4. 입체도형의 성질과 측정

4. 입체도형의 성질과 측정

4.1. 이론적 배경

(1) 정다면체

정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 모두 같은 다면체를 말 한다. 정다면체가 5종류뿐임은 아주 오래 전부터 알려져 있었으며, 이는 오일러의 정리를 이용하면 증명할 수 있다. 정다면체 이론은 최초로 완성된 기하학 이론으로 수학자들은 정다면체에 수학적인 뜻 이외에 여 러 가지 의미를 부여하기도 했다.

플라톤(Platon; 427?~347 B.C.)은 기원전 350년경에 쓴 책 티마이오스(Timaeus c.260 B.C.)에서 세계를 형 성한다고 믿고 있던 불, 공기, 물, 흙 등의 네 가지 ‘원소’가 모두 작은 공간도형들의 집합체라는 이론을 제 기하였다. 세계는 완벽한 공간도형만으로 만들어질 수 있기 때문에 이 원소들도 반드시 정다면체의 모양이 어야 한다고 주장했다.

오른쪽 그림과 같이 흙은 6면체와, 공기는 8면체와, 물은 20면체와, 불은 4면체와 대응시켰는데 이러한 대응은 직관적으로 정당화 가능하다. 5번째 플라톤의 다면체인 정 12면체에 대해 플라톤은 모호하게 "천국 의 별자리들을 정렬시킨다."라고 언급하였고, 아리스토텔레스도 5번째 원소에 대해 "ether"라고 언급하면서 천국이 이 물질로 이루어 졌다고 했지만, 이를 플라톤의 다면체와 연결시키는 데는 흥미가 없었다.

유클리드는 그의 책 '원론(Elements)'에서 플라톤의 다면체에 대해 완벽한 수학적 기술을 해두었다. 원론 의 마지막 권은 정다면체에 관한 정리들로 이루어져 있다. 마지막 권 정리 13-17은 정다면체들의 순서대로 구조를 설명한다. 각각의 정다면체들에 대해 외접원의 반지름의 비를 구해 두었다. 18번 정리에서 그는 이 5개의 정다면체 이외의 정다면체는 존재하지 않는다고 주장한다. Andres Speiser씨는 원론을 위대하게 만 든 연역적인 시스템의 최고의 목표가 5개의 정다면체의 건설이라는 견해에 동의한다. 그 마지막책의 많은 정보가 아마도 테아이테토스의 업적으로 부터 온 것으로 보인다.

정다면체를 일정하게 잘라내면 서로 다른 정다면체를 만들 수 있다.

16세기에 독일의 천문학자 케플러는 당시 알려져 있던 지구 밖 5개의 행성들과 플라톤의 다면체와의 관계 를 찾기 위해 노력했다. 그는 1596년 출간된 책 Mysterium Cosmographicum에서 5개의 정다면체가 내접원 과 외접으로 둘러싸인 구조의 태양계의 모델을 제시했다. 6개의 구들은 각각 행성들에 대응한다(수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성). 다면체들은 가장 안쪽에서 부터 정8면체, 정20면체, 정12면체, 정4면체, 정6면체 순 이다. 이런 식으로, 태양계의 구조와 행성간의 거리관계는 플라톤의 다면체에 의해 기술되었다. 결국에, 케 플러의 초기 아이디어는 파기되었지만, 그의 연구를 통해 행성의 궤도가 원이기 보다 타원임이 밝혀졌고, 케플러의 법칙을 발견함으로써, 물리와 천문학의 판도를 바꾸었다. 거기다 케플러의 다면체도 발견하였다.

케플러가 계산한 도형의 넓이와 부피는 투박한 형태의 적분법에 의존한 것이다. 포도주 통의 입체 기하학 (1615)에서 이런 적분법으로 원뿔 곡선의 호를 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 93개의 입체 도형의 부피 를 찾는 데 적용했다. 조금 더 발전된 적분법인 카발리에리의 ‘불가분량의 방법’의 발상에 영향을 주었을 것으로 추측된다.

(2) 카발리에리의 원리

카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)는 이탈리아의 수학자인 카발리에리가 발견한 수학 원리로, 경계 면으로 둘러싸인 두 입체 V,V'를 하나의 정해진 평면과 평행인 평면으로 자를 때, V,V'의 내부에 있는 잘

린 부분의 면적의 비가 항상 m:n이면 입체 V,V'의 부피의 비도 m:n이 된다는 수학적 원리이다.

카발리에리 원리를 가정하고 이를 일관되게 적용하면, 중등학교 과정에서 마주치는 공간 도형에 관한 많 은 공식을 간단하게 유도할 수 있다. 이런 과정은 많은 교과서에서 채택했으며, 교육적인 근거에서 지지를 받았다.

그러나 앞에서 제시한 대로 불가분량의 방법에는 엄밀한 기초가 없고, 이에 따라 그의 책 불가분량의 기 하학은 많은 공격을 받았다. 허시는 다음과 썼다.¹⁾ “카발리에리와 다른 사람들은 영역을 무한소의 양의 넓 이를 가진 무수히 많은 조각으로 나누어 그 넓이를 계산했다. 그런데 불행하게도, 호이겐스가 밝혔듯이, 이 런 방법으로 틀린 답을 얻을 수 있었다.”

(3) 동아시아의 수학 - 산학의 구의 부피

입체 도형의 부피를 다루는 <구장산술(九章算術)> 제5권의 제목은 상공(商功)이다. 이곳에서는 단면이 사 다리꼴인 사각기둥 모양의 성, 담, 제방, 도랑, 해자, 개천 등의 부피 및 정사각기둥, 원기둥, 정사각뿔대, 원 뿔대, 정사각뿔, 원뿔 모양의 돈대 또는 정자의 부피를 구한다. 이런 입체 도형의 일부를 잘라낸 도형과 이 런 입체 도형들로 분해할 수 있는 좀 더 복잡한 도형도 다룬다. 이런 입체 도형의 부피는 현재와 같은 공 식을 이용해서 정확한 값을 구하고 있다. 물론, 원기둥과 원뿔의 경우에는 고법, 즉 π=3인 원주율을 이용하 고 있다.

평면 도형 중에서는 원의 넓이를 정확하게 구하기가 어렵듯이, 입체 도형 중에서는 구의 부피를 구하기 가 쉽지 않다. 그렇다면 산학에서는 구의 부피를 어떻게 구했을까? 조선의 산학자 경선징(慶善徵, 1616~?)이 지은 책 <묵사집산법(黙思集算法)>의 ‘입원해적법(立圓該積法)’에는 구의 부피를 구하는 두 가지 방법이 나 오지만 정확하지 않다.

