채점기준표 및 모범답안채점기준표 및 모범답안

(1)

내기 별하게

중 3 2 수학

서술형 대비편

채점기준표 및 모범답안

(2)

1.

대푯값과 산포도

Ⅰ ^통계

채점기준표

&

모범답안

교과서 기본예제 1

⑴ 6 ⑵ 33

⑴ 없다. ⑵ 7

유사문제

⑴ 자료를 크기순으로 나열하면 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 32이다.

(평균)=3+4+5+5+5+5+6+7+32

9 = 729 =8회

(중앙값)=5회, (최빈값)=5회

∴ 평균 : 8(회), 중앙값 : 5(회), 최빈값 : 5(회)

⑵ 자료의 중심 경향을 잘 나타내지 못한 것은 평균이다.

이유는 극단적으로 큰 변량이 있기 때문이다.

극단적으로 크거나 작은 변량이 있는 경우에는

평균보다는 중앙값이 그 자료의 중심 경향을 잘 나타내준다.

대푯값 구하기

01 출제유형 다지기

p. 010

특별하게 연습하기

p. 012

자료를 크기순으로 나열하면

10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 17이다.

이때 (중앙값)=13 m, (최빈값)=14 m이므로 a=13, b=14 즉, a+b=27

∴ 27

01

1

Step 조건확인

평균, 총점, 학생 수의 비 2

Step 서술순서

A, B 두 반의 학생 수를 미지수로 설정한다.

총점을 이용하여 등식을 제시한다.

A, B 두 반의 학생 수의 비를 구한다.

03

3

Step 서술하기

A, B 두 반의 학생 수를 각각 x명, y명이라 하면 A반의 총점은 65x점, B반의 총점은 70y점이고, 전체 학생의 총점은 68(x+y)점이다.

이때 65x+70y=68(x+y), 3x=2y이므로 x`:`y=2`:`3

∴ 2`:`3 모범답안

4

Step 검토하기

A, B 두 반의 학생 수를 미지수로 바르게 설정하였는가?

총점을 이용하여 등식을 바르게 제시하였는가?

A, B 두 반의 학생 수의 비를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 평균과 총점을 이용하여 두 집단의 학생 수의 비를 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B A, B 두 반의 학생 수를 미지수로 바르게 설정한 경우 1 C 총점을 이용하여 등식을 바르게 제시한 경우 1 D A, B 두 반의 학생 수의 비를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

평균, 총점, 학생 수의 비 2

Step 서술순서

남학생과 여학생 수를 미지수로 설정한다.

전체 학생의 총점을 구한다.

전체 학생의 평균을 구한다.

04

3

Step 서술하기

남학생과 여학생 수를 각각 4x명, 3x명이라 하면 남학생의 총점은 4x_72=288x점,

여학생의 총점은 3x_65=195x점이다.

이때 전체 학생의 총점은 288x+195x=483x점, 전체 학생 수는 4x+3x=7x명이므로

평균은 483x

7x =69점이다.

∴ 69(점) 모범답안

4

Step 검토하기

남학생과 여학생 수를 미지수로 바르게 설정하였는가?

전체 학생의 총점을 바르게 구하였는가?

전체 학생의 평균을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 두 집단의 총점의 합을 이용하여 평균을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 남학생과 여학생 수를 미지수로 바르게 설정한 경우 1

C 전체 학생의 총점을 바르게 구한 경우 1

D 전체 학생의 평균을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1 자료를 크기순으로 나열하면 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10이다.

(평균)= 6+6+7+7+7+8+8+9+9+1010 = 7710=7.7시간 (중앙값)= 7+82 =7.5시간, (최빈값)=7시간

∴ 평균 : 7.7(시간), 중앙값 : 7.5(시간), 최빈값 : 7(시간)

02

(3)

3

Step 서술하기

꺾은선 그래프를 표로 나타내면 다음과 같다.

권 수(권) 학생 수(명)

1반 2반

1 1 2

2 6 5

3 10 8

4 7 8

5 4 5

6 4 2

합계 32 30

이때 1반의 (중앙값)=3+3

2 =3권, (최빈값)=3권 2반의 (중앙값)=3+4

2 =3.5권, (최빈값)=3권, 4권

∴ 1반 : 중앙값 : 3(권), 최빈값 : 3(권)

∴ 2반 : 중앙값 : 3.5(권), 최빈값 : 3(권), 4(권) 모범답안

교과서 기본예제 1 146.8회

중앙값 : 125회, 최빈값 : 75회

유사문제

스마트폰 게임 시간의 {(계급값)_(도수)}의 총합을 구하면 아래와 같다.

시간(분) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 0 ^이상 ~ 20 ^미만 3 10 10_3=30

20 ~ 40 9 30 30_9=270

40 ~ 60 6 50 50_6=300

60 ~ 80 0 70 70_0=0

80 ~ 100 2 90 90_2=180

합계 20 - 780

이때 (평균)=780

20 =39분, (중앙값)=30+30 2 =30분, (최빈값)=30분

∴ 평균 : 39(분), 중앙값 : 30(분), 최빈값 : 30(분)

여러 가지 자료에서 대푯값 구하기

02 출제유형 다지기

p. 014

특별하게 연습하기

p. 016

영어 시험 성적의 총합이

75+(80_2)+(85_2)+(90_3)+95+100=870점이므로 (평균)= 87010=87점, (중앙값)= 85+902 =87.5점,

(최빈값)=90점

∴ 평균 : 87(점), 중앙값 : 87.5(점), 최빈값 : 90(점)

01

과학 시험 성적의 {(계급값)_(도수)}의 총합을 구하면 아래와 같다.

성적(점) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 40 ^이상 ~ 50 ^미만 5 45 45_5=225 50 ~ 60 7 55 55_7=385 60 ~ 70 5 65 65_5=325 70 ~ 80 8 75 75_8=600 80 ~ 90 3 85 85_3=255 90 ~ 100 2 95 95_2=190

합계 30 - 1980

(평균)= 198030 =66점, (중앙값)= 65+652 =65점, (최빈값)=75점

∴ 평균 : 66(점), 중앙값 : 65(점), 최빈값 : 75(점)

02

1

Step 조건확인

막대그래프, 평균, 중앙값, 최빈값 2

Step 서술순서

턱걸이 횟수의 총합을 구한다.

평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구한다.

03

3

Step 서술하기 턱걸이 횟수의 총합이

(1_4)+(2_4)+(3_2)+(4_5)+(5_2)+(6_1)=54 회이므로

(평균)=;1%8$;=3회, (중앙값)= 3+32 =3회, (최빈값)=4회

∴ 평균 : 3(회), 중앙값 : 3(회), 최빈값 : 4(회) 모범답안

4

Step 검토하기

턱걸이 횟수의 총합을 바르게 구하였는가?

평균, 중앙값, 최빈값을 각각 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 막대그래프에서의 대푯값을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 턱걸이 횟수의 총합을 바르게 구한 경우 1 C 평균, 중앙값, 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 3 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

꺾은선 그래프, 중앙값, 최빈값 2

Step 서술순서

꺾은선 그래프를 표로 작성한다.

1반의 중앙값과 최빈값을 각각 구한다.

2반의 중앙값과 최빈값을 각각 구한다.

04

(4)

4

Step 검토하기

꺾은선 그래프를 표로 바르게 작성하였는가?

1반의 중앙값과 최빈값을 각각 바르게 구하였는가?

2반의 중앙값과 최빈값을 각각 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 꺾은선 그래프를 표로 나타내고, 중앙값과 최빈값을 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B 꺾은선 그래프를 표로 바르게 작성한 경우 1 C 1반의 중앙값과 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 D 2반의 중앙값과 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

교과서 기본예제 1 17

유사문제

변량의 총합이 7+a+5+b+4+6=a+b+22이므로 a+b+22=6_5=30, a+b=8

이때 연립방정식 [a-b=4

a+b=8 의 해가 a=6, b=2이므로 6개의 변량을 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 6, 6, 7이다.

