¤M Æ U ؎ Ò Þ R  Ò Å] k ù4 8 ý Ž Ò ÞM × D

—

¤M  Æ U ؎ Ò Þ R  Ò Å] k ù4 8 ý Ž Ò ÞM × D



™ »* å ?  ^∗



Å Ò@ / ì  r  õ † < Æl Õ ü t† < Æõ , à º" é ¶, 442-749 (2003¸   1 Z 4 6{ 9  ~ à Î6 £ §)

1 l

x l  o  H # Œ Q q ‚  + þ A ½ ¨$ í כ ¹™ è   ½ + ËK  s À Ò# Q”   q ‚  + þ A   ½ + Ë> 
 ü @Â Ò j Ë µ\  _ K  ½ ¨1 l x ÷ &  H ”   1

l

x  > _  y Œ • כ ¹™ è[ þ t s  | 9 é ß –& h “   o 1 p u`  ¦ Ä »t    H  ƒ  _  < É ª p – Ðî  r B j& m 7 £ § s  . כ ¹™ èç ß –_   © œ  ñ Œ • 6

 

x s  & h { © œ½ + É M :   ½ + Ë>   H ¢ - a„   1 l x l  o\  ¦ ˜ Ðs  9 ü @Â Ò ¸ ú š6 £ § s 
 כ ¹™ è_  €  •ç ß –_  s \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ 1 l x l

 o\  ¦ Ä »t ô  Ç . ì ø ̀     ½ + Ës   -Á º €  •  
 õ • ¸½ + É  â Ä º 1 l x l  o L :# Q”   . s   7 Hë  H \ " f  H þ j  H

ƒ

 ½ ¨\  ¦ : Ÿ x K  µ 1 ß) €”   Å Òl  î  r1 l x`  ¦   H q ‚  + þ A> \ " f { 9 # Q
  H 1 l x l  o\  @ /ô  Ç ˜ м # & h “   : £ ¤$ í `  ¦ ™ è> h ô 

Ç .

PACS numbers: 05.45.A,05.45.P Keywords: 1 l x l  o, Å Òl  = å J > h, ”  1 l x  

I. " e  ] Ø

þ

j  H 4 Ÿ ¤¸ ú š> (complex system)\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ B  Ä

º  Ö ¸µ 1 Ïy  ”  ' Ÿ ÷ &“ ¦ e ”  . 4 Ÿ ¤¸ ú š> ê ø Í " f– Ð  © œ  ñ



Œ

•6   x(interaction)`  ¦   H é ß –í  Hô  Ç l 0 p x`  ¦ ”   כ ¹

™

è(element)[ þ t – Ð s À Ò# Q”   W 1à Ô ° 3(network)`  ¦ _ p ô  Ç .

4

Ÿ

¤¸ ú š> _  ƒ  ½ ¨ < É ª p – Ðî  r s Ä »  H W 1à Ô ° 3_  ½ ¨› ¸
 : £ ¤

$ í

\     כ ¹™ è[ þ t s   € ª œô  Ç | 9 é ß – ' Ÿ 1 l x(collective behav- ior)`  ¦ Û ¼Û ¼– Ð ‚ ½ ÓØ  ¦ K  ? /l  M :ë  H s  .

s

   4 Ÿ ¤¸ ú š> _  @ /³ ð& h “   \ V  – Ð Ò q tÓ ü t ^ ‰s  . Ò q tÓ ü t

^

‰  H à º´ ú §“ É r [ jŸ í(cell)– Ð s À Ò# Q”   4 Ÿ ¤¸ ú š> s  . Ò q tÓ ü t ^ ‰ _  ½ ¨$ í כ ¹™ è“   [ jŸ í_  l 0 p x“ É r q “ §& h  ¸ ú ˜ · ú ˜ 94 R e ” t  ë

ß – [ jŸ í– Ð ½ ¨$ í  ) a Ò q tÓ ü t ^ ‰_  4 Ÿ ¤¸ ú š$ í \  @ /K  Ä ºo  · ú ˜

“

¦e ”   H  z  ´“ É r Õ ªo  ´ ú §t  · ú § . s  Qô  Ç s Ä »– Ð | 9 é ß –_ 

½

¨$ í כ ¹™ è\  ¦ ƒ  ½ ¨ €   | 9 é ß –_  : £ ¤$ í `  ¦ · ú ˜ à º e ”  “ ¦ Å Ò



© œÙ þ ¡~   t F K  t _  õ † < Æ_  Å Ò J  Q e ” s % 3 ~   ¨ 8 Š " é ¶ Å Ò _ (reductionism) @› ¸÷ &“ ¦ @ /’   ½ ¨$ í כ ¹™ è\  @ /ô  Ç ƒ  

½

¨ü < † < Êa  Û ¼Û ¼– Ð ‚ ½ ÓØ  ¦ ) a | 9 é ß –_  : £ ¤$ í `  ¦ 1 l x r \  7 á x½ + Ë& h  Ü

¼– Ð ƒ  ½ ¨   H õ † < Æ_  D h– Ðî  r J  Q e ” s  1 p x © œ >  ÷ &

%

3  . ¢ ¸ô  Ç Ò q tÓ ü t ^ ‰ ˜ Ðs   H 4 Ÿ ¤¸ ú š$ í s 
  â ] j
 “  '  Å õ

 ° ú  “ É r   r ‰ & ³ © œ\ " f
 
  H 4 Ÿ ¤¸ ú š$ í s  Ä » $ í `  ¦  t

“ ¦ e ”    H “  d ” s  þ j  H S X ‰í ß –÷ &“ ¦ e ” # Q 4 Ÿ ¤¸ ú š> \  @ /ô  Ç

ƒ 

½ ¨ · ú ¡Ü ¼– Ð  8¹ ¡ ¤  Ö ¸µ 1 ÏK t o   \ V © œ ) a  .

4

Ÿ

¤¸ ú š> _  | 9 é ß –& h “   ' Ÿ 1 l x ×  æ \ " f  © œ @ /³ ð& h “    כ s  1

l

x l  o(synchronization)s  . ¢ - a„  y  1 l x{ 9 ô  Ç, ¢ ¸  H €  •ç ß –

∗

E-mail: [email protected]



 É r : £ ¤$ í `  ¦ t    כ ¹™ è[ þ t  s \   © œ  ñ Œ •6   x s  e ” `  ¦ M : % ƒ 6

£

§ \   H   É r ' Ÿ 1 l x`  ¦ ˜ Ðs  • ¸ & h  & h Ü ¼– Ð ' Ÿ 1 l x s  Ä »  K

t €  " f þ j7 á x& h Ü ¼– Ð ¢ - a„  y  1 l x{ 9 ô  Ç ' Ÿ 1 l x`  ¦ ˜ Ðs   H  כ `  ¦ 1

l

x l  o “ ¦  ҏ É r  . \ V\  ¦ [ þ t # Q d ”  © œ`  ¦ s À ҍ  H [ jŸ í[ þ t`  ¦ ì

 r o  €   y Œ • d ”  © œ[ jŸ í[ þ t“ É r Á º Œ •0 A& h “   ~ à Ì1 l x Å Òl \  ¦ ˜ Ðs  t

ë ß – s [ þ t`  ¦  r    ½ + Ë €   — ¸Ž  H [ jŸ í[ þ t s  1 l x l  o ) a î ß –

&

ñ ô  Ç ~ à Ì1 l x Å Òl \  ¦ ”   . s % ƒ! 3  1 l x l  o  H Ò q t" î ^ ‰_  î ß –

&

ñ $ í \   H l # Œ\  ¦  9 ¢ ¸ô  Ç  € ª œô  Ç õ † < Æõ    r ‰ & ³ © œ\ 

"

f µ 1 Ï| ÷ &  H { 9 ì ø Í& h “   ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð “  d ” ÷ &“ ¦ e ” “ ¦ 4 Ÿ ¤¸ ú š>  _  s K ü < 6 £ x6   x \  ×  æ כ ¹ô  Ç Ã ºé ß –`  ¦ ] j/ B N l  M :ë  H \  þ j  H s

\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H › ' a d ” `  ¦ = å J “ ¦ e ”   [1–5].

