정답과 풀이

(1)

정답과 풀이

실전모의고사

수학영역 가형

(2)

한눈에 보는 정답

실전모의고사 1 ^회

| 본문 3~12쪽 |

01 ^④ 02 ^④ 03 ^③ 04 ^④ 05 ^④ 06 ^② 07 ^② 08 ^③ 09 ^⑤ 10 ^①

11 ^③ 12 ^② 13 ^① 14 ^③ 15 ^⑤ 16 ^④ 17 ^② 18 ^② 19 ^① 20 ^②

21 ^① 22

⁸⁴

23

⁷

24

³⁰

25

¹⁴¹

26

²⁸

27

¹⁸

28

¹³

29

²⁴

30

⁶⁵

실전모의고사 2 ^회

| 본문 13~22쪽 |

01 ^② 02 ^① 03 ^③ 04 ^④ 05 ^③ 06 ^④ 07 ^① 08 ^④ 09 ^③ 10 ^③

11 ^③ 12 ^② 13 ^② 14 ^④ 15 ^② 16 ^① 17 ^③ 18 ^② 19 ^① 20 ^②

21 ^② 22

²¹⁰

23

⁶⁰

24

¹⁵

25

²²

26

⁷

27

⁹⁵

28

¹³⁷

29

³

30

²³

실전모의고사 3 ^회

| 본문 23~32쪽 |

01 ^③ 02 ^④ 03 ^② 04 ^③ 05 ^② 06 ^① 07 ^① 08 ^⑤ 09 ^② 10 ^②

11 ^② 12 ^③ 13 ^⑤ 14 ^④ 15 ^③ 16 ^④ 17 ^⑤ 18 ^② 19 ^④ 20 ^③

21 ^① 22

15

23

2

24

8

25

20

26

611

27

24

28

50

29

4

30

12

실전모의고사 4 ^회

| 본문 33~42쪽 |

01 ^② 02 ^④ 03 ^② 04 ^⑤ 05 ^② 06 ^④ 07 ^⑤ 08 ^③ 09 ^① 10 ^④

11 ^④ 12 ^① 13 ^② 14 ^② 15 ^⑤ 16 ^① 17 ^④ 18 ^③ 19 ^① 20 ^③

21 ^⑤ 22

6

23

13

24

55

25

128

26

45

27

405

28

19

29

72

30

10

실전모의고사 5 ^회

| 본문 43~52쪽 |

01 ^② 02 ^③ 03 ^① 04 ^③ 05 ^⑤ 06 ^② 07 ^④ 08 ^⑤ 09 ^② 10 ^③

11 ^② 12 ^③ 13 ^③ 14 ^① 15 ^② 16 ^① 17 ^④ 18 ^④ 19 ^⑤ 20 ^②

21 ^⑤ 22

14

23

70

24

9

25

60

26

7

27

12

28

5

29

30

10

실전모의고사 6 ^회

| 본문 53~62쪽 |

01 ^③ 02 ^② 03 ^③ 04 ^② 05 ^① 06 ^② 07 ^② 08 ^③ 09 ^⑤ 10 ^①

11 ^② 12 ^⑤ 13 ^④ 14 ^④ 15 ^① 16 ^② 17 ^① 18 ^③ 19 ^③ 20 ^③

21 ^⑤ 22

25

23

41

24

9

25

15

26

36

27

17

28

4

29

180

30

15

실전모의고사 7 ^회

| 본문 63~72쪽 |

01 ^⑤ 02 ^② 03 ^② 04 ^② 05 ^① 06 ^③ 07 ^② 08 ^⑤ 09 ^① 10 ^⑤

11 ^④ 12 ^② 13 ^④ 14 ^③ 15 ^① 16 ^⑤ 17 ^③ 18 ^② 19 ^② 20 ^③

21 ^① 22

210

23

5

24

240

25

5

26

42

27

12

28

14

29

44

30

64

(3)

실전모의고사 1 ^회

01 ^④ 02 ^④ 03 ^③ 04 ^④ 05 ^④ 06 ^② 07 ^② 08 ^③ 09 ^⑤ 10 ^①

11 ^③ 12 ^② 13 ^① 14 ^③ 15 ^⑤

16 ^④ 17 ^② 18 ^② 19 ^① 20 ^②

21 ^① 22

⁸⁴

23

⁷

24

³⁰

25

¹⁴¹

26

²⁸

27

¹⁸

28

¹³

29

²⁴

30

⁶⁵

| 본문 3~12쪽 |

01

limx Ú 0 ln(1+4x)2x =2_lim

x Ú 0 ln(1+4x)4x

=2_lim

x Ú 0 ln(1+4x)^;4Á[;

=2_1=2

 ④

02

f(x)=e^4x에서

f'(x)=4e^4x, f"(x)=16e^4x 따라서f "(1)

f '(1)= 16eÝ`

4eÝ` =4

 ④

03

tan{ p4 +h}= tan ;4Ò;+tan h 1-tan ;4Ò;_tan h

= 1+;2!;

1-1_;2!;

=3

 ③

04

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서

;3@;=;3!;+;5#;-P(A;B) P(A;B)=;1¢5;

따라서

P(A|B)= P(A;B)P(B) =

;1¢5;

;5#; =;9$;

 ④

05

3개국대표가앉을자리를정하는경우의수는 (3-1)!=2

각나라대표끼리자리를정하는경우의수는 3!_3!_3!=216

따라서구하는경우의수는 2_216=432

 ④

06

점A에서x축,y축,z축에내린수선의발을각각P,Q,R라하면 P(a,0,0),Q(0,a,0),R(0,0,a)이고

APÓ=AQÓ=ARÓ=1

APÓ=¿¹aÛ`+aÛ`=1에서a= 1'2

즉,A{ 1'2, 1 '2, 1

'2 }이다.

따라서

OAÓ=¾Ð{ 1'2 }Û`+{ 1'2 }Û`+{ 1'2 }Û`= '62

 ②

07

직선l의방향벡터를u²,xy평면의법선벡터를h²라하면 u²=(2,1,2),h²=(0,0,1)이므로

cos`{ p2 -a}=sin`a=|uø`´`hø|

|uø||hø|

= |2|3_1 =;3@;

또한직선l과수직인평면의법선벡터는u²이고,y축의방향벡터를v²라하면

v²=(0,1,0)이므로

cos`{ p2 -b}=sin`b=|uø`´`vø|

|uø||vø|

= |1|3_1 =;3!;

따라서sin`a_sin`b=;3@;_;3!;=;9@;

 ②

08

접점의좌표를(xÁ,yÁ)이라하면

점(xÁ,yÁ)이포물선yÛ`=-4x위의점이므로

yÁÛ`=-4xÁ ……㉠

또한yÛ`=-4x의양변을x에대하여미분하면 2ydydx =-4에서dy

dx =- 2

y (단,y+0) ……㉡

점(xÁ,yÁ)에서의접선의기울기는㉡에y=yÁ을대입한값과같으므로 - 2yÁ

즉,점(xÁ,yÁ)에서의접선의방정식은 y-yÁ=-2

yÁ (x-xÁ)

이직선이점A(3,0)을지나므로 0-yÁ=-2

yÁ (3-xÁ) yÁÛ`=6-2xÁ

㉠에서yÁÛ`=-4xÁ이므로xÁ=-3 yÁÛ`=-4_(-3)=12에서yÁ=Ñ2'3 즉,PQÓ=4'3

따라서삼각형APQ의넓이는

;2!;_4'3_6=12'3

 ③

09

Ú크기가n인표본을임의추출하여구한표본평균의값을xÁÕ라하면 모평균m에대한신뢰도95`%의신뢰구간이

xÁÕ-1.96_ 8 '§nÉmÉxÁÕ+1.96_ 8 '§n

(4)

