Zoom Lens계의 성능 평가 및 설계

理學博士學位 論文

Zoom Lens계의 성능 평가 및 설계

國民大學校 大學院

物 理 學 科

池 澤 相

2 0 0 1

Zoom Lens계의 성능 평가 및 설계

指導敎授 尹 星 老

이 論文을 理學博士學位 請求 論文으로 提出함

2002年 4月10日

國民大學校 大學院

物 理 學 科

池 澤 相

2 0 0 1

池澤相의

理學博士學位 請求論文을 認准함

2002年 6月 7日

審 査 委 員 長 印

審 査 委 員 印

審 査 委 員 印

審 査 委 員 印

審 査 委 員 印

國民大學校 大學院

감사의 글

항상 부족하지만 나의 편이 되어 주셔서 공부할 수 있도록 인도하시고 또한 이렇게 논문을 완성할 수 있도록 함께 하여 주신 나의 하나님께 먼저 영광과 감사를 돌립니다.

그 동안 처음부터 지금까지 성심껏 지도하여 주시고, 이 논문이 완성되기 까지 이끌어 주신 지도 교수님 윤성로 학장님께 먼저 무한한 감사를 드리 며, 또한 입학을 쾌히 허락하시고 이번 학위논문심사위원장으로 수고하여 주신 김철성 교수님께 깊은 감사를 드립니다. 그리고 김창식 학장님을 비롯 하여 조영석 교수님, 박기택 교수님, 이창우 교수님 모든 분께 감사를 드리 며, 바쁘신 중에도 심사하여 주신 서강대학교 조규만 교수님, 연세대학교 박승한 교수님께 감사를 드립니다. 또한 이 논문이 완성되기까지 열심을 다 하여 도와준 김봉환 선생을 비롯하여 그 동안 광학 연구실에서 함께 한 모 든 분들께 감사를 드립니다. 그리고 박사과정을 무사히 마칠 수 있도록 선 처를 베풀어주신 김천대학 강신경 이사장님, 이명철 학장님, 강성애 국장님 그리고 신흥대학의 김병옥 학장님께 깊은 감사를 드리며 많은 격려를 해주 신 교직원들에게도 감사를 드립니다.

특별히 학위를 하도록 힘 주시고 격려하여 주신 아버지, 어머님께 깊은 감사를 드리며, 모든 형제 자매들에게도 감사를 드립니다. 또한 승리할 수 있도록 새벽마다 늘 기도로 하나님께 간구 하여 주신 장모님께 더욱 감사 를 드리며, 힘들고 어려워 짜증날 때도 말 한마디 없이 내조한 진심으로 사 랑하는 아내와 스위스에서 어려운 여건 속에서 공부하느라 바쁜 가운데서 도 도와주고 기도해준 나의 사랑하는 딸 명재와 국가의 부름에 응하여 공 군에 가서 군 복무하면서도 도와주고 기도해준 나의 사랑하는 아들 형록에 게 더욱 고맙게 생각하며 이 기쁨을 함께 나누며 영원히 마음속 깊이 간직 하고자 합니다.

이제 저에게는 하나님의 영광을 위하여 진리의 말씀에 따라 더욱 주의 일에 힘쓰는 자 되기를 바라면서 다시 한번 본 논문을 통해서 하나님께 큰 영광과 찬양을 드립니다.