유휘는 정육면체에 내접하면서 수직으로 교차하는 두 개의 원기둥의 공동 부분이 나타내는 입체도형인 모합방개(牟合方蓋)의 부피와 구의 부피의 비가 4:π라고 주장했다. 그렇지만 모합방개 자체의 부피를 구할

1) 로이벤 허시 저/ 허민 역(2003), , 경문사, p. 215.

수는 없었다.

이후 조충지 부자가 ‘카발리 에리의 원리’를 이용해서 모합 방개와 구의 부피에 대한 유휘의 주장이 정확함을 확인했다. 정육 면체의 밑면에 평행인 평면으로 잘리는 모합방개의 단면은 정사각 형이고 구의 단면은 이에 내접하는 원이므로, 단면의 넓이의 비는 4:π 이고 이에 따라 부피의 비도 4:π 이어야 한다. 조충지 부자는 정육면체와 내접하는 모합방개의 부피의 비가 3:2라는 사실도 유 도했다. 이에 따라 다음과 같은 구의 부피 공식을 얻었다.

그리고 고법의 원주율 π=3을 이용하면 V=d³/2와 같은 간단한 공식을 얻는다.

이렇게 조충지 부자는 카발리에리보다 1000년 이상 앞서 ‘카발리에리의 원리’를 이용해서 구의 부피를 구했 다. 이제 ‘카발리에리의 원리’는 ‘조의 원리’로 불러야 하지 않을까? 그런데 조충지 부지의 연구 결과는 후 세에 제대로 전달되지 않았던 것으로 보이며, 17세기의 경선징도 이를 몰랐던 것으로 보인다.

4.2. 교육과정 및 교과서 내용

 입체도형의 성질

① 다면체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

◦ 다면체의 뜻과 그 성질을 이해하게 한다.

다면체의 뜻을 알고, 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 뜻을 알게 한다. 각기둥, 각뿔, 각뿔대 등 여러 가지 다 면체를 관찰하고 그 성질을 이해하게 한다.

다음 건축물 중 면이 다각형으로만 이루어진 도형을 찾아보자.

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

◦ 정다면체에 대하여 알게 한다.

정다면체의 뜻을 알고, 정다면체의 종류가 다섯 가지뿐임을 알게 한다. 학생의 수준에 따라 정다면체가 다 섯 가지뿐인 이유를 더욱 깊게 이해하게 할 수도 있다.

다음 그림은 각 면이 정삼각형 또는 정사각형으로 이루어진 다면체이다.

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

면이 모두 합동인 정다각형으로 이루어진 다면체는 어느 것인가?

각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 모두 같은 다면체는 어느 것인가?

위 , 의 성질을 모두 만족하는 다면체는 어느 것인가?

② 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

◦ 회전체의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하게 한다.

회전체의 뜻과, 회전체와 관련된 용어의 뜻을 알게 한다. 구, 원뿔, 원뿔대, 원기둥 등 여러 가지 회전체의 뜻과 성질을 이해하게 한다. 입체도형의 지도는 구체적인 모형을 가지고 관찰하게 하는 것이 바람직하다.

◦ 회전체의 전개도를 그릴 수 있게 한다.

원기둥, 원뿔, 원뿔대 등 간단한 회전체의 전개도를 그릴 수 있게 한다.

오른쪽 그림은 국보 제호인 ‘백자동화매국문병’이다.

도자기를 위에서 보면 어떤 모양인가?

도자기를 옆에서 보는 모양은 항상 좌우대칭인가?

위 , 와 같은 성질을 갖는 이유는 무엇인지 토론해 보자.

③ 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있다.

◦ 여러 가지 입체도형의 겉넓이와 부피를 구할 수 있게 한다.

각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구 등 여러 가지 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 식을 문자를 사용하여 나 타내고, 겉넓이와 부피를 구할 수 있게 한다. 뿔이나 구의 겉넓이와 부피를 구하는 방법을 연역적으로 이해하 는 것은 무리이므로 직관적으로 이해하게 한다.

기둥의 겉넓이는 어떻게 구할까?

오른쪽 그림은 삼각기둥을 펼치는 모양이다.

삼각기둥의 면은 어떤 도형으로 이루어져 있는가?

삼각기둥의 옆면을 펼치면 어떤 도형이 되는가?

겉넓이는 어떻게 구하면 좋을지 말해 보자.

기둥의 부피는 어떻게 구할까?

오른쪽 그림에서 직육면체와 그 내부의 삼각기둥을 살 펴보고 삼각기둥의 부피를 구하는 방법을 찾아보자.

<그림 >의 삼각기둥의 밑면의 넓이는 직육면체의 밑면의 넓이의 몇 배인가?

<그림 >의 삼각기둥의 부피는 직육면체의 부피의 몇 배인가?

<그림 >의 삼각기둥에 대해서도 그 부피는 직육면체의 부피의  

 인가? 그 이유를 말해

보자.

뿔의 겉넓이는 어떻게 구할까?

오른쪽 그림과 같은 원뿔 모양의 고깔모자가 있다.

활동

가. 고깔모자의 옆면을 모선을 따라 가위로 자르면 어떤 모양일지 추측하여 그려 보자.

나. 고깔모자의 옆면을 모선을 따라 자른 후 펼쳐 보자.

고깔모자의 옆면을 모선을 따라 자른 후 펼치면 무슨 모양인가?

고깔모자의 옆면의 넓이를 구하는 방법에 대하여 말해 보자.

뿔의 부피는 어떻게 구할까?

밑면이 합동이고 높이가 같은 사각뿔과 사각기둥 모양의 그릇을 준비하자.

활동

가. 사각뿔 모양의 그릇에 물을 가득 채우고 이것을 사각기둥 모양 의 그릇에 옮긴다.

나. 사각기둥 모양의 그릇이 가득 찰 때까지 가를 반복해 보자.

기둥 모양의 그릇을 가득 채우기 위해 뿔 모양의 그릇의 물을 몇 번이나 옮겨 부었는가?

각뿔과 각기둥의 부피의 비는 얼마라고 추측할 수 있는가?

구의 겉넓이(부피)는 어떻게 구할까?

예원이는 구의 겉넓이를 구하기 위하여 오렌지를 반으로 잘라 그 단면과 크기가 같은 원 2개를 그렸다. 그리고 오렌지 반 개의 껍질을 잘게 잘라 원을 채워 보니 2개의 원을 빈틈없이 채울 수 있었다. 이와 같은 방법으로 오렌지 한 개의 껍질을 이용하면 몇 개의 원을 채울 수 있는지 말하여라.

➡ ➡

구의 부피는 어떻게 구할까?

반지름의 길이가

인 반구 모양의 그릇과 밑면의 반지름의 길이가

이고, 높이가

인 원기둥 모양의 그릇이 있다. 반구 모양의 용기에 모래를 가득 채워 원기둥 모양의 용기에 붓는 실험을 하였다. 반구의 부피는 원기둥의 부피의 몇 배인지 말하여라.

