기본 도형

Ⅳ 통계

Ⅳ

2 7

기본 도형

Ⅴ

Ⅴ

13 18 24

Ⅵ 평면도형

Ⅵ

29 36

Ⅶ 입체도형

Ⅶ

42 48

Ⅳ 통계

Ⅳ

54 57

기본 도형

Ⅴ

Ⅴ

59 61 64

Ⅵ 평면도형

Ⅵ

67 71

Ⅶ 입체도형

Ⅶ

74 77

LECTURE ^BOOK WORK ^BOOK

p

자료의 정리

1

01

02

p

Ⅳ 통계

01

8 3 4 62

01

- 1 5+8+10+4+3=30 5+4=9

5 5 6

8 9 y 5 9

30 4 9 44 9

01

- 1 4-2=6-4=y=12-10=2

10 12

= =11

2 8

6 8 11

10+12 2

01

5 9 12

= =10.5

5

15 18 10.5

9+12 2

01

6+9+7+6+4=32

2

p

02

A=40-(4+10+16+3+1)=6 6+3=9

150 cm 155 cm

= =152.5 cm

147.5 cm 145 cm

150 cm 10

12 4+10=14

12 145 cm 150 cm 6 9 152.5 cm 10 145 cm 150 cm

150+155 2

01

- 1 4+1=5

40+42+42+46+49=219

5 219

5+7=12

10 30

03

⁸⁰ 90

2

_100=8 %

A=25-(4+7+2+1)=11 70

4+11=15

_100=60 %

8 % 11 60 % 15

25 2 25

03

- 1 20

14+8+2=24 _100=48 % _100=6 A=3

B=50-(3+6+5+14+8+2)=12 48 % A=3, B=12 A

50 24 50 (계급값)

=(계급의 양 끝값의 합) 2

(백분율)

=

=_100(%) (특정 계급의 도수)

(도수의 총합) 2 5 8

0 2 6 6 9 1 4 4 4 6 6 8 9 0 2 2 5

6 7 8 9

(도수의 총합)

=(전체 학생 수)

턱걸이 횟수가 5회 미만인 학생 수는 A명이다.

02

- 1 A=260-(102+78+22+13+5)=40 13+5=18

20

40 50

= 40+50 =45 2 7|0 70

줄기와 잎 그림에서 줄기 십의 자리의 숫자 잎 일의 자리의 숫자

계급의 크기

계급의 양 끝값의 차 계급의 개수

변량을 나눈 구간의 수 도수

각 계급에 속하는 변량 의 수

( ) ( )

/// 3 //// // 7 //// 5 /// 3 // 2

20 13 ~16

16 ~19 19 ~ 12 12 ~ 15 15 ~ 18

01

- 1 1+5+9+7+3=25 7+3=10

230 mm 235mm

= =232.5(mm)

5_25=125

5 mm 5 25

10 232.5 mm 125 230+235

2

01

4+10+9+5+2=30

70 80

9

_100=30(%) 10_2=20

10 30 30 % 20

9 30

p

01

- 1 3+5+8+9+4+1=30 5 70 dB 80 dB

= =75 dB

10_9=90

6 30 75 dB 90

70+80 2

02

- 1 3+7+12+10+6+2=40

16 14 18

10

14 22

10+6=16 _100=40 % 4_40=160

40 10 40 % 160

16 40

02

5+10+11+7+4+3=40 18

4+3=7

_100=17.5 % 1_40=40

40 17.5 %

15 16 40

7 40

03

- 1 40-(8+11+10+4+1)=6

8 12

10+6=16

_100=40 %

6 40 % 16

40

03

36-(3+5+9+12+2)=5

BOOK

04

^{15- …x<15+}10 10…x<20 2

10 2

04

- 1 42 x

42- …x<42+ 39…x<45 a=39, b=45

6 2 6

2

03

p

01

0 2 4 6 8 10

60 70 80 90 100 (명)

(점)

계급의 크기가 p이고, 계급값이 m인 계급에 속하는 변량 x의 값의 범위는

m- …x<m+p 2 p

2

히스토그램에서 직사각 형의 가로의 길이

계급의 크기 세로의 길이

도수

히스토그램 또는 도수분 포다각형이 찢어진 경우 도수의 총합을 이용 한다.

(도수분포다각형과 가 로축으로 둘러싸인 부 분의 넓이)

=(계급의 크기) _(도수의 총합) 도수가 가장 작은 계급의 도 수는 2명이다.

01

- 1 5+8+10+5+2=30

25 30

= =27.5

5_30=150

5 5 30

8 27.5 150

25+30 2

04

p

01

6+9+11+6+3=35

35

20 30

0 2 4 6 8 10

10 20 30 40 50 60 (명)

(회)

도수가 가장 큰 계급의 도수 는 9명이다.

히스토그램에서 (직사각형의 넓이의 합)

=(계급의 크기) _(도수의 총합)

계급의 크기와 도수의 총합이 같은 두 도수분 포다각형

각각의 도수분포다 각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는 서로 같다.

04

- 1 1

2+5+6+8+4+3+2=30 2

1+3+5+7+8+4+3=31

50 70

1 6+8=14 2 5+7=12

75 1

4 2 8 1 2 4

2 1

2 1

04

2+8+12+7+4+2=35

1+3+10+11+7+3=35

p

01 02 03 04 05

06

⁸

07 08

^,

09

^,

10 11 12

⁹⁰

13

^46.7%

14 15 16 17

¹²⁰

18 19 20

²³

21

⁶

22

⁷⁷

23

^40%

24

^{55 kg}

25

⁹

0 1

^2+5+3=10

0 2

0 3

0 4

A=35-(2+5+13+4)=11

05

^{1.2 L 1.4 L}

=1.2+1.4=1.3(L) 2

09

^{0.5 30}

2+4+6+15+10+8+5=50

1.5 2

= =1.75

2 TV

10+8+5=23 .

1.5+2 2

10

^{TV 7}

2.5 3

=2.5+3=2.75 2

11

^{200 kWh 250 kWh}

x

_100=50 x=120 30+x

300

12

^{275 kWh 250 kWh}

300 kWh

300-(30+120+50+10)=90( ) 90

13

^{250 kWh 350 kWh}

90+50=140( ) _100=46.66y %

46.7 % .

46.7 % 140

300

06

20-(1+3+4+3+1)=8 8

07

08

^20-10₂ ^…x<20+10₂ ^15…x<25

(수학 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생 수)

=(전체 학생 수) -(나머지 계급의 도수

의 합)

직사각형의 세로의 길이가 가장 긴 계급

(백분율)

=

_100(%) (특정 계급의 도수)

(도수의 총합)

작은 것부터 순서대로 나열 하면 5회, 5회, 8회, 12회, 13회, 17회, 17회, 19회, y이므로 8번째 변량은 19 회이다.

BOOK

히스토그램에서 각 직 사각형의 가로의 길이 는 계급의 크기가 모두 같으므로 일정하다. 따 라서 각 직사각형의 넓 이는 세로의 길이, 즉 그 계급의 도수에 정비 례한다.

