R] k ù ‘ ×8 ý à à ŠŽ Ò Þ{ ¢© Žõ u § T “ Ó Þ” X ¢ • ¤} ºÌ ¦ R { ¢] k ù8 ý ] k ùV ê s× D; c å ¾ ˔ X ¢ Ž ì ŏ Œ

Ì

¦

R] k ù ‘  ×8 ý à à ŠŽ Ò Þ{ ¢© Žõ u § T “ Ó Þ” X ¢ • ¤} ºÌ ¦ R { ¢] k ù8 ý ] k ùV ê s× D; c å ¾ ˔ X ¢ Ž ì ŏ Œ



™ »U ‹  Ø ·  ™ ») ç « »

Â

Ò â @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 608-737

(2010¸   2 Z 4 5{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   7 Z 4 21{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   9 Z 4 14{ 9  > F  S X ‰& ñ )

·

¡

¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼\  › ' a ô  Ç # Œ Q  z  ´[ þ t \  › ' a K " f Green † < Êà º\  ¦ s 6   x # Œ ì  r$ 3  % i  . k = k

mn

{ 9  M :,

·

¡

¤ \   H & ñ ½ ©— ¸× ¼(normal modes) Ò q t  Ü ¼ 9, ”  1 l x  _  0 Au  (r

⁰

, θ

⁰

) \     — ¸× ¼    o % i  . 7 £ ¤ θ

⁰

`  ¦    or v €   θ = θ

⁰

“   y Œ •• ¸\ " f þ j@ /”  ; Ÿ ¤ s  ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ — ¸× ¼  r„   % i Ü ¼ 9, r

⁰

`  ¦    or v €   — ¸× ¼ _

 ”  ; Ÿ ¤ s  Bessel function(J

m

(kr

⁰

)) \        o   H X <, r

⁰

s  J

m

(kr

⁰

) _  þ jÎ . ° ú כ\  0 Au  €  , ”  ; Ÿ ¤ s  þ

j@ / ÷ &“ ¦,  n  & h \  0 Au  €   — ¸× ¼ + þ A$ í ÷ &t  · ú §€ Œ ¤ .

s

   ‰ & ³ © œ[ þ t`  ¦ · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼\  ¦ s 6   x ô  Ç + þ A © œ o z  ´+ « >  © œu \  & h 6   x €  , à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A_  — ¸× ¼ > h¥ Æ  x 9

 S X ‰Ò  ¦ x 9 • ¸ > h¥ Æ `  ¦ s K r v   H X < Ä »6   x ô  Ç z  ´+ « > © œu  | ¨ c  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .

Ù þ

˜d ” # Q: " é ¶+ þ A · ¡ ¤, " é ¶+ þ A· ¡ ¤”  1 l x — ¸× ¼, à º™ è" é ¶  + þ A © œ o

A Study on the Visualization of the Electron Cloud of the Hydrogen Atom by Using Circular Drum Normal Modes

Ji Hyang Kim ^∗ · Sung Boo Kim

Pukyong National University, Busan 608-737

(Received 5 February, 2010 : revised 21 July, 2010 : accepted 14 September, 2010)

The vibration mode characteristics of a drum were analyzed using the Green’s function method.

In our experimental system, the drum was percussed by using an external vibrator at polar position (r

⁰

, θ

⁰

).

Normal modes appeared on the drum in case of k = k

mn

, and they changed with the position of driving force (r

⁰

, θ

⁰

). The maximum amplitude of the mode was also formed along the angle θ

⁰

. When the radius of the driving position r

⁰

was changed, the amplitude of the mode was proportional to the value of the Bessel function (J

m

(kr

⁰

)). Therefore, the maximum amplitude appeared where the value of J

m

(kr

⁰

) was maximum.

In conclusion, we propose that the systems explored in our studies can be utilized to describe the probability density and the mode of wave formation in quantum mechanics.

PACS numbers: 01.50.Qb

Keywords: Hydrogen Atom, Circular drum, Normal modes

I. " e  ] Ø

∗

E-mail: [email protected]; Fax: +82-51-629-5549

‰

&

³@ /Ó ü t o † < Æ_  ô  Ç » ¡ ¤“   € ª œ  : r \  @ /K " f  H “ ¦1 p x † < Ɠ §_  Ó

ü

t o 2\ " f r  Œ •K " f @ /† < Æ_  { 9 ì ø ÍÓ ü t o † < Æ`  ¦  5 g ‘ : r  & h  Ü

¼– Ð  À Ò# Qt l  r  Œ •ô  Ç .

-976-

€

ª œ  : r \  _ ô  Ç Ã º™ è" é ¶  — ¸+ þ A`  ¦ l Õ ü t † < Ê\  e ” # Q Õ ª   H

‘

: r s  Ó ü t| 9  s  .  â > › ¸| \  _ K  ë ß –[ þ t # Qt   H s   1 l x _

 & ñ  © œ – РÒ'  „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸\  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ” 



. # Œl " f ´ ú ˜   H S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ê ø Í > h¥ Æ “ É r Ä »^ ‰
 „  À Ó_  â ì 2

£

§ \ " f
 
  H ƒ  5 Å q ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– РÒ'  % 3 `  ¦ à º e ” Ü ¼ 9, Ó

ü t| 9  _   â Ä º 1926¸   Max Born\  _ K  ] jî ß –  ) a  1 l x † < Ê Ã

º_  ] jY  L(Ψ ^∗ Ψ)`  ¦ { 9 ( Ž   H  .

Õ

ª Q
 › ' a8 £ ¤ s  0 p x ô  Ç % i † < Æ& h   1 l x s 
 „   l  ü <  H

² ú

˜o  Ó ü t| 9  – Ð [ O " î ÷ &# Qt   H " é ¶  — ¸+ þ A\  @ /ô  Ç > h¥ Æ s  Æ Ò



© œ& h { 9  ÷  r ë ß –  m    = s   1 l x _  † < ÊÕ ü w ° ú כs  Õ ª t & h \ " f

„

  \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸\  › ' a > ÷ &  H  כ “  t  s K  l 

~ 1

t  · ú § .

