수학

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수학 과학 과학 학습과 학습과 직 직 관

관

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목차

1. 직관적 교수법 및 직관의 의미와 역할 2. 직관과 수학적 추론

3. 직관의 특징 4. 직관의 분류 5. 직관과 경험 5. 직관과 경험

6. 직관적 의미의 실제성 7. 즉각성의 요인

8. 직관적 모델

9. 갈등과 타협

10. 교수학적 방안

페스탈로찌의 내적 직관

• 직관적 교수법

• 루쏘(Rousseau)의 자연주의 교육사상의 영향을 받음

1.

1. 직관적 직관적 교수법 교수법 & & 직관의 직관의 의미 의미 와

와 역할 역할

• 루쏘(Rousseau)의 자연주의 교육사상의 영향을 받음

• 인간성의 합자연적인 발전을 기도하기 위해 마음의

성장순서, 곧 ‘심리적인 순서’에 입각하여 아동 개

개인의 지력이 닿을 수 있는 직접적인 경험을 통하는

방법적 원리를 도입하고자 했으며 직관이 인식의 기

초가 된다고 보았다.

• 직관의 ABC(形 , 數 , 語)

– 形을 정확히 판단하여 사물의 공간적인 관계를 파악하고, 수적인 관계를 이해하여 사물의 크기와 순서를 알고, 다시 그것을 명확한 언어와 결합하여 안으로는 사물의 명확한 관념을 확립하고 밖으로는 표현 능력을 발전시키게 된다.

1.

1. 직관적 직관적 교수법 교수법 & & 직관의 직관의 의미 의미 와

와 역할 역할

관념을 확립하고 밖으로는 표현 능력을 발전시키게 된다.

– 기초 도야의 이념을 구현하기 위한 중심 교과는 기하와 산 술과 언어

– 교사의 주요한 임무는 기하와 산술과 언어의 각 분야에 대

하여 그 기본 개념을 요소화하고 계열화하여 그러한 순서

에 따라 아동의 내적 직관을 도야하는 일

• 수학교육은 아동의 사물에 대한 감각적 인상으로부터 시 작 되어야

• 내적 직관과 ‘마음의 수학’을 중시하여 도형의 작도에

1.

1. 직관적 직관적 교수법 교수법 & & 직관의 직관의 의미 의미 와

와 역할 역할

• 내적 직관과 ‘마음의 수학’을 중시하여 도형의 작도에 서도 자와 컴퍼스 사용을 금지

• 독일 초등학교의 수학교육에서 계산교육과 도형교육에

방법적 교수학을 도입한 최초의 교육자

Treutlein의 ‘직관기하’

• 직관기하

– 논증기하의 전단계로서의 직관적인 기하입문을 넘어 도형에 대 한 직관 자체의 교육적 의미를 부여하는 것

– 현재 우리 나라 초등학교 및 중학교 저학년에서의 직관적인 도형

1.

1. 직관적 직관적 교수법 교수법 & & 직관의 직관의 의미 의미 와

와 역할 역할

– 현재 우리 나라 초등학교 및 중학교 저학년에서의 직관적인 도형 지도에 해당

– 반드시 논증기하를 전제로 하는 것은 아니다.

• Treutlein의 직관기하는 Pestalozzi의 직관적 방법을 중

등학교 기하교육에 적용한 최초의 전형적인 예

직관의 의미와 역 할

• 수학에서 직관은 잘못된 탐구방식으로, 오류의 원인이 되는 거부 되어야 하는 것으로 여겨진다. 그러나 Descartes에게 직관은 모든 진정한 지식의 근원이며, Poincare에 따르면 과학과 수학에서 직관 이 없이는 진정한 창조적 활동은 가능하지 않다.

• 직관이 필요한 이유

1.

