전 기 자 기 학

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

복습_Plane Waves in Lossless Media

 Time-varying source는 E와 H의 변화 (electromagnetic wave)를 일으킴

 In lossless media In lossy media Electromagnetic waves

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎_𝑥𝐸₀cos(𝑤𝑡 − 𝑘𝑧) 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎_𝑦𝐸_𝑥

η

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝜶𝑧cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧) 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎_𝑦 𝐸₀

η_𝑐 𝑒^−𝜶𝑧cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧 − θ_η)

𝛼 ≅𝑤𝜖^′′

2 𝜇 𝜖^′

𝛽 ≅ 𝑤 𝜇𝜖^′ 1 +1 8

𝜖^′′

𝜖^′

2

η_𝑐 ≅ 𝜇

𝜖^′ 1 + 𝑗 𝜖^′′

2𝜖^′

𝛼 = 𝛽 = 𝜋𝑓𝜇𝜎 η_𝑐 ≅ (1 + 𝑗)𝛼

𝜎 𝛿 = 1

𝛼 = 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 In low-loss dielectrics In good conductor

𝑘 = 𝑤 𝜇𝜖 =𝑤 𝑐 𝜇_𝑟𝜖_𝑟

η = 𝜇

𝜖 = 120𝜋 𝜇_𝑟 𝜖_𝑟

η_𝑐= η_𝑐 ∠θ_η

7-4 Group Velocity

 Electromagnetic waves의 특정 phase에서의 한 지점의 propagation 속도 (phase velocity)는 다 음과 같다.

 In a lossless medium, 𝛽 = 𝜔 𝜇𝜖. 즉, 𝑢_𝑝 = 1/ 𝜇𝜖로 일정함 (상수)

 In lossy dielectric, 𝛽는 𝜔에 비례관계가 아님

𝑢_𝑝 = 𝜔 𝛽

𝜔₁ 𝜔₂ 𝜔₃ 𝜔₁ + 𝜔₂ + 𝜔₃

주파수에 따라 전파 속도가 달라짐 신호 왜곡

참고

 신호를 전달하기 위한 변조의 2가지 방법

www.taitradioacademy.com

7-4 Group Velocity

 Wave envelope의 속도를 group velocity라고 함

𝑢_𝑔

𝑢_𝑝

𝑢_𝑔 = 𝑢_𝑝: no dispersion (신호 왜곡 없음) 𝑢_𝑔 < 𝑢_𝑝: normal dispersion

𝑢_𝑔 > 𝑢_𝑝: anomalous dispersion

7-5 Flow of Electromagnetic Power

 Electromagnetic waves는 power를 전달함

 𝓟를 Poynting vector라고 함

 Poynting’s theorem: 𝓟의 surface에 대한 적분은 surface를 나가는 power와 같다.

𝛁 × 𝐄 = −𝜕𝐁

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐇 = 𝐉 +𝜕𝐃

𝜕𝑡

𝛁 ∙ 𝐄 × 𝐇 = 𝐇 ∙ 𝛁 × 𝐄 − 𝐄 ∙ 𝛁 × 𝐇 Maxwell’s Equations

ׯ_𝑠 𝐄 × 𝐇 ∙ 𝑑𝐬 = − ^𝜕

𝜕𝑡׬_𝑣 ¹

2𝜖𝐸² + ¹

2𝜇𝐻² 𝑑𝑣 − ׬_𝑣 𝜎𝐸² 𝑑𝑣

Electric energy의 변화량 Magnetic energy 의 변화량 Ohmic power 손실 Surface를 나가는 power

𝓟 = 𝐄 × 𝐇 (W/m²)

Example 7-5

 반지름이 b이고, conductivity가 𝜎인 긴 직선 전선에 DC전류 I가 흐를 때 표면에서의 poynting vecto를 계산하고, Poynting’s theorem을 증명하여라.

