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2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지
수학 영역 (나형)
제 2 교시
1.
두 집합 , 에 대하여 집합 ∪의 모든 원소의 합은? [2점]① ② ③
④ ⑤
2.
log log의 값은? [2점]① ② ③
④ ⑤
3. lim
→∞
×
의 값은? [2점]
① ② ③
④ ⑤
4.
모든 항이 양수인 등비수열
에 대하여 × 일 때,의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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5.
유리함수 의 그래프의 점근선의 방정식이
, 일 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
6.
다항함수 의 도함수 ′가 ′ 이다. 일 때, 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
7.
명제 ‘ ≠ 이면 ≠ 이다.’ 가 참일 때, 상수 의 값은?[3점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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8.
등비급수
∞
이 수렴하도록 하는 정수 의 개수는? [3점]① ② ③
④ ⑤
9.
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 위치 가 일 때, 점 P가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 시각 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
10.
함수 에 대하여lim
→
의 값은?
[3점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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11.
첫째항이 이고 공비가 인 등비수열
에 대하여
의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
12.
비행기가 항력을 이겨서 등속수평비행하는 데 필요한 동력을 필요마력이라 한다. 필요마력 (마력)와 비행기의 항력계수 , 비행속력 (m초), 날개의 넓이 (m) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.
(단, 는 양의 상수이다.)
날개의 넓이의 비가 인 두 비행기 , 가 동일한 항력계수를 갖고 각각 등속수평비행하고 있을 때, 필요마력의 비는 이고 비행속력은 각각 , 이다.
의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
수학 영역(나형)
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[13 ~ 14] 함수 의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.
O
13.
∘ 의 값은? [3점]① ② ③
④ ⑤
14. lim
→
의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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15.
좌표평면에서 곡선 이 두 직선 , 와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이는?
(단, O는 원점이다.) [4점]
① ② ③
④ ⑤
16.
수열
에서 일반항
일 때,
≥ 인 모든 자연수 에 대하여
⋯
⋯⋯(*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
<증명>
(1) 일 때, (*)에서 (좌변)
가
(우변) 가
(좌변)(우변)이므로 (*)이 성립한다.
(2) ( ≥ )일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 ⋯
이다.
일 때, (*)이 성립함을 보이자.
⋯
나 ×
따라서 일 때도 (*)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여
≥ 인 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.
위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, × 의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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17.
두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]보 기
ㄱ.
ㄴ. 또는 ㄷ.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
18.
좌표평면에서 자연수 에 대하여 원 과곡선 이 만나는 두 점 사이의 거리를 , 원의 지름의 길이를 이라 할 때,
lim
→∞
의 값은? [4점]
O
①
②
③
④
⑤
수학 영역(나형)
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19.
집합 에 대하여 에서 로의 함수 가
는 상수 이고, 함수 의 역함수 가 존재한다. ,
( ⋯)라 할 때, 의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
20.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형 이 있다. 정육각형의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자.
그림 에 정육각형 의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 라 하자. 정육각형 의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는
원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을
라 하자.
그림 에 정육각형 의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 이라 하자. 정육각형 의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는
원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을
이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때,
lim
→∞
이다.
의 값은? (단, , 은 유리수이다.) [4점]
⋯
⋯
① ② ③
④ ⑤
수학 영역(나형)
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21.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서선분 BC와 선분 CD의 중점을 각각 E, F라 하자. 점 E를 꼭짓점 으로 하고 두 점 A, D를 지나는 포물선과 선분 AF가 만나는 점을 G라 하자. 선분 AG 위를 움직이는 점 P를 지나고 직선 AB와 평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 Q라 할 때, 삼각형 AQP의 넓이의 최댓값은? (단, 점 P는 점 A와 점 G가 아니다.) [4점]
A
B C
D
E
G F P
Q
①
②
③
④
⑤
단답형
22.
함수 에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점]23.
수열
의 첫째항부터 제항까지의 합 이 일 때, 의 값을 구하시오. [3점]
수학 영역(나형)
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24. lim
→
의 값을 구하시오. [3점]
25.
함수
≠
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 , 의 합 의 값을 구하시오. [3점]
26.
두 집합 , 에 대하여 집합 │ ∈ ∈라 할 때, 이 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점]수학 영역(나형)
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27.
두 양수 , 에 대하여 , 일 때, × 의
값을 구하시오. [4점]
28.
첫째항이 이고 공차가 양수인 등차수열
에 대하여이차방정식
의 서로 다른 두 실근을 , 이라 하자.
일 때, 의 값을 구하시오. [4점]수학 영역(나형)
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29.
좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선
, 과 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자.
의 값을 구하시오. [4점]
30.
삼차함수 와 실수 에 대하여 곡선 와 직선 가 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자.함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 는 , 에서 불연속이다.
(나) 함수 는 모든 실수에서 연속이다.
(다)
의 값을 구하시오. [4점]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