∴ 중앙값 : 5+6

2 =5.5, 최빈값 : 6

대푯값이 주어질 때 변량의 값 구하기

03 출제유형 다지기

p. 018

특별하게 연습하기

p. 020

변량의 총합이 7+a+5+b+4+6=a+b+22이므로 a+b+22=6_2=12, a+b=-10

이때 연립방정식 [a-b=-6

a+b=-10 의 해가 a=-8, b=-2이므로 6개의 변량을 크기순으로 나열하면 -8, -2, 4, 5, 6, 7이다.

∴ 중앙값 : 4+5

2 =4.5, 최빈값은 없다.

01

(가)에서 중앙값이 25이므로 a¾25이다.

(나)에서 중앙값 35는 두 변량 30과 40의 평균이므로 aÉ30이 다.

즉, 25ÉaÉ30을 만족하는 자연수 a는 25, 26, 27, 28, 29, 30으 로 모두 6개이다.

∴ 6(개)

02

1

Step 조건확인

a, b는 a<b인 자연수, 중앙값 2

Step 서술순서

자료 A에서 a<b임을 이용하여 a의 값을 구한다.

두 자료를 섞어 크기순으로 나열한다.

섞은 자료의 중앙값을 이용하여 b의 값을 구한다.

03

3

Step 서술하기

자료 A의 중앙값이 15이고, a<b이므로 a=15이다.

두 자료 A, B를 섞어 크기순으로 나열하면 아래와 같다.

10, 11, 14, 15, 15, b, b+1, 21, 22, 22 이때 (중앙값)=15+b

2 =17이므로 b=19

∴ a=15, b=19 모범답안

4

Step 검토하기

자료 A에서 a<b임을 이용하여 a의 값을 바르게 구하였는가?

두 자료를 섞어 크기순으로 바르게 나열하였는가?

섞은 자료의 중앙값을 이용하여 b의 값을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 주어진 대푯값을 이용하여 변량의 값을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 자료 A에서 a<b임을 이용하여 a의 값을 바르게 구한 경우 1 C 두 자료를 섞어 크기순으로 바르게 나열한 경우 1 D 섞은 자료의 중앙값을 이용하여 b의 값을 바르게 구한 경

우 (과정) 2

의사소통

1

Step 조건확인

자연수 x, 평균, 연립부등식 2

Step 서술순서

주어진 각 자료의 평균을 식으로 나타낸다.

조건에 맞게 연립부등식을 세운다.

연립부등식을 풀고, 자연수 x의 개수를 구한다.

04

(5)

3

Step 서술하기

4개의 변량 x, 4, 6, 9의 평균은 x+4+6+94 = x+194 이다.

3개의 변량 x, 4, 6의 평균은 x+4+63 = x+103 이다.

3개의 변량 x, 6, 9의 평균은 x+6+93 = x+153 이다.

이때 x+10

3 < x+194 < x+153 , 4(x+10)<3(x+19)<4(x+15)

! 4x+40<3x+57, x<17

@ 3x+57<4x+60, x>-3

!, @에 의하여 -3<x<17이므로 자연수 x는 1, 2, 3, y, 16 으로 모두 16개가 있다.

∴ 16(개) 모범답안

4

Step 검토하기

주어진 각 자료의 평균을 식으로 바르게 나타내었는가?

조건에 맞게 연립부등식을 바르게 세웠는가?

연립부등식을 풀고, 자연수 x의 개수를 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 주어진 평균과 연립부등식을 이용하여 변량의 값을 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B 주어진 각 자료의 평균을 식으로 바르게 나타낸 경우 1 C 조건에 맞게 연립부등식을 바르게 세운 경우 1 D 연립부등식을 풀고, 자연수 x의 개수를 바르게 구한 경우

(과정) 2

의사소통

교과서 기본예제 1 -6

⑴ 3권 ⑵ 분산 : 2, 표준편차 : '2권

유사문제

⑴ 편차의 합은 항상 0이므로

x+2+(-2)+3+0=0, x+3=0, x=-3 ∴ x=-3

⑵ 분산은 (편차)Û`의 평균이므로

(분산)=(-3)Û`+2Û`+(-2)Û`+3Û`+0Û`

5 = 265 =5.2 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 (표준편차)='¶5.2`kg

분산과 표준편차 구하기

04 출제유형 다지기

p. 022

특별하게 연습하기

p. 024

2+(-1)+5+a+(-4)=0, a+2=0, a=-2 ∴ a=-2

(분산)=2Û`+(-1)Û`+5Û`+(-2)Û`+(-4)Û`

5 = 505 =10 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 (표준편차)='¶10점 ∴ 분산 : 10, 표준편차 : '¶10(점)

01

x+2+0+(-1)+1+3+(-2)=0, x+3=0, x=-3 ∴ x=-3

(분산) =(-3)Û`+2Û`+0Û`+(-1)Û`+1Û`+3Û`+(-2)Û`

7 = 287

=4

표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 (표준편차)='4=2회 ∴ 분산 : 4, 표준편차 : 2(회)

02

1

Step 조건확인

평균, 편차, 분산 2

Step 서술순서

학생 6명의 평균을 구한다.

학생 6명의 편차를 각각 구한다.

분산을 구한다.

03

3

Step 서술하기 학생 6명의 평균은 6a+6

6 =a+1점이다.

이때 학생 6명의 편차는 각각 0, 4, -1, 2, -2, -3이다.

분산은 (편차)Û`의 평균이므로

(분산)= 0Û`+4Û`+(-1)Û`+2Û`+(-2)Û`+(-3)Û`6 = 346 = 173

∴ 17 3 모범답안

4

Step 검토하기

학생 6명의 평균을 바르게 구하였는가?

학생 6명의 편차를 각각 바르게 구하였는가?

분산을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 평균과 편차를 구하여 분산을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 학생 6명의 평균을 바르게 구한 경우 1

C 학생 6명의 편차를 각각 바르게 구한 경우 1

D 분산을 바르게 구한 경우 1

의사소통

(6)

1

Step 조건확인

점수의 차, 평균, 편차, 분산 2

Step 서술순서

⑴ 학생 5명의 점수를 x에 대한 식으로 각각 나타낸다.

⑴ M을 x에 대한 식으로 나타낸다.

⑵ 학생 5명의 편차를 각각 구한다.

⑶ 분산을 구한다.

04

3

Step 서술하기

⑴ 채영이의 점수를 x점이라 할 때,

학생 5명의 점수는 각각 x+8, x+5, x, x-1, x-2이다.

이때 M= 5x+105 =x+2 ∴ M=x+2

⑵ 학생 5명의 편차는 각각 6, 3, -2, -3, -4이다.

∴ 6, 3, -2, -3, -4

⑶ 분산은 (편차)Û`의 평균이므로

(분산)=6Û`+3Û`+(-2)Û`+(-3)Û`+(-4)Û`

5 = 745

∴ 74 5 모범답안

4

Step 검토하기

⑴ 학생 5명의 점수를 x에 대한 식으로 각각 바르게 나타내었 는가?

⑴ M을 x에 대한 식으로 바르게 나타내었는가?

⑵ 학생 5명의 편차를 각각 바르게 구하였는가?

