] K ¡  ¹ Å Œ Ÿ « W Ä] K ¡8 ý îø m Ç Ì ¦ R V ê s8 ý Æ U ؎ Ò Þï ] K ¡ ø p ©Ê ÝX N Ë; c" e ] K ¡t ô p §T ß O Ë] M ö À W ¥ # a \“ Ô Û:

 11 Z 4, pp. 1185∼1197

6

] K ¡  ¹ Å Œ Ÿ « W Ä] K ¡8 ý îø m Ç Ì ¦ R V ê s8 ý Æ U ؎ Ò Þï ] K ¡ ø p ©Ê ÝX N Ë; c" e ] K ¡t  ô p §T  ß O Ë] M ö À W ¥ # a \“ Ô Û:

#

a \“ Ô Û8 ý Ì ¦ Rß Ã ÅÊ Ý A 0} ºU ê sŽ ˜ m ù p § ú n ÞÅ k È® Žz º

b 9

¾ 6 Òr ) · T # Ü ‡ Ú

"

fÖ  ¦ @ /† < Ɠ §  # 3 @ /† < Æ Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , " fÖ  ¦ 151-742

ƒ

‘

šU a : @

]

jÓ ü t Ÿ í“ ¦1 p x † < Ɠ §, “  …  ; 400-190

(2010¸   8 Z 4 20{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   10 Z 4 4{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   11 Z 4 15{ 9  > F  S X ‰& ñ )

î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï“ É r Ó ü t o † < Æ x 9  › ' aº   s / B N >  „  / B N  [ þ t s  „  / B N õ 3 l q Ü ¼– Ð ”  { 9  €  " f C Ä º>  ÷ &  H „   /

B

N % i † < Æ ? /6   x ×  æ \ " f• ¸  © œ l ‘ : r s  ÷ &  H Å Ò] js  . s \  @ /ô  Ç s K  Ø  æì  r t  3 l w €  , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r · ú ¡ Ü

¼– Ð s # Q| 9  2 " é ¶, 3 " é ¶  © œ_  î  r1 l x \  @ /ô  Ç † < Æ_ þ v r \ • ¸ > 5 Å q& h “   # Q 9¹ ¡ §`  ¦   >  ÷ &l  ~ 1  . s \  ‘ : r

ƒ

 ½ ¨\ " f  H † < ÆÒ q t[ þ t s  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v r      H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “   Õ ªo “ ¦ s \  ¦ K ™ è l  0 AK 

†

< ÆÒ q t[ þ t s  ‚  × þ ˜   H K ™ è~ ½ Óî ß –[ þ t s  Á º% Á “  t \  ¦ · ú ˜ ˜ Г ¦  % i  . s \  ¦ 0 AK  4¸  ç ß – à º| 9 ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  Å

Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ ì  r$ 3  « і Ð  Ö ¸6   x % i  . ¢ ¸ô  Ç, î¾ »‡   % i † < Æï † < Æ_ þ v õ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v \ " f  â + « > 

 

H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “   x 9  s  Qô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 AK  † < ÆÒ q t[ þ t s   6   x   H ~ ½ Óî ß –\   H # Q* ‹ô  Ç s 

e ”

  H t  q “ § · ì  r$ 3  % i  .  t } Œ •Ü ¼– Ð ƒ  ½ ¨   õ \  ¦ ž Ð@ /– Ð ‘ : r ƒ  ½ ¨_  r  & h `  ¦  7 H _  % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: { 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l x, ¾ »‡   % i † < Æ, # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  õ  K ™ è~ ½ Óî ß –

Student Difficulty in Learning îMotion of a Particle in One Dimensionï in Upper-Level Mechanics: Focusing on the Sources and Resolutions of the

Difficulties

Chanhee Jeon · Gyoungho Lee ^∗

Department of Physics Education, Seoul National University, Seoul 151-742

Jiyun Park

Jemulpo High School, Incheon 400-190

(Received 20 August, 2010 : revised 4 October, 2010 : accepted 15 November, 2010)

îMotion of a particle in one dimensionï is one of fundamental topics in mechanics. If students who major in physics and science & engineering do not fully understand this topic, they will have difficulties in learning the following topics such as îmotion of a particle in two dimensions and three dimensionsï continually. Therefore, the purpose of this study was to identify student difficulties in îmotion of a particle in one dimensionï, the sources and resolution types of such difficulties. For this purpose, we have collected and analyzed studentsï weekly reports for four years from 2004 to 2007. And then, we identified differences of student difficulty, the sources and resolution of the difficulty between Newtonian Mechanics and îMotion of a particle in one dimensionï. Finally, the educational implications of our research findings are discussed.

-1185-

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: Motion of a particle in one dimension, Newtonian Mechanics, Sources and resolution of student difficulty

I. " e  ] Ø

Ó ü

t o † < Æ_ þ v \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §“ É r s ] j ×  æ1 p x “ §¹ ¢ ¤ [1–

4] \ " f ÷  r ë ß –  m   @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \ " f• ¸ d ” y Œ •ô  Ç ë  H ] j s

  [5]. þ j   H [ þ t # Q † < ÆÒ q ts  Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f     H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ é

ß –í  H y  † < ÆÒ q t_  0 p x§ 4  Ò7 á ¤ s 
 › ' a d ”  Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð [  t o   H „  : Ÿ x

&

h

 › ' a& h _  0 A+ « >$ í õ  ô  Ç> \  @ /ô  Ç “  d ” `  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t _

 Ó ü t o † < Æ_ þ v _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ F G4 Ÿ ¤ l  0 Aô  Ç ´ ú §“ É r › ' a d ” õ  ƒ  

½

¨[ þ t s  ”  ' Ÿ ¿ ƒ –   [5–15]. : £ ¤ y  p ² D G _  { 9 Â Ò Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ ƒ  

½

¨Õ ªÒ  ¨`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð K ™ èr  v

l  0 Aô  Ç { 9 ì ø Í x 9  „  / B N Ó ü t o à ºï  r _  á Ԗ ÐÕ ªÏ þ ›[ þ t s  > hµ 1 Ï

÷ &“ ¦ e ”   [16].

ô

 Ǽ # , „  / B N Ó ü t o † < Æ Ã ºï  r \ " f † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ƒ  ½ ¨ô  Ç þ

j   H _  ² D G ? /ƒ  ½ ¨\  ¦ \ Vr  €    6 £ § õ  ° ú   . s 5 p x  B [7]  H



Õ ª| ½ Ót î ß – ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s 6   x ô  Ç î  r1 l x K $ 3 `  ¦ C Ä º  H † < ÆÒ q t [

þ

t s      H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “  `  ¦  € Œ • # Œ s \  ¦ : Ÿ x ½ + Ë& h Ü ¼

–

Ð r y Œ • o   H • ¸½ ¨“   DSDM(Diagram of Student Diffi- culties in Mechanics)`  ¦ > hµ 1 Ï % i  . Õ ªo “ ¦ @ /† < ÆÒ q tõ  @ /

†

< Æ" é ¶Ò q t — ¸¿ º > h¥ Æ & h , à º† < Æ& h “    Òì  r \ " f ´ ú §“ É r # Q 9¹ ¡ § s  e ”

6 £ §`  ¦ ˜ Г ¦ % i  . þ j& ñ   ñ 1 p x [8]“ É r “ ¦1 p x † < Ɠ § à ºï  r _  „  



l  t d ” `  ¦ Ø  æì  r y  ”    כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –÷ &  H s / B N >  † < ÆÒ q t [

þ

t s  { 9 ì ø Í Ó ü t o † < Æ_  & ñ „  l † < Æ`  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M :     H # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦ ì  r$ 3  % i  . Õ ª   õ , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r & ñ „  l † < Æ\ " f  À ҍ  H



© œ(field) > h¥ Æ õ  s ü < › ' aº   ) a > í ß –õ & ñ \ " f
 
  H # Q



9¹ ¡ §, Ä ºÛ ¼ Z O g Ë :s  & h 6   x 0 p x ô  Ç @ /g A$ í  € Œ •_  # Q 9¹ ¡ §, Õ

ªA á Ô  Œ •$ í _  # Q 9¹ ¡ § 1 p x õ  ƒ  _ þ v  Ò7 á ¤, † < Æ& h s 
   õ \  ¦

×

 æ r    H à º' Ÿ  t † ¾ Ó& h  ì  r 0 Al \ " f š ¸  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦  â + « >