논문심사를 마치고서 2002 년 6 월 7 일

목 차

표 목차 그림 목차 국문 초록

제 Ⅰ 장 서 론 ···¹

제 Ⅱ 장 기하광학 이론 ···⁵

제 1 절 기호 및 용어에 대한 규약 ···5

1. 기호에 대한 규약 ···5

2. 용어에 대한 규약 ···7

제 2 절 광선추적 ···10

1. y-nu 광선추적 ···10

2. 유한 광선추적(Exact ray tracing) ···11

(1) 구면에 대한 광선추적 ···11

(2) 비구면에 대한 광선추적 ···20

3. Gaussian Bracket ···29

(1) 정의 및 성질 ···29

(2) Gauss 광선 추적식의 Bracket 표현 ···31

제 3 절 수차론 ···34

1. Third order 이론에 의한 수차 및 Seidel 계수 ···34

2. 유한 광선에 의한 수차 ···35

(1) 구면수차(Spherical aberration) ···36

(2) 코마수차(Coma) ···37

(3) 비점수차(Astigmatism) ···38

(4) 상면만곡(Field curvature) ···40

(5) 왜곡수차(Distortion) ···41

3. 색수차(Chromatic aberration) ···42

4. 비구면에 의한 수차 보정 ···45

(1) 변화 계수의 정의 ···45

(2) 연립 방정식 ···46

5. Spot Diagram과 MTF ···47

6. Damped Least Squares Method ···49

(1) 최적화 정의 및 방법 ···49

(2) 수차함수의 정의 및 방법 ···51

(3) Merit Function ···52

(4) 최소 자승법 (Least Squares Method) ···53

(5) 감쇠 최소 자승법 (Damped Least Squares Method) ···54

제 Ⅲ 장 줌 렌즈계의 성능 평가 및 분석 ···⁵⁶

제 1 절 줌 렌즈계 ···56

1. 줌 렌즈계의 소개 ···56

2. 줌 렌즈계에서의 기호규약 ···58

3. 줌 렌즈계의 근축설계 및 궤적해석 ···58

(1) 무한 물점용 줌 렌즈계 ···59

(2) 유한 물점용 줌 렌즈계 ···74

제 2 절 유한 물점용 줌 렌즈계의 성능 평가 및 분석 ···87

1. 2군 줌 렌즈계 ···87

2. 3군 줌 렌즈계 ···102

제 3 절 무한 물점용 줌 렌즈계의 성능 평가 및 분석 ···115

1. 2군 줌 렌즈계 ···115

2. 3군 줌 렌즈계 ···130

제 Ⅳ 장 줌 렌즈계 설계 ···¹⁴²

제 1 절 3군 복사기 줌 렌즈계 설계 ···142

1. 기초 설계 조건 ···143

2. 궤적해석 ···143

3. 렌즈 개요 ···145

(1) 1군 광학계 ···145

(2) 2군 광학계 ···146

(3) 3군 광학계 ···147

4. 대칭형 3군 줌 복사기 렌즈계의 기초설계 제원 ···148

5. 기초 자료 조사 ···150

(1) System의 특성 ···150

(2) 각 군의 특성 ···151

6. System의 광학적 성능 ···151

(1) Seidel 계수 ···151

(2) 유한광선수차 ···155

(3) MTF ···158

제 2 절 3군 줌 camera lens 설계 ···159

1. 기초 설계 조건 ···159

2. 궤적해석 ···160

3. 렌즈 개요 ···161

(1) 1군 광학계 ···161

(2) 2군 광학계 ···163

(3) 3군 광학계 ···164

4. 35mm 카메라 비구면 줌 렌즈계의 제원 ···165

5. 기초 자료 조사 ···168

(1) System의 특성 ···168

(2) 각 군의 특성 ···168

6. System의 광학적 성능 ···169

(1) Seidel 계수 ···169

(2) 유한광선수차 ···173

(3) MTF ···176

제 Ⅴ 장 결 론 ···¹⁷⁷

참고문헌 ···184

Abstract ···189

부록 ···191

표 목 차

[표 1] 구면에 대한 광선 추적법 요약 ···19

[표 2] 비구면에 대한 광선 추적법 요약 ···28

[표 3] Fraunhofer and other standard lines ···42

[표 4] 3군 줌 렌즈계의 분류 ···64

[표 5] 2군 줌 복사기 렌즈계 제원 ···88

[표 6] 군간의 간격 ···88

[표 7] System의 1차 특성 ···91

[표 8] 각 군의 1차 특성 ···91

[표 9] 기초 설계 조건 ···92

[표 10] 각 군의 power ···92

[표 11] 각 군간의 궤적 ···93

[표 12] System에서의 Seidel 계수 ···95

[표 13] 3군 줌 복사기 렌즈계 제원 ···102

[표 14] 군간의 간격 ···102

[표 15] System의 1차 특성 ···104

[표 16] 각 군의 1차 특성 ···105

[표 17] 기초 설계 조건 ···105

[표 18] 각 군의 power ···106

[표 19] 각 군간의 궤적 ···106

[표 20] System에서의 Seidel 계수 ···108

[표 21] 35mm 카메라 비구면 줌 렌즈계 제원 ···115

[표 22] 군간의 간격 ···116

[표 23] 비구면 계수 ···116

[표 24] System의 1차 특성 ···117

[표 25] 각 군의 1차 특성 ···118

[표 26] 기초 설계 조건 ···119

[표 27] 각 군의 power ···119

[표 28] 각 군의 궤적 ···120

[표 29] System에서의 Seidel 계수 ···122

[표 30] 구면과 비구면의 Seidel sum 비교 ···123

[표 31] 3군 줌 렌즈계 제원 ···130

[표 32] 군간의 간격 ···131

[표 33] System의 1차 특성 ···132

[표 34] 각 군의 1차 특성 ···133

[표 35] 기초 설계 조건 ···133

[표 36] 각 군의 power ···133

[표 37] 각 군간의 궤적 ···134

[표 38] System에서의 Seidel 계수 ···135

[표 39] 기초 설계 조건 ···143

[표 40] 각 군의 power ···143

[표 41] 각 군간의 궤적 ···144

[표 42] 1군 광학계의 제원 ···145

[표 43] 1군 광학계의 특성 ···145

[표 44] 2군 광학계의 제원 ···146

[표 45] 2군 광학계의 특성 ···146

[표 46] 3군 광학계의 제원 ···147

[표 47] 3군 광학계의 특성 ···147

[표 48] 3군 줌 복사기 렌즈계 제원 ···148

[표 49] 군간의 간격 ···148

[표 50] System의 1차 특성 ···150

[표 51] 각 군의 1차 특성 ···151

[표 52] System에서의 Seidel 계수 ···152

[표 53] 기초 설계 조건 ···159

[표 54] 각 군의 power ···160

[표 55] 각 군간의 궤적 ···160

[표 56] 1군 광학계의 제원 ···162

[표 57] 1군 광학계의 특성 ···162

[표 58] 2군 광학계의 제원 ···163

[표 59] 2군 광학계의 특성 ···163

[표 60] 3군 광학계의 제원 ···164

[표 61] 3군 광학계의 특성 ···164

[표 62] 35mm 카메라 비구면 줌 렌즈계 제원 ···167

[표 63] 군간의 간격 ···167

[표 64] 비구면 계수 ···167

[표 65] System의 1차 특성 ···168

[표 66] 각 군의 1차 특성 ···169

[표 67] System에서의 Seidel 계수 ···170

그 림 목 차

[그림 1] Right-handed coordinate axes ···5

[그림 2] 용어 정의 ···7

[그림 3] 광학계의 단면 ···10

[그림 4] j-1 면과 j 면사이의 공간에서 Skew ray의 진행과정 ···12

[그림 5] 접평면에서 다음 구면까지의 과정 ···14

[그림 6] 구면에서의 굴절 과정 ···16

[그림 7] 비구면에서의 사광선 진행 과정 ···20

[그림 8] 접평면에서 비구면까지의 근사 과정 ···22

[그림 9] 초점거리와 뒷초점거리의 정의 ···31

[그림 10] 구면수차 ···36

[그림 11] 코마수차 ···37

[그림 12] 비점수차 ···38

[그림 13] 상면만곡 ···40

[그림 14] 왜곡수차 ···41

[그림 15] 종 색수차와 횡 색수차 ···44

[그림 16] 배율 색수차 ···44

[그림 17] 줌 시스템 ···57

[그림 18] Pentax retro-focus zoom lenses ···60

[그림 19] 2군 줌 렌즈계 ···61

[그림 20] Cooke Varo lens ···62

[그림 21] 3군 줌 렌즈계 ···64

[그림 22] 유한 물점용 2군 렌즈계 ···75

[그림 23] 유한 물점용 2군 줌 광학계의 개략도 ···77

[그림 24] 유한 물점용 3군 렌즈계 ···81

[그림 25] 2군 줌 복사기 렌즈 광학계 ···89

[그림 26] 궤적해석 ···94

[그림 27] 구면수차 ···98

[그림 28] 비점수차와 왜곡수차 ···99

[그림 29] MTF ···100

[그림 30] 광학계의 단면도 ···103

[그림 31] 궤적해석 ···107

[그림 32] 구면수차 ···111

[그림 33] 비점수차 및 왜곡수차 ···112

[그림 34] MTF 그래프 ···113

[그림 35] 35mm 카메라 비구면 줌 렌즈계 단면도 ···116

[그림 36] 궤적해석 ···120

[그림 37] 구면수차 ···126

[그림 38] 비점수차와 왜곡수차 ···127

[그림 39] MTF 그래프 ···128

[그림 40] 3군 줌 렌즈계의 단면도 ···131

[그림 41] 궤적해석 ···134

[그림 42] 구면수차 ···139

[그림 43] 비점수차와 왜곡수차 ···140

[그림 44] MTF ···141

[그림 45] 궤적해석 ···144

[그림 46] 1군 광학계의 단면도 ···145

[그림 47] 2군 광학계의 단면도 ···147

[그림 48] 3군 광학계의 단면도 ···147

[그림 49] 광학계의 단면도 ···149

[그림 50] 구면수차 ···156

[그림 51] 비점수차 및 왜곡수차 ···157

[그림 52] MTF 그래프 ···158

[그림 53] 궤적해석 ···161

[그림 54] 1군 광학계의 단면도 ···162

[그림 55] 2군 광학계의 단면도 ···163

[그림 56] 3군 광학계의 단면도 ···164

[그림 57] 3군 줌 camera lens 단면도 ···166

[그림 58] 구면수차 ···174

[그림 59] 비점수차와 왜곡수차 ···175

[그림 60] MTF 그래프 ···176

국 문 초 록

Zoom Lens계의 성능 평가 및 설계

국민대학교 대학원

물 리 학 과

지 택 상

요즈음 개발되는 각종 카메라, 캠코더, CCTV, 복사기 등의 광학계는 줌 과 비구면을 이용하여 작으면서도 광각과 망원을 동시에 수용하고 성능도 우수하다.

