서리BC와모서리CH는한점에서만난다.
③면ABCDE와모서리FG는평행하다.
⑤모서리IJ는면FGHIJ에포함된다.
07
점A와면CGHD사이의거리는ADÓ의길이와같으므로8`cm이다.
08
㉠면AEGC와수직인면은면ABCD,면EFGH의2개이 다.㉡모서리AD와평행한면은면BFGC,면EFGH의2개이 다.
㉢선분AC와꼬인위치에있는모서리는BFÓ,DHÓ,EFÓ,
FGÓ,GHÓ,EHÓ의6개이다.
㉣면AEGC와한직선에서만나는면은면ABCD,
면ABFE,면AEHD,면BFGC,면CGHD,면EFGH 의6개이다.
따라서옳은것은㉡,㉢이다.
09
①면BEF와만나는면은면ABC,면ABED,면BFC,면CFG,면DEFG의5개이다.
②모서리AB와수직인면은면ADGC,면BEF의2개이 다.
③모서리AD와평행한모서리는BEÓ,CGÓ의2개이다.
④모서리BE와꼬인위치에있는모서리는ACÓ,CFÓ,DGÓ,
FGÓ의4개이다.
⑤모서리BF와모서리FC는한점에서만나지만수직은아 니다.
따라서옳은것은②이다.
02
오른쪽그림에서l∥m이므로l
m
80∞
x x+10∞
80ù+∠x+(∠x+10ù)=180ù x
2∠x+90ù=180ù,2∠x=90ù
∴∠x=45ù
03
l∥m이므로∠x+52ù=73ù(동위각) ∴∠x=21ù∠y=180ù-52ù=128ù(엇각)
04
④오른쪽그림에서동위각의크기가60ù, 120∞65∞
l m
65ù로같지않으므로두직선l,m은서 60∞
로평행하지않다.
쌍둥이 유형 테스트
p.6~p.701 ⑤ 02 45ù 03 ∠x=21ù, ∠y=128ù 04 ④ 05 119ù 06 ② 07 70ù 08 15ù 09 ③ 10 100ù 11 20ù 12 ①
0 4 평행선의 성질
10
주어진 전개도로 만든 정육면체는G(K) E(M)
D(N) J(H)
A(C) F(L)
B
I
오른쪽그림과같다.
따라서모서리AB와꼬인위치에
있는모서리는EFÓ(MLÓ),
FGÓ(LKÓ),DIÓ,IJÓ(IHÓ)이다.
11
①l∥P,m⊥P이면두직선l과m은수직으로만나거나꼬 인위치에있다.②l⊥m,m⊥n이면두직선l과n은한점에서만나거나평 행하거나꼬인위치에있다.
③l∥m,m⊥n이면두직선l과n은수직으로만나거나꼬 인위치에있다.
⑤l∥P,l∥Q이면두평면P와Q는한직선에서만나거나
평행하다.
12
㉠한직선에평행한서로다른두평면은한직선에서만나거 나평행하다.㉡한평면에수직인서로다른두평면은한직선에서만나거 나평행하다.
따라서두평면이평행한경우는㉢,㉣이다.
1. 기본 도형 ⦁
69 05
오른쪽 그림에서l∥m이고 삼각53∞ 66∞
66∞
180∞-x x l
m
형의세각의크기의합이180ù이 므로
53ù+(180ù-∠x)+66ù=180ù
299ù-∠x=180ù ∴∠x=119ù
06
오른쪽그림에서l∥m이고삼3x-15∞
3x-15∞
45∞
x+30∞
x+30∞
l
m
각형의 세 각의 크기의 합이
180ù이므로
45ù+(∠x+30ù)
+(3∠x-15ù)=180ù
4∠x+60ù=180ù,4∠x=120ù ∴∠x=30ù
07
오른쪽그림과같이두직선l,m 50∞50∞20∞
20∞ 160∞
l
m
에평행한직선n을그으면 n
∠x=50ù+20ù=70ù
08
오른쪽그림과같이두직선l,m에4x 4x
2x+18∞
l
m
n 2x+18∞
평행한직선n을그으면
4∠x+(2∠x+18ù)=108ù
6∠x+18ù=108ù
6∠x=90ù ∴∠x=15ù
09
오른쪽그림과같이두직선l,m 60∞60∞
40∞
25∞40∞25∞
l p q
m
에평행한두직선p,q를그으면
∠x=25ù+40ù=65ù
10
오른쪽그림과같이두직선l,mq
p 30∞30∞
x-30∞
110∞
25∞ 25∞
l
m
에평행한두직선p,q를그으면
(∠x-30ù)+110ù=180ù
∴∠x=100ù
11
오른쪽그림과같이두직선l,m에n
15∞
65∞
l
m R
Q
P
S
평행한직선n을그으면
∠PQR=15ù+65ù=80ù
∠PQS=∠a라하면
∠PQR=4∠a이므로
4∠a=80ù ∴∠a=20ù,즉∠PQS=20ù
12
ADÓ∥BCÓ이므로A 70∞
B C
D
E
F
G x
xx
∠FEC=∠x(엇각)
∠GEF=∠x(접은각)
즉2∠x=70ù(엇각)이므로
∠x=35ù
01
a=8,b=12이므로a+b=8+12=20
02
③AB³와CA³는시작점과방향이모두다르므로AB³+CA³03
직선은PAê, PBê, PCê, ABê의4개반직선은PA³,PB³,PC³,AB³,AP³,BA³,BC³,BP³,CB³,CP³ 의10개
선분은PAÓ,PBÓ,PCÓ,ABÓ,ACÓ,BCÓ의6개
04
MNÓ=MBÓ+BNÓ=;2!;ABÓ+;2!;BCÓMN=;2!;ACÓ=;2!;_8=4`(cm)
05
ABÓ=3BCÓ=3_4=12`(cm)이므로MBÓ=;2!;ABÓ=;2!;_12=6`(cm)
BNÓ=;2!;BCÓ=;2!;_4=2`(cm)
∴MNÓ=MBÓ+BNÓ=6+2=8`(cm)
06
(∠x+10ù)+90ù+3∠x=180ù이므로4∠x+100ù=180ù,4∠x=80ù
∴∠x=20ù
07
∠z=180ù_ 75+3+7=180ù_;1¦5;=84ù
08
∠COD=∠a,∠DOE=∠b라하면∠AOC=3∠a,∠EOB=3∠b
즉3∠a+∠a+∠b+3∠b=180ù이므로
4∠a+4∠b=180ù,∠a+∠b=45ù
∴∠COE=∠COD+∠DOE
=∠a+∠b=45ù
09
오른쪽그림에서x 3x-50∞
x+30∞
x+30∞
(3∠x-50ù)+(∠x+30ù)+∠x
=180ù
5∠x-20ù=180ù,5∠x=200ù
∴∠x=40ù
중단원
쌍둥이 유형 테스트
p.8~p.1101 20 02 ③ 03 직선：4개, 반직선：10개, 선분：6개 04 ③ 05 8`cm 06 20ù 07 84ù 08 ④ 09 ④ 10 12.8 11 ②, ⑤ 12 ③ 13 면 DEF
14 ③ 15 6 16 ③ 17 ⑤ 18 ④
19 ∠x=60ù, ∠y=50ù, ∠z=70ù 20 ② 21 ③
22 65ù 23 ④ 24 ⑤ 25 ④ 26 44ù
20
②오른쪽 그림에서 동위각의 크기가 90ù,l m
90∞ 90∞
80ù로같지않으므로두직선l,m은서 80∞
로평행하지않다.