Õ

ªA " f " é ¶  — ¸+ þ A\  @ /ô  Ç + þ A © œ o\  ¦ : Ÿ x K  7 á §  8 ~ 1 >  s  K

½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ¹ 1 ÔÜ ¼ 9 ” ¸§ 4  # Œ M ® o  . Õ ª   õ , “ ¦

@

/€ ª œ  : r“   ˜ Ð# Q_  " é ¶  — ¸+ þ A\  @ /ô  Ç + þ A © œ o z  ´+ « >  © œu 

–

Ð " é ¶+ þ A ×  ¦ \ 
 
  H % i † < Æ& h  & ñ  © œ \  ¦ s 6   x   H  כ s 

š

¸Z þ t ± ú ˜ ˜ м #  o ÷ &# Q e ”  . s  z  ´+ « >  © œu   H — ¸× ¼_  ”  1 l x Ã

º(\  -t )\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç # Œ Q Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t s  z  ´] j " é ¶  — ¸+ þ Aõ 



© œ{ © œô  Ç s \  ¦ ˜ Ðe ” \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ " é ¶  — ¸+ þ A_  > h¥ Æ & h  s  K

\  ¦ 7 £ x r v   H X < _ p  e ”   H z  ´+ « >  © œu – Ð “  & ñ ~ à Γ ¦ e ” 



. Õ ª Q
 ‰ & ³@ /€ ª œ  : r \ " f à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A“ É r ˜ Ð# Q— ¸4 S qs 

° ú

  H ô  Ç> $ í M :ë  H \  Schr¨odinger  1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x ô  Ç Ó

ü t| 9  _   1 l x † < Êà º\  ¦ ½ ¨† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ¢ - a# 4  >  % 3 `  ¦ à º e ” 



. # Œl \   H 3 " é ¶& h  — ¸× ¼_  > h¥ Æ s  • ¸{ 9 | ¨ c ÷  r ë ß –  m 



 y Œ • — ¸× ¼_   1 l x † < Êà º ° ú כ\    É r Õ ª t & h \ " f „   \  ¦ µ 1 Ï

|

½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ > h¥ Æ s  • ¸{ 9  ) a  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼\  ¦ s 6   x # Œ à º™ è" é ¶  _  y

Œ

• — ¸× ¼Z >  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸\  @ /ô  Ç > h¥ Æ & h  [ O " î s  0 p x † < Ê`  ¦ ˜ Ð

#

ŒÅ ғ ¦, : £ ¤ y   =  1 l x † < Êà º_  † < ÊÕ ü w ° ú כs   © œ  H / B M \ " f „  



\  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸  © œ ß ¼ 9, † < ÊÕ ü w ° ú כs  % ò “    n  t

& h \ " f  H S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ % ò “  \  ¦ + þ A © œ o r &  ˜ Ð# ŒÅ Ò 9 ô

 Ç .

s

 כ “ É r & ñ  © œ  + þ AI _  % i † < Æ& h   1 l x \ " f  " é ¶( ™ èÛ ¼)_  0

Au \     & ñ  © œ _  — ¸€ ª œõ  ”  ; Ÿ ¤ s  ² ú ˜ ”     H ‰ & ³ © œ

`

 ¦ s 6   x # Œ Chladni — ¸× ¼J ‡  `  ¦ % 3 6 £ § Ü ¼– Ð+ ‹ 0 p x  .

7

£

¤  " é ¶ _  0 Au \     — ¸× ¼J ‡  s   r„   l • ¸ “ ¦, Chladni J ‡  `  ¦ % 3 l  0 Aô  Ç — ¸× ¼+ þ A$ í r ç ß –s  ² ú ˜ t  9 d ”  t

# Q  H  1 l x † < Êà º ° ú כs  % ò “    n  & h \  0 Au  >  ÷ &€   — ¸

×

¼ + þ A$ í ÷ &t  · ú §>   ) a  . s    ‰ & ³ © œ`  ¦ " é ¶  — ¸+ þ A_  S X ‰Ò  ¦ x 9

• ¸ > h¥ Æ \  @ /q r &  ˜ Ѐ  , J ‡  _   r„  `  ¦ „     H † ½ Ó © œ

&

ñ  © œ _  † < ÊÕ ü w ° ú כs   © œ  H / B M \  e ”   H  כ Ü ¼– Ð, Õ ªo “ ¦ Chladni J ‡  _  + þ A$ í r ç ß –`  ¦ „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸> h

¥ Æ

Ü ¼– Ð @ /q K  + þ A © œ o r ~  ´ à º e ”  . Ó ü t : r s  z  ´+ « >  © œu 

\

" f• ¸ ˜ Ð# Q— ¸4 S q`  ¦ 0 Aô  Ç + þ A © œ o z  ´+ « >  © œu \ " fü <  ð ø Í

t – Ð — ¸× ¼_  ”  1 l x à º(\  -t ) à º™ è" é ¶  _  \  -t ï  r 0

Aü <  \  ¦ ÷  r ë ß –  m   4 Ÿ ¤ ™ èà º– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H Ó ü t| 9  _  S X ‰ Ò

 ¦x 9 • ¸  H r ç ß – 1 l qw n “  X < q K  % i † < Æ& h   1 l x _  & ñ  © œ   H r

ç ß – _ ” > r Ü ¼– Ð
 
  H 1 p x, # Œ Q Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t s  z  ´] j à º™ è

"

é

¶  — ¸+ þ Aõ   H  Ø Ô> 
 è ß – .

ô

 Ǽ #  s \  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨  H à º™ è" é ¶  _  „   ½ ¨2 £ § r  o

\

 @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ [1]ü < " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _     & h     o\    É r ”  1 l x

—

¸× ¼\  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨ [2]1 p x s  s À Ò# Q& ’  . s [ þ t ƒ  ½ ¨\ " f  H Å

Җ Ð z  ´+ « >Ü ¼– Ð % 3 “ É r   õ \  ¦ à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A s  : r \  & h 6   x

# Œ ˜ Ð  ~ 1 >  [ O " î l  0 Aô  Ç ƒ  ½ ¨[ þ t s  . t ë ß – z  ´] j z 

´+ « >  õ [ þ t ë ß – e ” `  ¦ ÷  r s \  ¦ " î S X ‰ y  z ´ » ~ à Îg Ë >K ×  ¦ s  : r& h 



 H    º  ÷ &# Q e ” t  · ú §€ Œ ¤ .

s

\  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H z  ´+ « >& h   z  ´[ þ t`  ¦ z ´ » ~ à Îg Ë >½ + É Ã º e ” 



 H s  : r& h    H  \  ¦  º   “ ¦, ”  1 l x  ( " é ¶)  r ⁰ õ  θ ⁰ 0 Au 

\

 e ” `  ¦ M :_  ”  1 l x — ¸× ¼\  ¦ Green † < Êà º\  ¦ s 6   x K  ½ ¨K " f 0

Au \    É r — ¸× ¼   o\  ¦ · ú ˜“ ¦  ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç MATLAB`  ¦ s

6   x ô  Ç Ã ºu K $ 3 `  ¦ : Ÿ x K  s  : r& h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç K [ þ t _  Õ ªA  á

Ô\  ¦ Õ ªo “ ¦ Õ ª כ `  ¦ z  ´+ « >   õ ü < q “ § # Œ [ O " î “ ¦  ô

 Ç .

