01 원주각 ~ 03 접선과 현이 이루는 각

(1)

6 ^| ^원주각

01 ^{원주각 ~} 03 접선과 현이 이루는 각

0717 ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_100ù=50ù ^{ 50ù}

0718 ∠x=2∠APB=2_40ù=80ù  80ù 0719 ∠x=2∠APB=2_27ù=54ù  54ù 0720 ∠AOB=360ù-230ù=130ù이므로

∠x=;2!;∠AOB=;2!;_130ù=65ù ^{ 65ù}

0721 ∠x=∠BAC=30ù  30ù

0722 ∠x=∠BDC=45ù  45ù

0723

△

ABC에서∠BAC=180ù-(80ù+60ù)=40ù

∴∠x=∠BAC=40ù  40ù

0724 ABÓ가원O의지름이므로∠ACB=90ù

∴∠x=180ù-(52ù+90ù)=38ù  38ù 0725 QBÓ를그으면

∠AQB=∠x(µAB에대한원주각)

∠BQC=∠BRC=25ù(µBC에대한원주각)

∠AQC=∠AQB+∠BQC에서82ù=∠x+25ù

∴∠x=57ù  57ù

0726 ^{QBÓ를그으면}

∠AQB=∠APB=28ù(µAB에대한원주각)

∠BQC=∠BRC=32ù(µBC에대한원주각)

∴∠x=∠AQB+∠BQC=28ù+32ù=60ù  60ù 0727 µBC=µ DE이므로∠BAC=∠DFE

∴x=35  35

0728 ∠BFC=∠DAE이므로µBC=µDE

∴x=5  5

0729 µBC：µDE=3：6=1：2이므로

∠BAC：∠DFE=1：2,25ù：xù=1：2

∴x=50  50

0730 ∠BAC：∠CAD=24ù：40ù=3：5이므로

µBC：µCD=3：5,3：x=3：5

∴x=5  5

기본 문제 다지기

p. 115, p. 117

0731 µBC=µCD이므로∠BAC=∠CBD=43ù

∴x=43  43

0732 ∠BAD=90ù이므로

△

ABD에서∠ADB=180ù-(90ù+60ù)=30ù

∠DBC=∠ADB이므로µCD=µAB=8`cm

∴x=8  8

0733 ∠x=∠BAC=55ù  55ù

0734 ∠BCA=∠BDA=65ù이므로

∠x=65ù+65ù=130ù  130ù

0735 ∠ABD=∠ACD=30ù이므로

∠x+30ù=95ù ∴∠x=65ù  65ù 0736 ∠ABD=∠ACD=35ù이므로

∠x=180ù-(60ù+35ù)=85ù  85ù 0737 ∠x+88ù=180ù이므로∠x=92ù  92ù

0738 ∠x=∠BCD=115ù  115ù

0739 ㉠∠BAC=∠BDC이므로ABCD는원에내접한다.

㉡∠D=180ù-(45ù+35ù)=100ù

이때∠B+∠D+180ù이므로ABCD는원에내접하 지않는다.

㉢∠ABD=180ù-(60ù+80ù)=40ù

이때 ∠ABD=∠ACD이므로 ABCD는 원에 내접 한다.

㉣∠A=∠DCE이므로ABCD는원에내접한다.

㉤∠BDC=110ù-80ù=30ù

이때∠BAC=∠BDC이므로ABCD는원에내접한 다.

㉥∠BAD=180ù-85ù=95ù

이때∠BAD+∠DCE이므로ABCD는원에내접하 지않는다.

따라서ABCD가원에내접하는사각형인것은㉠,㉢,

㉣,㉤이다.  ㉠, ㉢, ㉣, ㉤

0740 110ù+∠x=180ù이어야하므로∠x=70ù  70ù

0741 ∠x=125ù  125ù

0742

△

ABC에서∠B=180ù-(90ù+35ù)=55ù

55ù+∠x=180ù이어야하므로∠x=125ù  125ù 0743

△

ACD에서∠D=180ù-(25ù+42ù)=113ù

∠x+113ù=180ù이어야하므로∠x=67ù  67ù

0744 ∠x=∠ABP=65ù  65ù

0745 ∠x=∠BPT=70ù  70ù

(2)

0752 ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_150ù=75ù

∠y=;2!;_(360ù-∠AOB)

=;2!;_(360ù-150ù)=105ù

∴∠y-∠x=105ù-75ù=30ù  30ù 0753 ODÓ를그으면

∠AOD=2∠ACD=2_20=40ù

이때∠DOB=110ù-40ù=70ù이므로

∠DEB=;2!;∠DOB=;2!;_70ù=35ù ^{ 35ù}

0754 오른쪽그림과같이BCÓ를

70∞ O 30∞

A B

C D P

그으면

∠ABC=;2!;∠AOC

=;2!;_70ù=35ù

∠BCD=;2!;∠BOD

=;2!;_30ù=15ù

△

BCP에서15ù+∠BPD=35ù

∴∠BPD=20ù  20ù

STEP 1

^필수 ^{유형 익히기}

p. 118~p. 127

0755 ∠BOC=2∠BAC=2∠x

△

ABD에서∠BDC=∠x+40ù yy㉠

△

ODC에서∠BDC=2∠x+10ù yy㉡

㉠,㉡에서∠x+40ù=2∠x+10ù

∴∠x=30ù  30ù

0756 OTÓ,OT'Ó을그으면

∠TOT'=360ù-2∠TAT'=360ù-2_115ù=130ù

∴∠TPT'=180ù-∠TOT'=180ù-130ù=50ù

 50ù

0757 AOÓ,BOÓ를그으면

∠AOB=180ù-∠APB=180ù-40ù=140ù

∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_140ù=70ù ^{ ④}

0758 AOÓ,BOÓ를그으면 yy20`%

∠AOB=180ù-∠APB=180ù-30ù=150ù yy30`%

∴∠ACB=;2!;_(360ù-∠AOB)

=;2!;_(360ù-150ù)

=105ù yy50`%

 105ù

채점 기준 비율

AOÓ, BOÓ 긋기 20`%

∠AOB의 크기 구하기 30`%

∠ACB의 크기 구하기 50`%

0759 ∠PBQ=∠PAQ=20ù(µ PQ에대한원주각)

△

TBQ에서∠x+20ù=80ù

∴∠x=60ù  60ù

0760 PBÓ를그으면

∠APB=;2!;∠AOB=;2!;_70ù=35ù

이때∠BPC=65ù-35ù=30ù이므로

∠BQC=∠BPC=30ù(µ BC에대한원주각)  30ù 0761 ∠BAD=∠BCD=29ù(µ BD에대한원주각)

따라서

△

^ADQ에서

∠ADC=29ù+36ù=65ù  ③

0762 ∠ABC=∠x라하면

∠ADC=∠ABC=∠x(µAC에대한원주각)yy30`%

△

APB에서∠DAB=30ù+∠x yy30`%

△

AQD에서∠x+(30ù+∠x)=80ù

2∠x=50ù ∴∠x=25ù yy^40`%

 25ù

0746 ∠BAP=∠BPT=45ù이므로

△

ABP에서∠x=180ù-(55ù+45ù)=80ù  80ù 0747 ∠APB=90ù이므로

△

APB에서∠BAP=180ù-(90ù+35ù)=55ù

∴∠x=∠BAP=55ù  55ù

0748

△

APB에서∠ABP=180ù-(72ù+40ù)=68ù

∴∠x=∠ABP=68ù  68ù

0749 ∠BAP=∠BPT=50ù

∴∠x=2∠BAP=2_50ù=100ù  100ù 0750 ∠x=∠ATP=∠CTQ=∠CDT=65ù

∠y=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=75ù

 ∠x=65ù, ∠y=75ù

0751 작은원에서∠y=∠DCT=70ù

큰원에서∠x=∠y=70ù  ∠x=70ù, ∠y=70ù

(3)

∠ABC=∠x로 놓고 ∠ADC를 ∠x에 대한 식으로 나타내기 30`%

∠DAB를 ∠x에 대한 식으로 나타내기 30`%

∠x의 크기 구하기 40`%

0763 오른쪽그림과같이AQÓ를그으면

55∞

P

A O

R Q

B

∠AQR=∠APR=55ù

(µAR에대한원주각)

이때ABÓ는지름이므로

∠AQB=90ù

∴∠RQB=90ù-55ù=35ù  35ù 0764 ⑴ABÓ는지름이므로∠ACB=90ù

△

ABC에서∠x=180ù-(90ù+33ù)=57ù

⑵∠ABC=∠ADC=40ù(µAC에대한원주각)이고

ABÓ는지름이므로∠ACB=90ù

△

ABC에서∠x=180ù-(90ù+40ù)=50ù

 ⑴ 57ù ⑵ 50ù

0765 오른쪽그림과같이BDÓ를그으면

O38∞

A B

C

D

ABÓ는지름이므로∠ADB=90ù

∠ABD=∠ACD=38ù

(µAD에대한원주각)