➡

오른쪽 그림과 같이 구를 여러 개의 각뿔 모양으로 나누어 생각하면 구의 부피는 각뿔 모양의 부피의 합과 같으며 구의 겉넓이는 각뿔 모양의 밑넓 이의 합과 같다. 여기서 각뿔의 높이는 구의 반지름의 길이와 같다고 볼 수 있으므로

(구의 부피)  

 ×(구의 겉넓이)

(구의 부피)=;3!×(구의 반지름의 길이) 가 된다.

이때, 구의 반지름의 길이를 라고 하면 구의 겉넓이는 

이므로 구의 부피는

 

 ×

×   



이다.

4.3. 교수학습 참고자료

목제주령구

주령구(酒令具)는 1975년 경주 안압지에서 출토된 정사각형 면 6개와 육각형 면 8개로 이루어진 14면체 주사위이다. 참나무 재질 로 된 각 면에는 다양한 벌칙이 적혀 있어 신라인들의 음주 습관의 풍류를 보여주고 있다. 출토된 진품은 유물 보존 처리도중 불타 버렸고, 복제품만 남아있다. 다음은 14개의 벌칙이다. 출처 - 위키백과

1. 금성작무 (禁聲作舞)- 노래없이 춤 추기(무반주 댄스) 2. 중인타비 (衆人打鼻)- 여러 사람 코 때리기

3. 음진대소 (飮盡大笑)- 술잔 비우고 크게 웃기(원샷) 4. 삼잔일거 (三盞一去)- 술 석잔을 한번에 마시기

5. 유범공과 (有犯空過)- 덤벼드는 사람이 있어도 참고 가만 있기 6. 자창자음 (自唱自飮)- 스스로 노래 부르고 마시기

7. 곡비즉진 (曲臂則盡)- 팔을 구부려 다 마시기(러브샷) 8. 농면공과 (弄面孔過)- 얼굴 간지러움을 태워도(놀려도) 참기 9. 임의청가 (任意請歌)- 마음대로 노래 청하기

10. 월경일곡 (月鏡一曲)- 월경 노래 한 곡 부르기 11. 공영시과 (空詠詩過)- 시 한수 읊기

12. 양잔즉방 (兩盞則放)- 두잔이 있으면 즉시 비우기 13. 추물막방 (醜物莫放)- 더러운 것 버리지 않기 14. 자창괴래만 (自唱怪來晩)- 스스로 괴래만을 부르기

플라톤의 입체도형

고대 그리스에서 발견된 정다면체는 유클리드의 <기하학 원론> 제13권에 기술되어 있다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체 는 오래전부터 알려져 있었지만, 정십이면체와 정이십면체는 피타고라스 학파에 의해 발견되었다. 플라톤은 정다면체를 자신이 생각한 원소와 연관지었다. 그래서 정다면체를 플라톤의 입체라고도 하는 것이다.

1. 불

2. 흙

3. 바람

4. 우주

5. 물

회전체의 모선과 원뿔 곡선

회전체에서 모선(母線)은 한자로 ‘어머니 모’자를 사용하여 만든 용어이다. 이것은 이 선에 의하여 원기둥, 원뿔, 구가 생긴다 는 뜻이다.

원뿔곡선이란 직원뿔을 그 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 평면곡 선의 총칭으로, 원추곡선(圓錐曲線)이라고도 하는데 원뿔의 축에 대한 평면의 기울기가 모 선의 기울기에 비하여 큰가, 작은가, 같은가에 따라서 각각 타원, 포물선, 쌍곡선이 된다.

구장산술에 기록된 입체도형의 부피 - 각기둥과 원기둥

구장산술 제5권 상공(商功)편에는 입체도형의 부피에 관한 기록이 있다. 기둥과 관련된 내용을 간단하 게 정리하면 다음과 같다.

문8 방보도(方堡壔)

 

문9 원보도(圓堡壔)

_{ }



 ^

원기둥은 각기둥의 극한으로 생각하여 구할 수 있다. 아르키메데스가 원의 넓이를 96각형의 정다각형으로 근사시켜 계산한 것과 같은 원리이다.

구장산술에 기록된 입체도형의 부피 - 각뿔과 원뿔

구장산술 제5권 상공(商功)편에는 입체도형의 부피에 관한 기록이 있다. 뿔과 관련된 내용을 간단하게 정리하면 다음과 같다.

문10 방정(方亭) - 모스크바 파피루스의 14번 문제와 같음.

_{ }



^ ^ 

문11 원정(圓亭)

_{ }



 ^^

⟶ (  )

⟶ _{ }



__ _^ _^

문12 방추(方錐)

_{ }



^

문13 원추(圓錐)

_{ }



 ^

⟶ (  )

⟶ _{ }



^

구의 겉넓이 구하기

반구의 표면에 끈을 감은 후, 그 끈의 길이의 2배인 끈으로 평면에 원 모양을 만들어 보자.

1. 평면 위에 끈으로 만든 원의 반지름은 반구의 반지름의 몇 배인지 말해 보게 한다.

2. 위의 실험을 통해 구의 겉넓이를 구하는 방법에 대해 말해보게 한다.

정다면체가 5개 뿐인 이유

입체도형이 되려면 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 3개 이상이어야 하고, 꼭짓점에 모이는 면의 내각의 크기의 합이

보다 작아야 한다.

1. 각 면이 정삼각형인 경우, 한 내각의 크기가 이므로 면의 개수가 각각 3개, 4개, 5개일 때 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 된다. 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 6개 이상이면 한 꼭짓점에 모인 면의 내각의 크기의 합이 이 상이 되어 입체도형이 될 수 없다.

2. 각 면이 정사각형인 경우, 한 내각의 크기가 이므로 면의 개수가 각각 3개일 때 정육면체가 된다. 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 4개 이상이면 한 꼭짓점에 모인 면의 내각의 크기의 합이 이상이 되어 입체도형이 될 수 없다.

3. 각 면이 정오각형인 경우, 한 내각의 크기가 이므로 면의 개수가 각각 3개일 때 정십이면체가 된다. 한 꼭짓점 에 모인 면의 개수가 4개 이상이면 한 꼭짓점에 모인 면의 내각의 크기의 합이 보다 크므로 입체도형이 될 수 없 다.

4. 각 면의 모양은 정육각형, 정칠각형, 정팔각형⋯ 등이 될 수 없다. 정육각형의 경우 한 내각의 크기가 이므로 한 꼭 짓점에 모인 면의 개수가 3개만 되어도 한 꼭짓점에 모인 면의 내각의 크기의 합이 가 되어 입체도형이 될 수 없다.

