2015학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지
수학 영역
제 2 교시
1
1.
1. 두 다항식 ,
에 대하여 는? [2점]
① ② ③
④ ⑤
2.
2. 함수 에 대하여 ∘ 의 값은? [2점]① ② ③
④ ⑤
3.
3 . 모든 실수 에 대하여 등식
가 성립할 때, 두 상수 , 의 합 의 값은? [2점]
① ② ③
④ ⑤
4.
4 . ≤ ≤ 에서 무리함수
의 최솟값이 일 때, 상수 의 값은? [3점]① ② ③
④ ⑤
2 수학 영역
5.
5. 부등식 의 해가 일 때, 상수 의 값은?[3점]
① ② ③
④ ⑤
6.
6. 첫째항이 , 제 항이 인 등차수열
의 첫째항부터제 항까지의 합은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
7.
7 . 복소수 에 대하여 의 값은?(단,
이고, 는 의 켤레복소수이다.) [3점]① ② ③
④ ⑤
3
수학 영역
8.
8. 두 양수 , 에 대하여 , 가연립이차방정식
의 해일 때, × 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
9.
9. 직선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만 큼 평행이동시킨 직선이 원 의 중심을 지날 때,상수 의 값은? [3점]①
② ③
④ ⑤
10.
10. 이차함수 에 대하여 을 만족시키는 모든 정수 의 값의 합은? [3점]① ② ③
④ ⑤
4 수학 영역
11.
11. 전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합 ,
에 대하여
∩
∪
∩
일 때, 상수 의 값은? [3점]① ② ③
④ ⑤
12.
12. 유리함수
의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치할 때, 상수 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
5
수학 영역
[13 ~ 14] 그림과 같이 양수 에 대하여 이차함수 의 그래프와 직선
가 두 점 O, A에서 만난다.
13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, O는 원점이다.)
O
A
13.
13. 일 때, 직선 은 이차함수 의 그래프에 접하고 직선 와 수직이다. 직선 의 절편은? [3점]① ②
③
④ ⑤
14.
14. 이차함수 의 그래프의 꼭짓점을 B라 하고선분 AB의 중점을 C 라 하자. 점 C 에서 축에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 CH의 길이의 최솟값은? [4점]
①
② ③
④
⑤
6 수학 영역
15.
15. 첫째항이 인 수열
이 다음 조건을 만족시킨다.(가) ( , , , , ) (나) 모든 자연수 에 대하여 이다.
의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
16.
16. 별에서 단위시간동안 방출되는 복사에너지의 양을 별의 광도라 한다. 별의 표면 온도를 , 별의 반지름의 길이를 ,별의 광도를 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
(단, 는 슈테판-볼츠만 상수이다.)
두 별 A, B에 대하여 별 A의 표면 온도는 별 B의 표면 온도의
배이고, 별 A의 반지름의 길이는 별 B의 반지름의 길이의 배
일 때, 별 A의 광도는 별 B의 광도의 배이다. 의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
7
수학 영역
17.
17. 전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이라 하자. 세 명제∼ → , → ∼ , ∼ →
가 모두 참일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점]
보 기
ㄱ. ⊂ ㄴ. ⊂ ㄷ. ∩
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
18. 좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여선분 AB를 ( )으로 외분하는 점을 Q라 하자.
삼각형 OAQ의 넓이가 일 때,
의 값은?
(단, O는 원점이다.) [4점]
①
②
③
④
⑤
8 수학 영역
19.
19. 다음은 모든 자연수 에 대하여 등식
⋯⋯㉠
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
(ⅰ) 일 때 (좌변) × × (우변)
× × ×
이므로 ㉠이 성립한다.
(ⅱ) 일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
⋯⋯㉡
㉡의 양변에 가 를 더하면
가
× 나
따라서 일 때에도 ㉠이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립한다.
위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 식을
이라 할 때, 의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
20.
20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에내접하는 원이 있다. 선분 BC 를 로 내분하는 점을 P 라 하자.
선분 AP 가 정사각형 ABCD 에 내접하는 원과 만나는 두 점을 Q , R 라 할 때, 선분 QR 의 길이는? [4점]
A B
C D
P Q
R
①
②
③
④
⑤
9
수학 영역
21.
21. 이차항의 계수가 인 이차함수 의 그래프의 꼭짓점이 직선 위에 있다. 이차함수 의 그래프가 직선 와 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 , 라 하자.
이차함수 의 그래프의 축이 직선
일 때,
의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점]
①
②
③
④
⑤
단답형
22.
22. 세 수 , , 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,의 값을 구하시오. [3점]
23.
23. 좌표평면에서 두 점 , 를 지나는 직선이 점 을 지날 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점]10 수학 영역
24.
24. 다항식 를 로 나눈 나머지가 일 때, 다항식 를 로 나눈 나머지를 구하시오. [3점]25.
25. 수열
의 첫째항부터 제 항까지의 합 이 일 때, 의 값을 구하시오. [3점]
26.
26. 사차방정식
의 모든 실근의 곱 을 구하시오. [4점]11
수학 영역
27.
