단순명제 논리
논리의 핵심은 어떤 명제가 다른 명제들로부터의 논리적으로 결과인지를 판단하는 것에 있다. 사람들이 1 차 논리 언어를 만든 이유도 사실은 ‘논리 적 결과’ 라는 것이 어떤 의미인지를 명확히 하기 위해서였다. 따라서 1 차 논리 언어를 배우게 되면 어떤 논증이 논리적인지 아닌지를 확인하는 데에 많은 도움을 얻을 수 있다. 물론 일상생활에서 사용되는 문장이나 논증이 반드시 1 차 논리 언어의 명제들로 표현될 필요는 없다.
이번 장 (chapter) 에서는 ‘논리적인 결과이다’, ‘논리적으로 타당하다’, ‘논 리적으로 건전하다’ 등의 의미를 다룬다. 또한 어떤 주장이 다른 주장들의 논리적인 결과인지를 보이는 방법을 소개한다.
3.1 논증의 타당성과 건전성
먼저 일상생활에서 사람들은 항상 무언가를 주장하며 그 주장이 왜 옳은가 를 보이고자, 즉 논증하고자 한다. 일상생활에서의 논증은 무언가를 전제한 후 그로부터 새로운 내용을 이끌어내는 형식을 취한다. 즉, 아래 그림의 형 태를 갖는다.
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논증의 타당성과 건전성 27
문장1
«
문장2 전제 . . . 문장n
문장 } 결론 예제 3.1. 가장 유명한 논증으로 삼단논법이 있다.
(전제 1) 모든 사람은 언젠가 죽는다.
(전제 2) 소크라테스는 사람이다.
(결론) 소크라테스는 언젠가 죽는다.
일상생활에서 어떤 논증이 논리적으로 타당하다란 말은 어떤 의미인가 를고민해 본 적이 있는가 ? 논리에서 어떤 어떤 논증이 타당하다란 말은 논 증의 모든 전제가 참이라면 논증의 결론도 참이됨을 의미한다. 그리고 논리 적으로 타당한 논증의 결론을전제의 논리적 결과라 한다. 앞서의 삼단논법 은 타당한 논증이다. 모든 사람은 언젠가 죽고 또 소크라테스가 사람이라면 소크라테스도 언젠가는 죽기때문이다.
여기서 주의해야 할 사항이 하나 있다. 어떤 논증이 타당하다고 하면 그 논증의 모든 전제들이 참이라는 오해를 하곤 한다. 하지만 어떤 논증이 타 당하다고 해서 그 논증의 전제가 반드시 참임을 의미하지는 않는다. 예를 들어, 위 삼단논법에서 소크라테스가 실제로는 사람이 아니라 로봇이었다 하더라도 위 삼단논법은 타당한 논증이다. 하지만 소크라테스가 정말로 로 봇이었다면 삼단논법의 두 번째 전제는 거짓이 된다. 또 하나의 예로, 블록 언어의 단순명제들로 만들어진 아래의 논증을 살펴보자.
예제 3.2. (블록 언어) Cube(c) 이고 c = b이면 Cube(b)이다.
(전제 1) Cube(c) (전제 2) c = b
(결론) Cube(b)
위 논증에서 (전제 1) 은 (이름 c 가 가리키는 사물이 정사면체라고 주장하는 것이 아니라) 이름 c 가 가리키는 사물이 정사면체라고 가정하는 것이다. 또 한 (전제 2) 는 이름 c 가 가리키는 사물과 이름 d 가 가리키는 사물이 동일하 다고 가정하는 것이다. 따라서 위 두 전제로부터 이름 b 가 가리키는 사물 또한 정사면체일 수 밖에 없음을 논증하고 있다.
이제 타당하지 않은 논증을 살펴보자.
예제 3.3. 다음의 논증은 타당하지 않다.
(전제 1) 부자인 연기자들은 모두 훌륭한 연기자이다.
(전제 2) 김태희는 훌륭한 연기자이다.
(결론) 김태희는 부자다.