21
오른쪽그림과같이두직선l,m에n 30∞
x l
m
30∞
55∞
평행한직선n을그으면
∠x=55ù(엇각)
22
오른쪽그림과같이두직선l,m에q p
20∞
15∞
15∞ 45∞
l
m 20∞
45∞
평행한두직선p,q를그으면
∠x=45ù+20ù=65ù
23
오른쪽그림과같이두직선l,m에q
p 33∞ 33∞
57∞57∞
x-33∞
y-57∞
l
m
평행한두직선p,q를그으면
(∠x-33ù)+(∠y-57ù)=180ù
∴∠x+∠y=270ù
24
오른쪽그림과같이두직선l,m 30∞32∞ 62∞
23∞ 23∞
l
m q p 30∞
에평행한두직선p,q를그으면
∠x=62ù+23ù=85ù
25
∠EAC=∠CAB=55ù이므로∠DAB=180ù-(55ù+55ù)=70ù
l∥m이므로
∠ABG=∠DAB=70ù(엇각)
∴∠ABC=;2!;∠ABG=;2!;_70ù=35ù
26
오른쪽그림에서B F
E
C
A D
x
46∞67∞67∞
23∞ 23∞
∠EFD=∠DFC(접은각)
이므로
∠EFD=∠DFC
∠EFD=;2!;_(180ù-46ù)
∠EFD=67ù
삼각형DFC에서∠C=90ù이므로
∠CDF=180ù-(67ù+90ù)=23ù
따라서∠EDF=∠CDF=23ù(접은각)이므로
∠x=90ù-(23ù+23ù)=44ù
10
점B와ACÓ사이의거리는BHÓ의길이와같으므로a=4.8점C와ABÓ사이의거리는BCÓ의길이와같으므로b=8
∴a+b=4.8+8=12.8
11
①직선l은점A를지나지않는다.③점C는직선l위에있다.
④점A는평면P위에있지않다.
12
모서리AE와평행한모서리는BFÓ,CGÓ,DHÓ이고이중BDÓ 와꼬인위치에있는모서리는CGÓ이다.14
①모서리DH와면ABCD는수직이다.②면EFGH와모서리CD는평행하다.
④모서리BC와모서리CG는수직이다.
⑤면ABFE와면BFGC의교선은BFÓ이다.
15
모서리PQ와꼬인위치에있는모서리는AEÓ,BFÓ,EHÓ,FGÓ 의4개이므로a=4모서리BF와수직인면은면ABQP,면EFGH의2개이므 로b=2
∴a+b=4+2=6
16
주어진전개도로삼각뿔을만들면오A(E)
B(D)
C F
른쪽그림과같다.
따라서모서리AB와꼬인위치에있 는모서리는CFÓ이다.
17
①l∥m,l⊥n이면두직선m과n은수직으로만나거나꼬 인위치에있다.②,③l⊥m,l⊥n이면두직선m과n은한점에서만나거나
평행하거나꼬인위치에있다.
④l⊥m,m∥n이면두직선l과n은수직으로만나거나꼬 인위치에있다.
18
㉠∠a의엇각은없고,∠i의엇각은∠d,∠g이다.㉢∠e의맞꼭지각은∠g이고,∠f의맞꼭지각은∠h이다.
따라서옳은것은㉡,㉣이다.
19
오른쪽그림에서l∥m이므로60∞
50∞
x z
z l y
m
∠x=60ù(엇각)
∠y=50ù(동위각)
∠z=180ù-(60ù+50ù)=70ù
2. 작도와 합동 ⦁
71
2 | 작도와 합동
01
㉡ 두 점을 지나는 직선을 그릴 때 눈금 없는 자를 사용한다.㉣ 주어진 선분의 길이를 다른 직선 위로 옮길 때 컴퍼스를 사 용한다.
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.
02
ABÓ의 길이를 2번 옮기면 되므로 점 C, D를 작도하는 데 사 용되는 도구는 컴퍼스이다.03
⑤ 작도 순서는 ㉠ → ㉣ → ㉡ → ㉤ → ㉢이다.05
(가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)이면 삼각형 의 세 변의 길이가 될 수 있다.① 11=6+5 ② 8=6+2 ③ 10>5+4
④ 4=3+1 ⑤ 7<5+6
따라서 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 것은 ⑤이다.
06
7-4<x<7+4 ∴ 3<x<11 따라서 a=3, b=11이므로 a+b=3+11=1407
① ∠C가 끼인각이 아니므로△
ABC는 하나로 정해지지 않 는다.② 9=4+5이므로 삼각형이 그려지지 않는다.
③ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로
△
ABC는 하나로 정해진다.④ 95ù+85ù=180ù이므로 삼각형이 그려지지 않는다.
⑤ 세 각의 크기가 주어졌으므로 무수히 많은 삼각형이 그려 진다.
따라서
△
ABC가 하나로 정해지는 것은 ③이다.08
① 세 변의 길이가 주어졌으므로 삼각형을 하나로 작도할 수 있다.②, ③ 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 각의 크기가 주어진 경우에는 삼각형을 하나로 작도할 수 없다.
④ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로 삼각형 을 하나로 작도할 수 있다.
⑤ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로 삼각형 을 하나로 작도할 수 있다.
따라서 더 필요한 조건으로 적당하지 않은 것은 ②, ③이다.
쌍둥이 유형 테스트
p.1201 ㉠, ㉢ 02 ① 03 ⑤
04 ㉣ → ㉠ → ㉢ → ㉥ → ㉤ → ㉡ 05 ⑤ 06 14 07 ③ 08 ②, ③
01 삼각형의 작도
01
④ 넓이는 같지만 합동이 아닌 직사각형도 있다.
(넓이)=24`cmÛ` (넓이)=24`cmÛ`
02
ADÓ=EHÓ=6`cm이므로 x=6∠G=∠C=65ù이므로 y=65
∴ x+y=6+65=71
03
② 나머지 한 각의 크기는 180ù-(105ù+30ù)=45ù 이므로 ASA 합동이다.04
① SSS 합동②, ⑤ ASA 합동
③ ∠A, ∠D가 각 삼각형에서 끼인각이 아니므로 합동 조건 을 만족하지 않는다.
④ SAS 합동
05 △
ABC와△
DEF에서 ABÓ=DEÓ=4`cm,∠A=∠D=75ù이므로
㉠ ∠B=∠E=65ù이면 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다.
∴
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)㉡ ∠C=∠F=40ù이면
∠B =180ù-(75ù+40ù)=65ù ∠E=180ù-(75ù+40ù)=65ù
즉 ∠B=∠E이므로 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다.
∴
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)㉣ ACÓ=DFÓ=5`cm이면 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같다.
∴
△
ABCª△
DEF (SAS 합동)㉤ ∠F=40ù이면
△
DEF에서∠E=180ù-(75ù+40ù)=65ù
즉 ∠B=∠E=65ù이므로 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다.
∴
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)8 cm
3 cm 4 cm
6 cm
쌍둥이 유형 테스트
p.13~p.1401 ④ 02 71 03 ② 04 ③ 05 ㉠, ㉡, ㉣, ㉤ 06 ⑴ PCÓ ⑵ CDÓ ⑶ SSS 07 △AOBª△DOC (SAS 합동)
08 ⑴ △ABOª△DCO (ASA 합동) ⑵ 5`cm 09 ⑤
10 ④ 11 ⑤
12 ⑴ △ABEª△BCF (SAS 합동) ⑵ 90ù
02 삼각형의 합동 조건
따라서
△
ABCª△
DEF이기 위해 필요한 조건은 ㉠, ㉡,㉣, ㉤이다.