따라서

△

^ADB에서

∠BAD=180ù-(90ù+38ù)=52ù  52ù 0766 오른쪽그림과같이ADÓ를그으면

50∞

A O B

C D

P

ABÓ는지름이므로

∠ADB=90ù yy30`%

∠CAD=;2!;∠COD

=;2!;_50ù=25ù yy30`%

따라서

△

^PAD에서

∠CPD=180ù-(25ù+90ù)=65ù yy40`%

 65ù

∠ADB의 크기 구하기 30`%

∠CAD의 크기 구하기 30`%

∠CPD의 크기 구하기 40`%

0767 오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이 ^A

B

P

C O

6 4

원O와만나는점을P라하면

BPÓ는지름이므로∠BCP=90ù

△

^{PBC에서PCÓ=}"Ã8Û`-6Û`=2'7

∠BAC=∠BPC(µBC에대한원주각)

이므로

cosA=cosP= PCÓ

PBÓ= 2'78 = '74 ^{ '}⁴⁷

0768 오른쪽그림과같이BOÓ의연장선이원

60∞

A

B C

P

O cm 4 3

O와만나는점을P라하면

BPÓ는지름이므로∠BCP=90ù

∠P=∠A=60ù(µ BC에대한원주각)

이고sinP= BCÓ PBÓ이므로

sin60ù= 4'3 PBÓ, '3

2 = 4'3

PBÓ ∴PBÓ=8`(cm)

따라서원O의반지름의길이는

;2!;PBÓ=;2!;_8=4`(cm) ^{ 4`cm}

0769 ∠ACB는반원에대한원주각이므로∠ACB=90ù

△

^{ABC에서ACÓ=}"Ã10Û`-6Û`=8

△

^ABC»

△

ACD(AA닮음)이므로

∠ABC=∠ACD=x

∴sinx+cosx=sinB+cosB

= ACÓ

ABÓ+ BCÓ ABÓ

=;1¥0;+;1¤0;=;5&; ^;5&;

0770 µAC=µBD이므로∠DCB=∠ABC=34ù

따라서

△

^PCB에서

∠DPB=34ù+34ù=68ù  68ù

0771 µAD=µ BD이므로∠DEB=∠ACD=25ù

FDÓ를그으면

∠AFD=∠ACD=25ù,

∠DFB=∠DEB=25ù이므로

∠x=∠AFD+∠DFB=25ù+25ù=50ù

∠y=2∠x=2_50ù=100ù

∴∠x+∠y=50ù+100ù=150ù  150ù 0772 µAM=µBM이므로∠ABM=∠MDB=30ù

따라서

△

^MDB에서

∠x=180ù-(30ù+40ù+30ù)=80ù  80ù 0773 오른쪽그림과같이BDÓ를그으면

x

A O B

C D

20∞ x

ABÓ는지름이므로∠ADB=90ù

µAD=µ CD이므로

∠ABD=∠DAC=∠x

△

^ABD에서

90ù+(∠x+20ù)+∠x=180ù

2∠x=70ù ∴∠x=35ù  ③

0774 µ BC：µAD=2：1이므로∠CAB=2∠ACD=2∠x

△

ACP에서2∠x+∠x=84ù 

3∠x=84ù ∴∠x=28ù  28ù

(4)

0775 5：18=20ù：∠CAD이므로 ∠CAD=72ù

△

APC에서 ∠APC+20ù=72ù

∴ ∠APC=52ù  52ù

0776

△

ABP에서 20ù+∠ABP=60ù이므로 ∠ABP=40ù µAD：µ BC=40ù：20ù에서

µAD：6=2：1 ∴ µAD=12`(cm) ^{ 12`cm} 0777 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면

x

A y B

C

D E

F O

ABÓ는 원 O의 지름이고 µAD=µ DE=µ EB이므로

∠ACD=∠DCE=90ù_;3!;=30ù

∴ ∠x=30ù

또 µAC：µ BC=5：4이므로

∠CAB=90ù_;9$;=40ù 따라서

△

^CAF에서

∠y=60ù+40ù=100ù

∴ ∠x+∠y=30ù+100ù=130ù  130ù 0778

△

ABP에서 ∠BAP+20ù=65ù이므로

∠BAP=45ù

원의 둘레의 길이를 l`cm라 하면

45ù：180ù=4：l ∴ l=16  16`cm 0779 ∠C：∠A：∠B=µAB：µBC：µCA=3：7：8이므로

∠A=180ù_ 7

3+7+8 =70ù

∠B=180ù_ 8

3+7+8 =80ù

∠C=180ù_ 3

3+7+8 =30ù

∴ ∠A+∠B-∠C=70ù+80ù-30ù=120ù  120ù 0780 ∠ABC=180ù_;1Á2;=15ù

△

PAB에서 ∠PAB+15ù=36ù이므로 ∠PAB=21ù

△

ODA에서 OAÓ=ODÓ이므로

∠ODA=∠OAD=21ù

∴ ∠DOB=21ù+21ù=42ù  42ù 0781 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면 ^A

B

D PO

C

∠ACB=180ù_;4!;=45ù yy ^40`%

∠DBC=;3%;∠ACB

=;3%;_45ù=75ù yy ^40`%

따라서

△

^PBC에서

∠APB=75ù+45ù=120ù yy 20`%

 120ù

∠ACB의 크기 구하기 40`%

∠DBC의 크기 구하기 40`%

∠APB의 크기 구하기 20`%

0782 ① ∠ACB+∠ADB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위 에 있지 않다.

② ∠BDC=180ù-(90ù+60ù)=30ù

즉 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

④ ∠BAC=180ù-(56ù+80ù)=44ù

즉 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

⑤ ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ②, ④이

다.  ②, ④

0783 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

∠ACD=∠ABD=54ù 따라서

△

^ECD에서

∠AED=54ù+32ù=86ù  86ù

0784 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

∠y=∠DAC=20ù

△

ACP에서 ∠ACB=20ù+50ù=70ù 오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 BDÓ의 교

50∞

20∞

x y A

B

Q P C

점을 Q라 하면 D

△

QBC에서 ∠x=20ù+70ù=90ù

∴ ∠x+∠y=90ù+20ù=110ù

 110ù 0785 ∠BAD+∠BCD=180ù이므로

∠BAD+80ù=180ù ∴ ∠BAD=100ù 따라서

△

^ABD에서

∠x=180ù-(100ù+35ù)=45ù  45ù 0786 ∠A+∠C=180ù이므로

∠A=180ù_;3@;=120ù ^{ 120ù} 0787 BCÓ는 지름이므로 ∠BAC=90ù

△

ABC에서 ∠ABC=180ù-(90ù+20ù)=70ù

∠ABC+∠ADC=180ù이므로

70ù+∠ADC=180ù ∴ ∠ADC=110ù  110ù 0788 ∠BAE+∠BCE=180ù이므로

(88ù+∠x)+62ù=180ù ∴ ∠x=30ù

∠BAD+∠BCD=180ù이므로

(5)

88ù+(62ù+∠y)=180ù ∴∠y=30ù

∴∠x+∠y=30ù+30ù=60ù  ②

0789

△

ABD에서∠BAD=180ù-(45ù+55ù)=80ù

∴∠x=∠BAD=80ù  80ù

0790 ∠x+65ù=180ù이므로∠x=115ù

∠y=∠BAD=85ù

∴∠x+∠y=115ù+85ù=200ù  200ù 0791 ∠BAC=∠BDC=47ù(µBC에대한원주각)이고

∠BAD=∠DCE=100ù이므로

47ù+∠x=100ù ∴∠x=53ù  53ù 0792 ∠BAD=∠DCE=75ù

∴∠x=2∠BAD=2_75ù=150ù  150ù 0793

△

PBC에서∠PCQ=∠x+34ù이고

∠CDQ=∠ABC=∠x이므로

△

DCQ에서∠x+(∠x+34ù)+44ù=180ù

2∠x=102ù ∴∠x=51ù  51ù 0794 ∠ABC+125ù=180ù이므로∠ABC=55ù

∴∠CDQ=∠ABC=55ù yy30`%

△

PBC에서∠PCQ=∠x+55ù yy30`%

△

DCQ에서55ù+(∠x+55ù)+38ù=180ù

∴∠x=32ù yy40`%

 32ù

∠CDQ의 크기 구하기 30`%

∠PCQ의 크기를 ∠x에 대한 식으로 나타내기 30`%

∠x의 크기 구하기 40`%

0795

△

AED에서∠FDC=∠A+65ù이고

∠DCF=∠A이므로

△

DCF에서(∠A+65ù)+∠A+23ù=180ù

2∠A=92ù ∴∠A=46ù

∴∠x=∠FDC=46ù+65ù=111ù  ⑤ 0796 오른쪽그림과같이CEÓ를그으면

50∞

O A

B

C D

∠CED=;2!;∠COD E

=;2!;_50ù=25ù

ABCE에서

∠ABC+∠AEC=180ù

∴∠ABC+∠AED

=∠ABC+(∠AEC+∠CED)

=180ù+25ù=205ù  205ù

140∞

80∞ O A

B C

D E

x

ABDE에서

80ù+∠BDE=180ù이므로

∠BDE=100ù

이때∠BDC=140ù-100ù=40ù이므로

∠x=2∠BDC=2_40ù=80ù  80ù 0798 오른쪽그림과같이CFÓ를그으면 ^A

B

C D

E 120∞ F

115∞

ABCF에서

120ù+∠BCF=180ù이므로

∠BCF=60ù

이때∠FCD=115ù-60ù=55ù이므로

CDEF에서55ù+∠E=180ù

∴∠E=125ù  125ù

0799 ABQP는원O에내접하므로∠BAP=∠PQC(②)

PQCD는원O'에내접하므로∠APQ=∠QCD(③)

∠CDP=∠BQP이고∠BAP+∠BQP=180ù이므로

∠BAP+∠CDP=180ù(④)

∴ABÓ∥DCÓ`(①)

따라서옳지않은것은⑤이다.  ⑤

0800 PQÓ를그으면∠PQC=∠BAP=85ù

PQCD에서85ù+∠PDC=180ù

∴∠PDC=95ù  95ù

0801 ∠y=∠PDC=98ù

ABQP에서∠BAP+98ù=180ù이므로∠BAP=82ù

∠x=2∠BAP=2_82ù=164ù

∴∠x+∠y=164ù+98ù=262ù  262ù 0802 ①∠ADC=180ù-55ù=125ù

이때 ∠ABE+∠ADC이므로 ABCD는 원에 내접 하지않는다.

