l Æ U ؎ Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø0 n ÉÈ k Ä ù p § T “ Ó Þ” X ¢ ‘> H ¹ Å À W ¥ Ò ÷ƒ »4 ; c" e8 ý

 5 Z 4, pp. 489∼496

P c

l Æ U ؎ Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø0 n ÉÈ k Ä ù p § T “ Ó Þ” X ¢ ‘> H ¹ Å À W ¥ Ò ÷ƒ »4 ; c" e8 ý

#

b [ U  Æ U ؎ Ò Þ ; dô p §ï; c 6 ” X ¢ ø m Çå ¾ Ëc Ü R כ r Çã _ Ë



™ » ø ¶ B - > · - ! H„ ç ¡* Ö < · T # Ü ‡ Ú

"

fÖ  ¦ @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , " fÖ  ¦ 151-019

(2011¸   1 Z 4 24{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   3 Z 4 23{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2011¸   5 Z 4 6{ 9  > F  S X ‰& ñ )

s

 ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r „  / B N % i † < Æ “ §F \ " f  À ғ ¦ e ”   H  r„     H ý a³ ð> \ " f_  # Œ Q t  î  r1 l x ‰ & ³ © œ

` 

¦ y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :Ü ¼– Ð { 9 › ' a$ í e ” >  [ O " î   H \ Vr \  ¦ ] jr    H  כ s  . @ / Òì  r _  „  / B N % i † < Æ “ §F 

\

" f  H t ½ ¨ © œ\ " f_   ïo `  ¦ o  ´ òõ 
 É Ò ï_  ”    1 p x`  ¦  r„   ý a³ ð> \  ¦ • ¸{ 9  # Œ [ O " î “ ¦ e ”  . Õ ª



Q
 s  Qô  Ç [ O " î “ É r 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç Ã ºd ” [ þ t`  ¦ 0 AŠҖ Ð ô  Ç l Õ ü t s  @ / Òì  r s  9   " f ´ ú §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Å Ò# Q”    © œ S !

\  @ /ô  Ç & ñ $ í & h “   s K \  ´ ú §“ É r # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  . : £ ¤ y , @ / Òì  r _  “ §F \ " f  À ҍ  H q  › ' a$ í > \ " f_ 

#

Œ Q t  î  r1 l x  © œ S ! [ þ t ç ß –_  › ' a > \  ¦ { 9 › ' a ) a [ O " î Ü ¼– Ð l Õ ü t ô  Ç ? /6   x“ É r ¹ 1 Ô ˜ Ðl  # Q§ >  . s  Qô  Ç ë  H ] j

&

h

“ É r „  / B N % i † < Ɔ < Æ_ þ v \  @ /ô  Ç @ /† < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ 7 £ x r v   H " é ¶ “  s  ÷ &“ ¦ e ”  .   " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f



 H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :`  ¦ & h 6   x # Œ † < ÆÒ q t[ þ t s   r„     H ý a³ ð> \ " f_  # Œ Q t  Ó ü t o ‰ & ³ © œ`  ¦ ˜ Ð  { 9 

› '

a ÷ & 9 & ñ $ í & h Ü ¼– Ð s K    H ~ ½ Óî ß –`  ¦ — ¸Ò  o % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :,  r„   ý a³ ð> ,  ïo `  ¦ o  ´ òõ , É Ò ï_  ”   

A Consistent Approach to Examples of Various Motions in a Rotating Frame by Using Conservation of Angular Momentum

Jongin Kim · Sangwoon Kwon · Gyoungho Lee ^∗

Department of Physics Education, Seoul National University, Seoul 151-019 (Received 24 January 2011 : revised 23 March 2011 : accepted 6 May 2011)

Most major mechanical textbooks address various motions in a rotating frame, such as the Cori- olis effect on Earth and Foucault’s Pendulum. However, in the books, there are few connections among the examples of the various motions in a rotating frame. In addition, the explanations are mathematical representations and technical explanations with few conceptual considerations, which makes studying motions in a rotation frame in mechanics courses difficult for university students.

Therefore, in this study, we explored a new strategy for explaining the various motions in a rotat- ing frame that are addressed in major mechanical textbooks consistently by using conservation of angular moment.

PACS numbers: 01.40.Gm

Keywords: Conservation of angular moment, Rotation frame system, Coriolis effect, Foucault’s pendulum

∗

E-mail: [email protected]

-489-

I. " e  ] Ø



ƒ  @ /† < Æ_  Ó ü t o † < Æõ  † < ÆÒ q t[ þ t s 
,  # 3 @ /† < Æ_  Ó ü t o “ §

¹

¢

¤ õ  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „  / B N % i † < Æ Ã º\ O \ " f  r„  \  › ' aº   ) a ? /6   x

`

 ¦ † < Æ_ þ v >   ) a  . “ ¦& ñ  ) a ý a³ ð> \ " f Ó ü t ^ ‰ " é ¶ C • ¸\  ¦



   r„     H  כ  Ò' ,  r„   “ ¦ e ”   H ý a³ ð> \ " f_  Ó ü t

^

‰_  î  r1 l x, 3 " é ¶ / B N ç ß –\ " f_  y © œ^ ‰_   r„   t  † < Æ_ þ v 

>

  ) a  . “ ¦& ñ  ) a ý a³ ð> \ " f Ó ü t ^ ‰ " é ¶ C • ¸\  ¦     r

„

    H î  r1 l x“ É r, s p  “ ¦1 p x † < Ɠ § “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \  Ÿ í† < Ês  ÷ &# Q e ”

l  M :ë  H \ ,  ƒ  > \ P  @ /† < Ɠ §\  ”  † < Æô  Ç @ /† < ÆÒ q t[ þ t \ > 



 H Õ ªo  # Q 9î  r ? /6   x s   m  . Õ ª Q
 “ ¦1 p x † < Ɠ § õ & ñ s 

, @ /† < Ɠ § 1† < Ƹ   { 9 ì ø ÍÓ ü t o † < Æ\ " f  H › ' a$ í > \  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð ô

 Ç î  r1 l x`  ¦ ŠҖ Ð  À Òl  M :ë  H \   à º_  @ /† < ÆÒ q t[ þ t“ É r 5 Å q î

 r1 l x “ ¦ e ”   H ý a³ ð> , 7 £ ¤ q  › ' a$ í > \  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð ô  Ç î  r1 l x _

 ³ ð‰ & ³\  # Q 90 >ô  Ç . q  › ' a$ í > \ " f_  î  r1 l x ³ ð‰ & ³ ×  æ : £ ¤ y

 † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 90 >   H  כ “ É r, ý a³ ð>  é ß –í  H y  # î ”  î  r 1

l

x`  ¦   H  כ s       r„  î  r1 l x`  ¦   H  â Ä ºs  .