07 △
AOB와△
DOC에서OAÓ=ODÓ, OBÓ=OCÓ, ∠AOB=∠DOC (맞꼭지각)
∴
△
AOBª△
DOC (SAS 합동)08
⑴△
ABO와△
DCO에서ABÓ=DCÓ
∠B=∠C, ∠AOB=∠DOC (맞꼭지각)이므로 ∠A=∠D ∴
△
ABOª△
DCO (ASA 합동)⑵ OCÓ=OBÓ=5`cm
09 △
ABC와△
DBE에서BCÓ=BEÓ
∠A=∠D, ∠B는 공통이므로 ∠BCA=∠BED (②)
∴
△
ABCª△
DBE (ASA 합동) (①)∴ ABÓ=DBÓ (③), ACÓ=DEÓ (④) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
10 △
AOB와△
COD에서OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ, ∠AOB=∠COD (맞꼭지각)
∴
△
AOBª△
COD (SAS 합동) (㉡) 즉 ∠ABD=∠CDB이므로 ABÓ∥DCÓ (㉢)마찬가지 방법으로
△
AODª△
COB (SAS 합동)이므로∠ADB=∠CBD
△
ABD와△
CDB에서BDÓ는 공통, ∠ADB=∠CBD, ∠ABD=∠CDB
∴
△
ABDª△
CDB (ASA 합동) (㉤) 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉤이다.11 △
ADF와△
BED와△
CFE에서ADÓ=BEÓ=CFÓ, AFÓ=BDÓ=CEÓ (③)
∠A=∠B=∠C=60ù
∴
△
ADFª△
BEDª△
CFE (SAS 합동) (④)∴ ∠AFD=∠BDE=∠CEF (②), FDÓ=DEÓ=EFÓ 즉
△
DEF는 정삼각형이므로 ∠EDF=60ù (①) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.12
⑴△
ABE와△
BCF에서ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ, ∠ABE=∠BCF=90ù ∴
△
ABEª△
BCF (SAS 합동)⑵ ∠AEB=∠BFC이므로
∠AEB+∠FBC=∠BFC+∠FBC=90ù 따라서
△
BEP에서∠EPB=180ù-(∠AEB+∠FBC)=180ù-90ù=90ù ∴ ∠APF=∠EPB=90ù (맞꼭지각)
01
③ 선분의 길이를 재어 다른 직선 위로 옮길 때에는 컴퍼스를 사용한다.04
⑤ 이 작도는 ‘엇각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하 다.’는 성질을 이용한 것이다.05
삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 경우는 (6`cm, 7`cm, 10`cm), (6`cm, 10`cm, 13`cm), (7`cm, 10`cm, 13`cm)이다.따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 3개이다.
06
① 4>1+2 ② 5=2+3 ③ 6<3+4④ 7<4+5 ⑤ 8<5+6
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ①, ②이다.
07
⑤ 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우 끼인각을 작도하지 않고 두 변을 먼저 작도할 수 없다.08
① 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로△
ABC는 하나로 정해진다.
② 세 각의 크기가 같은 삼각형은 무수히 많이 그려진다.
③ 14=5+9이므로 삼각형이 그려지지 않는다.
④ ∠A+∠C=180ù이므로 삼각형이 그려지지 않는다.
⑤ ∠A=180ù-(60ù+55ù)=65ù
즉 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로
△
ABC는 하나로 정해진다.따라서
△
ABC가 하나로 정해지는 것은 ①, ⑤이다.09
㉠ ∠C가 BCÓ와 ABÓ의 끼인각이 아니므로△
ABC는 하나로 정해지지 않는다.
㉡ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로
△
ABC는 하나로 정해진다.
㉢ ∠A의 크기를 알면 ∠B의 크기를 알 수 있으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이다. 따라서
△
ABC는 하나로 정해진다.㉣ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로
△
ABC는 하나로 정해진다.10
① ∠B의 크기는 알 수 없다.② CDÓ의 길이는 알 수 없다.
③ 점 A의 대응점은 점 E이다.
중단원
쌍둥이 유형 테스트
p.15~p.1701 ③ 02 ㉢ → ㉠ → ㉡ 03 ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉣ → ㉢ 04 ⑤ 05 ③ 06 ①, ② 07 ⑤ 08 ①, ⑤ 09 ㉡, ㉢, ㉣ 10 ④ 11 ③ 12 ③, ⑤ 13 ③ 14 △ABDª△CBD (SSS 합동)
15 ㈎ OCÓ ㈏ ∠O ㈐ OBÓ ㈑ SAS 16 ⑤ 17 ② 18 5`cm
3. 평면도형 ⦁
73
3 | 평면도형
01
① 곡선으로 둘러싸여 있으므로 다각형이 아니다.④ 입체도형이므로 다각형이 아니다.
02
② 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기도 같아야 정다각 형이다.03
십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 10-3=7(개)이므로 a=7이때 생기는 삼각형의 개수는 10-2=8(개)이므로 b=8
∴ a+b=7+8=15
04
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=6 ∴ n=9, 즉 구각형 따라서 구각형의 대각선의 개수는9_(9-3)
2 =27(개)
05
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =44, n(n-3)=88
n(n-3)=11_8 ∴ n=11, 즉 십일각형 따라서 십일각형의 변의 개수는 11개이다.
06
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 가장 큰 내각의 크기는180ù_ 5
2+3+5 =180ù_;2!;=90ù
07
(3∠x-10ù)+∠x=2∠x+40ù2∠x=50ù ∴ ∠x=25ù
08 △
ABD에서 ∠ABD+73ù=95ù∴ ∠ABD=95ù-73ù=22ù
이때 ∠ABC=2∠ABD=2_22ù=44ù이므로
△
ABC에서∠x=44ù+73ù=117ù
09
오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면68∞
24∞ 32∞
x
B C
D A
△
ABC에서∠DBC+∠DCB
=180ù-(68ù+24ù+32ù)=56ù
쌍둥이 유형 테스트
p.18~p.1901 ①, ④ 02 ② 03 15 04 27개 05 11개 06 90ù 07 ③ 08 117ù 09 ③ 10 128ù 11 114ù 12 27ù 13 75ù
01 다각형
⑤ FGÓ=BCÓ=7`cm 따라서 옳은 것은 ④이다.
11
③ <보기>의 삼각형에서 나머지 한 각의 크기는 180ù-(77ù+43ù)=60ù즉 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각 각 같으므로 ASA 합동이다.