②∠B=180ù-(60ù+50ù)=70ù

이때∠B+∠D=180ù이므로ABCD는원에내접한다.

③∠ABD=85ù-40ù=45ù

이때 ∠ABD+∠ACD이므로 ABCD는 원에 내접 하지않는다.

④∠B+∠D+180ù이므로ABCD는원에내접하지않 는다.

⑤∠BAC+∠BDC이므로ABCD는원에내접하지않 는다.

따라서ABCD가원에내접하는것은②이다.  ② 0803 ∠ACB=85ù-55ù=30ù

ABCD가원에내접하므로

∠x=∠ACB=30ù  ②

(6)

0804 ㉡등변사다리꼴은아랫변의양끝각의크기가서로같고,

윗변과아랫변이서로평행하므로한쌍의대각의크기의

합이180ù이다.

㉣,㉥직사각형과정사각형은네내각의크기가모두90ù이 므로한쌍의대각의크기의합이180ù이다.

따라서항상원에내접하는사각형은㉡,㉣,㉥의3개이다.

 ③

0805 ∠ACB=∠BAT'=68ù(접선과현이이루는각)이므로

∠AOB=2∠ACB=2_68ù=136ù

△

OAB에서OAÓ=OBÓ이므로

∠OBA=;2!;_(180ù-136ù)=22ù

또한∠CBA=∠CAT=52ù(접선과현이이루는각)이므 로

∠x=∠CBA-∠OBA=52ù-22ù=30ù  30ù 0806 ⑴ACÓ는지름이므로∠CBA=90ù

∠x=∠CBA=90ù(접선과현이이루는각)

∠y=∠BCA=60ù(접선과현이이루는각)

⑵∠x=∠TAB=64ù(접선과현이이루는각)

△

ABC에서∠y=180ù-(74ù+64ù)=42ù

 ⑴ ∠x=90ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=64ù, ∠y=42ù 0807

△

APT에서∠BAT=35ù+40ù=75ù

∠ABT=∠ATP=40ù(접선과현이이루는각)

따라서

△

^ATB에서

∠ATB=180ù-(75ù+40ù)=65ù  65ù 0808 ∠BCA=180ù_;1¢2;=60ù

∴∠BAT=∠BCA=60ù(접선과현이이루는각)

 60ù

0809 ∠BTP=∠BAT=30ù(접선과현이이루는각)

ABTC에서

∠ABT+100ù=180ù이므로∠ABT=80ù

△

BPT에서∠BPT+30ù=80ù

∴∠BPT=50ù  50ù

0810 ∠x=∠BAT'=50ù(접선과현이이루는각)

∠DAB=180ù-(45ù+50ù)=85ù이고

ABCD에서

∠y+85ù=180ù이므로∠y=95ù

∴∠y-∠x=95ù-50ù=45ù  45ù 0811 오른쪽그림과같이ADÓ를긋고

O

A B C

D

P 35∞ 33∞

33∞

x

∠DCA=∠x라하면 x

∠DAP=∠DCA=∠x

(접선과현이이루는각)

µAB=µBC이므로∠ACB=∠CAB=33ù

따라서

△

^ABC에서

∠ABC=180ù-(33ù+33ù)=114ù

이때ABCD에서

∠CDA+114ù=180ù이므로∠CDA=180ù-114ù=66ù

△

DPA에서35ù+∠x=66ù

∴∠x=31ù  31ù

다른 풀이

µAB=µBC이므로µAC=2µBC

∴∠ADC=2∠CAB=2_33ù=66ù

△

DPA에서35ù+∠x=66ù ∴∠x=31ù 0812 오른쪽그림과같이ADÓ를그으면

62∞

A D

B O

C x T

BDÓ는지름이므로∠DAB=90ù

∠BDA=∠BAT=62ù

따라서

△

^DAB에서

∠DBA=180ù-(62ù+90ù)=28ù

∠DAC=∠DBA=28ù(접선과현이이루는각)이므로

△

DCA에서∠x+28ù=62ù

∴∠x=34ù  34ù

O A

B C

D

T

ADÓ는지름이므로∠ABD=90ù 125∞

ABCD에서

∠DAB+125ù=180ù이므로

∠DAB=55ù

△

ABD에서∠ADB=180ù-(55ù+90ù)=35ù

∴∠ABT=∠ADB=35ù(접선과현이이루는각)

 35ù

0814 CPÓ=CBÓ이므로∠ABC=∠x

P A

B O

C T x x

x

오른쪽그림과같이ACÓ를그으면

∠ACP=∠ABC=∠x

△

APC에서∠BAC=∠x+∠x=2∠x이므로

△

BAC에서∠x+2∠x+90ù=180ù

3∠x=90ù ∴∠x=30ù  30ù 0815 오른쪽그림과같이CDÓ를그으면

T D A

B C

32∞O

82∞

ADÓ는지름이므로∠ACD=90ù

∠CAB=∠CBT=82ù

(접선과현이이루는각)이므로

∠CAD=82ù-32ù=50ù

△

ADC에서∠ADC=180ù-(90ù+50ù)=40ù

∴∠ABC=∠ADC=40ù(µAC에대한원주각)  40ù

(7)

STEP 2

^{중단원 유형 다지기}

p. 128~p. 130

0822 ∠x의 크기를 구하면 다음과 같다.

① 80ù ② 50ù ③ 66ù ④ 70ù ⑤ 130ù 따라서 ∠x의 크기가 가장 작은 것은 ②이다.  ② 0823 QBÓ를 그으면

∠AQB=∠APB=18ù ( µAB에 대한 원주각),

∠BQC=∠BRC=48ù ( µ BC에 대한 원주각)이므로

∠x=∠AQB+∠BQC=18ù+48ù=66ù

∠y=2∠x=2_66ù=132ù

∴ ∠x+∠y=66ù+132ù=198ù  ⑤ 0824 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면

x 75∞

A B

C D

P

O

ABÓ는 지름이므로 ∠ADB=90ù

△

^PAD에서

∠PAD=180ù-(75ù+90ù)=15ù

∴ ∠x=2∠CAD=2_15ù=30ù  ③ 0825 오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이 원 O A

D

B C

O 5 cm 6 cm

와 만나는 점을 D라 하면 BDÓ는 지름이므로 ∠BCD=90ù

∠BAC=∠BDC ( µ BC에 대한 원주각)

∴ sin A=sin D= BCÓ

BDÓ=;1¤0;=;5#;

 ② 0826 오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면

P

C B

D A

∠BAD=180ù_;1Á5;=12ù

∠ADC：12ù=5：2이므로

∠ADC=30ù

따라서

△

APD에서 ∠APC=12ù+30ù=42ù  ① 0827 ① ∠BAC+∠BDC

② ∠DAC+∠DBC

③ ∠ABD=180ù-(25ù+90ù)=65ù,

즉 ∠ABD=∠ACD이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

④ ∠EAD+∠BCD

⑤ ∠ADB+∠ACB  ③

0828 ∠ACB=∠ADB=26ù ( µAB에 대한 원주각)

∠DAC=∠DBC=14ù ( µ CD에 대한 원주각)

∠BAD+∠BCD=180ù이므로 (∠y+14ù)+(∠x+26ù)=180ù

∴ ∠x+∠y=140ù  ⑤

0829 ∠PAB=∠BCD=75ù이므로

△

APB에서 ∠ABP=180ù-(75ù+45ù)=60ù  60ù 0816 ∠FEC=∠FDE=50ù (접선과 현이 이루는 각)

△

BED에서 BDÓ=BEÓ이므로

∠BED=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

∴ ∠x=180ù-(70ù+50ù)=60ù

 60ù

0817 ∠EFC=∠EDF=54ù (접선과 현이 이루는 각)

yy 30`%

△

ADF에서 ADÓ=AFÓ이므로

∠AFD=;2!;_(180ù-56ù)=62ù yy ^40`%

∴ ∠DFE=180ù-(62ù+54ù)=64ù yy 30`%

 64ù

∠EFC의 크기 구하기 30`%

∠AFD의 크기 구하기 40`%

∠DFE의 크기 구하기 30`%

0818 ∠CBA=∠CAD=75ù (접선과 현이 이루는 각)