12

주어진곡선위의점중t=;3Ò; 에대응하는점을P라하자.

x=cos`2t에t=;3Ò; 를대입하면x=-;2!;, y=sin`3t에t=;3Ò; 를대입하면y=0이므로 P{-;2!;,0}

한편, dxdt =-2sin`2t,dy

dt =3cos`3t이므로 dx =dy

dy dt dx dt 

= 3 cos`3t-2 sin`2t (단,sin`2t+0) ……㉠

점P에서의접선의기울기는㉠에t=p

3 를대입한값과같으므로 3 cos`p

-2 sin` 2p3

='3

즉,점P에서의접선의방정식은 y-0='3{x+;2!;},y='3x+ '32 따라서a='3,b= '3

2 이므로 ab='3_ '32 =;2#;

 ②

13

조건(가)에서임의의실수a에대하여f'(a)= 1g '(b)= 1

g '( f(a))이므로 임의의실수x에대하여f'(x)= 1

g '( f(x)) g'(f(x))f'(x)=1에서

g(f(x))=x+C(단,C는적분상수) 조건(나)에서g(f(0))=0이므로C=0 g(f(x))=x

즉,두함수f(x)와g(x)는서로역함수이다.

한편,g(5)=1,g(-5)=0이므로f(1)=5,f(0)=-5이고, g'(-5)=;6!;이므로f'(0)= 1

g '( f(0))= 1 g '(-5)=6 이때f(x)=xÜ`+pxÛ`+qx+r로놓으면

f'(x)=3xÛ`+2px+q

f(1)=5에서1+p+q+r=5 ……㉠

f(0)=-5에서r=-5 ……㉡

f'(0)=6에서q=6 ……㉢

㉠,㉡,㉢에서p=3

f(x)=xÜ`+3xÛ`+6x-5,f'(x)=3xÛ`+6x+6이므로 f(-1)=-1+3-6-5=-9

g'(-9)= 1

f '(g(-9))= 1

f '(-1)= 1

3-6+6 =;3!;

따라서f(-1)_g'(-9)=-9_;3!;=-3

 ①

14

F A

B P D

E

C Q M

모서리FC를2`:`1로내분하는점을Q라하면삼각형ACF에서

이므로b-a=2_1.96_ 8 '§n

Û크기가4n인표본을임의추출하여구한표본평균의값을xªÕ라하면

모평균m에대한신뢰도95`%의신뢰구간이

xªÕ-1.96_ 8 '¶4nÉmÉxªÕ+1.96_ 8 '¶4n

xªÕ-1.96_ 4 '§nÉmÉxªÕ+1.96_ 4 '§n

이므로d-c=2_1.96_ 4 '§n Ú,Û에서

-a+b+c-d=(b-a)-(d-c) 

=2_1.96_ 8

'§n-2_1.96_ 4 '§n

=2_1.96_ 4 '§n 따라서2_1.96_ 4 '§n=0.98에서 '§n=16이므로n=256

 ⑤

10

P(e,1),Q(e,0)

y=ln`x에서y'=;[!; 이므로점P에서의접선의기울기는;e!;

점P를지나고점P에서의접선에수직인직선의방정식은 y-1=(-e)(x-e)

y=0을대입하면x=e+;e!; 이므로 R{e+;e!;,0}

따라서삼각형PQR의넓이는

;2!;_PQÓ_QRÓ=;2!;_1_;e!;=;2Áe;

 ①

11

두벡터aø,bø가단위벡터이므로 aø ´ bø=1_1_cos`h=cos`h

또한(aø+bø)´(2aø-bø)=2|aø|Û`+aø ´ bø-|bø|Û`

=2+cos`h-1

=1+cos`h (aø+bø)´(2aø-bø)=|aø+bø||2aø-bø|cos`h

에서1+cos`h=|aø+bø||2aø-bø|cos`h ……㉠

한편,|aø+bø|Û`=(aø+bø)´(aø+bø)

=|aø|Û`+2aø ´ bø+|bø|Û` 

=2(1+cos`h)

|2aø-bø|Û`=(2aø-bø)´(2aø-bø)

=4|aø|Û`-4aø ´ bø+|bø|Û`

=5-4cos`h 이므로㉠에서

1+cos`h="Ã2(1+cos`h)_'Ä5-4cos`h_cos`h 0<h<;2Ò; 에서1+cos`h>0이므로

'Ä1+cos`h='2_'Ä5-4cos`h_cos`h 양변을제곱하여정리하면

8cosÜ`h-10cosÛ`h+cos`h+1=0 (cos`h-1)(4cos`h+1)(2cos`h-1)=0 0<h<;2Ò;이므로

cos`h=;2!;

 ③

(5)

0=1-1+0+Cª에서Cª=0 따라서f(x)=e^3x-e^-2x+x이므로 f(ln`2)=e^3ln`2-e^-2ln`2+ln`2

=8- 14 +ln`2=;;£4Á;;+ln`2 즉,k= 314

 ④

17

6개의공에적힌문자를각각AÁ,Aª,BÁ,Bª,CÁ,Cª라하자.

ÚX=3인경우

6개의문자에서3개를택해일렬로나열하는경우의수는

6P3=120

A,B,C에서각각하나씩택해일렬로나열하는경우의수는

ªCÁ_ªCÁ_ªCÁ_3!=48

즉,P(X=3)=;1¢2¥0;=;5@;

ÛX=4인경우

6P4=360

3번째까지꺼내는공에두번적힌문자와한번적힌문자를정하고택하 여일렬로나열하는경우의수는

£CÁ_(ªCÁ_ªCÁ)_3!=72

4번째꺼내는공에적힌문자를정하는경우의수는

ªCÁ=2

즉,P(X=4)= 72_2360 =;5@;

ÜX=5인경우

6P5=720

4번째까지꺼내는공에적힌두문자를정하고일렬로나열하는경우의수 는

£Cª_4!=72

5번째꺼내는공에적힌문자를정하는경우의수는

ªCÁ=2

즉,P(X=5)= 72_2720 =;5!;

Ú,Û,Ü에서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.

X 3 4 5 합계

P(X=x) ;5@; ;5@; ;5!; 1

E(X)=3_;5@;+4_;5@;+5_;5!;=;;Á5»;;

E(XÛ`)=3Û`_;5@;+4Û`_;5@;+5Û`_;5!;=15 따라서V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`

=15-{ 195 }Û`=;2!5$;

이므로V(5X+3)=25V(X)=25_ 1425 =14

 ②

18

정육면체ABCD-EFGH의한모서리의길이를4라하고,점E를좌표공간 의원점,반직선EF,EH,EA를각각x축,y축,z축의양의방향으로하면

F(4,0,0),G(4,4,0)이므로

P(4,3,0)

A(0,0,4)이고선분AP를t`:`1-t`(0ÉtÉ1)로내분하는점이Q이므로 Q(4t,3t,4-4t)

점Q를지나고직선AP에수직인평면을a라하면평면a의법선벡터가

AP³=(4,3,-4) 이므로평면a의방정식은 PQÓAFÓ이고,PQÓ=;3!;AFÓ

AFÓ=BDÓ=6'2이므로 PQÓ=;3!;_6'2=2'2

이때직선BP와직선AF가이루는예각의크기는∠BPQ의크기와같다.