´ ú

§“ É r „  / B N % i † < Æ “ §F \ " f  H,  r„  3 l q  
  ïo `  ¦ o ´ ò õ

, É Ò ï_  ”    1 p x`  ¦ [ O " î l  0 AK   r„     H ý a³ ð> \  ¦

•

¸{ 9  “ ¦ e ”  . Õ ª Q
 s  Qô  Ç ý a³ ð>   H † < ÆÒ q t[ þ t \ >  e ” 

¸ n

q t  · ú §`  ¦ ÷  r  m  , \ Vr – Ð Å Ò# Qt   H y Œ • Ó ü t o  ‰ & ³ © œ [

þ

t“ É r { 9 › ' a$ í e ”   H ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð [ O " î ÷ &t  · ú §  H  . s X O l  M : ë

 H \  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „  / B N % i † < Æ\ " f  r„   ý a³ ð> \  ¦ : Ÿ x ô  Ç Ó ü t o 

‰

&

³ © œ`  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M :,  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦   >  ÷ &  H  כ s  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H, † < ÆÒ q t[ þ t s  @ /† < Ɠ § 1† < Ƹ   { 9 ì ø ÍÓ ü t o † < Æ r  ç

ß –\  C Ä º>  ÷ &  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  > h¥ Æ õ , y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O  g Ë

:`  ¦ s 6   x # Œ  r„  3 l q  
  ïo `  ¦ o  ´ òõ  1 p x _   r„  \ 

› '

aº  ô  Ç Ó ü t o ‰ & ³ © œ`  ¦, { 9 › ' a$ í e ” >  [ O " î   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ — ¸Ò  o K

 ˜ Ѐ Œ ¤ .

II. > H ¹ Å4 ; c" e8 ý # b [ U  Æ U ؎ Ò Þ; c 6 ” X ¢ M Ç X Ø w

‹< 0ô p §8 ý כ r Çã _ Ë ; d

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð, „  / B N % i † < Æ “ §F \ " f  H  r„  \  › ' aº  ô  Ç q 

› '

a$ í > _  î  r1 l x`  ¦ ³ ð‰ & ³ l  0 AK " f  r„   ý a³ ð> \  ¦ • ¸{ 9  ô

 Ç . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð @ / Òì  r _  “ §F \ " f  r„  ý a³ ð>   H   6

£

§ õ  ° ú  s  & ñ o ÷ &“ ¦ e ”  .

Figure 1 \ " f x, y, z  H “ ¦& ñ  ) a ý a³ ð> s  9, x

^∗

, y

^∗

, z

^∗

  H



r„     H ý a³ ð> \  ¦
  · p . e ” _ _  0 Au  7 ˜'  ~r\  @ /K 

"

f, ~r_  r ç ß –\    É r    o| ¾ Ó`  ¦ y Œ •y Œ •_  ý a³ ð> \ " f ³ ð‰ & ³

€    6 £ § õ  ° ú   .

d~ r

dt = ˙r

_x

x + ˙r ˆ

_y

y + ˙r ˆ

_z

z ˆ d

^∗

~ r

dt = ˙r

_x^∗

x + ˙r ˆ

_y^∗

y + ˙r ˆ

^∗_z

z ˆ

Fig. 1. Rotation of coordinate axes.

s

M :,  r„   t  · ú §“ É r ý a³ ð> \  @ /ô  Ç 7 ˜'  ~r_  r ç ß –_   

 É

r    o| ¾ Ó`  ¦  r„     H ý a³ ð> _  $ í ì  r 7 ˜' \  ¦ s 6   x # Œ ³ ð

‰

&

³ €    6 £ § õ  ° ú  “ É r › ' a > \  ¦ % 3   H  .

d~ r

dt = ˙r

_x^∗

x + ˙r ˆ

_y^∗

y + ˙r ˆ

_z^∗

z ˆ +r

^∗_x

dˆ x

^∗

dt + r

_y^∗

dˆ y

^∗

dt + r

^∗_z

dˆ z

^∗

dt

#

Œl \ " f,  r„   t  · ú §  H ý a³ ð> \  @ / # Œ,  r„     H $ í ì

 r 7 ˜' _  r ç ß –    o| ¾ ӓ É r  r„     H ý a³ ð> _  y Œ •5 Å q • ¸– Ð ³ ð

‰

&

³| ¨ c à º e ”  .   " f 0 A_  › ' a > d ” “ É r  6 £ § õ  ° ú  s   r 

³ ð‰ & ³ ) a  .

d~ r

dt = d

^∗

~ r

dt + r

_x^∗

(ω × ˆ x

^∗

) + r

^∗_y

(ω × ˆ y

^∗

) + r

^∗_z

(ω × ˆ z

^∗

)

= d

^∗

~ r

dt + ~ ω × ~ r Õ

ªo “ ¦ 0 A_  › ' a > d ” `  ¦ ô  Ç     8 r ç ß –\  @ /K  p ì  r # Œ  5

Å

q • ¸\  ¦ ½ ¨ €    6 £ § õ  ° ú   .

d

²

~ r

dt

²

= d

^∗2

~ r

dt

²

+ ~ ω × (~ ω × ~ r) + 2~ ω × d

^∗

~ r dt + d~ ω

dt × ~r

#

Œl \ " f, ¾ »‡  _  î  r1 l xZ O g Ë :`  ¦ ³ ð‰ & ³ l  0 AK " f  H “ ¦& ñ

 )

a ý a³ ð> \ " f " fÕ ü t K    9  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  .

