삼각비와 삼각비의 값

Ⅲ ^삼각비

채점기준표

&

모범답안

교과서 기본예제 1

⑴ sin A=;1!3@;, cos A=;1°3;, tan A= 125

⑵ sin A=;2!;, cos A= '3

2 , tan A='3 3 교과서 기본예제 2

⑴ '¶21

5 ⑵ ;4#; 

유사문제

⑴ 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹('2)Û`+1Û`='3 cm

∴ '3 (cm)

⑵ sin C=ABÓ BCÓ= '2

'3= '63 , cos C=ACÓ

BCÓ= 1

'3= '33 , tan C=ABÓ

ACÓ= '21 ='2 ∴ sin C= '6

3 , cos C='3

3 , tan C='2

삼각비와 삼각비의 값

24

출제유형 다지기

p. 124

특별하게 연습하기

p. 126

⑴ 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã3Û`+1Û`='¶10 cm

∴ '¶10 (cm)

⑵ sin A=BCÓ

ABÓ= 3'¶10= 310 '¶10 cos A=ACÓ

ABÓ= 1

'¶10= '¶1010 tan A=BCÓ

ACÓ= 31 =3 ∴ sin A= 3

10 '¶10, cos A='¶10

10 , tan A=3

01

직각삼각형 ABC는 빗변이 ABÓ, 밑변이 ACÓ, 높이가 BCÓ이다.

tan A= BCÓ

ACÓ=;3!;이므로 BCÓ : ACÓ : ABÓ=1 : 3 : '¶10이다.

이때 ABÓ=10 cm이므로 ACÓ=3'¶10 cm, BCÓ='¶10 cm

∴ ACÓ=3'¶10 (cm), BCÓ='¶10 (cm)

02

1

Step 조건확인

∠B=90ù인 직각삼각형 ABC, tan A=2 2

Step 서술순서

ABÓ : BCÓ : ACÓ를 구한다.

sin A, cos A의 값을 각각 구한다.

sin A+cos A의 값을 구한다.

03

3

Step 서술하기

직각삼각형 ABC는 빗변이 ACÓ, 밑변이 ABÓ, 높이가 BCÓ이다.

tan A= BCÓ

ABÓ=2이므로 ABÓ : BCÓ : ACÓ=1 : 2 : '5이다.

이때 sin A=BCÓ ACÓ= 2

'5= 2'55 , cos A= ABÓ

ACÓ= 1

'5= '55 이므로 sin A+cos A= 35 '5

∴ 3 5 '5 모범답안

4

Step 검토하기

ABÓ : BCÓ : ACÓ를 바르게 구하였는가?

sin A, cos A의 값을 각각 바르게 구하였는가?

sin A+cos A의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각비의 세 변의 길이의 비를 구하고, 삼각비의 값을 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B ABÓ : BCÓ : ACÓ를 바르게 구한 경우 1 C sin A, cos A의 값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 D sin A+cos A의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

∠A=90ù인 직각삼각형 ABC, 삼각비 2

Step 서술순서

⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다.

⑵ ∠C=∠x, ∠B=∠y임을 제시한다.

⑵ sin x, cos y의 값을 각각 구한다.

⑵ sin x+cos y의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

⑴ 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã3Û`+4Û`='¶25=5 cm

∴ 5 (cm)

⑵ ∠C=∠BAH=∠x, ∠B=∠CAH=∠y이므로 sin x=sin C=ABÓ

BCÓ= 35 , cos y=cos B=ABÓ BCÓ= 35 이때 sin x+cos y= 65

∴ 6 5 모범답안

교과서 기본예제 1

⑴ '3 ⑵ '3

6 ⑶ '2

4 ⑷ '2 2 교과서 기본예제 2

⑴ x=3'2, y=6 ⑵ x=6'3, y=12'3

유사문제

sin 60ù= '32 , tan 30ù= '3

3 , cos 45ù= '2 2 이므로 주어진 식은

2_ '32 +3_ '33 Ö '22 ='3+'3_'2='3+'6

∴ '3+'6

특수각의 삼각비의 값

25

출제유형 다지기

p. 128

특별하게 연습하기

p. 130

 삼각비        A  0ù 30ù 45ù 60ù 90ù

sin A 0 ;2!; '2

2 '3

2 1

cos A 1 '3

2 '2

2 ;2!; 0

tan A 0 '3

3 1 '3

01

⑴ sin 45ù=AHÓ

ACÓ= AHÓ10'2= '22 이므로 2AHÓ=20, AHÓ=10 cm

∴ 10 (cm)

⑵ sin 60ù=AHÓ ABÓ= 10

ABÓ= '32 이므로 '3 ABÓ=20, ABÓ= 203 '3 cm

∴ 20 3 '3 (cm)

02

1

Step 조건확인

특수각의 삼각비, 변의 길이 2

Step 서술순서

⑴ cos 45ù의 값을 이용하여 BDÓ의 길이를 구한다.