한편,정삼각형ABC에서선분AC의중점을M이라하면 BÕMÓ=3'3,PÕMÓ=1

직각삼각형BMP에서

BPÓ=

¿¹

BÕMÓÛ`+MÕPÓÛ`=¿¹(3'3)Û`+1Û`=2'7 같은방법으로BQÓ=2'7

따라서선분PQ의중점을N이라하면이등변삼각형BPQ에서 cos`h= PNÓ

BPÓ= '2 2'7= '¶1414

 ③

15

F(c,0)`(c>0)이라하면cÛ`=4-1=3에서

F('3,0)

점F를지나고기울기가'3인직선을l이라하면직선l의방정식은

y='3(x-'3)

이때직선l이타원 xÛ`4 +yÛ`=1과제4사분면에서만나는점을R라하면 RFÓ=QÕF'Ó

또한두점P,R에서x축에내린수선의발을각각P',R'이라하면 PFÓ_sin`60ù=PÕP'Ó,RFÓ_sin`60ù=RÕR'Ó

이므로PFÓ= 2

'3 _PÕP'Ó,RFÓ= 2 '3 _RÕR'Ó

한편,y='3(x-'3), xÛ`4 +yÛ`=1을연립하여x를소거하면 13yÛ`+6y-3=0이므로

PÕP'Ó_RÕR'Ó=|-;1£3;|=;1£3;

따라서

PFÓ_QÕF'Ó=PFÓ_RFÓ

={ 2'3 _PÕP'Ó}_{ 2'3 _RÕR'Ó}

= 43 _PÕP'Ó_RÕR'Ó

= 43 _;1£3;=;1¢3;

 ⑤

16

조건(가)에서

2f'(x)f"(x)=54e^6x+18e^3x+12e^x-8e^-2x-16e^-4x dx {d f'(x)}Û`=54e^6x+18e^3x+12e^x-8e^-2x-16e^-4x

{f'(x)}Û`=:`(54e^6x+18e^3x+12e^x-8e^-2x-16e^-4x)dx

=9e^6x+6e^3x+12e^x+4e^-2x+4e^-4x+CÁ(단,CÁ은적분상수) 조건(나)에서f'(0)=6이므로

6Û`=9+6+12+4+4+CÁ에서CÁ=1

{f'(x)}Û`=9e^6x+4e^-4x+1+12e^x+4e^-2x+6e^3x

=(3e^3x)Û`+(2e^-2x)Û`+1+2(3e^3x)(2e^-2x)+2(2e^-2x)+2(3e^3x) 

=(3e^3x+2e^-2x+1)Û`

이때f'(0)=6이므로f'(x)=3e^3x+2e^-2x+1 f(x)=:`f'(x)dx

=:`(3e^3x+2e^-2x+1)dx

=e^3x-e^-2x+x+Cª(단,Cª는적분상수) 조건(나)에서f(0)=0이므로

(6)

이때p

2 -h=t로놓으면h`Ú`p

2 -일때t`Ú`0+이므로

h Ú ;2Ò;-lim g(h) f(h) =lim

t Ú 0+ ;2!; cos{ p2 -t}

sin` t2

=limt Ú 0+ ;2!; sin`t sin` t2

=limt Ú 0+

sin`t t

`sin`;2T;`

;2T;

= lim

t Ú 0+ sin`tt limt Ú 0+ sin`;2T;

;2T;

=;1!;=1

 ②

21

ㄱ.f'(x)=(ln`x)Û`+x_2ln`x_ 1x 

=(ln`x)Û`+2ln`x

f'(x)=0에서x=e^-2또는x=1

함수f(x)의증가와감소를표로나타내면다음과같다.

x (0) y e^-2 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

limx Ú ¦ x(ln`x)Û`=¦이므로함수y=f(x)의그래프와직선y=k(k>0)가

그림과같이항상만난다.(참)

O e^-2

y=f(x)

1

y=k y

x

ㄴ.f"(x)=2ln`x_ 1x +2

x

= 2x (ln`x+1)

f"(x)=0에서x=e^-1이므로c=e^-1 f'(c)=f'(e^-1)=(-1)Û`+2_(-1)=-1

곡선y=f(x)위의점(t,f(t))에서의접선의기울기가 f'(t)=(ln`t)Û`+2ln`t이므로

(ln`t)Û`+2ln`t=-1에서

(ln`t+1)Û`=0,t=e^-1

따라서기울기가-1인접선은변곡점에서의접선뿐이므로점(c,f(c)) 에서의접선과평행한접선은존재하지않는다.(거짓)

ㄷ.곡선y=f(x)와x축및두직선x=e^-2,x=1로둘러싸인부분의넓이를

S라하면

S=:_e-2¹ x(ln`x)Û`dx

여기서uÁ(x)=(ln`x)Û`,vÁ'(x)=x로놓으면 uÁ'(x)=2ln`x_;[!;,vÁ(x)=;2!;xÛ`이므로 S=[;2!;xÛ`(ln`x)Û`]¹_e-2-:¹

e^-2 xln`x`dx ……㉠

이때:_e-2¹ xln`x`dx에서uª(x)=ln`x,vª'(x)=x로놓으면 uª'(x)=;[!;,vª(x)=;2!;xÛ`이므로

:_e-2¹ xln`x`dx=[;2!;xÛ`ln`x]¹_e-2-:_e-2¹ ;2!;x`dx

=[;2!;xÛ`ln`x]¹

e^-2-[;4!;xÛ`]¹

e^-2 ……㉡

4(x-4t)+3(y-3t)-4(z-4+4t)=0

이때조건(나)를만족시키려면두점C(4,4,4)와G(4,4,0)이평면a에대 하여서로다른쪽에있어야하므로

{4(4-4t)+3(4-3t)-4_4t}_{4(4-4t)+3(4-3t)-4(-4+4t)}É0 (28-41t)(44-41t)É0에서 2841 ÉtÉ44

41 그런데0ÉtÉ1이므로 2841 ÉtÉ1

따라서b-a의최댓값은 1-;4@1*;=;4!1#;

 ②

19

꺼낸10개의공중홀수가적힌공의개수가0인경우의확률은

10C0{;3@;}⁰{;3!;}¹⁰

꺼낸10개의공중홀수가적힌공의개수가2인경우의확률은

10C2{;3@;}Û`{;3!;}⁸

⋮

이므로구하는확률을p라하면

p=Á_k=0⁵ [10C2k_{;3@;}Û`^k{;3!;}^10-2k]=Á_k=0⁵ [10C2k_{;9$;}^k{;9!;}^5-k] 이때이항정리에의하여

{;3@;+;3!;}¹⁰=Á_r=0¹⁰ 10Cr{;3@;}^r{;3!;}^10-r ……㉠

{;3@;-;3!;}¹⁰=Á_r=0¹⁰ ₁₀C_r{;3@;}^r{-;3!;}^10-r ……㉡

㉠,㉡에서양변을변끼리더하면 1+{;3!;}¹⁰=2p이므로

p=;2!;[1+{;3!;}¹⁰]

따라서f(k)=10C2k,a=1,b={;3!;}¹⁰이므로 3á`_f(3)_a_b=3á`_10C6_1_{ 13 }¹⁰

=3á`_210_1_ 1 3¹⁰ =70

 ①

20

∠OAP=∠OCQ이고∠OCQ+∠OCR=p이므로

∠OAP+∠OCR=p

이때∠AOC=;2Ò; 이므로사각형AOCR에서∠CRA=;2Ò;

즉,세점P,C,R를지나는원은지름이선분PC인원이다.

O

A B

P R

M

C Q

h h

선분PC의중점을M이라하면

∠POM=;2!;_{ p2 -h}=p 4 -h

2 이므로 f(h)=sin{ p4 -h

2 } 또한∠QOB=p

2 -h이므로

g(h)=;2!;_1Û`_sin{ p2 -h}=;2!;cos`h 따라서 lim

h Ú ;2Ò;- g(h) f(h)= lim

h Ú ;2Ò;- ;2!; cos`h sin{ p4 -h

2 }

(7)

이때a,b,c가모두홀수인경우만a_b_c가홀수이므로

a<b<c이고a_b_c가홀수인순서쌍(a,b,c)의개수는

¢C£=4

즉,조건(가)와조건(나)를만족시키는순서쌍(a,b,c)의개수는 56-4=52

이므로구하는확률은 512 =;1Á2£8;52

따라서p=128,q=13이므로 p+q=128+13=141

 141

26

logª|a|= 8

2^x+2^-x 이므로주어진방정식의서로다른실근의개수가2가되려 면곡선y= 8

2^x+2^-x 과직선y=logª|a|가서로다른두점에서만나야한다.

