전 기 자 기 학

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

 Electric field E를 scalar의 gradient로 나타냈고, 이를 Electric potential V이라고 정의함

 Electric potential V는 전기적 위치 에너지라고 생각할 수 있음

 V는 E에서 다음과 같이 계산됨

 E와 V의 관계는 아래와 같음

복습

𝐄 = −𝛻𝑉

+

+

𝐸_𝑃 = 𝑚𝑔ℎ

𝑉₂ − 𝑉₁ = − න

𝑃₁ 𝑃₂

𝐄 ∙ 𝑑𝑙

𝑉 = 𝑞 4𝜋𝜖₀𝑅 𝐄=𝑎_𝑅 ^𝑞

4𝜋𝜖₀𝑅²

𝑉 = − න

∞ 𝑅

𝐄 ∙ 𝑑𝑙

𝑅 𝑉

+

 물질 안에서는 electric field가 어떻게 되는지 살펴보고자 함.

 Conductor의 경우 전하가 자유롭게 이동할 수 있으며, conductor에 전하를 추가해주면 서로 미는 힘이 작용하여 전하가 표면에만 존재하게 됨

복습

-

Conductor -

- - -

-

- -

- - -

- Inside a Conductor

(Under static conditions) 𝜌_𝑣 = 0

𝐄 = 0

Boundary Conductor (Conductor-free space)

𝐸_𝑡 = 0 𝐸_𝑛 = 𝜌_𝑠

𝜖₀

𝜌_𝑣 = 0 𝐄 = 0 𝜌_𝑠

 Insulator의 경우 전하 거의 움직이지 못하지만 electric field에 의해 약간의 이동을 하게 되는데 이러한 현상을 polarization (분극)이라 하며, 이에 의해 electric dipole (전기 쌍극자)을 형성하게 됨

 이것을 수치화 하기 위해 polarization vector P (분극 벡터)를 다음과 같이 정의함

3-6. 2 Dielectrics in Static Electric Field

- - - -

- - - - -

- - - - - - -

- - - - -

- - -

- -

-

- -

-

- - -

- + + + + + +

Insulator

𝐏 = lim

∆𝑣→0∆𝑣

- +

-q

d

𝐩=qd Dipole moment

Polarization vector

෍

𝑘=1 𝑛∆𝑣

𝐩_𝑘

-

𝐄

+ ⁺ - - - + +

-

+ ⁺ - - - + +

-

+ ⁺ -

-

- +

+

 Polarization에 의해 insulator에서는 V와 E가 0이 아닌 값을 가지게 됨

 Polarization에 의해 surface에서는 𝜌_𝑝𝑠 의 charge density를 내부에서는 𝜌_𝑝𝑣의 charge density를 갖게 됨

 Dielectric (insulator) 내부에서는 polarization 에 의해 E의 값이 달라지게 됨

3-6. 2 Dielectrics in Static Electric Field

-

𝐄

+ ⁺ - - - + +

-

+ ⁺ - - - + +

-

+ ⁺ - - - + +

𝐄

𝐄

(𝐄_𝒐+𝐄_𝒑)

Polarization에 의한 E Dielectric 내부의 E

𝜌_𝑝𝑠 = 𝐏 ∙ 𝑎_𝑛 𝜌_𝑝𝑣 = −𝛻 ∙ 𝐏

Polarization surface charge density Polarization volume charge density

 Free space에서 𝛻 ∙ 𝐄 = ^𝜌𝑣

𝜖₀ (ׯ_𝑠 𝐄 ∙ 𝑑𝑠 = ^𝑄

𝜖₀의 미분형태)였던 공식을 모든 매질에서 성립하도록 𝜌_𝑝𝑣를 고려해주면 𝛻 ∙ 𝐄 = ^{𝜌𝑣+𝜌𝑝𝑣}

𝜖₀ 로 수정해 주어야 한다.

 𝛻 ∙ 𝐄 = ^{𝜌𝑣+𝜌𝑝𝑣}

𝜖₀ 대입 후 정리하면 𝛻 ∙ (𝜖₀𝐄 + 𝐏) = 𝜌_𝑣가 된다.