1. 직관적 직관적 교수법 교수법 & & 직관의 직관의 의미 의미 와

와 역할 역할

– 어떤 궁극적인 절대적으로 신뢰할 수 있는 확실성의 존재에 대한 인간의 자연적이고 거의 본능적인 믿음

– 잠재적으로 오류를 범할 수 있는 불확실성의 세계에서 우리는 눈으로 보듯이 우리 마음으로 ‘보아야 할’ 기본적인 필요성 을 느끼기 때문

– 확신에 대한 필요는 직관이라는 구조화된, 자기모순이 없는, 외관상 자명한 인지에 이르게 됨

• 직관의 역할 : 사고에 신뢰를 주고 행동적으로 의미 있으며 내적 으로 구조화된 표상을 부여하는 것

2. 직관과 수학적 추론

수학

• 실제적인 대상과 수행된 조작이 제공하는 신뢰감 대신에 형식적으 로 뒷받침된 확신을 줌

• 구체적인 대상 대신에 추상적인 실체의 존재성을 가정

• 경험적인 확인 대신에 형식적인 증명을 사용하고, 증면된 증거가 직접적인 증거를 대신하여 형식적으로 확립된 일관성과 무모순성을 창안

But, 형식적인 닫힌 체계로서의 수학의 완전한 독립성은 괴델의 “불완 전성의 정리”에 의해 형식적으로 불가능함이 입증

형식적으로 뒷받침된 확신감, 일관성, 무모순성, 필연성 등은 실제적인 현상이 갖는 본질적인 신뢰감이나 풍요함과 같은 확신을 주지 못한다.(예:

이중부등식, 다항식의 근)

직관의 본질적인 역할은 개념에 생산성을 부여하고 실제적인 적응행위 에 효율성을 보증하는 해석을 가능하게 하는 것이다.

직관이 수학에서 참인 경우 : 등식의 추이성 , 모든 자연수는 후자를 가진 다.

• 직관적 지식

: 충분한 경험적인 증거나 엄밀한 논리적 논증에 의해 뒷받침되지도 않음에도 불구하고 확실하고 분명한 것으로 수용되는 경향이 있는 지식 (예: 차원이 다른 두 연속체가 대등할 수 없다.)

• 암묵적, 자발적, 비통제적 해석이 반응을 왜곡

– 아동: 두 직선이 만나서 생기는 점과 네 직선이 만나서 생기는 점 중 두 번째 점이 더 크다

2. 직관과 수학적 추론

중 두 번째 점이 더 크다

– 수학자(바이어슈트라스 이전): 모든 연속인 실함수는 적어도 몇 개의 점에서 미분가능하다

• 직선: 추상적인 개념, 실제로는 없다. 자명성과 신뢰성이 함축됨

– 학생에게 종이 위에 그려진 선 – 물리학자에게 광선

– 여행자에게 앞으로 똑바로 가는 것

추론

추론 직관 직관

• 논리적 조작에 수반되는 타당성에 대한 느낌을 나타내는 것으로, 추론에 수반되며, 기초직관일수도 있고 이차직관일수도 있다.

• 삼단논법

– 결론은 전제에 의해서 결정되는데, 그 타당성은 증명될 수 없으 며, 우리는 그것을 직관에 의해 받아들여야 한다.

2. 직관과 수학적 추론

며, 우리는 그것을 직관에 의해 받아들여야 한다.

(예 : “귀납추론의 보편성” 역시 직관에 의해 받아들여야 함)

• 어떤 규칙을 형식적으로 안다는 것은 그것이 직관적으로 동화되었 다는 것을 함의하지 않는다.

• 어떤 논리적 조작의 진리표를 안다는 사실은 실제적인 문제해결 상 황에서의 그 자동적인 사용을 보증하지 않는다. (예: 70보다 작은 수로서 숫자의 합이 7로 나누어 떨어지는 수의 열 7, 16, 25, 34를 생각할 때, 그 다음 수는 어떤 수인가?)

직관적인

직관적인 편견과 편견과 메타인지 메타인지

• 직관 : 과신이 본질적인 역할을 하는 “인지작용 ”

– 학습한 바른 대답에 대해서보다 배운 일이 없는 옳지 않은, 그러 나 직관적으로 수용 가능한 해답을 더욱 신뢰하게 함

2. 직관과 수학적 추론

• 직관적 장애 : 회피할 수 없기 때문에 분명한 교수학적 전략 을 바탕으로 그것을 극복해야 한다.

– 적절한 교수학적 기법을 사용하여 잠재적인 갈등이 의식적이며 실제적인 것이 되도록 해야 한다.

•• 메타 메타 인지적 인지적 능력 능력

– 사후 통제의 개선

• 도출된 결과와 수행된 전략에 대한 전체적, 직관적 추정

• 실현된 단계의 세세한, 소급적 분석

2. 직관과 수학적 추론

• 실현된 단계의 세세한, 소급적 분석

– 조작적 수준에서 자동적으로 작용하는

“자기조절 스키마”(경보장치)를 개발

3. 직관의 특징

①

자명성

: 정당화가 필요 없이 스스로 참이라고 느끼는 것.

자명성을 지각하는 것은 불변성을 인식하는 것을 뜻한다.

②

내재적 확실성

: 증명을 근거로 해서 참이라고 확신할 수 있는 것.