이때함수y= 2^x+2^-x

8 이x=0에서최솟값;4!;을가지므로곡선y= 2^x+2^-x 8 은그림의점선과같다.

즉,함수y= 8

2^x+2^-x 은x=0에서최댓값4를가지므로곡선y= 8 2^x+2^-x 은

그림의실선과같다.

O y

x y=log₂`|a|

2^x+2^-x y= 8 8

2^x+2^-x y=

4

곡선y= 8

2^x+2^-x 과직선y=logª|a|가서로다른두점에서만나려면 0<logª|a|<4,1<|a|<16

a가정수이므로|a|의값은2,3,4,y,15이다.

따라서정수a의개수는

2_14=28

 28

27

삼각형OAB에서OAÓ='5,OBÓ=5'5이므로두직선OP와AB가만나는점 을Q라하면조건(가)에서점Q는선분AB를1`:`5로내분하는점이다.

OA³=(1,2),OB³=(11,-2)이므로 OQ³= 5OA³+OB³6 ={;3*;,;3$;}

또한점P가직선OQ위의점이므로실수k(k+0)에대하여 OP³=kOQ³={;3*;k,;3$;k}

조건(나)에서점P가원(x-2)Û`+(y-2)Û`=8위의점이므로 x=;3*;k,y=;3$;k를대입하면

{;3*;k-2}Û`+{;3$;k-2}Û`=8 정리하면;;Á9¤;;k(5k-9)=0 k+0이므로k=;5(;

즉,OP³ = 95 OQ³ 

= 95 _5OA³+OB³ 6

= 32 OA³+ 3 10 OB³ 따라서m= 32 ,n= 3

10 이므로

10(m+n)=10{;2#;+;1£0;}=15+3=18

 18

㉡을㉠에대입하면 S =[;2!;xÛ`(ln`x)Û`]¹

e^-2-[;2!;xÛ`ln`x]¹

e^-2+[;4!;xÛ`]¹

e^-2

=-2e^-4-e^-4+{;4!;- e^-44 }

=;4!;- 134eÝ`

=;4!;{1- 13eÝ` }(거짓) 따라서옳은것은ㄱ이다.

 ①

22

£H¤+¤H£=3+6-1C6+6+3-1C3

=8C6+8C3

=8C2+8C3

=9C3=84

 84

23

점A(-1,2,3)에서zx평면에내린수선의발을A'이라하면 A'(-1,0,3)

원C의중심을B라하면 AÕ'BÓ="Ã2Û`+0Û`+(-4)Û`=2'5

이때직선A'B와원C가만나는점중점A'으로부터멀리떨어진점을P라

하면구하는최댓값은선분AP의길이이다.

따라서AÕ'PÓ=3'5이고,삼각형AA'P가직각삼각형이므로 APÓ=¿¹(3'5)Û`+2Û`=7

 7

24

원점O에대하여∠OPA=a,∠OPB=b,∠APB=h라하면 h=b-a이고,tan`b= 45k ,tan`a=20

k 이므로 tan`h =tan(b-a)

= tan`b-tan`a1+tan`b tan`a

=

45k -20 k 1+ 45k _20

k

= 25k kÛ`+900 f(k)= 25k

kÛ`+900라하면

f'(k)= 25(kÛ`+900)-25k_2k (kÛ`+900)Û`

= -25kÛ`+22500 (kÛ`+900)Û`

f'(k)=0에서kÛ`=900

따라서함수f(k)가k=30일때극대이면서최대이므로구하는k의값은30 이다.

 30

25

순서쌍(a,b,c)의개수는 8_8_8=512

조건(가)를만족시키는순서쌍(a,b,c)의개수는8개의공에서3개를택하는

조합의수와같으므로

¥C£=56

(8)

2(2s-7)+2(2s+2)+(s-1)=25에서s=4이므로 이직선과평면a가만나는점을H라하면

H(1,10,3)

OÕ£HÓ=12,HÕCÁÓ=9이므로원C위의점중점H에가장가까운점을P라하 면HPÓ=5에서OÕ£PÓ=13

따라서2|PÕM³|의최솟값은 2_(13-1)=24

 24

30

f'(x)=cos`x+2이므로곡선y=f(x)위의점(t,f(t))에서의접선의방정 식은

y-(sin`t+2t)=(cos`t+2)(x-t) 이직선이점P(0,p)를지나야하므로 p-(sin`t+2t)=(cos`t+2)(0-t) 즉,p=sin`t-tcos`t

p=h(t)=sin`t-tcos`t로놓으면 h'(t)=cos`t-(cos`t-tsin`t)=tsin`t h'(t)=0에서t=p,2p,3p,y

함수h(t)의증가와감소를표로나타내면다음과같다.

t (0) y p y 2p y 3p y

h'(t) + 0 - 0 + 0 -

h(t) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

함수p=h(t)의그래프는그림과같다.

O

p=h(t)

p 2p 3p 4p 3p

p

-2p

-4p p

t

함수g(p)는p=p,-2p,3p,-4p,5p,y가아닌모든실수에서연속이고

미분가능하다.

이때t=g(p)이고p=h(t)이므로 p=h(g(p))

양변을p에대하여미분하면

1=h'(g(p))g '(p)에서g '(p)= 1 h'( g(p)) h'(t)=tsin`t이므로

g '(p)= 1 g(p)sin`g(p) g(p)g '(p)= 1

sin`g(p)

g(p)g '(p)='2에서sin`g(p)= 1'2 t=g(p)이므로

t= p4 ,3p

4 ,2p+p

4 ,2p+3p

4 ,4p+p

4 ,4p+3p 4 ,y p=h(t)=sin`t-tcos`t에서

t= p4 일때,p=sin`p 4 -p

4 _cos`p 4 ='2

2 -p 4 _'2

2 >0 t= 3p4 일때,p=sin`3p

4 -3p

4 _cos`3p 4 ='2

2 -3p

4 _{-'2 2 }>0 t=2p+ p4 일때,p=sin`9p

4 -9p

4 _cos`9p 4 ='2

2 -9p 4 _'2

2 <0 t=2p+ 3p4 일때,

p=sin` 11p4 -11p

4 _cos`11p 4 ='2

2 -11p

4 _{-'2 2 }>0 t=4p+ p4 일때,p<0

28

A(a,a),B(b,b),C(c,cÛ`)이라하면두점A,B는모두직선y=x위의점 이므로

ABÓ='2(b-a)

또한점C에서직선AB에내린수선의발을H라하면삼각형ABC의높이는

선분CH이고,선분CH의길이는점C와직선y=x사이의거리와같으므로 CHÓ= |c-cÛ`|

¿¹1Û`+(-1)Û`= c(c-1) '§2 따라서

S = 12 _ABÓ_CHÓ

= 12 _'2(b-a)_c(c-1) '§2

= (b-a)c(c-1)2 Úc=6인경우

S=15(b-a)이므로b-a가짝수이어야한다.

순서쌍(a,b)는(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)이고그개수는4이다.

Ûc=5인경우

S=10(b-a)이므로b-a는짝수이든홀수이든상관없다.

순서쌍(a,b)의개수는4C₂=6이다.

Üc=4인경우

S=6(b-a)이므로b-a는짝수이든홀수이든상관없다.

순서쌍(a,b)의개수는3C2=3이다.

Ýc=3인경우

S=3(b-a)이므로b-a가짝수이어야한다.

순서쌍(a,b)는없다.

