제8장

제8장

일반함수모형의 비교정태분석

제8장

일반함수모형의

비교정태분석

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 일반함수모형

u 일반함수모형

è

개요(introduction)

-

편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 존재하지 않는 것을 전제로 함

(즉, 상호독립적).

- 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되어 어떤 명시적 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는 그렇게 편리한 방법은 기대할 수 없음.

- 예를 들어 단순한 국민소득모형에서 Y=C+I₀+G₀

C=C(Y, T₀) [여기서 T₀는 외생변수로서의 조세]

è

개요(introduction)

-

편도함수의 정의는 독립변수들 간에 어떤 함수관계도 존재하지 않는 것을 전제로 함

(즉, 상호독립적).

- 그러나 일반함수형태가 모형에 포함되어 어떤 명시적 축약형의 해를 얻을 수 없을 경우에는 그렇게 편리한 방법은 기대할 수 없음.

- 예를 들어 단순한 국민소득모형에서 Y=C+I₀+G₀

C=C(Y, T₀) [여기서 T₀는 외생변수로서의 조세]

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 일반함수모형

u 일반함수모형

- 앞의 두 모형은 Y*를 구하기 위해 하나의 단일방정식 (하나의 균형조건)으로 다음과 같이 축약할 수 있음.

Y=C(Y, T₀)+I₀+G₀

- 그러나 소비함수 C가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함.

- 어떤 균형해 Y*가 존재할 때 일정조건 하에서 Y*를 외생변수 I₀, G₀, T₀의 미분가능함수라면

Y*=Y*(I₀, G₀, T₀)

- 다음의 항등식이 성립함 : Y*ºC(Y*, T₀)+I₀+G₀

- 앞의 두 모형은 Y*를 구하기 위해 하나의 단일방정식 (하나의 균형조건)으로 다음과 같이 축약할 수 있음.

Y=C(Y, T₀)+I₀+G₀

- 그러나 소비함수 C가 일반함수형태로 주어져 있어서 명시적인 해를 얻는 것은 불가능함.

- 어떤 균형해 Y*가 존재할 때 일정조건 하에서 Y*를 외생변수 I₀, G₀, T₀의 미분가능함수라면

Y*=Y*(I₀, G₀, T₀)

- 다음의 항등식이 성립함 : Y*ºC(Y*, T₀)+I₀+G₀

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u 일반함수모형

u 일반함수모형

- 만약 앞의 식에서 ∂Y*/∂T₀를 구하고자 한다면 함수 C에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음.

- 왜냐하면 이 경우 T₀는 직접적으로 C에 영향을 미칠 뿐만 아니라 Y*에 대해서도 간접적으로 영향을 미침.

- 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결할 수 없음.

- 결과적으로 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation)이라는 편미분의 대비 개념이 필요함.

- 만약 앞의 식에서 ∂Y*/∂T₀를 구하고자 한다면 함수 C에 포함된 두 변수는 서로 독립적이지 않음.

- 왜냐하면 이 경우 T₀는 직접적으로 C에 영향을 미칠 뿐만 아니라 Y*에 대해서도 간접적으로 영향을 미침.

- 따라서 편미분은 이러한 문제를 해결할 수 없음.

- 결과적으로 이러한 문제를 해결하기 위하여 전미분 (total differentiation)이라는 편미분의 대비 개념이 필요함.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 일반함수모형

u 일반함수모형

- 전미분의 과정은 전도함수(total derivative)의 개념과 관련됨.

- 전도함수는 C(Y*, T₀)와 같은 함수에서 독립변수 T₀가 다른 독립변수 Y*에 영향을 줄 때 변수 T₀에 관한 그 함수의 변화율의 정도를 나타냄.

- 전미분의 과정은 전도함수(total derivative)의 개념과 관련됨.

- 전도함수는 C(Y*, T₀)와 같은 함수에서 독립변수 T₀가 다른 독립변수 Y*에 영향을 줄 때 변수 T₀에 관한 그 함수의 변화율의 정도를 나타냄.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives) - 도함수 dy/dx=f¢(x)는 차분몫의 극한임.

=f¢(x)=

- 따라서 ⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x®0의 규정없이) dy/dx와 동일하지 않음.

- 여기서 이 두 몫의 불일치를 δ로 나타내면

- =δ 또는 = +δ [단, ⊿x®0에 따라 δ®0]

- ⊿x가 0에 무한접근하면 불일치항 δ도 0에 무한접근

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- 도함수 dy/dx=f¢(x)는 차분몫의 극한임.

=f¢(x)=

- 따라서 ⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x®0의 규정없이) dy/dx와 동일하지 않음.

- 여기서 이 두 몫의 불일치를 δ로 나타내면

- =δ 또는 = +δ [단, ⊿x®0에 따라 δ®0]

- ⊿x가 0에 무한접근하면 불일치항 δ도 0에 무한접근 dy

dx

⊿y

⊿x

⊿x®0lim

⊿y

⊿x

dy dx

⊿y

⊿x

dy dx

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives) - 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음.

⊿y= ⊿x+δ⊿x 또는 ⊿y=f¢(x)⊿x+δ⊿x

- 이 식은 ⊿x의 특정 변화로 인한 y의 변화(⊿y)를 나타냄. - 여기서 ⊿x가 충분히 작은 수이면 δ도 충분히 작은 수가

되고, δ⊿x는 더욱 작은 수가 됨.

- 따라서 f¢(x)⊿x는 y의 증분 ⊿y의 근사값으로 사용할 수 있음.

è

미분과 도함수(differentials and derivatives) - 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음.

⊿y= ⊿x+δ⊿x 또는 ⊿y=f¢(x)⊿x+δ⊿x

- 이 식은 ⊿x의 특정 변화로 인한 y의 변화(⊿y)를 나타냄. - 여기서 ⊿x가 충분히 작은 수이면 δ도 충분히 작은 수가

되고, δ⊿x는 더욱 작은 수가 됨.

- 따라서 f¢(x)⊿x는 y의 증분 ⊿y의 근사값으로 사용할 수 있음.

dy dx

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- [그림 8.1]의 x₀에서 x₀+⊿x로 변하면 y=f(x) graph에서 점 A에서 점 B로 이동함.

- 이 때 ⊿y는 CB이고, 두 거리의 비율(=기울기)은 CB/AC=

⊿y/⊿x임.

