수학 영역 (나형)

1 12

2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 ^(나형)

제 2 교시

1

1.

^1. 두 집합   ,   에 대하여 집합 ∪의 모든 원소의 합은? [2점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.

^2. log_  log_의 값은? [2점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

3.

^3.

_lim

→∞

^ 

 × ^

의 값은? [2점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

^4. 모든 항이 양수인 등비수열



^



^{에 대하여 }× _ 일 때,

_의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2 ^{수학 영역(나형)}

2 12

5.

^5. 유리함수    

  의 그래프의 점근선의 방정식이

  ,   일 때, 두 상수 , 에 대하여   의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.

^6. 다항함수 의 도함수  ′가  ′   이다.

 일 때, 의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

^7. 명제 ‘^    ≠ 이면  ≠ 이다.’ 가 참일 때, 상수 의 값 은?

[3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

3

수학 영역(나형)

3 12

8.

^8. 등비급수



  

∞



^

  



^이 수렴하도록 하는 정수 의 개수는? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9.

^9. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가

  ^ ^   일 때, 점 P 가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 시각 의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

10.

^10. 함수  ^ 에 대하여

lim

 →

   

의 값은?

[3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4 ^{수학 영역(나형)}

4 12

11.

^11. 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열



^



^{에 대하여}

  





_{ }의 값은? [3점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

12.

^12. 비행기가 항력을 이겨서 등속수평비행하는 데 필요한 동력을 필요마력이라 한다. 필요마력 (마력)와 비행기의 항력계수 ^, 비행속력 (m초), 날개의 넓이 (m^) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

 _{ }



  ^ (단, 는 양의 상수이다.)

날개의 넓이의 비가   인 두 비행기 , 가 동일한 항력계수를 갖고 각각 등속수평비행하고 있을 때, 필요마력의 비는  ^ 이고 비행속력은 각각 _ ^, _{이다. }

_

_

의 값은? [3점]

① ^



② ^



③ ^



④ ^



⑤ ^



5

수학 영역(나형)

5 12 [13 ~ 14] 함수   의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의

두 물음에 답하시오.



O 

     

 







  

13.

^13.  ∘ 의 값은? [3점]

①   ②  ③ 

④  ⑤ 

14.

^14.

_lim

 →

  의 값은? [4점]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

6 ^{수학 영역(나형)}

6 12

15.

^15. 좌표평면에서 곡선  ^     이 두 직선   ,    

 와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이는?

(단, O는 원점이다.) [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.

^16. 수열



^



^{에서 일반항 }



  



^

 일 때,

 ≥ 인 모든 자연수 에 대하여

_ _ _ ⋯  _{ }



  





 _ ⋯⋯(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1)   일 때, (*)에서 (좌변) _ 

 

 가

(우변) _ 가

(좌변)(우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2)    ( ≥ )일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 _ _ _ ⋯  _{ }



  





 _

이다.

    일 때, (*)이 성립함을 보이자.

_ _ _ ⋯  _



  







 나 × _   



   



^{ }  ^





^{   }

   _

따라서     일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

 ≥ 인 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때,  × 의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7

수학 영역(나형)

7 12

17.

^17. 두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건  이기 위한 충분조건이지 만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4 점]

보 기

ㄱ.   ^ ^      

ㄴ.           또는    ㄷ.   ^ ^    ^ ^ 

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18.

^18. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 원 ^ ^ ^과

곡선  ^   이 만나는 두 점 사이의 거리를 _ , 원의 지름의 길이를 _이라 할 때,

lim

→∞



^ _



^{의 값은? [4점]}



O 

 ^  

^ ^ ^





① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



8 ^{수학 영역(나형)}

8 12

19.

^19. 집합     에 대하여 에서 로의 함수 가

 



        는 상수^{    }

이고, 함수 의 역함수 가 존재한다.

^ , ^{ } 



^



(     ⋯)라 할 때,   ^ ^의 값은? [4점]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

20.

^20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형 _이 있다. 정육각형

_의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 _^이라 하자.

그림 _^{에 정육각형} _의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 _라 하자. 정육각형 _의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는

원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을

_라 하자.

그림 _^{에 정육각형} _의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 _이라 하자. 정육각형 _의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는

원을 그리고, 새로 그려진 개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을

_^{이라 하자.}

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 _^{에 색칠되어 있는} 부분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

→∞

_ 



^  



이다.

  의 값은? (단, , 은 유리수이다.) [4점]

_ _

_

_ _

⋯

⋯

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9

수학 영역(나형)

9 12

21.