II. Ì ¦ R] k ù ‘  ×8 ý à à ŠŽ Ò Þ{ ¢© Ž; c 6 ” X ¢ T  ] Ø

ì

ø Ít 2 £ § s  a“   · ¡ ¤ _  " é ¶+ þ A”  1 l x€   0 A\  ω– Ð ”  1 l x   H ”   1

l

x   (r ⁰ , θ ⁰ ) t & h \  e ” `  ¦ M : $ † ½ Ó\  _ ô  Ç y Œ ™û Z Á ºr 

÷

&  H  1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

∇ ² ψ + δ(~ r − ~ r ⁰ )e ^iωt = 1 c ²

∂ ² ψ

∂t ² (1) s

 . # Œl " f  1 l x † < Êà º ψ  H ”  1 l x€  _  ”  ; Ÿ ¤ Ü ¼– Ð ψ(r, θ, t) = φ(r, θ)e ^iωt – Ð Ñ ü t à º e ”  . s – РÒ'  r  ç

ß –1 l qw n   1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨K ˜ Ѐ  

∇ ² φ + k ² φ = −δ(~ r − ~ r ⁰ ) (2)

s

  ) a  .

ô

 Ǽ #  " é ¶+ þ A”  1 l x€   0 A\ " f_  1 l x  ~ ½ Ó& ñ d ”  ∇ ² φ + k ² φ = 0 õ   â > › ¸| (r = a\ " f φ(a, θ) = 0)`  ¦ ë ß –7 á ¤   H K – Ð

³

ðr  K ˜ Ѐ   d ” (2)_   1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r  A  d ” Ü ¼– Ð ³ ðr   0

p

x  .

∇ ² φ + k ² φ = −

∞

X

m=0

1

2π e ^im(θ−θ

⁰

⁾

∞

X

n=1

2J _m (k _mn r ⁰ )J _m (k _mn r)

a ² [J _(m+1) (k mn a)] ² (3)

s

] j d ” (3)_  K  φ\  ¦  A  d ” Ü ¼– Ð ¿ º“ ¦

φ = −

∞

X

m=0

∞

X

n=1

d mn

1

π e ^im(θ−θ

⁰

⁾ J m (k mn r ⁰ )J (k mn r)

a ² [J _(m+1) (k mn a)] ² (4)

>

à º d ^mn `  ¦ ½ ¨ # Œ @ /{ 9  €  

φ = − 1 π

∞

X

m=0

e ^im(θ−θ

⁰

⁾

∞

X

n=1

J m (k mn r ⁰ )J (k mn r)

(k ² − k ² _mn )a ² [J _(m+1) (k mn a)] ² (5)

s

 . s  K   H e ” _ _  m° ú כ\  @ / # Œ Bessel † < Êà º_  r o  Ý

¼– Ð ³ ðr  H † d`  ¦ _ p ô  Ç .

s

] j r o Ý ¼– Ð ³ ðr   ) a s  † < Êà º\  ¦ ƒ  5 Å q † < Êà º– Ð  Ë ¨ l

 0 A # Œ φ = − P ∞

m=0 e ^im(θ−θ

⁰

⁾ f (r) – Ð ¿ º . Õ ª Q€   Fourier Bessel Series \ " f

f (r) =

∞

X

n=1

c mn J m (k mn r) (6)

–

Ð Ñ ü t à º e ” “ ¦, c ^mn “ É r  A  d ” Ü ¼– Ð ³ ðr   ) a  .

c _mn = 2

a ² [J (m+1) (k mn a)] ² Z a

0

f (r)J _m (k _mn r)rdr

= J m (k mn r ⁰ )

π(k ² − k ² _mn )a ² [J _(m+1) (k _mn a)] ² (7)

ƒ

 5 Å q † < Êà º f(r)“ É r k \  › ' a ô  Ç † < Êà ºs “ ¦, 1 l x r \  · ¡ ¤ _  ”   1

l x€  _   â > › ¸| (r = a\ " f f(a) = 0)`  ¦ ë ß –7 á ¤ # Œ   Ù

¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  s  ¿ º# Q˜ Ð .

f (r) = bJ m (kr < )[J m (ka)H m (kr > ) − J m (kr > )H m (ka)]

(8) 0

A_  d ” “ É r › ¸| \    " f

f (r) = bJ m (kr)[J m (ka)H m (kr ⁰ ) − J m (kr ⁰ )H m (ka)] , for r < r ⁰ (9) f (r) = bJ m (kr ⁰ )[J m (ka)H m (kr) − J m (kr)H m (ka)] ,

for r > r ⁰ (10)

–

Ð ³ ðr  H † d`  ¦ _ p ô  Ç . Õ ªo “ ¦ r = r ⁰ { 9  M : ¿ ºd ” “ É r 1 l x{ 9  ô

 Ç ° ú כ`  ¦ ° ú   H  . s ] j f(r)_  > à º b\  ¦ ½ ¨ €  

b = 1

4iJ m (ka) (11) s

 ÷ &# Q é ß –{ 9 † < Êà º f(r)“ É r  A  d ” Ü ¼– Ð ³ ðr   ) a  .

f (r) = J m (kr < )

4J m (ka) [J m (ka)N m (kr > ) − J m (kr > )N m (ka)]

(12) :

£

¤ y  k = k ^mn { 9  M :, J ^m (ka) = 0 s Ù ¼– Ð

f (r) = − N m (k mn a)J m (k mn r ⁰ )

4J _m (k _mn a) J _m (k _mn r) (13) s

  ) a  .



 " f d ” (2)_   1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” õ  · ¡ ¤ _   â > › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤

  H K   H þ j7 á x& h Ü ¼– Ð  6 £ § d ” Ü ¼– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  .