 여기서 𝜖₀𝐄 + 𝐏를 electric flux density (또는electric displacement D)라고 정의한다.

 매질이 선형 (linear)이고, 등방성 (isotropic)이면, polarization (분극)은 E에 비례하며, 𝐏 = 𝜖₀𝜒_𝑒E게 나타낼 수 있다. (𝐃 = 𝜖₀𝐄 + 𝐏)

 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 𝜖_𝑟은 relative permittivity (또는 dielectric constant)라고 부른다. (𝜖_𝑟=𝟏 + 𝜒_𝑒)

 𝜖 = 𝜖₀𝜖_𝑟는 absolute permittivity라고 부른다.

3-7 Electric Flux Density and Dielectric Constant

𝜌_𝑝𝑣 = −𝛻 ∙ 𝐏

𝐃 = 𝜖₀𝐄 + 𝐏 (C/𝑚²)

𝐃 = 𝜖₀(𝟏 + 𝜒_𝑒)𝐄

=𝜖₀𝜖_𝑟𝐄 = 𝜖𝐄 (C/𝑚²)

개념 이해를 위한 추가 설명

= (𝟏 + 𝜒_𝑒)𝐄=𝜖_𝑟𝐄 𝐄_𝒐 = 𝐄 − 𝐄_𝒑

매질에서의 E에 𝜖_𝑟을 곱하면 free space의 𝐄_𝒐가 되고, Free space의 𝐄_𝒐에 𝜖_𝑟을 나눠주면 매질에서의 E가 됨 𝜖_𝑟은 dielectric 종류에 따라 polarization 정도를 나타내는 상수

-

𝐄

+ ⁺ - -

+ + -

-

+ ⁺ - -

+ + -

-

+ ⁺ - -

+ + -

𝐄

𝐄

(𝐄_𝒐+𝐄_𝒑)

Polarization에 의한 E Dielectric 내부의 E

𝜌_𝑝𝑣 = −𝛻 ∙ P

𝐄_𝒑 = −𝜒_𝑒𝐄 𝐄 = 𝐄_𝒐 + 𝐄_𝒑

 매질에 따라 E값이 달라짐

 1/𝜖_𝑟의 비율로 달라짐

𝐄 = 𝑎_𝑅 ^𝑞

4𝜋𝜖₀𝑅²

In free space

𝐄 = 𝑎_𝑅 𝑞

4𝜋𝜖𝑅² = 𝑎_𝑅 𝑞 4𝜋𝜖₀𝜖_𝑟𝑅² In material

𝜖_𝑟 = 1

즉, 매질(𝜖_𝑟)에 따라 E가 달라짐 𝐃 = 𝜖𝐄

𝐃 = 𝑎_𝑅 𝑞 4𝜋𝑅²

D는 매질이 바뀌어도 달라지지 않음

많은 공식이 나왔는데, 아래 수식만 기억하면 됨

𝐃 = 𝜖𝐄 𝜖 = 𝜖₀𝜖_𝑟

개념 이해를 위한 추가 설명

 Dielectric material에 E를 걸어주면 polarization이 발생한다고 했다.

 하지만 매우 센 E를 걸어주면, 전자가 분자에서 분리되어 나와 전기가 흐를 수 있는 물질이 된다.

 이러한 현상을 dielectric breakdown이라고 하며, 매질이 dielectric breakdown이 발생하지 않고, 버틸 수 있는 최대 E를 dielectric strength라고 한다.

 예를 들어 구름이 충분한 양의 전하로 대전되고, 땅이 반대 극성으로 대전되어 E가 매우 커진다면 번개가 치게 되는 것이다.

3-7.1 Dielectric Strength

 아래와 같은 두 개의 conductor 구가 있다고 생각해보자. 두 구는 전선에 의해 연결되어있다.

