ø p § ºõ u § T Ó Þ X ¢ < gW d lÅ k Ä Æ k ÓÀ W ¥ 4 8 ý W ë s × D

(1)

ø p § ºõ u § T Ó Þ X ¢ < gW d lÅ k Ä Æ k ÓÀ W ¥ 4 8 ý W ë s × D

» û BV

^∗

"

fz @ / < Æ § Ó ü to < Æõ , z " é ¶ 590-170 (2007¸ 4 Z 4 12{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

:

r ½ ¨\ " f H { 9 / å L x 9 s / å L ] j ` ¦ t H ^ > _ ] j ` ¦ À Ò H _ þ t ½ ¨ ¸ ~ ½ ÓZ O ` ¦ · ú : r . _

þ

t ½ ¨ ¸\ ¦ t H ^ > \ @ /ô Ç BFT ~ ½ ÓZ O _ © & h ` ¦ ¶ ú ( R Ð ¦ ¿ º t ¸4 S q\ @ /ô Ç \ V\ ¦ · ú : r .

PACS numbers: 11.10.Ef, 11.30.Ly, 11.10Kf Keywords: _þt ½¨¸, ]jd, Kx9Ðmîß SX©

I. " eÂ ] Ø

´ ú

§ É r Ó ü to < Æ ¸4 S q[ þ t É r > s Ý ¼ s : r (gauge theories)s 9, > s Ý ¼ s : r É r & ³@ / Ó ü to < Æ\ " f B Ä º × æכ ¹ô Ç % i ½ + É

`

¦ ¦ e . Õ ª X < s > s Ý ¼ s : r É r : x& h ª

o ~ ½ ÓZ O ` ¦ e H Õ ª@ / Ð & h 6 x½ + É Ã º \ O H : £ ¤s $ í s e H Õ

ª| ½ Ót î ß s : r (singular Lagrangian theories) [1, 2][ þ ts

. : £ ¤s $ í s e H Õ ª| ½ Ót î ß s : r_ â Ä º ] j d (constraints)_ > rF M :ë H\ Ó ü to | ¾ Ó (physical observables)s

¸ ú

& ñ _ ÷ &t · ú §l M :ë Hs .

s

Qô Ç ë H] j& h [ þ t` ¦ K l 0 AK n | Ã Ì É r Å Ò# Q Ó ü to

^

> _ { 9 ' a$ í ` ¦ 7 Ho & h Ü ¼ Ð ¸ H { 9 º _ õ & ñ ` ¦

Ð % i ¦ s \ ¦ : xK ] j d s > rF H Ó ü to ^ > _ { 9

'

a$ í e H ª o ~ ½ ÓZ O ` ¦ ] jî ß % i [3]. : £ ¤y , n | Ã Ì É r Ó

ü

to s : r\ : r| 9 & h Ü ¼ Ð ? /F K e H ] j d [ þ t` ¦ { 9 / å L] j

d (first-class constraints)õ s / å L] j d (second-class constraints)Ü ¼ Ð ß ¼> ì rÀ Ó % i .

» 1 Ï 2 ;, á ÔA × ¼ Õ ªo ¦ y n = ïÚ ÔÛ ¼v (Batalin, Frad- kin, Vilkovsky) [4, 5] H { 9 / å L] j d s e H Ó ü to ^ > _

ª o\ @ /ô Ç D h Ðî r s : r` ¦ ] jî ß Ù þ ¡ . BFV Ã ºd

:

r (BFV formalism)s Â ÒØ Ô H s s : r É r ü @| © / B N

$ í

(explicit covariance)s Ä »t ÷ & 9 F ½ © o 0 p xô Ç s

: r (renomalizable field theories)_ # 3 0 A î ß \ e ¦, S X

©

) a 0 A © / B Nç ß \ " f BRST ¨ 8 (BRST transformation) [6]\ Ô ¦ Ó ü to | ¾ Ó` ¦ ½ ¨$ í , ª o H X < y © § 4 ô Ç ì r

$ 3

~ ½ ÓZ O s .

s

/ å L] j d ` ¦ ° ú H Ó ü to ^ > \ @ /ô Ç ª o ~ ½ Ó Z

O

Ü ¼ Ð © { 9 ì ø Í& h Ã ºd : r É r » 1 Ï 2 ;-á ÔA × ¼ -È Ó

2 ; (Batalin-Fradkin-Tyutin)_ Ã ºd : r (BFT formalism)

∗E-mail: [email protected]

[7]s e . s Ã ºd : r É r s / å L] j d ` ¦ ° ú H Ó ü to > \ Ð

¸[ þ t (auxiliary fields)` ¦ ¸{ 9 , S X © ) a 0 A © / B Nç ß \ " f ´ ò õ

& h { 9 / å L] j d s ÷ & ¸2 ¤ ^ > & h Ü ¼ Ð Ë ¨ H ~ ½ ÓZ O : r s

. s / å L] j ^ > _ ¸ H Ó ü to | ¾ Ó[ þ t` ¦ ´ òõ & h { 9 / å L

^

> _ Ó ü to | ¾ ÓÜ ¼ Ð Ë ¨> ÷ & Õ ü tô Ç BRST-BFV ~ ½ Ó Z

O

` ¦ Ó ü to > \ ¦ ^ > & h s ¦ { 9 ' a ) a í H" f\ ª

o ½ + É Ã º e .

ô

Ç¼ # , n | Ã Ì_ ~ ½ ÓZ O É r ] j d [ þ t` ¦ { 9 / å Ls s / å L_ ] j

d Ü ¼ Ð ì rÀ Óë ß ½ + É ÷ r ] j d [ þ t s _ ' a> \ ¦ µ 1 ßy H X

<\ H Â Ò7 á ¤ô Ç & h s ´ ú §s e . Ó ü to ^ > s / å L] j d

`

¦ t 9 1 l xr \ 4 ¤¸ ú ô Ç @ /Ã º½ ¨ ¸ Ð s À Ò# Q4 R e ` ¦ M :

\

H : £ ¤y s ~ ½ ÓZ O É r ô Ç> e . / ' × ¼ü < ¸ É r X <

(Shirzad and Monemzadeh) [8] H þ j H\ ] j [ þ t_ _ þ t

½

¨ ¸ (chain structure) [9]\ ¦ Ä »t H Ã º& ñ ) a BFT ~ ½ ÓZ O

`

¦ ] jr % i . ] j d _ _ þ t½ ¨ ¸\ @ /ô Ç ì r$ 3 É r ] j d

[ þ t s _ ' a> \ ¦ Ð ½ ¨^ & h s ¦ ^ > & h Ü ¼ Ð s K

½ +

É Ã º e H H \ ¦ ] j/ B N½ + É Ã º e .