본 논문에서는 현재 복사기에 사용되고 있는 줌 렌즈계 2종, 즉 2군 줌 렌즈계(비대칭형)와 3군 줌 렌즈계(대칭형) 각각 하나씩을 참고 모델로 선 정하여 이들이 갖는 광학적 성능을 분석하고 평가하였다. 이 자료들을 설계 기초 조건과 최종 성능 기준으로 활용하여 복사기용 3군 줌 렌즈계를 설계 하였다. 또한 사진기에 이용되는 2군 줌 렌즈계(비구면 사용)와 3군 줌 렌 즈계의 성능을 분석, 평가하고 이들을 참고로 하여 사진기용 3군 줌 렌즈계 도 설계하였다.

설계한 복사기용 줌 렌즈계는 3군 대칭형으로 하여 대칭형이 갖는 특성 을 활용하고 확인하였으며, 설계한 사진기용 줌 렌즈계는 3군으로 하고 비 구면을 도입함으로써 성능향상과 소형화를 도모하였다.

설계결과는 광학계 평가 도구인 유한광선수차, MTF, Seidel 수차 계수 등을 이용하여 참고 모델과 비교하였으며 거의 비슷한 수준이 유지됨을 확 인하였다.

제 Ⅰ 장 서 론

요즈음 개발되는 각종 카메라, 캠코더, CCTV, 복사기 등의 렌즈는 줌과 비구면을 이용하여 작으면서도 넓은 광각과 망원을 동시에 수용하고 광학 적 성능도 매우 우수한 제품이 만들어지고 있다.

줌의 원리는 렌즈간의 간격 조절에 의해 system의 초점거리를 변화시키 는 것이다. 이때 상면을 고정시키고 요구하는 power 값에 따라 이에 알맞 게 렌즈들을 이동시키는 것이 줌 렌즈의 기본원리이다. 따라서 고정 초점 광학계와는 달리 줌 광학계는 변하는 power 전 영역에 걸쳐서 광학계 성능 검토가 이루어져야 하고 또한 수차 보정이 수행되어야 한다.

본 논문에서는 현재 복사기에 사용되고 있는 줌 렌즈계 2가지, 즉 2군 줌 렌즈계와 3군 줌 렌즈계 각각 하나씩을 선정하여 그 광학계의 광학적 성능 을 분석 평가하고, 이를 기초로 복사기용 3군 줌 렌즈계를 설계하였으며, 또한 사진기에 이용되는 2군 줌 렌즈계와 3군 줌 렌즈계의 성능을 분석 평 가하고 이를 기초로 사진기용 3군 줌 렌즈계를 설계하였다.

설계에 참고하기 위하여 광학적 성능을 분석하고 평가한 복사기용 줌 렌 즈계는 -1.4∼-0.64의 배율로 확대, 축소가 가능하며, 물점에서 상점까지의 거리가 고정되고, F-number는 12∼16 정도를 갖는 광학계로서 하나는 대 칭형, 하나는 비대칭형이다.

성능 분석 결과 복사기용 줌 렌즈계는 왜곡수차 보정에 최우선을 두고 있으며 최외각에서도 왜곡 백분율 수치가 0.1∼0.2 % 이내로 유지됨을 확

인하였으며, MTF 수치는 10 lp/㎜에서 20% 정도를 충족하고 있다. 따라서 설계할 복사기용 줌 렌즈계는 왜곡 수차 보정이 용이한 대칭형으로 하고 -1.4∼-0.64의 배율로 확대, 축소가 가능하고 물체에서 상점까지의 거리가 고정되며, F-number가 8.0인 값을 만족하도록 정하였으며 설계 결과도 예 측과 같이 왜곡수차가 최외각에서도 전 영역에 걸쳐 0.1% 이하가 유지됨을 확인하였다.

한편 성능을 조사하고 분석한 사진기용 줌 렌즈계는 2면의 비구면을 포 함하여 6개의 surface로 이루어진 2군 줌 렌즈계와 비구면을 사용하지 않고 19개의 구면으로 이루어진 3군 줌 렌즈계의 2종류이다.

F-number는 4.0∼8.0 반시계는 28°∼11° 줌 비는 2.0∼3.0이다. 성능분 석 결과 구면수차는 전 영역에 걸쳐서 고르게 보정되어 있고 비점수차도 3 군의 경우엔 거의 완전하게 보정이 이루어 졌으며 2군도 middle에서만 0.2mm 정도를 보이고 있다.

왜곡수차는 3군은 최외각에서 2% 수준, 2군은 1% 수준을 유지하며 MTF는 40 lp/㎜에서 30% 정도를 충족하고 있다. 따라서 설계할 사진기용 줌 렌즈계는 3군으로 하고 1개의 비구면을 포함하며 왜곡수차는 일정 수준 을 허용하며 구면수차와 비점수차 보정에 주안점을 두기로 하였다. 설계 결 과는 F-number는 4.0∼6.0이고, 줌 비는 2.8이며 구면수차는 전 영역에 걸 쳐 양호하고 비점수차도 tele 영역에서만 약간 존재하며 왜곡수차는 최외각 에서 3% 정도를 허용하였다. MTF도 참고 모델 수준을 유지했다.

Ⅱ장에서는 광학계의 성능을 계산하고 평가하는데 이용되는 이론과 방법 또는 도구들을 정리하였다. 기초적인 광학적 성능들을 계산하는 광선추적

도구인 y-nu 광선 추적식, 중심 부분과 외각 부분, 횡배율 등과 같이 수차 를 구분해서 계산 가능한 유한광선 추적식과 가변초점 광학계에서 기본적 인 광선추적을 복잡한 수식표현은 피하고 간단한 표현식을 통하여 정리 가 능한 Gaussian bracket과 광학계의 성능평가 도구인 Seidel 수차 계수, 유 한광선수차, spot-diagram, MTF 등을 소개하고 computer를 이용한 최종 설계 도구인 최적화 기법에 대하여 소개하였으며 비구면을 이용하여 수차 보정시 비구면 계수를 구하는 수식을 정리하였다.