⑶ 분산을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 평균과 편차를 구하여 분산을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 학생 5명의 점수를 x에 대한 식으로 각각 바르게 나타

낸 경우 1

C ⑴ M을 x에 대한 식으로 바르게 나타낸 경우 1 D ⑵ 학생 5명의 편차를 각각 바르게 구한 경우 1

E ⑶ 분산을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

평균 : 6일, 분산 : 21.6, 표준편차 : '¶21.6일

도수분포표에서의 분산과 표준편차

05 출제유형 다지기

p. 026

특별하게 연습하기

p. 028

(평균)= 0_4+1_6+2_12+3_2+4_630 = 6030 =2권 {(편차)Û`_(도수)}의 총합은

(-2)Û`_4+(-1)Û`_6+0Û`_12+1Û`_2+2Û`_6=48이므로 (분산)= 4830 =1.6, (표준편차)="½1.6권

∴ "½1.6(권)

01

방문자 수(명) 도수(일) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 0 ^이상 ~ 4 ^미만 2 2 2_2=4 -9 (-9)Û`_2=162 4 ~ 8 4 6 6_4=24 -5 (-5)Û`_4=100 8 ~ 12 5 10 10_5=50 -1 (-1)Û`_5=5 12 ~ 16 5 14 14_5=70 3 3Û`_5=45 16 ~ 20 4 18 18_4=72 7 7Û`_4=196

합계 20 - 220 - 508

이때 (평균)=220

20 =11명, (분산)=508 20 =25.4, (표준편차)="25.4명

∴ 평균 : 11(명), 분산 : 25.4, 표준편차 : "25.4(명)

02

황사 일수(일) 도수(년) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 0 ^이상 ~ 4 ^미만 17 2 2_17=34 -4 (-4)Û`_17=272 4 ~ 8 12 6 6_12=72 0 0Û`_12=0 8 ~ 12 8 10 10_8=80 4 4Û`_8=128 12 ~ 16 1 14 14_1=14 8 8Û`_1=64 16 ~ 20 1 18 18_1=18 12 12Û`_1=144 20 ~ 24 1 22 22_1=22 16 16Û`_1=256

합계 40 - 240 - 864

유사문제

점수(점) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 0 ^이상 ~ 2 ^미만 2 1 1_2=2 -4 (-4)Û`_2=32 2 ~ 4 1 3 3_1=3 -2 (-2)Û`_1=4

4 ~ 6 3 5 5_3=15 0 0Û`_3=0

6 ~ 8 3 7 7_3=21 2 2Û`_3=12

8 ~ 10 1 9 9_1=9 4 4Û`_1=16

합계 10 - 50 - 64

이때 (평균)=50

10 =5점, (분산)=64

10 =6.4, (표준편차)="½6.4점

∴ 평균 : 5(점), 분산 : 6.4, 표준편차 : "½6.4(점)

(7)

1

Step 조건확인

도수분포표, 평균, 분산, 표준편차 2

Step 서술순서 표를 완성한다.

평균을 구한다.

분산을 구한다.

표준편차를 구한다.

03

3

Step 서술하기

주어진 표를 완성하면 아래와 같다.

수학 성적(점) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 40 ^이상 ~ 50 ^미만 1 45 45_1=45 -30 (-30)Û`_1=900 50 ~ 60 2 55 55_2=110 -20 (-20)Û`_2=800 60 ~ 70 4 65 65_4=260 -10 (-10)Û`_4=400 70 ~ 80 5 75 75_5=375 0 0Û`_5=0 80 ~ 90 5 85 85_5=425 10 10Û`_5=500 90 ~ 100 3 95 95_3=285 20 20Û`_3=1200

합계 20 - 1500 - 3800

(평균)= 150020 =75점, (분산)=3800 20 =190, (표준편차)='¶190점

∴ 평균 : 75(점), 분산 : 190, 표준편차 : '¶190(점) 모범답안

4

Step 검토하기

표를 바르게 완성하였는가?

평균을 바르게 구하였는가?

분산을 바르게 구하였는가?

표준편차를 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 도수분포표에서의 평균, 분산, 표준편차를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 표를 바르게 완성한 경우 2

C 평균을 바르게 구한 경우 1

D 분산을 바르게 구한 경우 1

E 표준편차를 바르게 구한 경우 1

의사소통

1

Step 조건확인

히스토그램, 평균, 분산, 표준편차 2

Step 서술순서

도수분포표로 나타낸다.

{(계급값)_(도수)}의 총합을 구하고, 평균을 구한다.

{(편차)Û`_(도수)}의 총합을 구하고, 분산을 구한다.

표준편차를 구한다.

04

3

Step 서술하기

히스토그램을 도수분포표로 나타내면 아래와 같다.

독서량(권) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 2 ^이상 ~ 4 ^미만 3 3 3_3=9 -4 (-4)Û`_3=48 4 ~ 6 13 5 5_13=65 -2 (-2)Û`_13=52 6 ~ 8 10 7 7_10=70 0 0Û`_10=0 8 ~ 10 9 9 9_9=81 2 2Û`_9=36 10 ~ 12 5 11 11_5=55 4 4Û`_5=80

합계 40 - 280 - 216

이때 (평균)=280

40 =7권, (분산)=216 40 =5.4, (표준편차)='¶5.4권

∴ 평균 : 7(권), 분산 : 5.4, 표준편차 : '¶5.4(권) 모범답안

4

Step 검토하기

도수분포표로 바르게 나타내었는가?

{(계급값)_(도수)}의 총합을 구하고, 평균을 바르게 구하였는가?

{(편차)Û`_(도수)}의 총합을 구하고, 분산을 바르게 구하였는가?

표준편차를 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 히스토그램에서의 평균, 분산, 표준편차를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 도수분포표로 바르게 나타낸 경우 1

C {(계급값)_(도수)}의 총합을 구하고, 평균을 바르게 구한 경우

(각1점) 2

D {(편차)Û`_(도수)}의 총합을 구하고, 분산을 바르게 구한 경우

(각1점) 2

E 표준편차를 바르게 구한 경우 1

의사소통

교과서 기본예제 1 A, C, B, D

(나), 변량이 흩어진 정도가 가장 작기 때문

유사문제

! 선수 A의 평균은 10+9+8+8+105 = 455 =9점이고, (편차)Û`의 총합은 1Û`+0Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+1Û`=4이므로

두 자료의 산포도 비교

06 출제유형 다지기

p. 030

(8)

@ 선수 B의 평균은 8+10+7+7+85 = 405 =8점이고, (편차)Û`의 총합은 0Û`+2Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+0Û`=6이므로 (분산)=;5^;, (표준편차)=¾¨;5^;점

이때 선수 A의 표준편차가 선수 B의 표준편차보다 작으므로 선수 A의 점수가 선수 B의 점수보다 더 고르다.

특별하게 연습하기

p. 032

⑴ A조의 평균은 30+40+50+60+70

5 = 2505 =50점이고, (편차)Û`의 총합은

(-20)Û`+(-10)Û`+0Û`+10Û`+20Û`=1000이므로 (분산)= 10005 =200, (표준편차)="200=10"2점

∴ 평균 : 50(점), 표준편차 : 10"2(점)

⑵ B조의 평균은 20+30+50+70+80

5 = 2505 =50점이고, (편차)Û`의 총합은 (-30)Û`+(-20)Û`+0Û`+20Û`+30Û`=2600 이므로

(분산)= 26005 =520, (표준편차)="Ã520=2"Ã130점

∴ 평균 : 50(점), 표준편차 : 2"Ã130(점)

⑶ A조의 표준편차가 B조의 표준편차보다 작으므로 A조의 성적이 B조의 성적보다 더 고르다.

01

! A학생의 평균은 10+10+11+12+125 = 555 =11점이다.

(편차)Û`의 총합은 (-1)Û`+(-1)Û`+0Û`+1Û`+1Û`=4이므로 (분산)=;5$;, (표준편차)=¾¨;5$; 점

@ B학생의 평균은 8+9+10+10+135 = 505=10점이다.