  H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . & ñ >  Œ ™õ  s  â   ñ [9]  H @ /† < Æ „  / B N

%

i † < Æà º\ O `  ¦ 1 p s  H † < ÆÒ q t[ þ t s  Curl > h¥ Æ õ  › ' aº   # Œ  â + « > 



 H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “  ½ ¨› ¸\  ¦ ì  r$ 3  % i  . Õ ª   õ  † < ÆÒ q t[ þ t

“

É r Curl \  @ /ô  Ç & ñ $ í & h  s K ü < à º† < Æ& h  s K   s \  ° ú ˜1 p x

`

 ¦ Ö ¼z  9 s \  ¦ F G4 Ÿ ¤ t  3 l w   H  © œ S ! \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦   



 H    H  כ `  ¦ · ú ˜ ? /% 3  . „  ð ø Í Bü < s  â   ñ [5]  H 2004¸   Â

Ò'  2007¸   t  4¸  ç ß – † < ÆÒ q t[ þ t s   Œ •$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦



„ ½ ÓÜ ¼– Ð „  / B N % i † < Æ`  ¦ à ºy © œ   H @ /† < ÆÒ q t[ þ t s  î¾ »‡   % i † < Æ ï † < Æ_ þ v r      H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “   Õ ªo “ ¦ s \  ¦ K ™ è l  0

AK  † < ÆÒ q t[ þ t s  ‚  × þ ˜   H ~ ½ Óî ß –[ þ t`  ¦ ì  r$ 3  % i  . s  ƒ  ½ ¨

 

õ _  { 9  ҍ  H ‘ : r ƒ  ½ ¨  7 Hë  H _    õ   Òì  r \ " f ƒ  ½ ¨   õ  ç

ß –_  q “ § x 9   7 H _ \  ¦ 0 A # Œ  r   À Ò# Qt >   ) a  .

∗

E-mail: [email protected]

„

 / B N % i † < Ɠ É r Ó ü t o † < Æ`  ¦ q 2 Ÿ © ô  Ç › ' aº   s / B N >  „  / B N  [ þ t

\

>   © œ l œ í& h s “ ¦ l ‘ : r s  ÷ &  H õ 3 l q s  9 s \  ¦ l ì ø Í Ü

¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „  / B N% ò % i `  ¦ d ”  o · µ 1 τ  r & 
° ú ˜ à º e ” > 

 )

a  . Õ ªo “ ¦ % i † < Æ\ " f î{ 9  " é ¶  © œ î  r1 l xï“ É r ¨ î €    © œ î  r1 l x

“

  2 " é ¶  © œ_  î  r1 l x õ  3 " é ¶ / B N ç ß –\ " f ¹ ¡ §f ” s   H { 9  _  î

 r1 l x s K \  · ú ¡" f  © œ l œ í ÷ &  H î  r1 l x Ü ¼– Ð „  / B N “ ¦„  

%

i † < Æ_  { 9 ë  H õ & ñ \ " f  © œ l ‘ : r& h Ü ¼– Ð  À Ò>  ÷ &  H é ß –

"

é

¶ s  . 7 £ ¤, & ñ $ í & h “   ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð Ó ü t o & h  > h¥ Æ \  @ /ô  Ç † < Æ _

þ

v s  ŠҖ Ð s À Ò# Q”   { 9 ì ø Í Ó ü t o † < Æ s à ºõ & ñ \ " f ˜ Ð  Ó ü t o

& h  ‰ & ³ © œ_  & ñ S X ‰ ô  Ç Ã º† < Æ& h  / B Nd ”  o ÷  r ë ß –  m   Õ ª / B Nd ” 

\

 @ /ô  Ç Ó ü t o & h  K $ 3 \  @ /ô  Ç s K ü < & h 6   x§ 4 `  ¦ † ¾ Ó © œr v  l

 0 A # Œ B Ä º ×  æ כ ¹ô  Ç é ß –" é ¶ s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .   " f î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï @ /ô  Ç s K  ] j@ /– Ð s À Ò# Qt t  · ú §



 H  €   2, 3 " é ¶  © œ Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x \  @ /ô  Ç s K   H B Ä º # Q

§ >

>  | ¨ c  כ s  .

s

\  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H „  / B N % i † < Æ`  ¦ à ºy © œ   H @ /† < ÆÒ q t[ þ t

`

 ¦ @ / © œÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v r  # Q* ‹ ô

 Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H t  Õ ªo “ ¦ Õ ª " é ¶ “  s  Á º% Á s  9, s  Qô  Ç

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 AK  # Q* ‹ô  Ç ' Ÿ 1 l x[ þ t`  ¦   H t \  ¦ · ú ˜



˜ Г ¦  % i  . s \    É r ½ ¨^ ‰& h “   ƒ  ½ ¨ ë  H ] j  H  6 £ § õ

 ° ú   .

' Í

P :, 2004¸   Ò'  2007¸   t  4¸  ç ß – î{ 9  " é ¶  © œ_  î

 r1 l xï † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f @ /† < ÆÒ q t[ þ t s    “ É r # Q 9¹ ¡ §“ É r Á º

% Á “  ?

Ñ ü

t P :, s  Qô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  “ É r Á º% Á “  ?

!

Ó P :, s  Qô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 AK  † < ÆÒ q t[ þ t s  ‚  

× þ

˜ô  Ç ~ ½ Óî ß –\   H # Q‹ "   כ [ þ t s  e ”   H ?



Å P :, î¾ »‡   % i † < Æïõ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v \ " f

 â

+ « >   H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “   x 9  † < ÆÒ q t[ þ t s  ‚  × þ ˜   H K

™ è~ ½ Óî ß –\   H # Q* ‹ô  Ç s  e ”   H ?

II.  Ò Å{  E Ž ì ŏ Œ

1. ö n ÚP ] K ¡ ø p ©; c" e ] K ¡t  8 ý # a \“ Ô Û

½

¨$ í Å Ò_  › ' a& h \ " f † < Æ_ þ v s ê ø Í † < ÆÒ q t[ þ t s   ’  _  l ” > r > h

¥ Æ

s 
  â + « >\    H   # Œ D h– Ðî  r > h¥ Æ `  ¦ 0 p x1 l x& h Ü ¼– Ð F 

½

¨$ í K   H Ò q tí ß –& h “   õ & ñ s   [17].   " f s  Qô  Ç › ' a

&

h \ " f ^  ¦ M : ½ ¨$ í Å Ò_  † < Æ_ þ v _  Ø  ¦ µ 1 Ï& h “ É r î † < ÆÒ q t\  @ /ô  Ç s  K

ïs   [18]. 7 £ ¤, † < ÆÒ q t_  › ' a d ” õ  < É ª p  Á º% Á “  t , † < Æ_ þ v õ

 › ' aº  K " f † < ÆÒ q ts  s p  · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ õ  — ¸Ø ԍ  H  כ , ¸ ú ˜ 3

l

w · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ “ É r Á º% Á “  t \  @ /ô  Ç s K  — ¸Ž  H “ §Ã º

· † < Æ_ þ v _  [ O >  x 9  z  ´…  ;_  Ø  ¦ µ 1 Ï& h s  ÷ &# Q  ô  Ç . s  Qô  Ç

“

 d ” “ É r s p  Reif [19] Š҂ ½ Óô  Ç îõ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ _  õ † < Æ oï\ 

"

f ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð y © œ› ¸÷ &% 3 ~    Òì  r s  . 7 £ ¤, _  _  „  ë  H$ í _

 Ø  ¦ µ 1 Ïs  ¨ 8 Š  \  @ /ô  Ç & ñ S X ‰ ô  Ç ”  é ß –\  e ”   H  כ % ƒ! 3  Ó ü t o 

“

§¹ ¢ ¤  _  „  ë  H$ í _  Ø  ¦ µ 1 Ï& h “ É r † < ÆÒ q t_  ‰ & ³  © œI \  @ /ô  Ç s  K

\  e ”    H  כ s  . s  Qô  Ç Å Ò © œs  # Œ Q Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤  [ þ t

\

>  / B N y Œ ™`  ¦ Ô  ¦  Q{ 9 Ü ¼v €  " f ² D G ? /ü @_  ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨ [ þ t s 

†

< ÆÒ q t_  ‰ & ³  © œI \  @ /ô  Ç ”  é ß –õ  ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð Ó ü t o † < Æ_ þ v _ 

#

Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ [5–16] ”  ' Ÿ ÷ &# Q M ® o  “ ¦ ^  ¦ à º e ” 



.