- 이를 수식으로 다시 정리하면

⊿y= ⊿x= AC=CB dy= dx= AC=CD

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- [그림 8.1]의 x₀에서 x₀+⊿x로 변하면 y=f(x) graph에서 점 A에서 점 B로 이동함.

- 이 때 ⊿y는 CB이고, 두 거리의 비율(=기울기)은 CB/AC=

⊿y/⊿x임.

- 이를 수식으로 다시 정리하면

⊿y= ⊿x= AC=CB dy= dx= AC=CD

⊿y

⊿x

CB dy AC

dx

CD AC

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- 여기서 점 A를 지나는 접선을 그리고, CB 대신 CD를

⊿y의 근사값으로 사용하면 불일치 또는 근사값 오차는 DB가 됨.

- AD의 기울기는 f¢(x₀)이므로⊿x가 감소함에 따라(⊿x®0) 점 B에서 점 A로 이동함. 이에 따라 불일치를 줄이고 f¢(x₀), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에 더 가까운 근사값으로 만듬.

- 따라서 ⊿x가 감소함에 따라 dy와 ⊿y의 차이도 0에 접근

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- 여기서 점 A를 지나는 접선을 그리고, CB 대신 CD를

⊿y의 근사값으로 사용하면 불일치 또는 근사값 오차는 DB가 됨.

- AD의 기울기는 f¢(x₀)이므로⊿x가 감소함에 따라(⊿x®0) 점 B에서 점 A로 이동함. 이에 따라 불일치를 줄이고 f¢(x₀), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에 더 가까운 근사값으로 만듬.

- 따라서 ⊿x가 감소함에 따라 dy와 ⊿y의 차이도 0에 접근

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- [그림 8.1]에서 접선 AD의 기울기는 dy/dx가 됨.

- 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음.

=접선 AD의 기울기=f¢(x) - 위 식의 양변에 dx를 곱하면

dy=f¢(x)dx

따라서 dx의 어떤 특정값이 주어지면, 그것에 f¢(x)를 곱함으로써 ⊿y의 근사값으로서의 dy를 구할 수 있음. - 변화량 dy와 dx를 각각 x와 y의 미분이라 함.

è

미분과 도함수(differentials and derivatives)

- [그림 8.1]에서 접선 AD의 기울기는 dy/dx가 됨.

- 따라서 다음과 같이 정리할 수 있음.

=접선 AD의 기울기=f¢(x) - 위 식의 양변에 dx를 곱하면

dy=f¢(x)dx

따라서 dx의 어떤 특정값이 주어지면, 그것에 f¢(x)를 곱함으로써 ⊿y의 근사값으로서의 dy를 구할 수 있음. - 변화량 dy와 dx를 각각 x와 y의 미분이라 함.

dy dx

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=f(P)의 가격탄력성은 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로

정의됨.

- 위 식에서 근사값을 사용하면 독립적 변화 ⊿P와 종속적 변화 ⊿Q는 dP와 dQ로 바꿀 수 있음.

- 따라서

ε

_d(elasticity를 나타내는 그리스 문자

epsilon)

로 표현되는 수요의 점탄력성(point elasticity)이라는 근사값으로서의 탄력성척도를 얻음.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=f(P)의 가격탄력성은 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로

정의됨.

- 위 식에서 근사값을 사용하면 독립적 변화 ⊿P와 종속적 변화 ⊿Q는 dP와 dQ로 바꿀 수 있음.

- 따라서

ε

_d(elasticity를 나타내는 그리스 문자

epsilon)

로 표현되는 수요의 점탄력성(point elasticity)이라는 근사값으로서의 탄력성척도를 얻음.

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음.

ε_d= = =

- 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 - 위 식에서

|ε_d| 일 때 수요는

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요의 점탄력성 다음과 같이 정리할 수 있음.

ε_d= = =

- 수요의 점탄력성은 평균함수에 대한 한계함수의 비율 - 위 식에서

|ε_d| 일 때 수요는 dQ/Q

dP/P

dQ/dP Q/P

한계함수(marginal function) 평균함수(average function)

=¥>1

=1<1

=0

완전탄력적(perfectly elastic) 탄력적(elastic)

단위탄력적(unitary elastic) 비탄력적(inelastic)

완전비탄력적(perfectly inelastic)

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=100-2P일 때 수요의 점탄력성(ε_d)?

=-2 및 =

- 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 ε_d= =-2/ =

- 이처럼 탄력성은 P의 함수로 주어짐. 따라서 특정 가격이 주어지면 점탄력성의 크기가 결정됨.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 수요함수 Q=100-2P일 때 수요의 점탄력성(ε_d)?

=-2 및 =

- 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 ε_d= =-2/ =

- 이처럼 탄력성은 P의 함수로 주어짐. 따라서 특정 가격이 주어지면 점탄력성의 크기가 결정됨.

dQ dP

Q P

100-2P P dQ/dP

Q/P

100-2P P

-P 50-P

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 예를 들어 P=25일 때 ε_d=-1 또는 |ε_d|=1이므로 수요는

이 가격(점)에서 단위탄력적임.

- P=30일 때 |ε_d| =1.5이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임.

- 만약 25<P<50일 때 |ε_d|>1이므로 수요는 탄력적이고, 0<P<25일 때 |ε_d|<1이므로 수요는 비탄력적임.

- 여기서 만약 P=50이라면 |ε_d|=¥(완전탄력적)가 되고, P=0라면 |ε_d|=0(완전비탄력적)이 됨.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 예를 들어 P=25일 때 ε_d=-1 또는 |ε_d|=1이므로 수요는

이 가격(점)에서 단위탄력적임.

- P=30일 때 |ε_d| =1.5이므로 수요는 이 가격에서 탄력적임.

- 만약 25<P<50일 때 |ε_d|>1이므로 수요는 탄력적이고, 0<P<25일 때 |ε_d|<1이므로 수요는 비탄력적임.

- 여기서 만약 P=50이라면 |ε_d|=¥(완전탄력적)가 되고, P=0라면 |ε_d|=0(완전비탄력적)이 됨.

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 공급함수 Q=P²+7P일 때 공급의 점탄력성(ε_s)?

=2P+7 및 = =P+7

- 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 ε_s= =

- 여기서 P=2일 때 공급탄력성의 값은 11/9(>1)임.

따라서 공급은 P=2에서 탄력적(elastic)임.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity) - 공급함수 Q=P²+7P일 때 공급의 점탄력성(ε_s)?

