(1) 최적화 정의 및 방법
최적화 기법[26,27]은 반복적인 과정을 거쳐 가중된 수차의 제곱항들의 합 으로 정의되는 merit function이 최소값을 갖는 설계 변수들을 구하여 보다 개선된 광학계를 찾아내는 방법으로 설계 변수는 곡률, 굴절률, 렌즈두께, 렌즈간의 간격을 들 수 있으며 그 방법으로는 다음과 같이 여러 방법이 소 개되었다.
1) 최소 자승법(Least Squares Method)[28,29]
설계 변수의 비선형 함수들인 수차나 설계의 제한 조건들을 1차 또는 2 차까지 Taylor 전개하여 선형화 하는 방법으로 단점은 최적화 하는 동안 수차함수의 비선형성과 상호 종속성에 의하여 수렴속도가 떨어지고 최적점 에 수렴하지 못하거나 최적점을 지나치게 되는 등 merit function이 불안정
하게 진동하는 경우가 생긴다.
2) Grey method
매 되풀이마다 광학계의 수차를 서로 직교하는 새로운 수차함수를 구성 하여 사용한다.
3) Adaptive method
매 되풀이마다 광학계 수차의 1차 미분계수를 검사하여 상호 종속성이 있는 수차를 제거하는 방법이다.
4) 감쇠 최소 자승법 (damping least squares method)[30-33]
가장 널리 사용하는 방법으로 적절한 크기의 감쇠항을 도입하여 가능한 한 설계변수의 변화량을 적게 함으로써. 설계 변수에 대한 오차함수의 비선 형성에 의해 merit function이 불안정하게 진동하는 현상을 방지할 수 있다.
설계 변수의 변화량을 적게 하면 최적화에 따른 오차가 적어져 최소 자승 법 보다 상대적으로 안정하게 수렴한다.
5) 전역 최적화 방법 (Kuper & Harris)
전역 최소점에 수렴하게 하는 방법으로 단점은 계산시간이 많이 걸리고,
변수의 수가 증가하면 계산시간이 급격히 증가한다.
종류는 격자법과 simulated annealing법(Bohackevsky)이 있으며 격자법은 변수 공간을 표본화 한(등거리의 규칙적인 격자와 같이 나눔) 모든 변수에 대하여 최적화 하여 변수 공간의 최소점에서 최소 merit function을 찾아내 는 방법이고, simulated annealing법은 어떤 통계 분포에 따른 무작위 탐색 법이다.
6) SVD 방법
직교 변환을 사용하여 해를 구하는 방법으로 단점은 최적화 과정에서 실 제 최소점이 아닌 국부(local) 최소점에 수렴하는 경우가 발생한다.
(2) 수차함수의 정의 및 방법
1) 파면 수차를 광학계의 설계 변수(예 n, c, d) 접합을 이용하여 해석적으 로 표현하고 이를 미분한 후 여기에 설계 변수를 대입하여 파면 수차를 구 하는 방법으로 간단한 광학계 설계에 있어서 효과적이지만, 해석적 표현을 구하기가 어렵다.
2) 적당한 수의 광선을 유한 광선 추적하여 Seidel 수차 다항식이나 Zernike 다항식으로서 근사하여 파면 수차 함수를 유도하고, 이로부터 미분 계수를 구하는 방법으로 많은 설계 변수에 대한 고차항의 미분 계수를 구 하고자 할 경우 가장 적은 시간이 소요된다.
3) 유한 광선 추적에 의하여 광선 수차를 구하고, 그 설계 변수의 미소 변 화에 대한 광선 추적을 함으로써 그 미분계수를 구하는 방법으로 1계 미분 치만을 사용하거나 많지 않은 설계 변수가 주어질 때 효과적이다.
4) 방법 3에서의 광선 수차를 rms-value로 대신하는 방법으로 방법 3과 비교하여 얼마나 적은 수의 광선을 추적함으로써 rms-value가 정의될 수 있느냐가 문제시된다.
(3) Merit Function
모든 수차들은 동시에 모두 zero로 만들기가 실제로 불가능하기 때문에 특정한 수차만을 없애거나 여러 수차들의 균형을 잡기 위해 merit function 이라는 수차들의 제곱항으로 이루어진 함수를 사용한다. 각 항을 제곱하는 이유는 반대 부호를 가진 큰 수차의 양을 가진 작은 merit function 값을 얻게 될 가능성을 제거하기 위해서이다.
아래 식과 같이 merit function 은 각 수차의 target value 와 제한 조건, 설 계자에 의한 좀 더 정확한 보정을 수행하기 위한 weight (가중치)를 주어 merit function이 최소화하는 방향으로 최적화를 반복적으로 진행하게 된다.
∅ = ∑m
i = 1f2i ( i = 1, …, m : 수차의 수) (106)
fi= ωi( ei- ti)
ωi : 가중치,ei : 제한 조건 (수차, 초점거리, 상면위치, 전체길이), ti : 목 표값
Taylor 급수로 전개하면
(4) 최소 자승법(Least Squares Method)
merit function ∅를 최소화하는 방향으로 최적화를 진행하면
최소 자승법의 정규 방정식으로 matrix 형태로 표시하면
∂∅
∂( △XT) = ATF0+ ATA△ X = 0 (111)
(5) 감쇠 최소 자승법(Damped Least Squares Method)
비선형적인 면을 고려한 merit function - 감쇠항 포함
감쇠항 - 설계 변수의 변화량의 크기를 제한(감쇠계수 스케일 행렬)
1) additive damping : 단위 행렬을 스케일 행렬로 사용하여 모든 설계 변 수를 동일하게 취급
2) multiplicative damping : 오차함수(error junction)의 1차 미분을 스케일 행렬로 사용하여 변수간의 각각 다른 비선형도를 고려
<표현 방법 I>
1) additive damping
ψ = ∅ + Pa2 ∑n
j = 1( xj - x0j)2 (112)
Pa는 scalar 값으로 각 단계의 크기를 제한하여 높은 선형도를 유지한다.
matrix 형태로 표현하면
ATF0+ ( ATA + Pa2I )( X - X0) = 0 (113) A : aij 로 구성되는 행렬
X : xj 로 구성되는 행벡터 F : fi 로 구성되는 행벡터
AT, XT, FT : A, X, F의 전치행렬 또는 벡터
Pa 값이 커지면 커질수록 단계의 크기가 더욱 작게 제한되며, 실제적인 Pa의 값은 그 광학계의 비선형적인 성질을 고려하여 결정된다.
2) multiplicative damping
대각선 항만을 고려한 merit function 형태로 바꾸어 주면,
ψ = ∅ + Pm2 ∑n
j= 1qj2( xj - x0j)2 (114) matrix 형태로 표현하면
ATF0+ ( ATA + Pm2Q )( X - X0) = 0 (115) ( Q : A, AT의 대각선 항만을 가지는 행렬)
<표현방법Ⅱ>
merit function에 감쇠항을 포함한 예.
ψ = FTF + △XTP2Q △X (116)
A→0 이어도 △X의 크기가 커지는 것을 방지, P2 : 감쇠계수, Q : scale matrix로서 각각의 변수에 주는 감쇠항의 크기를 조절
matrix형태로 표시하면
ATF0+ ( ATA + BTF0)△ X = 0 (117)
이 된다. 이 식은 2차 미분 계수를 이용하는 최적화 기법의 정규방정식으로 BTF0가 scale matrix Q의 역할을 한다.