Õ

ª1 l x î ß – † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç 6   x # Q[ þ t s   € ª œô  Ç ƒ  ½ ¨



[ þ t \  _  # Œ  6   x¿ ƒ –  . \ V\  ¦ [ þ t€  , > h¥ Æ & h  # Q 9¹ ¡ §, Æ Ò



: r _  # Q 9¹ ¡ §, à º† < Æ& h  # Q 9¹ ¡ § 1 p x _  6   x # Q[ þ t s  Õ ª \ V ÷ &



 H X <, s 5 p x  B [7]  H † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç l ” > r _

 ë  H‰  ³`  ¦ ì  r$ 3  7 á x ½ + Ë # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ o  

% i  .

î † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §ï s ê ø Í, ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à ÌÜ ¼– Ð

½

¨$ í ÷ &  H “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ èü < † < ÆÒ q t ç ß –_   © œ  ñ Œ •6   x _  › ' a > 

\

" f † < ÆÒ q ts  t y Œ •   H ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| à Ì_  ‰ & ³ F

 à ºï  r õ  Õ ª כ [ þ t \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  l @ / à ºï  r ç ß –_ 

s – Ð Ò q t|   îd ” o & h   © œI ïs  .



8Ô  ¦ # Q s 5 p x  B [7]  H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  `  ¦ “  t & h , & ñ _ & h , '

Ÿ 1 l x& h  % ò % i _  [ j t  % ò % i , Õ ªo “ ¦ ? /6   x t d ” , † < ÆÒ q t, “ §



, ¨ î , Ð  o| à Ì_  5t  “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ è– Ð ½ ¨$ í  ) a ì  r À Ód  ¦`  ¦ s  6

 

x # Œ “ ¦„   % i † < Æà º\ O `  ¦ 1 p s  H Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ  @ /† < ÆÒ q tõ  @ /

†

< Æ" é ¶Ò q t[ þ t“ É r @ / Òì  r “  t & h  % ò % i  ×  æ > h¥ Æ s K _  # Q 9¹ ¡ § õ

 à º† < Æ& h  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰ “   % i  . ¢ ¸ô  Ç, † < Æ Ò q

t[ þ t s      H # Q 9¹ ¡ §“ É r Ø Ôu   H “ §Ã º  “  d ”    H † < Æ Ò q

t_  # Q 9¹ ¡ § õ  s  ± ú ˜ à º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ðs “ ¦, “ §Ã º  ×  æ d ”

s      # Q 9¹ ¡ §`  ¦ f ” ] X   â + « >   H † < ÆÒ q t ×  æd ” \ " f # Q 9

¹

¡

§ \  @ /ô  Ç › ¸  ”  ' Ÿ ÷ &# Q  † < Ê`  ¦ y © œ› ¸ % i  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H „  / B N % i † < Æ\ " f  © œ l ‘ : r s  ÷ &  H î{ 9  

"

é

¶  © œ_  î  r1 l xï \  @ /K " f † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª

"

é

¶ “  \   H # Q* ‹ô  Ç  כ [ þ t s  e ”   H t \  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð · ú ˜ ˜ Г ¦



 % i  .  6 £ §“ É r ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ½ ¨^ ‰& h  Ü

¼– Ð · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ  6   x ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  @ /ô  Ç [ O " î s

 .

2. — ¤‡ ˜ m| ºw Š" e ô

 Ç Å Ò\  ¦ é ß –0 A– Ð † < Æ_ þ v ? /6   x`  ¦ & ñ o  “ ¦  ’  _  s K  à º ï

 r`  ¦ & h  Ž  # Œ | 9 ë  H`  ¦  Œ •$ í • ¸2 Ÿ ¤ > hµ 1 Ï  ) a Å Òç ß –˜ Г ¦" f  H

½

¨^ ‰& h Ü ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  “ É r [ j t  | 9 ë  H Ü ¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e ” 



 [20].

(1) ô  Ç Å Ò 1 l x î ß – ? / C î  r  כ “ É r Á º% Á “  , Õ ªo “ ¦ Õ ª כ

`

 ¦ # Qb  G>  C  ° ?  H ?

(2)
\ >  ì  r" î >  z Œ ™ e ” t  · ú §“ É r | 9 ë  H“ É r Á º% Á “  ?

(3) ë ß –€  • ? / “ §Ã º €  ,
_  † < ÆÒ q t[ þ t s  s  > h¥ Æ `  ¦ s  K

Ù þ ¡  H t  · ú ˜ ˜ Ðl  0 AK " f # Q‹ "  | 9 ë  H`  ¦  ’ x  H ?

Å

Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ s 6   x €   l ” > r _  > h¥ Æ  _ …Û ¼à Ôü < ° ú  “ É r ~ ½ Ó Z O

Ü ¼– Ѝ  H µ 1 Ï|  t  3 l w   H † < ÆÒ q t[ þ t s  “  d ”    H  € ª œô  Ç # Q



9¹ ¡ §[ þ t`  ¦ › ¸ ½ + É Ã º e ”   [21]. ¢ ¸ô  Ç, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Å Òç ß –˜ Ð

“

¦" f\  ¦ : Ÿ x K  ô  Ç Å Ò 1 l x î ß – C  ° ?~   ? /6   x \ " f Å Òכ ¹ > h¥ Æ `  ¦ ¹ 1 Ô l

 0 AK  ” ¸§ 4  “ ¦ Å Òכ ¹ > h¥ Æ [ þ t ç ß –_  Ÿ í F ‹ c& h s  9  7 H o & h 

“

  ƒ  › ' a$ í `  ¦ “ ¦   >  ÷ &“ ¦,  8Ô  ¦ # Q  ’  s  # Q 90 >   H Â

Òì  r s 
  € ª œô  Ç > h¥ Æ [ þ t ç ß –_  — ¸  ñô  Ç Â Òì  r`  ¦ × ¼ Q? /“ ¦

“

§Ã º – РÒ'  x × ¼Ñ þ ˜`  ¦ ] j/ B N ~ à Î`  ¦ à º e ”   H l  r• ¸ % 3 > 

 )

a  . ô  Ǽ # , “ §Ã º   H Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ : Ÿ x K  † < ÆÒ q t[ þ t _  š ¸> h

¥ Æ

s 
 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ 7 £ ¤ r  S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” “ ¦ s \  @ /ô  Ç & h ] X ô  Ç x

× ¼Ñ þ ˜õ  a % ~“ É r | 9 ë  H Ò q t$ í „  | Ä Ì`  ¦ t 5 Å q& h Ü ¼– Ð Ã º\ O \   Ö ¸ 6

 

x ½ + É Ã º e ”   [22].

III. Ž ì ŏ Œ Ê ÝX N Ë

1. Ž ì ŏ Œ r œ S c l

‘

: r ƒ  ½ ¨  H 2004¸   Ò'  2007¸   t  " fÖ  ¦ ™ èF  A@ /† < Æ 2 † < Ƹ   õ 3 l q“   „  / B N % i † < Æõ & ñ `  ¦ [ þ t“ É r † < ÆÒ q t[ þ t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð s

À Ò# Q& ’ Ü ¼ 9, s  r l  1 l x î ß – à º\ O “ É r 1 l x{ 9 ô  Ç “ §Ã º\  _ K  Symon Mechanics 3 ó ø Í [23]`  ¦ “ §F – Ð ”  ' Ÿ ÷ &% 3  . ¢ ¸ô  Ç, s

 à º\ O “ É r 1 † < Æl  15Å Ò Õ ªo “ ¦ Å Ò{ © œ 2 r(1 r { © œ 75ì  r) _  Ã

º\ O õ  Å Ò 1 r ƒ  _ þ vë  H ] j Û  ¦ s r ç ß –Ü ¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &% 3  . à º\ O  s

 = å Q è ß – Ê ê B Å Ò 3 l q כ ¹{ 9 \  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ô  Ç Å Òç ß –_  à º\ O  ? / 6

 

x \  @ /ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ ] jØ  ¦ % i  . Å Òç ß –˜ Г ¦" f  H B  Å

Ò C î  r ? /6   x ×  æ Ù þ ˜d ” & h “    Òì  r`  ¦ כ ¹€  • # Œ l 2 Ÿ ¤ • ¸2 Ÿ ¤

  H | 9 ë  H õ  “ §Ã º · † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f µ 1 ÏÒ q tô  Ç _ ë  H& h [ þ t`  ¦ l  Õ

ü

t >    H | 9 ë  H`  ¦ Ÿ í† < Ê % i  . { Œ ™{ © œ “ §Ã º  H † < ÆÒ q t[ þ t s  ]

jØ  ¦ ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f ? /_  | 9 ë  H(<  ʓ É r # Q 9¹ ¡ §)[ þ t \  @ / # Œ Ã

º\ O  ×  æ \  x × ¼Ñ þ ˜`  ¦ % i  . 2007¸   Ò'   H x × ¼Ñ þ ˜\  @ / ô

 Ç ´ òõ \  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ † < ÆÒ q t[ þ t \ >  î# Q 9¹ ¡ § _  & ñ • ¸



  o
 D h– Ð µ 1 ÏÒ q tô  Ç # Q 9¹ ¡ §ï`  ¦
 ? /• ¸2 Ÿ ¤ % i  .