=2P+7 및 = =P+7

- 평균함수에 대한 한계함수의 비율인 점탄력성은 ε_s= =

- 여기서 P=2일 때 공급탄력성의 값은 11/9(>1)임.

따라서 공급은 P=2에서 탄력적(elastic)임.

dQ dP

Q P dQ/dP

Q/P

2P+7 P+7

P²+7P P

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 앞의 [그림 8.2]에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A에서 (또는 정의역 x=x₀에서) 한계함수의 값은 접선 AB의 기울기로 측정됨.

- 한편, 평균함수의 값은 직선 OA(원점에서 곡선상의 점 A를 연결한 직선)의 기울기로 측정됨.

- 따라서 점 A에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 기울기 수치의 비교로 알 수 있음.

- 점 A에서 ⒜의 경우 비탄력적, ⒝의 경우 탄력적임.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 앞의 [그림 8.2]에서 두 경우 모두 곡선상의 점 A에서 (또는 정의역 x=x₀에서) 한계함수의 값은 접선 AB의 기울기로 측정됨.

- 한편, 평균함수의 값은 직선 OA(원점에서 곡선상의 점 A를 연결한 직선)의 기울기로 측정됨.

- 따라서 점 A에서 점탄력성은 평균함수와 한계함수의 기울기 수치의 비교로 알 수 있음.

- 점 A에서 ⒜의 경우 비탄력적, ⒝의 경우 탄력적임.

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기 때문에 비교되는 두 기울기는 두 각(θ_m과 θ_a; 하첨자

m과 a는 한계와 평균

을 의미)의 크기에 의존함.

- 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 두 각을 비교해도 무방함.

- [그림 8.2] ⒜는 (θ_m<θ_a) 비탄력적, ⒝는 (θ_m>θ_a) 탄력적 - [그림 8.3]에서는 ⒜와 ⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음

(θ_m=θ_a). 즉, 주어진 곡선상의 점 C에서 단위탄력적임.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 점탄력성은 두 기울기 수치의 비교로 측정할 수 있기 때문에 비교되는 두 기울기는 두 각(θ_m과 θ_a; 하첨자

m과 a는 한계와 평균

을 의미)의 크기에 의존함.

- 따라서 두 기울기를 비교하는 대신에 이에 상응하는 두 각을 비교해도 무방함.

- [그림 8.2] ⒜는 (θ_m<θ_a) 비탄력적, ⒝는 (θ_m>θ_a) 탄력적 - [그림 8.3]에서는 ⒜와 ⒝ 기울기의 두 각이 모두 같음

(θ_m=θ_a). 즉, 주어진 곡선상의 점 C에서 단위탄력적임.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x)의 종속 변수 y가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함

(왜냐하면 경제학에서는 정반대로 표시하기 때문).

- 따라서

수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때 종속변수인 수요 (Q

_d

)와 공급(Q

_s

)이 가로축에 위치하면 점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정되어야 함

.

è

미분과 점탄력성(differentials and point elasticity)

- 지금까지 살펴본 기하학적 방법은 함수 y=f(x)의 종속 변수 y가 세로축에 표시되고 있음을 유의해야 함

(왜냐하면 경제학에서는 정반대로 표시하기 때문).

- 따라서

수요와 공급의 점탄력성을 구하고자 할 때

종속변수인 수요 (Q

_d

)와 공급(Q

_s

)이 가로축에 위치하면

점탄력성을 구하는 방법은 정반대로 수정되어야 함

.

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u 미분 (differentials) u 미분 (differentials)

è

전미분(total differentials)의 개요

- 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 대해서도 확장할 수 있음.

- 함수 z=f(x, y)에서 x와 y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면

⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y)

- 위 식의 우변에서 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면

⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)

-f(x, y+ ⊿y)

]+[f(x, y+

⊿y)

-f(x, y)]

- 첫 번째 대괄호 안에서 x는 변하고 y는 고정되어 있고, 두 번째 대괄호 안에서 y는 변하고 x는 고정되어 있음.

è

전미분(total differentials)의 개요

- 미분의 개념은 독립변수가 둘 이상인 다변수함수에 대해서도 확장할 수 있음.

- 함수 z=f(x, y)에서 x와 y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면

⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y)

- 위 식의 우변에서 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면

⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)

-f(x, y+ ⊿y)

]+[f(x, y+

⊿y)

-f(x, y)]

- 첫 번째 대괄호 안에서 x는 변하고 y는 고정되어 있고, 두 번째 대괄호 안에서 y는 변하고 x는 고정되어 있음.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)의 개요

- 한편, 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함.

=f_x(x, y)+δ₁

=f_y(x, y)+δ₂

- 여기서 각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고 다시 정리하면 다음과 같음.

⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+δ1⊿x+δ2⊿y

- 위에서 f_x와 f_y는 각각의 편도함수(partial derivatives)임.

è

전미분(total differentials)의 개요

- 한편, 앞의 식은 다음과 같은 식이 성립함.

=f_x(x, y)+δ₁

=f_y(x, y)+δ₂

- 여기서 각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고 다시 정리하면 다음과 같음.

⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+δ1⊿x+δ2⊿y

- 위에서 f_x와 f_y는 각각의 편도함수(partial derivatives)임.

f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y) f(x, y+⊿y)-f(x, y)⊿x

⊿y

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u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)의 개요

- 한편, 앞의 식에서 ⊿x와 ⊿y가 각각 0에 무한접근하면 각각의 불일치항인 δ₁과 δ₂도 0에 무한접근함.

- 따라서 δ₁⊿x와 δ2⊿y도 더욱 더 작은 수가 되므로 z의 총변화(dz)는 근사값으로 다음과 같이 미분됨.

dz= dx+ dy 또는 dz=f_x(x, y)dx+f_y(x, y)dy

- 위 식에서 dz는 두 원천으로부터 발생하는 변화의 합 이기 때문에 이것을 dz의 전미분이라 함.

è

전미분(total differentials)의 개요

- 한편, 앞의 식에서 ⊿x와 ⊿y가 각각 0에 무한접근하면 각각의 불일치항인 δ₁과 δ₂도 0에 무한접근함.

- 따라서 δ₁⊿x와 δ2⊿y도 더욱 더 작은 수가 되므로 z의 총변화(dz)는 근사값으로 다음과 같이 미분됨.

dz= dx+ dy 또는 dz=f_x(x, y)dx+f_y(x, y)dy

- 위 식에서 dz는 두 원천으로부터 발생하는 변화의 합 이기 때문에 이것을 dz의 전미분이라 함.

