전 기 자 기 학

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

 Cartesian coordinates

 Cylindrical coordinates

복습

𝑑𝑙 = 𝑎_𝑅𝑑𝑅 + 𝑎_𝜃𝑅𝑑𝜃 + 𝑎_∅𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑∅

𝑑𝑣 = 𝑅²𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑∅

𝑑𝑙 = 𝑎_𝑟𝑑𝑟 + 𝑎_∅𝑟𝑑∅ + 𝑎_𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧

𝑑𝑙 = 𝑎_𝑥𝑑𝑥 + 𝑎_𝑦𝑑𝑦 + 𝑎_𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

 Spherical coordinates

 Gradient (scalar field에 대한 변화량)

 Divergence (vector field에서 발산에 대한 변화량)

 Curl (vector field에서 회전에 대한 변화량)

Contents

Gradient

 Scalar field (스칼라장): 방향은 없고 크기만 있는 scalar 값이 공간에 대하여 정의된 scalar 값의 공간 분포

예) x-y평면에서 f(x, y)= 𝑥𝑒^{−(𝑥2+𝑦2)} 인 scalar 값이 모든 x, y에 대하여 존재하며, 이러한 scalar 값의 공간적 분포가 scalar field

 이러한 scalar field의 변화량에 대하여 표현하는 방법인 gradient에 대해 배워보자.

2-5 Gradient of a Scalar Field

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒

2-5 Gradient of a Scalar Field

 Gradient (경사도): scalar 값의 변화비율이 최대가 되는 방향과 변화율의 크기를 나타내는 vector

% Matlab 실행 코드 X= -2:0.2:2; % X축 범위 Y =X'; % Y축 범위

Z = X.* exp(-X.^2 - Y.^2); % X, Y에 의해 정의되는 scalar field [U,V] = gradient(Z); % scalar field (Z)의 gradient

W=zeros(size(U)); % 3차원 그림을 그리기 위해 화살표의 z축 값을 0으로 생성해줌 surf(X,Y,Z); % 3차원 공간에 scalar field를 그려줌

hold on; % 그림 위에 새로운 그림을 덮어 그리기 위한 명령어

quiver3(X, Y, Z, U, V, W, 'k', 'linewidth', 1.5); % gradient vector를 화살표로 그려줌

% 아래는 그림 옵션들임

alpha(0.5); % 그림을 반투명하게 해줌

axis tight; % 빈 공간 없이 그림이 꽉 차게 그려지게 함 xlabel('X'); % X축 이름을 적어줌

ylabel('Y') % Y축 이름을 적어줌 zlabel('Z') % Z축 이름을 적어줌

2-5 Gradient of a Scalar Field

 Gradient (경사도): scalar 값의 변화율이 최대가 되는 방향과 변화율의 크기를 나타내는 vector를 gradient라고 정의하고, del 𝛻로 표기한다.

2-5 Gradient of a Scalar Field

𝑎_𝑛방향으로 scalar field의 변화량

scalar 값의 변화비율이 최대가 되는 방향의 단위 벡터

𝑑𝑛

𝑑𝑉

𝑎

𝑎_𝑛: scalar 값의 변화비율이 최대가 되는 방향의 단위 벡터

𝑑𝑉

𝑑𝑛: 𝑎_𝑛방향으로 scalar field의 변화량

 Cartesian coordinates에서 Gradient는 다음과 같다.

 Scalar 값의 gradient는 vector값이 됨

 여기서 del 𝛻을 vector의 미분 연산자로 다음과 같이 나타낸다.

 일반적인 orthogonal coordinates에 대해 표현하면 다음과 같다. (다른 좌표계에서 gradient를 구할 때)

2-5 Gradient of a Scalar Field

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑅

1

1 𝑟

1 Cylindrical coordinates Spherical Coordinates

ℎ

ℎ

ℎ

Table 2-1 참고

𝛁𝑉 = 𝑎

𝜕𝑥

+ 𝑎

𝜕𝑦

+ 𝑎

𝜕𝑧 (2-54)

𝛁 ≡ 𝑎

𝜕

𝜕𝑥 + 𝑎

𝜕

𝜕𝑦 + 𝑎

𝜕

𝜕𝑧

𝛁 ≡ 𝑎

𝜕

ℎ

𝜕𝑢

+ 𝑎

𝜕

ℎ

𝜕𝑢

+ 𝑎

𝜕

ℎ

𝜕𝑢

 다음과 같은 2차원 공간의 scalar field를 생각해보자.

