도형

(1)

도형

공간 감각(spatial sense, spatial ability) 배양을 위하여

(2)

도형을 학습하기 전에



삼각형을 학습하기 위한 여러 가지 삼 각형 만들어오기



사각형을 학습하기 위한 여러 가지 사 각형 만들어오기



Tessellation 만들어 오기

(3)

도형 학습의 의의



기본 도형에 대한 개념의 이해



도형에 관한 기초적인 지식과 기능 습득



^{공간적 사고 활용}

(4)

도형 학습 이론



^{Piaget의 이론}

–

위상적 사고(연결 상태만 인지)

–

사영적 사고(삼각형, 사각형 구별)

–

Euclid적 사고(모양, 크기 등을 고려)

Gessel의 비판: 위상적, 사영적, 유클리드적 인식이 혼재되어 있다. 어린이가 정확하게 관 찰하였다 하더라도 그것을 묘사하는 손의 기 능에 따라 달리 표현된다.

(5)

도형 학습 이론



van Hiele의 이론

대상 구체물 형 성질 명제

내용 형 성질 명제 논리

수준 1수준 2수준 3수준 4수준 5수준 논리 적용

(6)

Van Hiele의 도형 학습 수준



^1수준

– 외형적인 형태 인식 – 구성 요소를 인식못

함

– 삼각형, 사각형 등은 변별하지만 직사각 형과 정사각형을 변 별하지 못함



^2수준

– 도형의 성질을 고찰 – 정사각형과 직사각

형을 구별

(7)

Van Hiele의 도형 학습 수준



^3수준

– 성질을 이용하여 명 제를 학습

– 귀납적 추론 가능



^4수준

– 명제들의 논리관계 를 학습

– 연역적 추론 가능 – 공리, 정의, 정리, 증

명 등을 인지할 수 있는 수준

(8)

Van Hiele의 도형 학습 수준



^5수준

– 논리를 엄격하게 분 석, 추론하여 일반적 인 도형의 성질을 발 견



^{수준 이론의 특징}

– 앞 수준의 내용은 다 음 수준의 제재이다.

– 높은 수준으로 이행 은 전 단계 학습이 필수

(9)

평면도형의 지도



입체도형에서 평면도형을 추상



^{점, 선, 면}

점 ㄱ과 점 ㄴ 잇기

ㄱ •

ㄴ

•

선분 ㄱㄴ 선분 ㄴㄱ

(10)



^각

–

끝점이 같은 두 선분(반직선)으로 이루어

진 도형 ㄱ

ㄴ ㄷ

각의 꼭지점

각의 변

(11)

삼각형



세 개의 선분으로 둘러싸인 도형

삼각형 만들기

1) 점을 이용한 게임

2) 점판(Geo-board) 이용

(12)

삼각형의 종류



^{각에 따라}

– 예각 삼각형, 직각 삼각형, 둔각 삼각형



^{변에 따라}

– 정삼각형, 이등변 삼각형, 부등변(일반)삼각형

(13)

삼각형의 성질



세 각의 합은 180도이다

귀납법으로 증명하기

(14)

사각형



4개의 선분으로 둘러싸인 도형

사각형 만들기

1) 점판(Geo-board) 이용

(15)

삼각형과 사각형의 차이



^{삼각형은 유일하다.}



삼각형에는 오목 다각형이 없다



사각형에는 꼬인 사각형도 있다.

(16)

사각형의 종류



일반 사각형에서 정사각형까지 만들기

–

색종이, 가위

마름모 정사각형 직사각형

평행사변형 사다리꼴

사각형

(17)

사각형의 성질



^{사각형의 성질}

–

각이 4개

–

대각선이 2개

–

네 각의 합이 360도이다



^{사다리꼴의 성질}

–

사다리꼴 2개를 이으면 평행사변형이 된 다

– 평행하지 않은 변의 양 끝각의 합은 180도이다.

(18)



^{평행사변형의 성질}

–

마주보는 각이 같다

–

마주보는 변의 길이가 같다

–

한 대각선이 다른 대각선을 이등분한다

–

점대칭도형이다

–

대각선에 의해 합동인 삼각형 2개로 나누어진다.