2. Ž ì ŏ Œ 4 ~ ¿

2004¸   Ò'  2007¸   t  " fÖ  ¦ ™ èF  A@ /† < Æ_  2† < Ƹ   † < Æ Ò q

t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð > h[ O  ) a „  / B N % i † < Æ Ã º\ O `  ¦ à ºy © œô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s

 B Å Ò y © œ_ r ç ß – Ê ê  Œ •$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f ×  æ î2  © œ. { 9  " é ¶



© œ_  { 9  _  î  r1 l xï \  @ /K " f  Œ •$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ Å Ò] j

\

 ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ì  r$ 3  % i  . ¢ ¸ô  Ç, y Œ • Å Ò] jZ >  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   õ

 Õ ª # Q 9¹ ¡ § _  K ™ è~ ½ Óî ß –\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  _ | `  ¦ ì  r$ 3 

% i  . Õ ªo “ ¦ s  Qô  Ç ì  r$ 3   õ   H î1  © œ. ¾ »‡  _  î  r1 l xZ O  g Ë

:ï\  › ' a ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § õ  q “ § · ì  r$ 3 † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ¿ º > h _

  © œ\ " f † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ § _  s \  ¦ µ 1 ß) €˜ Ð

“

¦  % i  .

2004¸  • ¸ ƒ  ½ ¨\ " f  H 0 A\ " f ƒ  / å L ô  Ç Etikna [20]\  _  K

 > hµ 1 Ï  ) a [ j t  | 9 ë  H Ü ¼– Ð ½ ¨$ í  ) a Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ Õ ª@ /

–

Ð s 6   x % i  . Õ ª Q
 K \  ¦  [ þ v €  " f Å Òç ß –˜ Г ¦" f\ 

€



•ç ß –_  à º& ñ `  ¦  >  ÷ &% 3  . \ V\  ¦ [ þ t # Q, ô  Ç Å Ò 1 l x î ß – C  î

 r ? /6   x`  ¦ ¶ n s  H ë  H † ½ ӓ É r D h\  v >  C î  r ? /6   x`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð Õ ª o

“ ¦ Õ ª כ `  ¦ † < Æ_ þ v ô  Ç ~ ½ ÓZ O  t  7 á §  8 ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð | 9 ë  H 

%

i  . ¢ ¸ô  Ç † < ÆÒ q ts  † < Æ_ þ v ô  Ç Ê ê\ • ¸ z Œ ™ e ”   H # Q 9¹ ¡ § \  › ' a K

 ˜ Ð  ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ Etikna [20] ] jî ß – Ù þ

¡~   u, v   ë  H † ½ Ó\  @ /K " f  H î # Q 9¹ ¡ §ï _  & ñ _ \  ¦ ž Ð@ /

–

Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  † < Æ_ þ v r  t y Œ •ô  Ç ½ ¨^ ‰& h “   # Q 9¹ ¡ § _  ? /6   x õ  Õ

ª " é ¶ “  `  ¦  Œ •$ í • ¸2 Ÿ ¤ % i  . Õ ªo “ ¦ 2007¸   1† < Æl  Å Ò ç

ß –˜ Г ¦" f  H † < ÆÒ q ts  Õ ª # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ èr v l  0 AK  ‚  × þ ˜ ô

 Ç ~ ½ Óî ß –õ  Õ ª # Q 9¹ ¡ § s  \ O  
 t 5 Å q ÷ &% 3   H t \  ¦ Æ Ò& h  Ü

¼– Ð | 9 ë  H % i  .

1) # Q 9¹ ¡ § ì  r$ 3 

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r à º\ O r ç ß –s 
 > h“   † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f  â + « >ô  Ç # Q



9¹ ¡ §( ¢ ¸  H † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f µ 1 ÏÒ q tô  Ç _ ë  H  † ½ Ó)`  ¦ : £ ¤Z > ô  Ç + þ A d ”

\ O s   Ä »\  v >  l 2 Ÿ ¤ % i  . €  $  † < ÆÒ q t[ þ t _  6 £ x ² ú š`  ¦ X <

s

'  Z …s Û ¼ o % i “ ¦, s \  ¦ q 5 p w ô  Ç ? /6   x z o  Ó ü  “ ¦ † ½ Ó3 l q



o % i  . s  M : ƒ  _ þ v r ç ß –\  µ 1 ÏÒ q tô  Ç # Q 9¹ ¡ § õ  ½ ¨^ ‰& h Ü ¼

–

Ð ³ ð‰ & ³÷ &t  · ú §  ì  r À Ó E B ô  Ç # Q 9¹ ¡ §, Õ ªo “ ¦ Ó ü t o 

?

/6   x s ü @_  # Q 9¹ ¡ §“ É r ì  r À Ó # 3 0 A\ " f ] jü @r (   . þ j   H 4¸  ç ß – † < ÆÒ q t[ þ t s  z  ´] j à º\ O \ " f  â + « >ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r À Ó  l

 0 A # Œ à º\ O  “ §F  3 l q ü < { Œ ™{ © œ “ §Ã º_  y © œ_  Å Ò] j, Õ ª o

“ ¦ † < ÆÒ q t[ þ t s  ”  Õ ü t ô  Ç # Q 9¹ ¡ § ? /6   x`  ¦ † < Êa  q “ §   H  כ s

 0 p x • ¸2 Ÿ ¤ ë ß –Ž  H ì  r À Ód  ¦`  ¦ > hµ 1 Ï # Œ  6   x % i  [Â Ò 2

Ÿ

¤ _  ì  r À Ód  ¦ ‚ à Л ¸].

s

 ì  r À Ód  ¦“ É r y Œ • é ß –" é ¶ _  ™ èÅ Ò] j_  ] j3 l q, % i † < Æ { Œ ™{ © œ “ § Ã

º_  y © œ_  >  S \ ‰ î ß –\  e ”   H y © œ_  Å Ò] j, y © œ_ \  ¦ [ þ t“ É r † < ÆÒ q ts 



Œ

•$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" f\ 
 è ß – # Q 9¹ ¡ § _  ? /6   x ×  æ \ " f y © œ _

 Å Ò] jü < › ' aº   ) a Ù þ ˜d ”  > h¥ Æ `  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð % i Ü ¼ 9 s  ì  r À

Ód  ¦ \  _ K  Å Òç ß –˜ Г ¦" f\ 
 è ß – † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ y © œ _

 Å Ò] jZ > – Ð ì  r À Ó % i  [ Ò2 Ÿ ¤ _  ì  r À Ód  ¦ ‚ à Л ¸]. Õ ªo “ ¦ y © œ _

 Å Ò] jZ > – Ð ì  r À Óô  Ç † < ÆÒ q t # Q 9¹ ¡ § _  : £ ¤f ç `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ðl  0 A K

 # Q 9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º\  ¦ í ß –Ø  ¦ % i  . # Œl " f ‘  • ¸Ã º  H † < Æ Ò q

t[ þ t s  Å Òç ß –˜ Г ¦" f\ " f # Q§ >  (<  ʓ É r ¸ ú ˜ — ¸Ø Ô ’ x  1 p x) “ ¦

ƒ

 / å L ô  Ç S   à º\  ¦ _ p ô  Ç .

2) # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   ì  r$ 3 

2004¸   Ò'  2005¸   t  Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  l 2 Ÿ ¤ ) a † < ÆÒ q t6 £ x

² ú

š ? /6   x õ  2006¸   1† < Æl  Å Òç ß –˜ Г ¦" f\  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  \ 

@

/ô  Ç † < ÆÒ q t ”  Õ ü t`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H " é ¶

“

 `  ¦  6 £ § _  4t  Ä »+ þ AÜ ¼– Ð ì  r À Ó½ + É Ã º e ” % 3  .