두 conductor 사이는 충분히 멀어서 E가 서로 영향을 미치지 않아 charge가 균일하게 존재한다고 가정하자. 이때 다음을 구하시오.

a) 두 conductor 구에 존재하는 각각의 charges (전하량) b) 각각의 conductor의 표면에서의 electric field intensity E

Example 3-11

𝑏₁

𝑏₂ 𝑄₁

𝑄₂ Total charge Q

Example 3-11

Example 3-11

 동축 케이블을 이용해 전력을 전달할 때, 케이블 내부 도선의 반지름은 전류량에 의해 결정하고, 케이블의 전체 크기는 전압과 insulator의 성분에 따라 결정해야 한다.

 케이블의 내부 도선 반지름이 𝑟_𝑖 = 2mm, insulator는 polystyrene, 전압은 10,000V에서 동작, 외부 반지름 𝑟_𝑜를 얼마로 해야 할지 결정하시오.

 이때 외부 요인에 의해 breakdown이 발생하지 않도록, insulator에서 E의 최대값이 dielectric strength의 25%를 넘지 않도록 한다.

Example 3-12

𝑟_𝑖 = 2𝑚𝑚

𝑟_𝑜 Insulator는 polystyrene

Example 3-12

Example 3-12

 이번에는 2 가지 종류의 매질에서 E와 D가 어떻게 변하는지 살펴보자.

 위의 두 공식으로부터 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

3-8 Boundary Conditions for Electrostatic Fields

ර

𝑐

𝐄 ∙ 𝑑𝑙 = 0 ׯ_𝑠 𝐃 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑄

Tangential components: 𝐸_1𝑡 = 𝐸_2𝑡

Normal components: 𝑎_𝑛2 ∙ D₁ − D₂ = 𝜌_𝑠

표면전하 𝜌_𝑠가 존재하면 D₁의 normal 성분과 D₂의 normal 성분은 𝜌_𝑠만큼 차이가 나고 표면전하 𝜌_𝑠 = 0이면 D₁의 normal 성분과 D₂의 normal 성분은 같다.

 𝑬_𝟏𝒕 = 𝑬_𝟐𝒕 증명

 ׯ_{𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎}𝐄 ∙ 𝑑𝒍 = 𝐄₁ ∙ ∆𝒘 + 𝐄₂ ∙ −∆𝒘 = 𝐸_1𝑡∆𝑤 − 𝐸_2𝑡∆𝑤 = 0

 𝒂_𝒏𝟐 ∙ 𝑫_𝟏 − 𝑫_𝟐 = 𝝆_𝒔 증명

 ׯ_𝑠 𝐃 ∙ 𝑑𝐬 = 𝐃₁ ∙ 𝒂_𝒏𝟐 + 𝐃₂ ∙ 𝒂_𝒏𝟏 ∆S

= 𝒂_𝒏𝟐 ∙ 𝐃₁ − 𝐃₂ ∆S

= 𝜌_𝑠∆S

3-8 Boundary Conditions for Electrostatic Fields

ර

𝑐

𝐄 ∙ 𝑑𝑙 = 0

Guass’s law에 의해

(dot product는 수직이면 0, 평행이면 1이니까)

 Free space에서 𝐄_𝒐 = 𝑎_𝑥𝐸_𝒐인 electric field에 lucite sheet (𝜖_𝑟 = 3.2)이 수직으로 놓여있다고 하자. 이때 𝐄_𝒊, 𝐃_𝒊, 𝐏_𝒊를 계산하여라.

Example 3-13

lucite sheet 𝜖_𝑟 = 3.2 𝐄_𝒐 = 𝑎_𝑥𝐸_𝒐

𝐄_𝒊, 𝐃_𝒊, 𝐏_𝒊?

Example 3-13

Example 3-13

 Permittivity가 각각 𝜖₁, 𝜖₂인 매질이 맞닿아 있다고 생각해보자. 단 charge는 없다. 매질 1의 경계면에서의 electric field intensity가 𝐸_𝟏이고, normal 축과 이루는 각이 𝛼₁이라고 할 때, 매질 2의 경계면에서의 electric field intensity의 세기와 방향을 구하여라.

Example 3-14

𝐸_𝟏 𝐸_𝟐

𝛼₁

𝛼₂

Example 3-14

Example 3-14