동아시아의 전통 수학에서 구의 부피 구하기

조선 시대 수학자 경선징은 책 [묵사집산법]의 <입원해적법>에서 다음과 같이 구의 부피를 구하는 방법을 소개하고 있다.

둘레를 제곱하고 이에 둘레를 곱하여 로 나누면 구의 부피를 얻는다. 또 지름을 제곱하고 이에 지름을 곱하고 또

^{를 곱하고} 을 법으로 하여 나누면 역시 구의 부피를 얻는다.

구의 부피 를 계산하는 두 가지 방법을 제시하고 있는데, 구의 반지름을 ^{이라 하면 지름은}   ^이 고 둘레는   이며 위의 각 방법은 다음과 같다.

(1) ^{ 둘레 }× 둘레  ÷   

^

 

^

 

^

^

(2)  지름 ^× 지름  ×  ÷   

^

 

 ^

 

^

위의 두 방법이 일치하기 위해서는   ^{이어야 한다}. 둘째 방법은 이미 [구장산술]에서도 이용한 것이다.

그럳네 위의 각 방법은 참값과 차이가 크게 난다. 유휘는 [구장산술]의 주석에서 구에 관한 위의 공식이 정확하지 않음 을 밝혔지만, 정확한 공식은 제시할 수 없었다.

그 뒤, 원주율에 대한 매우 정확한 근삿값을 구했던 조충지의 아들 조항지(祖恒之;450?~520?)는 원주율이 3인 경우에 정 확한 구의 부피를 구하는 공식을 발견했다. 그러나 조항지의 이 연구 결과는 후세에 제대로 전달되지 않은 것으로 보이 며, 경선징도 이를 몰랐던 것으로 보인다.

5. 삼각형와 사각형의 성질 5.1. 이론적 배경

(1) 명제

참, 거짓을 판정할 수 있는 문장을 명제라 하고    등으로 나타낸다. 또 참인 명제를 T, 거짓인 명제를 F로 나타내고, T, F를 그 명제의 진릿값이라고 한다. 또 진릿값을 나타낸 표를 진리표라고 한다.

몇 개의 명제를 ‘또는’, ‘그리고’, ‘아니다’, ‘~이면 ~이다’ 등과 같은 연결어를 사용하여 새로운 명제로 나 타낼 수 있을 때 이 명제를 합성명제라고 한다. 이에 대하여 한 명제가 더 이상 분해될 수 없을 때 그 명 제를 단순명제라고 한다.

(2) 증명의 시작

고대 이집트의 기하학은 토지(geo)와 측량(metry)을 뜻하였으며 이집트 기하학은 토지 측량, 피라미드 건 축 등과 같은 실생활의 필요로 등장하였다. 이러한 기하학의 학문적인 기초를 만든 사람은 그리스의 탈레 스(Thales;640?~546B.C.)이다.

그리스 수학의 시조라고 일컬어지는 탈레스는 그리스의 기하학을 개척하였으며 최초로 닮음을 연구한 사람 으로 알려져 있다. 그는 본래 기름이나 소금 같은 것을 거래하는 무역 상인이었는데 이집트에 들렸다가 그 곳의 승려에게서 천문학과 기하학을 배웠다고 한다. 닮음의 성질을 이용하여 막대기 하나로 피라미드의 높 이를 측정한 것은 매우 유명하다. 즉 같은 시각에 막대기의 그림자와 피라미드의 그림자의 길이의 비가 같 음을 이용하여 피라미드의 높이를 측정한 것이다.

그는 기하학에 관해서 다음과 같은 정리를 발견하였다.

(1) 원은 임의의 지름으로 이등분된다.

(2) 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다.

(3) 교차하는 두 직선이 만드는 두 맞꼭지각은 각각 서로 같다.

(4) 두 삼각형에서 대응하는 두 각의 크기와 대응하는 한 변의 길이가 각각 서로 같으면, 그 두 삼각형은 서 로 합동이다.

(5) 반원에 내접하는 각은 직각이다.

(3) 유클리드 기하 교육

탈레스의 뒤를 이어 피타고라스, 플라톤, 아리스토텔레스 등에 의하여 발견된 주요한 기하학적 원리들은 유클리드의 원론에 체계적으로 정리되어 있다. 유클리드 기하학은 직관적인 관찰을 기초로 만들어진 기하 학으로 그 증명 방법은 귀납적인 증명이 아니라 정의, 공준, 공리에만 근거를 두고, 기하학의 모든 명제를 엄밀하고 절대적으로 옳은 것을 제시하여 그 법칙들을 연역적인 방법으로 증명했다.

유클리드의 원론은 모두 13권으로 되어 있다. 제 1권은 직선, 평행선, 평면도형, 제 2권은 직사각형, 정사 각형의 넓이, 제 3권은 원, 제 4권은 원에 내접, 외접하는 다각형, 제 5권은 비례론, 제 6권은 닮은 도형, 제 7, 8, 9권은 정수론, 제 10권은 무리수론, 제 11, 12, 13권은 입체도형을 다루고 있다. 제 1권은 23개 의 정의와 기하학적인 내용을 다룬 5개의 공준 그리고 일반적으로 통하는 내용을 가진 5개의 공리가 소개 되어 있다.

유클리드 원론은 공리, 연역적인 방법으로 전개되는 수학을 탄생시킨 책인 동시에 수학 교육을 위한 중요 한 교과서였다. 그리스인들은 교육을 ‘영혼의 눈’을 뜨도록 깨우쳐 이데아를 보게 하려는 행위로 생각하였 으며, 이데아의 세계를 이해시키기 위한 준비 교육으로 지식의 본질적 영원성을 예시하기 위하여 그리고

가설, 연역적 방법을 지도하기 위하여 유클리드 원론을 가르쳤다.

18세기경 서구에서는 중등학교에서 신인문주의 사조에 따라 유클리드원론의 특성 때문에 필연적으로 형 식적으로 흐르게 되었고, 이에 대한 비판의 움직임이 시작되었다.

영국에서는 1870년에 기하교수개선협회가 설립되어 새로운 기하 교육을 시도하였으나 유클리드 원론의 정신과 체계는 보존되어야 한다는 결론을 얻는데 그쳤다.

19세기 말까지 중등학교 수학 교육은 형식 도야적인 교과로서 그 위치를 유지해 왔으므로 유클리드 원론 에 의한 형식주의적인 수학 교육을 극복하기는 어려웠다.

20세기에 들어서면서 이러한 형식주의적인 엄밀한 유클리드 기하 교육에서 탈피하고 수학 본래의 유용성 을 추구하는 교육을 할 것을 요구하는 수학 교육 개혁 운동이 일어났다. Perry는 소수의 순수 수학자를 기 르기 위한 엄밀한 기하 교육은 순수 수학자를 기르기 위한 엄밀한 기하 교육은 수리 철학의 교육이며 교육 적으로 해가 된다고 주장하면서 엄밀한 유클리드 식의 기하 교육에서 탈피하여 실험과 구체적인 예를 통한 발견 학습을 강조할 것을 요구하였다.