14

8+8+4+3+3+1=27

15

⁴⁰

3+3+1=7

_100=25.92y % 26% . 7

27

16

=1 2 4 8

17

^{6 8}

x

60 x=1 2 x=120

120

18

360-(20+60+120+40+20)=100

19

4+6+9+10+8+3=40

2+5+9+11+9+4=40

색칠한 직사각형의 넓이의 합

몸무게가 60kg 이상 65kg 미만인 학생 수가 1명, 55kg 이상 60kg 미만인 학생 수 가 3명이므로 몸무게가 많이 나가는 쪽에서부터 4번째인 학생이 속하는 계급은 55kg 이상 60kg 미만이다.

a：b=c：d ad=bc

20

3

a=3 … 2점

20

b=20 … 2점

a+b=3+20=23 … 2점

23 채점

기준

a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기

2점 2점 2점

21

180 cm (A+8)

_100=26

A=5 … 2점

B=50-(5+8+11+9+6)=11 … 2점

B-A=11-5=6 … 2점

6 A+8

50 채점 기준

A의 값 구하기 B의 값 구하기 B-A의 값 구하기

2점 2점 2점

22

25- …x<25+

23…x<27 … 3점

a=23, b=27 … 2점

a+2b=23+2_27=77 … 1점

77 4

2 4

2 채점 기준

x의 값의 범위 구하기 a, b의 값 구하기 a+2b의 값 구하기

3점 각 1점 1점

23

2+6+8+3+1=20 … 2점

50 kg

2+6=8 … 2점

_100=40 % … 2점

40 % 8

20 채점 기준

전체 학생 수 구하기

몸무게가 50 kg 미만인 학생 수 구하기 전체의 몇 %인지 구하기

2점 2점 2점

24

20 20 %

20_;1™0º0;=4 ^{… 3점}

4 55 kg 60 kg

55 kg … 3점

55 kg 채점

기준

상위 20% 이내에 속하는 학생 수 구하기 몇 kg 이상인지 구하기

3점 3점 계급의 크기가 p이고,

계급값이 m인 계급에 속하는 변량 x의 값의 범위는

m- …x<m+p 2 p

2

14 18

40-(5+7+13+6)=9 40%

15

14 18

= =16 60%

16 14+18

2 1단계

2단계

14 18

15

유제

1

70 80

10_9=90 a=90 40%

50 60

10_3=30 b=30 40%

a+b=90+30=120 20%

120 1단계

a b a+b

예제

2

3단계 2단계

3+5+10+6+1=25 30%

4 8

5+10=15 30%

;2!5%;_100=60 % ^40%

60%

1단계

4 8

%

예제

3

3단계 2단계

45 kg 50 kg

5_11=55 a=55 40%

60 kg 65 kg

5_2=10 b=10 40%

a-b=55-10=45 20%

45 1단계

2단계

3단계 a b a-b

유제

2 25

40 60

2x , 60 80 3x , 80 100

2x , 100 120 x

x+2x+3x+2x+x=27 … 3점

x=3 … 1점

1 60

3+6=9 … 2점

9 채점

기준

방정식 세우기 방정식 풀기

공부 시간이 1시간 미만인 학생 수 구하기 3점 1점 2점

p

10 15

10 예제

1

10 15

30-(2+8+10+4)=6 40%

10

15 20

= =17.5 60%

17.5 15+20

2 1단계

2단계

(도수의 총합)

=(전체 학생 수)

식사 시간이 짧은 계급부터 도수를 차례로 더하여 그 합이 처음으로 10명 이상 이 되는 계급을 찾는다.

2+6+8=16(명)이므로 구하는 계급은 15분 이상 20분 미만이다.

직사각형의 세로의 길이가 가장 긴 계급

x+2x=3+2_3

=3+6

(백분율)

=

_100(%) (특정 계급의 도수)

(도수의 총합) 히스토그램에서

(직사각형의 넓이)

=(각 계급의 크기) _(그 계급의 도수)

직사각형의 세로의 길이가 가장 짧은 계급

BOOK

2+6+9+12+8+3=40 30%

6

2+6=8 30%

;4•0;_100=20 % ^40%

20%

1단계

2단계

3단계

6

%

유제

3

x

_100=25 x=40 50%

40 150 cm

155 cm

40-(4+10+6+4+2)=14 50%

14 10

x 1단계

150cm 155 cm

예제

4

2단계

80 5+2=7

x

;[&;_100=20 x=35 50%

35 70

80

35-(2+6+9+5+2)=11 50%

11 1단계

2단계

70 80

유제

4

p

자료의 분석

2

05

01

=:¢5º:=8

=:ª6º:=15

= =8.5 8 15 8.5

85 10 7_1+8_5+9_2+10_2

10

12+15+10+20+18+15 6

5+8+11+9+7 5

01

- 1 = =15

= =27

= =2.5

15 27 2.5 40

16

1_4+2_5+3_3+4_3+5_1 16

162 6 30+27+25+30+23+27

6

75 5 11+14+20+17+13

5

02

= =23.5

23.5 470

20

02

- 1

=1470=49 kg 49 kg

30

35_4+45_13+55_10+65_3 30

(평균)

=(변량의 총합) (변량의 개수)

(도수분포표에서의 평균)

={(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합

( ) 10 ~ 10 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50

2 4 10

3 1 20

5 15 25 35 45

5_2=10 15_4=60 25_10=250

35_3=105 45_1=45

470

( )_( )

( ) ( )

p

01

=87, 343+x=435

x=92 92

83+x+78+88+94 5

01

-1 x kg

=49, 243+x=294

x=51 51 kg

48+52+43+54+46+x 6

(키가 150cm 이상 155cm 미만인 학생 수)

=(전체 학생 수)

-(나머지 계급의 도수의 합)

히스토그램 또는 도수분 포다각형이 찢어진 경우 도수의 총합을 이용 한다.

도수분포표에서의 평균 계급값을 이용한다.

02

= =9.333y

9.33 280

30

2_4+6_8+10_10+14_5+18_3 30

03

3+6+10+7+4=30

=

=198=6.6 30

4.5_3+5.5_6+6.5_10+7.5_7+8.5_4 30

02

-1 7+3x+2x+6+x=25, 6x=12 x=2

= =71

2 71 1775

25

55_7+65_6+75_4+85_6+95_2 25

01

-1 =25

=0.2

25 0.2 5

25 3 0.12

03

-1

6+9+12+9+4=40

=

=1360=34 34

40

15_6+25_9+35_12+45_9+55_4 40

06

p

01

;2§0;=0.3, 20_0.35=7, 20_0.2=4

20 30

0.35 . 7+4=11

(0.15+0.3)_100=45 %

0.35 11 45 %

01

- 1 =40

A= =0.15, B=40_0.05=2 0.35+0.2=0.55

(0.25+0.15)_100=40 %

40 A=0.15, B=2, C=1 0.55 40 %

6 40 10 0.25

01

- 1 40_0.25=10( ) 40_(0.2+0.15)=14 (0.05+0.25)_100=30 %

0.2 45 kg 50 kg

10 14 30 %

00 ~ 10 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40

( ) ( ) 3 6 7 4 20

0.15 0.3 0.35

0.2 1

07

p

01

0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 3 4 5 6 7 (상대도수)

(만 원)

(어떤 계급의 상대도수)

=

(어떤 계급의 도수)

=(도수의 총합) _(그 계급의 상대도수)

(그 계급의 도수) (도수의 총합)

(백분율)

=(상대도수)_100(%) (도수의 총합)

= (그 계급의 도수) (어떤 계급의 상대도수)

p

01

=40

A=40_0.1=4, B= =0.15 0.25+0.3=0.55

(0.3+0.2)_100=50 %

A=4, B=0.15, C=1 0.55 50 %

6 40 10

0.25 상대도수의 총합은 항상 1

이다.

