전 기 자 기 학

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

복습

 Magnetic flux density 𝐁𝐁를 구하는 2가지 방법

 폐곡선에 대해 𝐁𝐁가 일정한 경우: Ampere’s circuital law

 그렇지 않은 일반적인 경우: Biot-Savart law

�𝑐𝑐 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 (in nonmagnetic media)

예)

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

𝐁𝐁 일정

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ R

I

𝐁𝐁 일정X

상수 구해야 하는 부분

Curl과 cross product

 Curl을 계산할 때는 좌표계에 따라 ℎ₁, ℎ₂, ℎ₃ 를 고려해 주어야 함

 Cross product는 좌표계에 따라 달라지지 않음 _{(ℎ1, ℎ2, ℎ3} 를 고려하지 않음)

𝛁𝛁 × 𝐀𝐀 = 1 𝑟𝑟

𝑎𝑎_𝑟𝑟 𝑎𝑎_∅𝑟𝑟 𝑎𝑎_𝑧𝑧

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑟𝑟

𝜕𝜕

𝜕𝜕∅

𝜕𝜕

𝐴𝐴_𝑟𝑟 𝑟𝑟𝐴𝐴_∅ 𝜕𝜕𝑧𝑧𝐴𝐴_𝑧𝑧 Cylindrical coordinates 경우

Example 5-5

 반지름이 b인 원을 따라 전류 I가 흐를 때 원의 중심축 상의 한 점에서 B의 값을 구하여라.

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ b

R z

I _y

x

∅′

B의 값이 일정한 임의 폐곡선을 잡을 수 없기 때문에 Biot-Savart law를 적용해야 함

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

Example 5-5

 𝑑𝑑𝑑𝑑^′ (짧은 길이의 변화량)에 의해 R에서의 발생하는 𝐁𝐁인 𝑑𝑑𝐁𝐁 구하고

 전체 전선에 해당하는 0부터 2𝜋𝜋까지 적분하려고 하는 것임 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼

4𝜋𝜋 �

𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

𝐁𝐁 = �

𝐶𝐶^′ 𝑑𝑑𝐁𝐁 𝑑𝑑𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ R

Biot-Savart law

Biot-Savart law를 풀어쓰면 아래와 같음

𝑑𝑑𝐁𝐁

0부터 2 𝜋𝜋 적분

Example 5-5

 Cylindrical coordinates (원통좌표계)란 벡터를 r, ∅, z로 나타내는 좌표계

𝑑𝑑𝑑𝑑^′

𝑎𝑎_𝑧𝑧 R

𝑎𝑎

A A=𝑎𝑎_𝑟𝑟𝐴𝐴_𝑟𝑟 +

𝑎𝑎

𝐴𝐴

단위 벡터

각 방향 별 크기

𝑑𝑑𝑑𝑑^′을 𝑎𝑎_∅방향으로 적분하기 위해 원통좌표계를 사용함

Example 5-5

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

상수 구해야 하는 부분

𝑏𝑏

𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑏𝑏𝑑𝑑∅’

𝑑𝑑∅′

R z

y x 𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

dl’

z

x y

𝐑𝐑 = 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏

𝑎𝑎

𝑧𝑧

𝑅𝑅³

dl’

R z

x y

𝑅𝑅 = 𝑧𝑧² + 𝑏𝑏²

b z

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′

𝐑𝐑 = 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏

𝑅𝑅 = 𝑧𝑧² + 𝑏𝑏²

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ = 𝑎𝑎_𝑟𝑟0 + 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′ + 𝑎𝑎_𝑧𝑧0 𝐑𝐑 = −𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏 + 𝑎𝑎_∅0 + 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝑧𝑧

Example 5-5

𝑎𝑎_𝑟𝑟 𝑎𝑎_∅ 𝑎𝑎_𝑧𝑧 0 𝑏𝑏𝑑𝑑∅^′ 0

−𝑏𝑏 0 𝑧𝑧

단위 벡터

dl’의 각 방향 별 크기 R의 각 방향 별 크기

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ = 𝑎𝑎_𝑟𝑟0 + 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′ + 𝑎𝑎_𝑧𝑧0 𝐑𝐑 =

−𝑎𝑎

𝑏𝑏

0

𝑧𝑧

𝐑𝐑 = 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝑧𝑧 −𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏

𝑅𝑅 = 𝑧𝑧² + 𝑏𝑏² 𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

대입

(뒷 페이지에서 자세히 설명)

Example 5-5

 Example 5-5에서 중 𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏𝑧𝑧𝑑𝑑∅′가 상쇄되는 이유

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ b

R z

I y

x ∅′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑=𝑎𝑎_𝑟𝑟𝑏𝑏𝑧𝑧𝑑𝑑∅′ + 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝑏𝑏²𝑑𝑑∅′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ R

z

𝑑𝑑𝑑𝑑^′

𝑎𝑎_𝑟𝑟성분 𝑎𝑎_𝑧𝑧성분

(반대방향 동일한 크기)

Example 5-6

 반지름이 b인 원을 따라 전류 I가 흐를 때 임의의 한 점 P에서 B의 값을 구하여라.

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ b

R z

I _y

x ∅′

𝑅𝑅₁

P

이 경우 계산이 복잡하여 Biot-Savart Law를 바로 적용하지 말고 𝐀𝐀를 구해 𝐁𝐁 = 𝛁𝛁 × 𝐀𝐀를 구하자.

편의를 위해 점 P를 yz평면 위에 놓고 풀자.

𝑑𝑑𝑑𝑑′에 의해 점 P에서 발생하는 A는 y축에 대칭, x축에 비대칭이므로 𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′로 풀기보다

𝑎𝑎_∅ = −𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅′를 대입하여

𝑑𝑑𝑑𝑑′ = (−𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅^′)𝑏𝑏𝑑𝑑∅′를 적용한다.

𝜃𝜃

Example 5-6

 반지름이 b인 원을 따라 전류 I가 흐를 때 임의의 한 점 P에서 B의 값을 구하여라.

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ b

R z

I _y

x ∅′

𝑅𝑅₁

P

이 경우 계산이 복잡하여 Biot-Savart Law를 바로 적용하지 말고 𝐀𝐀를 구해 𝐁𝐁 = 𝛁𝛁 × 𝐀𝐀를 구하자.

편의를 위해 점 P를 yz평면 위에 놓고 풀자.

𝑑𝑑𝑑𝑑′에 의해 점 P에서 발생하는 A는 y축에 대칭, x축에 비대칭이므로 𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′로 풀기보다

𝑎𝑎_∅ = −𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅′를 대입하여

𝑑𝑑𝑑𝑑′ = (−𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅^′)𝑏𝑏𝑑𝑑∅′를 적용한다.

이때 y축에 대칭인 𝑑𝑑𝑑𝑑′으로 𝑎𝑎_𝑦𝑦성분은 서로 상쇄된다.

𝜃𝜃

y 𝑎𝑎_∅

∅′ −𝑎𝑎_𝑥𝑥 sin ∅^′

Example 5-6

 반지름이 b인 원을 따라 전류 I가 흐를 때 임의의 한 점 P에서 B의 값을 구하여라.

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ b

R z

I _y

x

∅′

𝑅𝑅₁

P

적절한 근사화 후 아래 식에 대입하면

𝜃𝜃

이 경우 계산이 복잡하여 Biot-Savart Law를 바로 적용하지 말고 𝐀𝐀를 구해 𝐁𝐁 = 𝛁𝛁 × 𝐀𝐀를 구하자.

편의를 위해 점 P를 yz평면 위에 놓고 풀자.

