전 기 자 기 학

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

복습

 Magnetic flux density 𝐁𝐁를 구하는 2가지 방법

 폐곡선에 대해 𝐁𝐁가 일정한 경우: Ampere’s circuital law

 그렇지 않은 일반적인 경우: Biot-Savart law

�𝑐𝑐 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 (in nonmagnetic media)

예)

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝐑𝐑 𝑅𝑅³

𝐁𝐁 일정

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ R

I

𝐁𝐁 일정X

복습

 Magnetic dipole: 전류가 흐르는 작은 loop

 원자에서 궤도운동을 하는 전자는 미시적인 magnetic dipole로 생각할 수 있음

 magnetic field가 없으면 일반적으로 magnetic dipole moment m의 합이 0이 되지만, 외부에 magnetic field를 주면 정렬이 되며 m의 합이 더 이상 0이 아님

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼𝑏𝑏²

4𝑅𝑅³ (𝑎𝑎_𝑅𝑅2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 + 𝑎𝑎_𝜃𝜃sin 𝜃𝜃)

b

R z

x y

P 𝜃𝜃

+ - - +

+ -

+ -

+ -

+ - ^B

- +

- + ^- +

- +

- + ^- +

B값이 달라짐

� m = 0 � m ≠0

Magnetic Field Intensity

 Magnetization된 물질 안에서 B값이 달라지게 되며, 이를 고려해 주어야 함

- +

- + ^- +

- +

- + ^- +

𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐉𝐉 𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀(𝐉𝐉 + 𝐉𝐉_{𝒎𝒎𝒎𝒎})

(in free space) (in magnetized material)

𝟏𝟏

𝜇𝜇₀ 𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝐉𝐉 + 𝐉𝐉_{𝒎𝒎𝒎𝒎}

𝐉𝐉_{𝒎𝒎𝒎𝒎} = 𝛁𝛁 × 𝐌𝐌

𝟏𝟏

𝜇𝜇₀ 𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝐉𝐉 + 𝛁𝛁 × 𝐌𝐌

𝛁𝛁 × 𝐁𝐁

𝜇𝜇₀ − 𝐌𝐌 = 𝐉𝐉 𝐇𝐇 = 𝐁𝐁

𝜇𝜇₀ − 𝐌𝐌

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝜇𝜇_𝑟𝑟𝐇𝐇 = 𝜇𝜇𝐇𝐇

𝛁𝛁 × 𝐇𝐇 = 𝐉𝐉

�𝑐𝑐 𝐇𝐇 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼

Stoke’s theorem

𝜇𝜇_𝑟𝑟: relative permeability 𝜇𝜇: (absolute) permeability

=𝐉𝐉 + 𝛁𝛁 × 𝐌𝐌

H를 magnetic field intensity라고 함

Magnetic Materials

 Magnetic material은 𝜇𝜇_𝑟𝑟값에 따라 크게 3가지로 나뉜다.

Diamagnetic (반자성체): 𝜇𝜇_𝑟𝑟 ≤ 1

- 외부 자기장 (magnetic field)에 대해 반대 방향의 자기모멘트를 갖는 물질, 자석에 붙지 않음

Paramagnetic (상자성체): 𝜇𝜇_𝑟𝑟 ≥ 1

- 외부 자기장에 대해 같은 방향의 자기모멘트를 약하게 갖는 물질

Ferromagnetic (강자성체): 𝜇𝜇_𝑟𝑟 ≫ 1

- 외부 자기장에 대해 같은 방향의 자기모멘트를 강하게 갖는 물질, 자석에 붙음

출처: 네이버 물리학백과, 두산백과

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝜇𝜇_𝑟𝑟𝐇𝐇

Magnetic Materials

 Ferromagnetic 물질의 경우 외부 magnetic field가 없어도 aligned magnetic dipole을 갖음

 Ferromagnetic에 외부 magnetic field를 인가해주면 permanent magnet (영구 자석)이 됨

manetic field를 P1로 인가한 경우 manetic field를 P2로 인가한 경우 manetic field를 P3로 인가한 경우

Boundary Condition

 이번에는 2 가지 종류의 매질에서 B와 H가 어떻게 변하는지 살펴보자.