]

j d [ þ t_ _ þ t½ ¨ ¸ H n | Ã Ì\ _ ô Ç ] j d [ þ t_ : x

&

h

í H & h ~ ½ ÓZ O (level-by- level method) [3]` ¦ ] j

d [ þ t` ¦ ¸¿ º ½ ¨ H @ / , Õ ª| ½ Ót î ß _ Ø Ôï à × ¼Ø Ô

¨ 8

` ¦ 0 AK & ñ _ > ÷ & H & ñ ï r î r1 l x| ¾ Ó\ " fÂ Ò' r ô Ç

. " f, { 9 ] j d É r _ þ t½ ¨ ¸ [9]_ ¸$ í ì rs ) a .

r ´ ú K , _ þ t½ ¨ ¸_ ¸$ í ì r { 9 ] j d H Ê

ê µ 1 Ï| | ¨ c É r ] j d [ þ t` ¦ W& h Ü ¼ Ð Ó ü H _ þ t½ ¨ ¸ _

Ù þ s 9, s Ù þ ` ¦ × æd Ü ¼ Ð É r ] j d [ þ t É r { 9 º _ ¦ o

\ ¦ s À Ò> ) a .

s

~ ½ ÓZ O ` ¦ ] j d [ þ t` ¦ ì ro K ì r$ 3 ` ¦ l > r _

B Ä º 4 ¤¸ ú ô Ç ] j d [ þ t s _ @ /Ã º½ ¨ ¸ Ð ô Ç n | Ã Ì F

c ñd # Q 9¹ ¡ §` ¦ K ½ + É Ã º e ¦, n | Ã Ì_ Ã ºd

:

r\ " f Â Ò7 á ¤ô Ç ] j d [ þ t s _ & ñ Ð_ 9 ` ¦ # QÖ ¼ & ñ

¸ G Ö ¦ Ã º e . s ~ ½ ÓZ O _ © & h É r ' Í P :, ] j d [ þ t s

-530-

(2)

_

@ /Ã º½ ¨ ¸ d e ¦ 7 h Ë : ½ ¨ ¸ (symplectic structure) Ð

7 > ÷ &Ù ¼ Ð ] j d s e H Ó ü to > _ ª F c ñd ` ¦ Å

Ò H n | Ã Ì F c ñd ` ¦ < H~ 1 > ½ ¨½ + É Ã º e . Ñ ü tP :, ´ òõ & h

ª o\ ¦ 0 Aô Ç s / å L] j _ { 9 / å L] j o (BFT Ã ºd : r)

% i

r B Ä º ç ß é ß ô Ç + þ AI \ ¦ { > ÷ &# Q BFT Ã ºd : r` ¦ : xô Ç

´

òõ & h { 9 / å L] j d , ´ òõ & h Ó ü to | ¾ Ó 1 p xs " é ¶o & h Ü ¼

Ð 2, ¢ ¸ H 3 é ß > \ " f = å Q { 2 ³ + þ AI _ ³ ð & ³` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e

Ü ¼o H כ s .

:

r 7 Hë H II ] X \ " f H s / å L] j _ _ þ t½ ¨ ¸\ @ /K ç ß é

ß

y À Ò ¦, _ þ t½ ¨ ¸\ ¦ Ä »t H Ã º& ñ ) a BFT ~ ½ ÓZ O _ {

9 ì ø Í& h s : r\ @ /K III ] X \ " f ê r . IV ] X \ " f H s

/ å L _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ t H ] j _ ¿ º â Ä º\ @ /ô Ç ¸4 S q[ þ t

\

@ /K III] X _ ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 xr & : r . t } ] X \ " f H

: r` ¦ À Òl Ð ô Ç .

II. T ò k @ < gW d lÅ k Ä8 ý ø p § º

_ Ü ¼> p u] j (primary constraint) ω

1

` ¦ t H & ñ ï

r K x 9 Ðm î ß (canonical Hamiltonian)s H

C

Ó ü to ^

>

\ ¦ Ò q ty . ^ K x 9 Ðm î ß É r 6 £ §õ ° ú s & ñ _ ) a

.

H

T

= H

C

+ λω

1

. (1)

#

l " f λ H Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y L p (Lagrange multiplier)s .

Ü

¼> p u ] j s ¸f ô Ç > h â Ä º _ _ þ t ½ ¨ ¸ë ß s

>

rF > ÷ & 9. s â Ä º ] j [ þ t É r 6 £ §õ ° ú É r ' a> d ` ¦ ë

ß

7 á ¤ô Ç .

ω

i+1

= {ω

i

, H

C

}. (2)

_ þ t ½ ¨ ¸ ~ ½ ÓZ O [8]\ _ K _ þ ts N é ß > \ " f = å Q ¦,

t } ] j õ ' Í P : ] j É r 6 £ §õ ° ú É r ' a> \ ¦

.

{ω

N

, ω

1

} ≈ η(q, p) 6≈ 0. (3) ]

j _ r ç ß \ @ /ô Ç î ß & ñ $ í ¸| ` ¦ 6 x # Ü ¼> p u ] j

õ ^ K x 9 Ðm î ß ` ¦ 6 x 6 £ §õ ° ú É r d ` ¦ % 3

`

¦ Ã º e .