△

PAB에서 PAÓ=PBÓ이므로

∠PBA=;2!;_(180ù-50ù)=65ù

∴ ∠EBC=180ù-(65ù+75ù)=40ù

 ⑤

0819 ∠BTQ=∠BAT=70ù (접선과 현이 이루는 각)

∠CTQ=∠CDT=50ù (접선과 현이 이루는 각)

∴ ∠x=180ù-(70ù+50ù)=60ù

 60ù

0820 오른쪽 그림과 같이 두 원의 공

x

D

C B

O O′

T A

65∞

E

F

통인 접선 EF를 그으면

∠ABT=∠ATE` (접선과 현이 이루는 각),

∠CTF=∠ATE`(맞꼭지각),

∠CDT=∠CTF (접선과 현이 이루는 각)이므로

∠ABT=∠CDT=65ù

∴ ∠x=2∠ABT=2_65ù=130ù

 130ù

0821 ∠x=∠DTP=60ù (접선과 현이 이루는 각)

∠BTQ =180ù-(55ù+60ù)=65ù이므로

∠y=∠BTQ=65ù (접선과 현이 이루는 각)

 ∠x=60ù, ∠y=65ù

(8)

0830

△

BCP에서32ù+∠BCP=118ù이므로∠BCP=86ù

이때ABCE에서∠BAE+∠BCE=180ù이므로

∠BAE+86ù=180ù ∴∠BAE=94ù  ③ 0831 ABCD가원에내접하므로

∠ABD=∠ACD=36ù

∠BDC=∠BAC=63ù

∠ABC+∠ADC=180ù에서

(36ù+44ù)+(∠x+63ù)=180ù

∴∠x=37ù  ②

0832 ∠ABE=∠ACB=40ù(접선과현이이루는각)

ABCD에서

96ù+∠ABC=180ù이므로∠ABC=84ù

∴∠CBF=180ù-(40ù+84ù)=56ù  ③ 0833 오른쪽그림과같이ATÓ를그으면

30∞

x A

T B

P

ABÓ는지름이므로∠ATB=90ù O

따라서

△

^ATB에서

∠BAT=180ù-(90ù+30ù)

=60ù

∠ATP=∠ABT=30ù(접선과현이이루는각)이므로

△

APT에서∠x+30ù=60ù

∴∠x=30ù  30ù

0834

△

BDF에서BDÓ=BFÓ이므로

∠BDF=;2!;_(180ù-30ù)=75ù

∠FED=∠BDF=75ù(접선과현이이루는각)

따라서

△

^DEF에서

∠FDE=180ù-(50ù+75ù)=55ù  ② 0835 오른쪽그림과같이ABÓ를그으

64∞

A 71∞

T

B P O′

C D

O

면ABCD가원O'에내접하 므로

∠ABP=∠ADC=71ù

∴∠APT=∠ABP=71ù

(접선과현이이루는각)  ⑤

0836 ∠BAD+∠BCD=180ù이므로

∠y+110ù=180ù ∴∠y=70ù yy3점

∠x=2∠y=2_70ù=140ù yy2점

∴∠x+∠y=140ù+70ù=210ù yy1점

 210ù

채점 기준 배점

∠y의 크기 구하기 3점

∠x의 크기 구하기 2점

∠x+∠y의 크기 구하기 1점

0837 AOÓ,BOÓ를그으면

∠AOB=2∠ACB=2_65ù=130ù yy3점

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

∠APB=180ù-∠AOB=180ù-130ù=50ù yy3점

 50ù

∠AOB의 크기 구하기 3점

∠APB의 크기 구하기 3점

0838 µ BC=µ CD이므로∠CBD=∠BAC=30ù yy3점

△

ABC에서30ù+(45ù+30ù)+∠BCA=180ù

∴∠BCA=75ù yy3점

 75ù

∠CBD의 크기 구하기 3점

∠BCA의 크기 구하기 3점

0839

△

PCB에서∠PCB+20ù=80ù이므로∠PCB=60ù

yy3점

µAC：µBD=20ù：60ù에서

µAC：12=1：3 ∴µAC=4`(cm) yy4점

 4`cm

∠PCB의 크기 구하기 3점

µAC의 길이 구하기 4점

0840 ∠ABC=∠x라하면

△

PBC에서∠PCQ=∠x+30ù yy2점

∠CDQ=∠ABC=∠x yy2점

△

DCQ에서∠x+(∠x+30ù)+40ù=180ù

2∠x=110ù ∴∠x=55ù yy3점

 55ù

∠ABC=∠x로 놓고, ∠PCQ의 크기를 ∠x에 대한 식으로 나타내기 2점

∠CDQ의 크기를 ∠x에 대한 식으로 나타내기 2점

0841 ∠x=∠BAT=70ù yy2점

∠AOB=2∠x=2_70ù=140ù yy1점

△

OAB에서OAÓ=OBÓ이므로

∠y=;2!;_(180ù-140ù)=20ù yy2점

∴∠x+∠y=70ù+20ù=90ù yy1점

 90ù

∠AOB의 크기 구하기 1점

∠y의 크기 구하기 2점

∠x+∠y의 크기 구하기 1점

(9)

0846 오른쪽 그림과 같이 원 위에 한 점

T A B

P O

5 cm 30∞

B를잡고OPÓ,OAÓ,BPÓ,BAÓ를그 으면

∠PBA=∠APT=30ù

(접선과현이이루는각)이므로

∠POA=2∠PBA=2_30ù=60ù

이때

△

OPA는정삼각형이므로

OPÓ=PAÓ=5`cm

따라서원O의넓이는p_5Û`=25p`(cmÛ`) ^{ ④} 0847 오른쪽그림과같이ACÓ를그으면

C A

D B 4 cm 6 cm

O

l

이때

△

^ABC와

△

^CBD에서

∠BAC=∠BCD

(접선과현이이루는각),

∠ACB=∠CDB=90ù이므로

△

^ABC»

△

CBD(AA닮음)

따라서BAÓ：BCÓ=BCÓ：BDÓ에서

6：BCÓ=BCÓ：4,BCÓÛ`=24

∴BCÓ=2'6`(cm)(∵BCÓ>0) ^{ 2}'6`cm 0848 오른쪽그림과같이BTÓ를그으면ABÓ

27∞

A T B

T′

P C

는지름이므로∠BTA=90ù, O

∠ABT=∠ATT'=27ù

이므로

△

^BTA에서

∠BAT=180ù-(27ù+90ù)=63ù

∠BCT=∠BAT=63ù(µBT에대한원주각)이고

∠PTT'=∠BCT=63ù(엇각)이므로

∠PTA=63ù-27ù=36ù

따라서

△

^PTA에서

∠TPA=180ù-(36ù+63ù)=81ù이므로

∠BPC=∠TPA=81ù(맞꼭지각)  81ù 0849 ∠BAC=180ù_;1£0;=54ù ^A

B C D

E F

∠CAD=∠CBA=_라하면

△

^ABD에서

(54ù+^_)+^_+2·=180ù

이므로_+·=63ù

따라서

△

^EBD에서

∠AED=^_+·=63ù  63ù

다른 풀이

△

EBD에서∠AEF=_+·

△

AFD에서∠AFE=_+·

즉∠AEF=∠AFE이므로

△

AEF는이등변삼각형이다.

∴∠AED=;2!;_(180ù-54ù)=63ù

교과서에 나오는

창의 . 융합문제

^{p. 131}

0842 ⑴오른쪽그림과같이원의중심을

20 mr m 45∞r m A

B

C

O 무대

O라하고반지름의길이를r`m라

하면

∠BOC=2∠BAC

=2_45ù=90ù

이므로직각삼각형BOC에서

rÛ`+rÛ`=20Û`,2rÛ`=400

rÛ`=200 ∴r=10'2(∵r>0)

따라서공연장의지름의길이는

2_10'2=20'2`(m)

⑵무대를제외한공연장의넓이는

p_(10'2)Û`_;3@6&0);+;2!;_10'2_10'2

=150p+100`(mÛ`)

 ⑴ 20'2`m ⑵ (150p+100)`mÛ`

0843 ⑴∠a=180ù_;1£2;=45ù

x a

b A

B P

C D

⑵∠b=180ù_;1ª2;=30ù

⑶

△

^PBD에서

∠x=∠a+∠b=45ù+30ù=75ù

 ⑴ 45ù ⑵ 30ù ⑶ 75ù

0844 오른쪽그림과같이BCÓ,BEÓ를그으면

36∞

O P D A B

C E

µ BD=µ CE이므로∠BCD=∠CBE

즉엇각의크기가같으므로CDÓ∥EBÓ

이때∠ABE=∠DPB=36ù(엇각)

이므로

∠AOE=2∠ABE=2_36ù=72ù  ⑤

0845

△

^AOE에서 ^A

B C

D E F O 15∞

50∞

15ù+∠AEO=50ù이므로 15∞

∠AEO=35ù

한편∠OAE=∠ODE이므로네점A,O,E,D는한원

위에있다.