Ⅲ장 1절에서는 줌 렌즈계를 소개하고 무한 물점용 줌 렌즈계와 유한 물 점용 줌 렌즈계를 구분하여 줌 렌즈계를 근축 설계시 이용되는 변배에 따 른 군간의 간격과 각 군의 power 사이의 관계식을 정리하였으며, Ⅲ장 2절 에서는 본 논문의 핵심이 되는 내용인 물체가 유한한 거리에 위치하였을 때의 결상 광학계 중 복사기에 이용되는 확대 축소용 2군과 3군 줌 광학계 하나씩을 선정하여 광학계의 1차 특성들로부터 기초 설계 조건이나 줌의 궤적 등을 계산하고 Seidel 수차계수, 유한광선수차, MTF 등을 조사하였으 며, 물체가 무한 원거리에 위치하였을 경우의 결상 광학계인 사진기에 이용 되는 줌 광학계 중 2군과 3군 하나씩을 선정하여 복사기용 줌 광학계에서 와 동일하게 줌 광학계 설계시 최초 설계 조건으로부터 줌 광학계의 근축 설계 조건과 줌의 궤적 등을 계산하고 Seidel 수차계수, 유한광선수차 등의 성능 평가 도구들을 이용하여 설계 과정에서 기초 설계 조건과 성능 평가 기준으로 활용될 내용들을 조사하였다.

Ⅳ장에서는 앞 Ⅲ장에서 조사한 자료들을 기초로 하여 3군 복사기 줌 렌 즈계와 3군 줌 카메라 렌즈계를 설계하여 보았다. 설계 절차는 기초 설계 조건을 선정한 후 그 조건에 따른 각 군의 power를 계산하고 변배에 따른 각 군의 움직임을 조사하여 각 군의 궤적을 알아보았다. 각 군의 power에 알맞은 광학계를 선정한 후 system을 구성하여 근축설계를 완료한 후 수차 보정 작업과 최적화 기법을 통하여 1차 설계를 완결하였다. 3군 복사기 줌 렌즈계는 대칭성을 갖는 광학계를 구성함으로써 이런 광학계의 특성인 왜 곡수차, 횡 색수차, Coma 등의 우수하게 나타나는 장점을 활용하였고, 3군 줌 카메라 렌즈는 비구면을 도입하여 광학적 성능을 개선시키도록 시도하 였다. 설계나 평가 분석에 사용된 프로그램은 본 연구에서 제작한 프로그램 과 렌즈 설계 프로그램인 Toles, Code Ⅴ을 사용하였다.

제 Ⅱ 장 기하광학 이론

여러 개의 구성 품으로 이루어진 광학계에서 빛의 진행을 추적하여 광학 적 성능을 분석하는 몇 가지 방법이 있다. 이러한 이론들을 도입하기에 앞 서 필요한 기호 규약을 정리하면 많은 면에서 편리하다.

제 1 절 기호 및 용어에 대한 규약

1. 기호에 대한 규약

[그림 1] Right-handed coordinate axes.

(1) 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한다.

(2) optical system은 object surface에서 출발하여 image surface에서 끝나 는 surface들로 구성되며, 이때 각각의 surface들은 object surface를 0 으로 하고, 일련번호순으로 증가하여 image surface에서는 k로 끝나고, general surface에서는 j로 부른다.

(3) surface들 사이에서의 모든 quantity는 바로 전 surface number를 부여 한다.

(4) 좌표계는 각각의 surface vertex를 원점으로 한 right-handed coordi- nate system을 사용하고, 광축을 Z축과 일치시킨다([그림 1] 참조).

(5) r_j는 j 번째 surface의 곡률 반경을 나타내며, 곡률 중심이 surface의 오른쪽에 있을 때 ＋로 하고, 곡률은 c_j으로 표시하며 c_j= 1 / r_j 이다.

(6) t_j는j 번째 surface와 j+ 1 번째 surface 사이의 axial thickness이며, j + 1 번째 surface가 j 번째 surface보다 오른쪽에 위치할 때 ＋로 한 다.

(7) n_j는 j 번째 surface와 j+ 1 번째 surface 사이의 매질에 대한 굴절률 이며, 광선이 왼쪽에서 오른쪽으로 진행할 때 ＋이고(반대이면 －이다),

k_j는 j 번째 surface의 굴절능(power)을 의미한다.

(8) K_j, L_j, M_j는 j 번째 surface와 j + 1 번째 surface 사이의 공간에서 광선의 n_j와 X, Y, Z 축에 대한 direction cosine의 곱을 나타낸다.

(9) X_j, Y_j, Z_j는 광선과 j 번째 surface와의 교점을 나타낸다.

(10) Z_j는j 번째 lens의 제 2 주점과 j+ 1 번째 lens의 제 1 주점 사이의 거리를 나타낸 것이다.

(11) 광선의 높이는 h_j로써 표현하는데, 이 값은 j 번째 surface에 대한 진 행 광선과의 교점을 의미한다. 이때, 교점이 축 위에 위치할 때를 ＋로 한다.

(12) u_j는 j 번째와 j+ 1 번째 면사이의 진행 광선이 광축과 이루는 각을 나타낸다.

(13) 특별히 언급되지 않았다면 단위는 mm 단위를 사용한다.

2. 용어에 대한 규약

자주 쓰이는 용어를 정의하면 다음과 같다.

[그림 2] 용어 정의

(1) PP(principal point) : 렌즈로부터의 각종 거리를 표시하는 기준점을 말 한다. 간략히 표현하기 위해 제 1 주점을 PP1, 제 2 주점을 PP2로 나 타낸다.

(2) EFL(effective focal length) : (유효)초점거리로서 수식 중에서 사용될 때는 간단히 F 혹은 f로 사용한다. 렌즈계의 굴절은 K의 역수와 같 은 값을 가진다. 시스템 전체의 제 2 주점에서부터 제 2 초점까지의 거리를 나타내는 값이다.

(3) BFL(back focal length) : 뒷초점거리로서 수식 중에서 사용될 때는 간단히 bfl로 사용한다. 시스템의 끝 렌즈면 정점에서부터 제 2 초점 까지의 거리를 나타내는 값이다.

(4) FFL(front focal length) : 시스템의 제 1 초점에서부터 첫 번째 렌즈면 정점까지의 거리를 나타내는 값이다. 역광선 추적으로부터 얻어 낼 수 있다.

(5) FWD(front working distance) : 물체면에서부터 시스템의 첫 번째 렌 즈면 정점까지의 거리이다.

(6) BWD(back working distance) : 시스템의 끝 렌즈면 정점에서부터 상 점까지의 거리이다.

(7) 초점조절(focusing) : 렌즈계 내부에 있는 임의의 렌즈군을 움직여서 임 의의 거리에 있는 물체를 필름 혹은 상 맺힘 판에 결상 시키는 행위를 말한다.

(8) 변배(zooming) : 렌즈군의 간격을 변화시킴으로써 렌즈계의 유효 초점 거리를 변화시키는 행위를 말한다.

(9) k(굴절능, power) : 초점거리의 역수로서 굴절능(power)이라고도 한다.