Ú~Ý에서모든순서쌍(a,b,c)의개수는 4+6+3=13

 13

29

구SÁ`:`(x-5)Û`+(y-5)Û`+(z+4)Û`=25의중심을OÁ이라하면 점OÁ(5,5,-4)를지나고평면a에수직인직선의방정식은

x-52 =y-5 2 =z+4

이직선위의점의좌표를실수t에대하여(2t+5,2t+5,t-4)라하면 2(2t+5)+2(2t+5)+(t-4)=25에서t=1이므로

이직선과평면a가만나는점을CÁ이라하면 CÁ(7,7,-3)

OÕÁCÁÓ=3이고구SÁ의반지름의길이가5이므로원C는평면a위에있고,중 심이CÁ,반지름의길이가4인원이다.

한편,그림과같이구Sª의중심을Oª라하고,직선AOª가구Sª와만나는두

점중점A에가까운점부터각각AÁ,Aª라하자.

A A₁ O₂ A₂

S₂

선분AQ의중점을M이라하면|PA³+PQ³|=2|PÕM³|이고,점M이나타내 는도형은선분AAÁ의중점과선분AAª의중점을지름의양끝점으로하는

구이다.

이구를S£이라하고,중심을O£이라하면O£(-7,2,-1)이고,반지름의길 이는1이다.

C S₂

P C₁ O₃

H a

이때점O£을지나고평면a에수직인직선의방정식은 x+72 =y-2

2 =z+1

이직선위의점의좌표를실수s에대하여(2s-7,2s+2,s-1)이라하면

(9)

실전모의고사 2 ^회

01 ^② 02 ^① 03 ^③ 04 ^④ 05 ^③ 06 ^④ 07 ^① 08 ^④ 09 ^③ 10 ^③

11 ^③ 12 ^② 13 ^② 14 ^④ 15 ^②

16 ^① 17 ^③ 18 ^② 19 ^① 20 ^②

21 ^② 22

²¹⁰

23

⁶⁰

24

¹⁵

25

²²

26

⁷

27

⁹⁵

28

¹³⁷

29

³

30

²³

| 본문 13~22쪽 |

01

aø+bø =(2k,-1)+(3,k+1)

=(2k+3,k)

이때벡터aø+bø의모든성분의합이9이므로 (2k+3)+k=9,3k+3=9

따라서k=2

 ②

02

limx Ú 0 ln(1+2x) e^4x-1 =lim

x Ú 0 [ln(1+2x) 2x _ 4x

e^4x-1_;2!;]

=1_1_ 12 

= 12

 ①

03

:₀⁵` 3

3x+5 `dx=:

5

0` (3x+5)'3x+5 `dx 

=[ln|3x+5|]⁵₀

=ln`20-ln`5

=ln` 205 

=ln`4

=2ln`2

 ③

04

P(A^C)=;4!;이므로 P(A)=1-P(A^C)

=1-;4!;=;4#;

한편,두사건A와B가서로독립이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 

=;4#;+P(B)- 34 P(B) 

= 34 +;4!;P(B) 이때P(A'B)=;1!2!;이므로

;4#;+;4!;P(B)=;1!2!;

따라서P(B)=4{;1!2!;-;4#;}=4_;6!;=;3@;

 ④ t=4p+ 3p4 일때,p>0

⋮ 이므로 pÁ= '22 -p

4 _'2 2 pª= '22 +3p

4 _'2 2 ='2

2 +'2p 8 _3 p£= '22 +11p

4 _'2 2 ='2

2 +'2p 8 _11 p¢= '22 +19p

4 _'2 2 ='2

2 +'2p 8 _19

⋮

pÁª= '22 +83p 4 _'2

2 ='2 2 +'2p

8 _83 따라서

Á12

k=1 p_k=pÁ+Á_k=2¹² p_k

={ '22 -'2p 8 }+['2

2 _11+'2p

8 _(3+11+19+y+83)]

={ '22 -'2p

8 }+[11'2 2 +'2p

8 _11_(3+83)

2 ]

=6'2+59'2p

='2(6+59p) 즉,a=6,b=59이므로 a+b=6+59=65

 65

(10)

05

선분AB를2`:`1로내분하는점을P라하면점P의좌표는 { 2_1+1_42+1 , 2_2+1_a2+1 , 2_b+1_(-8)2+1 } 즉,{2, 4+a3 ,2b-8

3 }

또한선분AB를2`:`1로외분하는점을Q라하면점Q의좌표는 { 2_1-1_42-1 , 2_2-1_a2-1 , 2_b-1_(-8)2-1 }

즉,(-2,4-a,2b+8)

이때두점P,Q가원점에대하여대칭이므로 4+a3 =a-4,2b-8

3 =-2b-8

따라서a=8,b=-2이므로a+b=6

 ③

다른 풀이 1

선분AB를2`:`1로내분하는점을P,2`:`1로외분하는점을Q라하면선분

PQ의중점이원점이므로그림으로나타내면다음과같다.

A P B O Q

즉,선분AB를4`:`1로외분하는점이원점이므로 4_1-1_4

4-1 =0, 4_2-1_a4-1 =0,4_b-1_(-8)

4-1 =0

다른 풀이 2

주어진조건을만족시키려면직선AB가원점을지나야한다.

이때직선AB의방정식이 x-4-3 =y-a

2-a =z+8 b+8

이므로이식에x=0,y=0,z=0을대입하면 -4-3 = -a

2-a = 8 b+8

06

치역의모든원소의합이7인경우는치역이{2,5}또는{3,4}인경우뿐이다.

Ú치역이{2,5}인함수의개수는

₂P4-2=2Ý`-2=14

Û치역이{3,4}인함수의개수는

₂P4-2=2Ý`-2=14 따라서구하는함수의개수는 14+14=28

 ④

07

:₀^;2Ò;`xsin`3x`dx=[x_{- 13 cos`3x}]^;2Ò;0-:₀^;2Ò;`{- 13 cos`3x}dx

=;2Ò;_0-0_{-;3!;}+:^;2Ò;

0 ` 13 cos`3x`dx

=:₀^;2Ò;` 13 cos`3x`dx 

=[ 19 sin`3x]^;2Ò;0

= 19 sin`3p

2 

= 19 _(-1)=-;9!;

 ①

08

x=t^;2#;,y=tÛ`+t에서

dxdt =;2#;'t,dy

dt =2t+1

이므로t=4에서점P의속도벡터를vø라하면 vø=(3,9)

따라서구하는속력은

|vø|="Ã3Û`+9Û`='¶90=3'¶10

 ④

09

f(2)=3에서 f^-1(3)=2이고,

(f^-1)'(3)= 1

f '( f ^-1(3))= 1 f '(2)=;5!;

이므로곡선y=f^-1(x)위의x좌표가3인점에서의접선의방정식은 y-2=;5!;(x-3)

y=;5!;x+;5&;

이직선이점(8,k)를지나므로 k=;5!;_8+;5&;=3

 ③

10

h=0인경우는점Q가점P와일치하는경우이고,이것은동전1개를8번던 질때,앞면이4번,뒷면이4번나오는경우또는앞면이7번,뒷면이1번나오 는경우또는앞면이1번,뒷면이7번나오는경우로나누어생각할수있다.

