제 4 장. 적 분

(1)

(2)

제 4 장. 적 분

4.1 넓이와 거리 4.2 정적분

4.3 미적분학의 기본정리

4.4 부정적분과 순변화정리

4.5 치환법

(3)

4.1 넓이와 거리

구간 a에서 b까지 곡선 y = f(x) 아래에 있는 영역 S의 넓이

(4)

x b a n

  

(5)

연속함수 f 의 그래프 아래에 있는 영역 S의 넓이(area) A는 근사 직사 각형들의 넓이의 합의 극한이다.

n n

A

lim

f x

( )

₁^ x f x

( )

₂^ x f x

( )

^ x



 

      L   

n

i i

f x x

1

( )^





 ^을 ^{리만 합}(Riemann sum)이라고 한다.

(6)

4.2 정적분

f 가 a ≤ x ≤ b에서 정의된 함수일 때 구간 [a, b]를 너비가 Δx = (b - a)/n 로 같은 n개의 부분 구간으로 나누자. 이 부분 구간의 끝점을 x₀(= a) , x₁, x₂, ..., x_n(= b)으로 놓는다. 이 부분 구간에서 표본점 가 i 번째 부분 구 간 [x_i-1, x_i]에 속하도록 표본점 를 택한다. 극한이 존재하고 모든 선택 가능한 표본점에서 값이 같으면 a에서 b까지 f 의 정적분은 다음과 같고, 이때 f 는 [a, b]에서 적분가능하다고 한다.

b n

a n i i

f x dx f x x

1

( ) lim ( )^

 









x x₁^, , ,₂^ L xn^

정의

(7)

(1) f(x) : 피적분함수(integrand)

(2) a와 b : 적분 한계(limits of integration).

여기서 a는 하한(lower limit), b는 상한(upper limit)이다.

적분을 계산하는 과정을 적분법(integration)이라 한다.

정적분 의 값은 x와 관계없는 수이다. 다음과 같이 x 대신에 다른 문자를 사용해도 적분값은 같다.

b

a f x dx( )



b b b

a f x dx( )  a f t dt( )  a f r dr( )

  

b

a f x dx( )



^에서

(8)

f 가 그림과 같이 양과 음의 값을 동시에 갖는다면, 리만 합은 x축 위 에 놓인 직사각형들의 넓이의 합과 x축 아래에 놓인 직사각형들의 넓이의 합의 음수값을 합한 것이다.

b

a f x dx A( )  ₁ A₂



A₁은 x축 위와 f 의 그래프 아래에 있는 영역의 넓이 A₂는 x축 아래와 f 의 그래프 위에 있는 영역의 넓이

(9)

예제

다음 적분을 각각 넓이로 해석해서 계산하라.



0¹ 1 x dx ²



0³(x1)dx

(10)

정적분의 성질 (c 는 임의의 상수)

 



a^c f x dx^{( )}



c^b f x dx^{( )}



a^b f x dx^{( )}



a^a f x dx^{( )}  ⁰



b^a f x dx^{( )}  



a^b f x dx^{( )}

 

 

  



  



  

 

  

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b a

b b b

a a a

b b

a a

b b b

a a a

cdx c b a

f x g x dx f x dx g x dx cf x dx c f x dx

f x g x dx f x dx g x dx 1.

2.

5.

6.

3.

7.

4.

(11)

8. a ≤ x ≤ b 에 대해 f(x) ≥ 0 이면, 이다.

9. .9. a ≤ x ≤ b 에 대해 f(x) ≤ g(x)이면, 이다.

10. a ≤ x ≤ b에 대해 m ≤ f(x) ≤ M이면, 다음이 성립한다.

 



 

( ) ^b ( ) ( )

m b a a f x dx M b a

(12)

4.3 미분적분학의 기본정리

f 가 [a, b]에서 연속일 때

라 하면, g는 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분가능하며, g'(x)= f(x) 이다.





 

( ) ^x ( ) ,

g x a f t dt a x b

의 도함수를 구하라.





₀  ² ( ) ^x 1

g x t dt

예제

미분적분학의 기본정리 1

(13)



1^x⁴sec d t dt dx

예제

(14)

f 가 [a, b]에서 연속이면, 다음이 성립한다.

.

 



a^b f x dx F b F a^{( )} ^{( )} ^{( )}

여기서 F는 f 의 임의의 역도함수이다. 즉, F‘ = f 이다.

미분적분학의 기본정리 2

예제

정적분



_¹2x dx³ 를 계산하라.

(15)

x = 0에서 x = b 까지 코사인함수의 곡선 아래의 넓이를 구하라.

여기서 0 ≤ b ≤ p_/2이다.

예제

(16)

다음 계산에서 무엇이 잘못되었는가?



 

     





1 3 3

1 2

1

1 1 1 4

1 3 3

dx x x



³1(1/ )x dx² 는 존재하지 않는다.

예제

(17)