(1) 구면에 대한 광선추적
연속되는 surface을 가진 하나의 광학계에서 전 surface의 방향 여현 ( K-1, L- 1, M-1)과 교점 ( X- 1, Y-1, Z-1) 값으로부터 다음 surface에서 의 교점 ( X, Y, Z )을 계산하고, 또 ( X, Y, Z )와 ( K- 1, L- 1, M- 1)로부터 방향 여현 ( K, L, M )을 계산하는 두 가지 과정을 반복하여 적용하는 광선 추적으로 근사식이 아닌 정확한 광선 추적 방법으로서 이를 요약하면 다음 과 같다.
1) 구면에서 다음 접평면까지
두 surface 사이의 공간에서 skew ray 진행은 [그림 4]와 같다.
[그림 4] j-1 면과 j 면사이의 공간에서 Skew ray의 진행과정
광축에서 접하는 접평면의 접점을 원점으로 취하면 ZT= 0이고, 따라서 이 접평면과 skew ray와의 교점의 좌표는 ( XT, YT, 0 )이며, j- 1 면상에 서의 광선 위치에 대한 좌표는 ( X- 1, Y-1, Z- 1)이다. 이들 사이의 관계 는 다음과 같다.
XT= X-1+ △X = X- 1+ d-1 K-1
n-1 (5)
YT= Y- 1+ △Y = Y- 1+ d- 1L- 1
n-1 (6)
K-1/ n-1 : X축에 대한 광선의 방향 여현
L- 1/ n- 1 : Y축에 대한 광선의 방향 여현
[그림 5] 접평면에서 다음 구면까지의 과정
Z = r - [ r2- ( X2+ Y2) ]1/2= 1 c - 1
c [ 1 - c2( X2 + Y2)]1/2 이며, 다시 이를 정리하면,.
c2( X2+ Y2+ Z2) - 2 c Z = 0 (12)
이 된다. 여기서 c = 1
r 이다.
또 위에서 정리한 식 (9), (10), (11)을 제곱해서 식 (12)에 대입하고 정리 하면
( A
n- 1 )2c ( K2-1+ L2- 1+ M2- 1) - 2 ( A
n-1 ) [M-1
- c ( YTL- 1+ XTK- 1)] + c ( X2T+ Y2T) = 0
(13)
와 같이 된다. 식 (13)을 정리하기 위해서
K2- 1+ L2- 1+ M2-1= n2- 1이고, M-1- c ( YTL- 1+ XTK- 1) = B이며, c ( X2T+ Y2T) = H라고 하면 식 (13)은
c n2- 1( A
이 된다. 또 식 (16), (19)을 이용하여 풀면 결국 nA
- 1 는 A
n- 1 = H
B + n- 1cos I (20)
이 된다. 따라서 initial data (AT, YT ), (K- 1, L- 1, M- 1 ), n-1, c를 이 용하여 X, Y, Z 값을 구할 수 있다.
3) 구면에서의 굴절 과정
[그림 6] 구면에서의 굴절 과정
[그림 6]에서 Q0, Q1은 입사 광선 방향과 굴절 광선 방향의 unit vector 이고, M1은 normal line에 따른 unit vector이다.
Q0× M1= sin I0
Q1× M1= sin I1 Snell‘s Law에 의해
sin I0
S1= K i + L j + M k
S0= n- 1Qo= K-1i + L-1j + M-1k
이므로 S1- S0에 관한 또 다른 식이 만들어지게 된다.
S1- S0= ( K- K- 1) i + ( L - L- 1) j + ( M - M-1) k (23) 식 (22)와 (23)에서 다음과 같은 일련의 정리들을 얻을 수 있다.
K = K- 1- X c Γ (24)
L = L- 1- Y c Γ (25)
M = M- 1- ( Z c - 1)Γ (26)
n cos Γ = n [ ( n-1
n cos I )2- ( n- 1
n )2+ 1]1/2 (27)
Γ = n cos I ' - n- 1cos I (28)
진행 과정과 굴절 과정에 대한 광학계 변수와 수식들을 요약한 결과는 다음 [표 1]과 같다.
