전 기 자 기 학

(1)

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

(2)

복습

 Electromagnetic is the study of electric and magnetic phenomena caused by electric charges at rest or in motion

 Maxwell’s Equations

+

Electric flux

𝐃 = 𝜖𝐄

𝐁 = 𝜇𝐇

- -

Current (전류)

Magnetic field (자기장)

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐇 = 𝐉 + 𝜕𝐃

𝜕𝑡

𝛁 ∙ 𝐃 = 𝜌

_𝑣

𝛁 ∙ 𝐁 = 0

시간에 따라 변하는 자기장 B는 전기장 E를 야기한다.

시간에 따라 변하는 전기장 D는 전류가 없을 때에도 자기장 H를 야기한다.

charge density (전하밀도)에 의해 전기장 D는 divergence (발산) 한다.

자기장 B는 절대 divergence (발산)하지 않는다. (자기단극은 존재하지 않음)

(3)

복습_Plane Waves in Lossless Media

 Electric charge가 없는 source-free nonconducting media에서 Maxwell’s Equations

 Source-free media에서는 electromagnetic wave (전자기파)가 아래와 같이 표현됨

𝛁 × 𝐄 = −𝜇 𝜕𝐇

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐇 = 𝜖 𝜕𝐄

𝜕𝑡

𝛁 ∙ 𝐃 = 0

𝛁 ∙ 𝐁 = 0

𝛁 × 𝛁 × 𝐄 = −𝜇 𝜕(𝛁 × 𝐇)

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐇 = 𝜖 𝜕𝐄

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐄 = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡

𝛁 × 𝐇 = 𝐉 + 𝜕𝐃

𝛁 ∙ 𝐃 = 𝜌

_𝑣

𝜕𝑡

𝛁 ∙ 𝐁 = 0

Plane waves

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑥

𝐸

₀

cos(𝑤𝑡 − 𝑘𝑧)

𝑘 = 𝑤

𝑐 𝜇

_𝑟

𝜖

_𝑟

𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑦

𝐸

_𝑥

η = 𝑎

_𝑦

𝐸

₀

η cos(𝑤𝑡 − 𝑘𝑧)

η = 𝜇

𝜖 = 120𝜋 𝜇

_𝑟

𝜖

_𝑟

(4)

7-3 Plane Waves in Lossy Media

 Conductor에서는 electric fields에 의해 전류가 흐름 (𝐉 = 𝜎𝐄)

 𝜖_𝑐를 complex permittivity라고 함

𝛁 × 𝐇 = 𝐉 + 𝜕𝐃

𝜕𝑡

= 𝜎𝐄 + 𝜕𝜖𝐄

𝜕𝑡 = 𝜎 + 𝑗𝑤𝜖 𝐄 = 𝑗𝑤 𝜖 + 𝜎 𝑗𝑤 𝐄

= 𝑗𝑤𝜖

_𝑐

𝐄

𝜖

_𝑐

= 𝜖 − 𝑗 𝜎

𝑤

(5)

 Electric fields E는 material을 polarization시킴

 따라서 plane waves의 frequency에 따라 polarization이 변할 것임 (관성에 의한 loss 생김)

 또한 conductor와 같이 free charge가 있으면 ohmic loss도 발생함

 Complex permittivity (𝜖_𝑐)의 허수 부분이 이러한 loss를 반영함

+ + + + + +

E

- - - - - -

polarization (분극)

𝜖

_𝑐

= 𝜖 − 𝑗 𝜎

𝑤

(6)

 𝛁 × 𝐇 = 𝑗𝑤𝜖𝐄 대신 𝛁 × 𝐇 = 𝑗𝑤𝜖_𝑐𝐄로부터 plane waves 수식을 구함

𝛁

²

𝐄

_𝑠

+ 𝑘

²

𝐄

_𝑠

= 0

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑥

𝐸

₀

cos(𝑤𝑡 − 𝑘𝑧) 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑦

𝐸

_𝑥

η In Lossless Media

𝛁

²

𝐄

_𝑠

+ 𝑘

_𝑐²

𝐄

_𝑠

= 0 In Lossy Media

𝑘

_𝑐

= 𝑤 𝜇𝜖

_𝑐

propagation constant 𝛾 = 𝑗𝑘

_𝑐

= 𝛼 + 𝑗𝛽

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑥

𝐸

₀

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧) 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑦

𝐸

₀

η

_𝑚

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧 − θ) η

_𝑐

=η

_m

∠θ라고 하면

E와 H 간에 위상차 발생

(7)

7-3.1 Low-Loss Dielectrics

 Low-loss dielectric의 경우 𝜎/w𝜖 << 1 여서 다음과 같이 근사화 됨

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑥

𝐸

₀

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧) 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑦

𝐸

₀

η

_𝑚

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧 − θ)

𝛼 ≅ 𝑤𝜖

^′′

2 𝜇 𝜖

^′

𝛽 ≅ 𝑤 𝜇𝜖

^′

1 + 1 8

𝜖

^′′

𝜖

^′

2

η

_𝑐

≅ 𝜇

𝜖

^′

1 + 𝑗 𝜖

^′′

2𝜖

^′

E와 H 간에 위상차 발생

η

_𝑐

=η

_m

∠θ라고 하면

(8)

7-3.2 Good Conductors

 Good conductor의 경우 𝜎/w𝜖 >> 1여서 다음과 같이 근사화 됨

 Plane wave의 크기가 𝑒⁻¹ (≈ 0.368)로 줄어들 때의 깊이를 skin depth라고 함

𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑥

𝐸

₀

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧)

𝛼 = 𝛽 = 𝜋𝑓𝜇𝜎

η

_𝑐

≅ (1 + 𝑗) 𝛼 𝜎

𝛿 = 1

𝛼 = 1 𝜋𝑓𝜇𝜎 𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝑎

_𝑦

𝐸

₀

η

_𝑚

𝑒

^−𝜶𝑧

cos(𝑤𝑡 − 𝜷𝑧 − θ)

(9)

Example 7-4

 바닷물에서 Z축으로 이동하는 plane wave가 z=0에서 𝐄 = 𝑎_𝑥100cos(10⁷𝜋𝑡)이고, 바닷물의 파라미터가 𝜖_𝒓 = 72, 𝜇_𝒓 = 1, 𝜎 = 4일 때, 다음을 구하시오.

a) Attenuation constant 𝛼, phase constant 𝛽, intrinsic impedance η_𝑐, skin depth 𝛿 (나머지 생략)

b) E의 크기가 1%인 지점과 z=0 지점 간의 거리

c) z=0.8(m)에서 시간 t의 함수 𝐄 𝑧, 𝑡 와 𝐇 𝑧, 𝑡

(10)

Example 7-4

(11)

Example 7-4

(12)

Example 7-4

(13)

참고자료