따라서ADÓ를그으면∠ADO=∠AEO=35ù이고

△

AOD는OAÓ=ODÓ인이등변삼각형이므로

∠AOD=180ù-(35ù+35ù)=110ù

∴∠DOE=180ù-(50ù+110ù)=20ù  20ù

^{STEP 3}

^만점 ^도전하기

^{p. 132}

(10)

7 ^| ^{원주각의 활용}

0 1 원에서 선분의 길이 사이의 관계

~ 02 ^{할선과 접선}

0863 6_(6+4)=4_(4+2x), 60=16+8x

8x=44 ∴ x=:Á2Á:  :Á2Á:

0864 3_4=2_x이어야 하므로

2x=12 ∴ x=6  6

0865 11_3=x_6이어야 하므로

6x=33 ∴ x=:Á2Á: ^:Á2Á:

0866 4_(4+3)=x_14이어야 하므로

14x=28 ∴ x=2  2

0867 10_(10+x)=8_(8+8)이어야 하므로

100+10x=128, 10x=28 ∴ x=:Á5¢: ^:Á5¢:

0868 x_4=2_12, 4x=24 ∴ x=6  6

0869 5_(5+3)=4_(4+x), 40=16+4x

4x=24 ∴ x=6  6

0870 xÛ`=2_(2+6)=16 ∴ x=4 (∵ x>0)  4

0871 ^8Û`=4_(4+x), 64=16+4x

4x=48 ∴ x=12  12

0872 6Û`=x_(x+16), xÛ`+16x-36=0

(x-2)(x+18)=0 ∴ x=2 (∵ x>0)  2

0873 PAÓ=9-5=4이므로 xÛ`=4_(9+5)=56

∴ x=2'¶14 (∵ x>0) ^{ 2}'¶14

0874 PTÓ=PT'Ó이므로 x=4  4

0875 PTÓ=PT'Ó이므로 x=;2!;_10=5 ^{ 5}

0876 4_(4+x)=5_(5+3), 16+4x=40

4x=24 ∴ x=6  6

0877 x_(x+6)=8_(8+12), xÛ`+6x-160=0

(x-10)(x+16)=0 ∴ x=10 (∵ x>0)  10

0878  AQB, ABÓ, AQÓ, 6, 24, 2'6 0850 4_6=3_x, 3x=24 ∴ x=8  8

0851 3_6=2_x, 2x=18 ∴ x=9  9

0852 x_18=15_12, 18x=180 ∴ x=10  10 0853 6_8=4_x, 4x=48 ∴ x=12  12

0854 5_8=x_10, 10x=40 ∴ x=4  4

0855 4_(4+x)=3_(3+9), 16+4x=36

4x=20 ∴ x=5  5

0856 ABÓ⊥CDÓ이므로 PDÓ=PCÓ=6

x_9=6_6, 9x=36 ∴ x=4  4

0857 x_2=4_4, 2x=16 ∴ x=8  8 0858 OCÓ=ODÓ=x이므로 PCÓ=x-2

PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ에서 2_3=(x-2)(x+2), 6=xÛ`-4

xÛ`=10 ∴ x='¶10 (∵ x>0) ^'¶10

0859 PCÓ=OCÓ-OPÓ=9-x PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ에서

8_7=(9-x)(9+x), 56=81-xÛ`

xÛ`=25 ∴ x=5 (∵ x>0) ^{ 5}

0860 4_(4+8)=3_(3+2x), 48=9+6x

6x=39 ∴ x=:Á2£: ^:Á2£:

0861 PCÓ=POÓ-COÓ=9-x이므로

5_(5+6)=(9-x)(9+x), 55=81-xÛ`

xÛ`=26 ∴ x='¶26 (∵ x>0) ^'¶26

0862 PCÓ=POÓ-COÓ=x-4이므로

4_(4+6)=(x-4)(x+4), 40=xÛ`-16

xÛ`=56 ∴ x=2'¶14 (∵ x>0) ^{ 2}'¶14

기본 문제 다지기

p. 135, p. 137

(11)

0879  CBQ, BQÓ, QAÓ, x+9, 3 0880  AQB,

△

APC, APÓ, x+2, 3

STEP 1

^필수 ^{유형 익히기}

p. 138~p. 145

0881 PDÓ=x`cm라 하면

PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 6_2=(7-x)_x, xÛ`-7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4

이때 PDÓ<PCÓ이므로 PDÓ=3`cm ^{ 3}`cm

0882 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

5_x=10_3 ∴ x=6  ④

0883 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 x_x=8_2, xÛ`=16

∴ x=4 (∵ x>0)  4

0884 PAÓ：PBÓ=2：1이므로 PBÓ=x`cm라 하면 PAÓ=2x`cm PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

2x_x=12_3, 2xÛ`=36 xÛ`=18 ∴ x=3'2 (∵ x>0)

∴ ABÓ=3x=3_3'2=9'2`(cm) ^{ 9}'2`cm

0885 PDÓ=x라 하면

PBÓÓ_PAÓ=PDÓÓ_PCÓ이므로

5_(5+7)=x_(x+4), xÛ`+4x-60=0 (x+10)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0)

따라서 PDÓ의 길이는 6이다.  ③

0886 PAÓ=x라 하면 PBÓ=2x PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 x_2x=6_(6+9), 2xÛ`=90 xÛ`=45 ∴ x=3'5 (∵ x>0)

따라서 PAÓ의 길이는 3'5이다. ^{ 3}'5

0887 PDÓ=x라 하면 PBÓ=2x, PCÓ=x-2 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 2_2x=(x-2)_x, xÛ`-6x=0 x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 즉 ABÓ=2x-2=2_6-2=10, PCÓ=x-2=6-2=4이므로

ABÓ+PCÓ=10+4=14  ③

0888 ABÓ는 지름이고 ABÓ⊥CDÓ이므로 PCÓ=PDÓ=4 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

PAÓ=r+3, PBÓ=r-3이므로 (r+3)(r-3)=4_4, rÛ`-9=16 rÛ`=25 ∴ r=5 (∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 5이다.  5

0889 ⑴ PBÓ=2_7-4=10이므로 4_10=5_x ∴ x=8

⑵ PAÓ=6-x, PBÓ=6+x이므로 (6-x)(6+x)=8_3, 36-xÛ`=24

xÛ`=12 ∴ x=2'3 (∵ x>0)  ⑴ 8 ⑵ 2'3

0890 ABÓ는 지름이고 ABÓ⊥CDÓ이므로 `PCÓ=PDÓ=4 cm PBÓ=x`cm라 하면 PAÓ=2x`cm이므로

2x_x=4_4, 2xÛ`=16 xÛ`=8 ∴ x=2'2 (∵ x>0)

따라서 PBÓ의 길이는 2'2`cm이다.  2'2`cm

0891 오른쪽 그림과 같이 APÓ의 연장선이

O

D A

B P 4 cm C

원 O와 만나는 점을 D라 하고 PAÓ=x`cm라 하면

PDÓ=PAÓ=x`cm PBÓ=POÓ=;2!; OBÓ

=;2!;_4=2 (cm) 이므로

PCÓ=2+4=6 (cm) 2_6=x_x이므로 xÛ`=12

∴ x=2'3 (∵ x>0) 따라서

△

^APC에서

ACÓ="Ã(2'3)Û`+6Û`=4'3 (cm)  4'3`cm

0892 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 PAÓ=(7-r)`cm, PBÓ=(7+r)`cm이므로 (7-r)(7+r)=5_(5+3), 49-rÛ`=40 rÛ`=9 ∴ r=3 (∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 3`cm이다. ^{ 3}`cm

0893 POÓ=x라 하면

PCÓ=x-4, PDÓ=x+4이므로 yy 40`%

6_(6+2)=(x-4)(x+4), 48=xÛ`-16 xÛ`=64 ∴ x=8 (∵ x>0)

따라서 POÓ의 길이는 8이다. yy 60`%

 8

(12)

채점 기준 비율 POÓ=x로 놓고, PCÓ, PDÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 40 %

POÓ의 길이 구하기 60 %

0894 오른쪽 그림과 같이 COÓ의 연장선

O A

P C D

B

5 4

6 6

이 원 O와 만나는 점을 D라 하고 PCÓ=x라 하면

5_(5+4)=x_(x+12) xÛ`+12x-45=0

(x-3)(x+15)=0

∴ x=3 (∵ x>0)

따라서 PCÓ의 길이는 3이다.  ④

0895 ① PAÓ_PBÓ=3_10=30, PCÓ_PDÓ=5_6=30 즉 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 네 점 A, B, C, D는 한

원 위에 있다.

② PAÓ_PBÓ=4_(4+4)=32 PCÓ_PDÓ=2_(2+8)=20

즉 PAÓ_PBÓ+PCÓ_PDÓ이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

③ PAÓ_PBÓ=3_(3+9)=36 PCÓ_PDÓ=4_(4+5)=36

즉 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

④ PAÓ_PBÓ=10_(10+2)=120 PCÓ_PDÓ=8_(8+7)=120

즉 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

⑤ PAÓ_PBÓ=10_10=100, PCÓ_PDÓ=8_12=96 즉 PAÓ_PBÓ+PCÓ_PDÓ이므로 네 점 A, B, C, D는 한

원 위에 있지 않다.

따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ②,

⑤이다.  ②, ⑤

0896 PBÓ=x`cm라 하면

x_(x+7)=6_(6+4), xÛ`+7x-60=0 (x-5)(x+12)=0 ∴ x=5 (∵ x>0)

따라서 PBÓ의 길이는 5`cm이다. ^{ 5}`cm

0897 ∠ADC=∠AEC이므로 네 점 A, D, E, C는 한 원 위에 있다.