[표 1] 구면에 대한 광선 추적법 요약
(2) 비구면에 대한 광선추적[2,5]
1) 비구면의 특징
aspheric surface는 수차 보정이 좀 더 잘되기 때문에 컴퓨터를 사용하는 렌즈 디자이너들이 더 많이 사용한다. 앞에서 살펴본 바와 같이 spherical surface에서의 skew trace는 non-physical plane(접평면)과 physical plane 의 두 단계 투과 효과로써 추적한다. 하지만 비구면에서의 광선 추적은 보 다 복잡하여 다음과 같은 세 단계로 광선을 추적하게 된다([그림 7] 참조).
① 첫 번째 면에서 다음 접평면까지의 광선
② 접평면에서 접구면까지의 광선
③ 접구면에서 physical(second) surface까지
[그림 7] 비구면에서의 사광선 진행 과정
2) 비구면의 표현 방법
3) 접구면과 비구면간의 변환 식
구면에서의 skew ray trace에서 추적한 data 값을 가지고 비구면에서의 data 값을 얻고자 한다면 구면과 비구면과의 차이인 변형항의 값을 구해야 한다. 그 값을 구한 후 구면에서 추적한 값을 비구면으로 옮기는 작업을 할 수 있게 된다. 광선의 두 교점 사이의 간격인 A 값은 다음과 같이 바꿀 수 있다. 즉, 구면 skew ray trace에서의 A 값은 비구면에서 접평면과 접 구면 사이의 거리와 접구면과 비구면사이의 거리의 합으로 대치한다.
구면에서의 값 nA
- 1 → 비구면에서의 값 A + A'n
- 1
[그림 8] 접평면에서 비구면까지의 근사 과정
접구면에서의 비구면 변환을 위해서는 접구면과 광선의 교점 0에서부터 시작하여 최종점에 이르는 근사를 취해야 한다. [그림 8]에서 점 1은 점 0 과 동일한 X,Y 좌표값을 갖는다. 두 번째 근사를 취한 값이 점 2이다. 이 점은 점 1에서의 비구면의 접선과 광선과의 교점을 나타낸다. 접선은 점 1 의 좌표값과 점 1에서의 비구면의 계산된 곡률값으로부터 결정되어 진다.
광선의 방향은 알고 있으므로 광선과 점 1에서의 접선의 교점이 점 2이다.
이상의 과정들을 반복하게 되면 최종 접점을 구해낼 수 있게 된다.
이제 X,Y,Z 값의 0, 1, 2, …등의 점에 해당하는 값을 ( Xn,Yn,Zn)이 라고 하자. 여기서 n은 임의의 짝수 번호이다. 이때 Zn 값을 계산하기 위 한 Sn의 값은 다음과 같다.
Sn= X2n+ Y2n (31)
Z 값의 변화량은 Z 축과 평행한 짝수 번호의 점과 홀수 번호의 점 사이 거리가 된다. 이 거리를 - F라 하면 다음처럼 표현될 것이다.
F = Zn- [ c S2
1 + 1 - c2S2 + e S4+ f S6+ g S8+ h S10] (32) 표기상의 편의를 위하여
= [ 1 - c2S2]1/ 2 (33)
이라 하고 그 좌표값을 알고 있는 홀수 번호의 점에서 접선을 따라서 광선 에 이르는 방법을 생각해 보면 새로운 짝수 번호 점의 좌표를 Xn+ 1,
Yn +1, Zn + 1이라 하고, 이제 광선을 따라서 두 짝수 번호 점간의 거리를
△A'이라 하면 새로운 좌표에 대한 식은 다음과 같이 쓸 수가 있다.
Xn+ 1= Xn+ △A'
∂ψ
△A'
산의 편의상 G 값을 양변에 그대로 두는 것이 편리하므로
G n cos I' = n [ ( G n- 1
n cos I )2- G2(n- 1
n )2+ G2]1/ 2 (53) 이다. 그러므로 구면에서와 같은 방법에 의해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
K - K- 1= Γ U
G (54)
L - L- 1= Γ V
G (55)
M - M-1= Γ
G (56)
P = Γ / G을 도입하면
P = ( G n cos I' - G n-1cos I) / G2 (57) 이므로 최종적으로 식 K, L, M 설계의 값은
K = K- 1+ U P (58)
L = L- 1+ V P (59)
M = M- 1+ P (60)
이다. 비구면에 대한 광선 추적법을 요약한 결과는 다음 [표 2]와 같다.
[표 2] 비구면에 대한 광선 추적법 요약