 위의 두 공식으로부터 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

Normal components: 𝐵𝐵_1𝑛𝑛 = 𝐵𝐵_2𝑛𝑛

Tangential components: 𝐻𝐻_1𝑡𝑡 − 𝐻𝐻_2𝑡𝑡 = 𝐽𝐽_{𝑠𝑠𝑛𝑛}

∮_𝑠𝑠 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝑐𝑐 = 0

�𝑐𝑐 𝐇𝐇 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼 Tangential 방향

Normal 방향

�𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑎𝑎𝐇𝐇_𝑖𝑖 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐇𝐇₁ � ∆𝐰𝐰 + 𝐇𝐇₂ � −∆𝐰𝐰 = I

�𝑠𝑠 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝐬𝐬 = 𝐁𝐁₁ � 𝒂𝒂_{𝒏𝒏𝒏𝒏} + 𝐁𝐁₂ � 𝒂𝒂_{𝒏𝒏𝟏𝟏} ∆S

= 𝒂𝒂_{𝒏𝒏𝒏𝒏} � 𝐁𝐁₁ − 𝐁𝐁₂ ∆S

= 0

Exercise 5.7

 매질 1과 매질 2가 맞닿아 있고, 매질 1에서 𝐇𝐇₁이 경계면의 수직에 대해 𝛼𝛼₁의 각을 이루고 있다. 매질 1과 매질 2의 permeability가 각각 𝜇𝜇₁, 𝜇𝜇₂이고, 매질 2에서 𝐇𝐇₂가 경계면의 수직과 이루는 각을 𝛼𝛼₂라고 할 때 𝛼𝛼₂의 값을 구하시오.

𝐇𝐇_𝟏𝟏 𝐇𝐇_𝒏𝒏

𝛼𝛼₁

𝛼𝛼₂

𝐻𝐻_1𝑡𝑡 − 𝐻𝐻_2𝑡𝑡 = 𝐽𝐽_{𝑠𝑠𝑛𝑛} 𝐵𝐵_1𝑛𝑛 = 𝐵𝐵_2𝑛𝑛

를 이용하여 tangential 성분과 normal 성분을 나눠서 푼다.

𝐇𝐇_𝟏𝟏 𝛼𝛼₁

𝐇𝐇_𝟏𝟏sin𝛼𝛼₁ 𝐇𝐇_𝟏𝟏cos𝛼𝛼₁

Exercise 5.7

Electric field와 magnetic field의 비교

𝐄𝐄 = 1 4𝜋𝜋𝜖𝜖₀ �

𝐿𝐿^′ 𝑎𝑎_𝑅𝑅 𝜌𝜌_𝑣𝑣 𝑅𝑅² 𝑑𝑑𝑑𝑑^′

 일반적인 경우 B:

Biot-Savart law

 폐곡선에 대해 𝐁𝐁가 일정한 경우:

Ampere’s circuital law

�𝑐𝑐 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 (in nonmagnetic media)

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐼𝐼 4𝜋𝜋 �_𝐶𝐶^′

𝑑𝑑𝑑𝑑^′ × 𝑎𝑎_𝑅𝑅 𝑅𝑅²

𝑎𝑎_𝑅𝑅 =𝐑𝐑 𝑅𝑅

 일반적인 경우 E:

Coulomb’s law

 폐곡면에 대해 𝐄𝐄가 일정한 경우:

Gauss’s law

�𝑠𝑠 𝐄𝐄 � 𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑄𝑄 𝜖𝜖₀

 vector magnetic potential A

 Electric potential V

𝐄𝐄 = −𝛻𝛻𝛻𝛻 𝐁𝐁 = 𝛁𝛁 × 𝐀𝐀

Electric field와 magnetic field의 비교

𝐄𝐄

- -

- -

+ + + +

𝐄𝐄

𝐏𝐏

+ ^{- -} + + -

+ -

+ -

+ -

B

+ -

+ - + ^- + -

+ - + ^-

 Dielectric에서의 E, magnetized 매질에서의 B

𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝐉𝐉 𝛁𝛁 × 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀(𝐉𝐉 + 𝐉𝐉_{𝒎𝒎𝒎𝒎})

(in free space) (in magnetized material)

