제 6 장. 역함수
6.1 역함수
6.2 지수함수와 도함수 6.3 로그함수와 도함수 6.6 역삼각함수
6.7 쌍곡선함수
6.8 부정형과 로피탈법칙
1
6.7 쌍곡선함수
지수함수 ex 와 e-x에 의해 유도되면서 쌍곡선과 관련되는 함수 전체 를 쌍곡선함수(hyperbolic function)라 하고 개별적으로는 쌍곡선 사인함수(hyperbolic sine function), 쌍곡선 코사인함수(hyperbolic cosine function) 등으로 불린다.
sinh , cosh , tanh sinh
2 2 cosh
1 1 1
csch , sech , coth
sinh cosh tanh
x x x x
e e e e x
x x x
x
x x x
x x x
sinh x 정의역
cosh x
치 역 [1, ∞)
tanh x
모든 실수 모든 실수 모든 실수
모든 실수 (-1, 1)
3
현수선 y = c + a cosh(x/a)
무겁고 유연하게 휘어진 전선(전화선이나 전력선 등)이 같은 높이의 두 점 사이에 걸쳐 있다면, 그 곡선은 방정식 y = c + a cosh(x/a)로 표현되는 곡선 모양이다. 그 곡선을 현수선(catenary)이라 한다.
쌍곡선함수의 항등식
2 2 2 2
sinh( ) sinh , cosh( ) cosh , cosh sinh 1, 1 tanh sech , sinh( ) sinh cosh cosh sinh
cosh( ) cosh cosh sinh sinh
x x x x
x x x x
x y x x x x
x y x x x x
2 2 2 2
( ) cosh a x sinh x 1, ( ) 1 tanh b x sech x
5
임의의 실수 t에 대해 점 P(cost, sint)는 cos2 t + sin2 t = 1을 만족하므로
단위원 x2 + y2 = 1 위에 놓여 있다.
임의의 실수 t에 대해 점 P(cosht, sinht) 는 cosh2 t – sinh2 t = 1을 만족하므로 쌍곡선 x2 – y2 = 1의 오른쪽 분지에 놓여 있다. ( cosht ≥ 1)
쌍곡선함수의 도함수
2
sinh cosh cosh sinh tanh sech
d x x
dx
d x x
dx
d x x
dx
2
csch csch coth sech sech tanh coth csch
d x x x
dx
d x x x
dx
d x x
dx
7
역쌍곡선함수
cosh은 일대일 함수가 아니지만 정의역을 [0, ∞)로 제한하면 일대일 함수가 된다.
1 1 1
sinh sinh
cosh cosh , 0
tanh tanh
y x y x
y x y x y
y x y x
sinh과 tanh는 일대일 함수이므로 역함수가 존재하며 각각 기호 sinh-1, tanh-1로 나타낸다.
쌍곡선함수는 지수함수로 정의되므로, 역쌍 곡선함수가 로그함수로 표현될 수 있다.
1 2
1 2
1
sinh ln 1 ,
cosh ln 1 , 1
1 1
tanh ln , 1 1
2 1
y x x x x
y x x x x
y x x x
x
¡
9
1 2
sinh x ln x x 1 예제
역쌍곡선함수의 도함수
1
2
1
2
1
2
sinh 1
1 cosh 1
1 tanh 1
1
d x
dx x
d x
dx x
d x
dx x
1
2
1
2
1
2
csch 1
1 sech 1
1 coth 1
1
d x
dx x x
d x
dx x x
d x
dx x
11
1
2
sinh 1
1
d x
dx x
tanh 1 sin
d x
dx 예제
011
2dx x
예제
13
6.8 부정형과 로피탈 법칙
lim ( )
( )
x a
f x g x
(a) x → a 일 때 f(x) → 0이고 g(x) → 0이면
0/0 형의 부정형(indeterminate form of type 0/0)
(b) x → a일 때 f(x) → ∞(또는 -∞ )이고, g(x) → ∞ (또는 -∞ )이면
∞ /∞ 형의 부정형(indeterminate form of type ∞/∞ )
로피탈 법칙
a를 포함하는 개구간(a는 제외 가능)에서 함수 f 와 g가 미분 가능하고, g’(x) ≠ 0이라고 하자.
(0/0 부정형) 또는
( ∞/∞ 부정형)
그러면 다음 극한의 우변이 존재하면 (또는 ∞ 이거나 -∞ ) 다음 이 성립한다.
lim ( ) 0, lim ( ) 0
lim ( ) , lim ( )
x a x a
x a x a
f x g x
f x g x
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
x a x a
f x f x
g x g x
15
1
lim ln
1
x
x x
2
lim
x x
e x
3
lim ln
x
x x 예제
0 3
lim tan
x
x x x
lim sin
1 cos
x
x x
예제
17