(편차)Û`의 총합은 (-2)Û`+(-1)Û`+0Û`+0Û`+3Û`=14이므로 (분산)= 145 , (표준편차)=¾¨ 145 점

# C학생의 평균은 7+8+10+11+145 = 505=10점이다.

(편차)Û`의 총합은 (-3)Û`+(-2)Û`+0Û`+1Û`+4Û`=30이므로 (분산)= 305 =6, (표준편차)="6점

이때 표준편차가 가장 작은 학생은 A, 가장 큰 학생은 C이므로 점수가 가장 고른 학생부터 차례대로 나열하면 A, B, C 순이다.

∴ A, B, C

02

1

Step 조건확인

평균, 표준편차, 자료의 비교 2

Step 서술순서

자료 A의 평균과 표준편차를 각각 구한다.

자료 B의 평균과 표준편차를 각각 구한다.

자료 C의 평균과 표준편차를 각각 구한다.

답과 그 이유를 제시한다.

03

3

Step 서술하기

! 자료 A의 평균은 4_3+5_3+6_39 = 459 =5이다.

{(편차)Û`_(도수)}의 총합은 (-1)Û`_3+0Û`_3+1Û`_3=6 이므로

(분산)=;9^;=;3@;, (표준편차)=¾¨;3@;

@ 자료 B의 평균은 2_3+5_1+8_37 = 357 =5이다.

(분산)= 547 , (표준편차)=¾¨ 547

# 자료 C의 평균은 4_2+5_3+6_27 = 357=5이다.

(분산)=;7$;, (표준편차)=¾¨;7$;

이때 표준편차가 가장 작은 자료는 C, 가장 큰 자료는 B이므로 분포가 고른 것부터 차례대로 나열하면 C, A, B 순이다.

∴ C, A, B 모범답안

4

Step 검토하기

자료 A의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구하였는가?

자료 B의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구하였는가?

자료 C의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구하였는가?

답과 그 이유를 바르게 제시하였는가?

채점기준표

문제이해 A 세 자료의 표준편차를 구하고, 표준편차의 의미를 말할 수

있다. 1

문제해결 과정

B 자료 A의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 C 자료 B의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 D 자료 C의 평균과 표준편차를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 E 답과 그 이유를 바르게 제시한 경우 (각1점) 2 의사소통

1

Step 조건확인

평균, 분산, 섞은 자료의 평균과 분산 2

Step 서술순서

자료 A, B의 총점을 각각 구한다.

두 자료 A, B를 섞은 자료의 평균을 구한다.

자료 A, B의 (편차)Û`의 총합을 각각 구한다.

두 자료 A, B를 섞은 자료의 분산을 구한다.

04

(9)

3

Step 서술하기

! 자료 A의 총점은 5_4=20, 자료 B의 총점은 5_4=20이 므로 두 자료 A, B를 섞은 자료의 평균은 20+20

10 =4이다.

@ 자료 A의 (편차)Û`의 총합은 5_3=15, 자료 B의 (편차)Û`의 총합은 5_9=45이므로

두 자료 A, B를 섞은 자료의 (편차)Û`의 총합은 15+45=60 이다.

이때 두 자료 A, B를 섞은 자료의 (분산)=;1^0);=6이다.

∴ 평균 : 4, 분산 : 6 모범답안

4

Step 검토하기

자료 A, B의 총점을 각각 바르게 구하였는가?

두 자료 A, B를 섞은 자료의 평균을 바르게 구하였는가?

자료 A, B의 (편차)Û`의 총합을 각각 바르게 구하였는가?

두 자료 A, B를 섞은 자료의 분산을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 두 자료를 섞은 전체 자료의 평균과 분산을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 자료 A, B의 총점을 각각 바르게 구한 경우 1 C 두 자료 A, B를 섞은 자료의 평균을 바르게 구한 경우 1 D 자료 A, B의 (편차)Û`의 총합을 각각 바르게 구한 경우 1 E 두 자료 A, B를 섞은 자료의 분산을 바르게 구한 경우 1 의사소통

교과서 기본예제 2 165

유사문제

! 평균이 4이므로

1+2+4+x+y=4_5, x+y=13

@ 분산이 4이므로 (편차)Û`의 총합은 4_5=20이다.

(-3)Û`+(-2)Û`+0Û`+(x-4)Û`+(y-4)Û`=20 xÛ`+yÛ`-8(x+y)+45=20, xÛ`+yÛ`-104+45=20

∴ xÛ`+yÛ`=79

평균, 분산, 표준편차의 응용

07 출제유형 다지기

p. 034

특별하게 연습하기

p. 036

(가)에 의하여 (평균)= a+b+c+d4 =2 이때 (편차)Û`의 총합은

(a-2)Û`+(b-2)Û`+(c-2)Û`+(d-2)Û`

=aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`-4(a+b+c+d)+16

=76-32+16=60 즉, (분산)=60

4 =15이므로 (표준편차)="15

∴ 평균 : 2, 표준편차 : "15

01

! M= a+b+c+d4 이므로 a+b+c+d=4M (평균)= a+b+c+d+124 = 4M+124 =M+3

@ 분산은 평균을 중심으로 변량들이 흩어져 있는 정도를 나타낸 것이므로

모든 변량에 3을 더한 변량의 분산(표준편차)은 변함이 없다.

즉, (분산)=SÛ`

∴ (평균)=M+3, (분산)=SÛ`

02

1

Step 조건확인

평균, 분산, 실제 자료와 잘못 본 자료 2

Step 서술순서

⑴ 실제 5개 자료와 잘못 본 5개 자료의 변량의 총합을 제시한다.

⑴ 실제 5개 자료의 평균을 구한다.

⑵ 잘못 본 5개 자료의 분산을 이용하여 등식을 세운다.

⑵ 실제 5개 자료의 분산을 구한다.

03

3

Step 서술하기

⑴ 실제 5개 자료 a, b, c, 5, 1과 잘못 본 5개 자료 a, b, c, 4, 2의 변량의 총합은 변함이 없으므로

평균의 변화는 없다.

∴ 3

⑵ ! 잘못 본 5개 자료의 분산은

(a-3)Û`+(b-3)Û`+(c-3)Û`+(4-3)Û`+(2-3)Û`

5 =20

이므로

(a-3)Û`+(b-3)Û`+(c-3)Û`=98

@ 실제 5개 자료의 분산은

(a-3)Û`+(b-3)Û`+(c-3)Û`+(5-3)Û`+(1-3)Û`

5

= 1065 =21.2

∴ 21.2 모범답안

(10)

4

Step 검토하기

⑴ 실제 5개 자료와 잘못 본 5개 자료의 총합을 바르게 제시하 였는가?

⑴ 실제 5개 자료의 평균을 바르게 구하였는가?

⑵ 잘못 본 5개 자료의 분산을 이용하여 등식을 바르게 세웠는가?

⑵ 실제 5개 자료의 분산을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 잘못 본 자료의 평균과 분산을 이용하여 실제 자료의 평균과

분산을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 실제 5개 자료와 잘못 본 5개 자료의 변량의 총합을 바

르게 제시한 경우 1

C ⑴ 실제 5개 자료의 평균을 바르게 구한 경우 1 D ⑵ 잘못 본 5개 자료의 분산을 이용하여 등식을 바르게 세

운 경우 1

E ⑵ 실제 5개 자료의 분산을 바르게 구한 경우 1 의사소통

1

Step 조건확인

평균, 표준편차, 이차함수의 최솟값 2

Step 서술순서

a+b+c+d의 값을 구한다.

aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`의 값을 구한다.

f(x)=a(x-p)Û`+q의 꼴로 나타낸다.