(도수의 총합)

=(전체 학생 수)

몸무게가 50kg 이상 55kg 미만인 계급의 상대도수

BOOK

0 2

=0.2

=0.25

2 1

2

0.2 0.25 2 8

8+24 9 9+36

0 3

0.2 20 25

= =22.5

10 15

0.16 1

=25

(0.16+0.08)_100=24 %

22.5 25 24 % 4

0.16

20+25 2

03

-1 =0.24 12

195 cm 200 cm

190 cm 195 cm

50_0.44=22

(0.24+0.06)_100=30 %

195 cm 200 cm 22 30 % 12

50

04

200_0.25=50 180_0.3=54

4 5

4

( )_( )

1

04

-1 B

B .

_ ,

1 .

1 1 B

90 95 95 100

1 : 1

02

-1

1 2

3 6 9 12

3 6 9 12

0 ~03 3 ~06 6 ~09 9 ~ 12

( ) 1 2

0.4 0.2 0.3 0.1 1

0.35 0.25 0.25 0.15 1

상대도수의 분포를 나 타낸 그래프에서 계급 의 크기가 같으면 그래 프와 가로축으로 둘러 싸인 부분의 넓이는 항 상 같다.

도수의 총합이 다른 두 집단을 비교하는 경우

상대도수를 이용한다.

3 5=0.12 A A=0.2 다른풀이

상대도수가 가장 큰 계급이 도수가 가장 큰 계급이다.

;3!0@;=0.4

;4!0);=0.25

p

01 02 03 0 4

⁷⁷

05

²

06 07 08 09 10

11 12 13 14

15

^{A 0.19 B 0.16 A}

16 17

⁵⁰

18 19 20

¹⁵

21

⁷

22

^0.3

23

¹²

24

^{20 37}

25

^B

01

=954=159(cm) 6

156+162+159+152+165+160 6

02

=184=9.2 % 20

7_5+9_10+11_3+13_2 20

03

^{40 B=40}

A=40-(4+6+10+6)=14 A+B=14+40=54 (도수분포표에서의 평균)

={(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 (평균)

=(변량의 총합) (변량의 개수)

11

^{1000 1025}

1-(0.05+0.2+0.3+0.2+0.1)=0.15

=4000 600 0.15

12

4000_0.2=800

13

(0.2+0.1)_100=30 %

14

₂₀₀^{70 =0.35}

15

^{(A )= =0.19}

(B )= =0.16

A

A 0.19 B 0.16 A

48 300

38 200

16

^{2a a}

4b 3b

: 3b=2 : 3 a 4b 2a

17

¹⁰

1-(0.06+0.18+0.22+0.24)=0.3

=50 50

15 0.3

18

^{=0.22 11 6}

8

= 6+8 =7 2 11

50

19

⁵

50_0.18=9 11 9+1=10

10

15 12

15-10=5

20

_채점

기준

평균 구하기

평균이 속한 계급의 계급값 구하기

4점 2점

0 4

=3080=77 77

40

55_4+65_6+75_14+85_10+95_6 40

0 5

⁼²⁰

=20

=20 20x=40 x=2

2 560+20x

30

30+165+225-25x+140+45x 30

5_6+15_11+25(9-x)+35_4+45x 6+11+(9-x)+4+x

0 7

= 544 =13.6 40

6_7+10_9+14_12+18_6+22_5+26_1 40

0 8

62_24+65_16⁼²⁵²⁸₄₀ ^=63.2 24+16

0 6

7+9+12+6+5+1=40

0 9

^{0 1}

10

=30

=0.4 12 30 9 0.3

(도수의 총합)

=

(어떤 계급의 상대도수)

= (그 계급의 도수) (도수의 총합) (그 계급의 도수) (어떤 계급의 상대도수) 오래 매달리기 시간의 평균 이 20초이다.

어떤 계급의 도수가 0이면 상대도수가 0이고, 어떤 계 급의 도수가 도수의 총합과 같으면 상대도수가 1이다.

상대도수의 총합은 항상 1 이다.

A편의점을 이용하는 사람 중 나이가 18세인 사람이 속한 계급은 15세 이상 19 세 미만이고, 이 계급의 도 수는 70명이다.

계급값이 11회인 계급의 도수가 계급값이 5회인 계 급의 도수보다 1명 더 많다.

(어떤 계급의 도수)

=(도수의 총합) _(그 계급의 상대도수)

(백분율)

=(상대도수)_100(%)

BOOK

= =15.8 … 4점

14 16

= =15 … 2점

15 14+16

2 632

40

13_6+15_14+17_18+19_2 40

21

_100=40 B=6 … 2점

A=20-(3+5+6+2)=4 … 1점

=:¡2¢0º:=7 ^{… 3점}

7 3_3+5_4+7_5+9_6+11_2

20 B+2

20 채점 기준

B의 값 구하기 A의 값 구하기 평균 구하기

2점 1점 3점

22

2+4+10+9+5=30 … 2점

40 50

9 … 2점

=0.3 … 2점

0.3 9

30 채점 기준

전체 학생 수 구하기

통학 시간이 40분 이상 50분 미만인 학생 수 구하기

상대도수 구하기

2점

2점

2점

23

45kg 50kg

1-(0.15+0.25+0.2+0.1)=0.3 … 3점 45kg 50kg

40_0.3=12 … 3점

12 채점

기준

몸무게가 45kg 이상 50kg 미만인 계급의 상대도수 구하기

몸무게가 45kg 이상 50kg 미만인 학생 수 구하기

3점

3점

25

A =0.16+0.02=0.18 … 2점 B =0.17+0.09=0.26 … 2점

B … 2점

B 채점

기준

A학교의 상대도수 구하기 B학교의 상대도수 구하기 비율이 더 높은 학교 구하기

2점 2점 2점

24

A =50_0.4=20 … 3점

B =100_0.37=37 … 3점

20 37 채점

기준

A학교의 학생 수 구하기 B학교의 학생 수 구하기

3점 3점

턱걸이 횟수가 8회 이상인 학생이 전체의 40%이다.