그러나 유클리드 기하는 연역적 사고방법을 훈련시키는 주요한 분야이고, 그 바탕이 되는 삼각형은 인간 의 지적인 발달에 깊은 뿌리를 가진 도형으로 실용적인 학문과 생활에서 매우 중요하며 직관적이고 경험적 인 절차를 통한 초기의 기하 교육에서 매우 중요하다는 점을 지적하는 의견이 많았다.

미국에서는 종래 중학교에서 Van Hieles의 제 3수준에 해당하는 내용을 지도하고 고등학교 1학년에서 1 년 동안 Van Hieles의 제 4수준에 해당되는 내용을 지도하였다. 그러나 중학교에서의 학습 경험은 고등 학 교에서 논증 기하의 학습을 하는데 불충분하였고 그 결과 정리의 증명을 기억하는 학습이 되어 학생들이 가장 싫어하는 교과로 전락하였다. 이러한 결과에 대한 반성을 바탕으로 1989년에 발행된 ‘학교 수학의 교 육 과정과 평가의 표준(NCTM)'에서는 초등학교 때부터 Van Hieles의 기하 학습 수준에 따라서 단계적으 로 지도하도록 권고하고 있다.

5.2. 교육과정 및 교과서 내용

수 삼각형과 사각형의 성질

① 이등변삼각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

삼각형의 합동조건을 이용하여 이등변삼각형의 성질, 직각삼각형의 합동조건 등을 이해하고 설명할 수 있 게 한다.

색종이를 이용하여 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 색종이의 한 꼭짓점 A 를 지나는 선을 긋는다.

나. 변 AB 가 ^활동 가에서 그은 선에 겹치도록 접고, 점 B 와 일치하는 점 C 를 표시한 후 펼친다.

다. 선분 BC 를 긋고 삼각형 ABC 를 자른다.

➊ 삼각형 ABC 는 어떤 삼각형인가? 그 이유를 말해 보 자.

➋ 삼각형 ABC 에서 ∠B 와 크기가 같은 각을 말해 보자.

오른쪽 그림의 두 삼각형 ABC 와 D EF 에서

∠C  ∠F  °, AB  D E ,

∠A  ∠D  °

이다.

➊ ∠B 와 ∠E 의 크기는 각각 얼마인가?

➋ 삼각형 ABC 와 삼각형 D EF 는 합동인가? 그 이유를 설명 해 보자.

② 삼각형의 외심과 내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

삼각형 ABC 의 세 변의 수직이등분선이 한 점 O 에서 만남을 이해하고, 이 점 O 를 삼각형 ABC 의 외 심이라 함을 알게 한다. 이로부터 삼각형의 외심에 관한 성질 즉, 외심 O 로부터 삼각형 ABC 의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같음을 설명하고, 점 O 를 중심으로 하고 O A를 반지름으로 하는 원이 삼각형 ABC 의 외접원임을 알게 한다. 삼각형 ABC 의 세 내각의 이등분선이 한 점 I 에서 만남을 이해하고, 이 점 I 를 삼각 형 ABC 의 내심이라 함을 알게 한다. 이로부터 삼각형의 내심에 관한 성질 즉, 내심 I 로부터 삼각형 ABC 의 세 변에 이르는 거리가 모두 같음을 이해하고, 점 I 를 중심으로 하고 점 I 로부터 삼각형 ABC 의 한 변에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원이 삼각형 ABC 의 내접원임을 알게 한다.

색종이를 잘라 삼각형 ABC 를 만들고 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 두 꼭짓점 A 와 B 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친다.

나. 두 꼭짓점 A 와 C 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친 후 ^활동 가에서 접은 선과의 교점을 O 로 표시한 다.

다. 두 꼭짓점 B 와 C 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친다.

➊ 활동 가, 나, 다에서 접은 선과 각 변의 관계를 말해 보자.

➋ 활동 다에서 접은 선은 점 O 를 지나는지 확인해 보자.

➌ 자 또는 컴퍼스를 이용하여 점 O 에서 꼭짓점 A , B , C 까지의 거리를 비교해 보자.

색종이를 잘라 삼각형 ABC 를 만들고 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 두 변 AB 와 AC 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친다.

나. 두 변 AB 와 BC 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친 후 활동 가에서 접은 선과의 교점을 I로 표시한 다.

다. 두 변 AC 와 BC 가 겹치도록 삼각형을 접고 펼친다.

➊ 활동 가, 나, 다에서 접은 선과 세 내각의 관계를 말해 보자.

➋ 활동 다에서 접은 선은 점 I를 지나는지 확인해 보자.

➌ 자 또는 컴퍼스를 이용하여 점 I에서 세 변까지의 거리를 비교해 보자.

③ 사각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

사다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형 등 여러 가지 사각형의 정의를 이해하고, 이들 사각형과 관련된 성질을 이해하고 설명할 수 있게 한다. 또, 여러 가지 사각형 사이의 포함 관계를 이해하게 한다.

삼각형과 사각형의 성질을 설명하기 전에 공학적 도구나 종이접기, 작도 등의 조작 활동을 통하여 설명해야 할 성질을 추측하거나 직관적으로 이해한 후 설명을 하게 할 수도 있으며, 학생의 수준에 따라 그 정도와 방법 을 달리할 수 있다.

평행사변형에는 어떤 성질이 있을까?

색종이 한 장을 한 변에 평행한 선을 따라 잘라 서로 다른 두 개의 직사각형 모양을 만들어 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 자른 색종이를 <그림 1>과 같이 엇갈리게 놓고, 겹쳐진 부분을 따라 각 종이 위에 선을 긋고 윗쪽 색종이에서 사각형 ABCD 를 오려낸다.

나. <그림 2>와 같이 오려낸 사각형 ABCD 를 돌려서 아랫쪽 색종이의 사각형 위에 포개어 본다.

➊ 활동 가에서 오려낸 사각형 ABCD 에서 평행한 변을 말해 보자.

➋ 사각형 ABCD 에서 길이가 같은 변과 크기가 같은 각을 각각 말해 보자.

평행사변형의 대각선에는 어떤 성질이 있을까?

다음 순서에 따라 활동을 해 보자.

활동

가. 아래 그림과 같이 직사각형 모양의 색종이를 이용하여 평행사변형을 만든다.

나. 평행사변형에 두 대각선을 긋고 잘라 4개의 삼각형을 만든다.

➊ 활동 나에서 만든 4개의 삼각형 중 서로 꼭 맞게 포개어지는 것을 말해 보자.