Example 7-5

Example 7-5

7-5.1 Instantaneous and Average Power Densities

 E(z)의 phasor 표현은 아래와 같음

 이를 cos𝜔𝑡 reference의 instantaneous 표현으로 바꾸기 위해서는 phasor 표현에 𝑒^𝑗𝜔𝑡를 곱한 후 real 부분을 취하면 됨

𝐄 𝑧 = 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^{− 𝜶+𝑗𝜷 𝑧}

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐄 𝑧 𝑒^𝑗𝜔𝑡 = 𝑅𝑒 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝛼𝑧𝑒^{−𝑗𝛽𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡

= 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝛼𝑧𝑅𝑒 𝑒^{−𝑗𝛽𝑧}𝑒^𝑗𝜔𝑡

= 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝛼𝑧𝑅𝑒 𝑒^{𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)}

= 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝛼𝑧𝑅𝑒 cos 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧)

= 𝑎_𝑥𝐸₀𝑒^−𝜶𝑧 cos 𝜔𝑡 − 𝜷𝑧

11주차 강의자료 또는 교재 6-5.1 참고

7-5.1 Instantaneous and Average Power Densities

 Lossy medium인 경우 H의 phasor 표현은 아래와 같음

 H의 instantaneous 표현은 다음과 같음

 Poynting vector의 instantaneous 표현은 다음과 같음

𝐇 𝑧 = 𝑎_𝑦 𝐸₀

η_𝑐 𝑒−(𝛼𝑧+𝑗 𝛽𝑧−θ_η )

= 𝑎_𝑦 𝐸₀

η_𝑐 𝑒^−𝛼𝑧𝑒^{−𝑗 𝛽𝑧−θη}

𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐇 𝑧 𝑒^𝑗𝜔𝑡

= 𝑎_𝑦 ^𝐸0

η_𝑐 𝑒^−𝜶𝑧 cos 𝜔𝑡 − 𝜷𝑧 − θ_η

𝐄 𝑧, 𝑡 와 동일하게 풀면 됨

𝓟 𝑧, 𝑡 = 𝐄 𝑧, 𝑡 × 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐄 𝑧 𝑒^𝑗𝜔𝑡 × 𝑅𝑒 𝐇 𝑧 𝑒^𝑗𝜔𝑡

7-5.1 Instantaneous and Average Power Densities

 Average power는 아래와 같이 계산됨

 In lossless media

 In general case

𝓟_𝑎𝑣 𝑧 = ¹

𝑇׬₀^𝑇𝓟(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎_𝑧 ^𝐸02

2 η_𝑐 𝑒^−2𝛼𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃_η (W/m²)

𝓟_𝑎𝑣 𝑧 = 𝑎_𝑧 ^𝐸02

2η (W/m²)

𝓟_𝑎𝑣 = ¹

2𝑅𝑒(𝐄 × 𝐇^∗) (W/m²)

7-6 Normal Incidence of Plane Waves

 Electromagnetic waves가 어떤 medium에서 다른 medium으로 들어갈 때 일부는 반사되고, 일 부는 전송됨

𝐄_𝑖 𝑧 = 𝑎_𝑥𝐸_𝑖0𝑒^{−j𝛽1𝑧} 𝐇_𝑖 𝑧 = 𝑎_y 𝐸_𝑖0

η₁ 𝑒^{−j𝛽1𝑧} 𝐄_𝑟 𝑧 = 𝑎_𝑥𝐸_𝑟0𝑒^j𝛽1𝑧 𝐇_𝑟 𝑧 = −𝑎_y 𝐸_𝑟0

η₁ 𝑒^j𝛽1𝑧

𝐄_𝑡 𝑧 = 𝑎_𝑥𝐸_t0𝑒^{−j𝛽2𝑧} 𝐇_𝑡 𝑧 = 𝑎_y 𝐸_𝑡0

η₂ 𝑒^{−j𝛽2𝑧}

7-6 Normal Incidence of Plane Waves

 Boundary condition에 의해 아래와 같음 𝐄_𝑖 0 + 𝐄_𝑟 0 = 𝐄_𝑡 0

𝐇_𝑖 0 + 𝐇_𝑟 0 = 𝐇_𝑡 0 𝐄_𝑟0 = η₂ − η₁

η₂ + η₁𝐄_𝑖0 𝐄_𝑡0 = 2η₂

η₂+ η₁𝐄_𝑖0

Γ = 𝐄_𝑟0

𝐄_𝑖0 = η₂ − η₁ η₂ + η₁

𝜏 = ^𝐄𝑡0

𝐄_𝑖0 = ^2η2

η₂+η₁=1+ Γ

𝑆 = 1 + 𝛤 1 − 𝛤

Standing-wave ratio Reflection coefficient

Transmission coefficient