간단한 예제

𝛁𝑉 = 𝑎

𝜕𝑥

+ 𝑎

𝜕𝑦

𝑥

𝑦 𝑉

1

𝜕𝑉

𝜕𝑥

=-1,

𝜕𝑦

= 0

−1

𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑎

= −𝑎

𝛁𝑉 = 𝑎

(−1) + 𝑎

(0)

= −𝑎

 Electrostatic field intensity E는 electric potential V의 gradient의 음수 값을 갖는다.

E = - 𝛁V

 V가 다음과 같을 때 점 (1, 1, 0)에서 E를 계산해라.

a) 𝑉 = 𝑉₀𝑒^−𝑥𝑠𝑖𝑛^𝜋𝑦

4

b) 𝑉 = 𝐸₀𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

Example 2-9

•

𝜕𝑥

=-𝑒

•

𝜋 4𝑦

𝜕𝑦

=

4

𝑐𝑜𝑠

4

𝑦

•

𝜕𝑦

= −𝑠𝑖𝑛𝜃

공식 참고

 Electrostatic field intensity E는 electric potential V의 gradient의 음수 값을 갖는다.

E = - V

 V가 다음과 같을 때 점 (1, 1, 0)에서 E를 계산해라.

a) 𝑉 = 𝑉₀𝑒^−𝑥𝑠𝑖𝑛^𝜋𝑦

4

Example 2-9 풀이

 Electrostatic field intensity E는 electric potential V의 gradient의 음수 값을 갖는다.

E = - V

 V가 다음과 같을 때 점 (1, 1, 0)에서 E를 계산해라.

b) 𝑉 = 𝐸₀𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

Example 2-9 풀이 (con’t)

(Example 2-7)

Divergence

 우리는 두 가지 물리량인 scalar와 vector를 다루고 있고, 이에 대한 공간 분포인 scalar field와 vector field의 변화량을 구하는 방법에 대해 배우고 있다.

 Scalar field에 대한 변화량 (증가량)인 gradient는 공간적인 미분으로 정의했다.

 이번에는 vector field에 대한 변화량 (발산과 회전)인 divergence와 curl에 대해 배워보자.

2-6 Divergence of a Vector Field

Scalar field Vector field

𝑑𝑛 𝑑𝑉 𝑎

Gradient 증가비율 (기울기)

Divergence 발산비율

회전비율Curl

 Vector field에서는 field의 변화를 화살표로 나타내는 것을 Flux line이라고 한다.

 Flux line은 Fig. 2-17과 같이 각 위치에서 vector field의 크기와 방향을 나타낸다.

 Vector field의 세기는 각 위치에서 flux line의 길이나 밀도로 묘사된다.

 Flux line을 측정하는 volume을 생각할 때 그 안에 source (flux 생성하는)나 sink (소멸시키는)가 있어야 flux line이 늘거나 감소한다.

2-6 Divergence of a Vector Field

 Divergence (발산): vector field A의 divergence는 부피가 0으로 갈 때 표면 S의 밖으로 나가는 flux를 면적분 한 것을 부피로 나눈 것으로 정의하며 div A로 표기한다.

 즉, div A는 flux를 생성하는 source의 세기를 측정하는 것이다.

2-6 Divergence of a Vector Field

S A

(2-58)

𝑑𝑖𝑣 𝐀 = lim

∆𝑣→0

ׯ

𝐀 ∙ 𝑑𝑠

∆𝑣

 Divergence의 예

2-6 Divergence of a Vector Field

𝑑𝑖𝑣𝐀=0 𝑑𝑖𝑣𝐀>0 𝑑𝑖𝑣𝐀<0

 Cartesian coordinates에서 divergence는 다음과 같다.

 Vector field의 divergence는 scalar값이 됨

 Vector differential operator del로 다음과 같이 나타낸다.

 일반적인 orthogonal coordinates에 대해 표현하면 다음과 같다.