1 l

x l  o\  @ /ô  Ç þ jœ í_  ˜ Г ¦\  ¦ ô  Ç † < Æ   H W 1W = ê ø Í× ¼_  Ó

ü

t o † < Æ “     ñs 
 pÛ ¼s   [6]. 17[ jl  ´ ú ˜   ñs 
 pÛ ¼  H # 4 

\

    2 ; ¿ º > h_  Æ Òr >  Z  t³ 1 Ñ> • ¸ š ¸ ½ ™ r ç ß – 1 l xî ß –   _

 1 l x{ 9 ô  Ç Å Òl \  ¦ ”     H  z  ´`  ¦ Ä ºƒ  y  µ 1 Ï|  % i  .

 

ñs 
 pÛ ¼  H s   z  ´`  ¦ 6 £ x6   x # Œ 1Å Ò\  8ì  r s ? /_  š ¸ 

\

 ¦ ˜ Ðs   H { © œr – Ð" f  H B Ä º & ñ S X ‰ô  Ç r > \  ¦ µ 1 Ï" î l • ¸

% i  . Õ ª  H ¢ ¸ ¿ º r > _  1 l x l  o Ò q tl   H " é ¶ “  s  r 

>

 ² ú ˜ 9e ”   H # 4  ¢ ¸  H ”    Å Ò0 A_  / B N l \  ¦ : Ÿ xô  Ç  © œ  ñ Œ • 6

 

x s  “ ¦ Æ Ò8 £ ¤ % i  . 19[ jl  ×  æì ø Í % ò ² D G_  Y U{ 9 o   ⠓ É r 

s á Ô š ¸Ø Ôç ß –_  ™ èo \  ¦ ƒ  ½ ¨   1 l x l  o\  ¦ µ 1 Ï|  % i 



. €  •ç ß –   É r U  ´s \  ¦ ”   " f– Ð “  ] X ô  Ç  s á Ô\ " f


š

¸  H ™ èo  Z  t³ 1 Ñ> • ¸ 1 l x{ 9 ô  Ç  כ `  ¦ µ 1 Ï|  % i `  ¦ ÷  rë ß –   m

  d ” t # Q  H ô  Ç  s á Ô_  ™ èo    É r  s á Ô_  ™ èo 

\

 ¦   t >   כ `  ¦ › ' a8 £ ¤ % i   [7].

½

¨$ í כ ¹™ è_  : £ ¤$ í \  q ‚  + þ A$ í s  ? /F   ) a  â Ä º_  1 l x l 



o  H ‚  + þ A& h “   ½ ¨$ í כ ¹™ è_  W 1à Ô ° 3s  ˜ Ðs   H 1 l x l  o ˜ Ð

-57-

a >s  “ ¦  ҏ  . q ‚ þ < ½ ¨\ " f  , o  ·



9”   1 " é ¶_  – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l (logistic map)s  “ ¦ Â Ò Ø

ԍ  H ç ß –é ß –ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ” s  e ”  . s  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r  A _  d ”  1õ 

°

ú  s  Å Ò# Q”   .

x

n+1

= f (x

n

) = 1 − Ax

n2

(1) s

 d ” \ " f x  H   à ºs “ ¦, A  H   p ' s  .   à º_ 

œ

íl ° ú כ x

0

\  ¦ -1 \ " f 1  s _  ° ú כ`  ¦ @ /{ 9  “ ¦ d ”  (1)`  ¦ s  6

 

x # Œ   à º_  r ç ß –    o\  ¦ ~ 1 >  › ' a¹ 1 Ͻ + É Ã º e ”  . A <

0.75“    â Ä º   à º_  œ íl ° ú כ\  Á º › ' a >  ns  Ø  æì  r y  &  t

€     à º ° ú כ“ É r \ Vü @\ O s  { 9 & ñ >   ) a  . Õ ª Q
 A >

0.75“    â Ä º ns  2 ë ß –
p u 7 £ x ½ + É M :   à º ° ú כs  ° ú  “ É r ° ú כ`  ¦

˜

Г   .   " f A = 0.75\  ¦  â > – Ð # Œ   à º ° ú כ_  Å Ò l

 1\ " f 2– Ð ° ú š Œ •Û ¼X O >     o   H Å Òl C (period doubling) Š © œ° ú ˜a Ë >s  { 9 # Qè ß – . s ] j A > 1.401155...

÷

&€     à º „  ) € à º§ 4  t  · ú §“ ¦ Á º Œ •0 A& h Ü ¼– Ð      H

™

D ¥Ž 7 H`  ¦ ˜ Г   . ô  Ç " é ¶ Z  }“ É r 2 " é ¶ \ 0 l x ‘ : r ä ¼l (Henon map) \ " f• ¸ Ä » ô  Ç : £ ¤$ í s  µ 1 Ï| ÷ &% 3  . ¢ ¸ô  Ç – ÐE $ ™Þ Ô ~ ½ Ó

&

ñ d ” , ø @_ þ t  Q ~ ½ Ó& ñ d ” õ  ° ú  “ É r $  " é ¶ q ‚  + þ A p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” 

%

i r  – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l ü < Ä » ô  Ç : £ ¤$ í `  ¦ ˜ Ðs   H  כ s  · ú ˜



9”   s Ê ê q ‚  + þ A> \  @ /ô  Ç ˜ м # & h “   : £ ¤$ í \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨

 ”  ' Ÿ ÷ &# Q ´ ú §“ É r  z  ´[ þ t s  µ 1 ß) €& ’   [8–10].

é

ß –í  H >   H 2 > h, 4 Ÿ ¤¸ ú š >   H à º ë ß –> h_  1 l x{ 9 ô  Ç, ¢ ¸  H B

Ä º Ä » ô  Ç q ‚  + þ A ½ ¨$ í כ ¹™ è\  ¦   ½ + Ër †   s  : r — ¸4 S q_  '

Ÿ 1 l x“ É r 4 Ÿ ¤¸ ú š> _  : £ ¤$ í `  ¦ s K    H X < B Ä º Ä »6   x  9 s 

\

 @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨ ‰ & ³F   Ö ¸µ 1 Ïy  ”  ' Ÿ ÷ &“ ¦ e ”  . s   â Ä º 1 l x l

 o  H ™  ¥ y  › ' a¹ 1 Ï÷ &  H Ó ü t o & h  ‰ & ³ © œs  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H Å Òl î  r1 l x`  ¦   H s  Qô  Ç   ½ + Ë q ‚  + þ A

>

\ " f { 9 # Q
  H 1 l x l  o\  @ /ô  Ç þ j  H_  s  : r x 9  z  ´+ « >   õ

[ þ t`  ¦ ™ è> h “ ¦  ô  Ç . q ‚  + þ A 1 l x% i † < Æ> _  ƒ  ½ ¨\ " f ü

< ° ú  s  — ¸4 S q\  s 6   xô  Ç q ‚  + þ A כ ¹™ è[ þ t_  : £ ¤$ í s   2 £ § \ 

•

¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦   ½ + Ë> _  1 l x l  o\  @ /ô  Ç ˜ м # & h “   : £ ¤$ í s  þ

j  H ´ ú §s  µ 1 ß) €& ’  . 7 £ ¤   ½ + Ë> _  7 á x À Ӎ  H  € ª œ t ë ß – 1 l x l

 o { 9 # Q
“ ¦ 1 l x l  o L :# Qt   H ˜ м # & h “   B j& m 7 £ § s

 ” > r F † < Ês  µ 1 ß) €4 R   ½ + Ë> _  : £ ¤$ í `  ¦ s K    H X < ´ ú §“ É r

•

¸¹ ¡ §`  ¦ Šғ ¦e ”  .

II ] X \ " f  H Ä º‚   1 l x{ 9 ô  Ç Å Òl  ”  1 l x  – Ð ½ ¨$ í  ) a   ½ + Ë q

‚  + þ A> \ " f ”  1 l x  [ þ t s  r ç ß –& h Ü ¼– Ð ¢ - a„  y  1 l x{ 9 ô  Ç î  r

#

Œ [ O î ô  Ç .

III ] X \ " f  H ¿ º > h_  – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l \  ¦ ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ Ó Ü

¼– Ð   ½ + Ër &  % 3 “ É r 1 l x% i † < Æ> \ " f { 9 # Q
  H Å Òl  = å J

>

h(periodic attractor)_  1 l x l  o x 9  q 1 l x l  o B j& m 7 £ §

\

 @ / # Œ  ê  r  . é ß –{ 9  – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l _  Å Òכ ¹ Š © œ° ú ˜ a Ë

>“   Å Òl  C  Å Òl  = å J > h_  Š © œ° ú ˜a Ë >\  p u   H % ò † ¾ Ó`  ¦

·

ú ˜ ˜ Г ¦ Ä » ô  Ç   ½ + Ë q ‚  + þ A> _  q 1 l x l  o { 9 # Q
  H

˜

м # & h “    ⠖ Ð\  ¦  ê  r  .