12
① 대응하는 세 변의 길이가 각각 같으므로△
ABCª△
DEF (SSS 합동)② 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로
△
ABCª△
DEF (SAS 합동)④ 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)13 △
ABC와△
DEF에서ABÓ=DEÓ, ∠B=∠E이므로
③ BCÓ=EFÓ이면
△
ABCª△
DEF (SAS 합동)④ ∠A=∠D이면
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)⑤ ∠C=∠F이면
∠A=180ù-(∠B+∠C)=180ù-(∠E+∠F)=∠D ∴
△
ABCª△
DEF (ASA 합동)14 △
ABD와△
CBD에서ABÓ=CBÓ, ADÓ=CDÓ, BDÓ는 공통
∴
△
ABDª△
CBD (SSS 합동)16 △
AEF와△
DEC에서AEÓ=DEÓ, ∠AEF=∠DEC (맞꼭지각) (①) FBÓ∥DCÓ이므로 ∠FAE=∠CDE (엇각) (②)
∴
△
AEFª△
DEC (ASA 합동) (③)∴ AFÓ=DCÓ (④), EFÓ=ECÓ 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
17 △
ABD와△
BCE에서ABÓ=BCÓ (①), ∠ABD=∠BCE=60ù (③), BDÓ=CEÓ
∴
△
ABDª△
BCE (SAS 합동) (⑤)∴ ADÓ=BEÓ, ∠ADB=∠BEC (④) 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
18 △
BCE와△
DCF에서BCÓ=DCÓ, CEÓ=CFÓ, ∠BCE=∠DCF=90ù
∴
△
BCEª△
DCF (SAS 합동)∴ DFÓ=BEÓ=5`cm
12 cm 43∞
60∞
12 cm 77∞
60∞
43∞
따라서
△
DBC에서∠x =180ù-(∠DBC+∠DCB)
=180ù-56ù
=124ù
10 △
ABC에서∠ABC+∠ACB=180ù-76ù=104ù 따라서
△
IBC에서∠BIC=180ù-(∠IBC+∠ICB)
=180ù- ;2!;(∠ABC+∠ACB)
=180ù- ;2!;_104ù
=128ù
11 △
ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로∠ACB=∠ABC=38ù, ∠DAC=38ù+38ù=76ù
△
CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로∠CDA=∠CAD=76ù 따라서
△
DBC에서∠x=76ù+38ù=114ù
12 △
ABC에서∠ACE=54ù+∠ABC이므로
∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(54ù+∠ABC)
=27ù+∠DBC yy ㉠
△
DBC에서 ∠DCE=∠x+∠DBC yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해27ù+∠DBC=∠x+∠DBC ∴ ∠x=27ù
13 △
APD에서60∞
x+20∞
25∞ 20∞
A x P
Q
C D
B E
∠CPQ=∠x+20ù 따라서
△
PCQ에서(∠x+20ù)+25ù+60ù=180ù
∠x+105ù=180ù ∴ ∠x=75ù
01
구하는 다각형을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1620ùn-2=9 ∴ n=11
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
쌍둥이 유형 테스트
p.20~p.2101 ④ 02 ④ 03 ③ 04 ⑤ 05 ②
06 ④ 07 310ù 08 ② 09 ② 10 ① 11 ③ 12 72ù
0 2 다각형의 내각과 외각
02
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =35, n(n-3)=70
n(n-3)=10_7 ∴ n=10, 즉 십각형 따라서 십각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(10-2)=1440ù
03
육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù이므로115ù+100ù+130ù+135ù+110ù+∠x=720ù 590ù+∠x=720ù ∴ ∠x=130ù
04
오각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로 50ù+71ù+(180ù-∠x)+86ù+65ù=360ù 452ù-∠x=360ù ∴ ∠x=92ù05
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면110∞
100∞
92∞
70∞ x 60∞
a b
오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이므로
∠a+∠b
=540ù-(100ù+92ù+70ù+60ù+110ù)
=108ù
∴ ∠x =180ù-(∠a+∠b)
=180ù-108ù=72ù
06
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면44∞
100∞ 88∞
48∞
a b c d
∠a+∠b=∠c+∠d 사각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(4-2)=360ù이므로 100ù+48ù+(∠a+∠b)+44ù+88ù
=360ù
280ù+∠a+∠b=360ù ∴ ∠a+∠b=80ù
07
오른쪽 그림에서50∞
e+50∞ c+d
b a
e d
∠a+∠b+(∠e+50ù) c
+(∠c+∠d)
=(사각형의 내각의 크기의 합)
=360ù
∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=310ù
08
구하는 정다각형을 정 n각형이라 하면180ù_(n-2) n =150ù 180ù_n-360ù=150ù_n
30ù_n=360ù ∴ n=12, 즉 정십이각형
따라서 정십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는
12-3=9(개)
3. 평면도형 ⦁
75 01
③가장긴현은지름이다.02
x：2=120ù：30ù이므로x：2=4：1 ∴x=8
03
µAB：µBC：µCA=4：3：2이므로∠AOB：∠BOC：∠COA=4：3：2
∴∠COA=360ù_ 2
4+3+2 =360ù_;9@;=80ù
04
ADÓ∥BCÓ이므로∠BCO=∠COD=30ù(엇각)
△
OCB에서OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=∠OCB=30ù∴∠BOC=180ù-(30ù+30ù)=120ù
따라서µBC：µCD=∠BOC：∠COD이므로
µBC：3=120ù：30ù
µBC：3=4：1 ∴µBC=12`(cm)
05
ADÓ∥OCÓ이므로A 45∞ B
D C
O
10 cm 45∞
∠DAO=∠COB=45ù(동위각) 45∞
오른쪽그림과같이ODÓ를그으면
△
ODA에서OAÓ=ODÓ이므로∠ODA=∠DAO=45ù
∴∠AOD=180ù-(45ù+45ù)=90ù
따라서µAD：µBC=∠AOD：∠BOC이므로
µAD：10=90ù：45ù
µAD：10=2：1 ∴µAD=20`(cm)
06
부채꼴AOB의넓이를x`cmÛ`라하면45ù：135ù=x：27이므로
1：3=x：27 ∴x=9
따라서부채꼴AOB의넓이는9`cmÛ`이다.
07
ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로∠AOB=∠COD=∠DOE∴∠COE=2∠AOB
즉2∠AOB=110ù이므로∠AOB=55ù
08
④중심각의크기와삼각형의넓이는정비례하지않으므로
△
OCE+2△
OAB09
(둘레의길이)=2p_6=12p`(cm)(넓이)=p_6Û`=36p`(cmÛ`)
10
(넓이)=;2!;_9_4p=18p`(cmÛ`)11
(둘레의길이)=2p_6_;3¢6°0;+2p_4_;3¢6°0;+2+2=;2#;p+p+4
=;2%;p+4`(cm)
09
구하는정다각형을정n각형이라하면360ù
n =45ù ∴n=8,즉정팔각형
따라서정팔각형의대각선의개수는
8_(8-3)
2 =20(개)
10
(한외각의크기)=180ù_ 14+1 =180ù_;5!;=36ù
이때구하는정다각형을정n각형이라하면
360ù
n =36ù ∴n=10
따라서구하는정다각형은정십각형이다.
11
조건㉠,㉡을만족하는다각형은정다각형이고,조건㉢을만 족하는다각형은육각형이므로주어진조건을모두만족하는다각형은정육각형이다.
①다각형의외각의크기의합은항상360ù이다.
②한꼭짓점에서그을수있는대각선의개수는
6-3=3(개)
③대각선의개수는
6_(6-3) 2 =9(개)
④내각의크기의합은
180ù_(6-2)=720ù
⑤한외각의크기는360ù 6 =60ù
따라서옳지않은것은③이다.
12
정오각형의한내각의크기는180ù_(5-2) 5 =108ù
△
ABE에서ABÓ=AEÓ이므로∠AEB=;2!;_(180ù-108ù)=36ù
△
ADE에서EAÓ=EDÓ이므로∠EAD=;2!;_(180ù-108ù)=36ù
△
AFE에서∠x=36ù+36ù=72ù
쌍둥이 유형 테스트
p.22~p.2301 ③ 02 ③ 03 80ù 04 12`cm 05 20`cm 06 9`cmÛ` 07 55ù 08 ④
09 둘레의 길이：12p`cm, 넓이：36p`cmÛ` 10 18p`cmÛ`
11 {;2%;p+4}`cm 12 (200-50p)`cmÛ`
13 (9p-18)`cmÛ` 14 6`cmÛ` 15 (4p+16)`cm
03 원과 부채꼴
12
(넓이)=(빗금친 부분의 넓이)_210 cm
10 cm
={10_10-p_10Û`_;4!;}_2
=(100-25p)_2
=200-50p`(cmÛ`)
13
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을6 cm
6 cm
옮기면
(넓이)=p_6Û`_;4!;-;2!;_6_6
=9p-18`(cmÛ`)
14
색칠한 부분의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.3 cm 5 cm
4 cm3 cm A
B C
4 cm 4 cm 3 cm
= + +
5 cm -
∴ (넓이)=p_2Û`_;2!;+p_{;2#;}2`_;2!;+;2!;_4_3 -p_{;2%;}2`_;2!;
=2p+;8(;p+6-:ª8°:p
=6`(cmÛ`)
15
2 cm
8 cm
위 그림에서 곡선 부분의 길이는 {2p_2_;2!;}_2=4p`(cm) 직선 부분의 길이는 8_2=16`(cm)
따라서 필요한 끈의 최소 길이는 (4p+16)`cm이다.