따라서 BDÓ_BAÓ=BEÓ_BCÓ이므로 6_(6+4)=5_(5+x), 60=25+5x

5x=35 ∴ x=7  7

PAÓ_6=2_9 ∴ PAÓ=3 (cm)  3`cm

3_x=4_9 ∴ x=12  12

12_2=3_PDÓ ∴ PDÓ=8 (cm)  8`cm

9_2=PCÓ_(2+6) ∴ PCÓ=;4(; ^;4(;

0902 ^ABÓ=x`cm라 하면

PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

6_(6+x)=5_(5+7), 36+6x=60 6x=24 ∴ x=4

따라서 ABÓ의 길이는 4`cm이다. ^{ 4}`cm

0903 원 O에서 3_PBÓ=4_(4+5)이므로 PBÓ=12 즉 ABÓ=PBÓ-PAÓ=12-3=9

원 O'에서 4_(4+5)=4.5_PDÓ이므로 PDÓ=8 즉 CDÓ=PDÓ-PCÓ=8-4.5=3.5

∴ ABÓ+CDÓ=9+3.5=12.5  12.5

x_(x+2)=3_(3+5), xÛ`+2x-24=0

(x-4)(x+6)=0 ∴ x=4 (∵ x>0)  4

0905 ∠ATP=∠ABT이므로 ∠APT=∠ATP 즉 APÓ=ATÓ=4 cm

PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=4_(4+7)=44

∴ PTÓ=2'¶11 (cm) (∵ PTÓ>0) ^{ 2}'¶11`cm

4_(4+3)=2_(2+x), 28=4+2x 2x=24 ∴ x=12

PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

yÛ`=4_(4+3)=28 ∴ y=2'7 (∵ y>0)

∴ xy=12_2'7=24'7 ^{ 24}'7

0907 PBÓ Û`=PAÓ_PCÓ이므로 PBÓ Û`=4_(4+5)=36

∴ PBÓ=6 (cm) (∵ PBÓ>0) yy 60`%

(13)

∴

△

^APB=;2!;_PAÓ_PBÓ_sin 30ù

=;2!;_4_6_;2!;

=6 (cmÛ`) yy 40`%

 6`cmÛ`

PBÓ의 길이 구하기 60 %

△APB의 넓이 구하기 40 %

0908 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

12Û`=8_(8+ABÓ), 144=64+8ABÓ 8ABÓ=80 ∴ ABÓ=10 (cm) 이때 PQÓ=PTÓ=12`cm이므로 AQÓ=PQÓ-PAÓ=12-8=4 (cm)

∴ QBÓ=ABÓ-AQÓ=10-4=6`(cm) ^{ 6}`cm 0909 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연장선이

P

O

T A

B

8 4

x

원 O와 만나는 점을 B라 하면

PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 8Û`=4_(4+2x), 64=16+8x 8x=48 ∴ x=6

 6 0910 OAÓ=OBÓ=x`cm라 하면

PAÓ=(5-x)`cm, PBÓ=(5+x)`cm PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

4Û`=(5-x)(5+x), 16=25-xÛ`

xÛ`=9 ∴ x=3 (∵ x>0)

∴ PAÓ=POÓ-OAÓ=5-3=2`(cm)  2`cm 0911 PTÓ Û`=PCÓ_PDÓ이므로

PTÓ Û`=3_(3+6)=27

∴ PTÓ=3'3`(cm) (∵ PTÓ>0)

△

OTP에서 ∠OTP=90ù이므로

POÓ="Ã(3'3)Û`+5Û`='¶52=2'¶13`(cm)  2'¶13`cm 다른 풀이

OAÓ=OBÓ=OTÓ=5`cm이므로 POÓ=x`cm라 하면

PAÓ=(x-5)`cm, PBÓ=(x+5)`cm PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

(x-5)(x+5)=3_(3+6), xÛ`-25=27 xÛ`=52 ∴ x=2'¶13 (∵ x>0) 0912 오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그

A B

C

3 D 10 30∞O

으면 ∠ACB=90ù 직각삼각형 ABC에서 ABÓ：BCÓ=2：1이므로 10'3：BCÓ=2：1

2BCÓ=10'3 ∴ BCÓ=5'3

한편 ∠BCD=∠BAC=30ù (접선과 현이 이루는 각)이므 로

△

ADC에서 ∠BDC=180ù-(90ù+30ù+30ù)=30ù 즉 ∠BCD=∠BDC이므로 BDÓ=BCÓ=5'3

CDÓ Û`=DBÓ_DAÓ이므로

CDÓ Û`=5'3_(5'3+10'3)=225

∴ CDÓ=15 (∵ CDÓ>0)  15

0913 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QTÓ이므로 QAÓ_4=2_6 ∴ QAÓ=3

PBÓ=PAÓ+ABÓ=x+(3+4)=x+7이고 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

12Û`=x_(x+7), xÛ`+7x-144=0

(x-9)(x+16)=0 ∴ x=9 (∵ x>0)  9

0914 QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이므로 QAÓ_4=2_8 ∴ QAÓ=4

PBÓ=PAÓ+ABÓ=4+(4+4)=12이고 PTÓÛ`=PAÓ_PBÓ이므로

PTÓ Û`=4_12=48

∴ PTÓ=4'3 (∵ PTÓ>0) ^{ 4}'3

0915 PDÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

6Û`=3_PBÓ, 3PBÓ=36 ∴ PBÓ=12`(cm)

∴ AQÓ=12-(3+5)=4`(cm)

QAÓ_QBÓ=QCÓ_QDÓ이고 QCÓ=QDÓ이므로 QCÓ Û`=4_5=20

∴ QCÓ=2'5`(cm) (∵ QCÓ>0) ^{ 2}'5`cm

0916 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

PTÓ Û`=4_(4+5)=36 ∴ PTÓ=6 (∵ PTÓ>0) 이때

△

^PBT와

△

^PTA에서

∠PBT=∠PTA (접선과 현이 이루는 각),

∠P는 공통이므로

△

^{PBT »}

△

PTA (AA 닮음) 따라서 PBÓ：PTÓ=TBÓ：ATÓ이므로

9：6=4：ATÓ, 9ATÓ=24 ∴ ATÓ=;3*; ^;3*;

0917 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=4_(4+12)=64

∴ PTÓ=8 (∵ PTÓ>0) yy 30`%

이때

△

^PBT와

△

^PTA에서

∠PBT=∠PTA (접선과 현이 이루는 각),

(14)

△

^{PBT »}

△

PTA (AA 닮음) yy 40`%

따라서 BTÓ：TAÓ=PTÓ：PAÓ이므로 BTÓ：6=8：4, 4BTÓ=48

∴ BTÓ=12 yy 30`%

 12

PTÓ의 길이 구하기 30 %

△^{PBT »}△^{PTA임을 보이기} ^{40 %}

BTÓ의 길이 구하기 30 %

0918 PTÓ Û`=PBÓ_PAÓ이므로 PTÓ Û`=3_(3+9)=36

∴ PTÓ=6 (cm) (∵ PTÓ>0) 이때

△

^PAT와

△

^PTB에서

∠PAT=∠PTB (접선과 현이 이루는 각),

△

^{PAT »}

△

PTB (AA 닮음)

∴ ATÓ：TBÓ=PTÓ：PBÓ=6：3=2：1  ②

0919 PTÓ=PT'Ó이므로

PTÓ=;2!;TT'Ó=;2!;_12=6`(cm) PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

6Û`=3_(3+ABÓ), 36=9+3ABÓ

3ABÓ=27 ∴ ABÓ=9`(cm)  9`cm

0920 TPÓ Û`=2_(2+6)=16이므로 TPÓ=4 (∵ TPÓ>0) 이때 TQÓ=TPÓ이므로

PQÓ=2TPÓ=2_4=8  8

0921 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ=PTÓ Û`에서 PTÓ Û`=3_(3+6)=27

∴ PTÓ=3'3 (cm) (∵ PTÓ>0) ^{ 3}'3`cm

0922 PAÓ=x`cm라 하면 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

12Û`=x_(x+7), xÛ`+7x-144=0 (x-9)(x+16)=0 ∴ x=9 (∵ x>0) PT'Ó=PTÓ=12`cm

∴ PAÓ+PT'Ó=9+12=21`(cm)  21`cm

0923 ^{PCÓ=x라 하면}

4_(4+14)=x_(x+6), xÛ`+6x-72=0 (x-6)(x+12)=0 ∴ x=6 (∵ x>0)

따라서 PCÓ의 길이는 6이다.  6

x_(x+5)=6_(6+8), xÛ`+5x-84=0

(x-7)(x+12)=0 ∴ x=7 (∵ x>0)  7

0925 오른쪽 그림과 같이 PO'Ó의 연장

B

O′

P

O A

T C

D 5 cm

7 cm

선이 원 O'과 만나는 점을 D라 하 8 cm

고 원 O'의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

PCÓ=(8-r)`cm PDÓ=(8+r)`cm

5_(5+7)=(8-r)(8+r), 60=64-rÛ` rÛ`=4 ∴ r=2 (∵ r>0)

따라서 원 O'의 넓이는

p_2Û`=4p (cmÛ`)  4p`cmÛ`

0926 ABÓ=ACÓ이므로 A

B C

E D O 6

3

∠ABC=∠ACB

오른쪽 그림과 같이 BEÓ를 그으면

∠ACB=∠AEB

(µAB에 대한 원주각) 즉 ∠ABC=∠AEB이므로 접선과

현이 이루는 각의 성질에 의해 ABÓ는 세 점 B, E, D를 지나 는 원의 접선이다.