대문자로 쓰일 때는 렌즈계의 전체 굴절능을 나타내고, k₁·k₂와 같이 소문자로 쓰일 때는 요소 렌즈나 렌즈군의 굴절능을 말한다. K_w의 아

래 첨자 w는 초점거리가 짧은 쪽(wide)의 전체 굴절능이고, K_t는 초 점거리가 긴 쪽(tele)의 전체 굴절능을 나타내며, 그리고 K_m은 그 중간 (middle)의 값을 의미한다.

(10) z : 일반적으로, 두께 d에 반하여 각 군의 주점간의 거리를 말한다.

한 예로z_1w는 wide 상태에서 제 1 군의 제 2 주점과 제 2 군의 제 1 주점간의 거리를 말하는 것이다.

(11) bf : 뒷초점거리를 나타낸다. 시스템의 맨 끝 군의 제 2 주점에서부터 상면까지의 거리를 나타낸다.

제 2 절 광선추적

물체에서 나온 빛이 광학계를 진행하여 상점에 도달되는 과정을 구간별 로 계산하여 추적하는 방법에는 근사적으로 계산하는 y-nu 광선 추적식^[1]

과 정확하게 계산하는 유한 광선 추적식^[2-5]이 있다.

1. y-nu 광선추적

[그림 3] 광학계의 단면

복잡한 광학계의 기초 평가 방법으로써 축광선(paraxial ray)만을 고려한 다. y-nu 광선추적을 이용하면 두 개의 근축광선을 추적하여 얻은 data로 부터 배율, 초점거리, 색수차를 비롯한 Seidel 1차 수차의 계산을 할 수 있

으며^[3-6], 또한 exit pupil, entrance pupil의 위치와 크기, window 위치와 크

기, 그리고 f-number, field of view 등을 계산할 수 있다. 계산에 이용되는 기본 수식은 다음과 같다([그림 3] 참조).

두 광선에 따른 수식으로서

① axial ray(on axis)

y_{k+ 1}= y_k+ n u_kt_k

n_k : (transfer) (1)

n u_{k+ 1}= n u_k- y_{k+ 1}( n_{k+ 1}- n_k) c_{k +1} : (refraction) (2)

② oblique ray(chief)

y_{k+ 1} = y_k+ n u_kt_k

n_k : (transfer) (3)

n u_{k +1} = n u_k- y_{k+ 1}( n_{k+ 1} - n_k) c_{k +1} : (refraction) (4)

2. 유한 광선추적(Exact ray tracing)

(1) 구면에 대한 광선추적

연속되는 surface을 가진 하나의 광학계에서 전 surface의 방향 여현 ( K_-1, L_{- 1}, M_-1)과 교점 ( X_{- 1}, Y_-1, Z_-1) 값으로부터 다음 surface에서 의 교점 ( X, Y, Z )을 계산하고, 또 ( X, Y, Z )와 ( K_{- 1}, L_{- 1}, M_{- 1})로부터 방향 여현 ( K, L, M )을 계산하는 두 가지 과정을 반복하여 적용하는 광선 추적으로 근사식이 아닌 정확한 광선 추적 방법으로서 이를 요약하면 다음 과 같다.

1) 구면에서 다음 접평면까지

두 surface 사이의 공간에서 skew ray 진행은 [그림 4]와 같다.

[그림 4] j-1 면과 j 면사이의 공간에서 Skew ray의 진행과정

광축에서 접하는 접평면의 접점을 원점으로 취하면 Z_T= 0이고, 따라서 이 접평면과 skew ray와의 교점의 좌표는 ( X_T, Y_T, 0 )이며, j_{- 1} 면상에 서의 광선 위치에 대한 좌표는 ( X_{- 1}, Y_-1, Z_{- 1})이다. 이들 사이의 관계 는 다음과 같다.

X_T= X_-1+ △X = X_{- 1}+ d_-1 K_-1

n_-1 (5)

Y_T= Y_{- 1}+ △Y = Y_{- 1}+ d_{- 1}L_{- 1}

n_-1 (6)

K_-1/ n_-1 : X축에 대한 광선의 방향 여현

L_{- 1}/ n_{- 1} : Y축에 대한 광선의 방향 여현 d_{- 1} : 두 점간의 거리(skew ray length)

△ Z = t_{- 1}- Z_{- 1}= d_{- 1} M_{- 1}

n_-1 (7)

d_{- 1}

n_{- 1} = ( t_-1- Z_-1) 1

M_-1 (8)

여기서 t_{- 1}은 광축상에서 측정한 두 면 사이의 거리이다.

2) 접평면에서 다음 구면까지

[그림 4]에서 접평면은 실제 굴절면이 아니므로 따라서 skew ray는 거리 A 만큼 더 진행하게 된다. 이 때 구면에서의 좌표값 ( X, Y, Z )는 접평면 에서의 좌표값 ( A_T, Y_T, Z_T)와 방향 여현 ( K_-1, L_{- 1}, M_{- 1}) 그리고 두 점간의 거리 A의 값에 의해 정해진다. 여기서 Z_T의 값은 0이다. 따라서, 접평면과 skew ray 교점좌표는 ( XT,YT,0)이고, j 면상에서의 교점의 좌 표는 ( X , Y, Z )이며,

X = X_T+ A

n_{- 1} K_{- 1} (9)

Y = Y_T+ A

n_{- 1} L_{- 1} (10)

Z = A

n_-1 M_{- 1} (11)

이 된다. [그림 5]로부터

[그림 5] 접평면에서 다음 구면까지의 과정

Z = r - [ r²- ( X²+ Y²) ]^1/2= 1 c - 1

c [ 1 - c²( X² + Y²)]^1/2 이며, 다시 이를 정리하면,.

c²( X²+ Y²+ Z²) - 2 c Z = 0 (12)

이 된다. 여기서 c = 1

r 이다.

또 위에서 정리한 식 (9), (10), (11)을 제곱해서 식 (12)에 대입하고 정리 하면

( A

n_{- 1} )²c ( K²_-1+ L²_{- 1}+ M²_{- 1}) - 2 ( A

n_-1 ) [M_-1

- c ( Y_TL_{- 1}+ X_TK_{- 1})] + c ( X²_T+ Y²_T) = 0

(13)

와 같이 된다. 식 (13)을 정리하기 위해서

K²_{- 1}+ L²_{- 1}+ M²_-1= n²_{- 1}이고, M_-1- c ( Y_TL_{- 1}+ X_TK_{- 1}) = B이며, c ( X²_T+ Y²_T) = H라고 하면 식 (13)은

c n²_{- 1}( A

n_-1 )²- 2 B ( A

n_{- 1} ) + H = 0 (14)

( A n_{- 1} ) =

B ± n_{- 1}[ ( B

n_{- 1} )²- c H ]^{1/ 2}

c n²_-1 (15)

와 같이 된다. 여기에서 c → 0이면, A → 0 이어야 하므로 식 (15)은 － 값 을 취하게 되므로

( A n_{- 1} ) =

B - n_{- 1}[ ( B

n_-1 )²- c H ]^1/2

c n²_{- 1} (16)

이 된다.