27. 좌표평면에서 제 사분면 위의 점 A를 에 대하여 대칭이동시킨 점을 B라 하자. 축 위의 점 P 에 대하여AP PB 의 최솟값이
일 때, 선분 OA의 길이를 구하시오.(단, O는 원점이다.) [4점]
28.
28. 실수 전체의 집합 에 대하여 함수 →가
로 정의될 때, 이 함수가 일대일대응이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오. [4점]
12 수학 영역
29.
29. 그림과 같이 ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여 직선 과 원 이 만나는 점 중 좌표가 양수인 점을 P이라 하자.원 위의 점 P에서의 접선의 절편을 이라 할 때,
의 값을 구하시오. [4점] P
O
30.
30. 좌표평면 위에 원 가 있다.원 을 직선 에 대하여 대칭이동시킨 원을 라 하자.
두 원 , 가 모두 직선 와 만나도록 하는 실수 , 의 순서쌍 에 대하여 의 최댓값은
이다.
의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점]
13
수학 영역
1 ③ 2 ④ 3 ① 4 ⑤ 5 ②
6 ④ 7 ① 8 ⑤ 9 ② 10 ③
11 ② 12 ② 13 ④ 14 ① 15 ①
16 ③ 17 ③ 18 ④ 19 ⑤ 20 ⑤
21 ④ 22 36 23 3 24 11 25 256 26 6 27 10 28 7 29 615 30 22
14 수학 영역
1. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 다항식 계산하기
2. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 합성함수의 값 계산하기
∘
3. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 항등식의 성질 이해하기
위 등식이 에 대한 항등식이므로
, 따라서
4. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 무리함수 그래프의 성질 이해하기 함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
O
≤ ≤ 에서 함수 는
일 때 최솟값 을 가지므로
따라서
5. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기
에서
이 부등식의 해가 이므로
6. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 등차수열의 합 이해하기
등차수열
의 공차를 라 하면
∴
따라서
×
7. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 복소수의 성질 이해하기
에서
8. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 연립이차방정식의 해 이해하기
⋯⋯ ㉠ ⋯⋯ ㉡
㉠에서 을 ㉡에 대입하면
∴ , 또는 ,
∴ , (∵ , ) 따라서 ×
9. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 도형의 평행이동 이해하기 직선 을 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 직선의 방정식은
이 직선이 원 의 중심 를 지나므로
따라서
10. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 추론하기
이므로 이차함수 의 그래프는
15
수학 영역
O
을 만족시키는 의 값의 범위는
함수 의 그래프는 함수 의 그래프를
축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프이다.
을 만족시키는 의 값의 범위는
이므로
정수 는 , , , , , 따라서 모든 정수 의 값의 합은
11. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 집합의 연산 추론하기
∩∪∩ ∪이고 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.
∪의 원소가 , , 이고
, 이므로 ∩ 이어야 한다.
∴ ∈∩
은 의 원소 중 어느 하나와 같아야 한다.
(ⅰ) ≠
(ⅱ) 이고 일 때,
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
12. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프의 점근선 이해하기 유리함수
의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치하려면 두 점근선의 교점이 직선 위에 있어야 한다.
이므로 점근선은 두 직선 , 따라서
[다른풀이]
함수
( ≠ , ≠ )의 역함수를 구하면
( ≠ , ≠ )
과
의 그래프가 일치하므로
13. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 이해하기
일 때,
,
직선 의 방정식을 라 하자.
×
∴
직선 이 이차함수 의 그래프와 접하기 위해서는 방정식 가 중근을 가져야 하므로
의 판별식을 라 하면
× × 따라서 직선 의 절편
14. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기 이차함수 의 그래프와
직선
가 만나는 점 A는
(∵ )
,
∴ A
이차함수 의 그래프의 꼭짓점은 B
선분 AB의 중점은 C
선분 CH의 길이는
점 C의 좌표와 같으므로 (∵ ) 선분 CH의 길이의 최솟값은
≥
×
=
단, 등호는 일 때 성립한다.
16 수학 영역
15. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기 (가)에서
(나)에서
⋯
16. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 무리식을 활용하여 문제해결하기 별 A, B의 표면 온도를 각각 A, B, 반지름의 길이를 각각 A, B, 광도를 각각 A, B라 하면
A
B이고 A B이다.
A B라 하면 A
A
A 에서
B
B
B
B
B
B
B
× B
B
×B
∴
따라서
17. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 활용하여 추론하기 ㄱ. ∼ ⇒ 이므로 ⊂ (참)
ㄴ. (반례) , , , 일 때, ⊄ (거짓) ㄷ. ⇒ ∼ 에서 ⇒ ∼ 이므로
⊂ ⋯⋯㉠
∼ ⇒ 에서 ∼ ⇒ 이므로 ⊂ ⋯⋯㉡
∼ ⇒ 이므로 ⊂ ⋯⋯㉢
㉠, ㉡에 의하여 ⊂⊂이므로 ⊂ ∴ ∩
㉠, ㉢에 의하여 ∴ ∩ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
18. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 외분을 활용하여 문제해결하기
O A Q
B
삼각형 OAQ의 넓이가 이고, 삼각형 OAB의 넓이가
× × 이므로
삼각형 OBQ의 넓이는 이다.