따라서 ABÓ Û`=ADÓ_AEÓ이므로 ABÓ Û`=6_(6+3)=54

∴ ABÓ=3'6 (∵ ABÓ>0) ^{ 3}'6

0927 ABÓ=ACÓ이므로 _{4 cm}

3 cm P

Q A

B C

∠ABC=∠ACB

오른쪽 그림과 같이 BQÓ를 그으면

∠ACB=∠AQB

(µAB에 대한 원주각)

즉 ∠ABC=∠AQB이므로 yy 30`%

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ABÓ는 세 점 B, Q, P

를 지나는 원의 접선이다. yy 30`%

따라서 ABÓ Û`=APÓ_AQÓ이므로 4Û`=3_(3+PQÓ), 16=9+3PQÓ

3PQÓ=7 ∴ PQÓ=;3&; (cm) yy 40`%

 ;3&;`cm

(15)

∠ABC=∠ACB=∠AQB임을 알기 30 %

ABÓ가 세 점 B, Q, P를 지나는 원의 접선임을 알기 30 %

PQÓ의 길이 구하기 40 %

0928 오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BDÓ를 그으

A

B P

C D

4

면 ACÓ=BCÓ이므로 8

∠CAB=∠CBA

∠CAB=∠CDB

(µ BC에 대한 원주각) 즉 ∠CBA=∠CDB이므로 접선과

현이 이루는 각의 성질에 의해 BCÓ는 세 점 B, D, P를 지나 는 원의 접선이다.

따라서 BCÓ Û`=CPÓ_CDÓ이므로 BCÓ Û`=4_(4+8)=48

∴ BCÓ=4'3 (∵ BCÓ>0) ^{ ⑤}

0929 오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 긋고 원 O A

O B

C H

D 8

10

의 반지름의 길이를 r라 하면 12

△

^{ABH »}

△

ADC (AA 닮음) 이므로

ABÓ：ADÓ=AHÓ：ACÓ에서

12：2r=8：10, 16r=120 ∴ r=:Á2°:

따라서 원 O의 반지름의 길이는 :Á2°:이다. ^:Á2°:

0930 오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 그으면 A

B H C

D O 4 cm 8 cm

5 cm

△

^{ABH »}

△

ABÓ：ADÓ=AHÓ：ACÓ에서 4：10=AHÓ：8, 10AHÓ=32

∴ AHÓ=:Á5¤:`(cm) ^:Á5¤:`cm

0931 오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 긋고

O

D H A

B 12 6 8 C

ADÓ=x라 하면

△

^{ABH »}

△

ABÓ：ADÓ=AHÓ：ACÓ에서 12：x=6：8, 6x=96

∴ x=16  16

0932 오른쪽 그림과 같이 BQÓ를 긋고 A

B

Q C

8 6

2 PO

APÓ=x라 하면

∠AQB=∠ACB

(µAB에 대한 원주각)이므로

△

^{ABQ »}

△

APC (AA 닮음)

STEP 2

^{중단원 유형 다지기}

p. 146~p. 148

9_4=x_12 ∴ x=3  ③

2_(2+7)=3(3+CDÓ), 18=9+3CDÓ

3CDÓ=9 ∴ CDÓ=3`(cm) ^{ ②}

0937 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면

PCÓ=;2!;r cm, PDÓ=;2!;r+r=;2#;r (cm)이므로 7_3=;2!;r_;2#;r, rÛ`=28

∴ r=2'7 (∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'7 cm이다.  2'7`cm 따라서 ABÓ：APÓ=AQÓ：ACÓ이므로

6：x=(x+2)：8, x(x+2)=48 xÛ`+2x-48=0, (x-6)(x+8)=0

∴ x=6 (∵ x>0)

따라서 APÓ의 길이는 6이다.  6

0933 오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면 A

B C

D

E 10 cm 9 cm

6 cm

∠ABC=∠AEC

(µAC에 대한 원주각)이므로

△

^{ABD »}

△

AEC (AA 닮음) 따라서 ABÓ：AEÓ=ADÓ：ACÓ이므로 10：AEÓ=6：9, 6AEÓ=90

∴ AEÓ=15`(cm)

∴ DEÓ=AEÓ-ADÓ=15-6=9`(cm) ^{ 9}`cm

0934 ∠BAQ=∠CAQ이고 _A

B P C

Q 4

6

∠CBQ=∠CAQ (µ CQ에 대한 원주각)이므로

∠BAQ=∠CBQ

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의

해 BQÓ는 세 점 A, B, P를 지나는 원의 접선이다.

따라서 BQÓ Û`=QPÓ_QAÓ이므로 BQÓ Û`=4_(4+6)=40

∴ `BQÓ=2'¶10 (∵ BQÓ>0) ^{ ③}

(16)

0938 오른쪽 그림과 같이 반원의 나머지

O 6 cm 9 cm

A B

C

D

E

부분을 그리고 CDÓ의 연장선이 원 O 와 만나는 점을 E라 하자.

DBÓ =ABÓ-ADÓ

=18-6=12`(cm) ABÓ는 지름이고 ABÓ⊥CEÓ이므로 CDÓ=DEÓ=x`cm라 하면 DAÓ_DBÓ=DCÓ_DEÓ이므로 6_12=x_x, xÛ`=72

∴ x=6'2 (∵ x>0)

따라서 CDÓ의 길이는 6'2 cm이다. ^{ 6}'2`cm

0939 ㉠ PAÓ_PCÓ=3_3=9, PBÓ_PDÓ=4_2=8

즉 PAÓ_PCÓ+PBÓ_PDÓ이므로 ABCD는 원에 내접 하지 않는다.

㉡ PAÓ_PDÓ=4_(4+5)=36 PBÓ_PCÓ=3_(3+9)=36

즉 PAÓ_PDÓ=PBÓ_PCÓ이므로 ABCD는 원에 내접 한다.

㉢ ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지 않 는다.

㉣ ∠A+∠C=108ù+72ù=180ù이므로 ABCD는 원 에 내접한다.

㉤ ∠ABC=180ù-110ù=70ù이므로 ∠ABC=∠CDF

즉 ABCD는 원에 내접한다.

㉥ PAÓ_PCÓ=4_5=20, PBÓ_PDÓ=10_2=20 즉 PAÓ_PCÓ=PBÓ_PDÓ이므로 ABCD는 원에 내접

한다.

따라서 원에 내접하는 것은 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥이다.

 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥

0940 PCÓ_PDÓ=PEÓ_PFÓ이므로

6_PDÓ=2_9 ∴ PDÓ=3`(cm) ^{ ①}

0941 ∠ATP=∠ABT=30ù (접선과 현이 이루는 각) 또 PTÓ=BTÓ이므로 ∠APT=∠ABT=30ù 즉 ∠APT=∠ATP=30ù이므로 APÓ=ATÓ=4 이때 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

PTÓ Û`=4_(4+8)=48

∴ PTÓ=4'3 (∵ PTÓ>0) 이때 BTÓ=PTÓ=4'3이므로

△

^BAT=;2!;_8_4'3_sin 30ù

=;2!;_8_4'3_;2!;=8'3 ^{ 8}'3

0942

△

OBR에서 ∠ORB=90ù이므로 BRÓ="Ã5Û`-3Û`=4 (cm)

∴ ABÓ=2BRÓ=2_4=8 (cm) PAÓ=x cm라 하면

(2'¶21)Û`=x_(x+8), xÛ`+8x-84=0 (x-6)(x+14)=0 ∴ x=6 (∵ x>0)

따라서 PAÓ의 길이는 6`cm이다. ^{ 6`cm}

0943 오른쪽 그림과 같이 POÓ의 연장

P 6 cm O

B

T A 15cm

선이 원 O와 만나는 점을 B라 하면

PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û` =(6-'¶15)(6+'¶15)

=36-15=21

∴ PTÓ='¶21 (cm) (∵ PTÓ>0) ^{ ②}

0944 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로 PTÓ Û`=3_(3+5)=24

∴ PTÓ=2'6 (cm) (∵ PTÓ>0) PT'Ó=PTÓ=2'6 cm

∴ PTÓ+PT'Ó=2'6+2'6=4'6 (cm) ^{ ④}

0945 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB ^A

Q B 5 cmP C

6 cm

오른쪽 그림과 같이 BQÓ를 그으면

∠ACB=∠AQB

(µAB에 대한 원주각) 즉 ∠ABC=∠AQB이므로 접선과

현이 이루는 각의 성질에 의해 ABÓ는 세 점 B, Q, P를 지나 는 원의 접선이다.