⑵ cos 60ù의 값을 이용하여 CDÓ의 길이를 구한다.

⑶ tan 60ù의 값을 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다.

03

3

Step 서술하기

⑴ cos 45ù=ABÓ BDÓ= 5

BDÓ= '22 이므로 '2 BDÓ=10, BDÓ=5'2 cm

∴ 5'2 (cm)

⑵ cos 60ù=CDÓ BDÓ= CDÓ

5'2=;2!;이므로 2CDÓ=5'2, CDÓ=;2%;'2 cm

∴ ;2%;'2 (cm)

⑶ tan 60ù=BCÓ

CDÓ=BCÓÖ;2%;'2='3이므로 BCÓ='3_;2%;'2=;2%;'6 cm

∴ ;2%;'6 (cm) 모범답안

4

Step 검토하기

⑴ cos 45ù의 값을 이용하여 BDÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑵ cos 60ù의 값을 이용하여 CDÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑶ tan 60ù의 값을 이용하여 BCÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 특수각의 삼각비의 값을 이용하여 변의 길이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ cos 45ù의 값을 이용하여 BDÓ의 길이를 바르게 구한 경

우 (과정) 2

C ⑵ cos 60ù의 값을 이용하여 CDÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2

D ⑶ tan 60ù의 값을 이용하여 BCÓ의 길이를 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

4

Step 검토하기

⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ의 길이를 바르게 구하였는 가?

⑵ ∠C=∠x, ∠B=∠y임을 바르게 제시하였는가?

⑵ sin x, cos y의 값을 각각 바르게 구하였는가?

⑵ sin x+cos y의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 크기가 같은 각을 찾고, 삼각비의 값을 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ의 길이를 바르게 구한

경우 1

C ⑵ ∠C=∠x, ∠B=∠y임을 바르게 제시한 경우 1 D ⑵  sin x, cos y의 값을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 E ⑵  sin x+cos y의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

4

Step 검토하기

⑴ 주어진 특수각의 삼각비의 값을 각각 바르게 구하였는가?

⑴ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 바르게 구하였는가?

⑵ 주어진 특수각의 삼각비의 값을 각각 바르게 구하였는가?

⑵ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 특수각의 삼각비의 값을 구하고, 이를 대입하여 식의 값을

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ 주어진 삼각비의 값을 각각 바르게 구한 경우 2 C ⑴ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 바르게 구한 경우 1 D ⑵ 주어진 삼각비의 값을 각각 바르게 구한 경우 2 E ⑵ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

⑴ 0.83 ⑵ 0.56 ⑶ 1.48

예각에 대한 삼각비의 값과 대소 관계

26

출제유형 다지기

p. 132

특별하게 연습하기

p. 134

⑴ △OAB에서 sin x=ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ ∴ ABÓ

⑵ △OAB에서 cos x=OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ ∴ OBÓ

⑶ ∠ODC=∠OAB=∠y이므로 △OAB에서 cos y=ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ ∴ ABÓ

01

옳지 않게 설명한 학생은 서희, 서연, 태민이다.

서희 : sin 55ù=ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.82 서연 : cos 55ù=OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ=0.57

태민 : ∠AOB의 사인의 값은 ABÓ이고, ∠AOB의 크기가 커질 수록 ABÓ의 길이는 길어지므로 사인의 값은 커진다.

02

1

Step 조건확인

0ù<x<90ù, cos 60ù, tan 30ù, 등식 2

Step 서술순서

cos 60ù, tan 30ù의 값을 구하고, 주어진 식에 대입한다.

sin x의 값을 구하고, x의 값을 구한다.