Ú동전1개를8번던질때,앞면이4번,뒷면이4번나올확률은

¥C¢{;2!;}⁴{;2!;}⁴= 702¡`

Û동전1개를8번던질때,앞면이7번,뒷면이1번나올확률은

¥C¦{;2!;}⁷{;2!;}¹= 8 2¡`

Ü동전1개를8번던질때,앞면이1번,뒷면이7번나올확률은

¥CÁ{;2!;}¹{;2!;}⁷= 8 2¡`

따라서구하는확률은 70

2¡`+ 8 2¡`+ 8

2¡`= 86 2¡`= 43

2à`

 ③

11

O A B H

H'

P y

x y²=8x

x=-2

점A(2,0)이포물선yÛ`=8x의초점이므로점P에서포물선의준선x=-2 에내린수선의발을H라하면

PAÓ=PHÓ

이때점B에서포물선의준선에내린수선의발을H'이라하면 PAÓ+PBÓ=PHÓ+PBÓ¾BÕH'Ó

따라서삼각형PAB의둘레의길이의최솟값은

ABÓ+BÕH'Ó="Ã(6-2)Û`+(3-0)Û`+|6-(-2)|

=5+8=13

 ③

12

그림과같이원C의중심을C,직선y=ax와원C의두교점을각각A,B라

하고,점C에서직선AB에내린수선의발을H라하자.

(11)

O C

A H B

y

x y=ax C

선분CH의길이는점C와직선y=ax사이의거리이므로 CHÓ= |a-1|

"ÃaÛ`+(-1)Û`= 1-a

"ÃaÛ`+1

이때ACÓ=1이므로피타고라스정리에의하여

AHÓ²=ACÓ²-CHÓ²

=1-(1-a)Û`

aÛ`+1

= 2a aÛ`+1

따라서 f(a)=ABÓ²=(2AHÓ)Û`=4AHÓ²= 8a aÛ`+1 이므로 :¹

0`f(a)da=:¹

0` 8a aÛ`+1`da

=4:₀¹` 2a

aÛ`+1`da

=4[ln|aÛ`+1|]¹₀

=4ln`2

 ②

13

이나라고등학생의일주일동안의가족과의대화시간(분)을확률변수X라하 면X는정규분포N(68,8Û`)을따르므로Z= X-688 이라하면확률변수Z 는표준정규분포N(0,1)을따른다.

따라서구하는확률은

P(X¾80)=P{Z¾ 80-688 }

=P(Z¾1.5) 

=0.5-P(0ÉZÉ1.5) 

=0.5-0.4332 

=0.0668

 ②

14

ACÓ=5,∠APC=;2Ò; 이므로

APÓ=ACÓsin`h=5sin`h 한편,∠BAC=a라하면

∠PAB={;2Ò;-h}+a=;2Ò;-(h-a)

점P에서직선AB에내린수선의발을H라하면

sin(∠PAH)=sin(p-∠PAB)=sin(∠PAB) 이므로

PHÓ=APÓsin(∠PAB) 이때

S(h)= 12 _ABÓ_APÓsin(∠PAB)

= 12 _3_5sin`h_sin[;2Ò;-(h-a)] 

= 152 sin`hcos(h-a) 따라서

h Ú 0+ lim S(h)h =lim^h Ú 0+ ;;Á2°;; sin`h cos(h-a)

h

=limh Ú 0+ [;;Á2°;;_ sin`hh _cos(h-a)]

= 152 _1_cos(-a)

= 152 cos`a

= 152 _;5#;=;2(;

 ④

15

f(x)=eÅ`+eÛ`^x+e^3x+y+e^nx에대하여

g(x)=ln`f(x)라하면g(0)=ln`f(0)=ln`n이므로 limx Ú 0 ;[!; ln`f(x)

n =lim^x Ú 0 ln`f(x)-ln`n

x

=limx Ú 0 g(x)-g(0) x =g'(0) 이때g'(x)=f '(x)

f(x) = eÅ`+2e^2x+3e^3x+y+ne^nx eÅ`+e^2x+e^3x+y+e^nx 이므로 g'(0)= 1+2+3+y+n

1+1+1+y+1 =n(n+1)

2n = n+12 따라서n+1

2 =2019이므로

n=4037

 ②

16

표본평균XÕ의평균과표준편차는각각

E(XÕ)=30,r(XÕ)= 2 '9=;3@;

이므로XÕ는정규분포N{30,;9$;}를따르고,Z= XÕ-30

;3@; 이라하면Z는표준 정규분포N(0,1)을따른다.이때

P(XÕ¾32)=P

{

^{Z¾ 32-30}_;3@;

}

^=P(Z¾3)

또한표본평균YÕ의평균과표준편차는각각

E(YÕ)=20,r(YÕ)= 3 '¶16=;4#;

이므로YÕ는정규분포N{20,;1»6;}를따르고,Z= YÕ-20

;4#; 이라하면Z는표준 정규분포N(0,1)을따른다.이때

P(YÕ¾k)=P

{

^{Z¾ k-20}_;4#;

}

=P{Z¾ 4k-803 } 주어진조건P(XÕ¾32)+P(YÕ¾k)=1에서

P(Z¾3)+P{Z¾ 4k-803 }=1 이므로

4k-80 3 =-3 따라서k= 714

 ①

17

BQ³+CP³=(BC³+CQ³)+(CB³+BP³)

=(BC³+CB³)+(BP³+CQ³)

=BP³+CQ³

이때|BP³|=|CQ³|=1이므로두벡터BP³,CQ³가이루는각의크기가클수록

|BQ³+CP³|의값이작아진다.즉,점P가점D에있고점Q가점E에있을때,

|BQ³+CP³|의값이최소가되므로최솟값은|BD³+CE³|이다.

B F

C

D(P) E(Q)

A

(12)

한편,위그림과같이두직선BD,CE의교점을F라하면두벡터BD³,CE³가

이루는각의크기는

∠BFC=p-∠BAC=p-;3Ò;=;3@;p 이므로

|BD³+CE³|Û`=|BD³|Û`+|CE³|Û`+2BD³`´`CE³ 

=1Û`+1Û`+2|BD³||CE³|cos` 23 p

=2+2_1_1_{- 12 }=1 즉,|BD³+CE³|=1

따라서구하는최솟값은1이다.

 ③

18

구S의중심을C라하면

S:`(x-1)Û`+(y+2)Û`+(z-1)Û`=9 이므로점C의좌표는(1,-2,1)이다.

이때평면a가구S위의점P에서구S에접하므로벡터CP³=(1,2,2)는평 면a의법선벡터이고,평면b는평면a와평행하므로벡터CP³는평면b의법 선벡터이다.

따라서xy평면의법선벡터를nø=(0,0,1)이라하고,평면b와xy평면이이루 는예각의크기를h라하면

cos`h= |CP³`´`nø|

|CP³||nø|= 23_1 = ;3@;

이다.

한편,구S의중심C와평면b사이의거리가2이고구S의반지름의길이가

3이므로평면b와구S가만나서생기는원의반지름의길이는

"Ã3Û`-2Û`='5

즉,이원의넓이는 5 p이다.

따라서구하는정사영의넓이는

5p_cos`h=5p_;3@;= ;;Á3¼;;p

따라서a=;3@;,b=5,c=;;Á3¼;;이므로 a+b+c=;3@;+5+;;Á3¼;;=9

 ②

19

a가가질수있는값은1,2,3이고,b가가질수있는

값은1,2,4이므로세점(0,0),(a,5),(4,b)를꼭 짓점으로하는삼각형을좌표평면에나타내면오른쪽

그림과같다.

따라서세점을꼭짓점으로하는삼각형의넓이는 S=20-;2%;a-2b-;2!;(4-a)(5-b)

=10-;2!;ab

이때T=ab라하면T가가질수있는값은1,2,3,4,6,8,12이고,각값에

대한확률은

P(T=1)=;5!;_;5#;=;2£5;

P(T=2)=;5!;_;5!;+;5@;_;5#;=;2¦5;

P(T=3)=;5@;_;5#;=;2¤5;

P(T=4)=;5!;_;5!;+;5@;_;5!;=;2£5;

P(T=6)=;5@;_;5!;=;2ª5;

P(T=8)=;5@;_;5!;=;2ª5;

P(T=12)=;5@;_;5!;=;2ª5;

O y

x (a,`5)

(4,`b) 5

4

이므로T의확률분포를표로나타내면다음과같다.