𝐁𝐁 = 𝜇𝜇₀𝜇𝜇_𝑟𝑟𝐇𝐇 = 𝜇𝜇𝐇𝐇 𝐄𝐄_𝒐𝒐 = 𝐄𝐄 − 𝐄𝐄_𝒑𝒑

= (𝟏𝟏 + 𝜒𝜒_𝑒𝑒)𝐄𝐄=𝜖𝜖_𝑟𝑟𝐄𝐄 𝐃𝐃 = 𝜖𝜖𝐄𝐄

𝜖𝜖 = 𝜖𝜖₀𝜖𝜖_𝑟𝑟

Polarization Magnetization

Electric field와 magnetic field의 비교

 Boundary condition (경계 조건)에서의 E와 B

𝐸𝐸_1𝑡𝑡 = 𝐸𝐸_2𝑡𝑡

𝐷𝐷_1𝑛𝑛 − 𝐷𝐷_2𝑛𝑛 = 𝜌𝜌_𝑠𝑠 𝐵𝐵_1𝑛𝑛 = 𝐵𝐵_2𝑛𝑛 𝐻𝐻_1𝑡𝑡 − 𝐻𝐻_2𝑡𝑡 = 𝐽𝐽_{𝑠𝑠𝑛𝑛}

Inductances and Inductors

 면적이 각각 𝑆𝑆₁, 𝑆𝑆₂인 두 개의 loop 𝐶𝐶₁, 𝐶𝐶₂를 생각해보자.

 𝐶𝐶₁에 전류 𝐼𝐼 가 흐르면 𝐁𝐁₁이 발생할 것이고, 𝐁𝐁₁의 일부가 𝐶𝐶₂로 지나게 될 것이다.

 이 것을 mutual flux Ф₁₂라 하면 이는 다음과 같고 전류 𝐼𝐼₁에 비례한다.

 이때 𝐶𝐶₂에 전선이 𝑁𝑁₂번 감겨있다면, flux linkage 는 다음과 같다.

Ф₁₂=∫_𝑆𝑆2 𝐁𝐁₁ � 𝑑𝑑𝐬𝐬₂

= 𝐿𝐿₁₂𝐼𝐼₁

Mutual inductance

Λ₁₂ = 𝑁𝑁₂Ф₁₂

= 𝐿𝐿₁₂𝐼𝐼₁ 𝐿𝐿₁₂ = Λ₁₂

𝐼𝐼₁ = 𝑁𝑁₂ 𝐼𝐼₁ �

𝑆𝑆₂ 𝐁𝐁₁ � 𝑑𝑑𝐬𝐬₂

Inductances and Inductors

 전류 𝐼𝐼₁에 의해 𝐶𝐶₁ 스스로에 발생하는 flux linkage 는 다음과 같다.

 이때 self-inductance는 아래와 같이 정의된다.

 Self-inductance를 제공하기 위해 형태의 conductor를 inductor라고 한다.

 Capacitor는 전기적 에너지를 저장했다면, inductor는 자기적 에너지를 저장한다.

Λ₁₁ = 𝑁𝑁₁Ф₁₁

𝐿𝐿₁₁ = Λ₁₁

𝐼𝐼₁ = 𝑁𝑁₁ 𝐼𝐼₁ �

𝑆𝑆₁ 𝐁𝐁₁ � 𝑑𝑑𝐬𝐬₁

Inductances and Inductors

 Inductor의 self-inductance를 계산하는 방법은 다음과 같다.

1. 주어진 형태에 적절한 coordinate를 선택한다.

2. 전선에 전류 𝐼𝐼 가 흐른다고 가정한다.

3. Ampere’s circuital law등을 이용해 B를 구하고 이를 적분해 Ф를 구한다.

4. N을 곱해 Λ를 구한다.

5. 𝐿𝐿 = ^Λ_𝐼𝐼를 이용해서 L을 구한다.

Ф=∫_𝑆𝑆 𝐁𝐁 � 𝑑𝑑𝐬𝐬 Λ = 𝑁𝑁Ф

Example 5-8

 아래와 같이 전선이 N번 감겨있는 toroidal coil의 permeability가 𝜇𝜇₀라고 할 때, self-inductance를 구하여라.

Example 5-8

Example 5-8