여기에서 우리 모두가 알고 있는 미인 배우 김태희가 정말로 부자인가 는 전혀 중요하지 않다. 사실 우리가 모르는 무명의 김태희란 이름을 가진 훌륭하지만 가난한 연기자가 있을 수 있는 가능성을 고려해야만 한다. 따 라서 위 논증은 타당하지 않다.
그렇다면 어떤 논증이 타당하지 않음을 어떻게 보일 수 있는가 ? 반례 를 찾으면 된다. 여기서 반례찾기란 논증의 전제가 모두 참이지만 결론은 거짓이 되도록 하는 world(즉, 상황, 세상, 또는 공간) 을 찾는다는 의미이 다. 앞서의 예에서 설명한 것처럼 가난하지만 김태희란 이름을 가진 훌륭한 연기자를 찾거나 그럴 가능성이 언제나 열려 있음을 보이면 된다.
앞서 타당한 논증이라 하더라도 그 논증의 전제가어떤 공간에서든 항상 참이라고는 말할 수없다고 하였다. 그런데 논리에 익숙하지 않은 이들에게
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이말은 좀 생소하다. 일상생활에서 통용되는 논증의 타당성과 좀 다른 의미 를갖기 때문이다. 하지만 배우 김태희의 연기성과 재산과의 관계의 예에서 보았듯이 논증의 전제들의 참, 거짓 여부는 어떤 공간에서 그 의미를 파악 하느냐에 따라 달라질 수 있다. 우리 나라의 모든 부자 연기자들이 훌륭한 배우라면 위 전제가 참이겠지만 그렇지 않다면 위 전제는 거짓이 되기 때 문이다.
그렇다면 타당하면서도 (현재 세상에서) 모든 전제가 참인 논증은 어떤 모습일까 ? 먼저, 앞서 언급한 삼단논법이 타당하면서도 모든 전제가 참이 다. 삼단논법의 전제들이 참인 이유는 지금 우리 인간들의 역사에 한정하 기 때문이다. (반면에 우주에 우리와 거의 같은 역사를 같고 있는 생명체가 있고 거기에서는 소크라테스가 사람이 아니라 로봇이었다면 그 공간에서 는 삼단논법의 전제가 모두 참이지는 않다. 즉, 그런 세상에서는 삼단논법 이 여전히 타당하지만건전하지는 않다.) 이와같이 타당하면서 동시에 모든 전제가 (주어진 공간에서) 참이되는 논증을 건전한 (sound) 논증이라 한다.
타당하지만 건전하지 않은 논증을 살펴보자.
예제 3.4. 타당하지만 건전하지 않은 논증
(전제 1) 부자인 연기자들은 모두 훌륭한 연기자이다.
(전제 2) 김태희는 부자다.
(결론) 김태희는 훌륭한 연기자이다.
위 논증의 타당성은 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 건전하지는 않다. 왜냐하 면 어떤 연기자가 부자라고 해서 그가 반드시 훌륭한 연기자라고 말할 수는 없기 때문이며, 실제로 그러한 경우가 존재한다.
하지만 논리에서는 논증의 건전성보다는 타당성에 초점을 둔다. 왜냐하 면 어떤 논증의 전제가 참인가를 알아보는 것은 논리의 영역이 아니기 때문
이다. 즉, 전제들의 참, 거짓 여부보다는 논증의 결론이 전제들의 논리적인 결과인가가 주요 관심대상이다.
앞으로 우리는 논증을 표기하는 방식으로 핏치 형식 (Fitch format) 을 사 용할 것이다. 여기서 핏치 (Frederic Fitch, 1908 ∼ 1987) 는 미국태생의 논 리학자이다. 삼단논법을 핏치 형식을 이용하여 표기하면 아래와 같다.
사람은 모두 언젠가 죽는다
(전제) 소크라테스는 사람이다
소크라테스는 언젠가 죽는다 (결론)
핏치 형식에서 짧은 수평선 위쪽에 위치한 명제들이 논증의 전제들이며 짧 은 수평선 아래에 위치한 명제가 논증의 결론이다. 짧은 수평선을 핏치 막 대라고도 부른다.