01
② 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기도 모두 같아야 정사각형이다.중단원
쌍둥이 유형 테스트
p.24~p.2601 ② 02 십이각형 03 35개 04 ④ 05 79ù 06 ⑤ 07 42ù 08 ② 09 1800ù 10 57ù 11 110ù 12 62ù 13 27개 14 ③ 15 정십각형 16 15ù 17 36ù 18 2p`cmÛ` 19 ⑤
20 둘레의 길이：12p`cm, 넓이：12p`cmÛ` 21 45ù 22 (4p+8)`cm 23 50`cmÛ` 24 8p`cmÛ`
02
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-2=10 ∴ n=12따라서 구하는 다각형은 십이각형이다.
03
구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=7 ∴ n=10, 즉 십각형 따라서 십각형의 대각선의 개수는10_(10-3)
2 =35(개)
04
∠x+65ù+90ù=180ù∴ ∠x=25ù
05 △
ABC에서 43ù+∠ABC+65ù=180ù∴ ∠ABC=180ù-108ù=72ù
이때 ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù이므로
△
ABD에서∠x=43ù+36ù=79ù
06
오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면20∞ 115∞ 25∞
x C
D B
A
△
CBD에서∠CBD+∠CDB =180ù-115ù
=65ù 따라서
△
ABD에서∠x =180ù-(20ù+∠CBD+∠CDB+25ù)
=180ù-(20ù+65ù+25ù)=70ù
07 △
DBC에서 DBÓ=DCÓ이므로∠DCB=∠DBC=∠x
∠CDA=∠x+∠x=2∠x
△
CAD에서 CAÓ=CDÓ이므로∠CAD=∠CDA=2∠x 따라서
△
ABC에서2∠x+∠x=126ù
3∠x=126ù ∴ ∠x=42ù
08 △
CEF에서C B
D
F G
E A
30∞
25∞
a b
c c+25∞
b+30∞
∠AFE=∠c+25ù
△
BDG에서∠AGB=∠b+30ù 따라서
△
AFG에서∠a+(∠c+25ù)+(∠b+30ù)=180ù
∴ ∠a+∠b+∠c=125ù
09
구하는 다각형을 n각형이라 하면n-3=9 ∴ n=12, 즉 십이각형 따라서 십이각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(12-2)=1800ù
3. 평면도형 ⦁
77 17
∠BOC=∠x라 하면OCÓ∥ABÓ이므로 ∠OBA=∠BOC=∠x (엇각)
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=∠x
∴ ∠AOB=180ù-(∠x+∠x)=180ù-2∠x 따라서 µAB：µ BC=∠AOB：∠BOC이므로 3：1=(180ù-2∠x)：∠x
3∠x=180ù-2∠x, 5∠x=180ù
∴ ∠x=36ù, 즉 ∠BOC=36ù
18
∠AOB：∠BOC：∠COA=µAB：µ BC：µ CA=3：2：4 원 O의 넓이가 9p`cmÛ`이므로 부채꼴 BOC의 넓이는 9p_ 23+2+4 =9p_;9@;=2p`(cmÛ`)
19
⑤ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.20
(둘레의 길이) =2p_4+2p_2=8p+4p
=12p`(cm) (넓이) =p_4Û`-p_2Û`
=16p-4p
=12p`(cmÛ`)
21
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p=2p_8_;36{0; ∴ x=45 따라서 구하는 중심각의 크기는 45ù이다.22
(둘레의 길이)=2p_8_;3¤6¼0;+2p_4_;3¤6¼0;+4+4=;3*;p+;3$;p+8
=4p+8`(cm)
23
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을10 cm
10 cm
옮기면
(넓이)=(정사각형의 넓이)_;2!;
=10_10_;2!;
=50`(cmÛ`)
24
색칠한 부분의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.= + -
8`cm 8`cm
8`cm B'
B A 45∞
8`cm 45∞
∴ (넓이)=p_4Û`_;2!;+p_8Û`_;3¢6°0;-p_4Û`_;2!;
=8p`(cmÛ`)
10
오각형의 내각의 크기의 합은180ù_(5-2)=540ù이므로
114ù+130ù+2∠x+125ù+∠x=540ù 369ù+3∠x=540ù ∴ ∠x=57ù
11
육각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로55ù+45ù+35ù+75ù+∠x+40ù=360ù 250ù+∠x=360ù ∴ ∠x=110ù
12
오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면100∞
60∞105∞
20∞
83∞
110∞
b x a
∠a+∠b=20ù+60ù=80ù 오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이므로 100ù+110ù+83ù+∠a+∠b+∠x +105ù=540ù
100ù+110ù+83ù+80ù+∠x+105ù=540ù 478ù+∠x=540ù ∴ ∠x=62ù
13
구하는 정다각형을 정 n각형이라 하면 180ù_(n-2)n =140ù 180ù_n-360ù=140ù_n
40ù_n=360ù ∴ n=9, 즉 정구각형 따라서 정구각형의 대각선의 개수는
9_(9-3)
2 =27(개)
14
(한 외각의 크기)=180ù_ 13+1 =180ù_;4!;=45ù 이때 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면
360ùn =45ù ∴ n=8, 즉 정팔각형
① 꼭짓점의 개수는 8개이다.
② 한 내각의 크기는 180ù-45ù=135ù이다.
③ 대각선의 개수는 8_(8-3)
2 =20(개)이다.
④ 내각의 크기의 합은 180ù_(8-2)=1080ù이다.
⑤ 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 8-3=5(개)이다.
따라서 옳은 것은 ③이다.
15
조건 ㉠을 만족하는 다각형은 정다각형이므로 조건 ㉡에서 구하는 정다각형을 정n각형이라 하면180ù_(n-2)=1440ù n-2=8 ∴ n=10
따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 다각형은 정십각형이 다.
16
6：15=(∠x+15ù)：(3∠x+30ù)이므로 2：5=(∠x+15ù)：(3∠x+30ù) 6∠x+60ù=5∠x+75ù ∴ ∠x=15ù4 | 입체도형
01
다면체는사각뿔,삼각기둥,오각기둥,칠각뿔대의4개이다.02
주어진입체도형의면의개수는다음과같다.㉠5개 ㉡6개 ㉢7개 ㉣4개 ㉤5개
㉥6개 ㉦5개 ㉧6개 ㉨7개
따라서육면체인것은㉡,㉥,㉧이다.
03
삼각기둥의모서리의개수는9개이므로a=9사각뿔대의꼭짓점의개수는8개이므로b=8
∴a+b=9+8=17
04
구하는각뿔을n각뿔이라하면n+1=10 ∴n=9,즉구각뿔
따라서구각뿔의모서리의개수는18개,면의개수는10개이 므로a=18,b=10
∴a+b=18+10=28
05
④삼각뿔대-사다리꼴 ⑤오각기둥-직사각형06
①각뿔대의옆면의모양은사다리꼴이다.③각뿔대의밑면이n각형이면면의개수는(n+2)개이다.