–

한 변의 양 끝각의 합은 180도이다.

(19)

사각형의 성질



^{마름모의 성질}

–

두 대각선이 수직으로 만난다(수직이등분)

–

선대칭도형



^{정사각형의 성질}



^{직사각형의 성질}

–

대각선의 길이가 같다.

–

선대칭 도형이다.

–

두 대각선에 의해 합동인 이등변삼각형이 2쌍 생긴다.

(20)

정다각형



길이가 같은 선분으로 둘러싸인 도형



원을 이용하여 정다각형 그리기

(21)

정다각형의 성질



변의 수, 꼭지점의 수, 각의 수가 같다.



내각의 크기가 모두 같다.

100각형에서 대각선의 수를 구하시오.

100각형에서 내각의 합을 구하시오.

(22)

원



평면의 한 점에서 거리가 일정한 점들 의 집합



원의 중심, 지름, 반지름, 원둘레

1.컴퍼스를 이용하여 원, 원의 일부를 이용하여 무늬 만들기 2. 제곱근 그리기

(23)

원의 성질



지름은 중심에 의해 이등분된다.



지름은 무수히 많다.



원은 지름에 의해 이등분된다.



원주에 있는 두 점을 잇는 선분 중에서 지름이 가장 길다.



점대칭, 선대칭 도형이다.

(24)

도형의 변환



합동변환, 사영변환, 위상변환

도형을 그래프에 옮겨 그리기

(25)

합동변환



^{옮기기(평행이동)}

(26)

합동변환



^{뒤집기(대칭이동)}

(27)

합동변환



^{돌리기(회전이동)}

(28)

선대칭의 예

서울대공원이 주최한 ‘2002 서울대공원 자연사랑 사진공모전’에서 대상을 차 지한 연제관씨의 작품 ‘나들이’

(29)

(30)

(31)

점대칭의 예

(32)

(33)

(34)

성냥개비 퍼즐



공간감각 배양에 적절



창의력, 사고력 신장



^{흥미, 관심 유지}



^{도전 의식 고취}

(35)

성냥개비 퍼즐의 분류



^{움직여 만들기}



^{더하여 만들기}



^{없애서 만들기}

(36)

움직여 만들기



성냥개비 16개로 정사각형을 5개 만들 었다. 2개를 움직여 같은 크기의 정사 각형 4개를 만드시오.

(37)



성냥개비 20개로 정사각형 7개를 만들 었다. 3개를 움직여 같은 크기의 정사 각형 5개를 만드시오.

(38)

더하여 만들기



성냥개비 3개로 정삼각형을 만들었다.

성냥개비 3개를 더하여 같은 크기의 정 삼각형 4개로 만드시오.

(39)

성냥개비로 12개로 다음과 같은 도형을 만들었다. 2개를 더하여 정사각형 9개를 만드시오.

(40)



성냥개비로 다음과 같은 도형을 만들 었다. 2개를 더 사용하여 모양과 넓이 가 같은 도형 2개를 만드시오.

(41)

없애서 만들기



성냥개비 16개로 정삼각형 8개를 만들 었다. 성냥개비 4개를 없애 정삼각형 4 개로 만드시오.

(42)



다음과 같이 성냥개비 17개로 정사각 형 6개를 만들었다. 성냥개비 5개를 없 애서 정사각형 3개를 만들어라.

(43)



http://www.ex.ac.uk/cimt/puzzles/pentoes/pentoint.htm



http://www.puzzleland.co.kr/javagame/pentomino.asp



http://www.isuhak.org/isuhakimg/puz10.htm



http://chaos.inje.ac.kr/Alife/Life_Universe.htm

펜토미노(pentominoes)

(44)

펜토미노(pentominoes)

I L Y

P

U F N

V

T W

N X

(45)

3Ⅹ5 직사각형 만들기(1)

(46)

3Ⅹ5 직사각형 만들기(2)

(47)

4Ⅹ5 직사각형 만들기(1)

(48)

4Ⅹ5 직사각형 만들기(2)

(49)

4Ⅹ5 직사각형 만들기(3)

(50)

5Ⅹ5 직사각형 만들기(1)

(51)

5Ⅹ5 직사각형 만들기(2)

(52)