˙

ω

1

= {ω

1

, H

T

} = {ω

1

, H

C

} + λ{ω

1

, ω

1

} = 0 (4) s

' a> d õ ' aº ) a 0 p xô Ç o H [ j t s . ' Í

P : H {ω

1

, ω

1

} 6= 0 â Ä ºs 9, s M : H Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y

L p λ & ñ ÷ & " f s d É r 7 á x« Ñ ) a . ¿ º P : H {ω

1

, H

C

} = 0s ¦ 1 l xr \ {ω

1

, ω

1

} = 0 â Ä ºs . s

M

: H ' a> d s ½ Ó1 p xd s ÷ & " f 8 s © _ & ñ Ð Å Ò# Q t

t · ú § ¦ = å Qè ß . s ¿ º â Ä º H 8 s © _ ] j s ^ > \ µ

1 ÏÒ q t t · ú § H â Ä ºs 9 " f { 9 / å L ] j ^ > \ ¦ t

H Ó ü to ^ > ¦ ^ ¦ Ã º e . t } Ü ¼ Ð {ω

1

, H

C

} 6= 0 s

¦ {ω

1

, ω

1

} = 0 â Ä ºs . s M : H D h Ðî r ] j ω

2

= {ω

1

, H

C

}` ¦ Ò q t$ í ô Ç . ' Í P :ü < ¿ º P :_ â Ä º H Ü

¼> p u ] j s s © > rF # ¸ ½ Ó © { 9 / å L ] j ^ >

\

¦ s À Ò> ÷ &Ù ¼ Ð # l " f H t } â Ä º\ @ /K " fë ß 7 H

l Ð ô Ç .

D

h Ðî r ] j ω

2

\ ¸ Ü ¼> p u ] j ω

1

õ ð ø Ít Ð r ç ß î

ß

& ñ $ í ¸| d (4)` ¦ & h 6 xô Ç . s M :\ ¸ {ω

2

, H

C

} 6=

0 s ¦ {ω

2

, ω

1

} = 0\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç , D h Ðî r ] j ω

3

s µ 1 Ï Ò

q

tô Ç . s Qô Ç õ & ñ s N − 1 µ 1 ÏÒ q t % i ¦ & ñ .

Õ

ª Q 6 £ §õ ° ú É r ' a> d ` ¦ ë ß 7 á ¤ H ] j [ þ t` ¦ % 3 ` ¦ Ã

º e .

{ω

i

, ω

1

} = 0, (5)

{ω

i

, H

C

} = ω

i+1

, i = 1, 2, . . . , N − 1. (6)

t } é ß > \ ¸ H ] j d ω

N

É r r ç ß î ß & ñ $ í ¸| \ _

K " f 6 £ §õ ° ú s j þ t Ã º e .

˙

ω

N

= {ω

N

, H

T

} = {ω

N

, H

C

} + λ{ω

N

, ω

1

} = 0. (7) N é ß > \ " f ] j s = å Q Ù ¼ Ð, s d \ " f 0 p xô Ç K Z

O

É r Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y L p λ 6 £ §õ ° ú s & ñ ÷ & H כ s

.

λ = − {ω

N

, H

C

}

{ω

_N

, ω

₁

} (8)

d

(3)\ _ K ì r ¸_ ½ Ó É r 0s ÷ &t · ú §Ü ¼Ù ¼ Ð, d (8)_ K

H ] j > rF ô Ç . ¸ H ] j ω

i

(i = 1, 2, . . . , N ) H

_ Ü ¼> p u ] j ω

1

\ _ K ë ß [ þ t# Q & Ü ¼Ù ¼ Ð s ] j [ þ t

É

r ω

1

` ¦ ¸$ í ì rÜ ¼ Ð H _ _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ s ê r .

¢

¸ô Ç, ^ ] j d [ þ tõ & ñ ï r K x 9 Ðm î ß , (ω

i

, H

C

) (i = 1, 2, . . . , N )\ @ /ô Ç ïq ½ Ó1 p xd (Jacobi identities)` ¦

¦ 9 6 £ §õ ° ú É r ' a> d ` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

{ω

j

, ω

i

} ≈ 0, i + j ≤ N, (9) {ω

N −i+1

, ω

i

} ≈ (−1)

ⁱ⁺¹

η, i = 1, . . . , N. (10)

s

Qô Ç @ /Ã º ' a> [ þ t Ð Â Ò' 6 £ §õ ° ú É r $ í | 9 ` ¦ · ú Ã º e

.

1) _ þ t ½ ¨ ¸\ _ K : r ¸ H ] j [ þ t É r s / å L ] j s

.

2) N É r Ã ºs .

(3)

3) ¸ H ] j [ þ t` ¦ (ω

1

, . . . , ω

K

, ω

K+1

, . . . , ω

2K

)ü < ° ú s

è q Ã º e Ü ¼ 9, s _ þ t_ · ú ¡ ì ø ÍA á ¤õ + ' ì ø ÍA á ¤ É r " f Ð

&

ñ

ï r (conjugate) ' a> \ ¦ s ê r .

s

ü < ° ú É r $ í | 9 ` ¦ ë ß 7 á ¤ H _ þ t` ¦ ^ & ñ ï r s / å L _

þ

t (self conjugate second chain)s Â Ò É r . s Qô Ç _

þ

t` ¦ t H ] j [ þ t É r & h ] X ô Ç F C u \ ¦ : xK 6 £ §õ ° ú s

d e ¦ 7 h Ë : (symplectic) ' a> \ ¦ ë ß 7 á ¤ H _ þ t ] j [ þ t (Ω

1

, . . . , Ω

K

, Ω

K+1

, . . . , Ω

N

) Ð F & ñ _ ½ + É Ã º e .

δ

ij

= {Ω

i

, Ω

j

} ≈ J

ij

(11)

#

l " f J H d e ¦ 7 h Ë : 2K × 2K ' § > =s : J =

µ 0 1

−1 0

¶

. (12)

d

(11) É r s / å L ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a> \ ¦ · ú è q Ã º e

H © a % ~ É r ' a> s . s / å L ] j d _ @ /Ã º ' a> ' § > = _

% i ' § > =s d e ¦ 7 h Ë : ' § > =_ % i ' § > =s ÷ & ¦, Õ ª ' § > = É r d

e ¦ 7 h Ë : ' § > =\ −1` ¦ Y LK " f ½ ¨½ + É Ã º e . " f × ¦

#

Q H 0 A © / B Nç ß \ " f_ n | Ã Ì Ó ü 6 £ §s H d e ¦ 7 h Ë : ' § > =d

`

¦ s 6 x ~ 1 > ½ ¨½ + É Ã º e .

N é ß > \ " f _ þ ts = å Q H â Ä º_ ¢ ¸ É r 0 p x$ í É r {ω

N

, ω

1

} ≈ 0, (13) {ω

N

, H

c

} ≈ 0, (14) _

' a> \ ¦ t H כ s . s â Ä º\ H 6 £ §õ ° ú É r ' a

>

[8]\ ¦ ¹ 1 Ô` ¦ Ã º e .

