VII . 삼각비

(1)

수 학

VII ^{. 삼각비}

1. 삼각비

│4쪽│

01⑴ BC”, ;5$; ⑵ AB”, ;5#; ⑶ AB”, ;3$;

02⑴ 60, ;2!; ⑵ 45, ⑶ 30, ⑷ 30,

03⑴ 90, 0 ⑵ 0, 1

'3 3 '3

2 '2

2

│5쪽│

01⑴ sin A=;1∞3;, cos A=;1!3@;, tan A=;1∞2;

⑵ sin C=;1!3@;, cos C=;1∞3;, tan C=:¡5™:

02⑴ '3 ⑵ sin C=;2!;, cos C= , tan C=

03⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ ;2#; ⑷ '3

04⑴ x=2'2, y=2 ⑵ x=2'3, y=2

05⑴ AB”, AB”, 0.74 ⑵ OB”, OB”, 0.67 ⑶ CD”, CD”, 1.11

06⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1

07⑴ 0.6157 ⑵ 0.7547 ⑶ 0.8391

08⑴ 40˘ ⑵ 39˘ ⑶ 37˘

'3 3 '3

2

06

⑴ (주어진 식)=0+0=0

⑵ (주어진 식)=1-0=1

⑶ (주어진 식)=1_1+0_0=1

08

⑴ sin 40˘=0.6428이므로 x=40˘

⑵ cos 39˘=0.7771이므로 x=39˘

⑶ tan 37˘=0.7536이므로 x=37˘

02

⑴ BC”="√2¤ -1¤ ='3

대표 유형01 BC”="√3¤ -2¤ ='5

① sin A= ② cos A=;3@; ④ sin B=;3@;

⑤ tan B= =2'5 5 2 '5 '5 3

01-

BC”="√3¤ +('7 )¤ =4이므로 cos B=;4#;

03

⑴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1

⑵ (주어진 식)= - =0

⑶ (주어진 식)= _'3=;2#;

⑷ (주어진 식)=1÷'3='3 3 '3

2 '2

2

04

⑴ cos 45˘=;[@;= 이므로 x=2'2 tan 45˘=;2};=1이므로 y=2

⑵ sin 60˘=;4{;= 이므로 x=2'3 cos 60˘=;4};=;2!;이므로 y=2

'3 2 '2

2

│6~11쪽│

대표 유형01③ 01- ② 01- _;1•5; 01- 01- ① 01-

대표 유형022'5 cm 02- ④ 02- ⑤

02-

대표 유형03;3!; 03- sin A= , tan A=

03- 03- ②

03- ②

대표 유형04;1∞3; 04- _;1@7#; 04- _;5&; 04- ⑤ 대표 유형05① 05- ③ 05- ① 05- _;4&;

05- 5

대표 유형06③ 06- 15˘ 06- ④ 06- ③ 대표 유형07④ 07- _6('3+2) 07- ④

07- ③

대표 유형08④ 08- ⑤ 08- 2.0017 대표 유형09 ^-1 09- ⑤ 09- ④ 대표 유형

10

⑤

10-

지윤

10-

③

대표 유형

11

^30˘

11-

0.7769

11-

1.3894

012'2 02 '2 03④ 5

'2 2

9'∂41 41

'7 3 '7

4 '∂21

5

'6 3

'5 5

│실수하기쉬운 문제│

01-

△CDB에서 BC”="√10¤ -6¤ =8

△ABC에서 AB”="√17¤ -8¤ =15

∴ tan A=;1•5;

01-

BC”=2a, AC”=a라고 하면 AB”="√(2a)¤ +a¤ ='5a

∴ sin B= = '5 5 a '5a

01-

4x-3y+12=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면 A(-3, 0), B(0, 4)

직각삼각형 AOB에서 AO”=3, BO”=4이므로 AB”="√3¤ +4¤ =5

따라서 sin a=;5$;, cosa=;5#;이므로 sin a-cos a=;5$;-;5#;=;5!;

수학

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(2)

01-

△AEG에서 ∠AEG=90˘이고 EG”=2'2 cm, AG”=2'3 cm이므로 cos x= = '6

3 2'2 2'3

대표 유형02 ^{sin B=} =;3@;에서 AC”=4(cm)

∴ BC”="√6¤ -4¤ =2'5(cm) AC”

6

02-

tan B= =;4#;에서 BC”=12

∴ AB”="√12¤ +9¤ =15 9

BC”

02-

^{sin A=} ⁼ 에서 BC”=4'3(cm) AC”=øπ8¤ -(4'3)¤ =4(cm)이므로

△ABC=;2!;_4'3_4=8'3(cm¤ ) '3

2 BC”

8

02-

cos C= =;5@;에서 AC”=10 AB”="√10¤ -4¤ =2'∂21이므로 cos A= = '∂21

5 2'∂21

10 4 AC”

대표 유형03 sin A=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC 에서 AB”="√3¤ -1¤ =2'2

∴ cosA_tanA= _ =;3!;

1 2'2 2'2

3

A B

C 3

1

03 -

cos A=;4#;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

BC”="√4¤ -3¤ ='7

∴ sin A= , tan A= '7 3 '7

4

C

A B

3 4

03-

tan B=;4%;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

AB”="√4¤ +5¤ ='4å1

∴ sinB+cosB= +

∴ sinB+cosB=9'4å1 41

4 '4å1 5 '4å1

A

B 4 C

5

03-

6 cos A-4=0에서 cos A=;3@;

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

BC”="√3¤ -2¤ ='5

∴ sin A_tan A= _'5=;6%;

2 '5

3

A B

C

2 3

03-

tan A=2이므로 오른쪽 그림과 같은 직각 삼각형 ABC에서 AC”="√1¤ +2¤ ='5

∴

∴={ + }÷{ - }

∴= ÷ 1 =3 '5 3 '5

1 '5 2 '5 1 '5 2 '5 sin A+cos A sin A-cos A

A B

C

2

1

대표 유형04 △ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠C=x

△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13이므로 cos x=cos C=;1∞3;

04-

△ABCª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠C=x

△ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠B=y

△ABC에서 BC”="√8¤ +15¤ =17

∴ cos x+cos y=cos C+cos B

∴ cos x+cos y=;1!7%;+;1•7;=;1@7#;

04 -

△ABCª△EBD(AA 닮음)이므로 ∠A=∠BED

△BED에서 BD”="√5¤ -3¤ =4

∴ sin A+cos A=sin(∠BED)+cos(∠BED)

∴ sin A+cos A=;5$;+;5#;=;5&;

04-

△ABCª△CBDª△ACD(AA 닮음)이므로

∠BAC=∠BCD

∴ cos A= = =AD”

AC”

CD”

BC”

AC”

AB”

대표 유형05 (주어진 식)='3_;2!;- _1= -'3=0 2 '3

2 '3

2

05-

① (주어진 식)= +;2!;=

② (주어진 식)= + =

③ (주어진 식)='3- =

④ (주어진 식)=;2!;_ =

⑤ (주어진 식)= ÷'2=1 2 '2

2

'3 4 '3

2 '3

2

5'3 6 '3

3 '3

2

'3+1 2 '3

2

05-

(주어진 식)='2_'2-'3÷{;2!;+;2!;}=1-'3 2

05-

(주어진 식)={1+;2!;+ } {1- +;2!;}

(주어진 식)={;2#;+ } {;2#;-'2}=;4(;-;4@;=;4&;

2 '2

2

'2 2 '2

2

05 -

cos 60˘=;2!;이므로 x=;2!;을 2x¤ +ax-3=0에 대입 하면 ;2!;+;2A;-3=0, 1+a-6=0 ∴ a=5 대표 유형06 tan 45˘=1이므로 x+15˘=45˘ ∴ x=30˘

∴ sin x+cos x=sin 30˘+cos 30˘

∴ sin x+cos x=;2!;+ =1+'3 2 '3

2

06-

^{cos 45˘=} 이므로 2x+15˘=45˘

2x=30˘ ∴ x=15˘

'2 2

06 -

cos 30˘= 이므로 sin 3x=

이때 sin 60˘='3이므로 3x=60˘ ∴ x=20˘

2

'3 2 '3

2

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(3)

수 학 06-

4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0 ∴ x=;2!;(중근)

즉, cos A=;2!;이므로 A=60˘

∴ sin A=sin 60˘= '3 2

대표 유형07 △ABC에서 tan60˘= ='3

∴ BC”=3'2

△BCD에서 sin45˘= ='2 ∴ BD”=6 2

3'2 BD”

BC”

'6

07-

tan 60˘=;6{;='3이므로 x=6'3 cos 60˘=;]^;=;2!;이므로 y=12

∴ x+y=6'3+12=6('3+2)

07-

△ABD에서 sin 30˘= =;2!; ∴ AD”=6(cm)

△ADC에서 sin 45˘= =

∴ AC”=6'2(cm)

'2 2 6 AC”

AD”

12

07-

△ABC에서 tan 30˘= = ∴ BC”=6

△ADC에서 tan 45˘= =1 ∴ DC”=2'3

∴ BD”=BC”-DC”=6-2'3=2(3-'3) 2'3

DC”

'3 3 2'3 BC”

대표 유형08 ① sin x= = =AB”

② sin z=sin y= = =OB”

③ cos x= = =OB”

⑤ tan x= =CD”=CD”

1 CD”

OD”

OB”

1 OB”

OA”

OB”

1 OB”

OA”

AB”

1 AB”

OA”

08-

^{tan x=}^DE”⁼^DE”₁ ^=DE”

AD”

08 -

sin 35˘= = =OB”=0.5736

tan 55˘= = =CD”=1.4281

∴ sin 35˘+tan 55˘=0.5736+1.4281=2.0017 CD”

1 CD”

OD”

OB”

1 OB”

OA”

대표 유형09 (주어진 식)=1_ +0-1_1='2-1 2 '2

2

09-

⑤ sin 90˘=1이고 tan 90˘의 값은 정할 수 없으므로 sin 90˘+tan 90˘

09-

① (주어진 식)=0+1=1

② (주어진 식)=1-'3_ =1-1=0

③ (주어진 식)=1_1+ ÷ =1+1=2

④ (주어진 식)=0_ - _0=0

⑤ (주어진 식)=(1-0)_(1+1)=1_2=2 '2

2 '2

2

'3 2 '3

2 '3

3

대표 유형

10

① cos 0˘=1>0 ② cos 10˘>cos 50˘

③ tan 44˘<tan 88˘ ④ sin 45˘=cos 45˘

10-

유리 : cos 0˘=1

선호 : sin 25˘<sin 90˘=1 지윤 : tan 50˘>tan 45˘=1 린아 : cos 75˘<cos 0˘=1 규현 : sin 90˘=1

따라서 카드에 적힌 삼각비의 값이 가장 큰 학생은 지윤 이다.