F = m ~ d

²

~ r dt

²

= m d

^∗2

~ r

dt

²

+ m~ ω × (~ ω × ~ r) + 2m~ ω × d

^∗

~ r

dt + m d~ ω dt × ~r s

 כ `  ¦  r   r„     H ý a³ ð> _  l ï  r Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ €     6

£

§ õ  ° ú   .

m d

^∗2

~ r

dt

²

= F − m~ ω × (~ ω × ~ r) − 2m~ ω × d

^∗

~ r

dt − m d~ ω

dt × ~r

Table 1. Examples of motion in rotating frame in mechanics textbooks [6–15].

Textbooks Merry-go Free-fall Foucault’s Others Descriptions using

-round Pendulum conservation of angular momentum

Thornton & Marrion O O O centrifugal force X

plumb line, projectile, Fowles & Cassiday O O O

rifle bullet, cylinder X

Symon X O O X

centrifugal force, patterns of

French O O O

atmospheric circulation X

Kleppner & Kolenkow X O O X

Taylor O O O X

Norwood, Jr. X O O X

Hans & Puri O O O centrifugal force X

Kibble & Berkshire O O O cyclones, trade winds X Gregory O O O wind, ocean current, bath water X

#

Œl \ " f 2  P : † ½ ӓ   −m~ ω × (~ ω × ~ r)`  ¦ { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð " é ¶ d ”

§ 4 s    ҏ É r  . # Œl " f  s  -Û ¼  Ҡ ñ  H " é ¶ d ” § 4 s   r

„

  ×  æd ” \ " f  ¾ ú  ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð † ¾ Ó   H  כ `  ¦
  · p . Õ ªo 

“

¦ 3  P : † ½ ӓ   −2m~ ω ×

^d_dt^∗~r

“ É r  r„  ý a³ ð> \  @ /ô  Ç { 9  _  î

 r1 l x Ü ¼– РÒ'  Ò q tl   H j Ë µÜ ¼– Ð  ïo `  ¦ o j Ë µs    ҏ É r  .

@

/ Òì  r _  „  / B N % i † < Æ “ §F \ " f  H 0 Aü < ° ú  s   r„     H ý

a³ ð> \  @ /ô  Ç { 9 ì ø Í& h “   [ O " î Ê ê\  Y >  t   ƒ  ‰ & ³ © œ_ 

\

Vr [ þ t`  ¦  À ғ ¦ e ”  . Table 1“ É r „  / B N % i † < Æ “ §F [ þ t s    À

ғ ¦ e ”   H  r„     H ý a³ ð> \ " f_  î  r1 l x \ V[ þ t`  ¦ › ¸ ô  Ç

 כ

`  ¦
  · p . Table 1\   Ø Ô€    r„     H ý a³ ð> \ " f _

 î  r1 l x \  @ /ô  Ç ´ ú §“ É r \ V[ þ t ×  æ  r„  3 l q  ü < t ½ ¨ © œ\ " f_ 



Ä »z Œ • , É Ò ï_  ”    / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð ´ ú §s 
 
  H  כ

`

 ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .   " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f• ¸  r„   ý a³ ð> 

\

 ¦ [ O " î   H \ V– Ð" f  r„  3 l q  , t ½ ¨ © œ\ " f_   Ä »z Œ • , É

ҝ ï_  ”   \  œ í& h `  ¦ ´ ú Æ Ò% 3  .



6 £ §“ É r, { 9 ì ø Í& h “   „  / B N % i † < Æ “ §F \ " f  Ä »z Œ • ü < É Ò



ï_  ”   _  \ V[ þ t`  ¦ [ O " î   H ~ ½ Ód ” s  .

1.  – ¥Q c l  Æ U ؎ Ò Þ; c" e8 ý   Å] ‚ §  P  4  ˜ m

@

/ Òì  r _  % i † < Æ “ §F  [6–8]\ " f  H q  › ' a$ í > \ " f_   Ä » z

Œ

•  î  r1 l x`  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  [ O " î “ ¦ e ”  .

€

 $ , Figure 2õ  ° ú  “ É r 0 A• ¸ 90

^◦

- θ \ " f_   Ä »z Œ •  î  r 1

l

x \ " f  ïo `  ¦ o  ´ òõ \  _ ô  Ç Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Ó`  ¦ > í ß –   H  כ

`

 ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ  , î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s   6 £ § õ  ° ú   .

m d

^∗2

~ r

dt

²

= ~ F − m~ ω × (~ ω × ~ r) − 2m~ ω × d

^∗

~ r

dt − m d~ ω dt × ~r

Fig. 2. Certain Latitude 90

^◦

- θ.

#

Œl " f Ä º  _  Ñ ü t P :, ! Ó P : † ½ Ó`  ¦ Ä »´ ò×  æ§ 4 Ü ¼– Ð Ó ü  “ ¦,   t

} Œ • † ½ ӓ É r t ½ ¨_  y Œ •5 Å q • ¸ { 9 & ñ # Œ 0s  ÷ &Ù ¼– Ð & ñ o  

€

   6 £ § õ  ° ú   .

m d

^∗2

~ r

dt

²

= m~ g − 2m~ ω × d

^∗

~ r dt Õ

ªo “ ¦  Ä »z Œ •    H t & h _  à ºf ” » ¡ ¤`  ¦ z

⁰

, 1 l xA á ¤`  ¦ x

⁰

,

·

¡

¤A á ¤`  ¦ y

⁰

Ü ¼– Ð & ñ “ ¦ s \  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ~ω ×

^ddt^∗~r

° ú כ`  ¦ ½ ¨ 

#

Œ y Œ • $ í ì  rZ >  > í ß –`  ¦ €   y Œ • $ í ì  r \  @ /ô  Ç 5 Å q • ¸   6

£

§ õ  ° ú  s  ½ ¨K ”   .

