제 6 장. 역함수

(1)

(2)

제 6 장. 역함수

6.1 역함수

6.2 지수함수와 도함수 6.3 로그함수와 도함수 6.6 역삼각함수

6.7 쌍곡선함수

6.8 부정형과 로피탈법칙

1

(3)

6.7 쌍곡선함수

지수함수 e^x와 e^-x에 의해 유도되면서 쌍곡선과 관련되는 함수 전체 를 쌍곡선함수(hyperbolic function)라 하고 개별적으로는 쌍곡선 사인함수(hyperbolic sine function), 쌍곡선 코사인함수(hyperbolic cosine function) 등으로 불린다.

 

 

  

sinh , cosh , tanh sinh

2 2 cosh

1 1 1

csch , sech , coth

sinh cosh tanh

x x x x

e e e e x

x x x

x

x x x

(4)

sinh x 정의역

cosh x

치 역 [1, ∞)

tanh x

모든 실수 모든 실수 모든 실수

모든 실수 (-1, 1)

3

(5)

현수선 y = c + a cosh(x/a)

무겁고 유연하게 휘어진 전선(전화선이나 전력선 등)이 같은 높이의 두 점 사이에 걸쳐 있다면, 그 곡선은 방정식 y = c + a cosh(x/a)로 표현되는 곡선 모양이다. 그 곡선을 현수선(catenary)이라 한다.

(6)

쌍곡선함수의 항등식

    

   

  

2 2 2 2

sinh( ) sinh , cosh( ) cosh , cosh sinh 1, 1 tanh sech , sinh( ) sinh cosh cosh sinh

cosh( ) cosh cosh sinh sinh

x x x x

x y x x x x

   

2 2 2 2

( ) cosh a x sinh x 1, ( ) 1 tanh b x sech x

5

(7)

임의의 실수 t에 대해 점 P(cost, sint)는 cos² t + sin² t = 1을 만족하므로

단위원 x² + y² = 1 위에 놓여 있다.

임의의 실수 t에 대해 점 P(cosht, sinht) 는 cosh²t – sinh²t = 1을 만족하므로 쌍곡선 x²– y²= 1의 오른쪽 분지에 놓여 있다. ( cosht ≥ 1)

(8)

쌍곡선함수의 도함수

 



 ²

sinh cosh cosh sinh tanh sech

d x x

dx

d x x

dx

d x x

dx

 

 

  ²

csch csch coth sech sech tanh coth csch

d x x x

dx

d x x x

dx

d x x

dx

7

(9)

역쌍곡선함수

cosh은 일대일 함수가 아니지만 정의역을 [0, ∞)로 제한하면 일대일 함수가 된다.



  

   

  

1 1 1

sinh sinh

cosh cosh , 0

tanh tanh

y x y x

y x y x y

y x y x

sinh과 tanh는 일대일 함수이므로 역함수가 존재하며 각각 기호 sinh^-1, tanh^-1로 나타낸다.

(10)

쌍곡선함수는 지수함수로 정의되므로, 역쌍 곡선함수가 로그함수로 표현될 수 있다.

 



    

    

  

       

1 2

1

sinh ln 1 ,

cosh ln 1 , 1

1 1

tanh ln , 1 1

2 1

y x x x x

y x x x

x

¡

9

(11)

 

¹   ² 

sinh x ln x x 1 예제

(12)

역쌍곡선함수의 도함수

 



 

 

1

2

1

2

1

2

sinh 1

1 cosh 1

1 tanh 1

1 d x

dx x

d x

dx x

d x

dx x

 



  

  

1

2

1

2

1

2

csch 1

1 sech 1

1 coth 1

1 d x

dx x x

d x

dx x x

d x

dx x

11

(13)



^



^



1

2

sinh 1

1

d x

dx x

 

  

tanh ¹ sin 

d x

dx 예제

(14)



0¹

1 

2

dx x

예제

13

(15)

6.8 부정형과 로피탈 법칙



lim ( )

( )

x a

f x g x

(a) x → a 일 때 f(x) → 0이고 g(x) → 0이면

0/0 형의 부정형(indeterminate form of type 0/0)

(b) x → a일 때 f(x) → ∞(또는 -∞ )이고, g(x) → ∞ (또는 -∞ )이면

∞ /∞ 형의 부정형(indeterminate form of type ∞/∞ )

(16)

로피탈 법칙

a를 포함하는 개구간(a는 제외 가능)에서 함수 f 와 g가 미분 가능하고, g’(x) ≠ 0이라고 하자.

(0/0 부정형) 또는

( ∞/∞ 부정형)

그러면 다음 극한의 우변이 존재하면 (또는 ∞ 이거나 -∞ ) 다음 이 성립한다.

 

 

   

lim ( ) 0, lim ( ) 0

lim ( ) , lim ( )

x a x a

f x g x

 ( )   '( )

lim lim

( ) '( )

x a x a

f x f x

g x g x

15

(17)

¹

 lim ln

1

x

x x

 2

lim

x x

e x

 3

lim ln

x

x x 예제

(18)





0 3

lim tan

x

x x x





lim sin

1 cos

x

x x



예제

17

(19)

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적분법

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삼각적분

유리함수적분

(20)