{ω

i

, ω

j

} ≈ 0, i, j = 1, . . . , N. (15) s

ü < ° ú É r _ þ t ½ ¨ ¸ _ ¸ H ] j [ þ t É r { 9 / å L ] j s ÷ &

¦, s Qô Ç ½ ¨ ¸\ ¦ { 9 / å L _ þ t (first class chain)s Â Ò É r

.

III. T ò k @ ø p § ºõ u § U À W ¥ = k4 8 ý BFT U

ê s0 n É

7 Hë H [10]\ " f BFT ~ ½ ÓZ O \ " f & h { © ô Ç e _ _ B > h Ã

º\ ¦ 2 [ô Ç , S X © ) a / B Nç ß \ " f_ ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î

ß

\ @ /ô Ç e _ _ [ þ t_ " 4 / å LÃ º 7 á x« Ñ÷ & H Y > t _ â Ä

º\ ¦ Ð ¤ .

s

7 Hë H\ " f H BFT ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð / B Nç ß ` ¦ S X © H 1 l xî ß s

/ å L _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ t H ^ > _ þ t_ t } ] j ` ¦ ]

jü @ ¦ Ä »t ÷ &U ´ ê ø Í . 7 H_ \ ¦ ç ß é ß y l 0 AK Ü ¼

>

p

u ] j s ô Ç > h ô Ç _ þ t½ ¨ ¸\ ¦ Ò q ty # Ð . _ þ t

½

¨ ¸\ " f © × æd s ÷ & H > h¥ Æ [9] É r _ þ t[ þ ts í H¨ 8 d (2)_ ' a> Ð É r ] j [ þ t` ¦ Ä » ¸ ½ + É Ã º e H כ s .

í

H¨ 8 d (2)\ ¸ H ] j [ þ t ω

i

× æ\ " f i = 1 ] j É r Ü

¼> p u ] j s .

II] X \ " f 7 H_ ô Ç & ñ ï r K x 9 Ðm î ß s H

C

s ¦ s / å L ] j

[ þ ts ω

i

(i = 1, 2, . . . , N ) s / å L ] j ^ > \ ¦ ¦ 9

#

Ð . s ^ > _ s / å L ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a> H 6 £ §õ

° ú .

∆

ij

= {ω

i

, ω

j

}. (16)

#

l " f ∆ H q @ /g A (antisymmetric)s ¦ % i s 0 p xô Ç '

§

>

=s . s s / å L ] j ^ > \ ¦ > s Ý ¼ ^ > (gauge system) Ð ¨ 8 l 0 AK " f, 6 £ §õ ° ú É r @ /Ã º ' a> \ ¦ ë ß 7 á ¤

H Ð ¸ Ã º η[ þ t` ¦ ¸{ 9 # 0 A © / B Nç ß ` ¦ S X © ô Ç .

θ

^ij

= {η

ⁱ

, η

^j

}. (17)

6 £ §Ü ¼ Ð S X © ) a ] j [ þ t τ

i

(q, p, η)ü < S X © ) a K x 9 Ðm î ß H(q, p, η) ˜ H S X © ) a 0 A © / B Nç ß \ " f 6 £ §õ ° ú É r @ /Ã º ' a

>

\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç .

{τ

_i

, τ

_j

} = 0, (18)

{τ

i

, ˜ H} = τ

i+1

, i = 1, ...N − 1, (19)

{τ

N

, ˜ H} = 0. (20)

0 A_ ' a> H t } d _ ] j s K x 9 Ðm î ß õ §¨ 8 Ù

¼ Ð 6 \ Û ¼ Qî r (abelian) { 9 / å L ] j _ þ t` ¦ ï r . s ^

>

\ ¦ ] j [ þ ts ¸¿ º K x 9 Ðm î ß õ §¨ 8 ÷ & H y © > [ O

(strongly involutive) ^ > ü < q §K " f, & h { © y y © > [

O

(semi-strongly involutive) ^ > Â Ò É r .

7 Hë H [7,11]\ _ , S X © ) a ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß _

6 £ §õ ° ú É r " 4 / å LÃ º\ ¦ Ò q ty ½ + É Ã º e .

τ

i

= X

∞ n=0

τ

_i⁽ⁿ⁾

, τ

_i⁽ⁿ⁾

∼ η

ⁿ

, (21)

H = ˜ X

∞ n=0

H

⁽ⁿ⁾

, H

⁽ⁿ⁾

∼ η

ⁿ

. (22)

#

l " f τ

_i⁽⁰⁾

= ω

i

s ¦, H

⁽⁰⁾

= H

C

(q, p)s . s " 4 / å LÃ º

\

¦ s 6 x # @ /Ã º ' a> d (18) õ (19)_ ' a> \ ¦ ë ß 7 á ¤

H K H 6 £ §õ ° ú s ³ ð & ³½ + É Ã º e .

τ

_i⁽¹⁾

= χ

ij

(q, p)η

^j

, (23) τ

_i⁽ⁿ⁺¹⁾

= − 1

n + 2 η

^j

θ

jl

χ

^lk

B

⁽ⁿ⁾_ki

; n ≥ 1, (24) H

⁽ⁿ⁺¹⁾

= − 1

n + 1 η

ⁱ

θ

ij

χ

^jk

Λ

⁽ⁿ⁾_k

. (25)

(4)

#

l \ " f

B

_ij⁽¹⁾

= {τ

_[i⁽⁰⁾

, τ

_j]⁽¹⁾

}

(η)

, (26) B

_ij⁽ⁿ⁾

= 1

2 B

[ij]

= X

n m=0

{τ

_i^(n−m)

, τ

_j^(m)

} (27)

+

n−2

X

m=0

{τ

_i^(n−m)

, τ

_j^(m+2)

}

(η)

, n ≥ 2, (28)

Λ

⁽⁰⁾_i

= {τ

_i⁽⁰⁾

, H

⁽⁰⁾

} − τ

_i+1⁽⁰⁾

, i < N, (29) Λ

⁽¹⁾_i

= {τ

_i⁽¹⁾

, H

⁽⁰⁾

} + {τ

_i⁽⁰⁾

, H

⁽¹⁾

}

+{τ

_i⁽²⁾

, H

⁽¹⁾

}

_(η)

− τ

_i+1⁽¹⁾

, i < N, (30) Λ

⁽ⁿ⁾_i

=

X

n m=0

{τ

_i^(n−m)

, H

^(m)

}

+

n−2

X

m=0

{τ

_i^(n−m)

, H

^(m+2)

}

_(η)

+{τ

_i⁽ⁿ⁺¹⁾

, H

⁽¹⁾

}

(η)

− τ

_i+1⁽ⁿ⁾

,

n ≥ 2, i < N (31) s

. s d \ " f ' (η) H ¸{ 9 ) a D h Ðî r Ã º\ @ / ô

Ç > í ß ` ¦ _ p ¦, ' \ O H F c ñd É r % 6 £ § Ã º q, p\ @ /ô Ç > í ß ` ¦ · p . Õ ªo ¦ χ

ij

(q, p) H 6 £ § ' a

>

d ` ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç .

∆

ij

+ χ

ik

θ

^kl

χ

jl

= 0. (32) i = N â Ä º, d (20)\ _ K d (29, 30, 31)[ þ t_ t }

½

Ó É r > rF t · ú § H . & h { © y y © > [ O ^ > _ õ

H y © > [ O ^ > [7,11]ü < d (29, 30, 31)_ = å Q ½ Ó\

H τ

_i+1⁽⁰⁾

, τ

_i+1⁽¹⁾

Õ ªo ¦ τ

_i+1⁽ⁿ⁺¹⁾

[ þ t\ " f s è ß .

S X

© ) a 0 A © / B Nç ß _ & ñ ï r ¨ 8 \ @ /6 £ x÷ & H d (17)õ d

(23)\ " f ¸ H θ

^ij

ü < χ

ij

\ H Û ¼ Qî r e _ $ í s

>

rF ô Ç . 7 Hë H [10, 12]\ _ , S X © ) a ] j τ

i

ü < S X

©

) a K x 9 Ðm î ß ˜ H\ ¦ Y > é ß > \ " f " 4 / å LÃ º\ ¦ = å Q? /l 0 A K

" f H d (32)\ ¦ ë ß 7 á ¤ H & h { © ô Ç χ

ij

\ ¦ ½ ¨ H כ s × æ כ

¹ . \ V\ ¦ [ þ t ∆ d e ¦ 7 h Ë : ' § > = Js , ω = J Õ ª o

¦ χ = −J Ð × þ d (32)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . q 5 p w > ,

∆ © Ã º q @ /g A (antisymmetric) ' § > =s , ω = −∆, χ = 1` ¦ × þ < ÊÜ ¼ Ð" f d (32)_ K \ ¦ ½ ¨½ + É Ã º e .

II] X _ d (11)` ¦ ¶ ú ( R Ð , s / å L _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ t H ]

j [ þ t_ @ /Ã º ' a> H Õ ª ^ & h Ü ¼ Ð ¢ ¸ H & h { © ô Ç + þ A

`

¦ u ½ Ó © d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s ÷ &> ½ + É Ã º e . _ þ t

½

¨ ¸\ ¦ t H s / å L ] j [ þ t É r θ

^ij

ü < χ

ij

\ ¦ ~ 1 > ½ ¨½ + É Ã º e

# Q S X © ) a ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß ` ¦ ½ ¨ HX < H s & h s

e .

IV. ¤ U { ¢¨ | ô p §; c 6 X ¢ T ò k @ ø p § ºõ u §

U À W ¥ BFT U ê s0 n É

Å

Ò# Q Ó ü to ^ > _ ] j [ þ ts s / å L _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ t

H â Ä º\ ¦ ¿ º t Ð ¾ º# Q ^ ¦ Ã º e . % 6 £ § ½ ¨ô Ç ] j [

þ

ts & ñ ï r ½ ¨ ¸\ ¦ t " f Õ ª [ þ t_ @ /Ã º ' a> Û ¼ X

O

> d e ¦ 7 h Ë : ' § > =` ¦ t H â Ä ºü <, Õ ªX O t · ú § É r â Ä º s

. ' Í P : â Ä º H ] j _ Ã º& ñ \ O s Ð BFT ~ ½ ÓZ O

`

¦ 6 x½ + É Ã º e . ¿ º P : â Ä º\ H ] j [ þ t` ¦ Ã º& ñ #

@

/Ã º ' a> d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s ÷ & H Ã º& ñ ) a ] j [ þ t` ¦ ½ ¨

¦, s [ þ t` ¦ s 6 x # BFT ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 xK ô Ç . s

©

\ " f H ¿ º t â Ä º_ \ V\ @ /K · ú Ðl Ð .

1. « [Æ U Ø ù m ÇS ë s Æ k ÓÀ W ¥ r 4 w { ¢¨ |

6 \ Û ¼ Qî r | 9 | ¾ Ó e H Ð oÛ ¼R / ÷ ¸4 S q_ 6 x| ¾ Ó É r 6 £ § õ

° ú .

S = Z

d

⁴

x

· − 1

4 F

µν

F

^µν

+ 1

2 m

²

A

µ

A

^µ

¸

(33)

#

l " f F

µν

= ∂

µ

A

ν

− ∂

µ

A

ν

s ¦, 4 " é ¶ B jà Ôa Ë : É r g

µν

= diag(+, -, -, -) Ð s . s ¸4 S q_ & ñ ï r î r1 l x| ¾ Óõ & ñ ï r K x

9 Ðm î ß É r 6 £ §õ ° ú s ½ ¨½ + É Ã º e .

π

0

= 0,

π

ⁱ

= −F

⁰ⁱ

= ∂

ⁱ

A

⁰

− ∂A

ⁱ

, (34)

H

C

= Z

d

³

x

· 1 2 π

_i²

+ 1

4 F

ij

F

^ij

− A

0

∂

ⁱ

π

i

− 1 2 m

²

¡

(A

⁰

)

²

+ A

i

A

ⁱ

¢ ¸

. (35)

n

| Ã Ì_ ~ ½ ÓZ O [3]\ _ K _ Ü ¼> p u ] j õ ! Q1 p u ] j (secondary constraint) É r 6 £ §õ ° ú s ½ ¨½ + É Ã º e .

ω

1

= π

0

,

ω

2

= ∂

ⁱ

π

i

+ m

²

A

⁰

. (36)

!

Q1 p u ] j É r Ü ¼> p u ] j _ r ç ß # î _ Ô ¦ $ í Ü ¼ ÐÂ Ò' % 3

#

Q . s M : 6 x H K x 9 Ðm î ß É r 6 £ §õ ° ú É r ^ K

x 9 Ðm î ß ` ¦ 6 xô Ç .