➋ 위의 ➊로부터 평행사변형의 두 대각선 사이에는 어떤 관계가 있는지 추측해 보자.

직사각형에는 어떤 성질이 있을까?

컴퓨터 모니터의 크기는 대각선의 길이를 이용하여 나타낸다고 한다.

오른쪽 그림에서 컴퓨터 모니터의 크기를 구하기 위해 철수는 선분 AC 의 길이를 재고 영희는 선분 BD 의 길이를 재었다.

➊ 컴퓨터 모니터의 화면은 어떤 모양인가?

➋ 철수와 영희가 잰 길이는 서로 같을까? 그 이유를 토론해 보자.

마름모에는 어떤 성질이 있을까?

다음 순서에 따라 활동을 해 보자.

활동

가. 색종이를 반으로 접고 윗부분에 한 점 A 를 정한다.

나. 점 A 를 중심으로 원을 그려 접은 선과 만나는 두 점을 B , C 라고 한다.

다. 선분 AB 와 AC 를 따라 오려내고 펼친다.

라. 펼친 사각형에 두 대각선을 긋고 접어 두 대각선이 만나 이루는 각의 크기를 살펴 본다.

➊ 활동 다에서 펼친 사각형은 마름모 모양인가? 그 이유를 말해 보자.

➋ 활동 라에서 두 대각선은 서로 수직으로 만나는가? 다른 친구들과 비교해 보자.

5.3. 교수학습 참고자료

자연 속의 이등변삼각형

이등변삼각형 모양은 물고기들에서도 발견된다. 대표적인 물고기는 에인젤피시다. 왼쪽 사진은 프렌치 에인젤피시다. 바다에 사는데 몸 이 자라면서 몸에 있는 선이 점점 짙어져서 선명한 노란색이 된다.

하지만 몸 색깔은 황록색으로 어두워져 산호초의 화려한 색깔 사이 에 몸을 숨긴다. 4개의 줄무늬는 물고기의 테두리선을 흩트려서 포식 동물을 헷갈리게 한다. 에인젤피시는 그림처럼 몸의 너비는 넓은 이 등변삼각형 모양이지만, 두께가 얄팍해서 해조나 산호초 사이를 자유 롭고 빠르게 미끄러져 다닐 수 있다.

오일러 직선

삼각형에는 내심과 외심, 무게중심, 수심, 방심의 오심이 있다. 이 중 수심은 삼각형의 꼭짓점에서 그 대변에 내린 세 수선의 교점이며, 방심은 삼각형의 한 내각과 두 외각의 이등분선의 교점이다.

모든 삼각형에서 외심과 무게중심, 수심은 일직선에 있으며 이 직선을 오일러 직선이라고 한다. 오일러 직선에서 외심 을 O, 무게중심을 G, 수심을 H라 하면 OG  GH    가 항상 성립한다.

나폴레옹의 삼각형

임의의 삼각형 ABC의 각 변에 그 길이를 한 변의 길이로 하는 정삼각형 세 개를 덧그린 후, 각 정삼각형의 중점을 이 어 만들면 정삼각형이 만들어지는데 이를 나폴레옹의 삼각형이라고 한다.

6. 도형의 닮음 6.1. 이론적 배경

지금까지 학생들이 배워 온 기하학은 크기가 변하지 않은 상태에서 합동이 되는 도형 사이의 관계를 알아 보는 내용이었다. 이 단원에서 배우게 될 닮은 도형은 기하학에서 어떤 위치에 있는지 확인하기 위하여 클 라인(Klein, F.;1849~1925)의 기하학 분류를 알아보자.

(1) 클라인의 기하학 분류

1872년 에를랑겐(Erlangen) 대학교에서 클라인은 ‘기하학의 최근 연구에 대한 비교 검토’라는 강연을 했 다. 이 강연의 내용은 당시에 존재했던 모든 기하학을 요약한 것이었으며, 여러 가지 변환군 사이의 포함관 계와 그 아래에서의 불변성에 따라 다양한 기하의 위계적인 분류가 가능하게 되었다.

클라인의 기본적인 아이디어에 의하면 각 기하학은 하나의 변환 군(group of transformation)에 의해 특 징지어질 수 있으며, 그 기하학은 변환 군 아래에서 불변인 것과 관련이 있다는 것이다. 각 변환에 대한 클 라인의 생각은 다음과 같다.

(가) 합동변환

클라인에 의하면 유클리드 기하학은 합동변환에 의하여 불변인 성질을 연구하는 기하학이라고 정의하였 다. 합동변환은 적절한 이동, 회전, 선에 관한 대칭이동 등이며, 이러한 변환에 관하여 불변인 도형의 성질 을 연구하는 분야가 ‘계량적인 유클리드 평면기하학’이라고 하였다.

이 기하학에서는 길이, 넓이, 합동, 중점, 평행성, 수직성, 점들이 같은 선 위에 있기, 선들이 같은 점에서 만나기 등과 같은 성질이 불변이며, 이것이 계량적인 유클리드 평면기하학에서 연구되는 성질들이다.

(나) 닮음변환

유클리드의 평면기하학은 닮은 도형도 다루고 있는데 합동변환은 닮음변환에 포함된다.

닮음변환은 각 점 A를 O A′  ∙ O A 를 만족시키는 점 A'으로 보내는 변환인데, 여기서 O는 어떤 고 정된 점이고 k는 어떤 고정된 양의 상수이며 O, A, A' 등은 같은 선 위에 있는 점이다.

따라서 닮음변환은 아래 그림과 같이 도형을 스크린과 평행으로 놓고 광원 O에서 빛을 비추어 얻어지는 변환과 같다.

이러한 변환에 의하여 길이, 넓이, 합동 등의 성질은 더 이상 불면이 아니며 중점, 평행성, 수직성, 점들 이 같은 선 위에 있기, 선들이 같은 점에서 만나기 등과 같은 성질은 불변이기 때문에 이 기하학의 연구 대상이 된다.

(다) 사영변환

사영기하학은 화강된 평면에서 일반적인 사영 변환을 적용시킬 때 변하지 않는 도형들의 성질에 대한 연

위상변환

아핀변환과 사영변환을 모두 포함하는 변환으로 점의 순서나 연결 구조만이 변하지 않는 변환이다. 이 때 일대일 연속 변환으로 변하지 않는 성질이 연구 대상이다.

구이다. 이 사영변환에 의하면 이미 앞에서 말한 성질 중에서 점들이 같은 선 위에 있기와 선들이 같은 점 에서 만나기의 성질만이 불변이다. 중요한 또 다른 성질은 같은 직선 위에 있는 네 점 A, B, C, D에 대한 교차비 BC

AC

∙ AD

BD 이다.

사영변환은 다음 그림과 같이 한 점 P를 광원으로 하여 도형을 비출 때 나타나는 변환으로 생각할 수 있 다.

