Ⅲ 삼각비
채점기준표
&
모범답안
교과서 기본예제 1 48'3 m
교과서 기본예제 2 9.004 m
유사문제
ACÓ=10 cos 57ù=10_0.54=5.4 m BCÓ=10 sin 57ù=10_0.84=8.4 m 즉, 나무가 쓰러지기 전의 높이는 ACÓ+BCÓ=5.4+8.4=13.8 m이다.
∴ 13.8 (m)
직각삼각형의 변의 길이 구하기
28
출제유형 다지기
p. 144특별하게 연습하기
p. 146ABÓ=ACÓ_ 1cos A=300_ 1
cos 60ù =300_2=600 m
∴ 600 (m)
01
AHÓ=4 cos 60ù=4_ 12=2 cm, BHÓ=6 cm CHÓ=4 sin 60ù=4_ '32 =2'3 cm
△BCH에서 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã6Û`+(2'3)Û`='¶48=4'3 cm 즉, △BCH의 둘레의 길이는
BHÓ+CHÓ+BCÓ=6+2'3+4'3=(6+6'3) cm이다.
∴ 6+6'3 (cm)
02
1
Step 조건확인
45ù, 60ù의 삼각비, 나무의 높이 2
Step 서술순서
CDÓ, ADÓ의 길이를 각각 구한다.
나무의 높이를 구한다.
03
3
Step 서술하기
CDÓ=BDÓ=8 sin 45ù=8_ '22 =4'2 m ADÓ=BDÓ_ tan 60ù=4'2_'3=4'6 m
이때 나무의 높이는 CDÓ+ADÓ=(4'2+4'6) m이다.
∴ 4'2+4'6 (m) 모범답안
4
Step 검토하기
CDÓ, ADÓ의 길이를 각각 바르게 구하였는가?
나무의 높이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수
있다. 1
문제해결 과정
B CDÓ, ADÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2
C 나무의 높이를 바르게 구한 경우 1
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
1
Step 조건확인
6ù의 삼각비, ACÓ의 길이 2
Step 서술순서 ⑴ ACÓ=ABÓ_ 1
sin 6ù 임을 제시한다.
⑴ ACÓ의 길이를 구한다.
⑵ 착륙하는 데 걸리는 시간을 구한다.
04
3
Step 서술하기
⑴ ACÓ=ABÓ_ 1
sin 6ù =2000
0.1 =20000 m ∴ 20000 (m)
⑵ (시간)=(거리) (속력)이므로
비행기가 착륙하는 데 걸리는 시간은 20000
200 =100초이다.
∴ 100(초) 모범답안
4
Step 검토하기
⑴ ACÓ=ABÓ_ 1sin 6ù 임을 바르게 제시하였는가?
⑴ ACÓ의 길이를 바르게 구하였는가?
⑵ 착륙하는 데 걸리는 시간을 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구하고, 문
제를 해결할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ⑴ ACÓ=ABÓ_ 1
sin 6ù 임을 바르게 제시한 경우 1
C ⑴ ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1
D ⑵ 착륙하는 데 걸리는 시간을 바르게 구한 경우 1 의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
3
Step 서술하기
⑴ 건물 A의 높이는 20 tan 30ù=20_ '3
3 =20 3 '3 m ∴ 20
3 '3 (m)
⑵ 건물 B의 높이는
(건물 A의 높이)+20 tan 45ù={ 203 '3+20} m ∴ 20
3 '3+20 (m) 모범답안
교과서 기본예제 1 10'¶13 m
교과서 기본예제 2 100'6 m
유사문제
BCÓ=x tan 60ù='3x m, DCÓ=x tan 30ù= '33 x m 이때 BDÓ=BCÓ-DCÓ={'3- '3
3 }x=300이므로 2'33 x=300, x=300_ 3
2'3=150'3
∴ 150'3 (m)
일반 삼각형의 변의 길이 구하기
29
출제유형 다지기
p. 148특별하게 연습하기
p. 150⑴ BHÓ=120 sin 45ù=120_ '2
2 =60'2 cm ∴ 60'2 (cm)
⑵ ∠CBH=30ù이므로 BCÓ=BHÓ_ 1
cos 30ù =60'2_ 2
'3=40'6 cm ∴ 40'6 (cm)
01
그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수 선의 발을 H로 놓으면
AHÓ=100 sin 52ù=100_0.79=79 m 이때 ACÓ=AHÓ_ 1
sin 71ù = 79 0.95 =83 m
∴ 83 (m)
02
100m 52æ 71æ H
A C
B
1
Step 조건확인
100 km 떨어진 두 관측소, 올려다본 각의 크기 2
Step 서술순서 미지수 x를 설정한다.