∂z

∂x

∂z

∂y

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u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 예를 들어 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S는 저축, Y는 국민소득, i는 이자율임.

- 여기서 각각의 편도함수 ∂S/∂Y는 한계저축성향(MPS),

∂S/∂i는 이자율 변화에 대한 저축 변화정도를 나타냄. - 따라서 Y의 미세변화 dy에 따른 S의 변화는 근사값

(∂S/∂Y)dy로 i의 미세변화 di에 기인하는 S의 변화는 근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼 수 있음.

è

전미분(total differentials)

- 예를 들어 저축함수 S=S(Y, i); 여기서 S는 저축, Y는 국민소득, i는 이자율임.

- 여기서 각각의 편도함수 ∂S/∂Y는 한계저축성향(MPS),

∂S/∂i는 이자율 변화에 대한 저축 변화정도를 나타냄. - 따라서 Y의 미세변화 dy에 따른 S의 변화는 근사값

(∂S/∂Y)dy로 i의 미세변화 di에 기인하는 S의 변화는 근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼 수 있음.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 그러면 저축 S의 총변화는 다음과 같이 미분으로 근사 할 수 있음.

dS= dY+ di 또는 dS=S_YdY+S_idi

- 만약 i는 일정한데 Y만 변한다면 이 경우 di=0이 되고, 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY로 되고, 양변을 dY로 나누면

=

- 따라서 편도함수 ∂S/∂Y는 독립변수 i가 일정하다는 전제 하에 두 미분 dS와 dY의 비율과 같음.

è

전미분(total differentials)

- 그러면 저축 S의 총변화는 다음과 같이 미분으로 근사 할 수 있음.

dS= dY+ di 또는 dS=S_YdY+S_idi

- 만약 i는 일정한데 Y만 변한다면 이 경우 di=0이 되고, 전미분은 dS=(∂S/∂Y)dY로 되고, 양변을 dY로 나누면

=

- 따라서 편도함수 ∂S/∂Y는 독립변수 i가 일정하다는 전제 하에 두 미분 dS와 dY의 비율과 같음.

∂S

∂Y

∂S

∂i

∂S

∂Y

dS dY

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- n개의 독립변수로 구성된 일반함수형태의 효용함수 U=U(x₁, x₂,L, x_n)

- 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음.

dU= dx₁+ dx₂+L+ dx_n

또는 dU=U₁dx₁+U₂dx₂+L+U_ndx_n=∑U_idx_i

- 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 미세변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임.

è

전미분(total differentials)

- n개의 독립변수로 구성된 일반함수형태의 효용함수 U=U(x₁, x₂,L, x_n)

- 위 함수의 전미분은 다음과 같이 표현할 수 있음.

dU= dx₁+ dx₂+L+ dx_n

또는 dU=U₁dx₁+U₂dx₂+L+U_ndx_n=∑U_idx_i

- 위 식에서 우변의 각 항은 어떤 하나의 독립변수가 미세변화할 때 초래되는 총효용변화의 근사값임.

∂U

∂x₁

∂U

∂x₂

∂U

∂x_n

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음.

- 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨. - 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수

있고, 효용함수는 n개의 탄력성이 정의될 수 있음.

- 이때 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 편도함수가 되고, 이들의 탄력성을 편탄력성(partial

elasticity)이라 함.

è

전미분(total differentials)

- 다른 함수와 마찬가지로 점탄력성을 구할 수 있음.

- 그러나 각 탄력성은 여러 개의 독립변수 중 오직 어떤 하나의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화로 정의됨. - 따라서 앞서 저축함수는 두 개의 탄력성이 정의될 수

있고, 효용함수는 n개의 탄력성이 정의될 수 있음.

- 이때 각각의 독립변수 변화에 대한 종속변수 변화는 편도함수가 되고, 이들의 탄력성을 편탄력성(partial

elasticity)이라 함.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 앞에서의 저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음.

ε_SY= = ε_Si= =

- 효용함수에 대한 n개의 편탄력성은 다음과 같음.

ε_Uxi= = (i=1, 2,L, n)

è

전미분(total differentials)

- 앞에서의 저축함수에 대한 편탄력성은 다음과 같음.

ε_SY= = ε_Si= =

- 효용함수에 대한 n개의 편탄력성은 다음과 같음.

ε_Uxi= = (i=1, 2,L, n)

∂S/∂Y S/Y

∂S

∂Y Y S

∂S/∂i S/i

∂S

∂i i S

∂U/∂x_i U/x_i

∂U

∂x_i x_i U

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 예 1 : U(x₁, x₂)=ax₁+bx₂ (여기서 a, b>0)

=U₁=a =U₂=b

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=adx₁+bdx₂ - 예 2 : U(x₁, x₂)=x₁²+x₂³+x₁x₂

=U₁=2x₁+x₂ =U₂=3x₂²+x₁

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=(2x₁+x₂)dx₁+(3x₂²+x₁)dx₂

è

전미분(total differentials)

- 예 1 : U(x₁, x₂)=ax₁+bx₂ (여기서 a, b>0)

=U₁=a =U₂=b

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=adx₁+bdx₂ - 예 2 : U(x₁, x₂)=x₁²+x₂³+x₁x₂

=U₁=2x₁+x₂ =U₂=3x₂²+x₁

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=(2x₁+x₂)dx₁+(3x₂²+x₁)dx₂

∂U

∂x₁

∂U

∂x₂

∂U

∂x₁

∂U

∂x₂

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials)

- 예 3 : U(x₁, x₂)=x₁^ax₂^b (여기서 a, b>0)

=U₁=ax₁^a-1x₂^b=

=U₂=bx₁^ax₂^b-1=

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=( )dx₁+( )dx₂

è

전미분(total differentials)

- 예 3 : U(x₁, x₂)=x₁^ax₂^b (여기서 a, b>0)

=U₁=ax₁^a-1x₂^b=

=U₂=bx₁^ax₂^b-1=

dU=U₁dx₁+U₂dx₂=( )dx₁+( )dx₂

∂U

∂x₁

∂U

∂x₂

ax₁^ax₂^b x₁ bx₁^ax₂^b

x₂ ax₁^ax₂^b

x₁

bx₁^ax₂^b x₂

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials) - 예 4 : z=2x+5xy+y

=z₁=2+5y =z₂=5x+1

dz=z₁dx+z₂dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x²+y²

=z₁=4x =z₂=2y dz=z₁dx+z₂dy=4xdx+2ydy

è

전미분(total differentials)