(인터넷 사용 시간이 30분 이상 40분 미만인 학생 수)

=(전체 학생 수)

-(나머지 계급의 도수의 합) 평균이 15.8점이므로 평균 이 속한 계급은 14점 이상 16점 미만이다.

30 40

30-(3+6+10+4)=7 30%

=:¶3•0º:=26 ^70%

26 5_3+15_6+25_10+35_7+45_4

30 1단계

예제

1

2단계

p

8 12

40-(2+7+10+5+3)=13 30%

1단계

8 12

유제

1

30 40

도수의 총합이 다른 두 집단을 비교하는 경우

상대도수를 이용한다.

(도수분포표에서의 평균)

={(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합

0.3

=40 50%

6 7

40_0.15=6 50%

6 12

0.3 1단계

2단계

0.04

=50 50%

8 10

50_0.26=13 50%

13 2

0.04 1단계

2단계 예제

4

8 10

유제

4

=50 50%

70 80

50_0.3=15 50%

15 6

0.12 1단계

2단계

70 80

유제

3

=40 50%

50kg 55 kg

=0.25 50%

0.25 10

40 4 0.1 1단계

예제

3

2단계

50kg 55kg 5 m‹

12+5+3=20 30%

=:¡2¢0™:=7.1 m‹ ^70%

7.1 m‹

6_12+8_5+10_3 20

=:¢4¶0™:=11.8 ^70%

11.8 2_2+6_7+10_13+14_10+18_5+22_3

40

1단계

5 m‹

예제

2

2단계

10

4+6+10=20 30%

=:¡2∞0™:=7.6 ^70%

7.6 5_4+7_6+9_10

20 1단계

2단계

10

유제

2

2단계

6 7

(도수의 총합)

=

(어떤 계급의 상대도수)

= (그 계급의 도수) (도수의 총합) (그 계급의 도수) (어떤 계급의 상대도수) (어떤 계급의 도수)

=(도수의 총합) _(그 계급의 상대도수)

상대도수가 가장 큰 계급의 도수

용돈이 6만 원 이상 7만 원 미만인 계급의 상대도수

상대도수가 가장 작은 계 급의 도수

봉사 활동 시간이 8시간 이상 10시간 미만인 계급 의 상대도수

BOOK

p

기본 도형

1

08

09

p

기본 도형

Ⅴ

01

Z Z _ _

01

- 1

01

^{PQ” PQ≥ QP≥ PQÍ}

01

- 1 MNÍ MN” MÚN≥ NÚM≥

02

^{= + =}

02

- 1

10

p

01

5 cm 4 cm 2 cm

01

- 1 12 cm 8 cm 9 cm

02

¹₂^{, , 1}₂ ⁴

02

- 1 2 3 1

3 1 2

02

5 6 9

02

- 1 5 , 8

0 1

a=8, b=12 b-a=12-8=4

p

01

- 1a=4, b=4, c=6

a+b+c=4+4+6=14 14

02

^AB”+AC”

BC≥+CB≥

02

- 1 , .

.

.

05

AC”=AB”+BC”=2MB”+2BN”=2MN”

=2_8=16 (cm)

05

- 1MC”=;2!; AC”=;2!;_12=6(cm)

CN”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm) MN”=MC”+CN”=6+5=11(cm)

11 cm

06

^{AC”= AD”= _18=12(cm)}

AB”= AC”=1_12=4(cm) 3

1 3

2 3 2 3

06

^{- 1AC”= AB”= _30=10(cm)}

BC”=AB”-AC”=30-10=20(cm)

CD”= BC”=1_20=5(cm) 5 cm 4

1 4

1 3 1 3

03

ABÍ ACÍ BC Í 3

AB≥ BA≥ AC≥ CA≥ BC≥ CB≥ 6

3 6

= _2

=3_2=6

03

- 1 ABÍ ACÍ ADÍ AEÍ BCÍ BDÍ BEÍ CDÍ CEÍ DEÍ 10

= _2

=10_2=20

= =10

10 20 10

04

AB”=2AM”=2_2AN”=4AN”

NM”=;2!;AM”=;2!;_;2!;AB”=;4!;AB”

NB”=NM”+MB”=;2!;MB”+MB”=;2#;MB”

MB”=;3@;NB”

04

- 1 PN”=;2#;NB”

다른풀이

입체도형에서 (교점의 개수)

=(꼭짓점의 개수) (교선의 개수)

=(모서리의 개수) 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 n개의 점 중 두 점을 지나는 직선, 선분의 개수

개 반직선의 개수

(직선의 개수)_2 n(n-1)

2

점 M이 AB”의 중점 AM”=BM”=;2!;AB”

XY≥와 YX≥는 시작점과 방 향이 모두 다르므로 서로 다른 반직선이다.

PM”=;2!;AM”=;2!;NB”이고 MN”=NB”이므로 PN”=PM”+MN”

=;2!;NB”+NB”

=;2#;NB”

AC”=2CD”이므로 AD”=AC”+CD”

=AC”+;2!;AC””

=;2#;AC”

∴ AC”=;3@;AD””

11

p

01

∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE AOC, COE

AOD, BOD, BOE AOE

01

- 1 AOB, BOC

01

- 2 30°, 45°, 60° 120°

90° 180°

12

p

01

a a

13

p

01

3 cm, 1 cm, 2 cm B B

A' C' B' l A

C {2}

01

- 1 DOE FOA COE

01

- 1 P l P

l C PC”

C PC”

01

- 2 AB” A 5 cm

02

y=180°-65°=115°

x=180°-(40°+90°)=50°

x=65°, y=115°

x=50°, y=40°

02

- 1 x=180°-50°=130°

x=180°-(90°+60°)=30°

y=90°+60°=150°

x=130°, y=50°

x=30°, y=150°

01

70°+ x=90°, x+ y=90°

x=20°, y=70°

2 x+ y=2_20°+70°=110°

p 0°<(예각)<90°

90°<(둔각)<180°

(직각)=90°

(평각)=180°

맞꼭지각의 크기는 서 로 같고, 평각의 크기는 180°이다.

n개의 직선이 한 점에 서 만날 때 생기는 맞 꼭지각의 쌍의 개수

n(n-1)쌍

세 점 A, B, C와 직선 l사이의 거리

세 점 A, B, C에서 직선 l에 내린 수선 의 발까지의 거리 180°를 1：3：5로 비례배 분할 때 5에 해당하는 값

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

01

-140°+ x+(3 x+20°)=180°

4 x=120° x=30°

02

3 COD+3 DOE=180°

COD+ DOE=60°

COE= COD+ DOE=60°

03

x+30°=2 x-10°

x=40°

03

-1 x=45°+ y

x- y=45° 45°

04

2 x+3 x+ x=180°

6 x=180° x=30°

04

-1( x+20°)+90°+(3 x-10°)=180°

4 x=80° x=20° 20°

05

AOC BOD AOD BOC 2

2_(2-1)=2

05

-14_(4-1)=12

06

B CD BH

06

-1 D BC” DH” , 15 cm

.