최솟값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

! a+b+c+d4 =3이므로 a+b+c+d=12

(a-3)Û`+(b-3)Û`+(c-3)Û`+(d-3)Û`=24 aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`-6(a+b+c+d)+36=24 aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`-72+36=24, aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`=60 이때 f(x) =4xÛ`-2(a+b+c+d)x+aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`

=4xÛ`-24x+60=4(x-3)Û`+24 즉, f(x)는 x=3일 때, 최솟값 24를 갖는다.

∴ 24 모범답안

4

Step 검토하기

a+b+c+d의 값을 바르게 구하였는가?

aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`의 값을 바르게 구하였는가?

f(x)=a(x-p)Û`+q의 꼴로 바르게 나타내었는가?

최솟값을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 평균과 표준편차를 이용하여 이차함수의 최솟값을 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B a+b+c+d의 값을 바르게 구한 경우 1

C aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 D f(x)=a(x-p)Û`+q의 꼴로 바르게 나타낸 경우 (과정) 2

E 최솟값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

자신있게 쫑내기

p. 038

01

a+b+c+d+e+5

5 =8이므로 a+b+c+d+e=35 이때 평균은 a+b+c+d+e

5 =7이다.

∴ 7 채점기준표

문제이해 A 자료의 총합을 이용하여 평균을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B a+b+c+d+e의 값을 바르게 구한 경우 1

C 평균을 바르게 구한 경우 1

의사소통

자료를 크기순으로 나열하면 8, 9, 10, 10, 12, 13, 15, 17이다.

이때 (중앙값)=10+12

2 =11 cm이고 (최빈값)=10 cm이다.

∴ 중앙값 : 11(cm), 최빈값 : 10(cm) 채점기준표

문제이해 A 주어진 자료의 대푯값을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 자료를 크기순으로 바르게 나열한 경우 1

C 중앙값, 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

02

통학시간의 {(계급값)_(도수)}의 총합을 구하면 다음과 같다.

통학시간(분) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 0 ^이상 ~ 10 ^미만 3 5 5_3=15 10 ~ 20 4 15 15_4=60 20 ~ 30 5 25 25_5=125 30 ~ 40 7 35 35_7=245 40 ~ 50 1 45 45_1=45

합계 20 - 490

이때 (평균)=490

20 =24.5분, (중앙값)=25+25 2 =25분, (최빈값)=35분

∴ 평균 : 24.5(분), 중앙값 : 25(분), 최빈값 : 35(분) 채점기준표

문제이해 A 도수분포표에서의 대푯값을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B {(계급값)_(도수)}의 총합를 바르게 구한 경우 1 C 평균, 중앙값, 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 3 의사소통

03

⑴ 변량의 총합이

(-2)+6+a+7+b+8+(-1)=a+b+18이므로 a+b+18=7_4=28, a+b=10

이때 연립방정식 [a-b=-6

a+b=10 의 해는 a=2, b=8 ∴ a=2, b=8

04

(11)

⑵ 7개의 변량을 크기순으로 나열하면 -2, -1, 2, 6, 7, 8, 8이다.

이때 (중앙값)=6, (최빈값)=8 ∴ 중앙값 : 6, 최빈값 : 8 채점기준표

문제이해 A 주어진 대푯값을 이용하여 변량을 구하고, 조건에 맞는 답

을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 평균을 이용하여 a+b의 값을 바르게 구한 경우 1 C ⑴ a, b의 값을 각각 바르게 구한 경우 1 D ⑵ 변량을 크기순으로 바르게 나열한 경우 1 E ⑵ 중앙값, 최빈값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

⑴ 중앙값이 1이고, a<b이므로

자료를 크기순으로 나열하면 -4, -2, a, b, 2, 2, 3이다.

즉, b=1

이때 (평균)=2+(-2)+a+(-4)+2+1+3

7 = a+27 =0

이므로 a=-2 ∴ a=-2, b=1

⑵ (편차)Û`의 총합은

2Û`+(-2)Û`+(-2)Û`+(-4)Û`+2Û`+1Û`+3Û`=42이므로 (분산)=42

7 =6, (표준편차)="6 ∴ "6

채점기준표

문제이해 A 주어진 대푯값을 이용하여 변량을 구하고, 표준편차를 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 조건에 맞게 b의 값을 바르게 구한 경우 1 C ⑴ 평균을 이용하여 a의 값을 바르게 구한 경우 1 D ⑵ (편차)Û`의 총합을 바르게 구한 경우 1

E ⑵ 표준편차를 바르게 구한 경우 1

의사소통

05

책의 수(권) 도수(명) 계급값 (계급값)_(도수) 편차 (편차)Û`_(도수) 1 ^이상 ~ 3 ^미만 1 2 2_1=2 -4 (-4)Û`_1=16 3 ~ 5 3 4 4_3=12 -2 (-2)Û`_3=12 5 ~ 7 3 6 6_3=18 0 0Û`_3=0 7 ~ 9 1 8 8_1=8 2 2Û`_1=4 9 ~ 11 2 10 10_2=20 4 4Û`_2=32

합계 10 - 60 - 64

이때 (평균)=;1^0);=6권, (분산)=;1^0$;=6.4, (표준편차)="6.4권

∴ 평균 : 6(권), 분산 : 6.4, 표준편차 : "6.4(권) 채점기준표

문제이해 A 도수분포표에서의 평균, 분산, 표준편차를 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B {(계급값)_(도수)}의 총합을 구하고, 평균을 바르게 구한 경우 2 C {(편차)Û`_(도수)}의 총합을 구하고, 분산을 바르게 구한 경우 2

D 표준편차를 바르게 구한 경우 1

의사소통

06

분산과 표준편차는 평균을 중심으로 변량들이 흩어져 있는 정도를 수로 나타낸 것이다.

즉, 분산과 표준편차가 클수록 분포가 많이 흩어져 있다고 할 수 있으므로

표준편차가 가장 큰 1학년 자료의 분포가 가장 많이 흩어져 있다 고 할 수 있다.

∴ 1학년 채점기준표

문제이해 A 분산과 표준편차의 의미를 설명할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 분산과 표준편차가 클수록 분포가 많이 흩어짐을 바르게

제시한 경우 2

C 답을 바르게 제시한 경우 1

의사소통

07

! 평균이 4이므로

2+5+x+7+y=4_5, x+y=6

(-2)Û`+1Û`+(x-4)Û`+3Û`+(y-4)Û`=25 xÛ`+yÛ`-8(x+y)+46=25, xÛ`+yÛ`-48+46=25

∴ xÛ`+yÛ`=27 채점기준표

문제이해 A 자료의 평균과 표준편차를 이용하여 식의 값을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 평균을 이용하여 x+y의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 C 분산과 (편차)Û`의 총합을 이용하여 등식을 바르게 세운 경우

(과정) 2

D 등식을 정리하여 xÛ`+yÛ`의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

08

1

그래프를 통해 알 수 있는 사실은 다음과 같다.

! B반이 A반보다 수학 평균 점수가 높다.

@ A반이 B반보다 평균을 중심으로 변량의 흩어진 정도가 적으 므로 A반 학생들의 수학 성적이 B반 학생들의 수학 성적보다 고르다.

# B반은 A반보다 평균을 중심으로 변량의 흩어진 정도가 많으 므로 수학 성적 평균에 대한 분산과 표준편차는 B반이 A반보 다 크다.

채점기준표

문제해결

과정 A 그래프를 통해 알 수 있는 사실을 바르게 제시한 경우 (각2점) 6

스토리텔링형 실전문제

_p.₀₄₀

(12)

2

10회 경기를 한 결과에 대하여

! A학생의 평균 득점은 (7_2)+(9_4)+(10_4)

10 =;1(0);=9점이므로 (분산)= (-2)Û`_2+0Û`_4+1Û`_410 =;1!0@;=1.2, (표준편차)='¶1.2점

@ B학생의 평균 득점은 7+8+(9_5)+(10_3)

10 =;1(0);=9점이므로

(분산)= (-2)Û`+(-1)Û`+0Û`_5+1Û`_310 =;1¥0;=0.8, (표준편차)='¶0.8점

!, @에 의하여 두 학생의 평균 득점은 같지만

B학생이 A학생보다 득점의 표준편차가 작아 성적이 고르므로 B 학생을 선발하는 것이 좋다.