03

3

Step 서술하기

cos 60ù=;2!;, tan 30ù= '33 이므로 sin x_{;2!;}2`_ '33 = 18, sin x_ '312= 18, sin x= 18_ 12

'3= '32 이때 0ù<x<90ù이므로 x=60ù

∴ 60ù 모범답안

1

Step 조건확인

특수각의 삼각비의 값, 식의 값 2

Step 서술순서

⑴ 주어진 특수각의 삼각비의 값을 각각 구한다.

⑴ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 구한다.

⑵ 주어진 특수각의 삼각비의 값을 각각 구한다.

⑵ 주어진 식에 대입하여 식의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

⑴ cos 30ù= '3

2 , sin 60ù='3

2 , tan 45ù=1, sin 90ù=1이므로 주어진 식은 '3

2 _'3

2 -1_1=3

4 -1=-1 4 ∴ -1

4

⑵ cos 60ù=;2!;, sin 90ù=1, tan 0ù=0,

cos 45ù=sin 45ù= '22 , tan 60ù='3이므로 주어진 식은

;2!;_(1-0)+ '22 _ '22 + 2

'3_'3=;2!;+ 12+2=3 ∴ 3

모범답안

유사문제

⑴ △ABC에서 sin x=BCÓ

ACÓ= BCÓ1 =BCÓ ∴ BCÓ 

⑵ △ABC에서 cos x=ABÓ

ACÓ= ABÓ1 =ABÓ ∴ ABÓ 

⑶ △ADE에서 tan x=DEÓ

ADÓ= DEÓ1 =DEÓ ∴ tan x

4

Step 검토하기

cos 60ù, tan 30ù의 값을 구하고, 주어진 식에 바르게 대입하였 는가?

sin x의 값을 구하고, x의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각비를 포함한 등식을 만족하는 x의 값을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B cos 60ù, tan 30ù의 값을 구하고, 주어진 식에 바르게 대입

한 경우 (과정) 2

C sin x의 값을 구하고, x의 값을 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

1

Step 조건확인

45ù<x<90ù, 삼각비의 값의 대소 관계, 제곱근의 성질 2

Step 서술순서

sin x, cos x, tan x의 값의 대소 관계를 제시한다.

제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

식의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

45ù<x<90ù일 때, cos x<sin x<tan x이므로 cos x-tan x<0, tan x-sin x>0, cos x-sin x<0 이때

"Ã(cos x-tan x)Û`-"Ã(tan x-sin x)Û`-"Ã(cos x-sin x)Û`

=- (cos x-tan x)-(tan x-sin x)+ (cos x-sin x)

=-cos x+tan x-tan x+sin x+cos x-sin x

=0

∴ 0 모범답안

4

Step 검토하기

sin x, cos x, tan x의 값의 대소 관계를 바르게 제시하였는가?

제곱근의 성질을 이용하여 식을 바르게 간단히 하였는가?

식의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A sin x, cos x, tan x의 값의 대소 관계를 이용하여 식의 값

을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B sin x, cos x, tan x의 값의 대소 관계를 바르게 제시한 경우 1 C 제곱근의 성질을 이용하여 식을 바르게 간단히 한 경우 1

D 식의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1 '63

교과서 기본예제 2 '2-1

유사문제

꼭짓점 A에서 밑면인 △BCD에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 △BCD의 무게중심이다.

AEÓ=DEÓ= '32 _2='3 cm, EHÓ=;3!;DEÓ= '33 cm, AHÓ=¾¨('3)Û`-{ '33 }2`= 23 '6 cm

이때 sin x=AHÓ

AEÓ= 23 '6Ö'3=2 3 '6_ 1

'3= 23 '2

∴ 2 3 '2

도형에서 삼각비의 값 구하기

27

출제유형 다지기

p. 136

특별하게 연습하기

p. 138

⑴ sin 64ù=ACÓ

ABÓ= x10 =0.8988이므로 x=8.988

∴ 8.988

⑵ cos 64ù=BCÓ

ABÓ= y10 =0.4384이므로 y=4.384

∴ 4.384

01

ACÓ=4'2 cm이므로 AHÓ=2'2 cm이다.

△OAH에서 피타고라스 정리에 의하여 OHÓ=¿¹4Û`-(2'2)Û`='8=2'2 cm 이때 sin x=OHÓ

OÕAÓ= 2'24 ='2

2 , tan x=OHÓ AHÓ= 2'2

2'2=1이므로 sin x+tan x= '22 +1= 2+'22

∴ 2+'2 2

02

1

Step 조건확인

직각삼각형, ∠DAB의 크기, tan 15ù 2

Step 서술순서

⑴ ∠DAB의 크기를 구한다.