02

-1 z=180°_ =180°_;9%;=100°

100°

5 1+3+5

다른풀이 직각의 크기는 90°이다.

평각의 크기는 180°이다.

BOOK

입체도형에서 (교점의 개수)

=(꼭짓점의 개수) (교선의 개수)

=(모서리의 개수) p

01 02 03 04 05

06

¹⁸

07 0 8 09 10

^{4 cm}

11 12 13

^90°

14

^10°

15

16 17 18

^,

19

20

²⁶

21

^{6 cm 9 cm}

22

^100°

23

^135°

24

^95°

25

^{;1^3); cm}

01

^{a=6 b=10}

a+b=6+10=16

02

03

^BA≥+CA≥

04

l A B

B D

D C C B

05

ABÍ, ACÍ, ADÍ, BCÍ, BDÍ, CDÍ 6

09

^AM”=BM”

x+3=2x-1 x=4 AB”=2AM”=2_(4+3)=14

10

AC”=CB”=;2!;AB”=;2!;_24=12(cm) 2AB”=3AD”

2_24=3AD” AD”=16(cm) CD”=AD”-AC”=16-12=4(cm)

4 cm

11

2 x+( x+40°)+(5 x-20°)=180°

8 x=160° x=20°

12

AOB+ BOC=90°

BOC+ COD=90°

AOB= COD AOB+ COD=52°

AOB+ AOB=52°, 2 AOB=52°

AOB= _52°=26°

BOC=90°- AOB=90°-26°=64°

1 2

13

2 COD+2 DOE=180°

COD+ DOE=90°

COE= COD+ DOE=90° 90°

14

3 x+10°=2 x+20°

x=10° 10°

15

^x=180°_₃₊₁₊₂^{3 =90°}

16

x=180°-(36°+48°)=96°

y=36°

x- y=96°-36°=60°

17

^5_(5-1)=20

06

^{D, E A, B, C}

AB≥, A’D≥, AE≥, BA≥, BC≥≤, BD≥, BE≥, CA≥, CD≥, CE≥, D’A≥, DB≥, DC≥, DE≥, EA≥, EB≥,

EC≥, ED≥ 18 18

07

AB”=;3@; AC”

;2!; AM”=;2!;_;3!; AC”=;6!; AC”

08

^{M, N AB”, BC”}

MB”=;2!;AB”, BN”=;2!;BC”

MN”=MB”+BN”

MN=;2!;(AB”+BC”)=;2!;AC”

MN=;2!;_30=15(cm)

18

^{AC” BD”}

A BC” B .

19

^{A BC” 8 cm}

a=8

C AB” 4.8 cm

b=4.8

a-b=8-4.8=3.2 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

180°를 3：1：2로 비례배분 할 때 3에 해당하는 값

AC”의 길이

CH”의 길이 점 M이 AB”의 중점이므로 AM”=BM”

평각의 크기는 180°이다.

두 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 모두 같아야 한다.

두 점 P, Q는 AB”를 삼등 분하는 점이므로

AP”=PQ”=QB”

시침은 60분에 30° 움직이 므로 1분에 0.5°씩 움직이 고, 분침은 60분에 360°

움직이므로 1분에 6°씩 움 직인다.

AOÍ⊥OB≥이므로

∠AOB=90°

;2!;_AB”_CD”

=;2!;_BC”_AC”

∠x+3∠x+3∠y+∠y

=180°

4∠x+4∠y=180°

∴ ∠x+∠y=;4!;_180°

=45°

20

ABÍ ADÍ AEÍ AFÍ BDÍ BEÍ BFÍ CDÍ, CFÍ, DFÍ EFÍ 11 m=11… 2점

AB”, AC”, AD”, AE”, AF”, BC”, BD”, BE”, BF”, CD”, CE”, CF”, DE”, DF”, EF” 15

n=15 … 2점

m+n=11+15=26 … 2점

26 채점

기준

m의 값 구하기 n의 값 구하기 m+n의 값 구하기

2점 2점 2점

21

M’N”=M’P”+PQ”+QN”

= PQ”+PQ”+ PQ”=2PQ”

PQ””= MN”= _12=6(cm) … 3점 PN”=PQ”+QN”=PQ”+ PQ”

= PQ”= _6=9(cm) … 3점 6 cm 9 cm 3

2 3 2

1 2 1 2 1

2

1 2 1

2 채점 기준

PQ”의 길이 구하기 PN”의 길이 구하기

3점 3점

22

x=180°-(50°+ AOB)

=180°-(50°+90°)=40° … 2점 y= AOC=90°+50°=140° … 2점 y- x=140°-40°=100° … 2점 100°

채점 기준

∠x의 크기 구하기

∠y의 크기 구하기

∠y-∠x의 크기 구하기

2점 2점 2점

23

AOB= x

BOC=3 AOB=3 x … 1점

DOE= y

COD=3 DOE=3 y … 1점

FOG= BOD

= BOC+ COD

=3 x+3 y=3( x+ y)… 2점

=3_45°=135° … 2점

135°

채점 기준

∠BOC를 ∠AOB로 나타내기

∠COD를 ∠DOE로 나타내기

∠FOG를 ∠AOB, ∠DOE로 나타내기

∠FOG의 크기 구하기

1점 1점 2점 2점

25

C AB

a cm ABC

;2!;_13_a=;2!;_5_12

… 3점 a=;1^3);

;1^3); cm ^{… 3점}

;1^3); cm 채점

기준

구하는 거리를 미지수로 놓고 식 세우기 점 C와 변 AB 사이의 거리 구하기

3점 3점

A

B C

D a`cm 13`cm 12`cm

5`cm

24

1 0.5° 1 6°

12 5 10

30°_5+0.5°_10=155° … 2점

12 5 10

6°_10=60° … 2점

155°-60°=95° … 2점

95°

채점 기준

시침이 움직인 각의 크기 구하기 분침이 움직인 각의 크기 구하기 각의 크기 구하기

2점 2점 2점

∠y와 ∠AOC는 맞꼭지각 이다.

p

a b a+b 예제

1

ABÍ, ACÍ, ADÍ, BCÍ, BDÍ, CDÍ 6

a=6 40%

= _2

=6_2=12

b=12 40%

a+b=6+12=18 20%

18 1단계

2단계

3단계 어느 세 점도 한 직선

위에 있지 않은 n개의 점 중 두 점을 지나는 직선, 선분의 개수

개 반직선의 개수

(직선의 개수)_2 n(n-1)

2

BOOK

M AB”

AM”= AB”= _8=4(cm) 30%

MC”=AC”-AM”=24-4=20(cm) N MC”

MN”= MC”= _20=10(cm) 50%

BN”=MN”-MB”

=10-4=6(cm) 20%

6 cm 1

2 1

2

1 2 1

2 1단계

AM”

MN”

BN”