^21. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서

선분 BC 와 선분 CD의 중점을 각각 E, F라 하자. 점 E를 꼭짓점 으로 하고 두 점 A, D를 지나는 포물선과 선분 AF가 만나는 점을 G 라 하자. 선분 AG 위를 움직이는 점 P 를 지나고 직선 AB와 평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 Q라 할 때, 삼각형 AQP 의 넓이의 최댓값은? (단, 점 P 는 점 A와 점 G 가 아니다.) [4점]

A

B C

D

E

G F P

Q

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



단답형

22.

^22. 함수  ^   에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3 점]

23.

^23. 수열



^



의 첫째항부터 제항까지의 합 _이 _ ^ 

일 때, _의 값을 구하시오. [3점]

10 ^{수학 영역(나형)}

10 12

24.

^24.

_lim

 →^    

^   

의 값을 구하시오. [3점]

25.

^25. 함수

 











^{  }





^ 



 ≠ 

   

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 , 의 합   의 값을 구하시오. [3점]

26.

^26. 두 집합      ,    에 대하여 집합    │ ∈  ∈라 할 때,  이 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점]

11

수학 영역(나형)

11 12

27.

^27. 두 양수 , 에 대하여 ^ ^,     

일 때, ^× ^의

값을 구하시오. [4점]

28.

^28. 첫째항이 이고 공차가 양수인 등차수열



^



^{에 대하여}

이차방정식 ^



^ _



^{  }  의 서로 다른 두 실근을

_ , _이라 하자.



  





^ 



^ 



 일 때, _의 값을 구하시오. [4점]

12 ^{수학 영역(나형)}

12 12

29.

^29. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선  



^  ^,

  ^  과 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 _이라 하자.

  





_의 값을 구하시오. [4점]

30.

^30. 삼차함수 와 실수 에 대하여 곡선   와 직선    가 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자.

함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 는   ,   에서 불연속이다.

(나) 함수 는 모든 실수에서 연속이다.

(다)  

 의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

13

수학 영역(나형)

13 12

2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수학 영역 • [나 형]

1 ④ 2 ① 3 ③ 4 ② 5 ⑤

6 ④ 7 ② 8 ⑤ 9 ③ 10 ④

11 ① 12 ① 13 ⑤ 14 ② 15 ① 16 ④ 17 ⑤ 18 ③ 19 ③ 20 ③ 21 ② 22 45 23 15 24 20 25 9 26 8 27 216 28 26 29 300 30 30

* 번호는 해당 문항에, 정답은 해당 미주로 링크되어 있습니다.

* 사용이 불편하시면 메뉴의 [편집]-[조판부호지우기]에서 하이퍼링크와 책갈피를 체크마크한 후 지우기하세요

1. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 집합의 연산을 활용하여 계산하기

∪   이므로 모든 원소의 합은 

2. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 계산하기 log_  log_  log_  

3. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 수열의 극한 이해하기

lim

 → ∞^ 

 ×^

lim

 → ∞

 



^





^

  

4. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 등비중항 이해하기

_×_



^



^{ }

모든 항이 양수이므로 _ 

5. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기 유리함수    

  의 그래프의 점근선의 방정식은    ,   이므로

  ,    

∴    

6. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 부정적분 이해하기





^{  }

 ^   (단, 는 적분상수)

 

∴  ^   따라서  

7. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 명제의 대우 이해하기 주어진 명제가 참이므로

대우 명제 ‘  ^이면 ^     이다.’가 참이다.

∴       따라서   

8. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 등비급수의 수렴과 발산 이해하기

등비급수 _{  }



^∞



^

  



^{이 수렴하려면}

   

  

 

∴     

    을 만족시키는 정수 ^는 ^, ^, ^, ^,  따라서 정수 의 개수는 

9. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 P^{의 시각} ^{에서의 위치} ^가   ^ ^    일 때 시각 에서 점 P의 속도를 라 하면

  

 ^   

점 P가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는

이므로

^     

     따라서    (∵  )

10. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 미분계수 이해하기

 ′   

lim

 → 

   

 

 ′ 

11. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 수열의 합 이해하기

첫째항이 ^{이고 공비가} ^{인 등비수열}



^



^의

일반항 _ ^{  }이다.

_{  } ^{  } ^{  }이므로

  





_{  }_{  }



^{      ×}_{  }^{  }

14 ^{수학 영역(나형)}

14 12

12. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 지수를 활용하여 문제해결하기 두 비행기 , 의 필요마력을 각각 _ , _

날개의 넓이를 각각 _ , _라 하자.