5Ⅹ5 직사각형 만들기(3)

(53)

5Ⅹ5 직사각형 만들기(4)

(54)

5Ⅹ5 직사각형 만들기(5)

(55)

6Ⅹ5 직사각형 만들기

(56)

7Ⅹ5 직사각형 만들기

(57)

8Ⅹ5 직사각형 만들기

(58)

9Ⅹ5 직사각형 만들기

(59)

10Ⅹ5 직사각형 만들기

(60)

11Ⅹ5 직사각형 만들기(1)

(61)

11Ⅹ5 직사각형 만들기(2)

(62)

10Ⅹ6 직사각형 만들기

(63)

15Ⅹ4 직사각형 만들기

(64)

20Ⅹ3 직사각형 만들기

(65)

울타리 만들기

과제: 넓이가 71-80, 81-90, 91-100, 101-110 , 111-120, 120-인 울타리 만들기 내부가 직사각형, 외부가 직사각형인 울타리 만들기(특별학점 부여)

(66)

2배 확대하기

변의 길이를 2배 확대 넓이는 몇 배?

(67)

2배 확대하기

(68)

3배 확대하기

(69)

복제하기

(70)

복제하기

V, Z – L, N W, X – P, Y V, X – U, Y Y,N,L,P – F, W, T, I – X, U, V, Z

(71)

칠교판(tangram)

 ^{지도 순서}

– 2, 3개로 만들기에서 7개로 만들기로 – 구성된 그림을 보고 놓아보기

– 전체 그림을 보고 만들기 – 창작

참고site

http://www.kidscom.com/games/tangram/game1/tangram01.h tml

http://www.javalovers.com/tangram.htm

http://alfy.com/Arcade/Memory/Tangram/index.asp http://math.new21.org/puzzle/tangram/tangram.html http://210.218.93.140/sbong/tang.htm

http://myhome.naver.com/songrori/game/tangram.htm

(72)

Tangram

(73)

다음 모양을 만들어 보시오.



^{인장보관함}

(74)



^태산

(75)



^{어약(漁躍)}

(76)



^{화분(花盆)}

(77)



^{다배(茶盃)}

(78)



^{답청(踏靑)}

(79)

종이 접어 오리기



종이를 접어 오려서 펴면 어떤 모양이 되는지 예상하고 확인하기

–

1번 접어 오리기

–

2번 접어 오리기

(80)

Tessellation



http://members.cox.net/tessellations/Learning.htmll



http://www.hongik.ac.kr/~ymkim/art/tessellation/tessellatio n.htm



http://homepage.mac.com/efithian/Geometry/Activity- 12.html



http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/poincare.html

(81)

Tessellation

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

Tessellation만들기



모눈종이에 간단한 도형 그리기

(88)

(89)

(90)

http://cont2.edunet4u.net/~nuri/

무늬 만들기

(91)

입체도형



개념 형성을 위한 지도 방법

분류하기: 기준을 정하여 분류한다

공통점 찾기: 같은 집단에 있는 것들의 공통점을 찾는다.

정의: 이런 것들을 ~~라 한다.

예와 비례: 개념에 속하는 것과 그렇지 않은 것 변별하기

(92)

여러 가지 입체도형



^각기둥

–

밑면이 다각형이고, 옆면이 직사각형

–

삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥,….



^뿔

–

밑면이 다각형이고, 옆면이 삼각형

–

삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔,….



^다면체

–

모든 면이 다각형이고, 꼭지점에 모인 면 의 수가 같은 볼록한 입체도형

(93)

정다면체 만들기

(94)

정(직)육면체



정육면체의 전개도 그리기-11가지



^{겨냥도와 전개도}

(95)

(96)

직육면체 만들기



직접 비교하여 부피를 측정하기 어려 운 직육면체 2개 만들어오기

(97)

쌓기 나무



주어진 모양을 보고 만들기

(98)



주어진 도형을 앞, 옆, 위에서 본 모양을 그리기

위

옆

앞

앞 위 옆

(99)



앞, 옆, 위에서 본 그림을 보고 만들기

앞 위 옆

(100)



^{기호를 보고 만들기}

2 2 1 3 1 1

1 1 2 3 1 2