𝑑𝑑𝑑𝑑′에 의해 점 P에서 발생하는 A는 y축에 대칭, x축에 비대칭이므로 𝑑𝑑𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎_∅𝑏𝑏𝑑𝑑∅′로 풀기보다

𝑎𝑎_∅ = −𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅′를 대입하여

𝑑𝑑𝑑𝑑′ = (−𝑎𝑎_𝑥𝑥sin ∅^′ + 𝑎𝑎_𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∅^′)𝑏𝑏𝑑𝑑∅′를 적용한다.

이때 y축에 대칭인 𝑑𝑑𝑑𝑑′으로 𝑎𝑎_𝑦𝑦성분은 서로 상쇄된다.

Magnetic dipole

 이 식은 electric dipole과 매우 유사한 것을 알 수 있다.

 이를 선으로 표현하면 아래와 같다.

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑏𝑏²

4𝑅𝑅³ (𝑎𝑎_𝑅𝑅2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎_𝜃𝜃sin 𝜃𝜃)

𝑃𝑃

𝑅𝑅 z

d 𝜃𝜃

+ -

b

R z

x y

P 𝜃𝜃

𝐄𝐄 = 𝑞𝑞𝑑𝑑

4𝜋𝜋𝜖𝜖₀𝑅𝑅³ (𝑎𝑎_𝑅𝑅2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎_𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃)

Electric dipole Magnetic dipole

Magnetic dipole

 전류가 흐르는 작은 loop를 magnetic dipole이라고 부른다.

 𝐦𝐦 = 𝑎𝑎_𝑧𝑧𝐼𝐼𝜋𝜋𝑏𝑏²를 magnetic dipole moment라고 부른다.

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑏𝑏²

4𝑅𝑅³ (𝑎𝑎_𝑅𝑅2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎_𝜃𝜃sin 𝜃𝜃)

b

R z

x y

P 𝜃𝜃

Magnetic dipole

전류량 𝐼𝐼과 반지름 𝑏𝑏²에 비례하고 B 발생 방향 𝑎𝑎_𝑧𝑧을 나타냄

Magnetization

 원자에서 궤도운동을 하는 전자는 미시적인 magnetic dipole로 생각할 수 있음

 대부분의 물질들은 magnetic field를 외부에서 주지 않으면 dipole들의 방향이 달라 magnetic dipole moment m의 합이 0이 됨

 외부에 magnetic field를 주면 원자의 움직임과 궤도에 영향을 줌

+ - - +

+ -

+ -

+ -

+ -

R z

x y

P 𝜃𝜃

Magnetic dipole

+ - - +

+ -

+ -

+ -

+ -

B

- +

- + ^- +

- +

- + ^- +

Magnetization

 각 원자의 magnetic dipole moment를 𝐦𝐦_𝑘𝑘라고 하고, 단위체적당 n개의 원자가 있다고 하면 다음과 같이 magnetization vector 𝐌𝐌을 정의할 수 있음

 Magnetization은 surface current density와 volume current density를 발생시킴 𝐌𝐌 = lim_{∆𝑣𝑣→0}∑_𝑘𝑘=1^{𝑛𝑛∆𝑣𝑣} 𝐦𝐦_𝑘𝑘

∆𝑣𝑣

𝐉𝐉_{𝑚𝑚𝑚𝑚} = 𝐌𝐌 × 𝑎𝑎_𝑛𝑛

𝐉𝐉_{𝑚𝑚𝑣𝑣} = 𝛻𝛻 × 𝐌𝐌

Magnetization surface current density

Magnetization volume current density

Magnetization

 Electric field intensity E가 dielectric 안에서 값이 달라졌던 것 처럼, magnetic flux density B도 magnetization된 물질 안에서 값이 달라지게 됨

𝐄𝐄

- -

- -

+ + + +

𝐄𝐄

𝐄𝐄

𝐏𝐏

+ ^{- -} + + -

+ -

+ -

+ -

B

+ -

+ - + ^- + -

+ - + ^-