예제

2

3단계 2단계

BOC= EOF=4 x-5°

3 x+(4 x-5°)+(5 x+5°)=180°50%

12 x=180° x=15° 30%

BOC=4 x-5°=4_15°-5°=55° 20%

55°

1단계 x BOC

예제

4

3단계 2단계 ABÍ, ACÍ, ADÍ, AEÍ, BCÍ, BDÍ, BEÍ,

CDÍ, CEÍ, DEÍ 10 a=10 40%

= _2

=10_2=20

b=20 40%

b-a=20-10=10 20%

10 1단계

2단계

3단계 a b b-a

유제

1

M BC”

MC”= BC”= _16=8(cm) 30%

AM”=AC”-MC”=36-8=28(cm) N AM”

NM”= AM”= _28=14(cm) 50%

NB”=NM”-BM”

=14-8=6(cm) 20%

6 cm 1

2 1

2 1 2 1 2 1단계

2단계

3단계 MC”

NM”

NB”

유제

2

COD= AOF=2 x+10°

90°+(2 x+10°)+(3 x-20°)=180°50%

5 x=100° x=20° 30%

COD=2 x+10°=2_20°+10°=50°20%

50°

1단계

2단계 3단계 x COD

유제

4

AOB=180°

2 COD+2 DOE+30°=180° 50%

2 COD+2 DOE=150°

COD+ DOE=75°

COE= COD+ DOE=75° 50%

75°

1단계 COE

예제

3

2단계

AOB=180°

60°+2 DOE+2 EOF=180° 50%

2 DOE+2 EOF=120°

DOE+ EOF=60°

DOF= DOE+ EOF=60° 50%

60°

1단계

2단계 DOF

유제

3

평각의 크기는 180°이다.

∠AOC=∠COD,

∠DOE=∠EOF이므로

∠AOD+∠DOF+30°

=180°에서

2∠COD+2∠DOE+30°

=180°

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

평각의 크기는 180°이다.

선분의 중점

선분을 이등분하는 점

p

위치 관계

2

1 4

공간에서 두 직선의 위 치 관계

① 한 점에서 만난다.

② 일치한다.

③ 평행하다.

④ 꼬인 위치에 있다.

두 평면의 위치 관계

① 한 직선에서 만난다.

② 일치한다.

③ 평행하다.

평면에서 두 직선의 위 치 관계

① 한 점에서 만난다.

② 일치한다.

③ 평행하다.

꼬인 위치

공간에서 두 직선이 만나지도 않고 평행 하지도 않다.

01

^{C, E}

A, B, D

01

-1 B, C, D A, E

02

^{AD, BC}

DC

02

-1 AB, DC AB, AD AB

15

p

16

p

17

p

02

AB

OC” OD”

OC”, OD”

01

AB”, AE”, DC”, DH”

BC”, EH”, FG”

BF”, CG”, EF”, HG”

01

-1 .

. .

02

-1 BC”

01

^{ABFE, DCGH}

ABCD, ABFE ABFE, EFGH ABCD, EFGH

01

-1 AE”, BF””, CG””, DH”

EF”, FG””, GH””, HE”

AB”, BC””, CD””, DA”

AE”, BF””, CG””, DH”

01

-2 ABCD, EFGH EF”, FG””, GH””, HE””

직선과 평면의 위치 관계

① 한 점에서 만난다.

② 포함된다.

③ 평행하다.

01

ABFE, BFGC, CGHD, AEHD

EFGH

ABCD, ABFE, EFGH, CGHD

D’H”

01

-1 ABED, BEFC, ADFC DEF

ABED, BEFC, ADFC AC”

02

^{P Q, P R}

Q R .

P Q, Q R

P R .

Z Y Y

02

-1P Q, P R Q R

R

P Q

P R

Q

P R

Q

p

01

01

-1 BCÍ,

CDÍ, EFÍ, FAÍ 4 EDÍ 4

AB 5-1=4 다른풀이

02

BC

FE” HI” LK” 3 x=3 DJ

CD” DE” IJ” JK” 4 y=4

y-x=4-3=1 1

정육각형에서 마주 보는 두 변은 서로 평행하다.

ABÍ ∥EDÍ

A B

C

F

E D

BOOK

1 9

p

1 8

p

두 직선이 평행하면

① 동위각의 크기는 서 로 같다.

② 엇각의 크기는 서로 같다.

동위각

서로 같은 위치에 있 는 두 각

엇각

서로 엇갈린 위치에 있는 두 각

동위각 또는 엇각의 크 기가 같으면

두 직선은 평행하다.

점 A와 평면 P 사이의 거리

평면 P 위에 있지 않은 점 A에서 평 면 P에 내린 수선의 발까지의 거리

p 점 A에서 면 EFGH에 내

린 수선의 발 E까지의 거 리, 즉 AE”의 길이를 점 A 와 면 EFGH 사이의 거리 라고 한다.

동측내각의 크기의 합이 180°이면 두 직선은 평행 하다.

02

-1 FG” BF”, EF”,

CG”, HG” 4 .

EH” AD”, BC”, FG” 3

.

EF” AE”, BF”,

EH”, FG” 4 .

03

-1BC”

AD”, AE”, DH”, E’I’, F’I’, GH” 6 . 6

03

AC”

BF”, DH”, EF”, FG”, GH”, HE”

04

BF ABCD,

EFGH 2

CGHD AD”, BC”,

EH”, FG” 4

BFHD AE”, CG”

2

04

-1 AB

DJKE GHIJKL 2 a=2

BHIC

D’J’, EK”, FL”, AG”, FE”, LK” 6 b=6

a+b=2+6=8 8

05

-1 A EFGH AE”

DH” x=5

C ABFE BC”

FG” y=4

xy=5_4=20 20

05

A DEF AD”

9 cm

D BEFC DE”

AB” 8 cm

9 cm 8 cm

06

01

-1 f d h c

01

e h e d

02

^a =180°-110°=70°

70° 110°

02

-1 a = d=180°-125°=55°

b = f=180°-125°=55°

d = b=180°-95°=85°

e = c=95°

55° 55° 85° 95°

02

l m

l m

02

-1 l, m

l, m

180°

l, m

01

a=180°-125°=55°

b= a=55°

55° 55° 125° 55°

01

-1 y= x=100°

y=180°-30°=150°

x=100°, y=100°

x=30°, y=150°

01

x=180°-120°=60°

y=90°

y- x

=90°-60°=30°

⑤ l

120æ y

m x 120æ

06

-1 AEGC ABCD EFGH

2 2

01

-1(3 x+5°)+(6 x-5°)=180°

x=20°

y=3 x+5°=3_20°+5°=65° 65°

y와 3 x+5°는 동위각 이다.