H

T

= H

C

+ Z

d

³

xλω

1

. (37)

#

l " f ! QF K ] j _ r ç ß # î \ _ K Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y L p λ H 6 £ §õ ° ú s ¦& ñ ÷ & 9

λ = ∂

i

A

ⁱ

, (38)

(5)

8 s © ] j É r µ 1 ÏÒ q t÷ &t · ú § H . s ] j [ þ t É r s / å L ] j

_ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ . ] j d [ þ t_ @ /Ã º ½ ¨ ¸\ ¦ ¶ ú ( R Ð

6 £ §õ ° ú É r ' a> \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

∆

ij

(x, y) ≡ {ω

i

(x), ω

j

(y)}

= m

²

µ 0 −1 1 0

¶

δ

³

(x − y)

= −m

²

_ij

δ

³

(x − y)

≡ −m

²

Jδ

³

(x − y), (i, j = 1, 2). (39)

#

l " f x = (t, ~x), ~x = (x

¹

, x

²

, x

³

), ²

12

= ²

¹²

= 1s ¦ J H 2 × 2 d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s . 7 £ ¤, s ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a>

H d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s ÷ &Ù ¼ Ð ] j _ Ã º& ñ \ O s Ð BFT

~

½

ÓZ O ` ¦ 6 x½ + É Ã º e .

BFT ~ ½ ÓZ O [7]\ _ K s / å L ] j ` ¦ t H > s Ý ¼ Ô ¦

s ^ > \ ¦ S X © ) a 0 A © / B Nç ß \ " f > s Ý ¼ Ô ¦ {

9 / å L ] j ` ¦ t H ^ > Ð ¨ 8 l 0 A # Ð ¸[ þ t` ¦

¸{ 9 # ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß ` ¦ Ã º& ñ K ô Ç . Ã º& ñ

)

a ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß É r III] X _ d (21)ü < (22)ü < ° ú s

Ð ¸[ þ t_ " 4 / å LÃ º + þ AI Ð Å Ò# Qt ¦, " 4 / å LÃ º\ [ þ t# Q H

½

Ó[ þ t\ ' aô Ç ' a> d É r (23, 24, 25) Ð Å Ò# Q . s d [ þ t

\

¸ H ' § > = χ

ij

ü < θ

^ij

H d (32)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . # l " f θ

ij

H ¸{ 9 ) a Ð ¸[ þ t\ _ K d (17)ü < ° ú s Å Ò# Q .

" f s / å L ] j ` ¦ t H ^ > \ ¦ $ í / B N& h Ü ¼ Ð { 9 / å L ] j

^

> Ð ¨ 8 H כ É r d (32)\ ¦ Û ¦ Ã º e > ' § > = χ

ij

ü <

θ

^ij

\ ¦ ¸ ú × þ H כ s .

6 \ Û ¼ Qî r | 9 | ¾ Ós e H Ð oÛ ¼R / ÷ ¸4 q\ S " f H d (32)\ ¦ ë

ß

7 á ¤r v H θ

^ij

ü < χ

ij

Ð 6 £ §õ ° ú s × þ ` ¦ ô Ç .

θ

^ij

= −∆

ij

= −m

²

Jδ

³

(x − y),

χ

ij

= Jδ

³

(x − y). (40) s

[ þ t` ¦ s 6 x , {τ

i

(x), τ

j

(y)} = 0` ¦ ë ß 7 á ¤r v H 6 £ § õ

° ú É r Ã º& ñ ) a { 9 / å L ] j [ þ t` ¦ ½ ¨½ + É Ã º e .

τ

1

= ω

1

− η

²

,

τ

2

= ω

2

+ η

¹

. (41)

#

l " f, η H D h Ð ¸{ 9 ) a [ þ t Ð {η

ⁱ

(x), η

^j

(y)} = θ

^ij

(x, y)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . η_ Z } É r Ã º (i ≥ 2) ½ Ó[ þ t É r d

(40)õ ° ú É r & h ] X ô Ç × þ Ü ¼ Ð K 0s ) a .

¢

¸ô Ç, { 9 / å L ] j ^ > \ ¦ ë ß × ¼ H K x 9 Ðm î ß ` ¦ ½ ¨ l 0

A # d (29, 30, 31)` ¦ ½ ¨^ & h Ü ¼ Ð ½ ¨K Ð 6 £ §õ ° ú

.

Λ

⁽⁰⁾₁

= 0, (42) Λ

⁽⁰⁾₂

= −m

²

, ∂

i

A

ⁱ

(43) Λ

⁽¹⁾₁

= −η

¹

, (44) Λ

⁽¹⁾₂

= −∂

i

∂

ⁱ

η

²

, (45) Λ

⁽ⁿ⁾_i

= 0, i = 1, 2, n ≥ 2. (46)

s

[ þ t ÐÂ Ò' d (25)\ ¦ s 6 x # 6 £ §` ¦ ½ ¨½ + É Ã º e .

H

⁽¹⁾

= Z

d

³

x £ η

²

∂

i

A

ⁱ

¤

, (47)

H

⁽²⁾

= − 1 2m

²

Z d

³

x £

η

¹

η

¹

+ ∂

i

η

²

∂

ⁱ

η

²

¤

. (48)

" f { 9 / å L ] j ^ > \ ¦ ë ß × ¼ H S X © ) a K x 9 Ðm î ß _ þ

j7 á x + þ AI H 6 £ §õ ° ú .

H = H ˜

C

+ H

⁽¹⁾

+ H

⁽²⁾

. (49) s

K x 9 Ðm î ß É r Ã º& ñ ) a ] j [ þ tõ 6 £ §õ ° ú É r ' a> \ ¦

.

{τ

1

, ˜ H} = τ

2

,

{τ

2

, ˜ H} = 0. (50) Ã

º& ñ ) a ] j õ y © > [ O ' a> {τ

i

, ˜ H

strong

} = 0` ¦

t H K x 9 Ðm î ß õ 0 A\ " f ½ ¨ô Ç K x 9 Ðm î ß õ _ ' a>

H 6 £ §õ ° ú .