- 예 4 : z=2x+5xy+y

=z₁=2+5y =z₂=5x+1

dz=z₁dx+z₂dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy - 예 5 : z=2x²+y²

=z₁=4x =z₂=2y dz=z₁dx+z₂dy=4xdx+2ydy

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전미분 (total differentials) u 전미분 (total differentials)

è

전미분(total differentials) - 예 6 : u=xy²z³

=u₁=y²z³ =u₂=2xyz³ =u₃=3xy²z² du=u₁dx+u₂dy+u₃dz=y²z³dx+2xyz³dy+3xy²z²dz - 예 7 : y=

=y₁= =y₂=

dy=y₁dx₁+y₂dx₂= dx₁+ dx₂

è

전미분(total differentials)

- 예 6 : u=xy²z³

=u₁=y²z³ =u₂=2xyz³ =u₃=3xy²z² du=u₁dx+u₂dy+u₃dz=y²z³dx+2xyz³dy+3xy²z²dz - 예 7 : y=

=y₁= =y₂=

dy=y₁dx₁+y₂dx₂= dx₁+ dx₂

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z x₁

x₁+x₂

∂y

∂x₁

x₂ (x₁+x₂)²

∂y

∂x₂

-x₁ (x₁+x₂)² x₂

(x₁+x₂)²

-x₁ (x₁+x₂)²

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 미분연산법칙 (rules of differentials)

è

함수 y=f(x₁, x₂)의 전미분 dy를 구하는 간단한 방법은 편도함수 f₁과 f₂를 구하고 다음 식에 대입하는 것임.

dy=f₁dx₁+f₂dx₂

- 그러나

다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함

. - 여기서 k는 상수이고, u, v는 변수 x₁, x₂의 함수임.

è

[법칙 1] dk=0 (상수함수의 미분법칙)

è

[법칙 2] d(cuⁿ)=cnu^n-1du (멱함수의 미분법칙)

è

[법칙 3] d(u±v)=du±dv (합과 차의 미분법칙)

è

[법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 미분법칙)

è

함수 y=f(x₁, x₂)의 전미분 dy를 구하는 간단한 방법은 편도함수 f₁과 f₂를 구하고 다음 식에 대입하는 것임.

dy=f₁dx₁+f₂dx₂

- 그러나

다음과 같은 미분법칙을 적용하는 것이 편리함

. - 여기서 k는 상수이고, u, v는 변수 x₁, x₂의 함수임.

è

[법칙 1] dk=0 (상수함수의 미분법칙)

è

[법칙 2] d(cuⁿ)=cnu^n-1du (멱함수의 미분법칙)

è

[법칙 3] d(u±v)=du±dv (합과 차의 미분법칙)

è

[법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 미분법칙)

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 미분연산법칙 (rules of differentials)

è

[법칙 5] d( )= (vdu-udv) (몫의 미분법칙)

è

[법칙 6] d(u±v±w)=du±dv±dw

è

[법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

è

이상의 법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함. - 예 1 : y=5x₁²+3x₂

이 함수의 편도함수 f₁=10x₁ 및 f₂=3이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂=10x₁dx₁+3dx₂

그러나

u=5x

₁²

과 v=3x

₂

로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면 dy=d(5x₁²)+d(3x₂)=10x₁dx₁+3dx₂

è

[법칙 5] d( )= (vdu-udv) (몫의 미분법칙)

è

[법칙 6] d(u±v±w)=du±dv±dw

è

[법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

è

이상의 법칙들이 응용되는 실례를 살펴보기로 함. - 예 1 : y=5x₁²+3x₂

이 함수의 편도함수 f₁=10x₁ 및 f₂=3이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂=10x₁dx₁+3dx₂

그러나

u=5x

₁²

과 v=3x

₂

로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면 dy=d(5x₁²)+d(3x₂)=10x₁dx₁+3dx₂

u v

1 v²

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 미분연산법칙 (rules of differentials)

- 예 2 : y=3x₁²+x₁x₂²

편도함수 f₁=6x₁+x₂²와 f₂=2x₁x₂이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂=(6x₁+x₂²)dx₁+2x₁x₂dx₂

u=3x

₁²

과 v=x

₁

x

₂²

로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면 dy=d(3x₁²)+d(x₁x₂²)=6x₁dx₁+x₂²dx₁+x₁d(x₂²)

=(6x₁+x₂²)dx₁+2x₁x₂dx₂ - 예 2 : y=3x₁²+x₁x₂²

편도함수 f₁=6x₁+x₂²와 f₂=2x₁x₂이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂=(6x₁+x₂²)dx₁+2x₁x₂dx₂

u=3x

₁²

과 v=x

₁

x

₂²

로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면 dy=d(3x₁²)+d(x₁x₂²)=6x₁dx₁+x₂²dx₁+x₁d(x₂²)

=(6x₁+x₂²)dx₁+2x₁x₂dx₂

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 미분연산법칙 (rules of differentials)

- 예 3 : y=

편도함수 f₁= 와 f₂= 이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂= dx₁+ dx₂

u=x

₁

+x

₂

와 v=2x

₁²

으로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면

dy=(1/4x₁⁴)[2x₁²d(x₁+x₂)-(x₁+x₂)d(2x₁²)]

=(1/4x₁⁴)[2x₁²(dx₁+dx₂)-(x₁+x₂)4x₁dx₁]

=(1/4x₁⁴)[-2x₁(x₁+2x₂)dx₁+2x₁²dx₂]

= dx₁+ dx₂ - 예 3 : y=

편도함수 f₁= 와 f₂= 이므로 구하고자 하는 미분은 dy=f₁dx₁+f₂dx₂= dx₁+ dx₂

u=x

₁

+x

₂

와 v=2x

₁²

으로 놓고 , 미분법칙을 적용

하면

dy=(1/4x₁⁴)[2x₁²d(x₁+x₂)-(x₁+x₂)d(2x₁²)]

=(1/4x₁⁴)[2x₁²(dx₁+dx₂)-(x₁+x₂)4x₁dx₁]

=(1/4x₁⁴)[-2x₁(x₁+2x₂)dx₁+2x₁²dx₂]

