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Discussion of the Barry’s Phase Method Using a Time-dependent Quantum Driven Harmonic Oscillator

Kyu Hwang Yeon ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheonju 361-763 (Received 2 August, 2010 : revised 30 August, 2010 : accepted 17 October, 2010)

The general solution of the classical equation of motion of the time-dependent driven harmonic oscillator as well as the quantum state corresponding to the system,is obtained, Eigenfunctions and eigenvalues are acquired by using the Hamiltonian of the time-dependent quantum driven harmonic oscillator, which led to the acquisition of the Barry’s phase. In this case, the function that is found by using the Barry’s phase method is not a quantum state. We present the essential condition for finding the quantum when state using the Barry’s phase method.

PACS numbers: 03.65.Bz

Keywords: Barry’s phase, Quantum invariant operator, Quantum driven harmonics oscillator

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E-mail: [email protected]

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2m + m

2 ω ² x ² − ε(t)x, 0 ≤ t, (1) s

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_ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ,

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x + ω ² x = ε(t)

m , (2)

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¦ % 3 H . (2)d _ K H x(t) = x _p (t) + 1

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+{x(0) − x p (0)} cos ωt, (3) s

¦, s > _ & ñ ï r î r1 l x | ¾ Ó É r

p(t) = p p (t) + {p(0) − p p (0)} cos ωt

+mω{x(0) − x _p (0)} sin ωt, (4)

Ð > í ß ) a . # l \ " f x ⁰ ü < p ⁰ H y y t = 0\ " f 0 Au ü <

î

r1 l x | ¾ Ós 9, x ^p (t) H p ì r ~ ½ Ó& ñ d (2)d _ : £ ¤ Ã ºK Ð x p (t) = 1

mω Z t

ds ε(s) sin(t − s), (5)

Ð > í ß ÷ & ¦ p p (t) H p _p (t) =

Z t

ds ε(s) cos(t − s), (6)

Ð Â Ò& ñ & h ì r + þ AÜ ¼ Ð ½ ¨K t 9 x ^p (0), p p (0) H t = 0 \ " f y

y _ ° ú כs .

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ç ß _ > r > _ Ô ¦ | ¾ Ó É r I(x, p, t) H dI(x, p, t)

dt = {I, H} + ∂I(x, p, t)

∂t = 0, (7)

Ð & ñ _ ÷ & 9, # l \ " f í 5 Å x F c ñ {I, H} H {I, H} = ∂I(x, p, t)

∂x

∂H(x, p, t)

∂p

− ∂I(x, p, t)

∂p

∂H(x, p, t)

∂x , (8)

Ð & ñ _ ) a . [9] (7)` ¦ ë ß 7 á ¤ r v H Ô ¦ | ¾ Ó É r Á ºÃ ºy ´ ú § Ü

¼ xü < p_ © s d Ü ¼ Ð Å Ò# Qt H Ô ¦ | ¾ Ó É r K x 9 Ð m

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2m + mω ²

2 (x − x p ) ² , (9)

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∂x ² |α(t)i + m

2 ω ² x ² |α(t)i

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(3)

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dt = [ ˆ I, ˆ H] + ∂ ˆ I(ˆ x, ˆ p, t)

∂t = 0, (11)

Ð & ñ _ ) a . [5–7,9] # l \ " f § ¨ 8 H [ ˆ H, ˆ I = ˆ H ˆ I − I ˆ ˆ H Ð & ñ _ ) a . (11)d ` ¦ ë ß 7 á ¤ r v H Ô ¦ í ß ˆ I(t) _

¦Ä »~ ½ Ó& ñ d

I(t)|β(t)i = γ ˆ β |β(t)i, (12)

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H Ô ¦ í ß ˆ I(t) H / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d (10)` ¦ s 6 x I(x, p, t) = ˆ (ˆ p − p p ) ²

2m + mω ²

2 (ˆ x − x _p ) ²

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ˆ a ^† ˆ a + 1

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a = r mω 2~

(ˆ x − x _p ) + i

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, (15)

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a ^† = r mω 2~

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mω (ˆ p − p _p )

, (16) Ü

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Z t

dsε(s)e ^{−iω(t−s)} , 0 ≤ t, (21) s

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Im

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× e ⁻

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2 ω ² x ˆ ² − ε(t)ˆ x

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= E n (ε(t))Ψ n (x, ε(t)), (29)

Ψ _n (x, ε(t)) = x ^−1/2 ₀ π ^1/4 √

2 ⁿ n!

! e ⁻

1 2x20

(x−

^ε(t)

mω2

)

²

× H n

x − ε(t)/mω ² x 0

, (30)

Ð % 3 # Qt ¦ ¦Ä »u H

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n + 1

2 − ε ² (t)

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γ n (t) = 0, (32) s

) a . (27)d _ x-³ ð & ³\ (30-32)d ` ¦ @ /{ 9

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Discussion of the Barry’s Phase Method Using a Time-dependent Quantum Driven Harmonic Oscillator

Kyu Hwang Yeon ∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheonju 361-763 (Received 2 August, 2010 : revised 30 August, 2010 : accepted 17 October, 2010)

PACS numbers: 03.65.Bz

Keywords: Barry’s phase, Quantum invariant operator, Quantum driven harmonics oscillator

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