∴ B학생 채점기준표

문제이해 A 분산과 표준편차를 이해하고, 실생활에 적용할 수 있다. 1

문제해결 과정

B A학생의 득점의 평균, 분산, 표준편차를 각각 바르게 제시

한 경우 (각1점) 3

C B학생의 득점의 평균, 분산, 표준편차를 각각 바르게 제시

한 경우 (각1점) 3

D 분산 또는 표준편차의 대소 관계를 근거로 답을 바르게 제

시한 경우 2

의사소통

1.

피타고라스 정리

Ⅱ ^{피타고라스 정리}

채점기준표

&

모범답안

⑴ 15 ⑵ 2'3

⑴ x=12, y=15 ⑵ x='7, y=2

유사문제

! △ABC에서 피타고라스 정리에 의하여

! x="Ã10Û`-8Û`='¶36=6

@ △ABD에서 피타고라스 정리에 의하여

! y="Ã8Û`+15Û`='¶289=17

∴ x=6, y=17ù

피타고라스 정리의 이용

08 출제유형 다지기

p. 046

특별하게 연습하기

p. 048

⑴ △ABC에서 피타고라스 정리에 의하여

(x+2)Û`=xÛ`+8Û`, xÛ`+4x+4=xÛ`+64, 4x=60 ∴ x=15

⑵ △BCD에서 피타고라스 정리에 의하여 BDÓ=¿¹(2'3)Û`+4Û`='¶28=2'7 cm △ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 x=¿¹(2'7)Û`-('3)Û`='¶25=5 ∴ x=5

01

⑴ △ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 x="Ã10Û`-6Û`='¶64=8

△ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 y="Ã8Û`+9Û`='¶145

∴ x=8, y='¶145

⑵ 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=2 cm이다.

△ABH에서 피타고라스 정리에 의하여 AHÓ="Ã5Û`-2Û`='¶21 cm이므로 y='¶21 △BCD에서 피타고라스 정리에 의하여 x=¿¹7Û`+('¶21)Û`='¶70

∴ x='¶70, y='¶21

02

(13)

3

Step 서술하기

부러진 부분의 길이가 (18-x)`m이므로 피타고라스 정리에 의하여 (18-x)Û`=xÛ`+12Û`

xÛ`-36x+324=xÛ`+144, -36x=-180, x=5

∴ x=5 모범답안

1

Step 조건확인

부러진 나무, 피타고라스 정리 2

Step 서술순서

부러진 부분의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다.

피타고라스 정리를 이용하여 방정식을 세운다.

x의 값을 구한다.

03

4

Step 검토하기

부러진 부분의 길이를 x에 대한 식으로 바르게 나타내었는가?

피타고라스 정리를 이용하여 방정식을 바르게 세웠는가?

x의 값을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 피타고라스 정리를 이해하고, 직각삼각형의 변의 길이를 구

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 부러진 부분의 길이를 x에 대한 식으로 바르게 나타낸 경우 1 C 피타고라스 정리를 이용하여 방정식을 바르게 세운 경우 1

D x의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

1

Step 조건확인

직각삼각형, 피타고라스 정리 2

Step 서술순서

⑴ OBÓ, OCÓ, y, OFÓ의 길이를 차례대로 구한다.

⑵ 직각삼각형 n개를 그릴 때의 가장 긴 빗변의 길이를 제시한다.

⑵ 조건에 맞는 n의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

⑴ 피타고라스 정리에 의하여 OBÓ="Ã2Û`+2Û`='8=2'2 cm OCÓ=¿¹(2'2)Û`+2Û`='¶12=2'3 cm ODÓ=¿¹(2'3)Û`+2Û`='¶16=4 cm OEÓ="Ã4Û`+2Û`='¶20=2'5 cm OFÓ=¿¹(2'5)Û`+2Û`='¶24=2'6 cm ∴ 2'6(cm)

⑵ 직각삼각형 n개를 그릴 때 가장 긴 빗변의 길이는 2'Än+1 cm이다.

이때 2'Än+1=10, 'Än+1=5, n=24 ∴ 24(개)

모범답안

4

Step 검토하기

⑴ OBÓ, OCÓ, y, OFÓ의 길이를 차례대로 바르게 구하였는가?

⑵ 직각삼각형 n개를 그릴 때의 가장 긴 빗변의 길이를 바르게 제시하였는가?

⑵ 조건에 맞는 n의 값을 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 피타고라스 정리를 이해하고, 직각삼각형의 변의 길이를 구

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ OBÓ, OCÓ, y, OFÓ의 길이를 차례대로 바르게 구한 경우 3 C ⑵ 직각삼각형 n개를 그릴 때의 가장 긴 빗변의 길이를 바

르게 제시한 경우 1

D ⑵ 조건에 맞는 n의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

⑴ 20 cmÛ` ⑵ 5'5 cmÛ`

교과서 기본예제 2 (16-6'7)cmÛ`

유사문제

⑴ △ABF와 △EBC에서

ABÓ=EBÓ, ∠ABF=∠EBC, BFÓ=BCÓ이므로

△ABFª△EBC(SAS합동)

이때 BFÓAÕJÕÕ이므로 △ABF=△KBF=;2!;BFJK DCÓEBÓ이므로 △EBC=△EBA=;2!;ABED 즉, △ABF=△EBC이므로 BFJK=ABED ∴ ABED

⑵ △ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã9Û`-5Û`='¶56=2'¶14 cm이므로

ABED=(2'¶14)Û`=56 cmÛ`

이때 △ABF=△EBC=;2!;ABED=;2!;_56=28 cmÛ`

∴ 28(cmÛ`)

피타고라스 정리가 성립함을 설명하는 방법

09 출제유형 다지기

p. 050

(14)

특별하게 연습하기

p. 052

⑴ 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다.

∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`

⑵ AGHB는 네 변의 길이가 모두 c인 마름모이고 ∠BAC+∠GAD=90ùÙÙÙ이므로 ∠BAG=90ùÙÙÙ 이때 AGHB는 정사각형이다.

CDEF=4△ABC+AGHB에서

(a+b)Û`=4_;2!;ab+cÛ`, aÛ`+2ab+bÛ`=2ab+cÛ`

∴ aÛ`+bÛ`=cÛ` (설명 끝)

01

BFÓ=CGÓ=a이므로 FGÓ=b-a

같은 방법으로 EFÓ=FGÓ=GHÓ=HEÓ=b-a

즉, EFGH는 네 변의 길이가 b-a로 모두 같고, 네 내각의 크 기가 90ùÙÙÙ로 모두 같으므로 정사각형이다.

이때 ABCD=4△BCG+EFGH이므로 cÛ`=4_;2!;ab+(b-a)Û`, cÛ`=2ab+bÛ`-2ab+aÛ`

∴ cÛ`=aÛ`+bÛ`(설명 끝)

02

1

Step 조건확인

피타고라스 정리, 가필드의 설명 방법 2

Step 서술순서

사다리꼴의 넓이를 구한다.

세 직각삼각형의 넓이를 구한다.

등식을 정리하여 피타고라스 정리가 성립함을 제시한다.