= dx₁+ dx₂ x₁+x₂

2x₁²

-(x₁+2x₂) 2x₁³

1 2x₁²

-(x₁+2x₂) 2x₁³

1 2x₁²

-(x₁+2x₂) 2x₁³

1 2x₁²

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 미분연산법칙 (rules of differentials) u 미분연산법칙 (rules of differentials)

- 예 4 : y=3x₁(2x₂-1)(x₃+5)

위 식의 편도함수 f₁=3(2x₂-1)(x₃+5), f₂=2(3x₁)(x₃+5), f₃=3x₁(2x₂-1)이므로 구하고자 하는 미분은

dy=f₁dx₁+f₂dx₂+f₃dx₃=3(2x₂-1)(x₃+5)dx₁

+2(3x₁)(x₃+5)dx₂+3x₁(2x₂-1)dx₃

u=3x

₁

, v=2x

₂

-1, w=x

₃

+5으로 놓고, 미분법칙을 적용

dy=(2x₂-1)(x₃+5)d(3x₁)+3x₁(x₃+5)d(2x₂-1) +3x₁(2x₂-1)d(x₃+5)

=3(2x₂-1)(x₃+5)dx₁+2(3x₁)(x₃+5)dx₂+3x₁(2x₂-1)dx₃ - 예 4 : y=3x₁(2x₂-1)(x₃+5)

위 식의 편도함수 f₁=3(2x₂-1)(x₃+5), f₂=2(3x₁)(x₃+5), f₃=3x₁(2x₂-1)이므로 구하고자 하는 미분은

dy=f₁dx₁+f₂dx₂+f₃dx₃=3(2x₂-1)(x₃+5)dx₁

+2(3x₁)(x₃+5)dx₂+3x₁(2x₂-1)dx₃

u=3x

₁

, v=2x

₂

-1, w=x

₃

+5으로 놓고, 미분법칙을 적용

dy=(2x₂-1)(x₃+5)d(3x₁)+3x₁(x₃+5)d(2x₂-1) +3x₁(2x₂-1)d(x₃+5)

=3(2x₂-1)(x₃+5)dx₁+2(3x₁)(x₃+5)dx₂+3x₁(2x₂-1)dx₃

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 합성함수의 일반적 함수형태가 다음과 같음.

y=f(x, w), 여기서 x=g(w)

- 함수 f와 g는 다음과 같이 합성함수로 결합될 수 있음.

y=f[g(w), w]

- 여기서 세 변수 y, x, w간의 상호관계는 [그림 8.4]의 경로도(channel map)에 나타내고 있음.

- 이 그림에서 알 수 있듯이 변화를 일으키는 궁극적인 원인변수인 w는 두 경로를 통해 y에 영향을 줌.

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 합성함수의 일반적 함수형태가 다음과 같음.

y=f(x, w), 여기서 x=g(w)

- 함수 f와 g는 다음과 같이 합성함수로 결합될 수 있음.

y=f[g(w), w]

- 여기서 세 변수 y, x, w간의 상호관계는 [그림 8.4]의 경로도(channel map)에 나타내고 있음.

- 이 그림에서 알 수 있듯이 변화를 일으키는 궁극적인 원인변수인 w는 두 경로를 통해 y에 영향을 줌.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function)

- 우선,

간접적으로 함수 g를 거친 후, 함수 f를 통하여 y에 영향을 주고(직선의 화살표),

그리고

직접적으로 함수 f를 통하여 y에 영향을 줌(곡선의 화살표).

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function)

- 우선,

간접적으로 함수 g를 거친 후, 함수 f를 통하여

y에 영향을 주고(직선의 화살표),

그리고

직접적으로

함수 f를 통하여 y에 영향을 줌(곡선의 화살표).

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) -

y에 대한 w의 직접효과는 편도함수인 f

_w

(=∂y/∂w)

로

나타낼 수 있음.

-

y에 대한 w의 간접효과는 합성함수의 연쇄법칙인 두 도함수의 곱 , 즉 f

_x

(= )

로 표현됨.

- 이 두 효과를 합하면 w에 관한 y의 전도함수를 얻음.

=f_x +f_w= +

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) -

y에 대한 w의 직접효과는 편도함수인 f

_w

(=∂y/∂w)

로

나타낼 수 있음.

-

y에 대한 w의 간접효과는 합성함수의 연쇄법칙인 두 도함수의 곱 , 즉 f

_x

(= )

로 표현됨.

- 이 두 효과를 합하면 w에 관한 y의 전도함수를 얻음.

=f_x +f_w= +

dx

dw

∂y

∂x

dx dw

dy

dw

dx dw

∂y

∂x

dx dw

∂y

∂w

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 앞의 전도함수는 다른 방법으로도 얻을 수 있음.

- 우선, 함수 y=f(x, w)를 전미분하면 dy=f_xdx+f_wdw

- 이제 양변을 dw로 나누면 다음의 결과를 얻음.

=f_x +f_w= +

- 어떤 방법이든 전도함수 dy/dw를 구하는 과정을 w에 관한 y의 전미분연산이라 함.

- 여기서

dy/dw는 전도함수이고, ∂y/∂w는 편도함수임.

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 앞의 전도함수는 다른 방법으로도 얻을 수 있음.

- 우선, 함수 y=f(x, w)를 전미분하면 dy=f_xdx+f_wdw

- 이제 양변을 dw로 나누면 다음의 결과를 얻음.

=f_x +f_w= +

- 어떤 방법이든 전도함수 dy/dw를 구하는 과정을 w에 관한 y의 전미분연산이라 함.

- 여기서

dy/dw는 전도함수이고, ∂y/∂w는 편도함수임.

dy dw

dx dw

∂y

∂x

dx dw

∂y

∂w

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 1 : y=f(x, w)=3x-w²이고, 단 x=g(w)=2w²+w+4일 때

전도함수 dy/dw

f_x=3, f_w=-2w, =4w+1이므로

=f_x +f_w=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함수 g를 함수 f에 대입하면 y=3(2w²+w+4)-w²이고, 이를 다시 정리하면 y=5w²+3w+12이므로

dy/dw=10w+3

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 1 : y=f(x, w)=3x-w²이고, 단 x=g(w)=2w²+w+4일 때

전도함수 dy/dw

f_x=3, f_w=-2w, =4w+1이므로

=f_x +f_w=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함수 g를 함수 f에 대입하면 y=3(2w²+w+4)-w²이고, 이를 다시 정리하면 y=5w²+3w+12이므로

dy/dw=10w+3 dx dy dw

dw

dx dw

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s)이고(여기서 c는 커피 소

비량, s는 설탕 소비량), 또다른 방정식 s=g(c)임.