φ(r, θ) = 1 π

∞

X

m=0

e ^im(θ−θ

⁰

⁾ J m (kr < ) 4J _m (ka)

× [J _m (kr _> )N _m (ka) − J _m (ka)N _m (kr _> )] (14)

s

 d ” “ É r " é ¶+ þ A”  1 l x€   0 A\  Ò q tl   H & ñ  © œ _   1 l x † < Êà º

”

 1 l x  _  0 Au \     ² ú ˜ f ” `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  .

III. ÷ m Ç] M öX ê sV  õ m Í ÷ m Ç] M öU ê s0 n É

1. ÷ m Ç] M öX ê sV 

s

 z  ´+ « >`  ¦ 0 Aô  Ç z  ´+ « >  © œu   H q “ §& h  é ß –í  H ô  ÇX < 0 A_  Õ

ªa Ë >\ " fü < ° ú  s  " é ¶+ þ A · ¡ ¤ õ  ”  1 l x  ü < s \  ¦ ½ ¨1 l x r v   H Function generator, Õ ªo “ ¦ ”  1 l x  _  0 Au \  ¦ s 1 l x r ~  ´ Ã

º e ”   H t t @ / ë ß – e ” Ü ¼€   0 p x  .

‘

: r z  ´+ « >\ " f  H Chladni J ‡  `  ¦ % 3 l  0 AK   Ž “ É r Ó ü t y Œ ™`  ¦ [

þ t“   — ¸A \  ¦  6   x % i  .

2. ÷ m Ç] M öU ê s0 n É

1) θ ⁰ \    É r — ¸× ¼   o z  ´+ « >

(1) " é ¶+ þ A · ¡ ¤ 0 A\  — ¸A \  ¦ “ ¦Ø Ô>  Í Òo “ ¦ ”  1 l x  _  0 Au 

\

 ¦   & ñ ô  Ç .

(2)   & ñ  ) a 0 Au \  ”  1 l x  \  ¦ Z  ~ “ ¦ Function generator\ 

"

é

¶   H Å Ò à º\  ¦ { 9 § 4  # Œ Chladni J ‡  `  ¦ % 3   H  .

(3) ”  1 l x  _  r ⁰ 0 Au   H “ ¦& ñ r †   G  θ ⁰ `  ¦    or v €  " f

 
  H — ¸× ¼_     o\  ¦ › ' a ¹ 1 Ïô  Ç .

(4) — ¸× ¼\  ¦    â r &  0 A_  õ & ñ `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ ô  Ç .

2) r ⁰ \    É r — ¸× ¼   o z  ´+ « >

(1) " é ¶+ þ A · ¡ ¤ 0 A\  — ¸A \  ¦ “ ¦Ø Ô>  Í Ò 2 ; Ê ê ”  1 l x  _  0 Au 

\

 ¦   & ñ “ ¦ Chladni J ‡  `  ¦ % 3   H  .

(2) θ ⁰ `  ¦ “ ¦& ñ r †   G  r ⁰ = 0 \ " f Ò'  r ⁰ = a  t  0 Au 

\

 ¦    or v €  " f — ¸× ¼_  + þ A$ í r ç ß –`  ¦ l 2 Ÿ ¤ ô  Ç .

(3) — ¸× ¼\  ¦    â r &  0 A_  õ & ñ `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ ô  Ç .

IV. k = k _mn ø m Ç C I à à ŠŽ Ò Þ 8 ý  üV ; c   \ ¥ { ¢© Ž

ì Å× D

ü

@Â Ò ”  1 l x  _   à º k · ¡ ¤ _  “ ¦Ä » à º k ^mn õ  ° ú  `  ¦ M : (k = k _mn ) (14)d ” “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ðr  0 p x  .

φ(r, θ) ∼ = 1

π e ^im(θ−θ

⁰

⁾ N m (k mn a)J m (k mn r ⁰ )

4J m (k mn a) J m (k mn r) (15)



=
 €   ì  r — ¸ ×  æ \ " f J ^m (k mn a) = 0 s Ù ¼– Ð (14)d ” \ 

"

f m = m{ 9  M :ë ß – φ_  ”  ; Ÿ ¤ s  þ j@ / ÷ &“ ¦
 Qt  † ½ Ó[ þ t

“

É r ”  ; Ÿ ¤ s   © œ@ /& h Ü ¼– Ð B Ä º  Œ •  Á ºr ½ + É Ã º e ” l  M :ë  H s 



.

Õ

ªo “ ¦ r ç ß –\  @ /ô  Ç † < Êà º  H œ íl › ¸| \     sinωt
 cosωt – Ð ³ ðr ÷ &# Q Ó ü t| 9  _   â Ä ºü < ² ú ˜o  r ç ß –\     ”  

;

Ÿ

¤ s     >   ) a  .

1. θ ; c   \ ¥ { ¢© Ž
ì Å× D



1 l x † < Êà º_  K   H ”  1 l x  _  0 Au “   θ ⁰ , r ⁰ \  › ' aº   ) a † < Ê Ã

ºs  . θ ⁰ \  › ' aº   ) a † < Êà º  H (15)d ” _  e ^im(θ−θ

⁰

⁾ \ " f z  ´Ã º Â

Òë ß – 2 [ €   ÷ &Ù ¼– Ð Θ(θ) = cos m(θ − θ ⁰ )   ) a  . s  † < Ê Ã

º  H θ = θ ⁰ { 9  M : þ jÎ . ° ú כ`  ¦ t >  ÷ &Ù ¼– Ð " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”   1

l

x — ¸× ¼\ " f @ /y Œ •‚  _   n  ‚  “ É r ”  1 l x  \  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ý a Ä

º\  Ò q tl >  ÷ &“ ¦, θ ⁰ `  ¦ s 1 l x # Œ ”  1 l x r v €    n ‚  s 



  ¹ ¡ §f ” s >   ) a  .