(a) l ” > r \  · ú ˜“ ¦ e ” ~   ? /6   x õ  D h– Ð C î  r ? /6   x ç ß –_  Ô  ¦{ 9  u

(l ” > r \  · ú ˜“ ¦ e ” ~    כ õ  D h– Ð C î  r  כ _  @ /w n ) (b) † < Æ_ þ v   · ú ˜“ ¦ e ”   H ? /6   x ç ß –\ , <  ʓ É r · ú ˜“ ¦ e ” ~   ? /

6  

x õ  D h– Ð C î  r ? /6   x ç ß –\  ƒ    `  ¦ t  3 l w † < Ê (c) õ  \  „  ) € C Ä ºt  3 l wÙ þ ¡ 
 à º\ O  ? /6   x \  @ /K  „  

)

€ ~ à Î [ þ t s t  3 l w † < Ê(± ú ž[ O 6 £ § s  Šҍ  H ¿ º 9¹ ¡ §) (d) l  

2006¸   2† < Æl  Ò'  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Å Òç ß –˜ Г ¦" f\   ’  s  Ò q t y

Œ

•   H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  `  ¦  Ä »\  v >  æ ¼“ ¦, 4t _  # Q 9¹ ¡ §

"

é

¶ “   Ä »+ þ A ×  æ \  
 s  © œ`  ¦ ‚  × þ ˜K " f
 ? /% 3  . † < ÆÒ q t [

þ

t s  ‚  × þ ˜ô  Ç # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   Ä »+ þ A S   à º\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð y Œ • Ä » + þ

A_  Ñ þ ˜ì  rÖ  ¦( y Œ • " é ¶ “   Ä »+ þ A S   à º/„  ^ ‰ " é ¶ “   Ä »+ þ A S   à º)`  ¦ í

ß –Ø  ¦ % i  . s  כ Ü ¼– Ð î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s 

 â

+ « >   H # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “  _  : £ ¤f ç `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç, B K 

#

Q 9¹ ¡ § s 
 
  H y © œ_  Å Ò] j\  @ /K  † < ÆÒ q t[ þ t s  ó ø Íé ß – 



 H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  `  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ .

3) † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è “ ¦  ‚  × þ ˜   H K   

~

½ Óî ß – ì  r$ 3 

‘

: r ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r l ” > r _  4¸  # Œ 1 l x î ß – à º| 9  ) a Å Òç ß –˜ Г ¦" f



« Ñ\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð î† < ÆÒ q t[ þ t s   ’  _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K      H

~

½ Óî ß –ï\  › ' a # Œ  6 £ § õ  ° ú  s  ì  r À Ó % i  .

(A) # Œ Q t  › ' aº   " f& h `  ¦ { 9 “ ¦ q “ §K  9

(B) # Œ Q  | à Ð[ þ t õ _   7 H _  õ & ñ

(C) > h“  & h “    “ ¦õ & ñ `  ¦ : Ÿ x # Œ (D) ´ ú §“ É r ë  H ] j\  ¦ Û  ¦€  " f

(E) { 9 é ß – à º6   x/ € Œ ™l  €  " f (F) l  (½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð)

2007¸   1† < Æl  Ò'  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Å Òç ß –˜ Г ¦" f\   ’  s  # Q



9¹ ¡ §`  ¦ K      H ~ ½ ÓZ O `  ¦ 0 A_  6t _  K    ~ ½ ÓZ O  ×  æ \ 


 s  © œ`  ¦ ‚  × þ ˜ “ ¦ Õ ª s Ä »\  ¦ [ O " î % i  . † < ÆÒ q t[ þ t s  K

   ~ ½ ÓZ O  Ä »+ þ A\  @ /K  6 £ x ² ú šô  Ç S   à º(‘  • ¸Ã º)\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð y

Œ

• Ä »+ þ A_  Ñ þ ˜ì  rÖ  ¦( y Œ • K    ~ ½ ÓZ O  S   à º/„  ^ ‰ K    ~ ½ ÓZ O  S   Ã

º)`  ¦ í ß –Ø  ¦ % i  . s  כ Ü ¼– Ð î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f † < Æ Ò q

t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è½ + É M :  6   x   H ~ ½ Óî ß –[ þ t _  Ä »+ þ Aõ  Õ

ª : £ ¤f ç `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç, B K  # Q 9¹ ¡ § s 
 
  H y © œ _

 Å Ò] j\  @ /K " f  H † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § K ™ è~ ½ Óî ß –[ þ t`  ¦ ½ ¨

^

‰& h Ü ¼– Ð ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ .

IV. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý

1. î ø m Ç Ì ¦ R V ê s8 ý Æ U ؎ Ò Þï ] K ¡ ø p ©; c" e 6 ] K ¡t  ô p §T  + s Ò À W ¥

#

a \“ Ô Û(2004T   Å-2007T   Å)

Figure 1“ É r î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f
 è ß – † < ÆÒ q t[ þ t _ 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ y © œ_  Å Ò] jZ > – Ð q “ §ô  Ç  כ s  . î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r 1

l

xï † < Æ_ þ v r  † < ÆÒ q t[ þ t s  ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð # Q‹ "  ë  H ] j <  ʓ É r % ò % i 

\

" f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H t  · ú ˜ ˜ Ðl  0 AK  y Œ •  © œ_  Å Ò] jZ >  # Q



9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º\  ¦ ƒ  • ¸Z > – Ð ì  r$ 3  % i  .

î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f  H 8 ú x 18 > h_  y © œ_  Å Ò] j e ” 

% 3

  H X <, 11> h_  Å Ò] j\ " f # Q 9¹ ¡ § s 
 z Œ ¤ . s  ×  æ \ " f ô

 Ç   • ¸  f ” \ O s  # Q 9¹ ¡ § s 
 è ß – Å Ò] j  H 8 ú x 9 > h– Ð   6

£

§ õ  ° ú   .

· î  r1 l x | ¾ Ó/\  -t  & ñ o 

· _ …{ 9  Q/ å L à º

· p & h ì  r

· ˜ Ðà Ô ë  H ] j

· ˜ Д > r§ 4 õ  Ÿ íJ $ ™[ >  \  -t 

· z Œ •  Ó ü t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q • ¸

· é ß –í  H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  ³ ð‰ & ³)

· é ß –í  H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s  ~ ½ ÓZ O )

Fig. 1. Comparison for yearly frequency of student dif- ficulty in learning motion of particle in one dimension (’04-’07).

· y Œ ™û Z ”  1 l x 0

A 9> h_  Å Ò] j ×  æ \ " f î˜ Ð” > r§ 4 õ  Ÿ íJ $ ™[ >  \  -t ï, îz Œ •

 Ó ü t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q • ¸ï, îé ß –í  H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s

 ~ ½ ÓZ O )ï, Õ ªo “ ¦ îy Œ ™û Z ”  1 l xï“ É r   É r Å Ò] j\  q K  # Q 9

¹

¡

§ _  ‘  • ¸Ã º ƒ  • ¸ü < Á º › ' a >  Z  } > 
 z Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç, î z

Œ

•  Ó ü t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q • ¸ïü < îé ß –í  H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û

 ¦ s  ~ ½ ÓZ O )ï“ É r # Q 9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º  H ƒ  • ¸ t ± ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ › ¸F K m ”

 7 £ x  % i 6 £ §`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” % 3  . ì ø ̀  , î˜ Ð” > r§ 4 õ  Ÿ í J $

™[ >  \  -t ï, îy Œ ™û Z ”  1 l xï“ É r þ j   H Ü ¼– Ð ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ # Q 9¹ ¡ § _ 

‘

 • ¸Ã º / å L y Œ ™Ù þ ¡ . ô  Ǽ # , îÉ Òo \  / å L à ºïü < îy © œ] j ”  1 l xï

“ É

r B K  # Q 9¹ ¡ § s 
 
t  · ú §€ Œ ¤t ë ß –, # Q 9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º



 H Z  } € Œ ¤ . s  e ”  €  , îÉ Òo \  / å L à ºï 2007¸  \  # Q



9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º / å L7 £ x ô  Ç X < q K , îy © œ] j ”  1 l xï“ É r 2007¸  

\

 # Q 9¹ ¡ § s  „  ) €
 
t  · ú §€ Œ ¤   H & h s  .