두 직선이 평행할 조건

① 동위각의 크기가 같 을 때

② 엇각의 크기가 같을 때

③ 동측내각의 크기의 합 이 180°일 때

한 평면 위에 있는 서 로 다른 세 직선 l, m, n에 대하여

① l m, m n이면 l n

② l⊥m, m⊥n이면 l n

③ l m, m⊥n이면 l⊥n

02

-1 a=55°

b=180°-55°=125°

c= b=125°

a=55°, b=125°, c=125°

03

y+95°+ x=180°

x+ y=85°

02

x=180°-130°

=50°

03

-1 55°+(2 x+15°) +( x+20°)=180°

x=30°

30°

l

p

q m

130æ x 130æ x

l

p q

m

c a b

55æ

95æ x y l

m 95æ

l

m 55æ

x+20æ 2x+15æ

x+20æ

04

l m

x=60°+40°=100°

04

-1 l, m

x=95°+30°=125°

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

정사각형의 네 내각의 크기 는 모두 90°이다.

m

l 60æ

60æ

40æ 40æ

l 20æ 20æ

85æ

95æ 85æ 30æ m 30æ

05

AD” BC”

DEF

= BFE D'EF

= DEF

2 x+20°=180° x=80° 80°

20æ x x x A

B

D

C D'

C' F E

꺾인 부분이 두 군데이므로 보조선 2개를 긋는다.

종이를 접었을 때, 접힌 부분 의 각의 크기는 서로 같다.

05

-1 y=90°-(32°+32°)

=26°

x=180°-(58°+58°)

=64°

x- y=64°-26°

=38° 38°

06

l m

x y

32æ

58æ 58æ

32æ

p

01 02 03 04

05 06 07 08 09

10

^{ABC, DEF, ADFC}

11 12

^{x=80°, y=100°}

13 14

15 16 17

^180°

18

19

^60°

20

¹

21

AH”, BC”, CD”, GH”

22

^175°

23

^25°

24

^225°

25

^60°

01

^{B l}

m C

AB l

A D

02

^{AB” CD”}

AD” BC”

03

^{l m, m n l n}

04

05

^{ABC ABD ACD BCD 4}

06

^BC”

AD” EH” FG” 3 x=3 DH”

AB”, BC”, EF”, FG” 4 y=4 x+y=3+4=7

평행선 사이의 선분이 꺾어진 경우

평행한 보조선을 긋 는다.

06

^-1

l m

180° l m

BOOK 07

^ABGF

CH” DI” EJ” 3 a=3

CH” ABCDE, FGHIJ 2

b=2

2a-b=2_3-2=4

08

^{B CGHD BC”}

FG” .

09

^{BFGC AE .}

10

^{ABC, DEF, ADFC}

11

12

x=180°-100°=80°, y=100°

x=80°, y=100°

입체도형을 보이는 모서리 는 실선, 보이지 않는 모서 리는 점선으로 그린 그림

13

x=180°-100°=80°

y+45°+100°=180°

y=35°

x+ y=80°+35°

=115°

45æ100æ

m 135æ

100æ x y l

두 직선이 평행하면

① 동위각의 크기는 서 로 같다.

② 엇각의 크기는 서로 같다.

두 평면 P, Q가 한 직 선에서 만나고, 평면 P 가 평면 Q에 수직인 직 선 l을 포함할 때, 두 평 면 P, Q는 수직이라고 한다.

14

l m

( x+10°)+50°=3 x 2 x=60° x=30°

l

m

x+10æ x+10æ

130æ 50æ 50æ

15

^C

l, m

DAC= a EBC= b

ACB 2 a+2 b=180°

ACB= a+ b=90°

l

m a bb b

aaA C

B D

E

16

^l,

m

x=45°+50°=95°

45æ45æ 50æ 30æ

50æ 30æ l

m

17

l, m

a+ b+ c+ d

=180°

180°

l

m a b

c d d

b+c+d c+d

18

^180°

l, m

l, m

19

l m

x=180°-120°

=60°

60°

120æ

x l x

m

21

… 2점 EF

AH” BC” CD” GH” … 4점

AH”, BC”, CD”, GH”

채점 기준

겨냥도 그리기

EF”와 꼬인 위치에 있는 모서리 구하기 2점 4점

A

B E

F

H

C D

G

20

ABE

DCF 1 a=1 … 2점

AEFD

BE”, CF” 2 b=2 … 2점

b-a=2-1=1 … 2점

1 채점

기준

a의 값 구하기 b의 값 구하기 b-a의 값 구하기

2점 2점 2점

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

꺾인 부분이 두 군데이므로 보조선 2개를 긋는다.

p

평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때, 동 측내각의 크기의 합은 180°이다.

l∥m이면

∠a+∠b=180°

l

m b

a

23

BFC

5 x+( x+6°)

=90°

6 x=84°

x=14° … 2점

B l, m

… 2점 AEB= HBE

HBC= FCB DBC=45°

HBE+20°=45° HBE=25°

AEB= HBE=25° … 2점

25°

BAE=180°-5 x=180°-5_14°=110°

ABE

AEB+ ABE+ BAE=180°

AEB+45°+110°=180°

AEB=25°

채점 기준

∠x의 크기 구하기 평행한 보조선 긋기

∠AEB의 크기 구하기

2점 2점 2점

l

m

x+6æ x+6æ 5x

45æ 5x

B D

F

C H

A E

다른풀이

24

l, m

… 2점 ( x-25°)

+( y-20°)=180°

… 2점

x+ y=225° … 2점

225°

채점 기준

평행한 보조선 긋기 식 세우기

∠x+∠y의 크기 구하기

2점 2점 2점

25

AD” BC”

FGE

= DEG

… 1점

DEG= FEG … 1점

FEG= FGE … 1점

EFB= DEF

EFB= DEF=30°+30°=60° … 3점 60°

l

x-25æ y-20æ 25æ 25æ

20æ20æ m

30æ x A

B F

E

G C D 30æ

30æ 채점

기준

∠FEG=∠FGE임을 설명하기

∠EFB의 크기 구하기

3점 3점

HBC= x+6°

=14°+6°

=20°

BFC=5 x(엇각)

삼각형 DBC에서 BC”=DC”,

BCD=90°

∴ DBC=;2!;_90°

=45°

AB

DE”, GF” 30%

BF

AC”, AD”, CG”, DE”, DG” 50%

AB BF

DE” 20%

DE”

1단계

2단계

3단계 AB BF

AB BF

예제

1

AC

AE”, CG” 30%

CF

AD”, AE”, DH”, EH”, HG” 50%

AC

CF AE”

20%

AE”

1단계

2단계 AC CF

AC CF

유제

1

3단계

22

b = e=180°-60°=120° … 2점 d = c=180°-125°=55° … 2점

120°+55°=175° … 2점

175°

채점 기준

∠b의 동위각의 크기 구하기

∠d의 엇각의 크기 구하기 합 구하기

2점 2점 2점

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

종이의 폭이 일정하므로 AD” ∥BC”