\

V\  ¦ [ þ t€   (1, 1)— ¸× ¼\ " f θ ⁰ = 0 { 9  M :, ~ ½ Ó0 Ay Œ • θ\    É r 

1 l x † < Êà º  H cos mθ – Ð ³ ðr ÷ &  H X < m = 1s Ù ¼– Ð cos θ

÷

&“ ¦ π/2, 3π/2{ 9  M : † < ÊÕ ü w ° ú כs  0s  ÷ &# Q 2 " é ¶ _  " é ¶+ þ A

·

¡

¤ \ " f  n  ‚  “ É r 

 è ß – . ”  1 l x  _  š ¸ É rA á ¤`  ¦ x» ¡ ¤ Ü ¼– Ð ¿ º% 3 `  ¦ M :, ”  1 l x  _  0 Au  † ½ Ó © œ θ = 0, π ÷ &

•

¸2 Ÿ ¤ — ¸× ¼ + þ A$ í  ) a   [2].

m = 0{ 9  M : Fig. 1\ " f
 è ß –  כ õ  ° ú  s  θ ⁰ = 0, π/2 – Ð

™

èÛ ¼_  0 Au  s 1 l x † < Ê\     " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼  H ™ è Û

¼_  0 Au ü <  © œ › ' a\ O s  " é ¶+ þ A_  — ¸_ þ v Õ ª@ /– Ð\  ¦ Ä »t  “ ¦ e ”

 . s M :  H ™ èÛ ¼_  y Œ •• ¸  7 # Q• ¸ ”  1 l x — ¸× ¼_  — ¸_ þ v

“ É

r    t  · ú §  H  .

m = 1, m = 2{ 9  M : Fig. 2, 3\ " f
 è ß –  כ õ  ° ú  s  θ ⁰ = 0, π/4, π/2 – Ð ™ èÛ ¼_  0 Au  s 1 l x † < Ê\     θ = θ ⁰ 0 A u

\ " f þ j@ / ”  ; Ÿ ¤ s  ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ ”  1 l x — ¸× ¼_  — ¸_ þ v • ¸ † < Êa   r

„

    H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  .

1) m = 0{ 9  M : (Fig. 1)

2) m = 1{ 9  M : (Fig. 2)

3) m = 2{ 9  M : (Fig. 3)

2. r ⁰ ; c   \ ¥ { ¢© Ž
ì Å× D

(15)d ” \ " f r ⁰ \  › ' aº   ) a † < Êà º  H f (r) = N _m (k _mn a)J _m (k _mn r ⁰ )

4J m (k mn a) J m (k mn r) (16) s

 . s  † < Êà º  H ”  1 l x  _  0 Au  r ⁰ \     ”  1 l x€  _  ”  ; Ÿ ¤ s

 Bessel † < Êà º\  _ ” > r † < Ê`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ” “ ¦, · ¡ ¤ _  ”  1 l x€   s

 $ † ½ Ó\  _ ô  Ç y Œ ™û Z Á ºr ÷ &  H  © œI \  ¦ & ñ Ù þ ¡Ü ¼Ù ¼– Ð k = k mn { 9  M :  H ”  ; Ÿ ¤ s  Á ºô  Çy  & f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

e ”

_ _  0 Au \  ”  1 l x  \  ¦ ¿ º% 3 `  ¦ M :, Chladni J ‡  _  + þ

A$ í r ç ß –“ É r „  & h Ü ¼– Ð ”  1 l x€  _  ”  ; Ÿ ¤ \  _ ” > r ô  Ç .   

"

f ”  ; Ÿ ¤ s   H  â Ä º\   H  n ‚  s  À 1 Ïo  + þ A$ í ÷ &  H X < ì ø ÍK 

Fig. 1. Experimental results and Simulation results of m = 0 (• : position of vibrator).

”

 ; Ÿ ¤ s   Œ •`  ¦ M :  H  n ‚  _  + þ A$ í s  Ö ¼o > 
 
>   ) a



. : £ ¤ y 
 ”  ; Ÿ ¤ s  0“    n  & h \  ”  1 l x  \  ¦ ¿ º€  , " é ¶   H

—

¸× ¼ + þ A$ í ÷ &t  · ú §  H  .

s

 Qô  Ç ‰ & ³ © œ[ þ t`  ¦ 7 á x ½ + Ë €  , à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A\ " f „   \  ¦ µ

1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ > h¥ Æ Ü ¼– Ð + þ A © œ or ~  ´ à º e ”   H à ºé ß –Ü ¼

–

Ð s  z  ´+ « > © œu  Ä »6   x ½ + É  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .

1) (0, 1) — ¸× ¼

m = 0{ 9  M : J 0 (x)  H x = 0 \ " f Ò'  x ≈ 2.40 t  † < Ê Ã

º ° ú כ“ É r & h & h   Œ • ”   . s  ° ú כ`  ¦ Fig. 4 \ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú   s

 (0, 1)— ¸× ¼\ " f · ¡ ¤ _  ì ø Ít 2 £ §(a = 0.215 m) Ü ¼– Ð ¨ 8 Š í ß – K

˜ Ѐ   ì ø Ít 2 £ § r = 0 \ " f Ò'  r = 0.215s  | ¨ c M :t  † < Ê Ã

º ° ú כ“ É r y Œ ™™ èô  Ç . Fig. 5\ " f ¶ ú ˜( R˜ Ѐ   r = 0\ " f Ò'  r = 0.15  | ¨ c M : t  — ¸× ¼ r & h Ü ¼– Ð + þ A$ í ÷ &  H X <    o

  H r ç ß –s  U  ´# Qf ” `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .



 " f r ⁰ = 0 _  0 Au \  ™ èÛ ¼ Z  ~ # Œ e ” `  ¦ M : Fig. 6\ 

"

f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  † < Êà º_  ”  ; Ÿ ¤ s   © œ  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ” 

“

¦ ™ èÛ ¼_  0 Au  r ⁰ = 0 \ " f r ⁰ = 0.20 – Ð 7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤  © œ

@

/& h  ”  ; Ÿ ¤ f (r) ° ú כ“ É r  Œ • f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

·

¡

¤ _  ”  ; Ÿ ¤ s  ß ¼   H  כ “ É r · ¡ ¤ _  " é ¶+ þ A } Œ • 0 A\  — ¸A \  ¦ Í Ò



9 Z  ~ € Œ ¤`  ¦ M :  H ”  ; Ÿ ¤ Ü ¼– Ð “  K  — ¸A [ þ t s  À 1 Ïo  ¹ ¡ §f ” { 9   כ

Fig. 2. Experimental results and Simulation results of m = 1.

s

“ ¦ Õ ª כ “ É r / B I è  H Ü ¼– Ð S X ‰ “   0 p x ô  Ç + þ AI 
 
l   t

   o   H r ç ß –s   ú ª   H  כ `  ¦ _ p ô  Ç  [2]. 7 £ ¤ — ¸× ¼

r & h Ü ¼– Ð + þ A$ í ÷ &l  t    o   H r ç ß –s   © œ@ /& h  ”  ; Ÿ ¤ s  9

þ

t à º2 Ÿ ¤  ú ª“ ¦  © œ@ /& h  ”  ; Ÿ ¤ s   Œ •`  ¦ à º2 Ÿ ¤ U  ´# Q”   .