10-

③ 45˘<A<90˘일 때, cos A<sin A 대표 유형

11

sin 14˘=0.2419이므로 x=14˘

tan 16˘=0.2867이므로 y=16˘

∴ x+y=14˘+16˘=30˘

11 -

sin 33˘+cos 31˘-tan 32˘

=0.5446+0.8572-0.6249

=0.7769

11-

cos 46˘= 이므로

BC”=2 cos 46˘=2_0.6947=1.3894 BC”

2

01

정삼각형 BCD에서 DM”= _6=3'3(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

△BCD에 내린 수선의 발을 H라 고 하면

AH”= _6=2'6(cm) MH”=;3!; DM”

MH”=;3!;_3'3='3(cm)

따라서 △AMH에서 tan a=2'6=2'2 '3 '6

3

A

B 6 cm

a D

C

M H

'3 2

02

△ADC에서 sin x= =;3!;

∴ AD”=6, AC”="√6¤ -2¤ =4'2

△ADCª△BDE(AA 닮음)이므로 6: 2=4'2 : BE”에서 BE”=

6 : 2=2 : DE”에서 DE”=;3@;

따라서 △ABE에서

tan y= = ÷{6+;3@;}

tan y= _;2£0;='2 5 4'2

3 4'2

3 BE”

AE”

4'2 3 2 AD”

03

45˘<x<90˘일 때, cos x<sin x이므로 sin x-cos x>0, cos x-sin x<0

∴ øπ(sin x-cos x)¤ +øπ(cos x-sin x)¤

=sin x-cos x+{-(cos x-sin x)}

=sin x-cos x-cos x+sin x

=2 sin x-2 cos x

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(4)

│12~13쪽│

01 ^④ 02;1!3@; 03 04^③ 05^④

06;5$; 07⑤ 08¹ 09①

10

2'6

11 12

^1.52

13

③

14

③

15

^{③, ⑤}

16

^④

75'3 2

4'∂34 17

➊회

│14~15쪽│

01 ② 02③ 03③ 04⑤ 05;1!7%; 06③

07⑤ 08④ 09③

10

6'3 cm

11

④

12

④

13

㉣, ㉤, ㉡, ㉢, ㉠

14

⑤

15

④

16

^63˘

➋회

01

BC”="√17¤ -8¤ =15

④ sin C=;1•7;

02

CD”=AB”=12이므로 직각삼각형 DBC에서 BD”=ø∑5¤ +12¤ =13

∴ cosx_tanx=;1∞3;_:¡5™:=;1!3@;

03

△BFH에서 ∠BFH=90˘이고

FH”="√4¤ +3¤ =5, BH”="√4¤ +3¤ +3¤ ='∂34이므로 sin x= = , cos x= =

∴ sin x+cos x= + =4'∂34 17 5'∂34

34 3'∂34

34

5'∂34 34 5 '∂34 3'∂34

34 3 '∂34

04

^{tan B=} =;3@;에서 BC”=12

∴ AB”="√12¤ +8¤ =4'∂13 8

BC”

05

^{cos A=} 이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

BC”="√3¤ -('5)¤ =2

∴ 15 sin A_tan A=15_;3@;_

∴ 15 sin A_tan A=4'5

2'5 5

A B

C

5 3 '5

3

06

△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로 ∠B=x

△ABC에서 AC”="√10¤ -6¤ =8이므로 sin x=sin B=;1•0;=;5$;

07

^{① (주어진 식)=} ⁺ ='2

② (주어진 식)= - =0

③ (주어진 식)= _'3=1

④ (주어진 식)=;2!;_'3=

⑤ (주어진 식)=1÷;2!;=2 '3

2 '3

3 '3

2 '3

2 '2

2

08

^x=180˘_ ^=30˘

∴ sinx+cosx_tanx=sin30˘+cos30˘_tan30˘

∴ sinx+cosx_tanx=;2!;+ _

∴ sinx+cosx_tanx=1

'3 3 '3

2 1

1+2+3

09

cos 60˘=;2!;이므로 sin(x-15˘)=;2!;

이때 sin 30˘=;2!;이므로 x-15˘=30˘ ∴ x=45˘

∴ sin x-cos x=sin 45˘-cos 45˘= -'2=0 2 '2

2

10

△DBC에서 tan 30˘= = ∴ BC”=4'3

△ABC에서 sin 45˘= ='2 ∴ AB”=2'6 2

AB”

4'3 '3

3 4 BC”

11

△ ADC에서 ∠ACD=60˘-30˘=30˘

즉, ∠CAD=∠ACD이므로 CD”=AD”=10

△CDB에서 sin 60˘= = ∴ BC”=5'3

cos 60˘= =;2!; ∴ BD”=5 AB”=10+5=15이므로

△ABC=;2!;_15_5'3=75'3 2 BD”

10

'3 2 BC”

10

12

^{cos 35˘=} ⁼ ^=OB”=0.82

tan 35˘= = =CD”=0.70

∴ cos 35˘+tan 35˘=0.82+0.70=1.52 CD”

1 CD”

OD”

OB”

1 OB”

OA”

13

^{sin a=} ⁼ ^=AB”

cos a= = =OB”

따라서 점 A의 좌표는 (cos a, sin a)이다.

OB”

1 OB”

OA”

AB”

1 AB”

OA”

14

(주어진 식)=1_;2!;+;2!;÷1-'2_1 (주어진 식)=1-'2

15

③ A의 값이 커지면 tan A의 값도 커진다.

⑤ tan A의 최솟값은 0이고, 최댓값은 알 수 없다.

16

sin 51˘=0.7771이므로 x=51˘

cos 54˘=0.5878이므로 y=54˘

∴ x+y=51˘+54˘=105˘

01

AB”=ø∑2¤ +1¤ ='5 이므로 sin A_sin B= _ 1 =;5@;

'5 2 '5

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(5)

수 학 02

△ADC에서 CD”="√5¤ -4¤ =3

∴ BC”=BD”+CD”=5+3=8

△ABC에서 AB”="‘‘‘‘8¤ +4¤ =4'5

∴ cos B= =2'5 5 8 4'5

㉢ cos 30˘+cos 60˘= +;2!;= , cos 90˘=0

㉣ sin 90˘_tan 0˘+cos 0˘_sin 90˘=1_0+1_1=1 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다.

'3+1 2 '3

2

│16~17쪽│

01 ⑴ 6'2 ⑵ 3(2+'3)

02⑴ ;2#; ⑵ '2 ⑶ ;4!;- 03;2!; 042-'3

05;1!3&; 06^0.22

07- 07- '7+3 07- 3

4 '3

3

'3 2

04

^{cos A=} ⁼ 에서 AB”=3

BC”="√(3'5)¤ -3¤ =6이므로 tan C=;6#;=;2!;

'5 5 AB”

3'5

05

sin A=;1•7;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 AB”="√17¤ -8¤ =15

∴ cosA=;1!7%;

A B

C 17

8

06

△ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠B=x

△ABC에서 BC”="√5¤ +12¤ =13

∴ sin x=sin B=;1!3@;

07

^{(주어진 식)=} _'3+'3_ -'2_

(주어진 식)=;2#;+;2#;-1=2

'2 2 '3

2 '3

2

08

2x¤ -3x+1=0에서 (2x-1)(x-1)=0

∴ x=;2!; 또는 x=1

이때 0˘<A<90˘에서 0<sin A<1이므로 sin A=;2!; ∴ A=30˘

∴ cos A=cos 30˘= '3 2

09

△BCD에서 cos 60˘= =;2!; ∴ BD”=6

△ABD에서 cos 45˘= ='2 ∴ AB”=3'2 2

AB”

6 3 BD”

10

△ABC에서 sin 30˘= =;2!; ∴ AB”=9(cm)

cos 30˘= = ∴ BC”=9'3(cm)

△ABD에서 ∠BAD=30˘이므로

tan 30˘= = ∴ BD”=3'3(cm)

∴ CD”=BC”-BD”=9'3-3'3=6'3(cm) '3

3 BD”

9 '3

2 BC”

18

AB”

18

11

④ cos y=cos(∠OAB)= =AB”=AB”

1 AB”

OA”

12

㉠ sin 30˘=;2!;, cos 30˘_tan 30˘= _ =;2!;

㉡ tan 60˘='3, = 1_ ='3 3 '3 1

tan 30˘

'3 3 '3

2

13

㉠ tan 60˘='3

㉢ tan 45˘=1

㉤ sin 45˘=

㉡, ㉣ 45˘<A<90˘일 때,

㉡, <sinA<1이므로 <sin 50˘<1

㉡,0<cos A< 이므로 0<cos 50˘<

따라서 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉣, ㉤, ㉡, ㉢, ㉠이다.