자명성과 내재적 확실성은 매우 밀접히 관련되어 있지만 자명성과 내재적 확실성은 매우 밀접히 관련되어 있지만 한쪽이 다른 쪽으로 환원(X)

3. 직관의 특징

③

강건성(고착성)

자명성과 내재적 확실성은 직관의 강건성을 결정하며 그것이 옳지 않 다고 해도 제거는 어렵다.

직관의 강건한 표상과 획득된 개념 사이의 모순에 대한 교육적 방안

⇒ 학생들이 갈등을 인식하도록 만들고 그의 직관을 개념적인 양식으

⇒ 학생들이 갈등을 인식하도록 만들고 그의 직관을 개념적인 양식으 로 조종하는

능력을 개발하도록 도와주는 것

④

강제성

:개인의 추론방식에 강제적인 영향을 미친다.

↳주관적인 면에서 절대적이고 유일한 표상 or 해석으로 부과되고, 다 른 대안은 수용 불가

⑤

이론적 지위

:직관적으로 수용하는 것은 단순한 지각이 아니 라 필연성, 일반성 보편성을 받아들이는 것이고 전형적인 보기, 유추, 도해, 행위 등의 모델을 사용하여 특별한 표상으로 표현된 이론.

⑥

외삽성

: 외삽성은 어떤 영역에서 타당하다고 입증된 개별 명

3. 직관의 특징

⑥

외삽성

: 외삽성은 어떤 영역에서 타당하다고 입증된 개별 명 제나 일반적인 법칙, 명제 또는 이론 전체를 타당성이 확정되지 않고, 단지 가정되어 있는 다른 영역에 적용하는 것을 의미한다.

직관은 외삽성을 전제로 한다.

(외삽적 추측은 직관을 정의하는 데 불충분하며, 확신이 없으면 그것은 단순히 귀납적 추측이다.)

직관을 특징짓는 것은 정보의 불완전성과 내재적 확실감의 결합.

⑦

전체성

:직관은 그 본성상 분석적 사고와 반대되는 전체적인 종합 적

관점이다.

직관적 전체화의 메커니즘

3. 직관의 특징

직관적 전체화의 메커니즘

– 부분으로부터 전체로의 외삽성에 의해 – 위계적 조직화에 의해

– 어떤 현상에 포함된 특정 관계성을 선험적 필연성과 자명성으로 보이는 일반 원리의 표현으로 파악함으로써

– 시각화 메커니즘

4. 직관의 분류

역할에

역할에 근거한 근거한 분류 분류

직관과 풀이의 관계성을 고려

단정적 직관 : 풀이 요소가 암시적. 확실하고 자명하며 일관성이 있는 것으로 수용된 여러 가지 사실에 대한 표상이나 해석.

의미론적 직관: 개념의 의미에 관련

관계적 직관: 외관상 자명하고 자기모순이 없는 명제

추리적 직관: 귀납적 또는 연역적 구조

공통 직관: 아동기에 자연스럽게 발달하고 같은 문화에 속한 사람들 에게 공유되는 기본적 표상과 해석

개별적 직관: 개인적인 직관적 표상

• 추측 직관 : 풀이 요소가 명시적이지만 해결 노력에서 명시적으로 개 재되지 않는다. 미래사건에 대한 가정(체계적인 풀이활동에 포함하 지 않는 활동)

• 예상 직관 : 풀이 순간과 문제해결의 틀 모두 명시적. 문제에 대한 분 석적인 풀이에 앞선 예비적인 전체의 견해.(반드시 분석적 노력이 뒤 따르는 문제풀이의 단계)

4. 직관의 분류

따르는 문제풀이의 단계)

• 결론적 직관 : 섬광에 의한 탐구. 풀이는 직관적으로 닫히는 것, 자기 모순이 없는 것. 세련시킨 문제풀이의 기본적인 아이디어를 전체적 이고 구조화된 시각으로 종합하고 요약

기원에 의한 분류

• 일차 직관 : 문화 변인에 종속되는 정상적인 일상경험을 바탕으로 발달

• 이차 직관 : 자연스런 경험이 아닌 교육적 간섭을 통해 획득되는 것

4. 직관의 분류

5. 직관과 경험

직관의 형성

• 행동과 경험이 직관 형성의 기본적인 요인이며 우리의 일반적인 공간 직관 역시 우리가 사는 지구라는 공간에서의 경험과 관련된다.

• 우리의 직관적인 공간표상은 Euclid적-Newton적 성질과, 거리는 접근

• 우리의 직관적인 공간표상은 Euclid적-Newton적 성질과, 거리는 접근 하면 점차 확대되고 멀어지면 응축되는 것으로 생각되는 원시적인 신념 의 혼합체이다.