IV ] X \ " f  H ü @Â Ò j Ë µ`  ¦ K  y © œ] j ½ ¨1 l x ÷ &  H ”  1 l x  

\

" f
 
  H 1 l x l  o_  : £ ¤f ç \  @ / # Œ  À ғ ¦  ô  Ç .

s

  â Ä º ü @Â Ò j Ë µ_  ß ¼l \  ¦ 7 £ x r v €    Z  t × ¼ ) €(Arnold tongue)  “ ¦ · ú ˜ 9”   1 l x l  o % ò % i s 
 è ß – .

ì

ø ̀   y Œ • ½ ¨$ í כ ¹™ è_    p '   Ø Ô  
 > \  ü @ Â

Ò ¸ ú š6 £ § s  ” > r F ô  Ç  
 ½ ¨$ í כ ¹™ è  ^ ‰  \  ¦  â Ä º 1 l x l

 o L :# Q| 9  à º e ”  . V ] X \ " f  H s ×  æ \ " f 1 l x l  o\  p

u   H ¸ ú š6 £ § ´ òõ \  @ /K   À ғ ¦  ô  Ç .

II. ì Ø Ë ¹ Å Ž Ò ÞM × D õ m Í R  Ž Ò ÞM × D

1 l

x l  o { 9 # Q
l  0 A # Œ  H ½ ¨$ í כ ¹™ è“   ”  1 l x



(oscillating object) e ” # Q  ô  Ç . s [ þ t ”  1 l x   & h  {

© œô  Ç  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ : Ÿ x K  y Œ • ”  1 l x  _  o 1 p u, 7 £ ¤ ”  1 l x à º\  ¦

›

¸] X    H ‰ & ³ © œs  a % v“ É r _ p _  1 l x l  os  .  ƒ  > \  ” > r F

   H ”  1 l x  _  7 á x À Ӎ  H B Ä º  € ª œ  . ”  1 l x   î  r X <



 H ü @Â Ò \  -t  / B N/ å L\ O s  Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l x`  ¦ Ä »t    H ”   1

l

x  (self-sustained ocsillator)• ¸ e ” “ ¦ ì ø ̀   ü @ Ò\ " f >  5

Å

q K " f \  -t \  ¦ / B N/ å L K   ”  1 l x s  Ä »t ÷ &  H y © œ] j ”  1 l x



(forced oscillator)• ¸ e ”  . Ó ü t o † < Æ\  ™  ¥ y  1 p x © œ   H é ß –

”

  (simple pendulum), LC / B N”   r– Ð
 Ò q tÓ ü t ^ ‰_  d ”  © œ

~ Ã

Ì1 l x 1 p x s  Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l x`  ¦ Ä »t    H ”  1 l x  _  @ /³ ð& h “  

\

Vs “ ¦ y © œ] j ”  1 l x  _  @ /³ ð& h “   \ V– Ѝ  H y © œ] j y Œ ™û Z ”  1 l x



\  ¦ [ þ t à º e ”  . s  ] X \ " f  H Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l x`  ¦ Ä »t    H

”

 1 l x     ½ + ˝ ) a > _  1 l x l  o\  @ / # Œ · ú ˜ ˜ Г ¦  ô  Ç



.

Ä

º‚   1 l x l  o Á º% Á “  t  · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ ¿ º > h_  q 

‚ 

+ þ A כ ¹™ è\  ¦   ½ + Ë # Œ ë ß –Ž  H   ½ + Ë> \  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ð .   ½ + Ë>  _  ½ ¨$ í כ ¹™ è– Ð B Ä º Ä » ô  Ç ¿ º > h_  Æ Òr > \  ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç .

s

 Æ Òr >  Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l x`  ¦ Ä »t    H ”  1 l x   “ ¦ Ò q ty Œ •

Õ

ªa Ë > 1. (a)  © œ  ñ Œ •6   x s  \ O   H, 7 £ ¤   ½ + Ë÷ &t  · ú §“ É r Ä

» ô  Ç ¿ º > h_  Æ Òr > . (b) ¿ º Æ Òr > _  Æ Ò_  y Œ •• ¸\  ¦ r

ç ß – † < Êà º– Ð ³ ðr  €   €  •ç ß –_   o p '  s \  _  # Œ α

1

(t) 6= α

2

(t), ¢ ¸  H Å Òl  T

¹

6= T

2

– Ð  Ø Ô . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

K

 ˜ Ð . Õ ªa Ë > 1\  " f– Ð ì  r o   ) a, 7 £ ¤  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ t  · ú §



 H ¿ º > h_  Æ Òr >  Õ ª 94 R e ”  . ¿ º r > \  ¦ ¢ - a# 4  > 

°

ú  >  ] j Œ •½ + É Ã º \ O l  M :ë  H \  ¿ º r > _  Æ Ò_  ”  1 l x“ É r Õ ª a Ë

> 1(b)\ " fü < ° ú  s  › ¸F K  \  ¦  כ s  . y Œ • r > \ " f    Ã

º  H Æ Òü < à ºf ” ‚    s _  y Œ •• ¸ α

¹

õ  α

2

  ) a  . ¢ ¸ Õ ªa Ë >

1(b) \  Æ Ò_  Å Òl  T

¹

õ  T

₂

 ³ ðr ÷ &# Q e ”  .

s

] j ¿ º Æ Òr > \  ¦ Õ ªa Ë > 2ü < ° ú  s  ò ø ͧ 4 $ í s  e ”   H t t 

@

/\  ¦  6   x # Œ €  • >   © œ  ñ Œ •6   x ¢ ¸  H   ½ + Ër v “ ¦ ¿ º r 

>

_  Æ Ò_  î  r1 l x`  ¦ › ' a¹ 1 ÏK  ˜ Ð . y Œ • Æ Ò_  Å Òl î  r1 l x s  t  t

@ /\  „  ² ú ˜÷ &# Q t t @ /\  ¦ Õ ªa Ë >\ " f% ƒ! 3  €  • >  ”  1 l x 

>

 ô  Ç . s  ”  1 l x \  _  # Œ ¿ º Æ Òr >   © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ 

>

 ÷ &“ ¦ Õ ª   õ  ô  Ç Æ Ò_  î  r1 l x s    É r Æ Ò_  î  r1 l x \  % ò

†

¾ Ó`  ¦ p u >   ) a  . ¿ º Æ Òr > _   © œ  ñ Œ •6   x   õ    ½ + Ë> 



 H ”  1 l x à º  Œ ™^ ” (frequency locking) ¢ ¸  H 0 A © œ  Œ ™^ ” (phase locking) ‰ & ³ © œ`  ¦ ˜ Ðs >   ) a  . t t @ /\ O s  ¿ º Æ Òr >  ì  r o

÷ &# Q e ” `  ¦  â Ä º_  y Œ • Æ Ò_  ”  1 l x à º\  ¦ y Œ •y Œ • f

₁

= 1/T

₁

, f

₂

= 1/T

₂

 “ ¦ “ ¦, t t @ /\  ¦ : Ÿ x K    ½ + Ë÷ &# Q e ” `  ¦ M :_ 

Õ

ªa Ë > 2. Ä » ô  Ç ¿ º Æ Òr > \  ¦ t t @ /\  ¦  6   x # Œ

 

½ + Ër †    â Ä º. t t @ /  H ò ø Í$ í s  e ” # Q Õ ªa Ë >_ 



o¶ ú ˜³ ð% ƒ! 3  ”  1 l x`  ¦ # Œ ¿ º Æ Ò_  î  r1 l x`  ¦   ½ + Ëô  Ç .

(‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

Õ

ªa Ë > 3.  © œ  ñ Œ •6   x_  [ jl \  ¦ “ ¦& ñ Ù þ ¡`  ¦ M :   ½ + Ë

”

 1 l x  > _  ”  1 l x à º s  ∆F ü < ì  r o   ) a > _  ”  1 l x à º s 

∆f  s _  › ' a > . ∆F = 0“   % ò % i s    ½ + Ë> _  1 l x l  o

% ò

% i s  . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

y

Œ • Æ Ò_  ”  1 l x à º\  ¦ y Œ •y Œ • F

₁

õ  F

₂

 “ ¦  . ”  1 l x à º  Œ ™^ ” 

¢

¸  H 0 A © œ  Œ ™^ ” s ê ø Í ì  r o   ) a Æ Òr >   s _  ”  1 l x à º s 

∆f = f

₁

− f

2

 \ O  ç ß – ” > r F   8 • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦   ½ + ˝ ) a Æ

Òr > > _  ”  1 l x à º s  ∆F = F

1

− F

2

 † ½ Ó © œ 0s  ÷ &  H

 כ

`  ¦ _ p ô  Ç . 7 £ ¤ ì  r o   ) a > \ " f ”  1 l x à º_  s  e ” % 3 



8 • ¸   ½ + Ë> \ " f  H ”  1 l x à º " f– Ð ° ú   f ” `  ¦ _ p  “ ¦ s

 Qô  Ç ‰ & ³ © œ`  ¦   ½ + Ë> _  1 l x l  o “ ¦  ҏ É r  . s \  ¦ Õ ªA  á

Ԗ Ð ³ ðr  €   Õ ªa Ë > 3õ  ° ú  s   ) a  .   ½ + Ë l  „  _  > _ 

”

 1 l x à º\  €  •ç ß –_  s  e ”  8 • ¸   ½ + Ë> \ " f  H o 1 p u`  ¦

"

f– Ð › ¸] X  # Œ ”  1 l x à º s    ”   . ∆F = 0“   % ò % i 

`

 ¦   ½ + Ë> _  1 l x l  o % ò % i s  “ ¦  ÒØ Ô 9 s  % ò % i _  V , s 



 H  © œ  ñ Œ •6   x_  [ jl \  _ ” > rô  Ç .

Õ

ªa Ë > 4. Å Òl î  r1 l x \ " f_  0 A © œ_  & ñ _ . Å Òl î  r1 l x_  0

A © œ“ É r y Œ • Å Òl    2πm ”  r ç ß –\     ç  H{ 9  >  7

£

x ô  Ç . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

Õ

ªa Ë > 5. ¿ º Æ Òr >    ½ + Ë> \ " f
 ± ú ˜ à º e ”   H ¿ º t  1

l

x l  o: (a) 0 A © œ s  ∆φ = φ

1

− φ

2

= 0“   1 l x0 A © œ 1

l

x l  o, (b) 0 A © œ s  ∆φ = φ

1

− φ

2

= π“   ì ø Í0 A © œ 1

l

x l  o. (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

1 l

x l  o\  _  # Œ
 
  H ”  1 l x à º  Œ ™^ ” `  ¦ 0 A © œ  Œ ™^ ”  s

 “ ¦  ÒØ Ô  H s Ä »  H   ½ + Ë> \ " f_  0 A © œ s  % i r  1 l x l

 o % ò % i \ " f { 9 & ñ >  Ä »t ÷ &l  M :ë  H s  . Å Òl î  r1 l x _

  â Ä º 0 A © œ`  ¦ & ñ S X ‰ y  & ñ _ ½ + É Ã º e ”  . Æ Òr >  Æ Ò_  Å Ò l

î  r1 l x_   â Ä º Õ ªa Ë > 4\ " f% ƒ! 3  r ç ß –\     0 A © œs  ç  H{ 9 

>     o  9 y Œ • Å Òl    0 A © œs  2πë ß –
p u 7 £ x ô  Ç .  



" f 1 l x l  o ÷ &# Q Å Òl (”  1 l x à º) s  0s  ÷ & 8 • ¸ 0

A © œ s   H 0 s  | ¨ c à º• ¸, 0s   u  ´ à º• ¸ e ”  . Õ ªa Ë > 5  H

”

 1 l x à º s  ∆F = 0– Ð 1 l x l  o÷ &# Q e ” t ë ß – 0 A © œ s 



 É r ¿ º  â Ä º\  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . Õ ªa Ë > 5(a)\ " f  H ¿ º Æ Ò 1 l x{ 9  ô 

Ç ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¹ ¡ §f ” s l  M :ë  H \  † ½ Ó © œ α

₁

(t) = α

₂

(t)  ÷ &“ ¦



 " f 0 A © œ s  ∆φ = φ

1

− φ

2

= 0   ) a  . s   â Ä º\  ¦ 1

l

x0 A © œ(in-phase) 1 l x l  o “ ¦  ҏ É r  . ì ø ̀   Õ ªa Ë > 5(b)\ 

"

f  H ¿ º Æ Ò " f– Ð ì ø Í@ /~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¹ ¡ §f ” s l  M :ë  H \  ”  1 l x Ã

º  H ° ú  t ë ß – 0 A © œ s  ∆φ = φ

¹

− φ

2

= π   ) a  . s   â Ä

º\  ¦ ì ø Í0 A © œ(anti-phase) 1 l x l  o “ ¦  ҏ É r  . ¿ º Æ Òr > 

 

½ + Ë> \  @ /ô  Ç þ j  H_  ƒ  ½ ¨  õ \  ¦ ˜ Ѐ   Æ Òr > _    ½ + Ë

~

½ ÓZ O \     1 l x0 A © œõ  ì ø Í0 A © œ 1 l x l  o — ¸¿ º 0 p x† < Ês  µ

1 ß) €& ’   [2].

V ,

“ É r _ p – Ð ˜ Ѐ   ¿ º ”  1 l x  _  ”  1 l x à º 1 l x{ 9 K  t   H

 כ

÷  rë ß –  m   ”  1 l x à º_  q  ¿ º & ñ à º_  q  n/m– Ð “ ¦& ñ

÷

&  H  כ • ¸ 1 l x l  o– Ð ^  ¦ à º e ”  . Õ ª Q
 { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 1 l x l

 o  H ”  1 l x à º s  0“    â Ä ºë ß –`  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . 1 l x0 A © œ 1 l x l

 os ~   ì ø Í0 A © œ 1 l x l  os ~   ¿ º > _  ”  1 l x à º 1 l x{ 9 K  t

  H  כ `  ¦ ¢ - a„   1 l x l  o “ ¦  ҏ É r  . Õ ª Q
 Õ ªa Ë > 3\ " f

˜

Ѐ Œ ¤1 p w s  1 l x l  o % ò % i `  ¦ # Á # Q
 ¿ º > _  ”  1 l x à º s 



-Á º & t €    8 s  © œ 1 l x l  o Ä »t ÷ &t  3 l w # Œ 0 A © œ_ 

ƒ 

› ' a$ í s    t “ ¦ > hZ > & h Ü ¼– Ð 1 l qw n  ) a ”  1 l x`  ¦   H q  1

l

x l  o(desynchronization) { 9 # Qè ß – .

Õ

ªa Ë > 6. y © œ] j ½ ¨1 l x ”  1 l x  \ " f_  1 l x l  o. ü @Â Ò j Ë µ_  y

Œ •”  1 l x à ºü < ”  ; Ÿ ¤ s  y Œ •y Œ • ωü < s “ ¦, ٍ  H y © œ] j ½ ¨1 l x

”

 1 l x  _  z  ´] j y Œ •”  1 l x à ºs  . ω

0

  H ü @Â Ò j Ë µs  \ O `  ¦

 â

Ä º_  ”  1 l x  _   ƒ   ”  1 l x à ºs  . (a) & h { © œô  Ç \ " f Ω − ω = 0“   1 l x l  o % ò % i s 
 è ß – . (b) \    É r 1

l

x l  o % ò % i _     o. (c) 1 l x l  o % ò % i `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H  Z  t × ¼ )

€ ½ ¨› ¸. (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

·

ú ¡" f_  Æ Òr >    ½ + Ë> ü < ° ú  s  1 l qw n & h “   ”  1 l x  \  ¦  © œ  

ñ  ½ + Ë # Œ % 3   H 1 l x l  o\  ¦  © œ  ñ 1 l x l  o(mutual synchro- nization)  “ ¦  ҏ É r  .  © œ  ñ 1 l x l  o s ü @\  ü @Â Ò j Ë µ`  ¦ q 

‚ 

+ þ A> \   Œ •6   x # Œ 1 l x l  o\  ¦ % 3 `  ¦ à º• ¸ e ”  . s    @ /³ ð

&

h “   \ V– Ð y © œ] j ½ ¨1 l x ”  1 l x  (forced driven oscillator)\  ¦ [

þ

t à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç ~ à Ì_ …o  – РÒ'   | à Ð t  Ò q t" î ^ ‰[ þ t“ É r s

 ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x # Œ À Ò ¢ ¸  H > ] X _  Ò q t^ ‰ o 1 p u`  ¦ › ¸] X  ô 

Ç . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð  | à Ð_  Ò q t^ ‰ [ jŸ í_  { 9  © œ& h “   ? /Â Ò o  1

p

u“ É r 24 r ç ß –s   m t ë ß – t ½ ¨  „  \  _ ô  Ç { 9 › ¸| ¾ Ó_  { 9  { 9

    o\  _  # Œ Ò q t^ ‰ o 1 p u s  24r ç ß – Å Òl – Ð 1 l x l  o ) a



.