④각뿔대의한꼭짓점에모인면의개수는항상3개이다.
⑤각뿔대를밑면에평행한평면으로자른단면은항상다각 형이다.
07
조건㉠,㉢을만족하는입체도형은각기둥이다.이때조건㉡에의해구하는각기둥은오각기둥이다.
08
⑤정다면체의면이될수있는다각형은정삼각형,정사각형,정오각형의3가지뿐이다.
09
①정사면체-정삼각형-3개②정육면체-정사각형-3개
④정십이면체-정오각형-3개
⑤정이십면체-정삼각형-5개
10
각면이모두합동인정삼각형이고각꼭짓점에모인면의개 수가3개인정다면체는정사면체이다.쌍둥이 유형 테스트
p.27~p.2801 ③ 02 ④ 03 17 04 28 05 ④, ⑤
06 ② 07 ① 08 ⑤ 09 ③ 10 ①
11 ④ 12 ⑤
0 1 다면체
11
A NM
A(C, E) F(L, N)
M
H(J) L
J K I G H F
E D
C B
밑면
밑면
B D G(K)
I
⇨
따라서점G와겹쳐지는점은점K이다.
12
정육면체를한평면으로자를때생기는단면의모양은다음 과같이나올수있다.① 삼각형 ② 사각형
③ 오각형 ④ 육각형
따라서단면의모양이될수없는것은⑤이다.
01
①사각뿔대는다면체이다.02
⇨
l
⇨
l
⇨
l
⇨
l
따라서직선l을회전축으로하여1회전시킬때생기는입체 도형은순서대로원기둥,원뿔,원뿔대,구이다.
03
④04
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 구하3 cm
5 cm
4 cm ll
는단면의넓이는
[;2!;_(3+4)_5]_2=35`(cmÛ`)
쌍둥이 유형 테스트
p.2901 ① 02 ⑤ 03 ④ 04 35`cmÛ` 05 8p`cm 06 ③
0 2 회전체
4. 입체도형 ⦁
79 01
(밑넓이)=;2!;_(3+9)_4=24`(cmÛ`)(옆넓이)=(3+5+9+5)_8=176`(cmÛ`)
∴(겉넓이)=24_2+176=224`(cmÛ`)
02
(밑넓이)=p_2Û`=4p`(cmÛ`)(옆넓이)=2p_2_4=16p`(cmÛ`)
∴(겉넓이)=4p_2+16p=24p`(cmÛ`)
03
(부피)={;2!;_3_4}_6=36`(cmÜ`)04
원기둥의높이를h`cm라하면(p_4Û`)_2+(2p_4)_h=96p에서
32p+8ph=96p,8ph=64p ∴h=8
따라서원기둥의부피는
(p_4Û`)_8=128p`(cmÜ`)
05
(부피)={p_6Û`_;3!6@0);}_7=84p`(cmÜ`)06
(겉넓이)=(p_4Û`-p_2Û`)_2+2p_4_5+2p_2_5=24p+40p+20p=84p`(cmÛ`)
07
주어진입체도형의겉넓이는큰직육면체의겉넓이와같으므 로(겉넓이)=(6_6)_2+(6+6+6+6)_8
=72+192=264`(cmÛ`)
08
회전체는오른쪽그림과같으므로6 cm
2 cm3 cm ll
(부피)
=(p_5Û`)_6-(p_2Û`)_6
=150p-24p
=126p`(cmÜ`)
쌍둥이 유형 테스트
p.3001 224`cmÛ` 02 24p`cmÛ` 03 36`cmÜ` 04 128p`cmÜ` 05 84p`cmÜ`
06 84p`cmÛ` 07 264`cmÛ` 08 126p`cmÜ`
03 기둥의 겉넓이와 부피
01
(겉넓이)=4_4+{;2!;_4_7}_4=16+56=72`(cmÛ`)02
(겉넓이)=p_4Û`+p_4_9=16p+36p=52p`(cmÛ`)03
밑면인원의반지름의길이를r`cm라하면2p_12_;3!6@0);=2pr ∴r=4
∴(겉넓이)=p_4Û`+p_4_12=16p+48p=64p`(cmÛ`)
04
(부피)=;3!;_(6_4)_5=40`(cmÜ`)05
(부피)=;3!;_{;2!;_12_12}_12=288`(cmÜ`)06
(남은물의부피)=;3!;_{;2!;_8_15}_5=100`(cmÜ`)07
(부피)=;3!;_(p_5Û`)_6=50p`(cmÜ`)08
(겉넓이)=p_3Û`+p_6Û`+(p_6_10-p_3_5)=9p+36p+45p=90p`(cmÛ`)
09
(부피)=;3!;_(8_8)_12-;3!;_(4_4)_6=256-32=224`(cmÜ`)
10
회전체는오른쪽그림과같으므로4 cm 12 cm
5 cm C D
B
A
(부피)=;3!;_(p_9Û`)_12 -;3!;_(p_5Û`)_12
=324p-100p=224p`(cmÜ`)
11
(겉넓이)=4p_3Û`_;2!;+p_3_5=18p+15p=33p`(cmÛ`)
12
(부피)={;3$;p_5Ü`}_;4#;=125p`(cmÜ`)13
(부피)=;3$;p_6Ü`-;3$;p_3Ü`=288p-36p=252p`(cmÜ`)14
구의반지름의길이를r`cm라하면;3$;prÜ`=54p ∴rÜ`=:¥2Á:
∴(원기둥의부피)=prÛ`_2r=2prÜ`
=2p_:¥2Á:=81p`(cmÜ`)
다른 풀이
(구의부피)：(원기둥의부피)=2：3이므로
54p：(원기둥의부피)=2：3
∴(원기둥의부피)=81p`(cmÜ`)
쌍둥이 유형 테스트
p.31~p.3201 72`cmÛ` 02 52p`cmÛ` 03 64p`cmÛ` 04 40`cmÜ` 05 288`cmÜ`
06 100`cmÜ` 07 50p`cmÜ` 08 90p`cmÛ` 09 224`cmÜ` 10 224p`cmÜ`
11 33p`cmÛ` 12 125p`cmÜ` 13 252p`cmÜ` 14 81p`cmÜ`
04 뿔, 구의 겉넓이와 부피 05
원기둥의전개도에서직사각형의가로의길이는밑면인원의둘레의길이와같으므로
(직사각형의가로의길이)=2p_4=8p`(cm)
06
③오른쪽 그림과 같이 직각삼⇨
각형의 빗변을 회전축으로
하여 회전하면 원뿔이 되지
않는다.
02
삼각기둥의 면의 개수는 5개이므로 a=5 사각뿔의 꼭짓점의 개수는 5개이므로 b=5 오각뿔대의 모서리의 개수는 15개이므로 c=15∴ a+b+c=5+5+15=25
03
⑤ 팔각뿔대의 두 밑면은 모양은 같지만 크기가 다르므로 합 동이 아니다.04
② 꼭짓점의 개수가 8개 이하인 정다면체는 정사면체, 정육면 체, 정팔면체의 3가지이다.③ 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20개이고, 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 12개이다.
⑤ 정십이면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3개이다.
06
A
B
C D E
H G
I F J
A(E) J(F)
H B(D) I(G) C
⇨
따라서 점 J와 겹쳐지는 점은 점 F이고, ABÓ와 겹쳐지는 모서 리는 DEÓ이다.