¨

x

^∗

= −2w( ˙ z

^∗

sin θ − ˙ y

^∗

cos θ)

¨

y

^∗

= −2w( ˙ x

^∗

cos θ)

¨

z

^∗

= −g + 2w ˙ x

^∗

sin θ

Fig. 3. External Observer.

s

\  ¦ r ç ß –\  @ /K  2   & h ì  r # Œ ¼ # † ¾ Ó o \  ¦ > í ß – €     6

£

§ õ  ° ú   .

x

^∗

(t) = 1

3 wgt

³

sin θ y

^∗

(t) = 0

z

^∗

(t) = − 1 2 gt

²

+ h ô

 Ǽ # , Stirling [1]“ É r 0 A• ¸ 0

^◦

“   & h • ¸ © œ\ " f  Ä »z Œ • r  y

Œ

•5 Å q • ¸_  s \  @ /ô  Ç › ' a > \  ¦ Õ ªa Ë >Ü ¼– Ð
 ? /# Q Ä º ¼ # 

†

¾ Ó  o \  ¦ ½ ¨   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i  .

2. › ¼ Â8 ý à à Å 

@

/ Òì  r _  „  / B N % i † < Æ “ §F  [6–8]\ " f  H É Ò ï_  ”   \ 

@

/ # Œ  6 £ § õ  ° ú  s  [ O " î “ ¦ e ”  .

É

ҝ ï_  ”   \  ¦ " fÕ ü t l  0 AK " f  H  r„  ý a³ ð>   6   x

÷

&  H X <, y Œ •5 Å q • ¸ ~ω– Ð  r„     H  r„  ý a³ ð> \ " f_  5 Å q • ¸



 H  6 £ § õ  ° ú  s 
 è ß – .

d

²

A ~

dt

²

= d

^∗2

A ~

dt

²

+ 2~ ω × d

^∗

A ~

dt + ~ ω × (~ ω × ~ A) + d~ ω dt × ~ A s

\  ¦ ž Ð@ /– Ð ô  Ç 0 Au  7 ˜'  ~r\  @ /K  5 Å q • ¸ü < 5 Å q • ¸  s  _

 › ' a >  / B Nd ” “ É r  6 £ § õ  ° ú   .

d

²

~ r

dt

²

= d

^∗2

~ r

dt

²

+ 2~ ω × d

^∗

~ r

dt + ~ ω × (~ ω × ~ r) + d~ ω dt × ~r s

\  ¦  r„  ý a³ ð> \ " f_  î  r1 l x ×  æd ” Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ €    6 £ § õ 

° ú   .

m d

^∗2

~ r

dt

²

= ~ F − m~ ω × (~ ω × ~ r) − 2m~ ω × d

^∗

~ r

dt − m d~ ω dt × ~r É

ҝ ï_  ”     H t ½ ¨_   „  \  _ K " f  ïo `  ¦ o  j Ë µ_ 

% ò

† ¾ Ó`  ¦ ~ à Î>  ÷ &“ ¦ s – Ð “  K  ”     H { 9 & ñ ô  Ç y Œ •5 Å q • ¸ ~Ω– Ð



r„  ô  Ç . ~Ω_  y Œ •5 Å q • ¸– Ð ¹ ¡ §f ” s   H ý a³ ð> _   r„  » ¡ ¤ ˆ z\  ¦

×

 æd ” Ü ¼– Ð î  r1 l x`  ¦ ³ ð‰ & ³ €    6 £ § õ  ° ú   .

d

^∗2

~ r dt

²

= d

⁰²

~ r

dt

²

+ 2Ωˆ z × d

⁰

~ r

dt + Ω

²

z × (ˆ ˆ z × ~ r) Å

Ò# Q”   d ” `  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð 0 A_  ü @§ 4 `  ¦  © œ§ 4 õ  Ä »´ ò×  æ§ 4 `  ¦

Ÿ

í† < Ê # Œ ³ ðr  €    6 £ § õ  ° ú   .

m d

⁰²

~ r

dt

²

= ~ τ + m~ g

e

− m(2Ω ~ w · ~ r + Ω

²

z · ~ ˆ r)ˆ z +m(2Ωˆ z + Ω

²

)~ r + −2m( ~ w + ˆ zΩ) × d

⁰

~ r

dt ˆ

z» ¡ ¤`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ~Ω– Ð  r„     H ¨ î €  \ " f, É Ò ï_  ”   



 H ¨ î €   © œ\ " fë ß – ¹ ¡ §f ” s l  M :ë  H \ , Ä º  _   t } Œ • † ½ Ós  0 s  ÷ &# Q  ô  Ç .   " f ˆ z · (~ ω + ˆ zΩ) = 0 s # Q   9,   



: r& h Ü ¼– Ð Ω = −ω cos θ_  y Œ •5 Å q • ¸– Ð ¹ ¡ §f ” s >   ) a  . s M : θ  H # Œ0 A• ¸ü < ° ú   .

ô

 Ǽ # , › ' aº   ƒ  ½ ¨\ " f  H É Ò ï_  ”    î  r1 l x`  ¦ metric ge- ometry\  ¦ : Ÿ x K " f [ O " î  
 [2], É Ò ï_  ”    î  r1 l x _  l 

† < Æ& h  _ p \  ¦  [ j >   À Ò% 3   [3]. Õ ª Q
 s  Qô  Ç l 

† < Æ& h  [ O " î _  ~ ½ ÓZ O “ É r É Ò ï_  ”    î  r1 l x`  ¦ à º† < Æ& h Ü ¼– Ð D

h\  v >  K $ 3    H  © œ& h s  e ” Ü ¼
 Õ ª „  > h õ & ñ s  ç ß –é ß –  t

  H · ú § .