삼각형 OBQ의 밑변을 선분 OB로 하면
OB 이므로 높이는 점 Q의 좌표는
이므로
∴
(∵ )
따라서 이므로
[다른풀이]
삼각형 OAQ의 넓이가 , 삼각형 OAB의 넓이는 이므로 삼각형 OBQ의 넓이는 이다.
삼각형 OAB와 삼각형 OBQ는 각각 선분 AB와 선분 BQ를 밑변으로 할 때 높이가 같으므로 두 삼각형의 밑변의 길이의 비는 두 삼각형의 넓이의 비와 같다.
∴ AB BQ=
∴ AQ BQ 따라서
19. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 모든 자연수 에 대하여
⋯⋯㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하면 다음과 같다.
(ⅰ) 일 때 (좌변) × × (우변)
× × ×
이므로 ㉠이 성립한다.
(ⅱ) 일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
⋯⋯㉡
㉡의 양변에 을 더하면
17
수학 영역
×
따라서 일 때에도 ㉠이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립한다.
∴
따라서
20. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용하여 문제해결하기
A
B
D C
P Q
R
O
H
그림과 같이 직선 AB를 축, 직선 AD를 축으로 하는 좌표평면을 잡는다.
AB BP 직선 AP는 기울기가
이고 원점을 지나므로
직선 AP의 방정식은
이다.
원의 중심을 O라 하면 정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 이므로 O 이고, OQ
점 O 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하면
OH
∴ QH
따라서 QR
21. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 활용하여 문제해결하기 이차함수 의 그래프의 꼭짓점의
좌표를 라 하면
이차함수 의 그래프와 직선 가 만나는 두 점의 좌표 , 는
방정식 의 근이므로
에서 근과 계수의 관계에 의하여
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡ 이차함수 의 그래프의 축이 직선
이므로
∴
㉠에서
이므로
㉡에서
따라서
22. [정답]
[풀이]
[출제의도] 등비중항의 뜻 이해하기
세 수 , , 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
는 과 의 등비중항이다.
따라서 ×
23. [정답] [풀이]
[출제의도] 직선의 방정식 이해하기
두 점 , 를 지나는 직선의 방정식은 기울기가
이므로
이 직선이 점 을 지나므로 따라서
24. [정답]
[풀이]
[출제의도] 나머지정리 이해하기
다항식 를 로 나눈 몫을 라 하면 나머지가 이므로
나머지정리에 의하여 다항식 를 로 나눈 나머지는 과 같다.
따라서 를 로 나눈 나머지는
25. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기
( ≥ )이므로
18 수학 영역
( ≥ )
∴ ( ≥ ) 따라서
26. [정답] [풀이]
[출제의도] 사차방정식의 해 이해하기
라 하면
이므로
∴ 또는 또는
의 판별식을 라 하면
이므로
은 허근을 갖는다.
따라서 모든 실근의 곱은 ×
27. [정답]
[풀이]
[출제의도] 대칭이동을 활용하여 문제해결하기
O
A
B
A′
P
점 A의 좌표를 라 하면 점 A를 직선 에 대하여 대칭이동시킨 점 B의 좌표는 이고, 점 A를 축에 대하여 대칭이동시킨 점을 A′이라 하면 A′ 이다. AP A′P이므로
AP PB A′P PB이고
축 위의 점 P가 선분 A′B 위에 있을 때 최솟값 A′B 를 갖는다.
∴ A ′B
따라서 OA
28. [정답] [풀이]
[출제의도] 일대일대응을 활용하여 추론하기
함수 는
(ⅰ) 일 때,
(ⅱ) ≥ 일 때,
이므로
≥
함수 가 일대일대응이므로
두 직선 와 의 기울기의 부호가 서로 같다.
∴
를 만족시키는 정수 는
, , , , , , 따라서 정수 의 개수는
29. [정답]
[풀이]
[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제해결하기
일 때의 좌표가 양수인 점 P의 좌표를
이라 하면 점 P
은원 위에 있으므로
점 P
에서 원 에 접하는 직선의 방정식은
절편
따라서
× ×
30. [정답]
[풀이]
[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기 원 의 중심은 이고, 원 을 에 대하여 대칭이동시킨 원 의 중심은 이다.
두 원 , 가 직선 와 모두 만나기 위해서는 두 원의 중심 , 와 직선 사이의 거리가 모두
원의 반지름의 길이 보다 작거나 같아야 한다.
즉,
≤,
≤
19
수학 영역
∴ ≤ ≤ , ≤ ≤ 따라서 점 는
부등식 ≤ ≤ 과 부등식 ≤ ≤ 을
동시에 만족시키는 영역에 속하는 점이므로
라 하면 가 최댓값을 가질 때는 직선
가 두 직선 , 이 만나는 점
을 지날 때이다.
O
그러므로 의 최댓값은 ×
×
∴ ,
따라서