2-6 Divergence of a Vector Field

𝑑𝑖𝑣𝐀 =

𝜕𝑥

+

𝜕𝑦

+

𝜕𝑧 (2-68)

𝛁 ∙ 𝐀 ≡ 𝑑𝑖𝑣𝐀

(2-69)

𝛁 ∙ 𝐀 ≡ 1 ℎ

ℎ

ℎ

𝜕

𝜕𝑢

(ℎ

ℎ

𝐴

) + 𝜕

𝜕𝑢

(ℎ

ℎ

𝐴

) + 𝜕

𝜕𝑢

(ℎ

ℎ

𝐴

)

𝐀 = 𝑎

𝐴

+ 𝑎

𝐴

+ 𝑎

𝐴

1 𝑟

1 Cylindrical coordinates

ℎ

ℎ

ℎ

Table 2-1 참고

 임의의 점에 대한 position vector의 divergence를 구하시오.

Example 2-10

 임의의 점에 대한 position vector의 divergence를 구하시오.

Example 2-10 풀이

 임의의 점에 대한 position vector의 divergence를 구하시오.

Example 2-10 풀이 (con’t)

𝛁 ∙ 𝐀 ≡ 1 ℎ₁ℎ₂ℎ₃

𝜕

𝜕𝑢₁(ℎ₂ℎ₃𝐴₁) + 𝜕

𝜕𝑢₂(ℎ₁ℎ₃𝐴₂) + 𝜕

𝜕𝑢₃(ℎ₁ℎ₂𝐴₃)

𝛁 ∙ 𝐀 = ^𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥 +^𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦 +^𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧

 임의의 점에 대한 position vector의 divergence를 구하시오.

Example 2-10 풀이 (con’t)

𝛁 ∙ 𝐀 ≡ 1 ℎ₁ℎ₂ℎ₃

𝜕

𝜕𝑢₁(ℎ₂ℎ₃𝐴₁) + 𝜕

𝜕𝑢₂(ℎ₁ℎ₃𝐴₂) + 𝜕

𝜕𝑢₃(ℎ₁ℎ₂𝐴₃) pp. 30, Table 2-1 참고

 전류가 흐르는 매우 긴 전선의 magnetic flux density B는 전선과의 거리에 반비례하고, 원둘레에서는 같은 값을 갖는다. 이때

𝛁

Example 2-11

𝐁 = 𝑎

𝑘 𝑟

𝛁 ∙ 𝐁 = 1 𝑟

𝜕

𝜕𝑟 (𝑟𝐵

) + 1 𝑟

𝜕𝐵

𝜕∅ + 𝜕𝐵

𝜕𝑧

 전류가 흐르는 매우 긴 전선의 magnetic flux density B는 전선과의 거리에 반비례하고, 원둘레에서는 같은 값을 갖는다. 이때

𝛁

Example 2-11

 Vector field에 대한 divergence의 부피 적분은 해당 부피를 감싸는 표면의 밖으로 향하는 flux의 합 (면 적분)과 같다. 이를 divergence theorem이라고 한다.

2-7 Divergence Theorem

න

𝑉

𝛁 ∙ 𝐀 𝑑𝑣 = ර

𝑆

𝐀 ∙ 𝑑𝑠

𝛁 ∙ 𝐀 = lim

∆𝑣→0

ׯ

𝐀 ∙ 𝑑𝑠

∆𝑣

=

Divergence Theorem

න

𝑉

𝛁 ∙ 𝐀 𝑑𝑣 ර

𝑆

𝐀 ∙ 𝑑𝑠

 예제를 통해 divergence theorem을 알아보자.

2-7 Divergence Theorem

=

Divergence Theorem

2 1 2

1 0 1

2 1 2

=12 =12

 Gradient (경사도): scalar 값의 변화비율이 최대가 되는 방향과 변화율의 크기를 나타내는 vector를 gradient라고 정의하고, del 𝛻로 표기한다.

 Divergence (발산): vector field A의 divergence는 부피가 0으로 갈 때 S의 밖으로 나가는 flux를 면적분 한 것을 부피로 나눈 것으로 정의하며 div A로 표기한다.

복습

S A