연습문제 1. 영어교재 연습문제 2.1 ∼ 2.4 를 이용하여 논증의 타당성 확인 연습을 할 것.
3.2 증명 방법
지금까지 논증의 타당성이 어떤 의미인지를 배웠다. 예를 들어, 아래의 논 증의 타당하다 함은 전제 P1, . . . , Pn이 모두 참이면 결론 S 도 참일 수밖에 없음을 의미한다.
증명 방법 31
P1 . . . Pn S
하지만 논증의 타당성을 어떻게 보일 수 있는가는 아직 배우지 못했다.
지금까지 다룬 예제들에서 논증의 타당성을 판단하기는 별로 어렵지 않았 다. 하지만 앞으로 보다 복잡한 명제와 논증을 다루게 되면 논증의 타당성 을 보이는 일이 결코 쉽지 않음을 알게 될 것이다. 따라서 이제부터 논증의 타당성을 보이거나 부정하는 기초적인 방법을 배울 것이다. 이미 한 가지 배운 것이 있다. 즉, 어떤 주장이 타당하지 않음을 보이기 위해서 주장의 전 제들이 모두 참이지만 결론이 참이지 않은 환경 (공간, world) 을 찾아내는 방법을 이미 사용했다. 그렇다면 어떤 주장의 주어진 전제들의 논리적 결과 임을 보이는 방법으로 어떤 것이 있을까 ? 바로증명 (proof)이 있다. 아래의 예를 살펴보자.
예제 3.5. 아래 논증은 타당하다. 하지만 결론이 전제들로부터 바로 따라오 지는 않는다.
소크라테스는 사람이다.
모든 사람은 죽을 운명이다.
죽을 운명인 사람은 영원히 살 수 없다.
영원히 살 수 없는 사람은 종종 죽음에 대해 걱정한다.
소크라테스는 종종 죽음에 대해 걱정한다.
“소크라테스는 종종 죽음에 대해 걱정한다” 라는 결론을 전제들로부터 논리 적으로 이끌어내기 위해서는 다음의 중간 단계를 거쳐야 할 것이다. 먼저, 처음 두 개의 전제로부터 “소크라테는 죽을 운명이다” 라는 중간결론을 이 끌어낼 수 있다. 그리고 이 중간결론과 셋째 전제로부터 “소크라테스가 영 원히 살 수 없다” 라는 둘째 중간결론을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이제 이 둘째 중간결론과 넷쩨 전제로부터 원하는 결론을 이끌어낼 수 있다.
어떤 결론 (예를 들어 S) 이 주어진 전제들 (예를 들어 P1, . . . , Pn) 로부터 논리적으로 따라옴을 단계적으로 보이는 것을 증명이라 한다. 위 예에서처 럼주어진 전제로부터 원하는 결론을 바로 논리적으로 이끌어낼 수 없을 수 도 있다. 일반적으로 증명은 매우 어렵고 긴 과정이 될 수도 있다. 그러한 긴 과정 속에서 전제들 중의 어떤 전제를 어떻게 적절하게 활용할 것인지를 알거나 판단하는 일이 때로는 매우 어려울 수도 있으며, 원하는 중간 단계 의 결론이 여러 개의 과정을 거쳐야만 논리적인 결과로 얻어질 수도 있다.
본 강의에서는 증명을 엄밀하게 수행하는 방법을 다룰 것이다.
증명 방법에는 비정형증명과 정형증명의 두 가지 형태가 있다. 비정형 증명은 우리가 사용하는 말, 즉 자연어로 논증의 타당성을 보이는 증명 방 식이며 지금까지 우리가 접해본 증명 방식이다. 반면에 정형증명은 특정 형 태의 추론 규칙을 사용하여 논증의 타당성을 보이는 증명 방식이다. 정형증 명은 우리가 컴퓨터를 이용하여 논증의 타당성뿐만 아니라 수학 문제까지 자동으로 증명할 수 있는 길을 열어주었다.
비정형증명과 정형증명 방식 모두 엄밀하지만 스타일이 다르다. 예를 들 어 예제 3.5 의 논증의 타당성을 비정형증명 방식으로 아래와 같이 증명할 수 있다.