한편 [그림 5]에서 모든 선들은 입사면상에 놓여있으므로 다음과 같은 관 계를 만족할 것이다.

D²= X²_T+ Y²_T+ r²= A + r²+ 2 A r cos I (17) 다시 식 (17)을 보다 간결하게 하기 위하여

H = c ( X²_T+ Y²_T) = r ( X²_T+ Y²_T

r² ) = r tan²β 라고 치환한 후 대입하고 정 리하면

n_{- 1}H - n_{- 1}c A²= 2n_{- 1}AcosI 이 되므로

n_{- 1}cos I = n_{- 1}H - n_{- 1}c A²

2A =

H - c n²_-1( A n_{- 1} )² 2 A

n_{- 1}

(18)

이 되고, 다시 식 (16)을 대입하여 풀어 정리하면 n_{- 1}cos I = n_{- 1}[ ( B

n_{- 1} )²- c H ]^1/2 (19)

이 된다. 또 식 (16), (19)을 이용하여 풀면 결국 _n^A

- 1 는 A

n_{- 1} = H

B + n_{- 1}cos I (20)

이 된다. 따라서 initial data (A_T, Y_T ), (K_{- 1}, L_{- 1}, M_{- 1} ), n_-1, c를 이 용하여 X, Y, Z 값을 구할 수 있다.

3) 구면에서의 굴절 과정

[그림 6] 구면에서의 굴절 과정

[그림 6]에서 Q₀, Q₁은 입사 광선 방향과 굴절 광선 방향의 unit vector 이고, M₁은 normal line에 따른 unit vector이다.

Q₀× M₁= sin I₀

Q₁× M₁= sin I₁ Snell‘s Law에 의해

sin I₀

sin I₁ = Q₀× M₁

Q₁× M₁ = n₁ n₀

이다.

n₀Q₀= S₀ , n₁Q₁= S₁이라면 S₀× M₁= S₁× M₁

( S₁- S₀) × M₁= 0

으로 된다. 이때 S₁- S₀와 M₁은 영(zero)이 아니므로, 서로 평행하거나 반평행이 된다.

따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

S₁- S₀= Γ M₁ (Γ : Astigmatic constant) (21) S₁= n₁Q₁과 S₀= n₀Q₀의 M₁에 대한 projection을 고려하면

Γ = n₁cos I₁- n₀cos I₀

로 표시되고, 다시 Snell's Law을 이용하여 정리하면

Γ = - n₀cos I₀+ n₁[ (n₀

n₁ cos I₁)²- ( n₀

n₁ )²+ 1]^1/2

이 된다.

[그림 6]에서 S₀와 S₁은 각각 입사광선과 굴절광선을 나타내며 M₁ = c [ ( 0 - X) i + ( 0 - Y) j + ( r- Z) k ] = c [ - X i- Y j + ( r - Z) k]

이므로, 식 (21)은 다음과 같이 다시 표시된다.

S₁- S₀= - cΓ X i - cΓ Y j + c Γ ( r - Z ) k (22) 한편

S₁= K i + L j + M k

S₀= n_{- 1}Q_o= K_-1i + L_-1j + M_-1k

이므로 S₁- S₀에 관한 또 다른 식이 만들어지게 된다.

S₁- S₀= ( K- K_{- 1}) i + ( L - L_{- 1}) j + ( M - M_-1) k (23) 식 (22)와 (23)에서 다음과 같은 일련의 정리들을 얻을 수 있다.

K = K_{- 1}- X c Γ (24)

L = L_{- 1}- Y c Γ (25)

M = M_{- 1}- ( Z c - 1)Γ (26)

n cos Γ = n [ ( n_-1

n cos I )²- ( n_{- 1}

n )²+ 1]^1/2 (27)

Γ = n cos I ' - n_{- 1}cos I (28)

진행 과정과 굴절 과정에 대한 광학계 변수와 수식들을 요약한 결과는 다음 [표 1]과 같다.

[표 1] 구면에 대한 광선 추적법 요약 광학계 변수 : t_{- 1}, n_{- 1}, c

광선의 초기값 : X_-1, Y_{- 1}, Z_-1, K_{- 1}, L_{- 1}, M_{- 1} 광선의 최종값 : X, Y, Z, K, L, M

사용된 수식들 : d_{- 1}

n_{- 1} = ( t_-1- Z_-1) 1 M_-1

Y_T= Y_{- 1}+ d_{- 1} n_-1 L_-1

X_T= X_-1+ d_-1 n_{- 1} K_-1

H = c( X²_T+ Y²_T)

B = M_{- 1}- c ( Y_TL_-1+ X_TK_{- 1}) n_{- 1}cos I = n_{- 1}[ ( B

n_{- 1} )²- cH]^1/2 A

n_{- 1} = H B + n_{- 1}cos I X = X_T+ A

n_{- 1} K_-1

Y = Y_T+ A n_{- 1} L_{- 1}

Z = A n_-1 M_-1

n cos Γ = n [ ( n_-1

n cos I )²- ( n_{- 1}

n )²+ 1]^1/2 Γ = n cos I ' - n_{- 1}cos I

K = K_{- 1}- X c Γ L = L_{- 1}- Y c Γ M = M_{- 1}- ( Zc - 1) Γ

(2) 비구면에 대한 광선추적^[2,5]

1) 비구면의 특징

aspheric surface는 수차 보정이 좀 더 잘되기 때문에 컴퓨터를 사용하는 렌즈 디자이너들이 더 많이 사용한다. 앞에서 살펴본 바와 같이 spherical surface에서의 skew trace는 non-physical plane(접평면)과 physical plane 의 두 단계 투과 효과로써 추적한다. 하지만 비구면에서의 광선 추적은 보 다 복잡하여 다음과 같은 세 단계로 광선을 추적하게 된다([그림 7] 참조).

① 첫 번째 면에서 다음 접평면까지의 광선

② 접평면에서 접구면까지의 광선

③ 접구면에서 physical(second) surface까지

[그림 7] 비구면에서의 사광선 진행 과정

2) 비구면의 표현 방법

비구면은 접평면과 접구면 사이의 간격인 sag(sagittal의 약자) 또는 Z로 표시될 수 있다.

Z = 1

c [ 1 - ( 1 - c²S²)^{1/ 2}] (29)

여기서 S²= X²+ Y² (접평면의 중심에서 접구면의 한 점까지의 거리)이고, Z 값은 광축에서부터 구면상의 한 점까지의 거리에 관계하는 값이다.

식 (29)의 분모, 분자에 각각 [1 + ( 1 - c²S²)^1/2]을 곱하면

Z = c S² 1 + 1 - c²S²

이 된다. Aspherical surface에서의 sag 값은 S²에 대한 power series로 전 개하면 다음과 같이 표현된다.