ƒ   y Œ •”  1 l x à º ω

⁰

“   ”  1 l x   e ” “ ¦ s  ”  1 l x  \  ¦ y Œ •

”

 1 l x à º ω, ”  ; Ÿ ¤ “   ü @Â Ò j Ë µÜ ¼– Ð y © œ] j ½ ¨1 l x r †   “ ¦ 



. s M : ü @Â Ò j Ë µ\  _ K     o ) a ”  1 l x  _  y Œ •”  1 l x à º\  ¦ Ω   €   & h { © œô  Ç ”  ; Ÿ ¤_  ü @Â Ò j Ë µ`  ¦ ½ + É M : Õ ªa Ë > 6(a)\ 

"

fü < ° ú  s  ”  1 l x  _  y Œ •”  1 l x à ºü < ü @Â Ò j Ë µ_  y Œ •”  1 l x à º

°

ú   t   H 1 l x l  o % ò % i (Ω − ω = 0)s 
 è ß – . s  1 l x l 



o % ò % i _  V , s \  ¦ ü @Â Ò j Ë µ_  ”  ; Ÿ ¤_  † < Êà º– Ð ³ ðr ô  Ç  כ s  Õ

ªa Ë > 6(b)s  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ”  ; Ÿ ¤  s  7 £ x  €   1 l x l  o % ò

%

i s  7 £ x ô  Ç . Õ ªa Ë > 6(c)  H 1 l x l  o % ò % i `  ¦ ”  ; Ÿ ¤_  † < Êà º

–

Ð  r  Õ ª 2 ;  כ “  X < s  % ò % i `  ¦  Z  t × ¼ ) € “ ¦  ҏ É r  .

·

ú ¡" f_   © œ  ñ 1 l x l  o\ " f% ƒ! 3  Ω/ω & ñ à º q  n/m– Ð | ¨ c

 â

Ä º\ • ¸ Ä » ô  Ç  Z  t × ¼ ) € ” > r F   9 s  כ • ¸ V , “ É r _  p

\ " f 1 l x l  o– Ð ^  ¦ à º e ”  .

t

F K  t  1 l x l  o_  { 9 ì ø Í& h “   : £ ¤$ í `  ¦ · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ . s  ]

j III ] X \ " f  H ç ß –é ß –ô  Ç – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l \  ¦   ½ + Ë # Œ  © œ  

ñ 1 l x l  o x 9  q 1 l x l  o B j& m 7 £ §`  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð · ú ˜ ˜ Ð

“

¦, IV ] X \ " f  H y © œ] j ½ ¨1 l x ”  1 l x  _  1 l x l  o\  @ / # Œ



[ jy  · ú ˜ ˜ Г ¦  ô  Ç .

III. + s Ƕ  ¥ z ºU ­ Ž Ê k Ä Ä ] ض ŽM 4 8 ý Ž Ò ÞM × D

Õ

ªa Ë > 7. ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ër †   – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l > _  1

l

x l  o Å Òl = å J > h(SPA)_  î ß –& ñ $ í • ¸³ ð. ×  æ€ © œ_  % ò % i s  1

l

x l  o % ò % i Ü ¼– Ð x

ⁿ

= y

n

s   ) a  . z  ´‚  õ  & h ‚  “ É r y

Œ

•y Œ • Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >õ  transcritical Š © œ° ú ˜a Ë >\  _  # Œ 1

l

x l  o L :# Qt   H e ” > ° ú כ`  ¦ _ p ô  Ç . ”  ô  Ç z  ´‚  “ É r

¢ -

a„   q 1 l x l  o { 9 # Q
  H e ” > ° ú כ`  ¦ ³ ðr ô  Ç  כ s  .

&

ñ à º p  H ½ ¨1 l x > ü < ì ø Í6 £ x > _  Å Òl \  ¦ _ p ô  Ç .(‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [11])

 

½ + Ë q ‚  + þ A> _  1 l x l  o_  : £ ¤$ í `  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 Aô  Ç 



© œ é ß –í  Hô  Ç — ¸4 S q– Ð+ ‹ ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ër †   1 " é ¶ – Ðt  Û

¼h Ë : ‘ : r ä ¼l \  ¦ Ò q ty Œ •K  ˜ Ð  [11].

x

n+1

= 1 − Ax

n2

(2) y

n+1

= 1 − Ay

n2

+ c(x

n2

− y

n2

) (3) x

n

õ  y

n

`  ¦ y Œ •y Œ • ½ ¨1 l x > (drive system)ü < ì ø Í6 £ x

>

(response system)_    à º “ ¦  . Aü < c  H y Œ •y Œ • ô  Ç A

á

¤ ~ ½ ӆ ¾ Ó   ½ + Ë> _    p ' ü <   ½ + Ë © œÃ ºs  . ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ Ó

 

½ + Ës ê ø Í ½ ¨1 l x >   H   ½ + Ëõ  Á º › ' a “ ¦ ì ø Í6 £ x > _    à ºë ß – s

   ½ + Ë\  _ K     o ) a    H  כ `  ¦ _ p ô  Ç .   ½ + Ë`  ¦ ] j 

½ +

É  â Ä º ½ ¨1 l x > ü < ì ø Í6 £ x >  — ¸¿ º A    o½ + É M : Å Òl C 

 â

– Ð\  ¦  2 £ § s  s p  ¸ ú ˜ · ú ˜ 94 R e ”   [8]. & h { © œô  Ç   ½ + Ë`  ¦

×

 ¦  â Ä º(c 6= 0) 1 l x l  o ) a Å Òl = å J > h(synchronous periodic attractor, SPA) x

_n

= y

_n

 ” > r F ô  Ç . — ¸Ž  H SPA[ þ t“ É r 1 l x l

 o = å J > h“   Ô  ¦  f ” ‚  (invariant line)“   45

^◦

‚   © œ\  Z  ~

#

Œe ”  . s  Ô  ¦  f ” ‚  “ É r – Ð~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð î ß –& ñ $ í `  ¦ ”   .

7

£

¤ ü @Â Ò ¸ ú š6 £ § s 
 > _    p '  s  ” > r F   8 • ¸ î

ß –& ñ  . s  Qô  Ç î ß –& ñ $ í `  ¦   ½ + Ës  ] j/ B N K  Šғ ¦e ”  .

Õ

ªa Ë > 7“ É r d ”  2ü < d ”  3`  ¦ r Ó ý t Y Us ‚   # Œ ½ ¨ô  Ç SPA_  1

l

x l  o x 9  q 1 l x l  o % ò % i `  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .   ½ + Ë>  & h { © œô  Ç

 

½ + Ë ß ¼l \  ¦ | 9  M : 1 l x l  o % ò % i (×  æ€ © œ_  t % i )s  ” > r F  ô 

Ç . Õ ªa Ë >\  e ”   H & ñ à º p  H ½ ¨1 l x > ü < ì ø Í6 £ x > _  Å Òl \  ¦ Õ

ªa Ë > 8. ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ër †   – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l > _  ì

ø Í6 £ x > _  Š © œ° ú ˜a Ë > • ¸³ ð. A = 1.1{ 9  M : c = −2.85\ " f Å

Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ K  1 l x l  o L :”   . A = 0.9{ 9  M

:  H c = −2.3\ " f transcritical Š © œ° ú ˜a Ë >\  _  # Œ 1

l

x l  o L :# Q”   . ¿ º  â Ä º — ¸¿ º  â >  crisis\  ¦ : Ÿ x K 

= å

J > h   ”   . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [11])

_ p ô  Ç .   ½ + Ë © œÃ º c e ” > ° ú כ([ j– Ð ~ ½ ӆ ¾ Ó_  z  ´‚  õ  & h 

‚

 )`  ¦  Å # Q€   1 l x l  o L :# Qt l  r  Œ •ô  Ç . 7 £ ¤ Å Òl C 

 Š © œ° ú ˜a Ë >\  _  # Œ Ô  ¦  f ” ‚  _  – Ð~ ½ ӆ ¾ Ó î ß –& ñ $ í s  L : 4

R x

ⁿ

6= y

n

  ) a  . Õ ª Q
 1 l x l  o ¢ - a„  y  L :# Qt t 



 H · ú §“ ¦ Å Òl _  q  & ñ à º q \  ¦ Ä »t    H Ô  ¦¢ - a„   1 l x l  o

 { 9 # Qè ß – . \ V\  ¦ [ þ t # Q A = 1.1, c = −3.1\ " f ½ ¨1 l x >  _  Å Òl   H 1 s t ë ß – ì ø Í6 £ x > _  Å Òl   H 2   ) a  .