증명 : 소크라테스는 사람이고 사람은 모두 언젠간 죽는다. 따라 서 소크라테스도 언젠간 죽는다. 그러나 언젠가 죽게 되는 자는
정형증명 (formal proofs) 33
종종 죽음에 대해 걱정을 한다고 전제하였으므로, 소크라테스도 종종 죽음에 대해 걱정을 한다.
반면에 정형증명은 몇 개의 규칙을 이용하면서 상당히 세련된 표현 방 식을 사용한다. 예제 3.2 에서 다룬 블록언어의 예를 핏치 형식으로 다시 한 번 살펴보면 아래와 같다.
1. Cube(c) 2. c = b
3. Cube(b) = Elim: 1, 2
여기서 “= Elim: 1, 2” 는 일종의 주석이며 b 가 정육면체라는 주장에 대한 근거를 소개한다. 즉, 전제 1 과 전제 2 를 이용한다는 내용을 담고 있다. (자 세한 설명은 뒤에서 다루어짐.)
앞으로 비정형증명과 정형증명에 대해 보다 자세히 다룰 것이다. 비정형 증명보다 정형증명이 보다 우수한 방식이라는 생각을 하지 말았으면 한다.
각각의 방식의 장단점이 있다는 점을 강조한다.
3.3 정형증명 (formal proofs)
이번 절 (section) 에서는 정형증명을 본격적으로 소개한다. 연역체계 (deduc- tive system) 라고 들어본 적이 있는가 ? 연역체계는 정형증명을 표현할 수 있 도록 도와주는 체계를 의미하며, 본 강의에서 사용하는 연역체계는 핏치식 체계이며 F 체계 (System F) 라고도 불린다. 다른 종류의 연역체계가 존재하 지만 여기서는 소개하지 않는다.
핏치식 체계에서의 정형증명은 아래의 모양을 갖으며, 앞서 소개한 핏치 형식과 비슷한 모양이다.
P Q R
S1 근거 1 . . . ...
Sn 근거 n S 근거 (n+1)
S1, . . . , Sn은 최종결론 S 에 다다르는 과정에서 얻어지는중간결론intermediate conclusions이며 전제 P, Q, R 의 논리적인 결과들이다. 또한 근거 1, . . . , 근 거 (n+1) 등은 증명의 매 단계에서, 즉 연역과정의 매 단계에서 사용되는 증명규칙에 대한 설명을 나타내며, 설명에 사용되는 숫자는 규칙에 적용되 는 전제 또는 중간결과의 위치를 의미한다.
증명규칙에는 여러 규칙이 있으며 여기서는 등호 (=)와 관련된 두 개의 규칙과 되풀이 규칙을 소개한다. 다른 규칙들은 앞으로 배울 것이다. 아래 에서 규칙을 소개할 때 는 현재 증명 단계step을 의미한다.
등호 생성 규칙 (= Intro)
n= n
등호 제거 규칙 (= Elim)
정형증명 (formal proofs) 35
P(n) . . . n= m . . .
P(m)
되풀이 규칙 (Reit)
P . . .
P
아래의 예제들을 이용하여 핏치식 체계에서의 정형증명 규칙들의 활용 을 알아둘 필요가 있다.
예제 3.6. 등호 (=)의 대칭성(symmetry of identity) 증명
1. a = b
2. a = a = Intro 3. b = a = Elim: 2,1 예제 3.7. 블록언어에서의 타당성 증명
1. Cube(c) 2. c = b
3. Cube(b) = Elim: 1, 2 예제 3.8. 블록언어에서의 타당성 증명
1. SameRow(a,a) 2. b = a
3. b = b = Intro 4. a = b = Elim: 3,2 5. SameRow(b,a) = Elim: 1,4
3.3.1 Fitch 프로그램이랑 놀기
어렵고 긴 정형증명을 세밀하게 진행하는 일은 매우 까다롭고 지루할 수 있기에 이런 어려움을 조금이나마 덜어주기 위해 핏치식 체계 같은 연역체 계를 사용한다. 물론 연역체계를 사용한다 해서 모든 증명을 쉽게 한다는 의미는 아니고, 다만 도움을 받아 좀 더 수월하게 증명을 진행할 수 있다는 말이다.