Z = c S²

1 + 1 - c²S² + e S⁴+ f S⁶+ g S⁸+ h S¹⁰+ O ( S¹²) (30) 식 (30)에서S의 짝수 항만을 사용하는 이유는 비구면이 Z 축에 대하여 대 칭성을 가지고 있기 때문이다. 수치계산에 있어서는 O( S¹²)은 S¹²이상의 고차항의 합을 나타내고 그 값은 0으로 간주한다. 따라서 수차 보정에서는 계수 e, f, g, h만이 관여하게 된다. 계수 e, f, g, h는 빛의 입사고에 관계된 방정식으로써 표현할 수 있으며 이것은 Gauss 소거법을 이용하여 방정식을 풀어 그 값을 구한다.

eS⁴, fS⁶, ect …의 값들은 변형항(deformation term)이라고 하며, 비구 면의 찌그러진 정도를 나타내주는 값들이다.

3) 접구면과 비구면간의 변환 식

구면에서의 skew ray trace에서 추적한 data 값을 가지고 비구면에서의 data 값을 얻고자 한다면 구면과 비구면과의 차이인 변형항의 값을 구해야 한다. 그 값을 구한 후 구면에서 추적한 값을 비구면으로 옮기는 작업을 할 수 있게 된다. 광선의 두 교점 사이의 간격인 A 값은 다음과 같이 바꿀 수 있다. 즉, 구면 skew ray trace에서의 A 값은 비구면에서 접평면과 접 구면 사이의 거리와 접구면과 비구면사이의 거리의 합으로 대치한다.

구면에서의 값 _n^A

- 1 → 비구면에서의 값 ^{A + A'}_n

- 1

[그림 8] 접평면에서 비구면까지의 근사 과정

접구면에서의 비구면 변환을 위해서는 접구면과 광선의 교점 0에서부터 시작하여 최종점에 이르는 근사를 취해야 한다. [그림 8]에서 점 1은 점 0 과 동일한 X,Y 좌표값을 갖는다. 두 번째 근사를 취한 값이 점 2이다. 이 점은 점 1에서의 비구면의 접선과 광선과의 교점을 나타낸다. 접선은 점 1 의 좌표값과 점 1에서의 비구면의 계산된 곡률값으로부터 결정되어 진다.

광선의 방향은 알고 있으므로 광선과 점 1에서의 접선의 교점이 점 2이다.

이상의 과정들을 반복하게 되면 최종 접점을 구해낼 수 있게 된다.

이제 X,Y,Z 값의 0, 1, 2, …등의 점에 해당하는 값을 ( X_n,Y_n,Z_n)이 라고 하자. 여기서 n은 임의의 짝수 번호이다. 이때 Z_n 값을 계산하기 위 한 S_n의 값은 다음과 같다.

S_n= X²_n+ Y²_n (31)

Z 값의 변화량은 Z 축과 평행한 짝수 번호의 점과 홀수 번호의 점 사이 거리가 된다. 이 거리를 - F라 하면 다음처럼 표현될 것이다.

F = Z_n- [ c S²

1 + 1 - c²S² + e S⁴+ f S⁶+ g S⁸+ h S¹⁰] (32) 표기상의 편의를 위하여

= [ 1 - c²S²]^{1/ 2} (33)

이라 하고 그 좌표값을 알고 있는 홀수 번호의 점에서 접선을 따라서 광선 에 이르는 방법을 생각해 보면 새로운 짝수 번호 점의 좌표를 X_{n+ 1},

Y_{n +1}, Z_{n + 1}이라 하고, 이제 광선을 따라서 두 짝수 번호 점간의 거리를

△A'이라 하면 새로운 좌표에 대한 식은 다음과 같이 쓸 수가 있다.

X_{n+ 1}= X_n+ △A'

n_{- 1} K_{- 1} (34)

Y_{n +1}= Y_n+ △A'

n_-1 L_-1 (35)

Z_{n +1}= Z_n+ △A'

n_{- 1} M_{- 1} (36)

식 (30)을 만족하는 점들을 찾기 위하여 이상을 방정식으로 나타내면 다음 과 같이

ψ ( X,Y,Z ) = Z - [ c S²

1 + 1 - c²S² + e S⁴+ f S⁶+ g S⁸+ h S¹⁰] = 0 (37) 이라 하고, 이때 ψ ( X,Y,Z) = 0은 비구면 방정식이다. 점 (X_n, Y_n, Z_n)에서 의 접평면은 그 면의 첫 번째 근사값이 된다. 그러므로 접평면의 방정식은 다음과 같이

ψ ( X,Y,Z ) + ( X - X_n) [ ∂ψ

∂X ]_Xn,Yn,Zn+ ( Y- Y_n) [ ∂ψ

∂Y ]_Xn,Yn,Zn + ( Z - Z_n) [ ∂ψ

∂Z ]_Xn,Yn,Zn= 0

(38)

이고, 식을 보다 더 간결하게 정리하기 위해 S_n= X²_n+ Y²_n의 관계식을 이 용하면

∂ψ

∂X = ∂ψ

∂S

∂S

∂X = ∂ψ

∂S X

S (39)

∂ψ

∂Y = ∂ψ

∂S Y

S (40)

∂ψ

∂X = 1 (41)

이다.

위의 관계식과 더불어 식 (33)과 식 (37)을 이용하면 다음과 같은 식

∂ψ

∂S = - S

c - S [ 4eS²+ 6fS⁴+ 8gS⁶+ 10hS⁸] (42)

을 얻는다. 위의 식을 간결하게 정리하기 위하여

∂ψ

∂S = - S E (43)

라 정의하면 다음과 같이 다시금 표현될 것이다.

E = c + [ 4 e S²+ 6 f S⁴+ 8 g S⁶+ 10 h S⁸] (44) 이때 0차 항은 ψ ( X_n,Y_n,Z_n) = 0이므로 0이 된다(기준점이 0이라면).

그러므로 식 (38)의 평면의 방정식은 식 (39), (40), (41)과 식 (43)을 식 (38)에 대입하면

- ( X - X_n)X_n

E - ( Y - Y_n) Y_n

E + ( Z - Z_n) + Z_n- Z_m= 0 (45)

와 같이 정리된다.

앞에서 살펴본 바와 같이 F = Z_n- Z_m이므로 이 값과 새로운 두 개의 정의된 양을 이용하면 위의 식 (45)은 한층 더 간결하여 질 것이다. 새로 정의된 두 개의 양은 다음과 같다.

U = - X E (46)

V = - Y E (47)

이들 양들을 대입해 주면 평면의 방정식은

( X - X_n) U + ( Y - Y_n) V + ( Z - Z_n) = - F (48) 이다. 이 방정식은 X, Y, Z의 모든 값, 특히 X_{n + 1}, Y_{n + 1}, Z_{n + 1}에 대해서

도 성립하게 된다. 이 때 두 값의 차 ( X_{n+ 1}- X_n) 대신 ^△A'_n

- 1

K_{- 1}을 사용

하면

△A'

n_{- 1} = - F

K_-1U + L_{- 1}V + M_{- 1} (49)

을 얻을 수 있으며, 광선을 따라 잰 거리는 다음과 같다.