03

3

Step 서술하기

(사다리꼴의 넓이)=;2!;(a+b)Û`이고,

(세 직각삼각형의 넓이의 합)=2_;2!;ab+;2!;cÛ`=ab+;2!;cÛ`

이때 ;2!;(a+b)Û`=ab+;2!;cÛ`이므로 aÛ`+2ab+bÛ`=2ab+cÛ`

∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`(설명 끝) 모범답안

4

Step 검토하기

사다리꼴의 넓이를 바르게 구하였는가?

세 직각삼각형의 넓이를 바르게 구하였는가?

등식을 정리하여 피타고라스 정리가 성립함을 바르게 제시하였 는가?

채점기준표

문제이해 A 가필드의 설명 방법으로 피타고라스 정리가 성립함을 설명

할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 사다리꼴의 넓이를 바르게 구한 경우 1

C 세 직각삼각형의 넓이를 바르게 구한 경우 1 D 등식을 정리하여 피타고라스 정리가 성립함을 바르게 제시

한 경우 (과정) 2

의사소통

1

Step 조건확인

피타고라스의 나무, a, b를 사용한 식 2

Step 서술순서

A+B=C, D+E=F, G=C+F임을 제시한다.

색칠한 부분의 넓이의 합을 a, b를 사용한 식으로 나타낸다.

04

3

Step 서술하기

피타고라스 정리에 의하여

A+B=C, D+E=F, G=C+F이다.

이때 C=aÛ`, F=bÛ`이므로

A+B+C+D+E+F+G =C+C+F+F+(C+F)

=3C+3F=3(aÛ`+bÛ`)

∴ 3(aÛ`+bÛ`) 모범답안

4

Step 검토하기

A+B=C, D+E=F, G=C+F임을 바르게 제시하였는가?

색칠한 부분의 넓이의 합을 a, b를 사용한 식으로 바르게 나타 내었는가?

채점기준표

문제이해 A 피타고라스의 나무를 이해하고, 모든 정사각형의 넓이의 합

을 식으로 나타낼 수 있다. 1

문제해결 과정

B A+B=C, D+E=F, G=C+F임을 바르게 제시한

경우 1

C 색칠한 부분의 넓이의 합을 a, b를 사용한 식으로 바르게

나타낸 경우 1

의사소통

교과서 기본예제 1 (가), (라)

교과서 기본예제 2 2'¶13 cm 또는 2'5 cm

직각삼각형이 되기 위한 조건

10 출제유형 다지기

p. 054

(15)

유사문제

가장 긴 변의 길이가 x+5이므로 피타고라스 정리에 의하여 (x+5)Û`=(x+3)Û`+(x+1)Û`,

xÛ`+10x+25=xÛ`+6x+9+xÛ`+2x+1 xÛ`-2x-15=0, (x-5)(x+3)=0

∴ x=5(∵ x>-1)

특별하게 연습하기

p. 056

! 가장 긴 변의 길이가 a인 경우

! 피타고라스 정리에 의하여 aÛ`=10Û`+6Û`이다.

! aÛ`=136, a=2'¶34(∵ 10<a<16)

@ 가장 긴 변의 길이가 10인 경우

! 피타고라스 정리에 의하여 10Û`=aÛ`+6Û`이다.

! aÛ`=64, a=8(∵ 4<a<10)

!, @에 의하여 a=8 또는 a=2'¶34이다.

∴ a=8 또는 a=2'¶34

01

! 가장 긴 변의 길이가 2x인 경우

! 피타고라스 정리에 의하여 (2x)Û`=8Û`+xÛ`이다.

! 4xÛ`=64+xÛ`, 3xÛ`=64, x=;3*;'3 (∵ 4<x<8)

@ 가장 긴 변의 길이가 8인 경우

! 피타고라스 정리에 의하여 8Û`=xÛ`+(2x)Û`이다.

! 64=xÛ`+4xÛ`, 5xÛ`=64, x=;5*;'5 {∵ ;3*;<x<4}

!, @에 의하여 x=;3*;'3 또는 x=;5*;'5이다.

∴ x=;3*;'3 또는 x=;5*;'5

02

1

Step 조건확인

직각삼각형이 되기 위한 조건, ACÓ, BCÓ의 길이 2

Step 서술순서 미지수를 설정한다.

피타고라스 정리를 이용하여 이차방정식을 세운다.

문제의 뜻에 맞는 x의 값을 구한다.

ACÓ, BCÓ의 길이를 각각 구한다.

03

3

Step 서술하기

ACÓ=x cm로 놓으면 BCÓ=(17-x)cm이다.

이때 ∠C가 직각일 때, ∠C의 대변인 ABÓ가 빗변이므로 피타고라스 정리에 의하여 13Û`=xÛ`+(17-x)Û`이다.

169=xÛ`+xÛ`-34x+289, 2xÛ`-34x+120=0

xÛ`-17x+60=0, (x-5)(x-12)=0, x=5 (∵ BCÓ>ACÓ)

∴ ACÓ=5(cm), BCÓ=12(cm) 모범답안

4

Step 검토하기

미지수를 바르게 설정하였는가?

피타고라스 정리를 이용하여 이차방정식을 바르게 세웠는가?

문제의 뜻에 맞는 x의 값을 바르게 구하였는가?

ACÓ, BCÓ의 길이를 각각 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 직각삼각형이 되기 위한 조건을 이용하여 직각을 낀 두 변의

길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 미지수를 바르게 설정한 경우 1

C 피타고라스 정리를 이용하여 이차방정식을 바르게 세운 경우 2 D 문제의 뜻에 맞는 x의 값을 바르게 구한 경우 1 E ACÓ, BCÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

1

Step 조건확인

자연수 m, n, 직각삼각형임을 설명 2

Step 서술순서

aÛ`, bÛ`, cÛ`을 각각 m, n에 대한 식으로 나타낸다.

피타고라스 정리가 성립함을 제시한다.

04

3

Step 서술하기

aÛ`=(mÛ`-nÛ`)Û`=mÝ`-2mÛ`nÛ`+nÛ`

bÛ`=(2mn)Û`=4mÛ`nÛ`

cÛ`=(mÛ`+nÛ`)Û`=mÝ`+2mÛ`nÛ`+nÝ`

이때 aÛ`+bÛ`=cÛ`이므로

주어진 삼각형은 c를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

모범답안

4

Step 검토하기

aÛ`, bÛ`, cÛ`을 각각 m, n에 대한 식으로 바르게 나타내었는가?

피타고라스 정리가 성립함을 바르게 제시하였는가?

채점기준표

문제이해 A 변의 길이를 제곱하여 피타고라스 정리가 성립함을 설명할

수 있다. 1

문제해결 과정

B aÛ`, bÛ`, cÛ`을 각각 m, n에 대한 식으로 바르게 나타낸 경우

(각1점) 3

C 피타고라스 정리가 성립함을 바르게 제시한 경우 1 의사소통

교과서 기본예제 1 x=4, y=4'5

직각삼각형에서의 닮음 이용

11 출제유형 다지기

p. 058

(16)

;5^;'5

유사문제

△ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã6Û`+4Û`='¶52=2'¶13 cm

△ABC»△BHC(AA닮음)이므로 ABÓ`:`BHÓ=ACÓ`:`BCÓ 4`:`BHÓ=2'¶13`:`6, 2'¶13_BHÓ=24, BHÓ= 12'¶13=;1!3@;'¶13 cm

∴ ;1!3@;'¶13(cm)

특별하게 연습하기

p. 060

⑴ △ABD»△CAD(AA닮음)이므로 BDÓ`:`ADÓ=ADÓ`:`CDÓ 9`:`x=x`:`4, xÛ`=36, x=6(∵ x>0)

△ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 y="Ã9Û`+6Û`='¶117=3'¶13

∴ x=6, y=3'¶13

⑵ △ACD에서 피타고라스 정리에 의하여 x="Ã6Û`-3Û`='¶27=3'3

△ABC»△ACD(AA닮음)이므로 ACÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`CDÓ 6`:`3=y`:`3'3, 3y=18'3, y=6'3

∴ x=3'3, y=6'3

01

3x+4y-12=0의 그래프의 x절편은 4, y절편은 3이므로 A(4, 0), B(0, 3)이다.