BOOK

BGHC AF”, DI”, EJ” 3

a=3 40%

ABCDE

ABGF AFJE BGHC CHID DIJE 5

b=5 40%

a+b=3+5=8 20%

8 1단계

2단계

3단계 a b a+b 예제

2

8 x+4 x=180°, 12 x=180°

x=15° 50%

y=4 x=4_15°=60° 50%

60°

1단계 x y

예제

3

2단계

2 x+7 x=180°, 9 x=180°

x=20° 50%

y=2 x=2_20°=40° 50%

40°

1단계

2단계 x y

유제

3

BC

FLKE, GHIJKL 2

a=2 40%

CIJD

ABCDEF GHIJKL 2

b=2 40%

a-b=2-2=0 20%

0 1단계

2단계

3단계 a b a-b 유제

2

B l,

m

30%

ABC=18°+48°=66° 30%

ABC= ABD+ CBD

=2 CBD+ CBD

=3 CBD

CBD=;3!; ABC=;3!;_66°=22° ^40%

22°

1단계

2단계 3단계

ABC CBD 예제

4

B l,

m

30%

ABC=22°+50°=72° 30%

ABC= ABD+ DBC

=3 DBC+ DBC

=4 DBC

DBC=;4!; ABC=;4!;_72°=18° ^40%

18°

1단계

2단계 3단계

ABC DBC 유제

4

m

l A

B 18æ

48æ 48æ

C D

m

l A

B 22æ 22æ

50æ 50æ

C D

두 직선이 평행하면 동측내 각의 크기의 합은 180°이다.

두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

두 직선이 평행하면 동위각 의 크기는 서로 같다.

두 평면 P, Q가 한 직 선에서 만나고, 평면 P 가 평면 Q에 수직인 직 선 l을 포함할 때, 두 평 면 P, Q는 수직이라고 한다.

평행선 사이의 선분이 꺾어진 경우

평행한 보조선을 긋 는다.

p

작도와 합동

3

20

22

p

02

^AB”

02

- 1 AB”,

01 01

-1

Z Y Z

21

p

01

01

-1 OD”, AP”, AQ” PAQ

‘동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.’는 성 질을 이용하여 평행선을 작 도한 것이다.

02

02

-1 QB”, PC”, PD” CPD

p

01

01

-1

02

OY” PQ”

02

-1OA”=OB”=O'C””=O'D” O'C”

3

3

03

-1 BCA BAC

03

01

^{BC”, C AC”, A AB”, B}

01

-1 A BC” BC” 10 cm

AB” C C 30°

10 cm 30°

02

^8>3+4

5<2+5

Y Z

02

-1 10<6+8 21=6+15 20>7+11 20<9+13

Z Y Y Z

23

p

01

^A

Z Z Y Z

01

-1 A

Z Y Z Y

01

-2 9=4+5

C=180°-(50°+65°)=65°

,

p

0 1

x cm

⁄ x cm

x<2+6 x<8

¤ 6 cm

6<2+x x>4

⁄ ¤ 4<x<8 세 변의 길이가 주어졌

을 때 삼각형이 될 수 있는 조건

(가장 긴 변의 길이)

<(나머지 두 변의 길이의 합)

삼각형이 정해질 조건

① 세 변의 길이가 주 어질 때

② 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어질 때

③ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때 작도

눈금 없는 자와 컴퍼 스만을 사용하여 도 형을 그리는 것

‘엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.’는 성질 을 이용하였다.

‘동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.’는 성 질을 이용하였다.

BOOK

01

-1⁄ x

x<3+7 x<10

¤ 7

7<3+x x>4

⁄ ¤ 4<x<10

x 5, 6, 7,

8, 9 5 5

02

-1

02

BX≥ BY≥

03

B

16>8+7

B+ C=80°+120°>180°

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다.

03

-1 A

24

p

25

p

01

^{F HE” G}

01

-1 ™

02

AB”=DE”=6 cm

F= C=180°-(60°+40°)=80°

6 cm 80°

02

-1 Z Z Z Y

합동인 두 도형에서 대 응변의 길이와 대응각 의 크기는 각각 서로 같다.

삼각형의 합동 조건

① 세 쌍의 대응변의 길 이가 각각 같을 때 (SSS 합동)

② 두 쌍의 대응변의 길 이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같 을 때(SAS 합동)

③ 한 쌍의 대응변의 길 이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같 을 때(ASA 합동)

두 도형이 합동임을 기 호 ™를 사용하여 나타 낼 때에는 대응하는 꼭 짓점을 같은 순서로 쓴 다.

01

^{ABC HIG}

AB”=HI” BC”=IG” B= I ABC™ HIG(SAS ) DEF KJL

EF”=JL” E= J F= L DEF™ KJL ASA

ABC™ HIG(SAS ) DEF™ KJL(ASA )

01

-1 ABC DFE

AB”=DF” BC”=FE” AC”=DE”

ABC™ DFE(SSS )

DFE, SSS

01

-2

SSS

SAS

ASA

SSS , SAS , ASA

p

180°-(60°+40°)=80°

01 01

-1

02

-1EF”=BC”=8 cm

F= C=180°-(55°+80°)=45°

EF”=8 cm, F=45°

02

E= A=110°

03

-1 ABC DFE AB”=DF”=8 cm

A= D=60° B= F=80°

ABC™ DFE(ASA )

ABC™ DFE(ASA )

03

4 cm

70° 65° ABC ASA

180°-(70°+45°)=65°

04

-1 ABC DCB AB”=DC” AC”=DB” BC”

ABC™ DCB(SSS )

DCB SSS

05

AC”=DF”

04

AC”, CD”, AD”, SSS

0°보다 크고 90°보다 작은 각

삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180°임을 이용하여 삼각형의 두 각의 크기를 알면 나머지 한 각의 크기 도 알 수 있다.

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

세 변의 길이가 주어졌 을 때 삼각형이 될 수 있는 조건

(가장 긴 변의 길이)

<(나머지 두 변의 길이의 합)

05

-1 ACE DCB AC”=DC” CE”=CB”,

ACE= DCB=180°-60°=120°

ACE™ DCB(SAS )

06

-1 AOB DOC

AB”=DC”=8 cm A= D=40°

AOB= DOC B= C

AOB™ DOC ASA

AOB™ DOC(ASA )

06

BOP

p

01 02

PQ”, PQ”, RS”

03 04 05 0 6 07 08 0 9 10 11

12

^{AB” BC” CA”}

13

14 15 16

^{ADC SSS}

17 18 19

^{FCE, ASA}

20

15 cm, 19 cm, 20 cm

21

³

22

⁴⁷

23

^{ASA 90°}

24

^{ADF BED CFE(SAS )}

60°

25

^{8 km ASA}

0 1

0 2

PQ”, PQ”, RS”

0 3

0 4

^{PD” AB”}

0 5

^{AC” B , B .}

06

¹⁰⁼⁷⁺³

09

^A

.

10

11

^B

14

^SSS

ASA SAS

A D

ASA

12

^C

AB” BC” CA” ABC

.

AB” BC” CA”

13

^GH”

C= G D= H=110°

A=360°-(65°+80°+110°)=105°

G= C=80°

07

08

^.

15=8+7 .

C

.

B+ C=100°+80°=180°

.

합동인 두 도형에서 대 응변의 길이와 대응각 의 크기는 각각 서로 같 다.

정삼각형의 한 내각의 크기 는 60°이다.