2) (1, 1) — ¸× ¼

m = 1{ 9  M : J 1 (x)  H x = 0 \ " f Ò'  x ≈ 1.8 t  † < Êà º

° ú

כ“ É r & h & h  & t   x = 3.8s  | ¨ c M : t  † < Êà º ° ú כ“ É r   r

  Œ • ”   . Fig. 7\ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  · ¡ ¤ _  ì ø Ít 2 £ § Ü ¼

–

Ð ¨ 8 Š í ß –K ˜ Ѐ   ì ø Ít 2 £ § r = 0 \ " f Ò'  r ≈ 0.11 t  ”  ; Ÿ ¤ s

 7 £ x    r = 0.215 | ¨ c M : t  ”  ; Ÿ ¤“ É r y Œ ™™ èô  Ç .

Fig. 8“ É r (1, 1) — ¸× ¼\  @ /ô  Ç ”  1 l x  _  r ⁰ 0 Au \    É r — ¸× ¼

Fig. 3. Experimental results and Simulation results of m = 2.

 + þ A$ í ÷ &  H X <   o   H r ç ß –\  › ' a ô  Ç Õ ªA á Ôs   [2]. Fig.

7 õ  q “ §K  ^  ¦ à º e ”  .

r ⁰ = 0.01 _  0 Au \  ”  1 l x   Z  ~ # Œ e ” `  ¦ M : Fig. 9\ " f

˜

Ѝ  H  ü < ° ú  s   © œ@ /& h  ”  ; Ÿ ¤ s   © œ  Œ • f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  Ü

¼ 9 ”  1 l x  _  0 Au  r ⁰ = 0.01 \ " f r ⁰ = 0.11 – Ð 7 £ x ½ + É Ã

º2 Ÿ ¤  © œ@ /& h  ”  ; Ÿ ¤ s  & f ” `  ¦ Fig. 9 \ " f S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

3) (2, 1) — ¸× ¼

m = 2{ 9  M : J ¹ (x)  H x = 0 \ " f Ò'  x ≈ 3.7 t  † < Ê Ã

º ° ú כ“ É r & h & h  & t   x ≈ 5.1s  | ¨ c M :  t  † < Êà º ° ú כ

“ É

r  r   Œ • ”   . s  ° ú כ`  ¦ · ¡ ¤ _  ì ø Ít 2 £ § Ü ¼– Ð ¨ 8 Š í ß –K ˜ Ѐ   Fig. 10 \ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  ì ø Ít 2 £ § r = 0 \ " f Ò'  r ≈ 0.128  t  ”  ; Ÿ ¤ s  7 £ x    r = 0.215 | ¨ c M : t  ”  

;

Ÿ

¤“ É r y Œ ™™ èô  Ç . Fig. 11, 12\ " f S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” 1 p w s  † < Êà º

Fig. 4. Result of f (r) − r by Eq. (16). (m = 0)

Fig. 5. Experimental time result. (m = 0)

Fig. 6. Result of f (r) − r ⁰ by Eq. (16) (m = 0), (?   H

”

 1 l x  _  0 Au \  ¦
  · p )

° ú

כs   H / B M`  ¦ ”  1 l x r v €   ”  ; Ÿ ¤“ É r ß ¼“ ¦   " f — ¸× ¼ + þ A

$ í

÷ &  H X <   o   H r ç ß –s   ú ª>    o “ ¦, † < Êà º ° ú כs   Œ •“ É r / B M

`

 ¦ ”  1 l x r v €   ”  ; Ÿ ¤“ É r  Œ •`  ¦  כ s “ ¦   " f — ¸× ¼ + þ A$ í

÷

&  H X <   o   H r ç ß –“ É r š ¸A     2 ; .



 " f r ⁰ = 0.120 _  0 Au \  ™ èÛ ¼ Z  ~ # Œ e ” `  ¦ M : Fig.

12 \ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  † < Êà º_  ”  ; Ÿ ¤ s   © œ  H  כ `  ¦ · ú ˜

Fig. 7. Result of f(r)-r by Eq. (16). (m = 1)

Fig. 8. Experimental time result. (m = 1)

Fig. 9. Result of f (r) − r ⁰ by Eq. (16) (m = 1)

Ã

º e ” Ü ¼ 9 ™ èÛ ¼_  0 Au  r ⁰ = 0.055 \ " f r ⁰ = 0.120 – Ð 7 £ x

½ + Éà º2 Ÿ ¤  © œ@ /& h  ”  ; Ÿ ¤ s  & f ” `  ¦ Fig. 12 \ " f S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”

 .

V. à à ŠŽ Ò Þ{ ¢© Žõ u § T “ Ó Þ” X ¢ • ¤} ºÌ ¦ R { ¢] k ù8 ý ] k

ùV ê s× D ß e Ȃ º

Fig. 10. Result of f(r)-r by Eq. (16). (m = 2)

Fig. 11. Experimental time result. (m = 2)

Fig. 12. Result of f (r) − r ⁰ by Eq. (16) (m = 2)

#

ŒI  t _  s  : r x 9  z  ´+ « >& h    õ [ þ t`  ¦ 7 á x ½ + Ë& h Ü ¼– Ð  Ž 

ž

Ð # Œ õ ƒ   " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ z  ´+ « >   õ [ þ t – РÒ'  à º

™

è" é ¶  — ¸+ þ A_  + þ A © œ o 0 p x ô  Çt \  ¦ 7 á §  8 [ j Ò& h Ü ¼– Ð ¶ ú ˜ (

R˜ Ð 9 ô  Ç . Õ ª Q
 [ j Ò& h   Ž ž Ð\  ¦ l  „  \  =  G p o 

“

 t K  ¿ º# Q  ½ + É  † ½ ӓ É r 4 Ÿ ¤ ™ èà º– Ð ³ ðr ÷ &  H Ó ü t| 9  _  0

Au \    É r † < ÊÕ ü w ° ú כ“ É r Õ ª  ^ ‰ # QÖ ¼ 0 Au \ " f { 9  \  ¦ µ

1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸\  › ' a > ÷ &t ë ß – % i † < Æ& h   1 l x \ " f_  † < ÊÕ ü w

Fig. 13. Vibration modes of a circular drum and Proba- bility density of hydrogen atom [2].