따라서 ABÓ Û`=APÓ_AQÓ이므로 6Û`=5_(5+PQÓ), 36=25+5PQÓ

5PQÓ=11 ∴ PQÓ=:Á5Á: (cm) ^{ ②}

0946

△

^ABH에서

H O A 8 10

B C

D 2 7

AHÓ="Ã8Û`-(2'7)Û`=6

오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 그으면

△

^{ABH »}

△

ABÓ：ADÓ=AHÓ：ACÓ에서 8：ADÓ=6：10, 6ADÓ=80

∴ ADÓ=:¢3¼:  :¢3¼:

(17)

0947 ∠BAD=∠CAD이고 A

P 7

B 2 C

D

∠CAD=∠CBD (µ CD에 대한 원주각)이므로

∠BAD=∠CBD

접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 BDÓ는 세 점 A, B, P를 지나는 원의 접선이다.

따라서 BDÓ Û`=DPÓ_DAÓ이므로 BDÓ Û`=2_(2+7)=18

∴ BDÓ=3'2 (∵ BDÓ>0)  3'2

0948 OPÓ=x cm라 하면

PAÓ=(5-x) cm, PBÓ=(5+x) cm` yy 2점 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

(5-x)(5+x)=2_6 ` yy 2점

25-xÛ`=12, xÛ`=13 ∴ x='¶13 (∵ x>0)

따라서 OPÓ의 길이는 '¶13 cm이다. yy 2점

 '¶13`cm

OPÓ=x cm로 놓고 PAÓ, PBÓ의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 2점 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ임을 이용하여 x에 대한 식 세우기 2점

OPÓ의 길이 구하기 2점

0949 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

PDÓ=5+2r yy 1점

6_(6+9)=5_(5+2r), 90=25+10r

10r=65 ∴ r=:Á2£: yy 3점 따라서 원 O의 넓이는

p_{:Á2£:}2`= 1694 p yy 2점

 169 4 p

원 O의 반지름의 길이를 r로 놓고 PDÓ의 길이를 r에 대한 식으로 나

타내기 ^1점

r의 값 구하기 3점

원 O의 넓이 구하기 2점

0950 ∠BFC=∠BEC이므로 네 점 F, B, C, E는 한 원 위에 있

다. yy 2점

따라서 AFÓ_ABÓ=AEÓ_ACÓ이므로 3_(3+5)=4_(4+ECÓ), 24=16+4ECÓ

4ECÓ=8 ∴ ECÓ=2 yy 2점

△

^{ABE에서 BEÓ=}"Ã8Û`-4Û`=4'3이므로 yy 2점

△

^{BCE에서 BCÓ=}"Ã(4'3)Û`+2Û`=2'¶13 yy 2점

 2'¶13

네 점 F, B, C, E가 한 원 위에 있음을 알기 2점

ECÓ의 길이 구하기 2점

BEÓ의 길이 구하기 2점

BCÓ의 길이 구하기 2점

0951 ⑴ QAÓ_QBÓ=QCÓ_QTÓ이므로 QAÓ_3=2_9 ∴ QAÓ=6

⑵ PAÓ=x라 하면 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

6Û`=x_(x+9), xÛ`+9x-36=0

(x-3)(x+12)=0 ∴ x=3 (∵ x>0)

따라서 PAÓ의 길이는 3이다.  ⑴ 6 ⑵ 3 0952 PAÓ=x라 하면

12Û`=x(x+7), xÛ`+7x-144=0

(x-9)(x+16)=0 ∴ x=9 (∵ x>0) yy 2점 이때

△

^PAT와

△

^PTB에서

∠PTA=∠PBT (접선과 현이 이루는 각),

△

^{PAT »}

△

PTB (AA 닮음) yy 2점 따라서 PAÓ：PTÓ=ATÓ：TBÓ이므로

9：12=ATÓ：8, 12ATÓ=72 ∴ ATÓ=6 yy 3점

 6

PAÓ의 길이 구하기 2점

△PAT »△PTB임을 보이기 ^2점

ATÓ의 길이 구하기 3점

0953 원 O에서 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

xÛ`=4_(4+5)=36 ∴ x=6 (∵ x>0) yy 3점 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로

4_(4+5)=3_(3+y), 36=9+3y

3y=27 ∴ y=9 yy 3점

∴ x+y=6+9=15 yy 1점

 15

x의 값 구하기 3점

y의 값 구하기 3점

x+y의 값 구하기 1점

교과서에 나오는

창의 . 융합문제

^{p. 149}

0954 안내소와 자전거보관소 사이의 거리를 x`m라 하면 80_30=x_40, 40x=2400 ∴ x=60

(18)

따라서 안내소와 자전거보관소 사이의 거리는 60`m이다.

 60`m

0955 ⑴ PBÓ Û`=PCÓ_PAÓ이므로 24Û`=16_PAÓ, 16PAÓ=576 ∴ PAÓ=36`(m)

⑵

△

APB는 ∠ABP=90ù인 직각삼각형이므로 ABÓ="Ã36Û`-24Û`=12'5`(m)

⑶ 연못의 반지름의 길이는 6'5`m이므로 (연못의 넓이)=p_(6'5)Û`=180p`(mÛ`)

 ⑴ 36`m ⑵ 12'5`m ⑶ 180p`mÛ`

48=28+4ACÓ, 4ACÓ=20 ∴ ACÓ=5 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

ADÓ=r-2, AEÓ=r+2 ABÓ_ACÓ=ADÓ_AEÓ이므로

3_5=(r-2)(r+2), 15=rÛ`-4 ∴ rÛ`=19

∴ (원 O의 넓이)=p_19=19p  19p

0959 오른쪽 그림과 같이 CO'Ó, DBÓ를 그

A 2 cm B

C D

4 cmO O′

으면

∠ACO'=∠ADB=90ù ABÓ=2AOÓ=2_4=8 (cm) OO'Ó=;2!;AOÓ=;2!;_4=2 (cm) 원 O'에서 ACÓ Û`=AOÓ_ABÓ이므로

ACÓ Û`=4_8=32 ∴ ACÓ=4'2 (cm) (∵ ACÓ>0) 이때

△

^AO'C와

△

^ABD에서

∠A는 공통, ∠ACO'=∠ADB=90ù이므로

△

^AO'C^»

△

ABD (AA 닮음) 따라서 ACÓ：ADÓ=AO'Ó：ABÓ이므로 4'2：ADÓ=6：8, 6ADÓ=32'2

∴ ADÓ=16'2

3 (cm) ^¹⁶^{3 `cm}^'2

0960 PTÓ=x`cm라 하면

A T

B

P C O 4 cm

3 cm

△

^BTP에서

BTÓ="ÃxÛ`+3Û`="ÃxÛ`+9`(cm) 이때

△

^BAT와

△

^BTP에서

∠BTA=∠BPT=90ù,

∠BAT=∠BTP (접선과 현이 이루는 각)이므로

△

^{BAT »}

△

BTP (AA 닮음) 따라서 BAÓ：BTÓ=BTÓ：BPÓ이므로 4："ÃxÛ`+9="ÃxÛ`+9：3, xÛ`+9=12 xÛ`=3 ∴ x='3 (∵ x>0) PTÓ Û`=PCÓ_PBÓ이므로

('3)Û`=PCÓ_3 ∴ PCÓ=1`(cm) ^{ 1}`cm

0961

△

^PCT와

△

^PDB에서

P A

T 12 3

6 B

D C

∠TPC=∠BPD,

∠PTC=∠PBD

(접선과 현이 이루는 각)이므로

△

^{PCT »}

△

PDB (AA 닮음) 따라서 PCÓ：PDÓ=PTÓ：PBÓ이므로 6：9=PTÓ：12, 9PTÓ=72 ∴ PTÓ=8 PTÓ Û`=PAÓ_PBÓ이므로

8Û`=PAÓ_12 ∴ PAÓ=:Á3¤: ^:Á3¤:

^{STEP 3}

^{만점 도전하기}

^{p. 150}

0956 PAÓ_PBÓ=PCÓ_PDÓ이므로 9_PBÓ=3_6 ∴ PBÓ=2 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서

A B

C

D P 6 9 3

E F r O

ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하고 OAÓ=r라 하면 AEÓ=;2!;ABÓ=;2!;_(9+2)=:Á2Á:

FCÓ=;2!; CDÓ=;2!;_(3+6)=;2(;이므로 EOÓ=PFÓ=;2(;-3=;2#;

따라서

△

^{AOE에서 r=}¾Ð{:Á2Á:}2`+{;2#;}2`= '¶1302 이므로 원 O의 반지름의 길이는 '¶130

2 이다. ^{ '¶}¹³⁰²

0957 PAÓ_PBÓ=PDÓ_PEÓ이므로 6_(6+x)=5_12, 36+6x=60 6x=24 ∴ x=4

PBÓ_PCÓ=PEÓ_PFÓ이므로

10_(10+14)=12_(12+y), 240=144+12y 12y=96 ∴ y=8

∴ x+y=4+8=12  12

0958 오른쪽 그림과 같이 PAÓ, OAÓ의

A

T B P

C D

E O 4

3 2 4 3

연장선이 원 O와 만나는 점을 각 각 C, D, E라 하면

PTÓ Û`=PBÓ_PCÓ이므로 (4'3)Û`=4_(7+ACÓ)

01 원주각 ~ 03 접선과 현이 이루는 각

6 | 원주각