2. # a \“ Ô Û8 ý Ì ¦ Rß Ã Å Ä Z ØV Ä + s ÇÊ Ý

†

< ÆÒ q t[ þ t s  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v r      H # Q 9¹ ¡ § _ 

"

é

¶ “  `  ¦ ì  r$ 3 ô  Ç   õ   H Fig. 2 ü < ° ú   .

î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼z   H Å

Ò  ) a " é ¶ “  “ É r î % ƒ6 £ § ] X    H ? /6   x(c) \ " f š ¸  H ± ú ž[ O 6 £ § ï(39%) Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . s   H î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f îp  ì

 r ~ ½ Ó& ñ d ” ïs  ´ ú §“ É r  Òì  r`  ¦ t  “ ¦ e ” t ë ß –, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r

Fig. 2. The sources of student difficulty.

Fig. 3. The sources of student difficulty according to topics.

p

ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /ô  Ç ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v s  s À Ò# Q4 R e ” t  · ú § 
,

‚

 ' Ÿ  † < Æ_ þ v`  ¦ ô  Ç † < ÆÒ q t_   â Ä º • ¸ l % 3  t  3 l w l  M :ë  H

“

   כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç, ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v`  ¦ % i  8 • ¸ \ V

„

 \  C  ° ?~   p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  ? /6   x s  % i † < Æ\ " f # Qb  G>  & h  6

 

x| ¨ c t \  @ /ô  Ç î ß –? /\  ¦ ~ à Ît  3 l w “ ¦, { © œr  é ß –t  à º† < Æ& h “  

?

/6   x Ü ¼– Ð" fë ß – † < Æ_ þ v`  ¦ # Œ ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v õ  ‰ & ³ † < Æ_ þ v õ _  ƒ  

 

“ ¦o  ¸ ú ˜ ë “ B# Qt t  · ú §€ Œ ¤l  M :ë  H“    כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .

î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ § \  % ò

†

¾ Ó`  ¦ Šҍ  H " é ¶ “  Ü ¼– Ð l  (" é ¶ “   Ä »+ þ A d), · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ õ  C

î  r  כ ç ß –_  ƒ    `  ¦ f ± t  3 l w † < Ê(" é ¶ “   Ä »+ þ A b), · ú ˜“ ¦ e ” 



 H  כ õ  C î  r  כ õ _  Ô  ¦{ 9 u (" é ¶ “   Ä »+ þ A a) í  H Ü ¼– Ð
  z

Œ

¤t ë ß –, Õ ª s   H ß ¼t  · ú §€ Œ ¤ . Fig. 3“ É r B K  # Q 9¹ ¡ § s 

 è ß – y © œ_  Å Ò] j
 B K  # Q 9¹ ¡ § s 
 
t   H · ú §€ Œ ¤t  ë

ß – 2007¸  • ¸\  [ þ t # Q" f # Q 9¹ ¡ § _  ‘  • ¸Ã º / å L7 £ x ô  Ç y © œ_  Å

Ò] j(É Òo \  / å L à º)_  # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   Ä »+ þ A`  ¦ ‘  • ¸Ã º\  ¦ : Ÿ x K  q

“ §ô  Ç  כ s  .

„

 ^ ‰& h Ü ¼– Ð ˜ Ѐ   î† < Æ_ þ v ? /6   x`  ¦ % ƒ6 £ § ] X † < ÊÜ ¼– Ð “  ô  Ç ± ú ž [ O

6 £ §(" é ¶ “   Ä »+ þ A c)ïs  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f # Q 9¹ ¡ § _ 

"

é

¶ “  Ü ¼– Ð Õ ª ‘  • ¸Ã º  © œ Z  } > 
 z Œ ¤t ë ß –, — ¸Ž  H y © œ_  Å

Ò] j\  @ /ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð  Œ •6   x t   H · ú §€ Œ ¤ . îÉ Ò o

\  / å L à ºï\ " f_  # Q 9¹ ¡ §“ É r " é ¶ “   Ä »+ þ A c\  K { © œ   H " é ¶

“

 _  % ò † ¾ Ós   © œ  H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . Õ ª ½ ¨^ ‰& h “   ? /6   x

`

 ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r É Òo \  / å L à º_  & ñ _ – РÒ'  d ” `  ¦

„

 > hK 
  H õ & ñ Õ ªo “ ¦ & h 6   x — ¸¿ º\  ¦ ± ú ž[ O # Q % i  .



 É r Å Ò] j[ þ t \  q K  s  Å Ò] j\  @ / # Œ † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §

`

 ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ t  · ú §€ Œ ¤  H X <, s   H Å Ò] j\  @ /ô  Ç ± ú ž [ O

6 £ § _  & ñ • ¸ ß ¼l  M :ë  H“    כ Ü ¼– Ð ì  r$ 3 ÷ &% 3  . s ü @\ 

•

¸ # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð   É r Å Ò] j\ " f ˜ Ð  à º\ O r ç ß –\  [ O

" î `  ¦ ¸ ú ˜ 1 p s t  · ú § " f <  ʓ É r a % ¦  " f 1 p x _  s Ä »\  ¦ ƒ  / å L 

% i  .

î é ß –í  H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  Û  ¦ s )ï“ É r î É Òo \  / å L à º ï  6 £ § Ü ¼– Ð s  " é ¶ “  _  % ò † ¾ Ós  ß ¼> 
 è ß – Å Ò] j% i  . 7 £ ¤,

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r s „   † < Ƹ  \ " f p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /K  C î  r  â + « >

s

 \ O  
 C  ° ? 8 • ¸ ç  H @ / 1 p x _  s Ä »– Ð l % 3 s 
t  · ú §



 p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s  õ & ñ `  ¦ # Q§ > >  Ö ¼z “ ¦ e ” % 3  . Õ ª o

“ ¦ 4 Ÿ ¤ ™ èà º\  @ /ô  Ç > h¥ Æ • ¸ s p  † < Æ_ þ v ô  Ç  â + « >s  e ” l   H

t ë ß – p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  Û  ¦ s õ & ñ \ " f
 
  H 4 Ÿ ¤ ™ èà º\ 

@

/K " f ± ú ž[ O >  Ö ¼,  “ ¦, s  כ s  † < Æ_ þ v \  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼

–

Ð  Œ •6   x   H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ .

î · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ (| “ ¦ t  · ú §“ É r > h¥ Æ , Û  æ Â Ò t  · ú §“ É r t  d ”

 ½ ¨› ¸)õ  D h– Ð C î  r  כ õ _  ƒ     0 p x§ 4   Ò7 á ¤(" é ¶ “   Ä »+ þ A b)ï“ É r — ¸Ž  H y © œ_  Å Ò] j\  @ /ô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  / B N: Ÿ x ) a " é ¶ “  Ü ¼– Ð

 z Œ ¤ . Õ ª ×  æ # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “   Ä »+ þ A aü < b ™ D ¥ F ÷ &# Q

 è ß – îz Œ •  Ó ü t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q • ¸ï   É r Å Ò] j[ þ t \  q K  s

 " é ¶ “   Ä »+ þ AÜ ¼– Ð “  ô  Ç # Q 9¹ ¡ § s   © œ  H  כ Ü ¼– Ð × ¼ Qz Œ ¤



. \ V\  ¦ [ þ t€  , j Ë µ_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  ì ø Í@ /“   ¿ º j Ë µ`  ¦ ³ ð‰ & ³½ + É M :  H

"

f– Ð   É r  Ҡ ñ– Ð
  · p   H † < ÆÒ q t_  t d ” \   H š ¸À Ó

\ O

% 3  . Õ ª Q
 ý a³ ð» ¡ ¤ _     oü < " f– Ð   É r ~ ½ ӆ ¾ Ó_  j Ë µ`  ¦

³

ð‰ & ³   H  כ `  ¦ ƒ    t # Q Ò q ty Œ • t  3 l wÙ þ ¡l \  “ §F \  ³ ð

‰

&

³ ) a î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s K    H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ” % 3  .