AHÓ, BHÓ의 길이를 각각 x에 대한 식으로 나타낸다.
인공위성이 떠 있는 높이를 구한다.
03
3
Step 서술하기
점 P에서 지면에 내린 수선의 발을 H라 하고, PHÓ=x km로 놓 으면 AHÓ=x tan 60ù='3x km, BHÓ=x tan 45ù=x km 이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ=('3-1)x=100이므로
x= 100
'3-1=50('3+1)
∴ 50('3+1)( km) 모범답안
4
Step 검토하기
미지수 x를 바르게 설정하였는가?
AHÓ, BHÓ의 길이를 각각 x에 대한 식으로 바르게 나타내었는가?
인공위성이 떠 있는 높이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 둔각삼각형에서 삼각비를 이용하여 인공위성이 떠 있는 높
이를 구할 수 있다. 1
문제해결 과정
B 미지수 x를 바르게 설정한 경우 1
C AHÓ, BHÓ의 길이를 각각 x에 대한 식으로 바르게 나타낸
경우 1
D 인공위성이 떠 있는 높이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
1
Step 조건확인
20 m 떨어진 두 건물, 각의 크기 2
Step 서술순서
⑴ tan 30ù를 이용하여 건물 A의 높이를 구한다.
⑵ tan 45ù를 이용하여 건물 B의 높이를 구한다.
04
4
Step 검토하기
⑴ tan 30ù를 이용하여 건물 A의 높이를 바르게 구하였는가?
⑵ tan 45ù를 이용하여 건물 B의 높이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구하고, 문
제를 해결할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ⑴ tan 30ù를 이용하여 건물 A의 높이를 바르게 구한 경
우 (과정) 2
C ⑵ tan 45ù를 이용하여 건물 B의 높이를 바르게 구한 경우
(과정) 2
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
교과서 기본예제 1
⑴ 20'2 cmÛ` ⑵ 36'2 cmÛ`
교과서 기본예제 2
⑴ 14'3 cmÛ` ⑵ 560'3 cmÛ`
유사문제
△ABC=1
2 _10_8_ sin 60ù=1
2 _10_8_'3
2 =20'3 cmÛ`
이때 △ABD=1
2 _10_ADÓ_ sin 30ù=5
2 ADÓ cmÛ`
△ACD=1
2 _8_ADÓ_ sin 30ù=2ADÓ cmÛ`
즉, △ABC=△ABD+△ACD이므로
20'3= 92ADÓ, ADÓ= 409 '3 cm ∴ 409 '3 (cm)
삼각형과 사각형의 넓이 구하기
30
출제유형 다지기
p. 152특별하게 연습하기
p. 154△ABC =1
2 _6_12_ sin (180ù-120ù)
= 12_6_12_ '32 =18'3 cmÛ`
이때 △ABD=1
2 _6_x_ sin 60ù=3
2 '3x cmÛ`
△ACD=1
2 _12_x_ sin 60ù=3'3x cmÛ`
즉, △ABC=△ABD+△ACD이므로 18'3= 92'3x, x=4
∴ 4 (cm)
01
⑴ △ABD =1
2 _6_6_ sin (180ù-120ù)
= 12_6_6_ '32 =9'3 cmÛ`
△BCD =1
2 _6'3_6'3_ sin 60ù
= 12_6'3_6'3_ '32 =27'3 cmÛ`
∴ △ABD=9'3 (cmÛ`), △BCD=27'3 (cmÛ`)
⑵ ABCD=△ABD+△BCD=36'3 cmÛ`
∴ 36'3 (cmÛ`)
02
1
Step 조건확인
두 대각선의 길이와 그 끼인 각, ABCD의 넓이 2
Step 서술순서
ABCD와 넓이가 같은 평행사변형을 제시한다.