_{  }



 



^



^이고, _ _이므로

_{ }



 



^



^ 

 



^



^



^



_^_이므로

_

_

 ^_

  



^



^



^





^



^

 





^_



^

∴



^

_



^{ }

따라서 _

_

 ^



13. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 합성함수 이해하기

 ∘   

14. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

 →  lim

 

    라 하면

lim

 →  

   lim

 →   

   따라서 lim

 →  

    ×   

15. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 함수  ^_{    }의 그래프는

함수  ^_의 그래프를 축의 방향으로  만큼,

^{축의 방향으로} 만큼 평행이동한 것이고 두 점 A ^, B   ^{을 지난다.}

직선    

는 원점 O와 점 B를 지난다.

O 



 

 A

B

 ^    

   



∴ ∆OAB  

× ×  

16. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 (1)   일 때, (*)에서

(좌변) _ 

 

   

 

 



(우변) _  ×



  



^{ }



(좌변)(우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2)    ⁽ ≥ )일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 _ _ _ ⋯  _{  }_{  }



^{ }_^{ }

이다.

   일 때, (*)이 성립함을 보이자.

_ _ _ ⋯  _^{  }



_{  }^_

 _ _ ⋯  _{  } __{  }



^{ }_^{ }_{ }^

 _ _  



   ×_  



 



^{   } ^





^{  }

 _{  }

따라서    일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

 ≥ 인 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.

∴   

,    따라서  × 

17. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 필요조건과 충분조건을 활용하여 추론하기 ㄱ.   ^ ^  ⇔   ,   

    

∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) ㄴ.      ⇔ ⁽  ^,   ^{) 또는} (  ^,   ⁾

     또는    ⇔ (  ,   ) 또는 (  ,   ) 또는 (  ,   ) ∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) ㄷ.   ^ ^ ^   ^ 에서     ^또는 ^   ^    

  ^ ^   이므로    또는    

∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [정답] ③

15

수학 영역(나형)

15 12

[풀이]

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 원 ^ ^ ^과 곡선  ^  이 만나는 두 점은    ,  ^_{ }이므로 두 점 사이의 거리 _



^^ 이고 원의 지름의 길이 _ 이다.

∴ lim

 → ∞



^ _



lim

 → ∞







^^ 



lim

 → ∞





^^ 







^^ 







^^ 



lim

 → ∞





^^ 



lim

 → ∞

 



^{  }_^

  



19. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기

 ^,  ^,    ^,    ^이고 함수 의 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.

그러므로     역함수 는

 ,  ,  ,  이므로

^ ^ ^ 이다.

∴ ^ ^ ,

^ ^   ^

따라서  ^ ^  ^

        

20. [정답] ③ [풀이]

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 _에서 새로 그려진 개의 원의 넓이의 합을 _이라 하자.

정육각형 _의 한 변의 길이가 이므로 그림 _의 원의 반지름의 길이는 ^이고 _ 이다.

정육각형 _의 가장 긴 대각선들이 만나는 점을 O라 하자.

정육각형 _의 한 꼭짓점을 A_이라 하고, 정육각형 _의 변 중 점 A_을 끝점으로 하는 한 변을

삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 _, 중심을 O_^이라 하자.

정육각형 _{  }과 원 _이 만나는 점을 A_{  }이라 하고, 정육각형

_{  }의 각 변을 삼등분하는 점을

지름의 양 끝점으로 하는 원 중 선분 OA_과 만나는 원을 _{ }, 중심을 O_{  }이라 하자.

두 원 _, _{  }의 반지름의 길이를 각각 _, _{  }이라 하자.

다음은 그림 _{  }의 일부이다.

O_

_ A_

_{ }

O_{ } A_{ }

O

_

_{ }

삼각형 OA_O_은 ∠OO_A_ , ∠OA_O_ 인 직각삼각형이고, O_A_ _, OO_ ^_{ }이다.

삼각형 OA_{  }O_{  }은 ∠OO_{  }A_{ } ,

∠OA_{  }O_{ } 인 직각삼각형이고,

OA_{  }_^_{  }_

O_{  }A_{  } 

^  

_이다.

_{  }  O_{  }A_{  } 

^  

_

그러므로 수열



^



^{은 첫째항이 이고 공비가}



^

^_{  }



^{ }

  ^_

인 등비수열이다.