0

Aü < ° ú  “ É r ] X   H[ þ t“ É r  r„   ý a³ ð>  î  r1 l x _  l ‘ : r& h “   õ 

&

ñ \  @ /ô  Ç & ñ $ í & h  s K \  • ¸¹ ¡ § s  ÷ &t   H · ú §  H  כ Ü ¼– Ð ˜ Ð

“

  . ¢ ¸ô  Ç s  Qô  Ç ] X   H \ " f  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :õ  ° ú  

“ É

r l ‘ : r Ó ü t o Z O g Ë :õ _  ƒ  › ' a$ í • ¸ ¹ 1 Ô ˜ Ðl  j Ë µ[ þ t  . ³ ð 1\ 

"

f „  / B N % i † < Æ “ §F [ þ t s  s  Qô  Ç \ V[ þ t \  @ /ô  Ç & ñ $ í & h  s K 

\

 ¦ 0 AK  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :`  ¦ & h 6   x ô  Ç  Y V\  ¦ › ¸ Ù þ ¡Ü ¼ 9, s  Qô  Ç  Y V \ O    H  כ `  ¦ ˜ Ð% i  .



 " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ { 9 › ' a ÷ &> 

&

h

6   x # Œ  r„     H ý a³ ð> \ " f_  î  r1 l x _  l ‘ : r& h “   ”  ' Ÿ  õ

& ñ `  ¦ [ O " î “ ¦  % i  .

III. P c l Æ U ؎ Ò ÞS ë s | ºÇ X Ø0 n ÉÈ k Ä ù p § T “ Ó Þ” X ¢ ö n ÚP  ”  ôV ê s8 ý ø

m

Çå ¾ ËX ì Ä כ r Çã _ Ë

1. > H ¹ Å  Ò ×  Æ U ؎ Ò ÞÊ Ý  ÂP ù v ÚP  „ ÇÊ Ý



r„  3 l q  % ƒ! 3   r„     H / B N ç ß – î ß –\ " f Ó ü t ^ ‰\  ¦ f ” ‚  ~ ½ ӆ ¾ Ó Ü

¼– Ð ~  t >  ÷ &€  , ü @ Ò_  “ ¦& ñ ý a³ ð> \ " f   ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M

:, é ß –í  H f ” ‚  î  r1 l x`  ¦   H  כ Ü ¼– Ð ˜ Ðs t ë ß –  r„  ý a³ ð> 

?

/\ " f   ˜ Ѝ  H  â Ä º\   H  r„  ~ ½ ӆ ¾ Ó\      r„   î  r1 l x Ü

¼– Ð › ' a ¹ 1 Ï  ) a  . ~  4 R”   / B N“ É r 1 p x5 Å q f ” ‚  î  r1 l x(×  æ§ 4 “ É r Á ºr  ô

 Ç )`  ¦ >  ÷ &“ ¦, Õ ª– РÒ'   r„  ý a³ ð> \ " f   ˜ Ѝ  H

Fig. 4. Internal Observer.

Fig. 5. Circling ball on the central force.

› '

a ¹ 1 Ï   H  © œ@ /& h  î  r1 l x \  _ K  / B N s  6 f# Q4 R
  H  כ Ü ¼

–

Ð ˜ Ð>   ) a  .

Figure 3\  ¦ ˜ Ѐ  , ü @Â Ò › ' a ¹ 1 Ï  ‘ : r / B N _  î  r1 l x“ É r é ß –í  H ô

 Ç f ” ‚  î  r1 l x s  . t ë ß – Fig. 4\ " f ? /Â Ò › ' a ¹ 1 Ï  / B N _

 ¹ ¡ §f ” e ” `  ¦ ˜ Ѐ  , ? /Â Ò › ' a ¹ 1 Ï  % i r  y Œ •5 Å q • ¸ ~ω– Ð  r„    l

 M :ë  H \  / B N s  f ” ‚  Ü ¼– Ð ¹ ¡ §f ” s t  · ú §“ ¦ 6 f# Q4 R ¹ ¡ §f ” s 



 H  כ % ƒ! 3  ˜ Ð>   ) a  . s  כ s   r„  3 l q  \  ¦ : Ÿ x K " f [ O " î 

>

 ÷ &  H  ïo `  ¦ o  ´ òõ s  9 Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Ó\  @ /ô  Ç [ O " î s  .

Õ

ª Q
 0 A_  [ O " î “ É r, z  ´] j t ½ ¨\ " f_   ïo `  ¦ o  ´ òõ 

\

 ¦ [ O " î   H X < & h ] X  t  · ú § .  =
 €   t ½ ¨_   â Ä º, t 

½

¨ ×  æd ” `  ¦ † ¾ Óô  Ç ×  æd ” § 4 s   Œ •6   x l  M :ë  H s  .   " f t 

½

¨ü < ° ú  “ É r  © œ S ! `  ¦ [ O & ñ l  0 AK " f  r„  3 l q  _  ×  æd ”  ~ ½ Ó

† ¾

ÓÜ ¼– Ð ×  æd ” § 4 s   Œ •6   x ô  Ç “ ¦ Ò q ty Œ •   H  כ s  a % ~  . Õ ªX O 

>

 €   t ½ ¨\ " f µ 1 ÏÒ q t   H  ïo `  ¦ o  ´ òõ \  @ /K  7 á §  8

´

òõ & h Ü ¼– Ð s K ½ + É Ã º e ” >   ) a  .

Figure 5 ü < ° ú  s  ×  æd ” § 4 s   Œ •6   x   H  r„  ó ø Í\ " f œ íl  _

 / B N % i r   r„  ó ø Íõ  1 l x{ 9 ô  Ç y Œ •5 Å q • ¸– Ð  r„   “ ¦ e ” “ ¦,

Fig. 6. Motion of Circling ball on the central force.