D_-1= d_-1+ A + A' (50)

4) 비구면에서의 굴절식

n_{- 1}cos I에서 n cos I ' 값을 구해야 하므로, 우선 n_-1cos I 값을 먼저 구해 야 한다. 이 계산을 위해서 두 방향의 직선간의 각도의 여현 값은 그들의 해당 방향 여현 값들의 곱의 합이라는 것을 이용한다.

cos I 값을 계산하려 할 때 문제가 되는 것은 광학적 방향 여현이

K_-1, L_{- 1}, M_-1인 광선과 비구면의 법선이다. 이때 그 비구면에 대한 법 선은 단순히 접평면에 대한 법선이다. 이러한 접평면의 방정식은 식 (48)으 로 주어진다. 광선 최종점은 X_n, Y_n, Z_n이다. 이때 방향 코사인의 값은 U/G, V/G, W/G가 된다. 이 값에서 G는 다음과 같이 주어진다.

G²= U²+ V²+ ² (51)

또 광선의 방향 여현을 이용하여 다음과 같은 수식을 얻는다.

cos I = K_{- 1} n- 1

U

G + L_{- 1} n-1

V

G + M_-1 n- 1 G

이 식을 다시 정리하면

G n_{- 1}cos I = K_{- 1}U + L_{- 1}V + M_{- 1} (52) 이다.

이제 구면의 광선 추적에 의하여 n cos I ' 값을 구할 수 있다. 그러나 계

산의 편의상 G 값을 양변에 그대로 두는 것이 편리하므로

G n cos I' = n [ ( G n_{- 1}

n cos I )²- G²(n_{- 1}

n )²+ G²]^{1/ 2} (53) 이다. 그러므로 구면에서와 같은 방법에 의해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

K - K_{- 1}= Γ U

G (54)

L - L_{- 1}= Γ V

G (55)

M - M_-1= Γ

G (56)

P = Γ / G을 도입하면

P = ( G n cos I' - G n_-1cos I) / G² (57) 이므로 최종적으로 식 K, L, M 설계의 값은

K = K_{- 1}+ U P (58)

L = L_{- 1}+ V P (59)

M = M_{- 1}+ P (60)

이다. 비구면에 대한 광선 추적법을 요약한 결과는 다음 [표 2]와 같다.

[표 2] 비구면에 대한 광선 추적법 요약

광학계 변수 : t_{- 1}, n_-1, c, e, f, g, h

광선의 초기값 : X_-1, Y_{- 1}, Z_-1, K_{- 1}, L_{- 1}, M_{- 1} 광선의 최종값 : X, Y, Z, K, L, M

사용된 수식들 :

S_n= X²_n+ Y²_n

= [ 1 - c²S²]^1/2 F = Z_n- [ c S²

1 + 1 - c²S² + e S⁴+ f S⁶+ g S⁸+ h S¹⁰] E = c + [ 4 e S²+ 6 f S⁴+ 8 g S⁶+ 10 h S⁸]

U = - X E V = - Y E

△A'

n_{- 1} = - F

K_{- 1}U + L_{- 1}V + M_-1

X_{n +1}= X_n+ △A' n_{- 1} K_{- 1}

Y_{n + 1}= Y_n+ △A' n_{- 1} L_{- 1}

Z_{n+ 1}= Z_n+ △A' n_{- 1} M_-1 G²= U²+ V²+ ²

G n_{- 1}cos I = K_{- 1}U + L_{- 1}V + M_-1

G n cos I' = n [ ( G n_-1

n cos I )²- G²(n_{- 1}

n )²+ G²]^1/2 P = ( G n cos I' - G n_{- 1}cos I) / G²

K = K_{- 1}+ U P L = L_{- 1}+ V P M = M_-1+ P

3. Gaussian Bracket^[9-12]

수식전개의 편리를 위해 사용하는 것으로 Gaussian bracket^[9,10,13]은 K. F.

Gauss에 의해 제안되었고, M. Herzberger에 의해 lens계의 해석에 적용되 어진 기법이다. 이 기법은 Tanaka^[12,14]가 줌 렌즈계의 초기 개념 파악 및 궤적해석에 유용하게 사용하였으며 초점거리 및 제반 광학적 제원을 간단 히 표시할 수 있고 식을 전개하여 나아가는데 있어서도 간단히 다룰 수 있 는 장점을 가지고 있다^[15].

(1) 정의 및 성질

Bracket [ ]의 값을 1, 하나의 원소로 이루어진 bracket [ a₁]의 값은 그 원소 자신의 값인 a₁으로 정의할 때, n개의 원소로 이루어진 bracket은 다 음과 같은 순환식을 갖으며

[ a₁, a₂, …… , a_{n - 1}, a_n] = [ a₁, a₂, …… , a_{n- 2}, a_{n - 1}]a_n + [ a₁, a₂, …… , a_{n - 3}, a_{n -2}]

(61)

그 성질은 다음과 같다.

[a_1, a₂, …… , a_{n -1}, a_n]

= [a_1, a₂, …… , a_{n - 2}, a_{n -1}] a_n+ [a₁, a₂, …… , a_{n -3}, a_{n- 2}]

= a₁[a₂, a_n] + [a_3,a_n]

= [a₁, a_{x- 1}] a_x[a_{x+ 1,} a_n] + [a₁, a_{x- 1}, a_{x+ 1}, a_n]

[a₁, a_n]= [ a_n, a₁]

[a₁, a_n] = [a₁, a_{x- 1}] [a_x, a_n] + [a₁, a_{x- 2}] [a_{x+ 1}, a_n]

= [a_1, a_x] [ a_{x +1,} a_n] + [a_1, a_{x- 1}] [a_{x +2,} a_n]

이제 5 개의 원소를 갖는 Gaussian bracket까지 전개하여 보면

[ ] = 1 (62)

[a₁] = a₁ (63)

[a_1, a₂] = [a₁] a₂+ [ ] = 1+ a₁ a₂ (64) [a_1, a₂, a₃] = [ a_1, a₂] a₃+ [a₁] = a₁+ a₃+ a₁ a₂ a₃ (65) [a_1, a₂, a₃, a₄] = [ a_1, a₂, a₃] a₄+ [a_1, a₂]

= 1 + a₁ a₂+ a₁ a₄+ a₃ a₄+ a₁ a₂ a₃ a₄

(66)

[a1, a2, a3, a4, a5] = [a1, a2, a3, a4]a5+ [a1, a2, a3]

= a1+ a3+ a5+ a1a2 a3+ a1 a2 a5

+ a1 a4 a5+ a3 a4 a5+ a1 a2 a3 a4 a5

(67)

과 같다.