'2 2 '2

2

'2 2 '2

2

'2 2

14

0˘<A<45˘일 때, 0<tan A<1이므로 tan A-1<0

∴ øπ(tan A-1)¤ =-(tan A-1)

=1-tan A

15

④ sin x=0.8988이면 x=64˘

16

^{cos x=}9.08=0.454이므로 x=63˘

20

01

⑴ cos 45˘=;6{;= 이므로 x=3'2

sin 45˘=;6};= 이므로 y=3'2

∴ x+y=3'2+3'2=6'2

⑵ sin 30˘=;[#;=;2!;이므로 x=6 tan 30˘=;]#;= 이므로 y=3'3

∴ x+y=6+3'3=3(2+'3 ) '3

3 '2 2 '2

2

02

⑴ (주어진 식)=;2!;_1+1=;2#;

⑵ (주어진 식)='2_{;2!;+1}- ='2

⑶ (주어진 식)='3_ -{ +1}_

⑶ (주어진 식)=1-;4#;- =;4!;-'3 2 '3

2

'3 2 '3

2 '3

3

'2 2

03

구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라고 하면 a=(직선의 기울기)=tan 45˘=1

y=x+b에 x=-2, y=0을 대입하면 0=-2+b ∴ b=2

∴ y=x+2

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(6)

03

⑴ cos 60˘=;2!;이므로 a=60˘

⑵ 5x+10˘=60˘이므로 5x=50˘ ∴ x=10˘

⑶ sin 3x=sin 30˘=;2!;

05

tan A=;1∞2;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 AC”="√12¤ +5¤ =13 ^{…… [2점]}

∴ sin A+cos A=;1∞3;+;1!3@;=;1!3&; ^{…… [2점]}

A B

C

12 5

06

^{sin 50˘=} ⁼ ^=AB”=0.77 ^{…… [1점]}

cos 50˘= = =OB”=0.64 …… [1점]

tan 50˘= = =CD”=1.19 …… [1점]

∴ sin 50˘+cos 50˘-tan 50˘=0.77+0.64-1.19

=0.22 …… [1점]

CD”

1 CD”

OD”

OB”

1 OB”

OA”

AB”

1 AB”

OA”

04

⑴ △CDB에서 sin 30˘= =;2!; ∴ CD”=2

⑵ △CDB에서 tan 30˘= = ∴ DB”='3

⑶ AD”=CD”=2이므로 AB”=AD”+DB”=2+'3 따라서 △ABC에서 ∠A=15˘이므로 tan 15˘= 1 =2-'3

2+'3

'3 3 1 DB”

1 CD”

07 -

△ABC에서 BC”="√3¤ -1¤ =2'2 ^{…… [1점]}

점 D가 BC”의 중점이므로

BD”=CD”='2 ^{…… [1점]}

△ABD에서 AD”="√1¤ +('2 )¤ ='3 ^{…… [1점]}

∴ cos x= ='3 …… [1점]

3 1 '3

07-

AB”=3a, BC”=4a(a>0)라고 하면

AC”="√(4a)¤ -(3a)¤ ='7a ^{…… [2점]}

따라서 sin B= = , cos B= =;4#;이므로

…… [2점]

sin B+cos B= +;4#;='7+3 ^{…… [1점]}

4 '7

4

3a 4a '7

4 '7a

4a

07-

∠APQ=∠CPQ (접은 각)이고 ∠APQ=∠CQP (엇 각)이므로 △CPQ는 이등변삼각형이다. …… [1점]

CQ”=CP”=AP”=10, CR”=AB”=6이므로 △CQR에서 QR”="√10¤ -6¤ =8 ^{…… [2점]}

점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=BQ”=QR”=8이므로

PH”=AP”-AH”=10-8=2 …… [2점]

따라서 △HQP에서

tan x=HQ”=;2^;=3 ^{…… [1점]}

PH”

2. 삼각비의 활용

│18쪽│

01⑴ c sin B, ⑵ c cos B,

⑶ , a tan B

02², 2, '3, '3, 2, 2, 1, 1, 3, '3, 3, 2'3 03^{sin 30˘}, ;2!;, 5 b

tan B

a cos B b

sin B

│19쪽│

01⑴ x=6 cos 25˘, y=6 sin 25˘

⑵ x= , y=

02⑴ x=7.7, y=6.4 ⑵ x=4.56, y=6.56

03⑴ 2 ⑵ 2'3 ⑶ '3 ⑷ '7 04⑴ 3'3 ⑵ 3'6

05⁶⁰, 60, '3h, 45, 45, h, '3h, h, '3+1, '3+1, '3-1

06⑴ 12'3 ⑵ 18'2 07⑴ 10'3 ⑵ 44

08⑴ 12'2 ⑵ 35'3 2

4 sin 40˘

4 tan 40˘

02

⑴ x=10 sin 50˘=10_0.77=7.7 y=10 cos 50˘=10_0.64=6.4

⑵ x=8 sin 35˘=8_0.57=4.56 y=8 cos 35˘=8_0.82=6.56

03

⑴ △ABH에서 AH”=4 sin 30˘=4_;2!;=2

⑵ △ABH에서 BH”=4 cos 30˘=4_ =2'3

⑶ CH”=BC”-BH”=3'3-2'3='3

⑷ △AHC에서 AC”="√2¤ +('3)¤ ='7 '3

2

04

⑴ △ABH에서 AH”=6 sin 60˘=6_ =3'3

⑵ △AHC에서 AC”= =3'3_ 2 =3'6 '2 3'3

cos 45˘

'3 2

06

⑴ △ABC=;2!;_6_8_sin 60˘

⑴ △ABC=;2!;_6_8_ =12'3

⑵ △ABC=;2!;_9_8_sin(180˘-135˘)

⑴ △ABC=;2!;_9_8_'2=18'2 2 '3

2

07

^⑴ ABCD=4_5_sin 60˘=4_5_ =10'3

⑵ ABCD=8_11_sin(180˘-150˘)

⑵ ABCD=8_11_;2!;=44

'3 2

08

^⑴ ABCD=;2!;_6_8_sin 45˘

⑴ ABCD=;2!;_6_8_'2=12'2 2

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(7)

수 학

⑵ ABCD=;2!;_10_7_sin(180˘-120˘) ABCD=;2!;_10_7_ =35'3

2 '3

2

│20~23^쪽│

대표 유형01① 01- ⑤ 01- 6.9 m

01- _{50('3+1) m} 01- ③ 대표 유형022'∂21 cm 02- _{4'5 m}

02- ④

대표 유형034'3 cm 03- _12'2 03- 10(3+'3 ) m

대표 유형045(3-'3 ) 04- _{30('3-1) m} 04- 16(3-'3) cm¤

대표 유형054('3+1) 05- ③

대표 유형0615'3 cm¤ 06- ② 06- 45˘

대표 유형0724'3 cm¤ 07- 10 cm

07- cm¤

대표 유형08① 08- ③ 08- cm¤

대표 유형09③ 09- _{24'2 m¤}

0110(2-'2 ) cm 02;5#; 03^{21 cm¤}

3'2 2 7'3

2

대표 유형01 x=10 sin 43˘=10_0.68=6.8 y=10 cos 43˘=10_0.73=7.3

∴ y-x=7.3-6.8=0.5

01-

∠A=34˘이므로 AC”=5 tan 56˘= 5 tan 34˘

01 -

AO”=6 sin 60˘=6_ =3'3(cm) BO”=6 cos 60˘=6_;2!;=3(cm)

∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_3¤ )_3'3=9'3p(cm‹ ) '3

2

01 -

△ABC에서 BC”=10tan 28˘=10_0.53=5.3(m)

∴ (나무의 높이)=CH”=BC”+BH”

=5.3+1.6=6.9(m)

01-

△ACH에서 CH”=50 tan 45˘=50_1=50(m)

△AHB에서 BH”=50 tan 60˘=50_'3=50'3(m)

∴ (건물 Q의 높이)=BC”=BH”+CH”

=50'3+50=50('3+1)(m)

대표 유형02 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라고 하면

△ABH에서 AH”=8 sin 60˘

AH”=8_'3=4'3(cm) 2

B C

8 cm

10 cm A

60˘ H

BH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4(cm) CH”=BC”-BH”=10-4=6(cm)이므로

△AHC에서 AC”=ø∑(4'3 )¤ +6¤ =2'∂21(cm)

02-

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서

AH”=4 sin 45˘=4_ =2'2(m) CH”=4 cos 45˘=4_ =2'2(m)