△OAB에서 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã3Û`+4Û`=5 이때 △OAB=;2!;_4_3=;2!;_5_OHÓ이므로 OHÓ=:Á5ª:

∴ :Á5ª:

02

1

Step 조건확인

피타고라스 정리, 직각삼각형에서의 닮음 이용 2

Step 서술순서

BDÓ, AEÓ의 길이를 각각 구한다.

△ABD»△EBA임을 이용하여 EBÓ의 길이를 구한다.

△ABEª△CDF임을 이용하여 FDÓ의 길이를 구한다.

EFÓ의 길이를 구하여 AECF의 넓이를 구한다.

03

3

Step 서술하기

△ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 BDÓ="Ã3Û`+4Û`=5 cm

△ABD=;2!;_3_4=;2!;_5_AEÓ, AEÓ=:Á5ª: cm

△ABD»△EBA(AA닮음)이므로 ABÓ`:`EBÓ=BDÓ`:`BAÓ 3`:`EBÓ=5`:`3, 5EBÓ=3Û`, EBÓ=;5(; cm

이때 △ABEª△CDF(RHA합동)이므로 EBÓ=FDÓ=;5(; cm 즉, EFÓ=BDÓ-EBÓ-FDÓ=5-;5(;-;5(;=;5&; cm

AECF=AEÓ_EFÓ=:Á5ª:_;5&;=;2*5$; cmÛ`

∴ ;2*5$;(cmÛ`) 모범답안

3

Step 서술하기

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ=6 cm, DMÓ=2 cm

직각삼각형 ADM에서 ADÓ="Ã6Û`-2Û`='¶32=4'2 cm 이때 △ADM=;2!;_2_4'2=;2!;_6_DNÓ, DNÓ= 8'26 =4'2

3 cm

∴ 4'2 3 (cm) 모범답안

4

Step 검토하기

BDÓ, AEÓ의 길이를 각각 바르게 구하였는가?

△ABD»△EBA임을 이용하여 EBÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

△ABEª△CDF임을 이용하여 FDÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

EFÓ의 길이를 구하여 AECF의 넓이를 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 피타고라스 정리와 직각삼각형에서의 닮음을 이용하여 변의

길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B BDÓ, AEÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 C △ABD»△EBA임을 이용하여 EBÓ의 길이를 바르게 구

D △ABEª△CDF임을 이용하여 FDÓ의 길이를 바르게 구

E EFÓ의 길이를 구하여 AECF의 넓이를 바르게 구한 경

우 (각1점) 2

의사소통

1

Step 조건확인

피타고라스 정리, 외심의 위치 2

Step 서술순서

직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이를 각 각 구한다.

피타고라스 정리를 이용하여 ADÓ의 길이를 구한다.

△ADM의 넓이를 이용하여 DNÓ의 길이를 구한다.

04

(17)

4

Step 검토하기

직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이를 각 각 바르게 구하였는가?

피타고라스 정리를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

△ADM의 넓이를 이용하여 DNÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

채점기준표

문제이해 A 피타고라스 정리와 외심의 위치를 이용하여 변의 길이를

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 직각삼각형의 외심의 위치를 이용하여 AMÓ, DMÓ의 길이

를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2

C 피타고라스 정리를 이용하여 ADÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2

D △ADM의 넓이를 이용하여 DNÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

⑴ 4'2 ⑵ 2'3

교과서 기본예제 2 30 cmÛ`

유사문제

△ABD에서 피타고라스 정리에 의하여 BDÓ="Ã12Û`+16Û`='¶400=20 cm

∠CBD=∠EBD(접은각)=∠BDF(엇각)이므로

△FBD는 FBÓ=FDÓ인 이등변삼각형이다.

이때 AFÓ=x cm로 놓으면 FDÓ=FBÓ=(16-x)cm이므로

△ABF에서 피타고라스 정리에 의하여 (16-x)Û`=xÛ`+12Û`

xÛ`-32x+256=xÛ`+144, 32x=112, x=;2&; cm 즉, FDÓ=FBÓ=16-x=:ª2°: cm이므로

△BDF=;2!;_FDÓ_ABÓ=;2!;_:ª2°:_12=75 cmÛ`

∴ 75(cmÛ`)

피타고라스 정리를 이용한 여러 가지 성질

12 출제유형 다지기

p. 062

특별하게 연습하기

p. 064

⑴ ABÓÛ`+CDÓÛ`=ADÓÛ`+BCÓÛ`이므로 (2'¶10)Û`+7Û`=xÛ`+8Û`

xÛ`+64=89, xÛ`=25, x=5(∵ x>0) ∴ x=5

⑵ PAÓÛ`+PCÓÛ`=PBÓÛ`+PDÓÛ`이므로 8Û`+10Û`=xÛ`+12Û`

xÛ`+144=164, xÛ`=20, x=2'5(∵x>0) ∴ x=2'5

01

피타고라스 정리에 의하여

DEÓÛ`=aÛ`+bÛ`, BCÓÛ`=cÛ`+dÛ`, BEÓÛ`=bÛ`+cÛ`, CDÓÛ`=aÛ`+dÛ`

즉, DEÓÛ`+BCÓÛ`=BEÓÛ`+CDÓÛ`이므로 (2'5)Û`+xÛ`=6Û`+8Û`

20+xÛ`=36+64, xÛ`=80, x=4'5(∵x>0)

∴ x=4'5

02

1

Step 조건확인

히포크라테스의 원, 피타고라스 정리 2

Step 서술순서

⑴ ACÓ의 길이를 구한다.

⑵ 반원의 넓이 P, Q, R을 각각 구한다.

⑶ 색칠한 부분의 넓이가 △ABC의 넓이와 같음을 제시한다.

⑶ 색칠한 부분의 넓이를 구한다.

03

3

Step 서술하기

⑴ △ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã20Û`-16Û`='¶144=12 cm ∴ 12(cm)

⑵ ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이`:`

P=;2!;_p_8Û`=32p cmÛ`

ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이`:`

Q=;2!;_p_6Û`=18p cmÛ`

BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이`:`

R=;2!;_p_10Û`=50p cmÛ`

∴ P=32p(cmÛ`), Q=18p(cmÛ`), R=50p(cmÛ`)

⑶ ⑵에서 ABÓ, ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합이 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므로 (색칠한 부분의 넓이) =P+Q+△ABC-R

=△ABC=;2!;_16_12

=96 cmÛ`

∴ 96(cmÛ`) 모범답안

채점기준표 및 모범답안채점기준표 및 모범답안

내기 별하게

중 3 2 수학

서술형 대비편

채점기준표 및 모범답안

대푯값과 산포도

Ⅰ 통계

채점기준표

&

모범답안

대푯값 구하기

01

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

03

04

02

여러 가지 자료에서 대푯값 구하기

02

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

대푯값이 주어질 때 변량의 값 구하기

03

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

분산과 표준편차 구하기

04

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

도수분포표에서의 분산과 표준편차

05

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

두 자료의 산포도 비교

06

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

평균, 분산, 표준편차의 응용

07

출제유형 다지기

특별하게 연습하기

01

02

03

04

자신있게 쫑내기

01

02

03

04

05

06

07

08

1

스토리텔링형 실전문제

2

피타고라스 정리

Ⅱ 피타고라스 정리

Ⅰ ^통계

Ⅱ ^{피타고라스 정리}