¢

¸ô  Ç, ý a³ ð» ¡ ¤ _     oü < " f– Ð   É r ~ ½ ӆ ¾ Ó_  j Ë µ“ É r ì ø Í@ / Â Ò  

ñ– Ð ³ ð‰ & ³   H  כ `  ¦ ƒ    t # Q Ò q ty Œ • t  3 l w K  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r

° ú

 “ É r  Ҡ ñ_  j Ë µ“ É r j Ë µ_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  ° ú  “ É r  כ Ü ¼– Ð s K  “ ¦ e ” 

%

3  . ô  Ǽ # , 6 £ § _  Û ¼º ú ˜ ü < 7 ˜' \  ¦ ½ ¨Z >  t  3 l w   H  כ

•

¸ î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ s K    H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H " é ¶ “  Ü ¼– Ð

 z Œ ¤ .

î · ú ˜“ ¦ e ”   H ? /6   x õ  D h– Ð C î  r ? /6   x ç ß –_  Ô  ¦{ 9 u ï # Q



9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð
 è ß – y © œ_  Å Ò] j  H î É Òo \  / å L à ºï, îé ß – í

 H › ¸ o ”  1 l x( p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  Û  ¦ s  õ & ñ )ï, Õ ªo “ ¦ îz Œ •  Ó

ü

t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q • ¸ï% i  . s  ×  æ \ " f îz Œ •  Ó ü t ^ ‰_  7 á x é ß – 5 Å q

•

¸ï\ " f Ô  ¦{ 9 u – Ð “  ô  Ç # Q 9¹ ¡ § s  ˜ Ð  ´ ú §“ É r  כ Ü ¼– Ð
  z

Œ

¤ .

Table 1. Comparison of student difficulty in Newtonian mechanics and motion of particle in one dimension.

Newtonian mechanics Motion of particle in one dimension Similarity · There have been common topics that student recognized their difficulties every year(from 2004 to 2007).

Difference

· The major student difficulty is related with

fundamental physics concepts. · The major student difficulty is related with mathematics.

· Students have previous experiences related · Students are unfamiliar with lecture topics with lecture topics.

Fig. 4. Comparison of the types of methods that students selected for addressing their difficulties.

3. ] K ¡t  ô p §T   Ò Åy œ ” X ¢ # a \“ Ô Û A 0} ºU ê sŽ ˜ m Ä Z ØV Ä

2007¸  • ¸ 1† < Æl  % i † < Æà º\ O `  ¦ à ºy © œô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s   Œ •$ í ô  Ç Å

Òç ß –˜ Г ¦" f\  ¦ ž Ð@ /– Ð î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v õ & ñ \ " f µ

1 ÏÒ q t   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 AK  † < ÆÒ q t[ þ t s   6   x ô  Ç ~ ½ Ó î

ß –\  @ /ô  Ç ì  r$ 3   õ   H Fig. 4 ü < ° ú   .

s

   õ \  ¦ ˜ Ѐ   † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K    l  0 AK    6

 

x ô  Ç ~ ½ Óî ß –“ É r   É r  | à Ðõ _   7 H _  (24%), { 9 é ß – à º6   x/ € Œ ™ l

(22%), # Œ Q t  › ' aº   " f& h `  ¦ { 9 “ ¦ q “ §K  9(22%),

>

h“  & h “    “ ¦õ & ñ (19%)í  H Ü ¼– Ð Z  } > 
 z Œ ¤ . # Q 9¹ ¡ § _

 " é ¶ “  Z >  † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 9¹ ¡ § K ™ è\  ¦ 0 AK  ‚  × þ ˜ô  Ç ~ ½ Óî ß –`  ¦

· ú

˜ ‘ : r   õ  Fig. 5s  .

%

ƒ6 £ § ] X    H ? /6   x \  @ /ô  Ç ± ú ž[ O 6 £ § s  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  (" é ¶

“

  Ä »+ þ A c){ 9  M :, ŠҖ Ð   É r  | à Ð[ þ t õ   7 H _ (B)\  ¦  

 ? /6   x`  ¦ € Œ ™l  ¢ ¸  H à º6   x(E) † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K    

“

¦  % i  .  © œ@ /& h Ü ¼– Ð & h “ É r ‘  • ¸Ã ºs t ë ß – › ' aº   " f& h 

`

 ¦ { 9 # Q ˜ Ð 
 Û ¼Û ¼– Ð Ò q ty Œ •`  ¦ : Ÿ x K " f " é ¶ “   Ä »+ þ A c\  @ / ô

 Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K      H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . l  (" é ¶ “   Ä »+ þ A d) \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t 6 £ x ² ú š_  41%  H C î  r  â + « >s  e ” t ë ß – l % 3  s


t  · ú § 
 % ƒ6 £ § C Ä º  H ? /6   x s l  M :ë  H \  # Q 9î  r  כ Ü

¼– Ð
 z Œ ¤ . s   H " é ¶ “   Ä »+ þ A c\  Ÿ í† < Ê| ¨ c à º e ”   H ? /6   x s

  ó ø Íé ß –  ) a  . ¢ ¸ô  Ç, s  6 £ x ² ú š\ " f ´ ú ˜ô  Ç K   ~ ½ ÓZ O “ É r Å Ò

–

Ð y © œ_  ? /6   x`  ¦ à º6   x  
 ü @Ä º  H ~ ½ ÓZ O s   6   x ) a  כ Ü ¼

–

Ð
 
, " é ¶ “   Ä »+ þ A c_  K   ~ ½ ÓZ O _  : £ ¤$ í õ  Ä »  > 

 z Œ ™`  ¦ ^  ¦ à º e ”  . ¿ º ? /6   x ç ß –_  ƒ    `  ¦ f ± t  3 l w   H

Fig. 5. The relationship between the sources of difficul- ties and the types of methods for addressing difficulties.

 כ

(" é ¶ “   Ä »+ þ A b)s  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð  Œ •6   x   H  â Ä º, › ' a º

  " f& h `  ¦ ¹ 1 Ô ˜ Ð 
(A) Û ¼Û ¼– Ð_  Ò q ty Œ •(C)`  ¦ : Ÿ x K  # Q



9¹ ¡ §`  ¦ K    “ ¦  % i  .  ’  s  · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ õ  D h– Ð C

î  r  כ ç ß –\  Ô  ¦{ 9 u (" é ¶ “   Ä »+ þ A a) # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  { 9  M

:, 1 l x « Ñ_  • ¸¹ ¡ §`  ¦ ~ à Î  K     9“ ¦ % i  . s % ƒ! 3  î { 9

 " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  \     † < ÆÒ q t[ þ t s 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 AK   6   x   H Å Ò  ) a K ™ è~ ½ Óî ß –\   s

 e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

4. î  ¥ ¹ Å W Ä] K ¡ïÊ Ý îø m Ç Ì ¦ R V ê s8 ý Æ U ؎ Ò Þï; c" e ] K ¡t  ô p §T  ß O

Ë] M ö À W ¥ # a \“ Ô ÛÊ Ý § Ž Ì ¦ Rß Ã Å R w ‹

1) # Q 9¹ ¡ § q “ §

†

< ÆÒ q t[ þ t s  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï`  ¦ † < Æ_ þ v ½ + É M :   % 3 ~   # Q



9¹ ¡ §`  ¦ „  ð ø Í Bü < s  â   ñ [5] Symon 3ó ø Í [23] 1 © œ“   î¾ »

‡

  % i † < Æï † < Æ_ þ v r  † < ÆÒ q t[ þ t s    “ É r # Q 9¹ ¡ § õ  Õ ª " é ¶ “  `  ¦ ì  r

$

3 ô  Ç ? /6   x`  ¦ q “ §ô  Ç   õ \  ¦ Table 1 \  ] jr  % i  .

Ä

º‚   K      É r † < ÆÒ q t[ þ t s   Œ •$ í ô  Ç Å Òç ß –˜ Г ¦" fe ” \ • ¸ Ô

 ¦ ½ ¨ “ ¦ / B N: Ÿ x ) a y © œ_  Å Ò] j\ " f q 5 p w ô  Ç # Q 9¹ ¡ § s 
 

  H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . î¾ »‡   % i † < Æïõ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l x ï \ " f B K  ì ø Í4 Ÿ ¤& h Ü ¼– Ð # Q 9¹ ¡ § s 
 
  H y © œ_  Å Ò] j  H î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï s  9> h– Ð î¾ »‡   % i † < Æï 4> h˜ Ð  ´ ú § .