사영기하학에서는 임의의 형태의 원뿔곡선은 임의의 다른 형태의 원뿔곡선으로 사영시킬 수 있기 때문에 타원, 포물선, 쌍곡선 등은 서로 다른 곡선으로 연구되지 않는다.

(라) 아핀변환

확장된 평면(무한원선 line at infinity이 첨가된 평면) 위에서 무한원선을 그 자체로 보내고 그 선 위에 있지 않은 어떤 고정된 점을 그 자체로 보내는 모든 사영변환에 대하여 불변인 성질을 연구하는 분야를 아 핀 기하학이라고 한다.

이 사영변환은 그림과 같이 평행 광선에 의한 투영으로 생각할 수 있으며 각의 크기 또는 선분의 길이 등은 변하나 평행인 관계는 변하지 않는다.

이와 같이 모든 기하학은 어떤 변환 군에 대해서 불변인 성질들을 연구하는 분야로 생각할 수 있다. 클 라인의 이러한 분류는 매우 생산적이며 아주 일반적인 정의를 내리게 했다. 또한 기하학적 연구의 새로운 영역을 개척하였으며 기하학에 존재했던 혼동에 아름다운 질서를 제공했다고 할 수 있다.

(2) 클라인 이후의 기하학

클라인의 기하학의 분류 이후에 일대일 연속 변환에 의하여 변하지 않는 성질을 연구하는 기하학이 나타났 다. 흔히 ‘고무막’ 기하학으로 부르기도 하는 ‘위상기하학(topology)’이다. 위상기하학은 다음과 같은 위상변 환에 의하여 변하지 않는 성질을 연구하는 기하학이다.

그런데 20세기에 들어오자 클라인의 분류에 적용할 수 없는 기하학이 나타났다. 이들 기하학은 어떤 변 환 군에 의하여 정의될 수 있거나 또는 정의될 수 없는 중복된 구조를 갖고 있었다.

이처럼 클라인의 원래 목록에 나타나지 않는 기하학을 포함하기 위해서 클라인의 정의를 확장하고 일반 화하려는 노력이 있었는데 20세기에 들어와서 부분적인 성공을 거두었다.

6.2. 교육과정 및 교과서 내용

 도형의 닮음

① 도형의 닮음의 뜻을 안다.

구체적인 예 등을 통하여 도형의 닮음의 뜻을 알게 한다. 두 도형의 닮음을 기호와 문자를 사용하여 나타낼 수 있게 하고, 기호 ∽를 사용할 때는 대응하는 요소를 같은 순서로 나타내면 편리함을 알게 한다.

다음 그림의 오른쪽 사진은 왼쪽 사진을 확대한 것이다.

➊ 위의 그림에서 각각의 선분들의 길이를 재고 _ BC

EF

와 _ AB

DE

의 값을 각각 구해 보자.

➋ ∠ABC 와 ∠D EF 의 크기를 재어 보자.

➌ 위의 그림과 같이 모양은 같지만 크기가 다른 두 도형에서는 어떤 성질이 성립할지 이야기해 보자.

② 닮은 도형의 성질을 이해한다.

평면도형에서 닮은 도형의 성질로 대응하는 변의 길이의 비가 일정함을 알고, 닮은 도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라 함을 알게 한다. 또한, 닮은 도형에서 대응하는 각의 크기가 서로 같음을 이해하게 한다.

입체도형에서는 닮은 도형의 성질로 대응하는 선분의 길이의 비가 일정할 뿐 아니라 대응하는 면이 닮은 도형 임을 이해하게 한다.

③ 삼각형의 닮음조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있다.

두 삼각형이 닮음이 되기 위한 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 닮음인지 판별할 수 있게 한다.

삼각형의 닮음조건과 합동조건을 비교하여 그 공통점과 차이점을 이해하게 하고, 구체적인 예를 들어서 설명 할 수 있게 한다.

빨대를 이용하여 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 빨대를  cm ,  cm ,  cm 길이로 잘라 실로 연결하여 삼각형을 만든다.

나. 빨대를  cm ,  cm ,  cm 길이로 잘라 실로 연결하여 삼각형을 만든다.

다. 활동 가, 나에서 만든 2개의 삼각형을 겹쳐 보아 내각의 크기가 같은지 확인해 본다.

➊ 작은 삼각형의 각각의 내각에 대하여 그것과 크기가 같은 내각을 큰 삼각형에서 찾을 수 있는 가?

➋ 두 삼각형은 닮았다고 할 수 있는가? 닮았다면 닮음비를 말해 보자.

 닮음의 활용

① 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 구할 수 있다.

◦ 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비에 대한 성질을 이해하고, 이를 문제해결에 활용할 수 있 게 한다.

삼각형의 닮음 등을 이용하여 삼각형의 한 변에 평행한 직선에 대한 성질 즉, 삼각형 ABC 의 한 변 BC 에 평행한 직선이 두 변 AB AC (혹은 그 연장선)와 만나는 점을 각각 D E 라 할 때,

AB  AD  AC  AE  BC  D E이고 그 역 또한 성립함을 이해하게 한다. 이를 바탕으로 평행선 사이의 선분의 길이의 비에 대한 성질을 이해하고, 이를 여러 가지 문제해결에 활용할 수 있게 한다.

줄이 있는 공책을 이용하여 다음 활동을 해보자.

활동

가. 오른쪽 그림과 같이 줄 위에 점 A 를 잡고 그 5칸 아래의 줄 위에 두 점 B , C 를 잡는다.

나. 선분 AB , AC 를 긋고 그림과 같이 같은 줄 위에 두 점 D , E 를 잡는다.

➊ 선분 AB 가 공책의 줄에 의해 나누어지는 5개의 선분들은 모두 길이가 같은지 확인해 보자. 마찬가 지로 선분 AC 에 대해서도 알아보자.

➋ 다음 비례식이 각각 성립하는지 확인해 보자.

AD ： AB  AE ： AC , AD ： D B  AE ： EC

◦ 삼각형의 중점연결정리를 이해하게 한다.

삼각형의 닮음 등을 이용하여 삼각형의 중점연결정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있게 한다.

오른쪽 그림에 표시된 세 점 중에서 한 점을 택하여 그 점을 C 라 하고 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 선분 CA 를 그리고 그 중점을 D , 선분 CB 를 그리고 그 중점을 E 로 나타낸다.

나. 선분 D E 를 그린다.

➊ 선분 D E 와 선분 AB 의 길이 사이에 어떤 관계가 있는지 말해 보자.

➋ 선분 D E 와 선분 AB 의 위치 관계를 말해 보자.

➌ 위 ➊, ➋의 결과를 다른 점을 택한 친구들과 비교해 보자.