H ˜

strong

= ˜ H − 1

m

²

ω

2

η

¹

. (51)

2. Å X Øà Ã Å ¥² ¦ X { ¢¨ |

<

H Ã » à Ý ¸4 S q_ ÐÝ ¼ o ) a 6 x| ¾ Ó\ H ¦Ø Ôl E B

© Ã º (regularization ambiguity) a í < Ê÷ &# Q 6 £ §õ

° ú

s Å Ò# Q [13].

S

CSM

= Z

d

²

x

· − 1

4 F

µν

F

^µν

+ 1

2 ∂

µ

φ∂

^µ

φ +A

ν

(g

^µν

− ²

^µν

)∂

µ

φ + 1

2 aA

µ

A

^µ

¸

. (52)

#

l " f g

^µν

= diag(1,-1), ²

⁰¹

= 1s .

¦Ø Ôl E B © Ã º a > 1 â Ä º & ñ ï r K x 9 Ðm î ß É r H

C

=

Z dx

· 1

2 (π

¹

)

²

+ 1

2 (π

φ

)

²

+ 1 2 (∂

1

φ)

²

+ (π

φ

+ ∂

1

φ)A

1

− (π

φ

+ ∂

1

φ)A

0

− A

0

∂

1

π

¹

− 1

2 a[(A

0

)

²

− (A

1

)

²

] + 1

2 (A

0

+ A

¹

)

²

¸

, (53)

s

9, & ñ ï r î r1 l x| ¾ Ó É r 6 £ §õ ° ú .

π

^µ

= (0, ˙ A

1

− ∂

1

A

0

),

π

φ

= ˙φ + A

0

− A

1

. (54)

(6)

ô

Ç¼ # , Ü ¼> p u ] j õ ! QF K ] j É r y y Ω

1

≡ π

⁰

≈ 0,

Ω

2

≡ ∂

1

π

¹

+ π

φ

+ ∂

1

φ + A

1

+ (a − 1)A

0

≈ 0, (55) s

. ^ K x 9 Ðm î ß É r H

T

= H

C

+

Z

dx λΩ

1

(56)

s

9, Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y L p λ H 6 £ §õ ° ú s ¦& ñ ) a .

λ = +∂

1

A

1

+ 1

a − 1 π

1

. (57)

¢

¸, ] j _ @ /Ã º ' a> H 6 £ §õ ° ú s ½ ¨½ + É Ã º e .

∆

ij

(x, y) ≡ {Ω

i

(x), Ω

j

(y)}

=

µ 0 −(a − 1) (a − 1) 0

¶

δ(x − y)

= (a − 1)Jδ(x − y). (58)

#

l " f J H 2 × 2 d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s . · ú ¡ ] X _ \ V | 9

|

¾

Ó e H 6 \ Û ¼ Qî r Ð oÛ ¼R / ÷ ¸4 S qõ ð ø Ít Ð ] j [ þ t _

@ /Ã º ' a> d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s ÷ &Ù ¼ Ð ] j _ Ã º& ñ \ O s

Ð BFT ~ ½ ÓZ O ` ¦ 6 x½ + É Ã º e . d (32)\ ¦ ë ß 7 á ¤r v

H θ

^ij

ü < χ

ij

Ð 6 £ §õ ° ú s × þ ` ¦ ô Ç .

θ

^ij

= −∆

ij

= −(a − 1)Jδ(x − y),

χ

ij

= Jδ(x − y). (59) d

(59)\ ¦ s 6 x # , _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ s À Ò H S X © ) a ] j [ þ t õ

K x 9 Ðm î ß ` ¦ ½ ¨ 6 £ §õ ° ú s ½ ¨½ + É Ã º e .

τ

1

= π

0

− η

²

,

τ

2

= ∂

1

π

¹

+ π

φ

+ ∂

1

φ + A

1

+ (a − 1)A

0

+ η

¹

. (60)

#

l " f, η H D h Ð ¸{ 9 ) a [ þ t Ð {η

ⁱ

(x), η

^j

(y)} = θ

^ij

(x, y)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . Õ ªo ¦ η_ 8 Z } É r Ã º[ þ t É r > r F

t · ú § H .

d

(29, 30, 31)` ¦ s 6 x # { 9 / å L ] j ^ > \ ¦ ë ß × ¼ H S

X

H = H ˜

C

+ H

⁽¹⁾

+ H

⁽²⁾

. (61)

#

l " f H

⁽¹⁾

õ H

⁽²⁾

H 6 £ §õ ° ú s % 3 # Q .

H

⁽¹⁾

= µ

−∂

1

A

¹

− 1 a − 1 π

¹

¶ η

²

,

H

⁽²⁾

= 1

2(a − 1) (η

¹

)

²

+ 1

2(a − 1)

²

(η

²

)

²

− 1

2(a − 1) (∂

1

η

²

)

²

. (62)

Ã

i

, ˜ H

strong

} = 0` ¦

t H K x 9 Ðm î ß [14]õ 0 A\ " f ½ ¨ô Ç K x 9 Ðm î ß õ _

'

a> H 6 £ §õ ° ú .

H ˜

strong

= ˜ H + η

¹

Ω

2

. (63)

H

C

= Z

dx

· 1

2 (π

¹

)

²

+ 1

2 (π

φ

)

²

+ 1 2 (∂

1

φ)

²

+ (π

φ

+ ∂

1

φ)A

1

− (π

φ

+ ∂

1

φ)A

0

− A

0

∂

1

π

¹

− A

0

A

1

¤ . (64)

Ü

¼> p u ] j õ ! QF K ] j [ þ t É r 6 £ §õ ° ú Ü ¼ 9 Ω

1

≡ π

⁰

≈ 0,

Ω

₂

≡ ∂

₁

π

¹

+ π

_φ

+ ∂

₁

φ + A

₁

≈ 0, Ω

3

≡ π

¹

≈ 0,

ω

4

≡ −π

φ

− ∂

1

π

¹

− 2A

1

+ A

0

≈ 0, (65)

^ K x 9 Ðm î ß É r

H

T

= H

C

+ Z

dx λΩ

1

(66)

s

. ô Ç¼ # , Õ ªê ø ÍÝ ¼ Y L p λ H λ = ∂

1

π

φ

+∂

₁²

φ+2π

¹

+ 2∂

₁

A

₁

]

j [ þ t_ @ /Ã º ' a> \ " f > í ß _ 4 ¤¸ ú $ í ` ¦ ] j l 0 A K

{ω

4

(x), ω

4

(y)} = 2∂

₁^x

δ(x − y) > í ß õ \ ¸ H p ì

r ½ Ó É r 0 p xô Ç \ O E H כ s a % ~ . s \ ¦ 0 AK ω

4

\ ¦ Ω

1

` ¦ s

6 x # 6 £ §õ ° ú s F & ñ _ ô Ç .