° ú

כ“ É r  " é ¶ Ü ¼– РÒ'  „  ² ú ˜÷ &  H % i † < Æ& h  \  -t \  › ' a > ÷ &l  M

:ë  H \  y Œ •y Œ •_  Ó ü t o & h  _ p  ¢ - a„  y   Ø Ô   H  כ s  .

Õ

ª Q† < Ê\ • ¸ y Œ •7 á x _   1 l x s  ° ú   H Ä » ô  Ç $ í | 9 `  ¦ s 6   x 

€

  f ” ] X  › ' a8 £ ¤ s  Ô  ¦ 0 p x ô  Ç Ó ü t| 9  _  — ¸× ¼
 S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ ° ú  

“ É

r > h¥ Æ • ¸ % i † < Æ& h   1 l x`  ¦ s 6   x ô  Ç + þ A © œ o 0 p x >  | ¨ c

 כ

s    H l @ /\  ¦ ° ú >   ) a  .

Ä

º‚   à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A\ " f „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ J ‡  

`

 ¦ " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ J ‡  Ü ¼– РÒ'  % 3 # Qè ­ q à º e ”   H  s

 . Ó ü t : r " é ¶  — ¸+ þ A“ É r 3 " é ¶ s “ ¦, ”  1 l x — ¸× ¼  H 2 " é ¶ Ü ¼

–

Ð — ¸× ¼> hà º  ^ ‰ 1 l x{ 9  t  · ú §`  ¦ ÷  r ë ß –  m   " é ¶+ þ A ×  ¦

`

 ¦ s 6   x ô  Ç ˜ Ð# Q_  " é ¶  — ¸+ þ A z  ´+ « >\ " fü < ° ú  s  y Œ • — ¸× ¼_ 

”

 1 l x à º(\  -t )\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç ´ ú §“ É r Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t \ " f s  è ß –



. Õ ª Q
 s  Qô  Ç  כ [ þ t`  ¦ “ ¦ 9 t  · ú §“ ¦ + þ A © œ o_  › ' a

&

h \ " fë ß –   ˜ Ѐ  , " é ¶  — ¸+ þ A_  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ü < ”  1 l x — ¸× ¼\ 

@

/ô  Ç Ã º† < Æ& h    õ   © œs † < Ê\ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ ¿ º J ‡  _  — ¸

€

ª œs   © œ{ © œy  Ä » † < Ê`  ¦ ^  ¦ à º e ”  .

Figure 13“ É r " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ J ‡  õ  à º™ è" é ¶  _  S X

‰Ò  ¦x 9 • ¸ ì  r Ÿ í\  ¦ q “ §ô  Ç  כ s  . ¿ º J ‡    s \   H  © œ{ © œ ô

 Ç Ä » $ í `  ¦ µ 1 Ï| ½ + É Ã º e ”  . s  כ Ü ¼– РÒ'  f ” ] X  › ' a8 £ ¤ ½ + É Ã

º \ O   H à º™ è" é ¶  _  # Œ Q S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ — ¸× ¼ ×  æ { 9  Ò\  ¦ " é ¶+ þ A

·

¡

¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼\  ¦ : Ÿ x K  + þ A © œ o r & , à º™ è" é ¶  \ " f_  > h

¥ Æ

`  ¦ Z  } s   H X < l # Œ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .



6 £ § Ü ¼– Ð Ã º™ è" é ¶  — ¸+ þ A\ " f Ó ü t| 9  _  † < ÊÕ ü w ° ú כs  # Qb  G

>

 Õ ª t & h \ " f „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸\  › ' a > ÷ &  H  s

 . ”  1 l x  _  0 Au (θ ⁰ , r ⁰ ) \  @ /ô  Ç z  ´+ « >  õ \ " f [ O " î 

% i

1 p w s  ”  1 l x   θ ⁰ \  e ” `  ¦ M :, s  y Œ •• ¸\ " f þ j@ /”  ; Ÿ ¤ s 

š

¸• ¸2 Ÿ ¤ — ¸× ¼  r„   >  ÷ & 9, ”  1 l x  _  r ⁰ 0 Au    † < Ê\ 



 " f  H ”  1 l x€  _  ”  ; Ÿ ¤ s  ² ú ˜ t   H X < s  כ `  ¦ Chladni J

‡  \  & h 6   x r ~  ´  â Ä º — ¸× ¼_  + þ A$ í r ç ß – s – Ð
 


>

  ) a  .

(0 1) — ¸× ¼\  ¦ \ V– Ð [ þ t€   · ¡ ¤ _  ×  æ € © œt & h _  † < ÊÕ ü w ° ú כs  



© œ ß ¼“ ¦  © œ o – Ð ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ Õ ª ° ú כ“ É r  Œ • ”   . ”  1 l x  _  r ⁰ 0 Au \  ¦ ×  æ € © œ\ " f  © œ o – Ð `  … l €  " f — ¸× ¼ r & h  Ü

¼– Ð + þ A$ í ÷ &  H X <   o   H r ç ß –`  ¦ 8 £ ¤& ñ K ˜ Ѐ  , † < ÊÕ ü w ° ú כs 

 © œ  H ×  æ € © œt & h \ " f ”  1 l x r ~  ´ M : — ¸× ¼_  ”  ; Ÿ ¤ s   © œ

&

t Ù ¼– Ð Chladni J ‡  _  + þ A$ í r ç ß –s   © œ  ú ª>    o “ ¦

 © œ o – Ð ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ r ç ß –s  ´ ú §s    o   H  כ `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”

 . s  כ “ É r à º™ è" é ¶  _  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ ì  r Ÿ í 1sü < q “ § | ¨ c à º e ”

 . 7 £ ¤ Fig. 13 \ " f ˜ Ѝ  H  ü < ° ú  s  ×  æ € © œ\ " f Y O # Q| 9 à º 2

Ÿ

¤ „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ ì  r Ÿ í  H ×  ¦ # Q[ þ t “ ¦ e ”   H  כ `  ¦ S X

‰ “  ½ + É Ã º e ”  . : £ ¤ y  (0 2) — ¸× ¼\ " f  n t & h \  ”  1 l x  

 e ” `  ¦  â Ä º\   H  Á ºo  š ¸Ï ? @1 l x î ß – ”  1 l x r & • ¸ — ¸× ¼

+ þ

A$ í ÷ &t  · ú §  H X <, s   H 2s — ¸× ¼\ " f Õ ª t & h \ " f  H „   

\

 ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ 0e ” `  ¦ _ p    H  כ õ  ° ú  “ É r > p w Ü ¼– Ð K

$ 3 ½ + É Ã º e ”  . Õ ª ü @_    É r — ¸× ¼[ þ t • ¸ Fig. 13\ " f ˜ Ð



 H  ü < ° ú  s  " f– Ð q 5 p w ô  Ç — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”   H  כ `  ¦ S X ‰

“

 ½ + É Ã º e ”  .

z 

´] j “ ¦1 p x † < Ɠ § † < ÆÒ q t[ þ t õ  @ /† < Ɠ § 1, 2† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t \ >  Ã

º™ è" é ¶  _  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ ì  r Ÿ í\  › ' a K  [ O " î † < Ê\  e ” # Q s    z 

´+ « >  © œu ü <   õ [ þ t`  ¦ ž Ð@ /– Ð [ O " î `  ¦ ô  Ç €   ˜ Ð  s K 

l  ~ 1 >  | ¨ c  כ Ü ¼– Ð l @ /  ) a  .