BH”=BC”-CH”=8'2-2'2=6'2(m)이므로

△ABH에서 AB”="√(6'2√ )¤ +√(2'2)¤ =4'5(m) '2

2 '2

2

45˘

H A

B C

4###m

8 2m

02-

꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△ACH에서

∠ACH=180˘-120˘=60˘

이므로

AH”=4 sin 60˘=4_ =2'3 CH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2

BH”=BC”+CH”=3+2=5이므로 △ABH에서 AB”="√5¤ +(2'3)¤ ='∂37

'3 2

120˘

A

B 3 C H

4

대표 유형03 ∠A=180˘-(75˘+45˘)=60˘

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △BCH에서 BH”=6'2 sin 45˘

BH”=6'2_ =6(cm) 따라서 △ABH에서

AB”= =6_ 2 =4'3(cm) '3

6 sin 60˘

'2 2

75˘ 45˘

A H

B C

cm 6 2

03-

∠A=180˘-(105˘+30˘)=45˘

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABH 에서

BH”=12 sin 45˘

BH”=12_ =6'2

따라서 △BCH에서 BC”= 6'2 =6'2_2=12'2 sin 30˘

'2 2

105˘30˘

A H

B C

12

03-

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수 선의 발을H라고 하면

△AHC에서 AH”=30'2 cos 45˘

AH”=30'2_

AH”=30(m)

CH”=30'2 sin 45˘=30'2_'2=30(m) 2

'2 2

A B

H C

45˘

45˘ 60˘60˘

30 2m

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(8)

△CHB에서 BH”= =30_ =10'3(m)

∴ AB”=AH”+BH”=30+10'3=10(3+'3 )(m) 1

'3 30

tan 60˘

대표 유형04 AH”=h라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h BC”=BH”+CH”이므로 10=h+ h, {1+ } h=10

∴ h= 30 =5(3-'3 ) 3+'3

'3 3 '3

3 '3

3

04-

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 AH”=h m라고 하 면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m)

∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h(m) BC”=BH”+CH”이므로 60=h+'3h, (1+'3 )h=60

∴ h= =30('3-1)

따라서 나무의 높이는 30('3-1) m이다.

60 1+'3

45˘

30˘

60˘

A

B H C

60###m

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하고 AH”=h cm 라고 하면 ∠BAH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h(cm)

∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h(cm) BC”=BH”+CH”이므로 8= h+h, { +1}h=8

∴ h= =4(3-'3)

∴ △ABC=;2!;_8_4(3-'3 )=16(3-'3 )(cm¤ ) 24

'3+3

'3 3 '3

3 '3

3

60˘ 45˘

A

B H C

8###cm

대표 유형05 CH”=h라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h

∠BCH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

AB”=AH”-BH”이므로 8='3h-h, ('3-1)h=8

∴ h= 8 =4('3+1) '3-1

05-

CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

∠BCH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h(m) AB”=AH”-BH”이므로 h=10 ∴ h=5'3 따라서 굴뚝의 높이는 5'3 m이다.

2'3 3

'3 3

대표 유형06 △ABC=;2!;_10_6_sin 60˘

△ABC=;2!;_10_6_'3=15'3(cm¤ ) 2

06-

∠C=∠B=75˘이므로 ∠A=180˘-2_75˘=30˘

06-

2!;_6_8_sin B=12'2이므로 sin B=

이때 sin 45˘='2이므로 ∠B=45˘

2

'2 2

∴ △ABC=;2!;_12_12_sin 30˘

∴ △ABC=;2!;_12_12_;2!;=36(cm¤ )

대표 유형07 △ABC=;2!;_8_12_sin (180˘-120˘)

△ABC=;2!;_8_12_'3=24'3(cm¤ ) 2

07-

;2!;_AB”_16_sin (180˘-135˘)=40'2이므로

;2!;_AB”_16_ =40'2, 4'2AB”=40'2

∴ AB”=10(cm) '2

2

07-

AC”를 그으면 ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_3_4_sin 60˘

+;2!;_2_'3_sin(180˘-150˘)

=;2!;_3_4_ +;2!;_2_'3_;2!;=7'3(cm¤ ) 2 '3

2

60˘

150˘

A

B C

D 2###cm 3###cm

4###cm 3cm

대표 유형08 ABCD=4_3'3_sin 30˘

ABCD=4_3'3_;2!;=6'3(cm¤ )

08-

5_8_sin B=20'3이므로 sin B=

이때 sin 60˘='3이므로 ∠B=60˘

2

'3 2

08-

△BED=;2!;△BCD

△BED=;2!;_;2!; ABCD=;4!; ABCD

△BED=;4!;_3_4_sin(180˘-135˘)

△BED=;4!;_3_4_ =3'2(cm¤ ) 2 '2

2

대표 유형09 ABCD=;2!;_9_8_sin 60˘

ABCD=;2!;_9_8_'3=18'3(cm¤ ) 2

09-

ABCD=;2!;_8_12_sin(180˘-135˘) ABCD=;2!;_8_12_'2=24'2(m¤ )

2

01

점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △OBH에서 OH”=20 cos 45˘

OH=20_'2=10'2(cm) 2

45˘

A

B B'

H O 20###cm

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(9)

수 학

│24~25쪽│

01 ①, ③02① 03160'3 cm‹ 04100'3 m

05 06④ 07② 084('3-1)

0925('3+1) m

10

③

11

④

12

③

13

(12p-9'3 ) cm¤

14

4'2 cm

15

②

16

② 2'7

7

➊회

02

△AMN= ABCD-△ABM-△AND-△MCN

△AMN=2¤ -;2!;_2_1-;2!;_2_1-;2!;_1_1

△AMN=;2#; (cm¤ )

AM”=AN”="√2¤ +1¤ ='5 (cm)이므로

△AMN=;2!;_'5_'5_sinx=;2#;

;2%; sin x=;2#; ∴ sin x=;5#;

∴ AH”=OA”-OH”=20-10'2=10(2-'2)(cm) 따라서 B 지점은 A 지점을 기준으로 10(2-'2 ) cm의 높이에 있다.

03

두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라고 하면 ABCD=;2!;_7_6_sin x=21 sin x(cm¤ ) 이때 sin x의 최댓값은 1이므로 ABCD의 넓이의 최댓 값은 21 cm¤ 이다.

01

x=9 sin 50˘=9 cos 40˘

02

h=3 sin 20˘=3_0.3420=1.026(m)

03

DH”=8 sin 30˘=8_;2!;=4(cm)

GH”=8 cos 30˘=8_ =4'3(cm)

∴ (직육면체의 부피)=10_4'3_4=160'3(cm‹ ) '3

2

04

^△ABH에서

AH”=200 sin 60˘=200_ =100'3(m) 따라서 △AHC에서

CH”=100'3 tan 45˘=100'3_1=100'3(m) '3

2

05

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

AH”=6_;2!;=3(cm)

BH”=6 cos 30˘=6_ =3'3(cm)

CH”=BC”-BH”=5'3-3'3=2'3(cm)이므로

△AHC에서 AC”="√3¤ +√(2'3 )¤ ='∂21(cm)

∴ cos C= =2'7 7 2'3 '∂21

'3 2

30˘

6###cm A

B H C

cm 5 3

06

∠A=180˘-(60˘+75˘)=45˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=10 sin 60˘

CH”=10_ =5'3(cm) 따라서 △AHC에서

AC”= =5'3_ 2 =5'6(cm) '2

5'3 sin 45˘

'3 2

A

H

B 60˘ C

75˘

10 #cm

07

AH”=h라고 하면 ∠BAH=44˘이므로 BH”=h tan 44˘

∠CAH=27˘이므로 CH”=h tan 27˘

BC”=BH”+CH”이므로 60=h tan 44˘+h tan 27˘

∴ h= 60

tan 44˘+tan 27˘

08

AH”=h라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로 8=h+'3h, (1+'3)h=8

∴ h= 8 =4('3-1) 1+'3

09

CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

∠BCH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m) AB”=AH”-BH”이므로 50='3h-h, ('3-1)h=50

∴ h= =25('3+1)

따라서 지면에서 기구까지의 높이는 25('3+1) m이다.

50 '3-1

10

△ABC=;2!;_8_9_sin 30˘

△ABC=;2!;_8_9_;2!;=18(cm¤ )

11

정팔각형의 대각선을 모두 그으면 두 변의 길이가 각각 4이고, 그 끼인각의 크기가 360˘÷8=45˘인 합동인 8개 의 이등변삼각형이 생긴다.

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_4_4_sin 45˘}

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_4_4_'2}=32'2 2

O

12

^{BD”를 그으면}

ABCD

=△ABD+△BCD

=;2!;_2'7_2'7

_sin (180˘-120˘)+;2!;_8_10_sin 60˘

=;2!;_2'7_2'7_ +;2!;_8_10_'3=27'3(cm¤ ) 2

'3 2

60˘

120˘

A

B C

D

8###cm 10###cm cm

2 7 2 7cm

13

OC”를 그으면 OA”=OC”이므로

∠AOC=180˘-2_30˘

=120˘ _A ^30˘ _B

C

O 6###cm

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(10)

│26~27쪽│

01 희선 02^16.9203③ 04(3+'3) m 05②

063'5 07① 08(3-'3 ) cm 099('3-1)

10

②

11

③

12

18'3 cm¤

13

②

14

③

15

12'2 cm¤

16

③

➋회

14

마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 ABCD=x_x_sin(180˘-135˘)=16'2이므로

x¤ =16'2, x¤ =32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) 따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4'2 cm이다.