T 1 2 3 4 6 8 12 합계

P(T=t) ;2£5; ;2¦5; ;2¤5; ;2£5; ;2ª5; ;2ª5; ;2ª5; 1 이때

E(T)=1_;2£5;+2_;2¦5;+3_;2¤5;+4_;2£5;+6_;2ª5;+8_;2ª5;+12_;2ª5;

=;2(5(;

따라서

E(S)=E{10-;2!;T}=10-;2!;E(T)

=10-;2!;_;2(5(;

=;;¢5¼0Á;;

 ①

20

ㄱ.주어진식에x=5,y=5를대입하면 f(0)={f(5)}Û`+{g(5)}Û`=0Û`+1Û`=1

이므로주어진식에x=0,y=0을대입하면 f(0)={f(0)}Û`+{g(0)}Û`에서

1=1Û`+{g(0)}Û`

즉,{g(0)}Û`=0이므로  g(0)=0(거짓)

ㄴ.주어진식에x=0,y=t를대입하면 f(0-t)=f(0)f(t)+g(0)g(t) f(-t)=1_f(t)+0_g(t)

즉,모든실수t에대하여 f(-t)=f(t)가성립하므로함수y=f(x)의그 래프는y축에대하여대칭이다.(참)

ㄷ. f'(x)=lim_h

Ú 0 f(x+h)-f(x)h

=lim_h Ú 0 f(x)f(-h)+g(x)g(-h)-f(x)h

=lim_h Ú 0 f(x){ f(-h)-1}+g(x)g(-h)h

=-f(x)lim_h Ú 0 f(-h)-f(0)-h -g(x)lim_h Ú 0 g(-h)-g(0)-h

=-f(x)f'(0)-g(x)g'(0)

=-f(x)_0-g(x)_ 14 

=- 14 g(x)

이므로 f(x)=t로놓으면 dx =fdt '(x)=-;4!;g(x)

또한x=0일때t=1,x=5일때t=0이므로

:₀⁵`f(x)g(x)e^f(x)+1`dx=:₁⁰`(-4te^t+1)dt

=:¹

0 `4te^t+1`dt

=[4te^t+1]1)-:₀¹`4e^t+1`dt 

=4eÛ`-[4e^t+1]¹₀

=4eÛ`-4eÛ`+4e 

=4e(거짓) 따라서옳은것은ㄴ이다.

 ②

21

조건(가)에서APÓ⊥DPÓ이고ACÓ⊥a이므로삼수선의정리에의하여

CPÓ⊥DPÓ

(13)

따라서그림과같이점P가원점이고,점C가x축의양의방향,점D가y축의

양의방향에오도록좌표공간을설정할수있다.

B

A

C

D P(O) z

y

x

또한조건(나)의tan(∠APC)=;3@;에서 ACÓPCÓ=;3@;이므로점A의좌표를

(3k,0,2k)(k는양의실수)로놓을수있다.

마찬가지로tan(∠BPD)=;2#;에서 BDÓPDÓ=;2#;이므로점B의좌표를

(0,2l,3l)(l은양의실수)로놓을수있다.

이때평면APB의법선벡터를nø=(a,b,c)라하면 nø⊥PA³이므로nø`´`PA³=(a,b,c)´(3k,0,2k)=0에서

k(3a+2c)=0,즉3a+2c=0 ……㉠

또한nø⊥PB³이므로nø`´`PB³=(a,b,c)´(0,2l,3l)=0에서

l(2b+3c)=0,즉2b+3c=0` ……㉡

㉠,㉡에서a`:`b`:`c=4`:`9`:`-6이므로평면APB의법선벡터를

nÕÁø=(4,9,-6)으로놓을수있다.

이때평면a,즉xy평면의법선벡터를nÕªø=(0,0,1)이라하면 cos`h = |nÕÁø`´`nÕªø|

|nÕÁø||nÕªø|= |-6|

'Ä133_1

= 6'Ä133 따라서cosÛ``h= 36133

 ②

22

5H6=5+6-1C6

=10C6=10C4

= 10_9_8_74_3_2_1 

=210

 210

23

로그의진수조건에의하여 x-3>0,3x-1>0이므로 x>3 ……㉠

logª(x-3)+2Élogª(3x-1)에서

logª(x-3)+logª`4Élogª(3x-1) logª`4(x-3)Élogª(3x-1) 4(x-3)É3x-1

xÉ11 ……㉡

㉠,㉡에서3<xÉ11

따라서주어진부등식을만족시키는정수x의값은 4,5,6,7,8,9,10,11

이므로구하는합은60이다.

 60

24

4cosÛ``x-11sin`x-1=0에서 4(1-sinÛ``x)-11sin`x-1=0 4sinÛ``x+11sin`x-3=0 (4sin`x-1)(sin`x+3)=0 -1Ésin`xÉ1이므로sin`x=;4!;

따라서

cotÛ``x= cosÛ``xsinÛ``x= 1-sinÛ``xsinÛ``x

=1-;1Á6;

;1Á6;

=15

 15

25

삼각형PEQ의평면DEF위로의정사영이삼각형DEF이므로

cos`h= △DEF△PEQ

삼각기둥의한모서리의길이를3a라하면삼각형DEF는한변의길이가3a 인정삼각형이므로

△DEF= '34 _(3a)Û`=9'3 4 aÛ`

한편,삼각형PEQ는

PQÓ=EQÓ='¶10a,PEÓ='¶13a

인이등변삼각형이므로선분PE의중점을M이라하면 QÕMÓ=

¿¹

EQÓ²-EÕMÓ²=¾Ð('¶10a)Û`-{ '¶132 a}

2= 3'32 a 이고

△PEQ= 12 _PEÓ_QÕMÓ 

= 12 _'¶13a_3'3

2 a

= 3'¶394 aÛ`

즉,cos`h=

9'3 4 aÛ`

3'¶39 4 aÛ`

= 3'¶13 이므로

cosÛ``h= 913

따라서p+q=13+9=22

 22

26

주머니에서2개의공을꺼내므로 2ÉaÉ5

a=2인경우처음에꺼낸두공에적힌수가각각1,2이고,남은3개의공에

적힌수가모두2보다크므로시행을마친후에주머니에2개의공이남아있 게된다.

또한a=5인경우5보다큰수가적힌공은없으므로시행을마친후에주머니 에남아있는공은없다.

따라서a=3또는a=4이어야한다.

Úa=3인경우

처음에꺼낸두공에적힌수가1과3또는2와3이고,남은3개의공중에

3보다작은수가적힌공이1개,3보다큰수가적힌공이2개있으므로이

경우의확률은

2

°Cª _;3!;_;2@;=;1Á5;

Ûa=4인경우

처음에꺼낸두공에적힌수가1과4또는2와4또는3과4이고,남은3개 의공중에4보다작은수가적힌공이2개,4보다큰수가적힌공이1개

있으므로이경우의확률은

3

°Cª _;3@;_;2!;=;1Á0;

Ú,Û에서시행을마친후에주머니에남아있는공의개수가1일확률은

;1Á5;+;1Á0;=;6!;

따라서p=6,q=1이므로

p+q=6+1=7

 7

(14)

27

a+b+c+d=11에서a¾1,b¾1,c>d이므로 a=a'+1,b=b'+1,c=c'+d+1이라하면 (a'+1)+(b'+1)+(c'+d+1)+d=11에서

a'+b'+c'+2d=8(단,a',b',c',d는음이아닌정수) ……㉠

즉,구하는순서쌍의개수는㉠을만족시키는모든순서쌍(a',b',c',d)의개 수와같다.