이 두 재화가 보완관계라면 효용함수는 다음과 같은 합성함수로 나타낼 수 있음.

U=U[c, g(c)]

위 식으로부터 다음과 같은 전도함수 dU/dc를 얻음.

= + g¢(c)

è

합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s)이고(여기서 c는 커피 소

비량, s는 설탕 소비량), 또다른 방정식 s=g(c)임.

이 두 재화가 보완관계라면 효용함수는 다음과 같은 합성함수로 나타낼 수 있음.

U=U[c, g(c)]

위 식으로부터 다음과 같은 전도함수 dU/dc를 얻음.

= + g¢(c)∂U

∂c dU

dc

∂U

∂g(c)

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 함수 y=f(x₁, x₂, w), 여기서 x₁=g(w), x₂=h(w)임.

- 이 경우 변수 w는 세 경로를 통하여 y에 영향을 줌:

⑴ 간접적으로 함수 g를 거친 후 함수 f를 통해,

⑵ 또한 간접적으로 함수 h를 거치고 함수 f를 통해,

⑶ 직접적으로 함수 f를 통해 y에 영향을 줌.

- 이 세 효과는 각각 , , 로 나타낼 수 있음.

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 함수 y=f(x₁, x₂, w), 여기서 x₁=g(w), x₂=h(w)임.

- 이 경우 변수 w는 세 경로를 통하여 y에 영향을 줌:

⑴ 간접적으로 함수 g를 거친 후 함수 f를 통해,

⑵ 또한 간접적으로 함수 h를 거치고 함수 f를 통해,

⑶ 직접적으로 함수 f를 통해 y에 영향을 줌.

- 이 세 효과는 각각 , , 로 나타낼 수 있음.

∂y

∂x₁

dx₁ dw

∂y

∂x₂

∂y

∂w dx₂

dw

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 이들 세 가지 효과를 합하면, 다음의 전도함수를 얻음.

= + +

=f₁ +f₂ +f_w

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 이들 세 가지 효과를 합하면, 다음의 전도함수를 얻음.

= + +

=f₁ +f₂ +f_w

∂y

∂x₁

dx₁ dw

∂y

∂x₂

∂y

∂w dx₂

dw dy

dw dx₁ dw

dx₂ dw

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 전도함수 (total derivatives) u 전도함수 (total derivatives)

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t는 시간변수임.

- 이 경우 시간 t의 경과에 따라 기술의 변화를 반영할 수 있음. 따라서 동태적 생산함수라고 할 수 있음. - 시간의 경과에 따라 자본량과 노동량도 변화하므로

K=K(t), L=L(t) ® Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면 시간에 관한 산출량 변화율은 전도함수 공식에 따라 = + +

=Q_KK¢(t)+Q_LL¢(t)+Q_t

è

논제의 한 변환(a variation on the theme)

- 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t는 시간변수임.

- 이 경우 시간 t의 경과에 따라 기술의 변화를 반영할 수 있음. 따라서 동태적 생산함수라고 할 수 있음. - 시간의 경과에 따라 자본량과 노동량도 변화하므로

K=K(t), L=L(t) ® Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면 시간에 관한 산출량 변화율은 전도함수 공식에 따라 = + +

=Q_KK¢(t)+Q_LL¢(t)+Q_t

∂Q

∂K

dK dt

∂Q

∂L

∂Q

∂t dL

dt dQ

dt

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- 지금까지 함수는 대부분 y=f(x)의 형태로 나타냈음.

여기서 x는 독립변수, y는 종속변수로 명확하게 표현 할 수 있음. 즉, 변수 y가 x의 함수로 명시적으로 표시 되기 때문에 이러한 함수를 양함수(explicit function) 라고 함(예 : y=f(x)=3x⁴).

- 그러나 이 함수가 동일한 의미를 갖는 다른 형태, 즉 y-3x⁴=0

여기서 변수x, y는 독립변수와 종속변수가 뚜렷하지 않음.

è

음함수(implicit function)

- 지금까지 함수는 대부분 y=f(x)의 형태로 나타냈음.

여기서 x는 독립변수, y는 종속변수로 명확하게 표현 할 수 있음. 즉, 변수 y가 x의 함수로 명시적으로 표시 되기 때문에 이러한 함수를 양함수(explicit function) 라고 함(예 : y=f(x)=3x⁴).

- 그러나 이 함수가 동일한 의미를 갖는 다른 형태, 즉 y-3x⁴=0

여기서 변수x, y는 독립변수와 종속변수가 뚜렷하지 않음.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- 이와 같이 x, y의 관계가 명확하지 않고 포괄적으로 나타난 함수를 음함수(implicit function)라고 함

(예 : y-3x⁴=0).

- 일반적으로 음함수는 F(y, x)=0으로 나타냄(y는 x의 음함수라고 함).

여기서 음함수는 함수 f와 구별하기 위해 대문자 F를 사용함.

è

음함수(implicit function)

- 이와 같이 x, y의 관계가 명확하지 않고 포괄적으로 나타난 함수를 음함수(implicit function)라고 함

(예 : y-3x⁴=0).

- 일반적으로 음함수는 F(y, x)=0으로 나타냄(y는 x의 음함수라고 함).

여기서 음함수는 함수 f와 구별하기 위해 대문자 F를 사용함.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- 앞의 예에서 함수 F는 두 독립변수 y와 x를 가지는 반면, 양함수 f는 오직 하나의 독립변수 x만 가짐.

- 함수 F는 둘 이상의 독립변수가 존재할 수 있음.

- 한편, 양함수 y=f(x)는 f(x)식을 등호의 좌변으로 이항 하면 방정식 F(y, x)=0형태로 항상 변환이 가능함. 그러나 그 역의 변환은 항상 가능한 것이 아님. 즉, 음함수를 정의하지 못할 수도 있음.

è

음함수(implicit function)

- 앞의 예에서 함수 F는 두 독립변수 y와 x를 가지는 반면, 양함수 f는 오직 하나의 독립변수 x만 가짐.

- 함수 F는 둘 이상의 독립변수가 존재할 수 있음.