'2 2

15

△ABP=;4!; ABCD=;4!;_4_8_sin 30˘

△ABP=;4!;_4_8_;2!;=4(cm¤ )

16

ABCD=;2!;_4_5_sin60˘=;2!;_4_5_'3=5'3 2

01

희선 : c sin A=BC”=a

02

x=12 sin 39˘=12_0.63=7.56 y=12 cos 39˘=12_0.78=9.36

∴ x+y=7.56+9.36=16.92

03

(높이)=1.4+8sin 48˘=1.4+8_0.74=7.32(m)

04

△CBD에서 BD”=3 tan 45˘=3_1=3(m)

△CDE에서 DE”=3 tan 30˘=3_ ='3(m)

∴ (큰 나무의 높이)=BE”=BD”+DE”=3+'3(m) '3

3

05

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 A’H”=2 sin 60˘

A’H=2_ ='3(cm) BH”=2 cos 60˘=2_;2!;=1(cm)

CH”=BC”-BH”=3-1=2(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√('3)¤ +2¤ ='7(cm)

'3 2

60˘

2 cm

3 cm

B H C

A

06

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서 AH”=10 sin C=10_;5#;;=6 CH”=10 cos C=10_;5$;=8

BH”=BC”-CH”=11-8=3이므로 △ABH에서 AB”="√3¤ +6¤ =3'5

B C

10

11 H A

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC

∴=p_6¤ _ -;2!;_6_6_sin(180˘-120˘)

∴=12p-;2!;_6_6_'3=12p-9'3(cm¤ ) 2

120 360

07

∠A=180˘-(105˘+45˘)=30˘

꼭짓점B에서 AC”에 내린 수선의발 을 H라고 하면 △BCH에서 BH”=10 sin 45˘

BH”=10_ =5'2(cm) 따라서 △ABH에서

AB”= 5'2 =5'2_2=10'2(cm) sin 30˘

'2 2

10 cm A

B C

H 105˘

45˘

08

AH”=h cm라고 하면

∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(cm)

∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h(cm) BC”=BH”+CH”이므로 2=h+ h, {1+ } h=2

∴ h= 6 =3-'3 3+'3

'3 3 '3

3 '3

3

09

^BC”= =3'2_ =6 점 E에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 EH”=h라고 하면

∠BEH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CEH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로 6=h+'3h, (1+'3)h=6

∴ h= =3('3-1)

∴ △EBC=;2!;_6_3('3-1)=9('3-1) 6

1+'3

45˘

60˘

A

B H C

D E

3 2 2

'2 3'2

cos 45˘

10

AH”=h라고 하면 ∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h

∠ACH=60˘, ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h

BC”=BH”-CH”이므로 2'3h=4 ∴ h=2'3 3

'3 3

11

;2!;_AB”_6_sin 45˘=6'2이므로

;2!;_AB”_6_'2=6'2 ∴ AB”=4(cm) 2

12

^{AE”를 그으면}

ABCD=△ABC+△ACD ABCD=△ABC+△ACE ABCD=△ABE

ABCD=;2!;_6_(8+4)_sin 60˘

ABCD=;2!;_6_12_'3=18'3(cm¤ ) 2

60˘

A

C D

B E

6###cm

4###cm 8###cm

13

∠A=180˘-(32˘+13˘)=135˘이므로

△ABC=;2!;_4_9_sin(180˘-135˘)

△ABC=;2!;_4_9_'2=9'2(cm¤ ) 2

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(11)

수 학

│28~29쪽│

01 ⑴ 2'∂10 ⑵ 6'6

02⑴ 50'3 cm¤ ⑵ cm¤

03^{13.8 m} 0450('3-1) m

0510(3+'3 ) m 0635'3 cm¤

07- _6'3 07- _{3'3 cm¤} 07- _{:™7¢: cm}

27'2 2

14

AB”=AD”=4, AE”=4 sin 60˘=4_ =2'3

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90˘+30˘=120˘이므로

△ABE=;2!;_4_2'3_sin(180˘-120˘)

△ABE=;2!;_4_2'3_'3=6 2

'3 2

15

ABCD=4_6_sin 45˘=4_6_'2=12'2(cm¤ ) 2

16

ABCD=;2!;_4_4_sin (180˘-120˘) ABCD=;2!;_4_4_'3=4'3(cm¤ )

2

01

⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

AH”=4_ =2'2

BH”=4 cos 45˘=4_ =2'2

CH”=BC”-BH”=6'2-2'2=4'2이므로 △AHC에 서 AC”=øπ(2'2)¤ +(4'2)¤ =2'∂10

⑵ ∠B=180˘-(45˘+75˘)=60˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=12 sin 60˘=12_ =6'3 따라서 △AHC에서

AC”= =6'3_ 2 =6'6 '2 6'3

sin 45˘

'3 2

45˘

75˘

A

H

B C

12 '2

2 '2

2

45˘

A

B H C

4

6 2

02

^⑴ ABCD=10_10_sin 60˘

ABCD=10_10_ =50'3(cm¤ )

⑵ △AED=;2!; ABCD=;2!;_6_9_sin 45˘

⑵ △AED=;2!;_6_9_ =27'2(cm¤ ) 2

'2 2 '3 2

03

⑴ AB”=10 cos 57˘=10_0.54=5.4(m)

⑵ AC”=10 sin 57˘=10_0.84=8.4(m)

⑶ 쓰러지기 전 나무의 높이는 AB”+AC”=5.4+8.4=13.8(m)

04

⑴ ∠APH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

⑵ ∠BPH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m)

⑶ AB”=AH”+BH”이므로 100='3h+h

∴ h= =50('3-1)

따라서 헬리콥터의 높이는 50('3-1) m이다.

100 '3+1

H 45˘

30˘

P

A B

100###m

05

AD”=h m라고 하면 ∠BAD=45˘이므로

BD”=h tan 45˘=h(m) …… [1점]

∠CAD=30˘이므로

CD”=h tan 30˘= h(m) …… [1점]

BC”=BD”-CD”이므로 20=h- h, {1- } h=20

∴ h= =10(3+'3 )

따라서 건물의 높이는 10(3+'3 ) m이다. ^{…… [3점]}

60 3-'3

'3 3 '3

3 '3

3

06

두 대각선의 교점을 O라고 하면

∠AOB=25˘+35˘=60˘

…… [2점]

∴ ABCD=;2!;_10_14_sin 60˘

∴ ABCD=;2!;_10_14_'3=35'3(cm¤ )^{…… [2점]}

2

35˘

25˘

A

B C

D 14###cmO 10###cm

07-

△ABC=;2!;_8_9_sin 60˘

△ABC=;2!;_8_9_ =18'3 ^{…… [2점]}

∴ △AGC=;3!;△ABC=;3!;_18'3=6'3 ^{…… [1점]}

'3 2

07 -

△ABC에서

AC”=4 sin 60˘=4_ =2'3(cm) ^{…… [1점]}

AB”=4 cos 60˘=4_;2!;=2(cm) ^{…… [1점]}

∴ ABCD

∴=△ABC+△ACD

∴=;2!;_2_4_sin 60˘+;2!;_2'3_2_sin 30˘

∴=;2!;_2_4_ +;2!;_2'3_2_;2!;

∴=2'3+'3=3'3(cm¤ ) …… [2점]

'3 2

07-

AD”=x cm라고 하면

△ABC=△ABD+△ADC이므로 …… [2점]

;2!;_8_6_sin (180˘-120˘)

=;2!;_8_x_sin 60˘+;2!;_x_6_sin 60˘ …… [1점]

;2!;_8_6_ =;2!;_8_x_ +;2!;_x_6_

12'3=2'3x+ x, x=12'3 ∴ x=:™7¢:

∴ AD”=:™7¢:(cm) ^{…… [2점]}

7'3 2 3'3

2

'3 2 '3

2 '3

2

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(12)

VIII ^{. 원의 성질}

1. 원과 직선

│30쪽│

01;2!;, ;2!;, 2 02⑴ CD” ⑵ ON” 03^{2, 같다} 04AS”, BQ”, CR”, DS”, CR”, BQ”, AD”

│31쪽│

01 90, OB”, OM”, RHS, BM” 02⑴ 5 ⑵ 6 ⑶ 3 ⑷ 24

03⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 6 ⑷ 2 04⑴ 70 ⑵ 5'5

05⑴ 7 ⑵ 6506⑴ 7 cm ⑵ 6 cm ⑶ 13 cm

07⑴ 5 ⑵ 6

02

⑶ AM”=;2!;AB”=;2!;_8=4(cm)이므로 △OAM에서 x="√5¤ -4¤ =3

⑷ △OMB에서 BM”="√13¤ -5¤ =12(cm)

∴ x=2BM””=2_12=24

대표 유형01 △OAH에서 AH”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)

∴ AB”=2AH”=2_3'3=6'3(cm)

│32~37쪽│

대표 유형016'3 cm01- _{'∂41 cm} 01- ⑤

01- ② 01- ③ 대표 유형02^{10 cm} 02- 20 cm

02- _{6'3 cm} 02- 8

대표 유형03③ 03- 14 cm 03- _'∂34 03- _{10'6 cm¤}

03- 6 cm

대표 유형04^70˘ 04- ③ 04- 30 cm

04- ③

대표 유형05^{13 cm} 05- ⑤ 05- ④

05- 10p cm¤

05- :¡3§: cm

05- _{8'2 cm} 05- ③

대표 유형06^① 06- _;2#; 06- 6 km

06- 24 cm 06- ⑤

대표 유형07② 07- 90˘ 07- _{5'6 cm¤}

07- _{;2%; cm}

대표 유형08^{3 cm} 08- ② 08- 6 cm

08- 2 08- ③

대표 유형09^{4 cm} 09- 32 cm 09- ③

09- 10 cm 09- ⑤

01^{100p m¤} 02^{8 cm} 03^{10 cm}

04

⑴ ∠PAO=90˘이므로 △OPA에서

∠POA=180˘-(20˘+90˘)=70˘ ∴ x=70

⑵ ∠OAP=90˘이므로 △OAP에서 x="√5¤ +10¤ =5'5

05

⑵ PA”=PB”이므로 △APB에서

∠PBA=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ∴ x=65

06

⑴ BE”=BD”=11-4=7(cm)

⑵ AF”=AD”=4 cm이므로 CE”=CF”=10-4=6(cm)

⑶ BC”=BE”+CE”=7+6=13(cm)

07

^{⑴ 6+8=x+9} ^{∴ x=5}

⑵ x+8=4+10 ∴ x=6

01-

AC”=;2!;AB”=;2!;_8=4(cm)

△OAC에서 OA”="√4¤ +5¤ ='∂41(cm)

01-

OM”=;2!;OC”=;2!;_10=5(cm)

△OMB에서 BM”="√10¤ -5¤ =5'3(cm)

∴ AM”=BM”=5'3 cm

01-

AB”⊥OC””이므로 BH”=AH”=4 OC”=OB”=x이므로 OH”=x-2

△OHB에서 (x-2)¤ +4¤ =x¤ , 4x=20 ∴ x=5

01-

오른쪽 그림과 같은 원 O에서 AM”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm)

△OAM에서

OM”="√8¤ -6¤ =2'7(cm) 따라서 구하는 거리는 2'7 cm이다.