ABCD의 넓이를 구한다.
03
3
Step 서술하기
ABCD의 넓이는 이웃하는 두 변의 길이가 각각 8 cm, 10 cm 이고, 그 끼인 각의 크기가 60ù인 평행사변형의 넓이의 1
2 과 같다.
즉, ABCD =1
2 _(8_10_ sin 60ù)
= 12_8_10_ '32 =20'3 cmÛ`
∴ 20'3 (cmÛ`) 모범답안
4
Step 검토하기
ABCD와 넓이가 같은 평행사변형을 바르게 제시하였는가?
ABCD의 넓이를 바르게 구하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 삼각비를 이용하여 두 대각선의 길이와 그 끼인 각의 크기 가 주어진 사각형의 넓이를 구할 수 있다. 1 문제해결
과정
B ABCD와 넓이가 같은 평행사변형을 바르게 제시한 경우 2 C ABCD의 넓이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
1
Step 조건확인
변의 길이의 변화, △ABC와 △A'BC'의 넓이 2
Step 서술순서
△ABC의 넓이를 구한다.
△A'BC'의 넓이를 구한다.
넓이의 변화는 어떻게 되는지 제시한다.
04
3
Step 서술하기
△ABC=1
2 _ABÓ_BCÓ_ sin B
△A'BC' =1
2 _A'BÓ_BC'Ó_ sin B
= 12_ 710ABÓ_ 1310BCÓ_ sin B= 91100△ABC 즉, △A'BC'의 넓이는 △ABC의 넓이에서 9% 줄어든다.
∴ 9% 줄어든다.
모범답안
4
Step 검토하기
△ABC의 넓이를 바르게 구하였는가?
△A'BC'의 넓이를 바르게 구하였는가?
넓이의 변화는 어떻게 되는지 바르게 제시하였는가?
수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 삼각비를 이용하여 변의 길이의 변화에 따른 삼각형의 넓
이의 변화를 설명할 수 있다. 1
문제해결 과정
B △ABC의 넓이를 바르게 구한 경우 1
C △A'BC'의 넓이를 바르게 구한 경우 1 D 넓이의 변화는 어떻게 되는지 바르게 제시한 경우 2 의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
자신있게 쫑내기
p. 15601
BHÓ=6 cos 60ù=6_ 12 =3 cm, CHÓ=5 cm AHÓ=6 sin 60ù=6_ '32 =3'3 cm△ACH에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹5Û`+(3'3)Û`='¶52=2'¶13 cm
∴ 2'¶13 (cm) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수 있다. 1 문제해결
과정
B BHÓ, AHÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 C 피타고라스 정리를 이용하여 ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1 의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
기중기의 붐 A에서 지면까지의 높이는
10 sin 65ù+1.5=10_0.91+1.5=9.1+1.5=10.6 m이다.