08
③ 원뿔-이등변삼각형09
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 구3 cm 4 cm 5 cm 2 cm
l
하는 단면의 넓이는
[;2!;_(5+3)_2+3_4]_2
=(8+12)_2
=40`(cmÛ`)
10
① 구의 전개도는 그릴 수 없다.② 구를 평면으로 자른 단면은 항상 원이지만 모두 합동은 아 니다.
④ 원뿔을 회전축을 포함하는 평면에 평행한 평면 으로 자른 단면은 오른쪽 그림과 같다.
⑤ 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단 면은 회전축에 대하여 선대칭도형이다.
중단원
쌍둥이 유형 테스트
p.33~p.3501 ③ 02 25 03 ⑤ 04 ①, ④ 05 정십이면체 06 ② 07 ① 08 ③ 09 40`cmÛ` 10 ③ 11 8`cm 12 겉넓이：112p`cmÛ`, 부피：160p`cmÜ` 13 ① 14 168p`cmÜ` 15 9 16 45ù 17 4 18 9`cm 19 224p`cmÜ` 20 200p`cmÜ` 21 ③
22 구：4p`cmÜ`, 원뿔：2p`cmÜ`
11
삼각기둥의 높이를 h`cm라 하면{;2!;_5_12}_2+(5+13+12)_h=300에서 60+30h=300 ∴ h=8
따라서 삼각기둥의 높이는 8`cm이다.
12
(겉넓이) =(p_4Û`)_2+(2p_4)_10=32p+80p=112p`(cmÛ`) (부피)=(p_4Û`)_10=160p`(cmÜ`)
13
(겉넓이)={p_3Û`_;3!6@0);}_2+{3+3+2p_3_;3!6@0);}_7
=6p+42+14p=20p+42`(cmÛ`)
14
(부피) =(p_5Û`)_8-(p_2Û`)_8=200p-32p=168p`(cmÜ`)
15
8_8+{;2!;_8_x}_4=208에서64+16x=208 ∴ x=9
16
옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_16_;36{0;=2p_2 ∴ x=45따라서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기는 45ù이다.
17
삼각뿔 C-BGD의 부피가 20`cmÜ`이므로;3!;_{;2!;_6_5}_x=20 ∴ x=4
18
물의 높이를 h`cm라 하면 원뿔 모양의 그릇의 부피와 원기둥 모양의 그릇에서 물이 채워진 부분의 부피는 같으므로;3!;_(p_6Û`)_12=(p_4Û`)_h 144p=16ph ∴ h=9 따라서 물의 높이는 9`cm이다.
19
(부피)=;3!;_(p_8Û`)_12-;3!;_(p_4Û`)_6=256p-32p=224p`(cmÜ`)
20
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로5 cm 12 cm 13 cm
l
(부피)=(p_5Û`)_12
-;3!;_(p_5Û`)_12
=300p-100p
=200p`(cmÜ`)
21
(겉넓이)=p_6Û`+4p_6Û`_;2!;=36p+72p=108p`(cmÛ`)
22
구의 반지름의 길이를 r`cm라 하면prÛ`_2r=6p ∴ rÜ`=3
∴ (구의 부피)=;3$;prÜ`=;3$;p_3=4p`(cmÜ`)
(원뿔의 부피)=;3!;_prÛ`_2r=;3@;prÜ`=;3@;p_3=2p`(cmÜ`)
5. 자료의 정리와 해석 ⦁
81
5 | 자료의 정리와 해석
01
⑶성적이가장높은학생의점수는97점,가장낮은학생의점수는63점이므로그차는97-63=34(점)
02
①(1반의학생수)=3+6+5+1=15(명)(2반의학생수)=2+5+7+1=15(명) 따라서1반과2반의학생수는같다.
④전체학생수는30명이고몸무게가60`kg이상70`kg미 만인학생수는12명이므로
③;3!0@;_100=40(%)
⑤몸무게가가장많이나가는학생은72`kg으로1반에있다.
따라서옳지않은것은⑤이다.
03
①A=50-(5+20+6+3)=16②계급의크기는30분이다.
③계급의개수는5개이다.
⑤TV시청시간이120분이상인학생수는3명,90분이상 인학생수는6+3=9(명)이므로TV시청시간이4번째 로긴학생이속하는계급은90분이상120분미만이다.
따라서옳은것은④이다.
04
대출한책의수가6권미만인학생수는45_;1§¤0¼0;=27(명)
따라서대출한책의수가8권이상10권미만인학생수는
45-(27+6+3)=9(명)
쌍둥이 유형 테스트
p.3601 ⑴ 7 ⑵ 83점 ⑶ 34점 02 ⑤ 03 ④ 04 ②
01 줄기와 잎 그림과 도수분포표
01
②(계급의크기)=4-2=6-4=y=12-10=2(시간)③(전체학생수)=3+8+9+6+4=30(명)
④운동한시간이8시간이상인학생은6+4=10(명)
⑤도수가가장작은계급은2시간이상4시간미만이다.
따라서옳지않은것은⑤이다.
쌍둥이 유형 테스트
p.37~p.3801 ⑤ 02 ⑴ 40명 ⑵ 20`% ⑶ 4만 원 이상 5만 원 미만 03 5명 04 ①, ⑤ 05 ③ 06 80 07 10명 08 ③
02 히스토그램과 도수분포다각형
02
⑴(전체학생수)=4+9+11+8+6+2=40(명)⑵용돈이5만원이상인학생수는6+2=8(명)이므로
⑵;4¥0;_100=20`(%)
⑶용돈이5만원이상인학생수는6+2=8(명),용돈이4만
원이상인학생수는8+6+2=16(명)이므로10번째로
용돈을많이받는학생이속하는계급은4만원이상5만
원미만이다.
03
전체학생수를x명이라하면x_;1ª0°0;=8 ∴x=32
따라서줄넘기횟수가100회이상120회미만인학생수는
32-(1+8+11+5+2)=5(명)
04
①(계급의크기)=15-14=16-15=y=20-19=1(초)④기록이15.4초인학생이속하는계급은15초이상16초미 만이고그도수는2명이다.
⑤기록이19초미만인학생은
1+2+3+9+8=23(명)
따라서옳지않은것은①,⑤이다.
05
③가장오래매달린학생의기록은알수없다.06
(넓이)=(계급의크기)_(도수의총합)(넓이)=2_(6+12+9+7+5+1)
(넓이)=2_40=80
07
음악수행평가점수가70점미만인학생수는30_;1¢0¼0;=12(명)
따라서음악수행평가점수가70점이상80점미만인학생수는
30-(12+5+3)=10(명)
08
①수학성적이가장우수한학생이어느반에있는지는알수없다.
②(1반의학생수)=2+4+5+7+5+3+2+2=30(명)
(2반의학생수)=1+2+3+6+9+5+3+1=30(명)
따라서1반의학생수와2반의학생수는같다.
③2반의그래프가1반의그래프보다오른쪽으로더치우쳐
있으므로2반학생들이1반학생들보다수학성적이대체 로우수하다.
④1반의수학성적중도수가가장큰계급은50점이상60점
미만이다.
⑤수학성적이40점이상70점미만인학생수는 1반：5+7+5=17(명),2반：3+6+9=18(명)
이므로1반이2반보다적다.
따라서옳은것은③이다.
08
A반전체학생과B반전체학생에대하여각계급의상대도 수를각각구하면다음과같다.봉사 활동 시간 (시간) 상대도수
A반 B반
13이상~16미만 0.1 0.1
16이상~19이상 0.3 0.28
19이상~12이상 0.3 0.3
12이상~15이상 0.25 0.24 15이상~18이상 0.05 0.08
합계 1 1
따라서A반보다B반의상대도수가큰계급은15시간이상
18시간미만이다.