A M B

O

12###cm 8###cm

대표 유형02 오른쪽 그림과 같이 원 의 중심을 O, 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

△AOD에서 r¤ =(r-4)¤ +8¤

8r=80 ∴ r=10

따라서 원의 반지름의 길이는 10 cm이다.

O

A B

C D 4###cm 8###cm

r###cm (r-4)###cm

02-

AM””””””””””=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm) 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, 원의 반지름의 길이를 r cm 라고 하면 △AOM에서 r¤ =6¤ +(r-2)¤, 4r=40

∴ r=10

따라서 원래의 접시의 지름의 길이는 2_10=20(cm) C

A B

M

O (r-2)###cm r###cm

M

O (r-2)###cm r###cm

2###cm 6###cm

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(13)

수 학 02 -

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O

에서 AB”에 내린 수선의 발을 M 이라고 하면 OA”=6 cm, OM”=;2!;_6=3(cm)

△OAM에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)

∴ AB”=2AM”=2_3'3=6'3(cm)

A M B

O 3###cm 6###cm

02-

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발 을 M이라 하고 원 O의 반지름 의 길이를 r라고 하면

OA”=r, OM”=;2!;r,

AM”=;2!;AB”=;2!;_8'3=4'3이므로 △OMA에서 r¤ ={;2!;r}2``+(4'3)¤

r¤ =64 ∴ r=8 (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 8이다.

A

B O

M 4 3 1r

2 r

대표 유형03 △OCN에서 CN”="√5¤ -4¤ =3(cm)

∴ CD”=2CN”=2_3=6(cm)

이때 OM”=ON”이므로 AB”=CD”=6 cm

03 -

OM”=ON”이므로

CD”=AB”=2BM”=2_7=14(cm)

03-

OM”=ON”이므로 AB”=CD”=10 AM”=;2!; AB”=;2!;_10=5

△AMO에서 OA”="√5¤ +3¤ ='∂34

03-

원의 중심 O에서 AB”에 내린 수 선의 발을 N이라고 하면 AB”=CD”이므로 ON”=OM”=5 cm

△OAN에서

AN”="√7¤ -5¤ =2'6(cm)

따라서 AB”=2AN”=2_2'6=4'6(cm)이므로

△ABO=;2!;_4'6_5=10'6(cm¤ )

03 -

원의 중심 O에서 두 현 AB, CD 에 내린 수선의 발을 각각 M, N 이라고 하면 AB”=CD”이므로 OM”=ON”

CN”=;2!;CD”=;2!;_8=4(cm)

△OCN에서 ON”="√5¤ -4¤ =3(cm)

이때 두 현 AB, CD 사이의 거리는 MN”의 길이와 같으 므로 MN”=2ON””=2_3=6(cm)

따라서 두 현 AB, CD 사이의 거리는 6 cm이다.

A

B C

M N

D O 7###cm

5###cm

A B

C D

O 8###cm

8###cm 5###cm M

N

대표 유형04 OD”=OE”이므로 AB”=AC”

즉, △ABC는 이등변삼각형이므로

∠ABC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

04 -

OM”=ON”이므로 AB”=AC”

∠BAC=180˘-2_55˘=70˘

04-

AB”=2AD”=2_5=10(cm) OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”

따라서 △ABC는 정삼각형이므로 △ABC의 둘레의 길이는 3_10=30(cm)

04-

OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”

따라서 △ABC는 정삼각형이므로

△ABC='3_10¤ =25'3(cm¤ ) 4

대표 유형05 PA”=PB”=12 cm, ∠OAP=90˘이므로

△AOP에서 OP”="√5¤ +12¤ =13(cm)

05-

PQ”=OQ”=OT”=6이므로 PO”=6+6=12

∠PTO=90˘이므로 △POT에서 PT”="√12¤ -6¤ =6'3

05-

∠PAO=90˘이므로 ∠PAB=90˘-24˘=66˘

이때 △PBA는 PA”=PB”인 이등변삼각형이므로

∠P=180˘-2_66˘=48˘

05-

∠PAO=∠PBO=90˘이므로

∠AOB=180˘-45˘=135˘

따라서 색칠한 부분은 중심각의 크기가

360˘-135˘=225˘인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 p_4¤ _;3@6@0%;=10p(cm¤ )

05 -

원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

∠PAO=90˘이므로 △APO에서 (6+r)¤ =10¤ +r¤, 12r=64

∴ r=:¡3§:

따라서 원 O의 반지름의 길이는 :¡3§: cm이다.

05 -

OA”를 그으면 OA”=6 cm AB”⊥OH”이므로 △OAH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)

∴ AB”=2AH”

=2_4'2=8'2(cm)

A B

C H O 6###cm

2###cm

05-

∠APB=180˘-120˘=60˘

이고 PA”=PB”이므로

△APB는 정삼각형이다.

OP”를 그으면

△PAO™△PBO (RHS 합동)

△APO에서 ∠AOP=60˘, ∠PAO=90˘이므로 OA”：PA”=1：'3, 4：PA”=1：'3

∴ PA”=4'3

∴ AB”=PA”=4'3

120˘

A

B

P O

4

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(14)

대표 유형06 BE”=BD”=9-6=3(cm) AF”=AD”=9 cm이므로 CE”=CF”=9-7=2(cm)

∴ BC”=BE”+CE”=3+2=5(cm)

06-

BD”=BE”, CF”=CE”이므로 AD”+AF”=AB”+BC”+CA”

=6+4+5=15

이때 AD”=AF”이므로 AD”=;2!;_15=:¡2∞:

∴ BD”=AD”-AB”=:¡2∞:-6=;2#;

06 -

DC”=DA”, EC”=EB”이므로

(△PED의 둘레의 길이)=PA”+PB”=2PA”

=2_3=6(km)

06 -

OQ”=5 cm, ∠APO=90˘이므로 △AOP에서 AP”="√13¤ -5¤ =12(cm)

BQ”=BP”, CQ”=CR”이므로

(△ABC의 둘레의 길이)=AP”+AR”=2AP”

=2_12=24(cm)

06-

⑤ △OBE™△OBD, △OCE™△OCF

대표 유형07 CE”=AC”=5 cm, DE”=BD”=3 cm이므로 CD””=5+3=8(cm)

꼭짓점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=BD”=3 cm이므로 CH”=5-3=2(cm)

△CHD에서 HD”="√8¤ -2¤ =2'∂15(cm)

∴ AB”=H’D”=2'∂15 cm

A B

C

H E D

O 5`cm

3`cm

07-

OE”를 그으면

△AOC™△EOC(RHS 합동),

△BOD™△EOD(RHS 합동)이므 로 ∠AOC=∠EOC,

∠BOD=∠EOD

∴ ∠COD=∠EOC+∠EOD

∴ ∠COD=;2!;∠AOE+;2!;∠BOE

∴ ∠COD=;2!;∠AOB=;2!;_180˘=90˘

A

B C

D E O

07-

AE”=AB”=2 cm, DE”=DC”=3 cm이므로 AD”=2+3=5(cm) 꼭짓점 A에서 CD”에 내 린 수선의 발을 H라고 하면

CH”=AB”=2 cm이므로 DH”=3-2=1(cm)

△AHD에서 AH”="√5¤ -1¤ =2'6(cm)

∴ ABCD=;2!;_(2+3)_2'6=5'6(cm¤ )

2###cm 3###cm

A H

B C

D E

O

07-

점 E에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하고

EF”=x cm라고 하면 HB”=EC”=EF”=x cm AH”=(10-x) cm,

AE”=(10+x) cm이므로 △AHE에서 (10+x)¤ =(10-x)¤ +10¤

40x=100 ∴ x=;2%;

∴ EF”=;2%; cm

대표 유형08 CE”=x cm라고 하면 CF”=CE”=x cm AD”=AF”=(7-x) cm, BD”=BE”=(8-x) cm AB”=AD”+BD”이므로 9=(7-x)+(8-x) 2x=6 ∴ x=3

∴ CE”=3 cm

08-

AF”=AD”=6 cm이므로 CE”=CF”=9-6=3(cm) BE”=BD”=10-6=4(cm)

∴ BC”=BE”+CE”=4+3=7(cm)