×

 æd ” § 4 `  ¦ ~ à Γ ¦ e ”  “ ¦ & ñ ô  Ç . Õ ªX O >  ÷ &€   Fig. 5ü <

° ú

 “ É r œ íl  › ¸| s  + þ A$ í  ) a  . ×  æd ” § 4 `  ¦ ~ à Î  / B N s  ×  æd ” 

`

 ¦ † ¾ ÓK  ”  ' Ÿ   8 • ¸ y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  ° ú כ“ É r ˜ Д > r ÷ &# Q   Ù

¼– Ð, y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  & ñ _  ~L = ~r × ~p\  _ K " f / B N _  y Œ •5 Å q • ¸

 7 £ x  >   ) a  .



 " f Figure 6\ " f ˜ Ðs   H  כ ° ú  s , / B N s  ×  æd ” `  ¦ † ¾ Ó K


 y Œ ™\      r„  ó ø Í_   r„  ˜ Ð   8 ´ ú §“ É r € ª œ`  ¦  r„  

  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s % ƒ! 3   r„  3 l q  \  ×  æd ” § 4 s  e ”  

“

¦ & ñ “ ¦ [ O " î   H  כ “ É r, t ½ ¨\ " f_   ïo `  ¦ o  ´ òõ  ü

< › ' aº  t # Q 7 á §  8 ~ 1 >   © œ S ! `  ¦ s K    H X < • ¸¹ ¡ §`  ¦ ×  ¦ Ã

º e ”  .

2.  – ¥Q c l  ö n Ú= k8 ý Æ U ؎ Ò Þ

y

Œ

•î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :`  ¦ & h 6   x # Œ  Ä »z Œ • r  Ó ü t ^ ‰_  ¼ # 

†

¾ Ó o \  ¦ ½ ¨ô  Ç ƒ  ½ ¨– Ѝ  H, Boyld & Raychowdhury [4] _ 

\

V\  ¦ [ þ t à º e ”  . Õ ª Q
 Õ ª[ þ t _  ƒ  ½ ¨  H 3 " é ¶  © œ\ " f î  r 1

l

x  © œ S ! `  ¦ l Õ ü t † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹, Õ ªa Ë >õ  „  > h] X    ™ è 4 Ÿ ¤ ¸ ú š ô

 Ç €  s  e ”  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H  6 £ § Fig. 7 ü < ° ú  s  0 A• ¸ 90

^◦

− θ \ " f



Ä » z Œ •    H ë  H ] j_  Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Ó o \  ¦ ½ ¨   H ë  H ] j\  ¦ 2 " é ¶  © œ\ " f  À Ò% 3  . ˜ Ð: Ÿ x _   â Ä º, s  ë  H ] j\  ¦ É Ò  H ~ ½ Ó d ”

“ É r  ïo `  ¦ o  j Ë µ`  ¦ ½ ¨ “ ¦ D h– Ðî  r ý a³ ð> \ " f  ïo `  ¦ o

 j Ë µ`  ¦ ƒ  Æ Ò~ ½ ӆ ¾ Ó\  @ /K " f 7 ˜'  Y  L`  ¦ # Œ x

⁰

~ ½ ӆ ¾ Ó_   5

Å

q • ¸ $ í ì  r ¨ x

⁰

`  ¦ ½ ¨ # Œ & h ì  r`  ¦ : Ÿ x K  Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Ó o \  ¦ ½ ¨

  H  כ s  . t ë ß – y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ & h 6   x ½ + É  â Ä º,



8¹ ¡ ¤ ç ß –   >  Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Ó o \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

t

³ ð0 A_  # Q‹ "  Ó ü t ^ ‰ Z  } s  b– РÒ'  b

⁰

 t  r ç ß – t1 l x î ß –



Ä » z Œ • Ù þ ¡ “ ¦  . s M :, rõ  r

⁰

“ É r t ½ ¨_   „  » ¡ ¤ \ 

Fig. 7. Free Falling Motion on the Earth at certain lati- tude.

@

/ô  Ç Ó ü t ^ ‰_   r„   ì ø Í â s  . bü < r“ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r › ' a > 

$ í w n  ) a  .

r

⁰

= b

⁰

sin θ r = b sin θ s

  © œ S ! \ " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :`  ¦ & h 6   x €    6 £ § õ  ° ú   s

 ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  .

mωr

²

= mω

⁰

r

⁰²

(1) 0

A• ¸ 90

^◦

− θ \ " f Ó ü t ^ ‰ r ç ß – t1 l x î ß –  Ä » z Œ • ô  Ç  o 



 H  6 £ § õ  ° ú   .

b − b

⁰

= 1 2 gt

²



 " f rõ  r

⁰

_  › ' a > \  ¦  r  & ñ o  €  , r − r

⁰

= 1

2 gt

²

sin θ r

⁰

= r − 1

2 gt

²

sin θ s

] j, Å Ò# Q”   r

⁰

`  ¦ d ”  (1)\  @ /{ 9  €  ,

mωr

²

= mω

⁰

 r − 1

2 gt

²

sin θ



²

ω

⁰

= ω

 1 − 1

2 1

r gt

²

sin θ



²

≈ ω



1 + gt

²

sin θ r



∆ω = ω

⁰

− ω = ω gt

²

r sin θ s

 . s ] j, Ó ü t ^ ‰ r ç ß – t1 l x î ß – z Œ •  €  " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó   



o\  _ K " f 1 l xA á ¤ Ü ¼– Ð ¼ # † ¾ Ó  ) a  o \  ¦ ½ ¨ €    6 £ § õ  ° ú  



.

Z

∆ω × rdt = Z

ω gt

²

r sin θrdt = 1

3 ωgt

²

sin θ

Fig. 8. Pendulum at particular latitude.