- 한편, 양함수 y=f(x)는 f(x)식을 등호의 좌변으로 이항 하면 방정식 F(y, x)=0형태로 항상 변환이 가능함. 그러나 그 역의 변환은 항상 가능한 것이 아님. 즉, 음함수를 정의하지 못할 수도 있음.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- 예 : 방정식 F(y, x)=x²+y²-3²=0는 원점 중심으로 반지름이 3인 원이고, y를 x에 대하여 풀어 쓰면 y=±(3²-x²)^1/2임.

è

음함수(implicit function)

- 예 : 방정식 F(y, x)=x²+y²-3²=0는 원점 중심으로 반지름이 3인 원이고, y를 x에 대하여 풀어 쓰면 y=±(3²-x²)^1/2임.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- 방정식 F(y, x)=x²+y²-3²=0는 함수가 아니라 하나의 관계에 불과함.

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내기 때문에 x의 각 값에 대응하는 y값이 유일하게 존재하지 않음.

- 그러나 y값이 비음(양)이면 y=+(3²-x²)^1/2(원의 상반분), y값이 비양(음)이면 y=-(3²-x²)^1/2(원의 하반분)을 구성 - 한편, 원의 왼쪽이나 오른쪽 반분은 그 어느 것도 함수가

될 수 없음.

è

음함수(implicit function)

- 방정식 F(y, x)=x²+y²-3²=0는 함수가 아니라 하나의 관계에 불과함.

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내기 때문에 x의 각 값에 대응하는 y값이 유일하게 존재하지 않음.

- 그러나 y값이 비음(양)이면 y=+(3²-x²)^1/2(원의 상반분), y값이 비양(음)이면 y=-(3²-x²)^1/2(원의 하반분)을 구성 - 한편, 원의 왼쪽이나 오른쪽 반분은 그 어느 것도 함수가

될 수 없음.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수(implicit function)

- y=+(3²-x²)^1/2 [원의 상반분]

y=-(3²-x²)^1/2 [원의 하반분]

- 즉, F(y, x)=0가 y=f(x)를 정의해 줄 때 y는 x의 음함수 (implicit function)라고 함.

è

음함수(implicit function)

- y=+(3²-x²)^1/2 [원의 상반분]

y=-(3²-x²)^1/2 [원의 하반분]

- 즉, F(y, x)=0가 y=f(x)를 정의해 줄 때 y는 x의 음함수 (implicit function)라고 함.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function)

- 음함수 F(y, x)=0에 대하여 x에 대한 y의 도함수(dy/dx) 는 우선 양변을 x에 관하여 미분하면

F_x+F_y =0 따라서 =- (F_y¹0) - 앞의 예 F(y, x)=x²+y²-3²=0에서

F_x=2x, F_y=2y이므로 =- =- 임.

- 결국, 음함수의 구체적 형태를 알지 못해도 음함수의 도함수는 F함수의 한 쌍의 편도함수들의 비율에 음(-) 의 부호를 붙인 것이 됨.

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function)

- 음함수 F(y, x)=0에 대하여 x에 대한 y의 도함수(dy/dx) 는 우선 양변을 x에 관하여 미분하면

F_x+F_y =0 따라서 =- (F_y¹0) - 앞의 예 F(y, x)=x²+y²-3²=0에서

F_x=2x, F_y=2y이므로 =- =- 임.

- 결국, 음함수의 구체적 형태를 알지 못해도 음함수의 도함수는 F함수의 한 쌍의 편도함수들의 비율에 음(-) 의 부호를 붙인 것이 됨.

dy dx

dy dx

F_x F_y dy

dx

2x 2y

x y

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x⁴=0의 도함수(dy/dx)

=- =- =12x³

한편, 주어진 방정식을 y에 대해서 풀면 y=3x⁴임. 따라서 위의 도함수와 동일함.

- 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y³x²+w³+yxw-3=0의 도함수

=- =-

만약 점 (1, 1, 1)에서 이 도함수의 값은 -3/4임.

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x⁴=0의 도함수(dy/dx)

=- =- =12x³

한편, 주어진 방정식을 y에 대해서 풀면 y=3x⁴임. 따라서 위의 도함수와 동일함.

- 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y³x²+w³+yxw-3=0의 도함수

=- =-

만약 점 (1, 1, 1)에서 이 도함수의 값은 -3/4임.

dy dx

F_x F_y

-12x³ 1

∂y

∂x

F_x F_y

2y³x+yw 3y²x²+xw

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function)

- 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0은 묵시적으로 생산함수 Q=f(K, L)로 정의하면 한계실물생산 MPP_K 및 MPP_L?

MPP_Kº =- 및 MPP_Lº =-

이밖에도 방정식 F(Q, K, L)=0에서 다음과 같은 편도 함수를 얻을 수 있음.

=-

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function)

- 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0은 묵시적으로 생산함수 Q=f(K, L)로 정의하면 한계실물생산 MPP_K 및 MPP_L?

MPP_Kº =- 및 MPP_Lº =-

이밖에도 방정식 F(Q, K, L)=0에서 다음과 같은 편도 함수를 얻을 수 있음.

∂K =-

∂L

F_L F_K

∂Q

∂K

F_K F_Q

∂Q

∂L

F_L F_Q

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 앞에서 다룬 ∂K/∂L의 경제적 의미는 무엇인가?

편미분 기호는 다른 변수 Q가 고정되어 있음을 의미함. - 그러므로 이것은 등량곡선(isoquant curve)을 따라

이동하는 변화의 형태를 갖게 됨.

- 따라서 도함수 ∂K/∂L는 등량곡선의 접선의 기울기 (기울기 값은 보통 음(-)의 값을 가짐.)

- 한편, ∂K/∂L의 절대값은 기술적 한계대체율(marginal rate of technical substitution : MRTS_LK)임.

è

음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 앞에서 다룬 ∂K/∂L의 경제적 의미는 무엇인가?

편미분 기호는 다른 변수 Q가 고정되어 있음을 의미함. - 그러므로 이것은 등량곡선(isoquant curve)을 따라

이동하는 변화의 형태를 갖게 됨.

- 따라서 도함수 ∂K/∂L는 등량곡선의 접선의 기울기 (기울기 값은 보통 음(-)의 값을 가짐.)

- 한편, ∂K/∂L의 절대값은 기술적 한계대체율(marginal rate of technical substitution : MRTS_LK)임.

l 일반함수모형의 비교정태분석 l 일반함수모형의 비교정태분석

u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) u 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

è

등량곡선(isoquant curve)

è

등량곡선(isoquant curve)

Q=Q₁ K

∂K

∂L

0 L