08-

AD”=AF”, BE”=BD”=5 cm, CE”=CF”=7 cm이므로 2(AF”+5+7)=36, 2AF”=12 ∴ AF”=6(cm)

08-

원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 ADOF는 정사각형이므로

AD”=AF”=r cm

이때 BD”=BE”=9 cm, CF”=CE”=6 cm이므로 AB”=(9+r) cm, AC”=(6+r) cm

△ABC에서 15¤ =(9+r)¤ +(6+r)¤

r¤ +15r-54=0, (r-3)(r+18)=0

∴ r=3 (∵ r>0)

∴ (원 O의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )

A

B C

E D F

O 9###cm 6###cm

대표 유형09 AB”+CD”=AD”+BC”이므로

10+12=(3+DE”)+15 ∴ DE”=4(cm)

09-

AD”+BC”=AB”+CD”=10+6=16(cm)이므로 ( ABCD의 둘레의 길이)=2_16=32(cm)

09-

AB”+CD”=AD”+BC”이므로

5+(x+1)=4+(2x-1) ∴ x=3

09-

△ABC에서 AB”=øπ(4'∂13)¤ -12¤ =8(cm) AB”+CD”=AD”+BC”이므로

8+CD”=6+12 ∴ CD”=10(cm) H

B C

A D

E F O 10###cm

10###cm

08 -

원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 OECF는 정사각형이 므로 CE”=CF”=r

AD”=AF”=6-r BD”=BE”=8-r

이때 AB”="√8¤ +6¤ =10이고 AB”=AD”+BD”이므로 10=(6-r)+(8-r), 2r=4 ∴ r=2

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2이다.

A

B C

D

E O F

8

6

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(15)

수

학

01

AB”와 작은 원의 교점을 M이라 고 하면 OM”⊥AB”이므로 AM”=;2!;AB”=;2!;_20=10(m) 큰 원의 반지름의 길이를 x m,

작은 원의 반지름의 길이를 y m라고 하면 △OAM에서 x¤ =10¤ +y¤, x¤ -y¤ =100

∴ (트랙의 넓이)=p_x¤ -p_y¤ =p(x¤ -y¤ )=100p(m¤ )

02

BF”=x cm라고 하면 BH”=BF”=x cm AI”=AF”=(6-x) cm, CI”=CH”=(7-x) cm 이때 AC”=AI”+CI”이므로 5=(6-x)+(7-x) 2x=8 ∴ x=4

∴ (△BED의 둘레의 길이)=BF”+BH”=2BF”

=2_4=8(cm)

03

AP”=BP”=;2!;AB”=;2!;_8=4(cm)이므로 AS”=AP”=4 cm, BQ”=BP”=4 cm

∴ DR”=DS”=12-4=8(cm)

QE”=x cm라고 하면 RE”=QE”=x cm이므로 DE”=(8+x) cm

또, CE”=12-(4+x)=(8-x) cm이므로 △DEC에서 (8+x)¤ =(8-x)¤ +8¤, 32x=64 ∴ x=2

∴ DE”=8+2=10(cm)

09-

△ABE에서 AE”="√12¤ +5¤ =13(cm) AD”=x cm라고 하면 EC”=(x-5) cm

AECD가 원 O에 외접하므로

13+12=x+(x-5), 2x=30 ∴ x=15

∴ AD”=15 cm

│38~39쪽│

01 4'5 cm 02^{16p cm¤} 03^{8 cm} 04은희 05③ 06^144˘ 07^{6 cm} 08④

099'3

10

^{6 cm}

11

③

12

^{28p cm¤}

13

^{9 cm}

14

②

15

⑤

16

③

➊회

01

OM”=6-2=4(cm)이므로 △OMB에서 BM”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

∴ AB”=2BM”=2_2'5=4'5(cm)

03

AM”=;2!;AB”=;2!;_24=12(cm) 원의 중심을 O라고 하면

△AOM에서

OM”="√13¤ -12¤ =5(cm)

∴ CM”=OC”-OM”

=13-5=8(cm)

24 cm 13 cm A

O

M B

C

04

원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 두 현의 수직이등분선의 교점이 원의 중심이다.

따라서 필요한 원의 성질을 바르게 적은 학생은 은희이다.

05

AB”=CD”이므로 원의 중심 O와 CD” 사이의 거리는 3 cm 이다. ∴ △OCD=;2!;_10_3=15(cm¤ )

06

O’M”=ON”이므로 AB”=AC”

∠BAC=180˘-2_72˘=36˘

따라서 AMON에서

∠MON=360˘-(90˘+36˘+90˘)=144˘

07

OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”

즉, △ABC는 정삼각형이다.

BC”=x cm라고 하면 x¤ =9'3 x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0)

∴ BC”=6 cm

'3 4

08

∠OTP=90˘이므로 △OPT에서 OP”=øπ5¤ +(5'3)¤ =10(cm)

∴ PQ”=10-5=5(cm)

09

^{OP”를 그으면}

△APO™△BPO (RHS 합동)

△APO에서 ∠OPA=30˘,

∠PAO=90˘이므로 PA”：OA”='3：1

6'3：OA”='3：1 ∴ OA”=6

∠AOB=180˘-60˘=120˘이므로

△OAB=;2!;_6_6_sin (180˘-120˘)

△OAB=;2!;_6_6_'3 =9'3 2

30˘

P 30˘ O

B A 3 6

10

BD”=BE”, CF”=CE”이므로

AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=11+9+8=28(cm) 이때 AD”=AF”이므로 AF”=;2!;_28=14(cm)

∴ CF”=AF”-AC”=14-8=6(cm)

11

∠APO=90˘이므로 △PAO에서 AP”="√9¤ -3¤ =6'2(cm) BD”=BP”, CD”=CQ”이므로

(△ABC의 둘레의 길이)=AP”+AQ”=2AP”

=2_6'2=12'2(cm) M

O

A B

20###m x###m y###m

02

AM”=;2!;AB”=;2!;_4'3=2'3(cm)이고

∠AOM=60˘이므로 △OAM에서 OA” : AM”=2 : '3

OA” : 2'3=2 : '3 ∴ OA”=4(cm)

∴ (원 O의 넓이)=p_4¤ =16p(cm¤ )

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(16)

│40~41쪽│

01 ③ 02③ 03③ 04^{32 cm}05① 06④

072'1å0 cm 08⑤ 09^{3 cm}

10

민희

11

(28'1å0-20p) cm¤

12

④

13

¹

14

^{7 cm}

15

⁶

➋회

01

△OHB에서 BH”="√10¤ -6¤ =8(cm)

AH”=BH”=8 cm, CH”=10-6=4(cm)이므로

△ACH에서 AC”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)

13

AF”=AD”=12-7=5(cm)

BE”=BD”=7 cm이므로 CF”=CE”=11-7=4(cm)

∴ AC”=AF”+CF”=5+4=9(cm)

14

OECF는 정사각형이므로 CE”=CF”=OF”=1 BD”=BE”=3-1=2

AD””=x라고 하면 AF”=AD”=x

△ABC에서 (x+2)¤ =3¤ +(x+1)¤

2x=6 ∴ x=3

∴ AB”=AD”+BD”=3+2=5

15

AB”+CD”=AD”+BC”이므로 10+CD”=7+12 ∴ CD”=9(cm)

△DBC에서 BD”="√12¤ +9¤ =15(cm)

16

AB”+CD”=AD”+BC”=16+14=30(cm) AB” : CD”=2 : 3이므로

CD”= _30=18(cm) 3

2+3

A

D F

B C

O 1 E 3

03

오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하고 원 O의 반지름의 길이를 r cm 라고 하면

OA”=r cm, OM”””=;2!;r cm, AM””=;2!;AB”=;2!;_10'3=5'3(cm) 이므로 △OAM에서

r¤ =(5'3)¤ +{;2!;r}¤ , r¤ =100

∴ r=10 (∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이다.

A B

O

M P r###cm

5 3###cm 21 r###cm

05

AMON에서

∠MAN=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘

OM”=ON”이므로 AB”=AC”

따라서 △ABC는 정삼각형이므로

△ABC='3_4¤ =4'3(cm¤ ) 4

06

PA”=PB”, ∠P=60˘이므로 △APB는 정삼각형이다.

∴ AB”=PA”=9 cm

07

CO”=AO”=3 cm이므로 PO”=4+3=7(cm)

∠PAO=90˘이므로 △APO에서 PA”="√7¤ -3¤ =2'∂10(cm)

∴ PB”=PA”=2'∂10 cm

09

CE”=CF”=7-6=1(cm)

AD”=AF”=7 cm이므로 BE”=BD”=7-5=2(cm)

∴ BC”=BE”+CE”=2+1=3(cm)

12

AE”=AD”=4 cm, BE”=BC”=7 cm이므로 AB”=AE”+BE”=4+7=11(cm) 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

CH”=AD”=4 cm이므로 BH”=7-4=3(cm)

원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 AH”=CD”=2r cm

△ABH에서 2r="√11¤ -3¤ =4'7 ∴ r=2'7

∴ (원 O의 넓이)=p_(2'7)¤ =28p(cm¤ ) B H

C

A D

E O

7###cm 4###cm

04

OA”를 그으면 △OAM에서 AM”="√10¤ -6¤ =8(cm) AB”=2AM”=2_8=16(cm) 이때 OM”=ON”이므로 CD”=AB”=16 cm

∴ AB”+CD”=16+16=32(cm)

M

N O

6###cm 6###cm A

B

C D

08

OA”를 그으면 OA”=5 cm AB”⊥OT”이므로 △OAT에서 AT”="√5¤ -3¤ =4(cm)

∴ AB”=2AT”=2_4=8(cm) ^A _T ^B S O

2###cm 3###cm

10

형민 : △PAO™△PBO(RHS 합동)이므로

△PAO=△PBO

승아 : ∠POA=60˘이므로 △POA에서 PO” : AO”=2 : 1, PO” : 10=2 : 1

∴ PO”=20(cm)

민희 : △POA에서 PA” : AO”='3 : 1

PA” : 10='3 : 1 ∴ PA”=10'3(cm) CE”=CA”, DE”=DB”이므로

(△PDC의 둘레의 길이)=PA”+PB”=2PA”

=2_10'3=20'3(cm) 따라서 틀리게 말한 학생은 민희이다.