Ω

4

≡ ω

4

+ ∂

1

Ω

1

= −π

φ

− ∂

1

π

¹

− 2A

1

+ A

0

+ ∂

1

π

⁰

. (67) s

M :, ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a> \ ¦ ½ ¨ 6 £ §õ ° ú .

∆

ij

(x, y) ≡ {Ω

i

(x), Ω

j

(y)}

=



 

0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 2 1 0 −2 0



  δ(x − y). (68)

" f, ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a> d e ¦ 7 h Ë : ' § > =s ÷ &t 3 l w

<

Ê` ¦ · ú Ã º e . d e ¦ 7 h Ë : ' § > =` ¦ t H @ /Ã º ' a> \ ¦ ë

ß

[ þ tl 0 AK " f ] j [ þ t` ¦ Ã º& ñ 6 £ §õ ° ú É r + þ AI e

`

¦ · ú Ã º e .

Φ

1

≡ Ω

1

= π

⁰

,

Φ

₂

≡ Ω

₂

= ∂

₁

π

¹

+ π

_φ

+ ∂

₁

φ + A

₁

,

Φ

3

≡ −Ω

4

= π

φ

+ ∂

1

π

¹

+ 2A

1

− A

0

− ∂

1

π

⁰

,

Φ

4

≡ Ω

3

+ 2Ω

1

= π

¹

+ 2π

0

. (69)

(7)

Õ

ªo ¦, F & ñ _ ) a ] j [ þ t_ @ /Ã º ' a> H 6 £ §õ ° ú .

∆ ˜

ij

(x, y) ≡ {Φ

i

(x), Φ

j

(y)}

=



 

0 0 1 0 0 0 0 1

−1 0 0 0 0 −1 0 0



  δ(x − y)

= Jδ(x − y). (70) s

@ /Ã º ' a> ÐÂ Ò' d (32)\ ¦ ë ß 7 á ¤ > ' § > = θ

^ij

= −J, χ

ij

= J Ð & h ] X y × þ ½ + É Ã º e .

s

' § > =[ þ t` ¦ s 6 x # { 9 / å L _ þ t ½ ¨ ¸ {τ

i

, ˜ H} = τ

i+1

(i = 1, 2, 3), {τ

4

, ˜ H} = 0\ ¦ t H ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß

`

¦ ½ ¨ 6 £ §õ ° ú .

τ

1

= π

0

+ η

³

,

τ

2

= ∂π

¹

+ ∂φ + π

φ

+ A

1

+ η

⁴

,

τ

₃

= π

_φ

+ ∂

₁

φ + 2A

₁

− A

₀

− ∂

₁

π

₀

− η

¹

,

τ

₄

= π

¹

+ 2π

₀

− η

²

, (71)

H = H ˜

c

+ H

⁽¹⁾

+ H

⁽²⁾

,

H

⁽¹⁾

= η

²

(π

φ

− ∂

1

π

0

− π

¹

− A

0

+ 2A

1

+ ∂

1

φ) +η

³

(∂

1

∂

1

π

¹

− π

¹

+ 2π

0

− ∂

1

A

1

)

−η

⁴

(π

φ

+ 2∂

1

π

¹

+ A

0

+ ∂

1

φ), H

⁽²⁾

= −η

¹

η

²

+ 1

2 (η

²

)

²

+ 2(η

³

)

²

− (η

⁴

)

²

+(∂

1

η

³

)

²

− η

³

∂η

⁴

+ η

²

η

³

. (72) Ã

.

H ˜

strong

= ˜ H + X

3 i=1

η

ⁱ

Φ

i+1

. (73)

V. + s Ç Â ] Ø

]

j d \ @ /ô Ç ì rÀ Ó\ ¦ : x& h n | Ã Ì_ ~ ½ ÓZ O s

_ þ t ½ ¨ ¸_ ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð ì rÀ Ó ] j _ ½ ¨ ¸ é ß í HK

. s / å L _ þ t ½ ¨ ¸\ ¦ t H ] j [ þ t É r ^ & h Ü ¼ Ð & ñ ï

r ' a> \ ¦ t 9 Û ¼X O > ¢ ¸ H ç ß _ Ã º& ñ ` ¦ u

] j d [ þ t_ @ /Ã º ' a> d e ¦ 7 h Ë : ' § > =` ¦ t > ½ + É Ã

^

> \ ¦ Å Ò H ] j [ þ tõ K x 9 Ðm î ß ` ¦ ~ 1 > ½ ¨½ + É Ã º e % 3

. s / å L ] j ` ¦ t H ^ > _ @ /Ã º ' a> H B Ä º 4 ¤¸ ú ô

Ç â Ä º ´ ú §s µ 1 ÏÒ q tô Ç . s Qô Ç @ /Ã º& h # Q 9¹ ¡ §s ^ > _

ª o\ a Ë >[ t Ð 6 x > ) a . _ þ t ½ ¨ ¸\ _ ô Ç ]

j _ ì rÀ Ó Ð s Qô Ç 4 ¤¸ ú $ í ` ¦ F G4 ¤ # ª ô Ç 7 á xÀ Ó _

s / å L ] j ^ > \ @ /ô Ç ª o\ Ä »6 x > 6 x½ + É Ã º e

` ¦ כ s .

Y c

p w Ã U Ø ô

[1] E. D. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dy- namics: a Modern Perspective (Wiley, New York, 1974); A. J. Hanson, T. Regge and C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems (Accademia Na- sionale dei Lincei, Roma, 1976).

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Quantization of a Constraint System with a Chain Structure

Seung-Kook Kim

^∗

Department of Physics, Seonam University, Namwon 590-170 (Received 12 April 2007)

We study the chain structure method for constructing a constraint structure for a system pos- sessing both first-and second-class constraints. We investigate the advantage of BFT embedding having a chain structure through an analysis of two models.

PACS numbers: 11.10.Ef, 11.30.Ly, 11.10Kf

Keywords: Chain structures, Constraints, Hamiltonian embedding

∗E-mail: [email protected]

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