s

 Qô  Ç Ô  ¦¢ - a„   1 l x l  o { 9 # Q
  H B j& m 7 £ §“ É r ¿ º  t

– Ð · ú ˜ 94 R e ”  . & h ‚  `  ¦  Å # Q€   ¿ º > _  Å Òl   H ° ú   t

ë ß – x

_n

6= y

n

“   q 1 l x l  o Å Òl = å J > h(asynchronous peri- odic attractor, APA)  transcritical Š © œ° ú ˜a Ë >\  _  # Œ Ò q t l

“ ¦ APA  H s Ê ê ƒ  5 Å q& h “   Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >`  ¦ : Ÿ x K  ¢ - a

„ 

 q 1 l x l  o  ) a  . ì ø ̀   z  ´‚  `  ¦  Å # Q€   1 l x l  o Å Òl 

= å

J > h(SPA) ƒ  5 Å q& h “   Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >`  ¦ : Ÿ x K  ¢ - a„   q  1

l

x l  o  ) a   [11]. Õ ªa Ë > 7_  ”  ô  Ç z  ´‚  “ É r Å Òl  2“   SPA

  â > (boundary) crisis [12]\  _  # Œ   t   H e ” > ° ú כ

`

 ¦ ³ ðr ô  Ç  כ s  . s   â Ä º ½ ¨1 l x >   H Å Òl î  r1 l x`  ¦   H ì ø Í

€ 

 ì ø Í6 £ x >   H ™ D ¥Ž 7 H`  ¦ ˜ Г   .

Õ

ªa Ë > 8“ É r · ú ¡" f s  l ô  Ç ¿ º t  B j& m 7 £ § \  _  # Œ SPA_  1 l x l  o L :”   s Ê ê_  ì ø Í6 £ x > _  Š © œ° ú ˜a Ë >`  ¦ ˜ Ð# Œ Å

ҍ  H Š © œ° ú ˜a Ë > • ¸³ ð(bifurcation diagram)s  . A = 1.1_ 

 â

Ä º c = −2.85\ " f Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ K  1 l x l  o

L

:t “ ¦ s Ê ê ƒ  5 Å q& h “   Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >`  ¦ : Ÿ x K  ™ D ¥Ž 7 H`  ¦

˜

Ðs   Ô  ¦î ß –& ñ Å Òl C • ¸ü < Ø  æ[  t K   â >  crisis { 9 # Q

 = å J > h   ”   . ì ø ̀   A = 0.9“    â Ä º c = −2.3\ " f transcritical Š © œ° ú ˜a Ë >\  _  # Œ 1 l x l  o L :# Q”   Ê ê % i r 

 â

>  crisis\  ¦ : Ÿ x K  = å J > h   ”   .

Õ

ªa Ë > 9  H – Ðt Û ¼h Ë : ‘ : r ä ¼l % ƒ! 3  Á ºô  Ç Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >

`

 ¦   H ì ø ͕ ¸^ ‰  s š ¸× ¼ / B N”   r– Ð\  ¦ ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   

½ +

Ë # Œ Õ ªa Ë > 8_  — ¸4 S q r Ó ý t Y Us ‚     õ \  ¦ › ' a¹ 1 Ïô  Ç  כ s  

Õ

ªa Ë > 9. ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ër †   ì ø ͕ ¸^ ‰  s š ¸× ¼ /

B N”   r– Ð_  ì ø Í6 £ x > _  Š © œ° ú ˜a Ë > • ¸³ ð. (a) V

d

=1.65 V, (b) V

_d

= 1.75 V. c = −6 Â Ò   H \ " f APA  â >  crisis\  ¦ : Ÿ x K 



 t   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [11])

[11]. / B N”   r– Ð\ " f  H x × ¼Ñ þ ˜`  ¦ s 6   x # Œ   ½ + Ë © œÃ º c\  ¦, { 9

§ 4  „  · ú š_  ”  ; Ÿ ¤ V

d

\  ¦ › ¸& ñ # Œ   p '  A\  ¦    or 

~ 

´ à º e ”  . Õ ªa Ë > 8õ  f  ¨   >  APA Á ºô  Ç Å Òl C  Š © œ

°

ú ˜a Ë >`  ¦ : Ÿ x K  ™ D ¥Ž 7 H \  s Ø Ô“ ¦ ¢ ¸ c = −6 Â Ò   H \ " f APA

 â

>  crisis\  ¦ : Ÿ x K    t   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  .

 

½ + Ë  s š ¸× ¼ / B N”   r– Ð\ " f q 1 l x l  o { 9 # Q
  H B j

&

m 7 £ §`  ¦ s K  l  0 A # Œ SPA x 9  APA_  Ÿ íÓ q t Y U é ß –

€ 

(Poincare section)`  ¦ › ' a8 £ ¤ % i  . Õ ªa Ë > 10\  e ”   H é ß –€  

`

 ¦ ˜ Ѐ   q 1 l x l  o { 9 # Q
  H ¿ º t  B j& m 7 £ §`  ¦ ½ ¨ì  r

½ +

É Ã º e ”  . V

d

=1.65 V \ " f @ /| Ä Ì c = −1.4\ " f Å Òl C 

 Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ K  SPA_  1 l x l  o L :# Qt “ ¦ s M : é ß –€   _

 & h [ þ t s  à ºf ” Ü ¼– Ð b  # Q4 R e ”  . ¢ ¸ô  Ç é ß –€  _  & h _  à º

SPA é ß –€  _  & h _  à º_  2C   ) a  .   " f s   â Ä º q 1 l x l

 o  H Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ ô  Ç  כ e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ì ø Í

€ 

 V

d

=1.75 V \ " f  H @ /| Ä Ì c = −0.7\ " f transcritical Š © œ

°

ú ˜a Ë >\  _ K  SPA_  1 l x l  o L :# Q”   . Õ ª s Ä »  H APA é

ß –€  _  & h [ þ t s  45

^◦

 â  ‚   0 A\  Z  ~ # Œe ” t  · ú §Ü ¼ 9 & h _  Ã

º SPA é ß –€  _  & h _  à ºü < ° ú  l  M :ë  H s  .

s

 © œ\ " f ¶ ú ˜( R‘ : r   õ   H Á ºô  Ç Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >`  ¦ 



 H q ‚  + þ A Å Òl    ½ + Ë> _  q 1 l x l  o\  ¦ [ O " î   H ˜ м # & h 

“

  B j& m 7 £ § Ü ¼– Ð   É r 7 á x À Ó_  ”  1 l x  \  ¦   ½ + Ëô  Ç > \ " f

› ' a¹ 1 ϝ ) a  .

IV. P ê s< g  Œ Ž Ò Þ à à ŠŽ Ò Þ 8 ý Ž Ò ÞM × D

s

 ] X \ " f  H €  •ô  Ç ü @Â Ò ½ ¨1 l x§ 4 s  Å Òl î  r1 l x`  ¦   H ”   1

l

x  \  p u   H % ò † ¾ Ó`  ¦ · ú ˜ ˜ Г ¦  ô  Ç . €  •ô  Ç ½ ¨1 l x§ 4 `  ¦

 €   ”  1 l x   î  r1 l x_  ”  ; Ÿ ¤“ É r Z > – Ð    o t  · ú §“ ¦ 0 A © œ ë

ß –s     o\  ¦ ô  Ç “ ¦ & ñ ½ + É Ã º e ” “ ¦   " f y © œ] j ½ ¨1 l x ”   1

l

x  _  1 l x% i † < Æ`  ¦ 0 A © œ ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð l Õ ü t½ + É Ã º e ”   [13, 14]. þ j7 á x 0 A © œ~ ½ Ó& ñ d ” s  B Ä º ç ß –é ß – “ ¦ ƒ  ½ ¨ l  6   x s  

Õ

ªa Ë > 10. ô  ÇA á ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ër †   ì ø ͕ ¸^ ‰  s š ¸× ¼ /

B N”   r– Ð> _  SPA x 9  APA_  Ÿ íÓ q t Y U é ß –€  . (a) V

d

=1.65 V \ " f @ /| Ä Ì c = −1.4\ " f Å Òl C  Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ K  SPA_  1 l x l  o L :# Q”   . é ß –€  _  & h [ þ t s  à ºf ” Ü ¼– Ð b 

# Q4 R e ”  . (b) V

^d

=1.75 V \ " f  H @ /| Ä Ì c = −0.7\ " f transcritical Š © œ° ú ˜a Ë >\  _ K  SPA_  1 l x l  o L :# Q”   .