__{  }



^{ 이므로}

lim

 → ∞

_{ }

  

  ^

  

_^_{  }_

따라서   

,   ^이고     

21. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

주어진 그림을 꼭짓점 B를 원점으로, 직선 BC를 축, 직선 BA를 축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

    ^

B 

 A

F P

C Q



직선 AF^{의 방정식은}    

  

포물선     ^ (  )은 점 A 를 지나므로

16 ^{수학 영역(나형)}

16 12

  ×  ^,   

포물선     ^과 직선    

  가

만나는 점의 의 좌표는   ,   



점 P^의 ^좌표를 



^{    }





^{라 하면}

점 P



^{  }

  



^{, 점 Q   이고}

삼각형 AQP의 넓이를 라 하면

_{ }



× ×



^{ }

      ^



^{  }

^ ^

_{′  }



^ _{  }



  

′ 에서    또는   

의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

  ⋯ 

 ⋯



^





′   

 ↗ 



^





^↘

따라서 는   

에서 극대이면서 최대이므로

의 최댓값은

 

×



^{ ×}



^





^{  ×}



^





^



^{ }



22. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 다항함수의 미분법 이해하기

 ′    따라서  ′ 

23. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 수열의 합 이해하기

___     

24. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

lim

 → ^    

^   

lim

 → ^    ^    

^   ^    

lim

 →   

   ^_{    }

 ^_{    }

 

25. [정답]  [풀이]

[출제의도] 함수의 연속성 이해하기

함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

lim

 →   

^ 

 

lim → 

   이므로 lim

 → 

^  

∴   

lim

 →   

^ 

lim

 →   

    

lim

 → 

    

∴  

따라서    

26. [정답]  [풀이]

[출제의도] 집합의 개념 이해하기

           이므로

 이 되기 위해서는 (   ,   ≥ ) 또는 (  ≤ ,    )

∴   ≤     또는    ≤  그러므로 자연수 는 , 

따라서 자연수 의 최댓값은 

27. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 지수법칙 이해하기

^ ^에서 양변에 ^을 곱하면

^×^ ^×^

^{  } ^

   

^이므로 ^



 ^

^



 , ^ ^



∴ ^×^^^×^^^ 

28. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기 주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 _ , _ 이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

_ _ _ _{  } _{  } , __  _{  }

  







^ 



^ 



^_{  }



^

^

^{   }

^

_{  }



^

^

^{       }

^

_{  }



^

^

^{   }

^

^{ }

∴ _ _ _ ⋯  _    ⋯⋯ ㉠

㉠의 양변에 _을 더하면

_ _ _ _ ⋯  _   _ 

17

수학 영역(나형)

17 12



 ×



^ _



 

 ×



^{  }



   

∴ _ 

29. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 수열의 합 추론하기

함수  



^_{  }^의 그래프는 함수  ^ 의 그래프를 축의 방향으로  ^만큼 평행이동한 것이고, 함수   ^_{  }의 그래프는 함수   ^_ 의 그래프를 ^{축의 방향으로} 만큼 평행이동한 것이므로 두 함수의 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계는 <그림1>과 같다.

 ^ ^



O



  ^_{  }

 



^  ^



<그림1>

 ^ ^



O



  ^  

 



^  ^



㉠ ㉡

㉢

<그림2>

이 때, 함수   ^_{  }의 그래프는

함수  



^  ^{의 그래프를} 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 ^만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이

함수  



^_{  }^의 그래프와 축, 축으로 둘러싸인 영역 ㉠의 ^좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는 함수   ^  의 그래프와 두 직선   ^,

  으로 둘러싸인 영역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는 영역 ㉡과 영역 ㉢의 ^좌표와

좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

축 위의 정수인 점은 , , ⋯, ^ 이므로 ^ 개

축 위의 정수인 점은 , , ⋯,  이므로 개

∴ _^   ^ ^   따라서

  





__{  }



^{    }





^

 ×



^



^

 × ×



^



^

 ×



^{ }

 

[다른 풀이]

<그림1>에서 의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.

                   합

   

    

     

      

       

  





_           

30. [정답] 

[풀이]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서 함수 ^가   ^,   에서 불연속이므로 함수 ^{의 극솟값은} ^{, 극댓값은} ^이고

함수 의 그래프는 다음과 같다.

O



 







  

(나)에서 함수 ^는













      

      

     

함수 는 모든 실수에서 연속이므로

lim

 → 

 , lim

 → 

 

그러므로  ^,  ^이다.

따라서 함수 의 그래프의 개형은

<그림1> 또는 <그림2> 중 하나이다.

    ^

O  





<그림1>

  ^  

O  





<그림2>

18 ^{수학 영역(나형)}

18 12

이때 (다)에서  이므로 함수 의 그래프는 <그림2>와 같다.

∴  ^  

 ′    에서    또는   이므로 함수 는   에서 극댓값을 갖는다.

    ^,    



∴   

 ^  

따라서    

 × ^×    