VI. + s Ç Â ] Ø

·

¡

¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼\  @ /ô  Ç s  : r& h    H  \  ¦  º  † < Êõ  1 l x r 

\

 z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x K " f  H ”  1 l x — ¸× ¼_  : £ ¤$ í `  ¦ ¹ 1 Ô`  ¦ à º e ” % 3  .

Õ

ª   õ \  ¦ à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A_  — ¸× ¼ü < S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸_  > h¥ Æ `  ¦ + þ A



© œ or v   H X < & h 6   xÙ þ ¡`  ¦ M :,  6 £ § õ  ° ú  “ É r    : r`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”

% 3  .

' Í

P :, — ¸× ¼_  > hà º
 — ¸× ¼_  ”  1 l x à º(\  -t ) 1 p x \ " f  © œ {

© œô  Ç s \  ¦ ˜ Ðe ” \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ J ‡  s  Ã

º™ è" é ¶  — ¸+ þ A_  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ ì  r Ÿ íü <  © œ{ © œÂ Òì  r Ä » ô  Ç — ¸€ ª œ

`

 ¦ ° ú   H    H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i  . s   H " é ¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ J

‡  s  à º™ è" é ¶  _  S X ‰Ò  ¦x 9 • ¸ — ¸× ¼\  ¦ + þ A © œ o   H X < B Ä º Ä

»6   x ô  Ç Ã ºé ß –s  | ¨ c à º e ” 6 £ §`  ¦ _ p ô  Ç .

Ñ ü

t P :, Ó ü t| 9  _   1 l x † < Êà º ° ú כs   = „   \  ¦ µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦ x 9

• ¸ü < ƒ  › ' a ÷ &# Q e ”   H t \  @ /ô  Ç > h¥ Æ `  ¦ s K  l  0 A 

#

Œ k = k ^mn { 9  M :, · ¡ ¤ 0 A\  Z  ~ # Œ4 R e ”   H ”  1 l x  _  0 Au  (r ⁰ , θ ⁰ )\  ¦    or &  ˜ Ѐ Œ ¤ .

Ä

º‚   ”  1 l x  \  ¦ y Œ •• ¸ θ ⁰ \  ¿ º“ ¦ ”  1 l x r v €   s  y Œ •• ¸\ 

"

f þ j@ /”  ; Ÿ ¤ s 
 
  H X < s \  ¦ θ ë ß –
p u  r„   r &  ”  1 l x

`

 ¦ r v €  , — ¸Ž  H — ¸× ¼[ þ t _   n ‚  s  ° ú  “ É r ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð θë ß –

p

u  r„  ô  Ç   H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i  . s  כ “ É r ™ èÛ ¼_  0 Au \ 

"

f † ½ Ó © œ þ j@ / † < ÊÕ ü w ° ú כs  ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ — ¸× ¼ + þ A$ í ÷ &# Qf ” `  ¦ _  p

ô  Ç ,

¢

¸ô  Ç ”  1 l x  _  ì ø Í â r ⁰ `  ¦    or v €  , ] j17 á x Bessel † < Ê Ã

º_  Õ ªA á Ôü < ° ú  s  ”  1 l x€  _  ”  ; Ÿ ¤ s     % i  . 7 £ ¤, † < Ê Õ

ü

w ° ú כs   H / B M \  ”  1 l x  \  ¦ ¿ º# Q ”  1 l x`  ¦ r ~  ´ M :  H ”  ; Ÿ ¤ s 

&

t “ ¦, † < ÊÕ ü w ° ú כs   Œ •“ É r / B M \  ”  1 l x  \  ¦ ¿ º# Q ”  1 l x`  ¦ r ~  ´ M

:  H ”  ; Ÿ ¤ s   Œ • f ” `  ¦ S X ‰ “   % i  .   " f † < Êà ºφ_  ° ú כs  þ

j@ /“   t & h \  ”  1 l x  \  ¦ ¿ º# Q Chladni J ‡  `  ¦ ½ ¨K ˜ Ѐ  

—

¸× ¼_  + þ A$ í r ç ß –s  þ j™ è– Ð
 
>  ÷ &“ ¦, s \  ì ø ÍK  ”  

;

Ÿ

¤ s  0“    n  & h \  ”  1 l x   Z  ~ s €   š ¸ ½ ™ r ç ß –s  f  Ë  Q

•

¸ — ¸× ¼ + þ A$ í ÷ &t  · ú §>   ) a  .

s

   % i † < Æ& h   1 l x \ " f
 
  H ‰ & ³ © œ[ þ t`  ¦ 7 á x ½ + ËK  ^  ¦ M

:, q 2 Ÿ ¤ ”  1 l x€   0 A\ " f_   1 l x † < Êà º ° ú כõ  Ó ü t| 9  _  0 Au 

\

   É r  1 l x † < Êà º ° ú כs  ° ú   H Ó ü t o & h  _ p   H " f– Ð ² ú ˜ • ¸

"

é

¶+ þ A · ¡ ¤ _  ”  1 l x — ¸× ¼ J ‡  s  à º™ è" é ¶  — ¸+ þ A_  — ¸× ¼ü < S X ‰ Ò

 ¦x 9 • ¸ > h¥ Æ `  ¦ + þ A © œ o r ~  ´ à º e ”   H Ä »6   x ô  Ç Ã ºé ß –Ü ¼– Ð # Œ



”   .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] J. E. Park, M.S. thesis, Graduate School of Education Pukyong National University (2007).

[2] K. H. Jung, M.S. thesis, Graduate School of Educa-

tion Pukyong National University (2007).