#

Œl " f ½ ¨ô  Ç ¼ # † ¾ Ó  ) a  o   H, · ú ¡" f q  › ' a$ í >  ý a³ ð> \  ¦ s  6

 

x # Œ ½ ¨ô  Ç ° ú כ“   x

^∗

(t) =

¹₃

wgt

³

sin θ ü < { 9 u ô  Ç .

s

 © œ_  õ & ñ “ É r y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r Z O g Ë :`  ¦  Ö ¸6   x €  ,  © œ@ /

&

h Ü ¼– Ð Ã º Z 4 >   Ä »z Œ •  î  r1 l x \ " f_   ïo `  ¦ o  ´ òõ \  ¦ [ O

" î ½ + É Ã º e ” `  ¦ ÷  r  m   & ñ | ¾ Ó& h “   > í ß –• ¸ 0 p x    H

 כ

`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

Mohazzabi [5]  H ƒ  f ”   © œ~ ½ Ó î  r1 l x r _  ¼ # † ¾ Ó o \  ¦ y Œ •î  r 1

l

x | ¾ Ó ˜ Д > r Ü ¼– РÒ'  > í ß –   H õ & ñ `  ¦ ™ è> h % i  .

3. › ¼ Â8 ý à à Å 

É

ҝ ï_  ”     H,  r„   ý a³ ð> _  @ /³ ð& h “   \ Vr – Ð # Œ Q

%

i † < Æ “ §F \  ™ è> h÷ &“ ¦ e ”  . Õ ª Q
 l ” > r “ §F \ " f É Ò ï

”

    H · ú ¡ ] X \ " f ™ è> hô  Ç  ü < ° ú  s  à ºd ” & h “   „  > h– Ð s  À

Ò# Qt “ ¦ e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H É Ò ï ”   _   â Ä º\ • ¸ y Œ • î

 r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦  Ö ¸6   x # Œ & ñ $ í & h Ü ¼– Ð s  î  r1 l x \  @ / ô

 Ç [ O " î `  ¦ r • ¸ % i  . Fig. 8`  ¦ ˜ Ѐ   ×  æ§ 4 \  _ K  z

⁰

» ¡ ¤

`

 ¦ l ï  r Ü ¼– Ð ”   î  r1 l x`  ¦   H Æ Ò e ”  . # Œl " f ”   _  Æ

ҍ  H   ñ\  ¦ s À Ò 9 î  r1 l x`  ¦ t ë ß –, ”   _  ”  ; Ÿ ¤ \  q ½ + É M : z 

´_  U  ´s  U  ´ €  , f ” ‚   © œ\ " f_  î  r1 l x Ü ¼– Ð & ñ ½ + É Ã º e ”

 .

œ

íl \  ”   î  r1 l x`  ¦ t  · ú §“ ¦ b_  0 Au \  e ”   H  â Ä º t 

½

¨ y Œ •5 Å q • ¸\  ¦ ω  “ ¦ ô  Ç €  , 8 ú x y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  ß ¼l   H L = ωb

²

s  . s Ê ê ”    a~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð  ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤  r„   ×  æ d ”

\ " f_   o  & h & h  ×  ¦ # Q[ þ t >  ÷ &“ ¦ y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r`  ¦ 0

AK " f y Œ •5 Å q • ¸ 7 £ x  >   ) a  . s X O >  ÷ &€   ”     H Ä º 8

£

¤ Ü ¼– Ð ¼ # † ¾ Ó >   ) a  . t ë ß – Æ Ò  H z  ´_   © œ§ 4 \  _ K " f Ä

º8 £ ¤¼ # † ¾ Ó | ¨ c à º e ”   H  o  ô  Ç& ñ ÷ &# Q e ”  .   " f Fig.

Fig. 9. Trace of the pendulum on the plane (1).

Fig. 10. Trace of the pendulum on the plane (2).

Fig. 11. Trace of the pendulum for a period.

Fig. 12. Trace of Foucault’s pendulum.

9 õ  ° ú  s  b\ " f ”   î  r1 l x`  ¦ r  Œ •ô  Ç Æ Ò a

⁰

0 Au \ " f & ñ t

 >   ) a  .

s

Ê ê a

⁰

t & h \ " f " 3 ð  r Æ Ò  H  r  bt & h `  ¦ † ¾ ÓK  ”    î

 r1 l x`  ¦ >   ) a  . Õ ª Q
 s M :  H Fig. 8 \ " f ^  ¦ M :  © œ S !  s

 ì ø Í@ /– Ð s , Xt   H, 7 £ ¤  r„   ×  æd ” \ " f €   ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¹ ¡ § f ”

s   H  כ s   ^  ¦ à º e ”  .   " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > r \  _  K

" f y Œ •5 Å q • ¸  H ×  ¦ # Q[ þ t >  ÷ &“ ¦ t ½ ¨\  q K " f Ö ¼o >   r

„

  Ù ¼– Ð t ½ ¨ 0 A\  e ”   H › ' a ¹ 1 Ï  { 9  © œ\ " f  H % i r  Ä º8 £ ¤ Ü

¼– Ð ¼ # † ¾ Ó÷ &  H  כ Ü ¼– Ð ˜ Ð>   ) a  . s  ¹ ¡ §f ” e ” “ É r Fig. 10 \ 

 
 e ” Ü ¼ 9, ô  Ç Å Òl \  ”    ¹ ¡ §f ” s   H C • ¸  H Fig.

11 \  ³ ð‰ & ³÷ &# Q e ”  .

s

Ê ê b

⁰

\ " f Æ Ò  H  r„   ×  æd ” \   0 >t   H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð

”

  î  r1 l x`  ¦ l  M :ë  H \  ¢ ¸  r  Ä º8 £ ¤ ¼ # † ¾ Óî  r1 l x`  ¦ ô  Ç .

s

   î  r1 l x s  ì ø Í4 Ÿ ¤ ÷ &l  M :ë  H \  t ½ ¨ © œ\ " f ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M :, „  

^

‰& h Ü ¼– Ð ”   î  r1 l x s  Fig. 12õ  ° ú  s  r > ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð  r

„

  >   ) a  .

IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í À X Ø8 ý

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H q  › ' a$ í > \ " f_  # Œ Q t  Ó ü t ^ ‰_  î  r 1

l

x`  ¦ [ O " î   H X < e ” # Q" f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ s 6   x ô  Ç [ O

" î `  ¦ r • ¸ % i  . l ” > r _   r„  ý a³ ð> \  ¦ s 6   x ô  Ç [ O " î

“

É r, q  › ' a$ í ý a³ ð>  † < Æ_ þ v s  “ ¦„   % i † < Æ`  ¦ † < Æ_ þ v   H X < e ” # Q

"

f ×  æ כ ¹ô  Ç Â Òì  r s Ù ¼– Ð Á ºr ½ + É Ã º \ O   H  כ s   z  ´s  .  t

ë ß –  r„  ý a³ ð> \  ¦ s 6   x >  ÷ &€  , ¹ ¡ §f ” s “ ¦ e ”   H ý a³ ð

>

\  @ /ô  Ç Qa Å @5 Å q \ " f_  s p t  oü <, 4 Ÿ ¤ ¸ ú š >  \ O ) €”  

Ã

ºd ” [ þ t`  ¦  À Ò# Q  Ù ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç & ñ $ í

&

h  s K \   © œE  | ¨ c à º e ”  .   " f Ä ºo   H  © œ@ /& h Ü ¼

–

Ð é ß –í  H ô  Ç y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó > h¥ Æ õ  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ˜ Д > rZ O g Ë :`  ¦ s 6   x

# Œ Ó ü t o & h  ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î % i  . s  [ O " î “ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  ] X 



 H l  # Q 90 >   H à ºd ” & h “    Òì  r s   © œ{ © œÂ Òì  r y Œ ™™ è÷ &# Q e ”

Ü ¼ 9,  r„     H ý a³ ð> \  @ /ô  Ç s p t  o\  ¦ כ ¹½ ¨ t 

•

¸ · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð & ñ $ í & h  s K \  F N& ñ & h  ´ òõ \  ¦ l @ /½ + É Ã º e ” 



.

t ë ß – s  ~ ½ ÓZ O “ É r Ó ü t o  ‰ & ³ © œ\  @ /K " f à º† < Æ& h Ü ¼– Ð   À

ҍ  H  Òì  r s   _  \ O l  M :ë  H \ , ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç & ñ | ¾ Ó& h  ì  r

$

3 s  # Q§ >    H é ß –& h s  e ”  .   " f s   Òì  r _  ? /6   x`  ¦ † < Æ _

þ

v ½ + É M :\ , ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ] jr ô  Ç y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó`  ¦ s 6   x # Œ & ñ

$ í

& h  s K \  ¦ y © œ› ¸ô  Ç [ O " î ë ß –`  ¦ “ ¦| 9 ½ + É  כ s   m  , l ” > r

“

§F \ 
ü < e ”   H  r„  ý a³ ð> _   6   x`  ¦ : Ÿ x ô  Ç [ O " î • ¸ # î '

Ÿ K   ç  H+ þ A e ”   H Ó ü t o  ? /6   x _  † < Æ_ þ v s  s À Ò# Q| 9   כ s  .



t } Œ •Ü ¼– Ð, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ™ è> hô  Ç [ O " î “ É r é ß –t   r„  ý a

³

ð> – Ð [ O " î ÷ &  H Ó ü t o ‰ & ³ © œ, 7 £ ¤  ïo `  ¦ o  ´ òõ  1 p x`  ¦ [ O " î

  H X <ë ß – Õ ªu t  · ú §“ ¦, 3 " é ¶ / B N ç ß –\ " f_  y © œ^ ‰_   r„  

\

• ¸ & h 6   x| ¨ c à º e ”  . Æ ÒÊ ê ƒ  ½ ¨\  ¦ : Ÿ x # Œ, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ]

jr   ) a [ O " î Ü ¼– Ð  ïo `  ¦ o  ´ òõ  1 p x \  @ /ô  Ç & ñ | ¾ Ó& h  ì  r$ 3  õ

 3 " é ¶ / B N ç ß –\ " f_  y © œ^ ‰_   r„   î  r1 l x _  [ O " î `  ¦ ] jr  

“

¦  ô  Ç .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] D. R. Stirling, Am. J. of Phys. 51, 236 (1983).

[2] J. B. Hart, R. E. Miller and R. L. Mills, Am. J. of Phys. 55, 67 (1987).

[3] J. V. Bergmann and H. V. Bergmann, Am. J. of Phys. 75, 888 (2007).

[4] J. N. Boyd and P. N. Raychowdhury, Am. J. of Phys.

49, 498 (1981).

[5] P. Mohazzabi, Am. J. of Phys. 67, 1017 (1999).

[6] K. R. Symon, Mechanics, 3rd ed. (Addison-Wesley, United States of America, 1971).

[7] G. R. Fowles, G. L. Cassiday, Analytical Mechanics, 7th ed. (Thomson Brooks/Cole, Australia, 2005).

[8] J. B. Marion, S. T. Thornton, Classical Dynam- ics of Particles and Systems, 5th ed. (Thomson Brooks/Cole, Australia, 2004).

[9] D. Kleppner, R. J. Kolenkow, An Introduction to Mechanics (McGraw-Hill, United States of America, 1973).

[10] H. S. Hans, S. P. Puri, Mechanics (Tata McGraw- Hill, India, 1984).

[11] J. Norwood, Jr., Intermediate Classical Mecha- nis (Prentice-Hall, Inc., United States of America, 1979).

[12] R. D. Gregory, Classical Mechanics (Cambridge University Press, United Kingdom, 2006).

[13] T. W. B. Kibble, F. H. Berkshire, Classcial Mechan- ics, 5th ed. (Imperial College Press, United King- dom, 2004).

[14] J. R. Taylor, Classical Mechanics (University Sci- ence Books, United States of America, 2005).

[15] A. P. French, Newtonian Mechanics (Massachusetts

Institute of Technology, United States of America,

1971).