제 7 장 보의 처짐

제 7 장 보의 처짐

학습목표

본 장에서는 굽힘을 받는 보의 변형, 즉 임의 단면의 경사각과 처짐을 구하는 방법을 미분방정식법, 중첩법, 면적모멘트법 및 특이함수법을 이용하여 배운다. 이때 4장에서 배운 보의 이론을 근거로 한다.

Chungbuk National University

7-1 탄성곡선의 미분방정식

그림 7-1 탄성곡선

굽힌 후에 중립면과 하중면이 만나는 선을 탄성곡선(elastic curve, elastic line) 또는 처짐곡선(deflection curve)이라 한다. 보의 임의 단면의 기울기(slope, θ) 및 처짐(y)은 이 탄성곡선에서의

경사각 및 처짐을 말한다.

그림 7-1에서 처짐곡선 중 x위치에 있는 dx (곡선에서는 ds)부분을 생각한다. 이 ds의 곡률 반지름을 라 하면, 식(a)가 성립된다.

,

1

ds d θ

ρ ^{= dx}

= dy θ

tan

각 는 아주 미소하기 때문에 식(b)가 된다.

(b) 위의 관계에서 식 (c)가 유도된다.

2 2

1 d d y dx dx

θ

ρ ^{≈ =}

x가 증가하면 는 감소하므로 d/dx는 – 부호가 첨부되어야 실제 보의 굽힘과 일치한다. 따라서, 식 (4-6)으로부터 식 (d)가 된다.

2 2

1

z

M d d y

EI dx dx

θ

ρ ^{= = − = −}

2 2

z

d y M

dx = − EI

, dx

ds ≈ ^{tan θ ≈ θ}

식 (7-1)이 처짐(탄성)곡선의 미분방정식이며 이 식을 적분하면 임의 단면의 경사각 및 처짐을 계산할 수 있다. 단면의 굽힘 모멘트가 M(x) 일 때 식 (e)가 된다.

1

1 2

z

z

dy M

dx C

dx EI

y M dxdx C x C EI

θ

= = − +

= − + +

∫

∫∫

C₁, C₂는 보의 경계조건에서 구함.

또 식 (3-13), (3-14)을 고려하면, 식 (7-1)은 식 (7-2)로 유도된다.

(7-2)

그리고 식 (7-2)를 적분함으로써 경사각과 처짐을 구할 수 있다.

(e)

3 ,

3

dx F y

EI _z d = − _{4 0} ( )

4

x dx w

y

EI _z d =

Chungbuk National University

(A) 외팔보의 경우

⑴ 외팔보 자유단에 집중하중이

x위치의 굽힘모멘트는 FBD에서 구한다. 즉, M=-P(l-x)로 된다. 이 M을 식 (7-1)에 대입하면 식 (f)로 된다.

그림 7-2 외팔보에서 집중하중의 기본형

2

2

( )

z

EI d y M P l x

dx = − = −

2

1

( )

z

2

dy P l x

EI C

dx

= − − +

3

1 2

( )

z

6

P l x

EI y = − + C x C +

외팔보의 경계조건은 고정단에서 _A= 0, y_A= 0이다.

이 조건에서 상수 C₁, C₂를 구한다.

FBD

이 상수로 식 (g), (h)에 대입하면 식 (7-3) (7-4)로 된다.

2 2

( )

(2 )

2 2 2

z

dy P l x Pl Px

EI l x

dx

= − − + = −

위 식에서 _max, y_max는 x = l 인 B단면(자유단)에서 생긴다.

2

( )

B B

2

z

dy Pl

dx EI

θ = =

3 B

3

z

y Pl

= EI



(7-5)

(7-6) (7-3)

(7-4)

) 3

6 ( 6

2 6

)

( ^{3 2 3 2}

x Px l

x Pl Pl x

l y P

EI _z − + − = −

=

), ( 0

: 0

), ( 0

: 0

h y

x

dx g x dy

식 식

→

=

=

→

=

= C

= Pl

^{/ 2}

6

3

/

2

Pl

C = −

Chungbuk National University

[예제7-1] 외팔보 중간에 집중하중이

AC구간은 위의 경우와 꼭 같다. 즉, 모든 식에서 l 대신 a를 대입하면 된다. 가령 점 C에서는 식 (i)와 같게 된다.

(i)

그림 1

BC구간에서 탄성곡선은 직선이다. (_C가 일정)

2

/(2 )

B C

Pa EI

θ = θ =

B c C

y = y + BC × θ

(7-7)

z

z

EI

a Pa EI l

Pa

) 2 3 (

2

3

+ −

=

) 3

6 (

2

a EI l

Pa

z

−

=

z

c

EI

y Pa 3

=

2 ,

2

z

c

EI

= Pa

θ

Chungbuk National University

x거리에 있는 D단면의 처짐 y_D는 식 (7-8)로 된다.

(7-8)

) 3

6 ( ) 2

3 ( )

(

2 2

3

a EI x

Pa EI

a Pa EI x

a Pa x

y y

z z

Z C

C

D

= + − = + − = −

∴ θ

Chungbuk National University

[예제7-2] 외팔보에 등분포하중이 작용하는 경우

이 M을 식 (7-1)에 대입한 후 적분하면 된다.

그림 2 외팔보에 분포하중이 작용할 경우 2

2

0 2

( )

z

2

w l x EI d y M

dx

= − = −

3 0

1

( )

z

6

w l x

EI dy C

dx

= − − +

4 0

1 2

( )

z

24

w l x

E I y − C x C

= + +

x=0에서 dy/dx=0, y=0 이므로

3 4

0 0

1

,

6 24

w l w l

C = C = −

위의 적분상수를 대입하여 정리하면 된다.

3 3

2 2 3

0

( )

(3 3 )

6 6 6

z

w l x w l w

EI dy l x lx x

dx

= − − + = − +

4 3 4 2

2 2

0

( )

(6 4 )

24 6 24 24

z

w l x w l w l w x

EI y − x l lx x

= + − = − +

3 0

max ^B

6

w l θ θ EI

∴ = =

4 0

max ^B

8

y y w l

∴ = = EI

(7-9)

(7-10)

(7-9)′

(7-10)′

[예제7-3] 외팔보에 M

가 작용하는 경우

FBD에서 M의 일반식을 구하면 식(j)와 같다. 이는 순수굽힘상태로 어디서나 굽힘모멘트는 M₀이다.

M = M

이 M을 식 (7-1)에 대입하여 적분하면 다음과 같다.

그림 3 외팔보에 M₀가 작용하는 경우

2 2 0 z

EI d y M dx = −

0 1

z

EI dy M x C dx = − +

2 0

1 2

z

2

EI y = − M x + C x C +

(0) = 0, y(0) = 0 에서 C₁ = 0

C₂ = 0

(k)

0

2 0

2

z

z

M x dy

dx EI y M x

EI

= −

= −

(-는 반시계방향)

(-는 위로 처짐)



0

2 0

2

B

z

B

z

M l E I y M l

E I θ = −

= −