• 주관적인 공간

- 현실의 재생이 아니라 현실에 대한 해석이며, 경험 에 의해서 형성되고 경험을 초월하고 “경험의 산물”일 뿐만 아니라

“경험의 조건”이다. 즉 아동의 공간 표상은 객관적으로 주어진 공간 의 단순한 반영이 아니라 행동의 안내자로서 조종체계로서 작용하는 비 교적 일관성이 있는 기대체인 직관의 덩어리이다

.

• 직관은 자동화된 반응체계 이상이며, 이론이요 신념체계요, 겉보기 에 자율적인 기대 체계이고 오랜 경험에 의해서 형성된 신념으로 자 기 일관성이 있는 기대에 근거한다.

• 경험은 안정된 반응 패턴을 생성하고 겉보기에 자율적인 신념체계를

5. 직관과 경험

생성함으로써 직관을 생성한다. (예: 곱셈은 더 크게 만든다는 신념 생성

• 경험의 필연적 한계는 실제성이며 이는 직관의 신뢰성에 심각한 제 한을 가하게 된다. 실제성과 관련된 세 가지 요인인 “구체성, 유한 성, ‘복제’장애”에 대해 살펴보면,

– 구체성 - 점과 직선의 경우, 이들은 개념이요 구성물이요 실제적 인 대응물이 없는 단순한 정의임에도 불구하고 항상 구체적인 대 상을 통하여 생각한다. (반점, 수직선 모델, 길이가 다른 두 선분 이 같은 수의 점을 포함한다는 것을 직관적으로 수용 불가)

– 유한성 - 우리가 실제로 다루는 대상은 공간에 한정되어 있고 무

5. 직관과 경험

– 유한성 - 우리가 실제로 다루는 대상은 공간에 한정되어 있고 무 한히 확장 가능한 것(역동적 무한)으로 상상할 수 있지만, 시간적 으로 제한되어 있다. 직선을 무한히 확장할 수 있다는 것을 직관 적으로 수용할 수 있지만 아무리 확장하여도 매 순간 실제로 얻 는 것은 유한인 선분이다.

– ‘복제’ 장애 - 직관의 실제성은, 실제적으로는 의미 없는 정신 적인 조작을 수행하기 어렵게 한다.

‘복제’장애

• 동일한 원소가 실제적으로 불가능한 서로 다른 두 집합에 동시에 속 한다는 것을 받아들일 수 없다. (예; 앵초꽃 개수, 단일 삼각형을 두 개의 삼각형으로 보기)

5. 직관과 경험

• 직관을 특징짓는 특정한 신념과, 아이디어나 표상을 내재적으로 타 당한 것으로 수용하는 것은, 실제적 혹은 정신적 활동에 아동이 직접 경험으로 참여하는 결과로써만 달성될 수 있다.

• But, 수학교육에서 항상 달성(X)

– (예) a^0=1, (-a)(-b)=ab )

• 교수학적 권고

– 여러 가지 개념과 명제에 대한 학생들의 직관적인 이해를 깊게 하는 것이 중요.

– 학생들이 개인적으로 그리고 경험적으로 정신적인 생산적 활동 에 참여하는 교수학적 상황을 창조함으로써만 이루어질 수 있다.

5. 직관과 경험

에 참여하는 교수학적 상황을 창조함으로써만 이루어질 수 있다.

(예; 확률에서 구슬, 주사위 등을 실제 조작해보고 관찰, 기록하는 경험 필요)

– 실제적이고 행동적인 상황이 도움이 되지 않는 경우에는, 수학에 서 모든 것이 직관적으로 이해될 수 있고 시각적 또는 행동적으 로 표상 가능하지 않다는 것, 많은 개념이 그 본성상 합리적으로 타당하지만 우리의 직관적인 능력을 넘어선다는 것을 직관적으 로 이해시켜야

직관의 메커니즘

• 과신: 불확실한 상황에서 단호하고 신속하게 작용하도록 직관 적 인지를 안정시키기 위해, 옳은 가능성을 과대평가

5. 직관과 경험

• 극화: 직관적 해석의 개연성을 증진시키기 위해서, 자동적으 로 사실의 열을 극적으로 만드는 경향. 논리적으로 받아들일 만한 일관성을 제시하기 위해 결합

• 조급한 폐쇄성: 정보와 주장을 정당화하기 전에 새로운 정보 에 대한 탐색과 주장에 대한 조사를 자동으로 멈춤. 그 결과 확신과 내재적 무모순성이라는 조숙하게 폐쇄된 표상을 얻음