앞으로 계속 사용하게될 Fitch 프로그램은 핏치식 체계를 구현한 컴퓨터 소프트웨어이다. Fitch 프로그램을 이용하여 앞서 배운 정명증명이 옳은지 여부를 확인할 수 있다.
Fitch 는 논증의 타당성을 정형증명하는 데에 사용되는 프로그램이다. 반 면에 논증이 타당하지 않음을 보이기 위해서는 앞서 언급한대로 반례를 찾
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아야 한다. 즉, 가정이 모두 참이지만 결론이 참이되지 않는 공간 (world) 을 Tarski World 등을 이용하여 찾아야 한다.
아래의 You Try It 을 따라하면서 Fitch 프로그램의 사용법을 습득하도록 하겠다.
You Try It ( 영어교재 58 쪽 )
예제 3.8 을 Fitch 로 증명하는 것을 설명한다.
You Try It ( 영어교재 60 쪽 )
Ana Con 규칙의 의미와 사용법을 예를 들어 설명한다. Ana Con Analytic Consequence 의 줄임말이며 결론이 선택된 전제들의 논리적인 결과인지를 자동으로 확인시켜 준다. 즉, 전제들이 모두 참이라면 결론도 참이되는지 여부를 확인한다.
(1) Fitch 프로그램을 이용하여 Ana Con 1 파일을 연다. 파일 안에는 9 개 의 전제와 6 개의 결론이 들어 있으며, 6 개의 결론 모두 1 - 3 개의 전 제를 이용하여 논리적으로 유도될 수 있다.
(2) 빨간 화살표를 움직여 첫 번째 결론인 SameShape(c,b) 명제가 있는 줄에 위치시킨다. 명제 오른 편에 보면 Ana Con 규칙이 선택되어 있 지만 어떤 전제들을 이용할지는 결정하지 않았다. 하지만 Cube(b) 와 Cube(c) 전제가 필요함을 알 수 있고 두 전제를 선택하여 Verify Proof 버튼을 누르면 위 결론이 두 전제의 논리적인 결과인지를 확인할 수 있다.
(3) 설명된 방식을 이용하여 Ana Con 규칙을 이용하는 법과 의미를 터득 할 수 있다.
3.3.2 논증이 타당하지 않음을 증명하기
아래 논증을 살표보자. 만약 전제들이 모두 참이라면 결론도 그럴듯하다.
하지만 결론이 반드시 참이라고는 주장할 수 없다. 왜냐하면 거짓말쟁이가 아닌 김구라는 정치가가 존재할 수 있기 때문이다.
김구는 정치가이다.
정치가는 대부분 거짓말쟁이다.
김구는 거짓말쟁이다
여기에서 “거짓말쟁이가 아닌” 김구라는 이름을 가진 정치가를 찾는 일과 같은 것을 반례를 찾는다라는 의미이다. 이와같은 반례찾기를 비정형적 반 례 (informal counterexample) 찾기라 한다.
그렇다면 정형적 반례 (formal counterexample) 찾기란 어떤 방식일까 ? 일반적인 형태의 정형적 반례찾기는 없다. 하지만 Tarski World 를 이용하 는 정형적 반례찾기는 가능하다. 다음의 You try it 을 따라하면서 정형적 반 례찾기가 어떤 방식인지를 습득할 수 있다.
You try it ( 영어교재 64 쪽 )
(1) Tarski World 프로그램을 이용하여 Bill’s Argument 파일을 연다. Be- tween(b,c,d), Between(a,b,d), LeftOf(a,c) 의 전제와 Between(b,a,d) 라 는 결론을 갖는 논증이 포함되어 있다.
(2) 위 논증이 타당하지 않은 것으로 보인다면 전제가 모두 참이지만 결 론이 거짓이 되는 세상 (world) 를 만들어본다.
(3) 만약 원하는 세상을 찾았다면 바로 그 세상이 위 논증의 반례가 된다.