APA é ß –€  _  & h [ þ t s  45

^◦

 â  ‚   0 A\  Z  ~ # Œe ” t  · ú §Ü ¼ 9

&

h _  à º SPA é ß –€  _  & h _  à ºü < ° ú   . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [11])

l

 M :ë  H \  s  ~ ½ ÓZ O s  y © œ] j ½ ¨1 l x ”  1 l x  _  1 l x l  o ƒ  ½ ¨\ 

´

ú §s  s 6   x ÷ &“ ¦ e ”   [18–23].

Ã

º† < Æ& h Ü ¼– Ð Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l xî  r1 l x`  ¦ Ä »t    H ”  1 l x  \  ¦   6

£

§ õ  ° ú  s  M " é ¶_  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  .

d~ x

dt = ~ f (~ x), ~ x = (x

₁

, ..., x

_M

) (4) s

 ”  1 l x    ƒ   ”  1 l x à º ω

⁰

– Ð Å Òl î  r1 l x`  ¦ ô  Ç €   Å Ò l

 T

0

= 2π/ω

₀

  ) a  .   " f s  ~ ½ Ó& ñ d ” _  K   H x

0

(t) =

x

0

(t + T

0

)\  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç . Õ ªo “ ¦ s  ”  1 l x  _  0 A © œ φ  H  

Õ

ªa Ë > 11. î ß –& ñ ô  Ç í  H¨ 8 ŠC • ¸ Å Ò0 A_  isochrone I(φ).

isochrone“ É r # Œl " f  o¶ ú ˜³ ð e ”   H & h ‚   C & h Ü ¼– Ð ³ ðr ô  Ç

 כ

% ƒ! 3  í  H¨ 8 ŠC • ¸_  Å Òl  T

0

– Ð Ò  re  ¦a A  8 • ¸ Ô  ¦  K   ô 

Ç . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

A

 d ” `  ¦    ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð    o >   ) a  .

dφ

dt = ω

₀

(5)

s

] j  Œ •“ É r Å Òl & h “   ü @Â Ò j Ë µ`  ¦ d ”  4\   Œ •6   xô  Ç “ ¦ 



. s    y © œ] j ½ ¨1 l x ”  1 l x    H  6 £ § d ” Ü ¼– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ” 



.

d~ x

dt = ~ f (~ x) + ~ p(~ x, t) (6)

#

Œl " f ü @Â Ò j Ë µ_  Å Òl   H T s  9   " f ~p(t) = ~p(t + T )   ) a  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð T 6= T

⁰

s  . ü @Â Ò j Ë µ“ É r C & h `  ¦ ü @

Õ

ªa Ë > 12. Langevin ~ ½ Ó& ñ d ” \ " f_  0 A © œ    o. / B G‚   1: ε = 0“    â Ä º. / B G‚   2: €  •ç ß –_  ¸ ú š6 £ § õ  & h { © œô  Ç ß

¼l _    p '  s  ” > r F ½ + É  â Ä º. × ¼Ó ü t t ë ß – 0 A © œ p

ã ¼ Qf ” s  { 9 # Qè ß – . / B G‚   3: / B G‚   2ü < 1 l x{ 9 ô  Ç ß

¼l _    p '  s \  ¦ ° ú t ë ß – ¸ ú š6 £ § s   H  â Ä º. 0 A © œ p

ã ¼ Qf ” s   8  Å Ò { 9 # Q
“ ¦ 0 A © œs   8 À 1 Ïo    ô  Ç .

(‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [1])

Â

Ò j Ë µs  \ O `  ¦  â Ä º_  Å Òl î  r1 l x_  í  H¨ 8 ŠC • ¸(limit cycle)– Ð Â

Ò'  Y O # Qt >  t ë ß – ü @Â Ò j Ë µ_  ß ¼l   Œ •“ ¦ C • ¸ î ß –

&

ñ ÷ &# Q e ” l  M :ë  H \  " é ¶ A  C • ¸ x

⁰

(t) Â Ò   H \  Që  H  . ¢ ¸ ô 

Ç C • ¸\  p u   H [ O 1 l x(perturbation)“ É r C • ¸\  à ºf ” ô  Ç

– Ð~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ðë ß –  Œ •6   xô  Ç “ ¦ ^  ¦ à º e ”  . ì ø ̀   0 A © œ\  p  u

  H [ O 1 l x_  % ò † ¾ ӓ É r ß ¼“ ¦   " f s   â Ä º 0 A © œ`  ¦ & ñ S X ‰ y 

&

ñ _    H  כ s  € 9 כ ¹ l  M :ë  H \  0 A © œ_  # Œ Q & ñ _ [ þ t s  1

p

x © œ % i   [14–16].

s

] j ü @Â Ò j Ë µ`  ¦  Œ •6   x r &  0 A © œ   à º d ”  5\     ç

 H{ 9  >  C • ¸ Å Ò0 A\ " f    o >  ÷ &“ ¦ Ä ºo   H 0 A © œ

 

 o\  ¦ Æ Ò& h  €    ) a  . s  כ s  0 p x l  0 A # Œ { 9 " î isochrone s  “ ¦  ÒØ Ô  H  כ `  ¦ & ñ _ ô  Ç  [16, 17]. Õ ªa Ë >

11 \  í  H¨ 8 ŠC • ¸ Å Ò0 A\  isochrone`  ¦ ½ ¨$ í   H ~ ½ ÓZ O s  • ¸ d ”

 o÷ &# Q e ”  . " é ¶ A  í  H¨ 8 ŠC • ¸_  Å Òl  T

⁰

– Ð Ò  re  ¦a A # Œ s

 1 l x% i † < Æ> _  î  r1 l x`  ¦ › ' a¹ 1 ÏK  ˜ Ð . s   â Ä º d ”  4– РÒ' 



A ü < ° ú  “ É r ‘ : r ä ¼l \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

x(t) → x(t + T

0

) ≡ Φ(x) (7) í

 H¨ 8 ŠC • ¸ 0 A_  ô  Ç & h  x

^∗

\  ¦ ¸ ú š“ ¦ Φ\  _ K  x

^∗

– Ð = å J o 



 H Å Ò0 A_  — ¸Ž  H & h `  ¦ “ ¦ 9 €   s  & h [ þ t s  isochrones 



“ ¦  ÒØ Ô  H (M -1) " é ¶_  / B Nç ß – I\  ¦ ½ ¨$ í “ ¦ s – ÐÂ Ò '

 isochrone`  ¦ 0 A © œ_  † < Êà º I(φ)– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  .

isochrone`  ¦ s 6   x # Œ €  •ô  Ç ü @Â Ò j Ë µs   Œ •6   x½ + É M :_  Ö ¼ o

>     o   H 0 A © œ_  1 l x% i † < Æ ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨ €   { 9 ì ø Í& h  Ü

¼– Ð  A ü < ° ú  “ É r d ” `  ¦ % 3 >   ) a  .

dψ

dt = −ν + q(ψ) (8)

Õ

ªa Ë > 13.   p '  s ü < ”  1 l x à º s  ç ß –_  › ' a > .

z 

´‚  “ É r ¸ ú š6 £ § s  \ O `  ¦ M :_  1 l x l  o : £ ¤$ í `  ¦, & h ‚  “ É r ¸ ú š6 £ § s  e ”

`  ¦ M :_  1 l x l  o : £ ¤$ í `  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . 1 l x l  o % ò % i “   à º¨ î

% ò

% i s  ¸ ú š6 £ § \  _  # Œ y Œ ™™ è† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . (‚ à Г ¦ë  H‰  ³

[1])

V. Ž Ò ÞM × D; c Q V  À W ¥ ±  q “ Ö ¨ „ ÇÊ Ý

t

F K  t  ¢ - a„  y    & ñ & h “   > (deterministic system)\ 

"

f { 9 # Q
  H 1 l x l  o\  @ /K  · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ . s  ] X \ " f  H ¸ ú š 6