∴ 10.6 (m) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수
있다. 1
문제해결 과정
B 구하는 높이가 10 sin 65ù+1.5임을 바르게 제시한 경우 1
C 높이를 바르게 구한 경우 1
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
02
점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓으면
AHÓ=8 sin 30ù=8_ 12=4 cm 이때 ∠ABH=∠BAH=45ù이므로 ABÓ=4_ 1
sin 45ù =4_'2=4'2 cm
∴ 4'2 (cm) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 일반 삼각형에서 수선을 그은 후, 삼각비를 이용하여 변의
길이를 구할 수 있다. 1
문제해결 과정
B 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 길이를 바르게 구한 경우 1
C ABÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
03
AB H C
45æ 8cm
45æ 30æ
60æ
점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓 으면
BH Ó=30'2 cos 45ù
=30'2_ '22 =30 m, CHÓ=15 m
AHÓ=30'2 sin 45ù=30'2_ '22 =30 m
△ACH에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã15Û`+30Û`='¶1125=15'5 m
∴ 15'5 (m)
04
B 45æ 45m 30Â2m
A
H C
점 B에서 OAÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓으면 OHÓ=30 cos 60ù=30_ 12=15 cm 이때 AHÓ=OAÓ-OHÓ=15 cm
∴ 15 (cm) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수
있다. 1
문제해결 과정
B 천정에서 진자 B(C)까지의 거리를 바르게 구한 경우 1 C 두 진자 A와 B의 높이의 차를 바르게 구한 경우 1 의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
05
BDÓ=x tan 60ù='3x m, CDÓ=x tan 45ù=x m 이때 BCÓ=BDÓ-CDÓ=('3-1)x=10이므로 x= 10
'3-1=5('3+1) m
∴ 5('3+1) (m) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 둔각삼각형에서 삼각비를 이용하여 높이를 구할 수 있다. 1 문제해결
과정
B BDÓ, CDÓ의 길이를 각각 x에 대한 식으로 바르게 나타낸 경
우 (각1점) 2
C 굴뚝의 높이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
06
채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 일반 삼각형에서 수선을 그은 후, 삼각비를 이용하여 변의
길이를 구할 수 있다. 1
문제해결 과정
B 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 길이를 바르게 구한 경우 1
C BHÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1
D ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1
의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
원의 반지름의 길이를 r cm로 놓으면
(정팔각형의 넓이) =8_{ 12_r_r_ sin 45ù}
=8_ 12_r_r_ '22
=2'2rÛ`
이때 2'2rÛ`=32'2, rÛ`=16, r=4(∵ r>0)
∴ 4 (cm) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 삼각비를 이용하여 정팔각형의 넓이를 구할 수 있다. 1 문제해결
과정
B 정팔각형의 넓이를 원의 반지름에 대한 식으로 바르게 제
시한 경우 (과정) 2
C 원의 반지름의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
07
△ABC에서 ACÓ="Ã6Û`+8Û`=10 cm이다.
ABCD의 넓이는 이웃하는 두 변의 길이가 각각 10 cm, 16 cm 이고, 그 끼인 각의 크기가 60ù인 평행사변형의 넓이의 1
2 과 같다.
즉, ABCD =1
2 _(10_16_ sin 60ù)
= 12_10_16_ '32 =40'3 cmÛ`
∴ 40'3 (cmÛ`) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 삼각비를 이용하여 두 대각선의 길이와 그 끼인 각이 주어
진 사각형의 넓이를 구할 수 있다. 1
문제해결 과정
B ACÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1
C ABCD와 넓이가 같은 평행사변형을 바르게 제시한 경우 2 D ABCD의 넓이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통
표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1
08
2
AHÓ=ABÓ_cos 45ù=2'2_ '22 =2 m PHÓ=AHÓ_tan 62ù=2_1.8807=3.7614 m 즉, 강당의 높이는 3.7614 m이다.∴ 3.7614 (m) 채점기준표
평가내용 채점기준 배점
문제이해 A 실생활에서 삼각비를 이용하여 두 지점 사이의 거리를 구
할 수 있다. 1
문제해결 과정
B AHÓ의 길이를 바르게 구한 경우 2
C PHÓ의 길이를 바르게 구한 경우 2
의사소통
표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1