◦ 삼각형의 무게중심의 뜻과 그 성질을 이해하게 한다.

모든 삼각형에서 세 중선은 한 점에서 만남을 이해하고, 세 중선의 교점을 그 삼각형의 무게중심이라 함을 알게 한다. 이를 바탕으로 삼각형의 무게중심 성질을 이해하게 한다.

두꺼운 종이에 삼각형 ABC 를 그리고 잘라 내어 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 세 변 BC , CA , AB 의 중점을 각각 D , E , F 라고 한다.

나. 선분 AD , BE 를 긋고 그 교점을 G 라고 한다.

다. 선분 CF 를 그린다.

➊ 선분 CF 가 점 G 를 지남을 확인해 보자.

➋ 선분 AD 가 자의 모서리에 일치하도록 삼각형을 자 위에 올려 놓고 삼각형이 평형을 이루는지 관찰해 보자.

➌ 연필 끝으로 점 G 를 받쳐서 삼각형이 평형을 이루는지 관찰해 보자.

② 닮은 도형의 성질을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

◦ 닮음비를 이용하여 닮은 도형의 넓이와 부피를 구할 수 있게 한다.

닮은 도형에서 닮음비, 넓이의 비, 부피의 비 사이의 관계를 이해하고, 이를 활용하여 닮은 도형의 넓이와 부피를 구할 수 있게 한다.

아래 그림의 삼각형 ABC 와 모눈을 이용하여 다음 활동을 해 보자.

활동

가. 삼각형 ABC 를 2배로 확대하여 삼각형 D EF 를 그려 보자.

나. 삼각형 ABC 를 3배로 확대하여 삼각형 G HI를 그려 보자.

➊ 모눈 한 개의 간격을  cm 라고 할 때, 삼각형 ABC 의 넓이를 구해 보자.

➋ 삼각형 D EF 의 넓이를 구해 보자. 삼각형 ABC 의 넓이의 몇 배인가?

➌ 삼각형 G HI의 넓이를 구해 보자. 삼각형 ABC 의 넓이의 몇 배인가?

아래의 각 그림은 쌓기 나무를 쌓아서 만든 정육면체이다.

➊ 세 정육면체의 모서리의 길이의 비를 구해 보자.

➋ 세 정육면체의 부피의 비를 구해 보자.

◦ 축도를 이용하여 높이, 거리 등을 간접적으로 측정할 수 있게 한다.

닮음을 이용하여 축도를 그릴 수 있게 하고, 그로부터 높이, 거리 등을 간접적으로 측정할 수 있게 한다.

두 지점 A, B 사이의 거리는  m 임을 알고 있다. 강 건너에 있는 C지점 과의 거리를 알아내기 위해 ∠ABC와

∠BAC의 크기를 측정하였더니 각각 °, °였다. 이 때, 두 지점 A와 C 사이의 실제 거리를 구하여라.

풀이

실제 거리를 _



 로 축소한 그림을 그려서 ^AC의 길이를

측정해 보면 약  cm임을 알 수 있다. 따라서 실제의 두 지 점 _A와 _C 사이의 거리는

 ×    cm  즉, 약 _{ m}이다.

6.3. 교수학습 참고자료

걸리버 여행기

‘걸리버 여행기’는 영국 작가 조나단 스위프트(Jonathan`Swift ; 1667~1745)가 1726년에 쓴 풍자소설이다. 주인공 걸리버는 소인국과 거인국에서 여러 가지 모험을 하게 된다.

걸리버가 도착한 소인국의 리리파트인들은 걸리버의 

 배이다. 당시 영국에서 썼던 단위가 12진법이기 때문에 걸리버의 키가 소인국 사람 의 12배라는 설정을 한 것이다. 소설 속 내용을 표로 정리하면 다음과 같다.

키 옷(넓이 관련) 재단사(하루에 2벌) 음식(부피 관련) 요리사(한 번에 6인분) 걸리버 12배 ^    ×  약300명 ^  

약300명

작가 스위프트는 수학에 많은 관심이 있었기 때문에 소설 속에 나오는 여러 수치는 정확한 계산을 통해 산 출한 것이라고 한다.

코끼리가 개미보다 큰 이유

지구상의 여러 동물 중에는 몸체가 작은 개미에서부터 몸체가 큰 코끼리까지 몸의 크기가 다양하다. 그러 나 개미와 코끼리에서 각각 한 개의 세포를 떼어내 크기를 측정해 보면, 두 세포의 크기의 비는 큰 차이가 없다. 그렇다면 코끼리는 왜 개미보다 몸체가 큰 것일까? 세포의 크기를 구형이라고 하면, 다음 표와 같은 관계를 알 수 있다.

세포의 크기

반지름()    

표면적()  × ^  × ^  × ^  × ^ 부피() 

 × ^ 

 × ^ 

 × ^ 

 × ^

표면적()/부피()  

  



위의 표에서 볼 수 있듯이, 반지름이 2배가 되면 표면적은 ^배로 증가하고 부피는 ^배로 증가한다. 즉, 세포의 부피는 표면적보다 더 빠르게 증가하기 때문에 단위부피당 표면적의 비는 줄어들게 된다.

생물이 생명을 유지하기 위해서는 각 세포에서 필요한 물질을 흡수하고 노폐물을 내보내야 한다. 이러한 물질 교환 과정은 세포의 표면을 통해서 이루어진다. 반면, 생물이 필요한 물질 교환량은 세포의 부피에 비 례하지만 세포의 표면적은 부피에 비하여 비례하여 증가하지 못하므로, 물질 교환이 충분이 일어나지 못하 게 되어 생물의 성장과 유지에 큰 제약을 초래하게 된다.

그래서 생물이 고안한 부피-표면적 불비례 해결 방법은 바로 세포 분열을 하여 작은 세포로 나누는 것이 다. 몸체가 큰 생물은 세포의 크기가 커서 몸체가 큰 것이 아니라 작은 생물체보다 더 많은 수의 세포를 가지고 있기 때문이다.

<출처 : http://www.donga.com/fbin/output?n=200604110167>

축도

축도란 대상이나 그림을 일정한 비율로 줄여서 원형보다 작게 그린 그림을 뜻한다.

따라서 축도로 나타냈을 때 그림은 단순화되는 경향이 있다.

축도의 대표적인 실생활 예는 지도이다.

요즘 스마트폰과 네비게이션 및 인터넷 검색에서 사용되는 축도는 수학에서 말하는 닮음의 예는 아니다.

작게 그린 그림에서 생략되는 부분이 있기 때문이다.

그렇지만 스마트폰과 네비게이션 및 인터넷 검색을 통해 빠른 길찾기가 가능해졌으며 명절에는 차가 밀리 지 않는 국도를 이용하는 젋은 세대들이 늘어났다.