Úd=0일때,

a'+b'+c'=8을만족시키는모든순서쌍의개수는

3H8=3+8-1C8=10C8=10C2=45

Ûd=1일때,

3H6=3+6-1C6=8C6=8C2=28 Üd=2일때,

a'+b'+c'=4를만족시키는모든순서쌍의개수는

3H4=3+4-1C4=6C4=6C2=15 Ýd=3일때,

a'+b'+c'=2를만족시키는모든순서쌍의개수는

3H2=3+2-1C2=4C2=6 Þd=4일때,

3H0=1

따라서구하는순서쌍의개수는

45+28+15+6+1=95

 95

28

점A의좌표를(X,Y)라하면OBÓ`:`OAÓ=2`:`5이므로점B의좌표는

{;5@;X,;5@;Y}이다.

이때점P의좌표를(x,y)라하면

x=X,y=;5@;Y에서X=x,Y=;2%;y이고,

XÛ`+YÛ`=25이므로 xÛ`+{;2%;y}Û`=25 즉, xÛ`25 +yÛ`

4 =1이므로점P가그리는도형F는장축의길이가10이고단축 의길이가4인타원이다.

한편, xÛ`25 +yÛ`

4 =1에서각항을x에대하여미분하면

;2ª5;x+;2!;y_ dydx =0에서

dydx =- 4x

25y (단,y+0)

점A의좌표가(3,4)일때점P의좌표는{3, 85 }이므로타원F위의점P 에서의접선의기울기는

- 4_3

25_;5*;=-;1£0;

이고,접선의방정식은

y-;5*;=-;1£0;(x-3),즉3x+10y=25

이때두점Q,R의좌표는각각Q{;;ª3°;;,0},R{0, 52 }이므로삼각형OQR의

넓이를S라하면

S=;2!;_;;ª3°;;_;2%;=;;Á1ª2°;;

p+q=12+125=137

 137

29

그림과같이구의중심을C,점C에서xy평면에내린수선의발을D,점D에 서x축에내린수선의발을E라하고,구위의점중에서원점에서의거리가

최대인점P에서xy평면에내린수선의발을Q,점Q에서x축에내린수선의

발을R라하자.

O

E R D Q C z P

y

x

OCÓ=¿¹4Û`+3Û`+('¶11)Û`=6,CPÓ=2이므로 ODÓ`:`DQÓ=6`:`2=3`:`1,즉ODÓ`:`OQÓ=3`:`4

따라서DEÓ`:`QRÓ=ODÓ`:`OQÓ=3`:`4이고DEÓ=3이므로 QRÓ=4

이때점P를지나고zx평면에평행한평면을a라하면평면a와zx평면사이 의거리가4이고,구의중심C와zx평면사이의거리가3이므로점C와평면

a사이의거리는1이다.

H

C

a

그림과같이점C에서평면a에내린수선의발을H라하면CHÓ=1이고구의

반지름의길이는2이므로구와평면a가만나서생기는원의반지름의길이는

"Ã2Û`-1Û`='3이다.

따라서구하는원의넓이는3p이므로 k=3

 3

30

그림과같이선분BC의중점을M이라하면AÕMÓ⊥MCÓ이므로선분AC를지 름으로하는원은두점P,M을모두지난다.

B M C

P

D A

h h

h a a

a

위그림에서∠PBC=a라하면∠PCA=∠PMA=a이고,

∠PAM=∠PCB=h이므로

△PBC»△PMA

이때BCÓ=6,AÕMÓ=4에서 PAÓ PCÓ= AÕMÓ

BCÓ =;6$;=;3@;이고삼각형APC는

∠APC=90ù인직각삼각형이므로

tan`a=;3@;

한편,직각삼각형ABM에서tan(a+h)=;3$;이므로 tan`h =tan{(a+h)-a} 

= tan(a+h)-tan`a 1+tan(a+h)tan`a

= ;3$;-;3@;

1+;3$;_;3@;=;1¤7;

p+q=23

 23

(15)

실전모의고사 3 ^회

01 ^③ 02 ^④ 03 ^② 04 ^③ 05 ^② 06 ^① 07 ^① 08 ^⑤ 09 ^② 10 ^②

11 ^② 12 ^③ 13 ^⑤ 14 ^④ 15 ^③

16 ^④ 17 ^⑤ 18 ^② 19 ^④ 20 ^③

21 ^① 22

¹⁵

23

²

24

⁸

25

²⁰

26

⁶¹¹

27

²⁴

28

⁵⁰

29

⁴

30

¹²

| 본문 23~32쪽 |

01

aø-bø=(5,1)-(4,-1)=(1,2) 따라서벡터aø-bø의모든성분의합은

1+2=3

 ③

02

limx Ú 0 ln(1+4x) e^2x-1 =lim

x Ú 0[ln(1+4x)

4x _ 2xe^2x-1_2]

=1_1_2

=2

 ④

03

선분AB를1`:`2로내분하는점의좌표는 { 1_a+2_1 1+2 ,1_(-3)+2_3

1+2 , 1_2+2_51+2 } 이점이yz평면위에있으므로x좌표가0이되어야한다.

즉, a+23 =0에서a+2=0

따라서a=-2

 ②

04

P(B^C|A)=2P(B|A)에서 P(A;B^C)

P(A) =2_P(A;B) P(A) P(A;B^C)=2P(A;B) P(A)-P(A;B)=2P(A;B) P(A)=3P(A;B)

이때P(A;B)=;6!;이므로

P(A)=3_;6!;=;2!;

 ③

05

함수 f(x)=1+log;2!;`x의그래프는로그함수y=log;2!;`x의그래프를y축의

방향으로1만큼평행이동한것이므로그림과같다.

O 1 2 4

1

-1 y

x

12

f(x)=1+log `x

x=1일때, f(1)=1+log_;2!;`1=1+0=1

x=4일때, f(4)=1+log;2!;`4=1-2=-1 따라서함수 f(x)의최솟값은-1이다.

 ②

06

{x-;[!;}⁷의전개식의일반항은

7C_rx^7-r{-;[!;}^r=7C_r(-1)^rx^7-2r(단,r=0,1,2,y,7) 따라서x항은7-2r=1,즉r=3일때이므로구하는x의계수는

7C3_(-1)³= 7_6_53_2_1 _(-1)

=-35

 ①

07

xÜ`+3x=4에서xÜ`+3x-4=0이므로 (x-1)(xÛ`+x+4)=0,x=1

즉, f(1)=4이고함수 f(x)의역함수가 g(x)이므로

g(4)=1

또한 f'(x)=3xÛ`+3이므로 f'(1)=6 따라서 f(g(x))=x에서

f'(g(x))g'(x)=1 g'(4)= 1

f '(g(4))= 1f '(1)=;6!;

 ①

08

x=e^`-t,y=4e^;2T;에서

dxdt =e^`-1,dy

dt =2e^;2T;이므로

{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`=(e^`-1)Û`+(2e^;2T;)Û`=(e^2t-2e^`+1)+4e^`

=e^2t+2e^`+1=(e^`+1)Û`

따라서점P가시각t=0에서시각t=2까지움직인거리는 :₀² ¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û``dt=:²

0 "Ã(e^`+1)Û`dt=:²

0 (e^`+1)dt

=[e^`+t]²₀

=(eÛ`+2)-1

=eÛ`+1

 ⑤

09

30_77=2_3_5_7_11이므로30_77을1보다큰3개의자연수의곱으로

나타내는경우의수는집합{2,3,5,7,11}을3개의부분집합으로분할하는

경우의수S(5,3)과같다.

5=3+1+1=2+2+1이므로

S(5,3)=°C£_ªCÁ_ÁCÁ_ 12! +°Cª_£Cª_ÁCÁ_ 12!

=10+15=25

 ②

10

sin`x=t로놓으면 dtdx =cos`x이고 x=0일때t=0,x= p2 일때t=1이므로

정답과 풀이