¢

¸ô  Ç, # Q 9¹ ¡ § _  † ½ Ó3 l q • ¸ î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f  8 ´ ú §s 

 z Œ ¤ . s  Qô  Ç s   H † < ÆÒ q t[ þ t s  2 © œ({ 9  " é ¶  © œ_  î  r 1

l x)`  ¦ C Ä ºl  r  Œ • €  " f ] X    H p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s  Ò q t

™

è >  “  d ” ÷ &  H  â Ä º ´ ú §€ Œ ¤“ ¦, p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  Û  ¦ s  õ & ñ _

 [ j Ò& h “   ? /6   x`  ¦ s K  t  3 l w   H X <" f µ 1 ÏÒ q tô  Ç   õ 

–

Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ”  .

ô

 Ǽ # , † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ §“ É r @ / Òì  r s  ‘ : r † < Æ_ þ v

`

 ¦ 0 AK   „  \  † < Æ_ þ v ÷ &# Q    H ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v s  Ø  æì  r y  s  K

 ÷ &t  · ú §“ É r   õ – Ð “  ô  Ç  כ e ” `  ¦ s  ì  r$ 3 `  ¦ : Ÿ x K  S X ‰ “  

½

+ É Ã º e ” % 3  . î¾ »‡   % i † < Æïõ  ° ú  “ É r y © œ_  Å Ò] j  H † < ÆÒ q t[ þ t s 

\

V„  \  † < Æ_ þ v ô  Ç  â + « >s  ´ ú §s  e ” 6 £ § \ • ¸ l œ í > h¥ Æ `  ¦ s K 

“ ¦ & h 6   x   H X <  © œ{ © œô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤



. î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f  H y © œ_ _  ´ ú §“ É r  Òì  r s  p ì  r

~

½ Ó& ñ d ” õ  › ' aº   ) a  כ s t ë ß –, s  y © œ_ \  ¦ 1 p s  H † < ÆÒ q t @ / Òì  r s

 p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  à º\ O `  ¦ 1 p s  H ×  æ s  
  f ”  1 p s t  3 l w ô  Ç  © œ I

% i  . s – Ð “  K  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” _  ³ ð‰ & ³õ  Û  ¦ s 

\

 @ /ô  Ç l œ í& h s “ ¦ [ j Ò& h “    כ \  @ /ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ´ ú §s 

 â

+ « >ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ˜ Г   . ¢ ¸ô  Ç, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç Ã ºd ” Ü ¼– Ð

³

ðr ÷ &“ ¦ „  > h÷ &  H ? /6   x`  ¦ Ó ü t o & h Ü ¼– Ð K $ 3    H X < # Q



9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ” % 3  . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð î¾ »‡   % i † < Æï\ " f  H | 9 

|

¾ Ó, ý a³ ð> , j Ë µ 1 p x õ  ° ú  “ É r > h¥ Æ `  ¦ s K    H X < # Q 9¹ ¡ § s 

´ ú

§s 
 z Œ ¤ . î¾ »‡   % i † < Æï_  & h 6   x \ 
 è ß – # Q 9¹ ¡ §[ þ t

•

¸ s  Qô  Ç l œ í > h¥ Æ \  @ /ô  Ç s K _   Ò7 á ¤ õ  › ' aº  s  e ”   H

 כ

Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  . ô  Ǽ # , î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f  H à ºd ”  _

 „  > hõ & ñ s 
 à ºd ” _  Ó ü t o & h  _ p \  ¦ s K    H X < # Q



9¹ ¡ § s  ´ ú §s 
 z Œ ¤ . s ü @\ • ¸ † < ÆÒ q t[ þ t“ É r à ºd ” \   6   x

 )

a l   ñ
 6   x # Q_  _ p \  ¦ s K   
 ½ ¨Z >    H X <\ " f

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰ “   % i  .

2) # Q 9¹ ¡ § " é ¶ “   q “ §

î ¾ »‡   % i † < Æïõ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v r  † < ÆÒ q t[ þ t s    



 H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  _  : £ ¤f ç `  ¦ q “ §ô  Ç   õ  Fig. 6õ  ° ú  



.

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r s  Qô  Ç # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  \  @ / # Œ î¾ »‡   % i † < Æï

\

" f  H ŠҖ Ð  ’  s  · ú ˜“ ¦ e ” ~    כ õ  C î  r  כ s  { 9 u  t 

· ú

§ 
 ƒ    f ± t  3 l w l  M :ë  H s  “ ¦ % i  . î{ 9  " é ¶  © œ

Fig. 6. Comparison of sources of student difficulty in Newtonian mechanics and motion of particle in one di- mension.

_

 î  r1 l xï \ " f  H y © œ_  ? /6   x s  % ƒ6 £ § ] X   
 õ  \  C  ° ? t

ë ß – ‰ & ³F  l % 3 s 
t  · ú § " f Ö ¼ t   H ± ú ž[ O 6 £ § s  # Q 9

¹

¡

§`  ¦     H Å Ò  ) a " é ¶ “  Ü ¼– Ð
 ? /% 3  . s   H î ¾ »‡   % i † < Æï

“

É r î| 9 | ¾ Óï, îj Ë µï, îî  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” ï 1 p x õ  ° ú  s  † < ÆÒ q t[ þ t s  s p 

 â

+ « >`  ¦ ´ ú §s  K ‘ : r ? /6   x Ü ¼– Ð s À Ò# Q”   ì ø ̀  , î{ 9  " é ¶  © œ _

 î  r1 l xï \ " f  H î p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” ïs 
 îÉ Òo \  / å L à ºï 1 p x † < Æ Ò q

t[ þ t s  % ƒ6 £ § ] X    H ? /6   x[ þ t s  ´ ú §s  e ” l  M :ë  H“    כ Ü ¼– Ð ó

ø Íé ß –  ) a  . s X O >  y © œ_  é ß –" é ¶ ? /6   x : £ ¤$ í \     # Q 9¹ ¡ § _ 

"

é

¶ “   Ä »+ þ A_  s 
  H  כ `  ¦ : Ÿ x K  † < ÆÒ q t[ þ t s  % i † < Æ † < Æ _

þ

v õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  s  y © œ_  Å Ò] j_  [ jÂ Ò ? / 6

 

x õ  † < ÆÒ q t[ þ t _  ‚   â + « >(‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v) \  x 9 ] X ô  Ç › ' aº  s  e ” 6 £ §

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  . ô  Ǽ # , î¾ »‡   % i † < Æïõ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l x ï \ " f † < ÆÒ q t_  ‚   â + « >(‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v) _  Ä »Á º  H — ¸¿ º † < ÆÒ q t[ þ t s

 % i † < Æ † < Æ_ þ v \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H " é ¶ “  Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . ‚   '

Ÿ  † < Æ_ þ v s  e ”   H  â Ä º, à º\ O r ç ß –\  † < Æ_ þ v ? /6   x õ _  @ /w n s 

 Ô  ¦{ 9 u  # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  Ü ¼– Ð  Œ •6   x % i “ ¦, ‚  ' Ÿ  † < Æ_ þ v s

 \ O   H  â Ä º\   H † < Æ_ þ v ? /6   x _  ± ú ž[ O 6 £ § s 
 ¿ º 9¹ ¡ § s  # Q



9¹ ¡ § _  " é ¶ “  s  ÷ &% 3  .

3) † < ÆÒ q t[ þ t s  ‚  × þ ˜ô  Ç # Q 9¹ ¡ § K ™ è~ ½ Óî ß – q “ §

2007¸  • ¸ 1† < Æl  % i † < Æà º\ O `  ¦ à ºy © œô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  î¾ »‡   % i 

†

< Æïõ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï † < Æ_ þ v r  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   `  ¦ M : s 

\

 ¦ K ™ è l  0 AK   6   x ô  Ç ~ ½ Óî ß –[ þ t ç ß –_  : £ ¤f ç `  ¦ q “ §ô  Ç    õ

 Fig. 7õ  ° ú   .

î ¾ »‡   % i † < Æï † < Æ_ þ v õ  î{ 9  " é ¶  © œ_  î  r1 l xï \ " f # Q 9¹ ¡ § K 

™

è\  ¦ 0 AK  / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð † < ÆÒ q ts  ‚  × þ ˜ô  Ç † < Æ_ þ v„  | Ä ÌÜ ¼– Ѝ  H î



 É r  | à Ð[ þ t õ _   7 H _  õ & ñ ïõ  î# Œ Q t  › ' aº   " f& h `  ¦

‚ Ã

Г ¦   H  כ ï 1 p x s % 3  . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð î¾ »‡   % i † < Æï † < Æ_ þ v \ 

"

f µ 1 ÏÒ q t   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è   H Å Ò  ) a ~ ½ ÓZ O “ É r î   É r  | à Ð