£

§ õ  ° ú  “ É r ü @ Җ РÒ' _  Á º Œ •0 A& h “   [ O 1 l x s  1 l x l  o\  p  u

  H % ò † ¾ Ó\  @ /K  ¶ ú ˜( R ˜ Г ¦  ô  Ç . Û ¼Û ¼– Ð ”  1 l x`  ¦ Ä » t

   H ”  1 l x  \  €  •ô  Ç ü @Â Ò ¸ ú š6 £ § s   Œ •6   x €   d ”  5   A

ü < ° ú  s     oô  Ç “ ¦ & ñ ½ + É Ã º e ”   [24–27].

dφ

dt = ω

0

+ Q(φ, t) (9)

 À

» d ” _   © œ ç ß –é ß –ô  Ç  â Ä º– Ð ¸ ú š6 £ § † ½ Ós  0 A © œõ  Á º › ' a 



“ ¦ & ñ €   0 A ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– РÒ'  Ä »• ¸÷ &  H 0 A © œ ~ ½ Ó& ñ d ”

“ É r  A ü < ° ú  s  ¸ ú š6 £ § † ½ Ó ξ(t)\  ¦ ”   Langevin ~ ½ Ó& ñ d ”  s

  ) a  .

dφ

dt = ω

0

+ ξ(t) (10) Ó

ü

t o & h Ü ¼– Ð s  d ” “ É r 1 " é ¶ Ÿ íJ $ ™[ >  î ß –\  [ þ t # Qe ”   H { 9 



_  random walk– Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ”  . ¸ ú š6 £ § s  Ø  æì  r y  9 þ t

 â

Ä º s  d ” “ É r 0 A © œ p ã ¼ Qf ” (phase slip)s    H < É ª p – Ð î

 r ‰ & ³ © œs  { 9 # Qz Œ ™`  ¦ \ V8 £ ¤ % i “ ¦ z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð S X ‰ “   ) a  

 e ”  . Õ ªa Ë > 12\  0 A © œ p ã ¼ Qf ” s  ³ ðr ÷ &# Q e ”  . { 9 



 0 A © œ p ã ¼ Qf ” `  ¦ ˜ Ðs  9€   Ÿ íJ $ ™[ >   © œ# 4 `  ¦ 8 A# Q  Å 

#

Q  l  M :ë  H \  0 A © œ p ã ¼ Qf ” s  { 9 # Q± ú ˜ S X ‰Ò  ¦“ É r Z  } t 

·

ú § . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 0 A © œ p ã ¼ Qf ” s  { 9 # Q± ú ˜ S X ‰Ò  ¦“ É r ¸ ú š6 £ § ß

¼l \  q Y V # Œ 7 £ x ô  Ç .  Ö  ¦  Q ü @Â Ò ¸ ú š6 £ § s  ” > r F ½ + É

 â

Ä º Õ ªa Ë > 13\ " f% ƒ! 3  1 l x l  o % ò % i s  y Œ ™™ è† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ” 



.

VI. + s Ç Â ] Ø

s

  7 Hë  H \ " f  H Å Òl î  r1 l x`  ¦   H   ½ + Ë q ‚  + þ A> ü < y © œ ]

j ½ ¨1 l x ”  1 l x  \ " f { 9 # Q
  H 1 l x l  o_  ˜ м # & h “   : £ ¤$ í

\

 @ /K  · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤ .  Ö  ¦  Q 1 l x l  o\  p u   H ü @Â Ò ¸ ú š6 £ §

´

òõ • ¸ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ . Å Òl  î  r1 l x_  1 l x l  o_  Ù þ ˜d ” “ É r  © œ  ñ



Œ

•6   x ¢ ¸  H   ½ + Ë`  ¦ “ ¦ e ”   H Å Òl  î  r1 l x q ‚  + þ A ½ ¨$ í כ ¹

_ p \ " f 1 l x l  o  H  ƒ  > \  ¦ Ä »t r &  Šҍ  H B Ä º ×  æ כ ¹ ô 

Ç Ó ü t o  ‰ & ³ © œs  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  .  Ö  ¦  Q 1 l x l  o_  / B N† < Æ

&

h  6 £ x6   x 0 p x$ í s  B Ä º ß ¼l  M :ë  H \  p A \  ×  æ כ ¹ô  Ç ƒ  ½ ¨ õ

] j– Ð Â Òy Œ •÷ &o   \ V © œô  Ç .

P c

p 8 ý ò k >

‘

: r  7 Hë  H`  ¦  Œ •$ í   H X < y © œ" é ¶ @ / Ó ü t o † < Æõ  ^ ”  © œî  r “ §Ã º ü

<_  / B N1 l xƒ  ½ ¨  H • ¸¹ ¡ § s  ÷ &% 3 l \  y Œ ™ × ¼w n m  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Pikovsky, M. Rosenblum and J. Kurths, Synchro- nization: A universal concept in nonlinear sciences (Cambridge University Press, Cambridge, 2001).

[2] I. I. Blekhman, Synchronization in Science and Technology (Nauka, Moscow in Russian, 1981), En- glish translation: (ASME Press, New York, 1988).

[3] C. Sch¨ afer, M. G. Rosenblum, J. Kurth and H. -H.

Abel, Nature 392, 239 (1998).

[4] M. G. Rosenblum, J. Kurth, A. Pikovsky, C.

Sch¨ afer, P. Tass and H. -H. Abel, IEEE Engineering in Medicine and Biology (1998), p.46.

[5] K. Cuomo and A. Oppenheim, Phys. Rev. Lett. 71, (1993).

[6] Ch. Huygens, Horologium Oscillatorium (Apud F.

Muguet, Parisiis, France, 1673), % ò # Q   % i  The Pen- dulum Clock (Iowa University Press, Ames, 1986).

[7] J. Rayleigh, The Theory of Sound (Dover Publish- ers, New York, 1945).

[8] H. D. Schuster, Deterministic Chaos: An Introduc- tion (VCH, Weinheim, 1988).

[9] E. Ott, Chaos in Dynamical Systems (Cambridge University Press, Cambridge, 1992).

[10] S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos:

With Applications to Physics, Biology, Chemistry

and Engineering (Addison-Wesley, Reading, MA,

1994).

[11] W.-K. Lee, Y. Kim and S.-Y. Kim, J. Kor. Phys.

Soc., 40, 788 (2002).

[12] K. T. Alligood, T. D. Sauer and J. Yorke, Chaos:

An Introduction to Dynamical Systems (Springer- Verlag, New York, 1998), p. 413.

[13] I. G. Malkin, Some Problems in Nonlinear Oscil- lation Theory (Gostechizdat, Moscow in Russian, 1968).

[14] Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence (Springer, Berlin, 1984).

[15] A. T. Winfree, The Geometry of Biological Time (Springer, New York, 1980).

[16] J. Guckenheimer, J. Math. Biol., 1, 259 (1975).

[17] A. T. Winfree, J. Theor. Biol., 16, 15 (1967).

[18] G. M. Zaslavsky, Phys. Lett. A 69, 145 (1978).

[19] D. L. Gonzales and O. Piro, Phys. Rev. Lett., 55, 17 (1985).

[20] D. G. Aronson, R. P. McGehee, I. G. Kevrekidis and R. Aris, Phys. Rev. A 33, 2190 (1986).

[21] S. Coombes, Phys. Lett. A 255, 49 (1999).

[22] S. Coombes and P. C. Bressloff, Phys. Rev. E 60, 2086 (1999).

[23] L. Glass, Chaos, 1, 13 (1991).

[24] A. N. Malakhov, Fluctuations in Self-Oscillatory Systems (Nauka, Moscow in Russian, 1968).

[25] C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods (Springer, Berlin, 1990).

[26] H. G. Risken, The Fokker-Planck Equation (Springer, Berlin, 1989).

[27] P. S. Landa, Self-Oscillations in Systems with Finite Number of Degrees of Freedom, (Nauka, Moscow in Russian, 1980).

Synchronization in Nonlinear Periodic Systems

Youngtae Kim

Department of Molecular Science and Technology, Ajou University, Suwon, Korea 442-749 (Received 6 January 2003)

Synchronization is an interesting natural mechanism which maintains collective rhythms in cou- pled systems consisting of many nonlinear components coupled with each other or in forced driven oscillators. When the proper interaction between the components is given, the coupled system shows a complete or perfect synchronization which is robust against external noise and difference between the components. But synchronization is broken or disappears if the interaction is too small or too strong. In this paper the universal properties of the synchronization found in nonlinear periodic systems are introduced.

PACS numbers: 05.45.A,05.45.P

Keywords: synchronization, periodic attractor, oscillating object