02

^{OC”를 그으면}

OC”=;2!;AB”=;2!;_20=10(cm) CF”=;2!; CD”=;2!;_16=8(cm)

△COF에서

OF”="√10¤ -8¤ =6(cm)

A B

C D

E

F O 20###cm

16###cm

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(17)

수 학

│42~43^쪽│

01 ⑴ :¡3¶: ⑵ 4'7 02^{⑴ 3 ⑵ 10} 0312'3 cm

04;5(; cm 05^{8p m} 06^{21 cm¤}

07- 4 cm 07- 2 cm 07- 10 cm

11

DE”=AD”=10 cm, CE”=BC”=4 cm이므로 CD”=DE”+CE”=10+4=14(cm) 꼭짓점 C에서 AD”에 내린

수선의 발을 H라고 하면 AH”=BC”=4 cm이므로 D’H”=10-4=6(cm)

△DHC에서

CH”="√14¤ -6¤ =4'1å0(cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴= ABCD-(반원 O의 넓이)

∴=;2!;_(10+4)_4'1å0-;2!;_p_(2'å1å0)¤

∴=28'1å0-20p(cm¤ )

⑵ OC”를 그으면 OC”=;2!;AB”=;2!;_16 OC”=8(cm)

OM”=8-2=6(cm)이므로

△COM에서

CM”="√8¤ -6¤ =2'7(cm)

∴ CD”=2CM”=2_2'7=4'7(cm)

∴ x=4'7 D

A O B

E 4`cm 10`cm

H C

12

AF”=AD”=3 cm, BD”=BE”=4 cm, CE”=CF”=5 cm

∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”

=2(AD”+BE”+CF”)

=2_(3+4+5)=24(cm)

13

원 O의 반지름의 길이를 r 라고 하면 ADOF는 정 사각형이므로

AD”=AF”=r

BD”=BE”=2, CF”=CE”=3 이므로 AB”=2+r, AC”=3+r

△ABC에서 5¤ =(2+r)¤ +(3+r)¤

r¤ +5r-6=0, (r-1)(r+6)=0

∴ r=1 (∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 1이다.

14

11+8=AD”+12 ∴ AD”=7(cm)

15

꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

DH”=AB”=8이므로 △DHC 에서 CH”="√10¤ -8¤ =6 BC”=x+6이고

8+10=x+(x+6), 2x=12 ∴ x=6 B

A

C

D F

O

2 E 3

A

B H C

D

O x

8 10

01

⑴ OM”=(x-3) cm이므로 △OAM에서 x¤ =5¤ +(x-3)¤, 6x=34 ∴ x=:¡3¶:

C

D

A O B

16###cm

2###cm M x###cm

02

⑴ CD”=2CN”=2_4=8(cm) 즉, AB”=CD”이므로 OM”=ON”

△OCN에서 ON”="√5¤ -4¤ =3(cm) ∴ x=3

⑵ △OCN에서 CN”="√(5'2)¤ -5¤ =5(cm)

∴ CD”=2CN”=2_5=10(cm) 이때 OM”=ON”이므로

AB”=CD”=10 cm

∴ x=10

03

⑴ OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA”

즉, △ABC는 정삼각형이다.

⑵ OA”를 그으면 ∠DAO=30˘

△ADO에서 AD” : OD”='3 : 1 AD” : 2='3：1

∴ AD”=2'3(cm)

⑶ AB”=2AD”=2_2'3=4'3(cm)이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=3AB”=3_4'3 (△ABC의 둘레의 길이)=12'3(cm)

04

⑴ DG”=CG”=;2!;AB”=;2!;_6=3(cm)이므로 DH”=DG”=3 cm

CF”=CG”=3 cm

∴ BI”=BF”=8-3=5(cm)

⑵ EH”=EI”=x cm이므로 AE”=8-(x+3)=5-x(cm)

⑶ △ABE에서 (5+x)¤ =6¤ +(5-x)¤

20x=36 ∴ x=;5(;

∴ EI”=;5(; cm

05

∠OAP=∠OBP=90˘이므로

∠AOB=180˘-60˘=120° …… [2점]

∴ μAQB=2p_6_;3@6$0);=8p(m) ^{…… [2점]}

06

CE”=BC”, DE”=AD”이므로

AD”+BC”=DE”+CE”=DC”=7(cm) …… [3점]

∴ ABCD=;2!;_7_6=21(cm¤ ) ^{…… [2점]}

07-

BD”=BE”=6 cm …… [1점]

AF”=AD”=12-6=6(cm) …… [1점]

∴ CE”=CF”=10-6=4(cm) …… [1점]

2###cm A

B C

D

E F O

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(18)

2. 원주각

│44쪽│

01⑴ AOB ⑵ APB ⑶ AOB

02180, 180, 90 03APB, 25

04⑴ ACD ⑵ BDC

│45쪽│

01 ⑴ 62˘ ⑵ 130˘ ⑶ 40˘ ⑷ 150˘

02⑴ ∠x=20˘, ∠y=45˘ ⑵ ∠x=50˘, ∠y=30˘

03⑴ 30˘ ⑵ 75˘ 04⑴ 28 ⑵ 4

05⑴ 10 ⑵ 25 06㉠, ㉡, ㉢

01

⑴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_124˘=62˘

⑵ ∠x=2∠APB=2_65˘=130˘

⑶ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_80˘=40˘

⑷ ∠x=2∠APB=2_75˘=150˘

│46~49쪽│

대표 유형01④ 01- 96˘ 01- 70˘

01- _{16'3 cm¤}

01- 40 m

대표 유형02⑤ 02- 54˘ 02- ② 02- 23˘

대표 유형03② 03- ① 03- 30˘ 03- ②

03-

대표 유형04① 04- 80˘ 04- 45˘ 04- ②

04- 10 cm 04- ③

대표 유형05^50˘ 05- 60˘ 05- ① 05- 27˘

대표 유형06② 06- ③ 06- 45˘

01^20˘ 02;5$; 03;2(; cm '7

4

대표 유형01 ∠x=2_75˘=150˘

∠y=;2!;_(360˘-150˘)=105˘

∴ ∠x+∠y=150˘+105˘=255˘

03

⑴ ∠APB=90˘이므로 ∠x=180˘-(90˘+60˘)=30˘

⑵ ∠APB=90˘이므로 ∠x=180˘-(90˘+15˘)=75˘

04

⑴ μAB=μ CD이므로 ∠APB=∠CQD ∴ x=28

⑵ ∠APB=∠CQD이므로 μAB=μ CD ∴ x=4

05

⑴ 30˘ : 60˘=5 : x에서 1 : 2=5 : x ∴ x=10

⑵ x˘ : 50˘=7 : 14에서 x˘ : 50˘=1 : 2 ∴ x=25

06

㉣ △ABP에서 ∠BAP=180˘-(35˘+90˘)=55˘

즉, ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

01 -

OB”를 그으면

∠AOB=2∠APB

=2_20˘=40˘

∠BOC=2∠BQC

=2_28˘=56˘

∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC

=40˘+56˘=96˘

01-

OA”, OB”를 그으면

∠PAO=∠PBO=90˘

∠AOB=180˘-40˘

=140˘

이므로 ∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_140˘=70˘

01-

∠BOC=2∠BAC=2_60˘=120˘

∴ △OBC=;2!;_8_8_sin(180˘-120˘)

∴ △OBC=;2!;_8_8_

∴ △OBC=16'3(cm¤ ) '3

2

40˘ O

A

B P C

01 -

원의 중심을 O라 하고 무대의 양 끝을 B, C라고 하면

∠BOC=2∠BAC

=2_30˘=60˘

이때 OB”=OC”이므로 △BOC는 정삼각형이다.

따라서 공연장의 반지름의 길이는 20 m이므로 지름의 길이는 2_20=40(m)

30˘

A

B C

O 20###m 무대

대표 유형02 ∠ADC=∠ABC=65˘

△APD에서 ∠x=45˘+65˘=110˘

20˘

28˘

A B

P Q

C O

07-

BE”=BD”=5 cm, CF”=CE”=9 cm …… [1점]

AD”=x cm라고 하면 AF”=AD”=x cm 이때 △ABC의 둘레의 길이가 32 cm이므로 (x+5)+(5+9)+(x+9)=32

2x=4 ∴ x=2

∴ AD”=2 cm …… [3점]

07-

CE”=x cm라고 하면

CF”=CE”=x cm, BD”=BE”=(7-x) cm,

AD”=AF”=(12-x) cm …… [1.5점]

AB”=AD”+BD”이므로 9=(12-x)+(7-x)

2x=10 ∴ x=5 …… [1.5점]

이때 PG”=PE””, QG”=QF”이므로

(△QPC의 둘레의 길이)=CE”+CF”=2CE”

=2_5=10(cm) …… [2점]