⑵ ABÓ, BCÓ의 길이를 각각 구한다.

⑵ DCÓ의 길이를 구한다.

⑶ tan 15ù의 값을 구한다.

03

1

Step 조건확인

직각삼각형, BDÓ=CDÓ=8 cm, sin x=;3@;

2

Step 서술순서

⑴ sin x의 값을 이용하여 AEÓ의 길이를 구한다.

⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 CEÓ의 길이를 구한다.

⑵ tan y의 값을 구한다.

04

3

Step 서술하기

⑴ △ABD에서 sin x=BDÓ ADÓ= 8

ADÓ=;3@;이므로 ADÓ=12 cm ∠DCE=90ù-∠CDE=90ù-∠ADB=∠x이므로 △CDE에서 sin x=DEÓ

CDÓ= DEÓ8 =;3@;이므로 DEÓ=16 3 cm 이때 AEÓ=ADÓ+DEÓ=12+16

3 =52 3  cm △CDE에서 피타고라스 정리에 의하여

CEÓ=¾¨8Û`-{ 163 }2`= 83 '5 cm ∴ AEÓ=52

3 (cm), CEÓ=8 3 '5 (cm) 모범답안

4

Step 검토하기

⑴ sin x의 값을 이용하여 AEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑵ tan y의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구하고, tan 의 값을 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ sin x의 값을 이용하여 AEÓ의 길이를 바르게 구한 경우

(과정) 2

C ⑴ 피타고라스 정리를 이용하여 CEÓ의 길이를 바르게 구한

경우 (과정) 2

D ⑵ tan y의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

자신있게 쫑내기

p. 140

01

^{tan B= ACÓ}_BCÓ^{= 3}4 이므로 ACÓ : BCÓ : ABÓ=3 : 4 : 5이다.

이때 cos B=BCÓ ABÓ= 45

∴ 4 5 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 세 변의 길이의 비를 구하여 삼각비의 값을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B ACÓ : BCÓ : ABÓ를 바르게 제시한 경우 1

C cos B의 값을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 D 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13 cm 이때 ∠B=∠CAH=∠y, ∠C=∠BAH=∠x이므로 sin x=sin C= ABÓ

BCÓ= 513, cos y=cos B= ABÓ BCÓ= 513 즉, sin x+cos y= 1013

∴ 10 13 채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 직각삼각형에서 크기가 같은 각을 찾고, 삼각비의 값을 구할

수 있다. 1

문제해결 과정

B BCÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

C ∠B=∠y, ∠C=∠x임을 바르게 제시한 경우 1 D sin x, cos y의 값을 각각 바르게 구한 경우 1 E sin x+cos y의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

02

4

Step 검토하기

⑴ ∠DAB의 크기를 바르게 구하였는가?

⑵ ABÓ, BCÓ의 길이를 각각 바르게 구하였는가?

⑵ DCÓ의 길이를 바르게 구하였는가?

⑶ tan 15ù의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 삼각비의 값을 이용하여 변의 길이를 구하고, tan 의 값을

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B ⑴ ∠DAB의 크기를 바르게 구한 경우 1 C ⑵ ABÓ, BCÓ의 길이를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2

D ⑵ DCÓ의 길이를 바르게 구한 경우 1

E ⑶ tan 15ù의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

3

Step 서술하기

⑴ ∠DAB=∠ADB=∠x로 놓으면 2∠x=30ù, ∠x=15ù

∴ 15ù

⑵ sin 30ù=ACÓ ABÓ= 5

ABÓ=;2!;이므로 ABÓ=10 cm tan 30ù=ACÓ

BCÓ= 5

BCÓ= '33 이므로 BCÓ=5'3 cm 이때 DCÓ=DBÓ+BCÓ=ABÓ+BCÓ=(10+5'3) cm

∴ 10+5'3 (cm)

⑶ tan 15ù=ACÓ DCÓ= 5

10+5'3= 1

2+'3=2-'3

∴ 2-'3 모범답안

⑵ tan y=CEÓ

AEÓ= 83 '5Ö52 3 =8

3 '5_3 52 =2

13 '5 ∴ 2

13 '5

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