09
A,B두반의전체학생수를각각5a명,4a명이라하고어떤계급의도수를각각3b명,2b명이라하면이계급의상대도수 의비는
3b 5a：2b
4a=;5#;：;2!;=6：5
10
①여학생에서키가140`cm미만인계급의상대도수는0.15이므로학생수는200_0.15=30(명)
②남학생에서키가170`cm이상인계급의상대도수는
0.1이므로0.1_100=10`(%)
③상대도수의총합은1이므로각각의상대도수의분포를나 타낸그래프와가로축으로둘러싸인부분의넓이는같다.
④키가150`cm이상160`cm미만인학생수는 여학생：200_0.35=70(명),
남학생：240_0.3=72(명) 이므로여학생이남학생보다더적다.
⑤키가160`cm미만인학생의비율은 여학생：0.15+0.25+0.35=0.75, 남학생：0.05+0.15+0.3=0.5 이므로여학생이남학생보다더높다.
따라서옳지않은것은④이다.
01
①(전체학생수)=5+9+7+4=25(명)④가지고있는소설책의권수가많은쪽에서10번째인학생 이가지고있는소설책의권수는23권이다.
중단원
쌍둥이 유형 테스트
p.41~p.4401 ④ 02 ③ 03 ④
04 ⑴ A=6, B=9 ⑵ 30회 이상 40회 미만 05 ③ 06 ③ 07 ㉠, ㉡, ㉣ 08 360 09 25명 10 ④ 11 0.25 12 ③ 13 ⑴ A=0.2, B=1 ⑵ 7명 14 ② 15 100개 16 17명 17 0.28 18 ④ 19 ④
01
A=40-(9+11+4+2)=14따라서구하는상대도수는
;4!0$;=0.35
02
(도수의총합)=0.3=401203
⑴(전체학생수)= 40.08=50(명)
⑵A=50-(4+18+12+6+2)=8
⑵B=;5¥0;=0.16,C=;5¤0;=0.12,D=1
⑶4회미만인계급의상대도수의합은
⑵0.08+0.16=0.24이므로0.24_100=24`(%)
04
(전체학생수)=0.24=50(명)12따라서과학성적이80점이상85점미만인계급의상대도수는
;5!0);=0.2
05
④등교하는데걸리는시간이4분이상10분미만인계급의상대도수가0.04이므로이계급의도수는 100_0.04=4(명)
06
⑴나이가20세이상30세미만인계급의상대도수는0.1이 므로⑴(전체주민수)=20
0.1=200(명)
⑵도수가가장큰계급은상대도수가가장큰계급인40세이 상50세미만이고상대도수가0.35이므로주민수는
200_0.35=70(명)
⑶나이가50세이상인계급의상대도수의합은 0.15+0.1=0.25이므로주민수는
200_0.25=50(명)
07
앉은키가80`cm이상85`cm미만인계급의상대도수는1-(0.08+0.18+0.26+0.16+0.02)=0.3
따라서앉은키가80`cm이상85`cm미만인학생수는
50_0.3=15(명)
쌍둥이 유형 테스트
p.39~p.4001 0.35 02 ⑤
03 ⑴ 50명 ⑵ A=8, B=0.16, C=0.12, D=1 ⑶ 24`% 04 0.2 05 ④ 06 ⑴ 200명 ⑵ 70명 ⑶ 50명 07 15명 08 15시간 이상 18시간 미만 09 ③ 10 ④
0 3 상대도수와 그 그래프
5. 자료의 정리와 해석 ⦁
83
⑤가지고있는소설책의권수가가장많은학생은38권,가 장적은학생은1권이므로그차는
38-1=37(권)
따라서옳지않은것은④이다.
02
①(남학생수)=2+4+5+3+2+1=17(명)①(여학생수)=1+2+4+5+3+2=17(명)
①따라서남학생수와여학생수는같다.
③남학생에서잎이가장많은줄기는5이다.
④이반의전체학생수는34명이고통화시간이50분인학 생은통화시간이짧은쪽에서10번째이므로이반에서통 화시간이짧은편이다.
⑤통화시간이가장긴학생은83분으로여학생중에있다.
따라서옳지않은것은③이다.
03
①A=20-(3+6+3+1)=7②(계급의크기)=4-0=8-4=y=20-16=4(점)
④수행평가점수가가장높은학생의점수는알수없다.
⑤수행평가점수가12점이상인학생수는3+1=4(명)이 므로
⑤;2¢0;_100=20(%)
따라서옳지않은것은④이다.
04
⑴제기차기기록이20회미만인학생수는⑤50_;1ª0¼0;=10(명)
⑤이므로4+A=10 ∴A=6
⑤∴B=50-(4+6+18+13)=9
⑵기록이40회이상인학생수는9명,기록이30회이상인학 생수는13+9=22(명)이므로기록이많은쪽에서10번 째인학생이속하는계급은30회이상40회미만이다.
05
①(계급의크기)=45-40=50-45=y=70-65=5(kg)
②(전체학생수)=2+5+11+13+6+3=40(명)
③가장가벼운학생의몸무게는알수없다.
⑤몸무게가65kg이상인학생수는3명,몸무게가60kg이 상인학생수는6+3=9(명)이므로몸무게가무거운쪽에 서5번째인학생이속하는계급은60`kg이상65`kg미만 이다.
따라서옳지않은것은③이다.
06
기록이20회이상30회미만인학생이전체의25%이므로기록이20회이상30회미만인학생수는
40_;1ª0°0;=10(명)
따라서기록이30회이상40회미만인학생수는
40-(4+10+7+5+2)=12(명)
07
㉠(전체학생수)=2+3+13+19+12+1=50(명)㉢계급의개수는6개이다.
㉣저축한금액이5만원이상인학생은12+1=13(명)
따라서옳은것은㉠,㉡,㉣이다.
08
(넓이)=(계급의크기)_(도수의총합)(넓이)=10_(4+6+8+11+7)
(넓이)=10_36=360
09
독서시간이5시간이상인학생이전체의48`%이므로독서시간이5시간미만인학생은전체의52`%이다.
전체학생수를x명이라하면독서시간이5시간미만인학생
수는2+3+8=13(명)이므로
x_;1°0ª0;=13 ∴x=25
따라서전체학생수는25명이다.
10
㉠(1학년학생수)=1+2+5+8+6+3=25(명)㉠(2학년학생수)=1+3+7+9+3+2=25(명)
㉠따라서1학년학생수와2학년학생수는같다.
㉡2학년의그래프가1학년의그래프보다왼쪽으로더치우 쳐있으므로2학년학생들의기록이1학년학생들의기록 보다대체로좋다.
㉢2학년에서도수가가장큰계급은17초이상18초미만이 다.
㉣1학년과2학년의학생수가25명으로같으므로각각의도 수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이는같다.
따라서옳은것은㉡,㉣이다.
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A=40-(1+5+15+9)=10따라서컴퓨터사용시간이4시간이상6시간미만인계급의
상대도수는
;4!0);=0.25
12
(도수의총합)=0.3=30이므로9상대도수가0.2인계급의도수는30_0.2=6
13
⑴상대도수의합은1이므로B=1⑴A=1-(0.15+0.2+0.3+0.15)=0.2
⑵턱걸이기록이10회미만인계급의상대도수의합은
0.15+0.2=0.35이므로턱걸이기록이10회미만인학생
수는
⑴20_0.35=7(명)
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(전체학생수)=0.05=320(명)16따라서국어성적이40점이상50점미만인계급의상대도수는
;3¢2¥0;=0.15
