석사 학 위 논 문
문제설정 교수방법이 학습 부진아의 문제 해결력에 미치는 효과에 관한 연구
국민대학교 교육대학원 수 학 교 육 전 공
어 문 수
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문제설정 교수방법이 학습 부진아의 문제 해결력에 미치는 효과에 관한 연구
지도교수 김 재 룡
이 논문을 교육학 석사학위 청구 논문으로 제출함
2004년 6월 일
국민대학교 교육대학원
수학교육전공 어 문 수
2 0 0 3
어 문 수 의
석사학위 청구논문을 인준함
2004년 6월 일
심사위원장
심 사 위 원
심 사 위 원
국민대학교 교육대학원
국문 초록
문제설정 교수방법이 학습 부진아의 문제 해결력에 미치는 효과에 관한 연구
어 문 수
국민대학교 교육대학원 수학교육전공
본 연구는 학습 부진아 즉, 기초적인 학습 기능은 갖추고 있으나 수학교과 의 최소 학업성취 수준에 미달하는 교과학습 부진아를 대상으로 문제설정 교 수학습을 실시하였다. 이는 문제해결력과 수학교과에 대한 태도 및 흥미도에 미치는 효과를 알아보았다. 즉, 문제 해결력을 신장시킴으로 학습 부진아들에 게 수학 교과에 대한 긍정적인 반응을 줄 수 있는 방안을 제시하고자 하는 목 적으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
첫째, 문제설정 교수방법이 학습 부진아의 수학과 문장제 문제 해결력 신장 에 영향을 줄 것이다.
둘째, 문제설정 교수방법이 학습 부진아들의 수학교과에 대한 태도 및 흥미 도에도 영향을 줄 것이다.
이와 같은 연구 문제를 해결하기 위하여 연구 대상은 의정부시에 소재하고 -ⅰ-
있는 H중학교 1학년 2개 반 70명을 대상으로, 학생들에게 6학년 과정의 ‘문자 와 식’ 영역에서 문장제 문제 20문항을 발췌하여 만든 검사지를 통해 학습 부 진아 15명을 선정하였다.
연구 절차는 먼저 본 연구자가 자체 제작한 검사지로 학생들의 문제 해결력 검사를 실시하여 학생들의 학습 능력 수준을 알아보고 한국교육개발원에서 개 발한 수학교과에 대한 태도 및 흥미도에 관한 설문을 실시하였다.
실험은 4주간 8차시에 걸쳐 문제설정 학습을 실시한 후 문제 해결력 검사와 수학교과에 대한 태도 및 흥미도에 관한 설문을 실시하여 학생들의 변화를 살 펴보았다.
문제 해결력의 검사의 사전 및 사후의 결과 분석은 문제해결력 채점기준에 따라 평가한 결과를 t-검정을 통해 비교하고, <학생1>, <학생2>의 구체적인 문제 해결력 변화를 기술하였다. 수학적 흥미도와 태도에 관한 설문의 사전 및 사후 검사의 자료는 각각의 연구 문제에 따라 -검정을 통해 분석하였다.
본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫째, 문제설정 교수방법은 학습 부진아의 문제 해결력에 신장에 효과가 있 다. 따라서 문제설정 학습을 통해서 학습 부진아의 문제를 해결하는 데 도움 을 줄 것이다.
둘째, 문제설정 교수방법은 학습 부진아의 수학교과에 대한 태도 및 흥미도 변화에 영향을 준다. 따라서 문제설정 학습을 통하여 학습 부진아의 자신감, 동기, 학습습관, 반성 영역의 긍정적인 변화를 가져 올 수 있다.
따라서 학습 부진아들에게 문장제 문제를 문제설정 교수방법으로 지도함으 로써 그들의 문제 해결력을 신장시켜주고 수학교과에 대한 태도와 흥미도에 긍정적인 영향을 미쳤다고 할 수 있다.
목 차
국문초록···ⅰ
Ⅰ. 서 론
···11. 연구의 필요성 및 목적···1
2. 연구 문제 ···3
3. 용어의 정의···4
4. 연구의 제한점···5
Ⅱ. 이론적 배경
···61. 학습 부진아···6
가. 학습 부진아의 개념···6
나. 학습 부진아의 특성···8
다. 학습 부진아의 발생원인···14
라. 수학과 학습 부진과 지도방안···18
2. 문제설정 교수방법···21
가. 문제설정을 보는 관점···21
나. 문제설정 교수방법의 개념 및 의의···23
다. 문제설정 교수방법의 유형···25
라. 문제설정의 예···27
-ⅰ-
3. 문제 해결력···29
가. 문제 해결의 전략 및 해결과정···29
나. 문제 해결과 문제설정과의 관계···32
4. 수학 문장제 문제···34
Ⅲ. 연구의 실제
···361. 연구 대상···36
2. 검사 도구···36
3. 실험 도구···37
4. 실험 절차···38
5. 연구의 실제···39
6. 자료 처리···46
Ⅳ. 결과 분석
···481. <연구문제 가>에 대한 결과 분석···48
가. 사전·사후 문제 해결력 검사 결과에 대한 비교 분석 ···48
나. <학생1>, <학생2>의 문제 해결력에 대한 학습효과 분석 ···49
2. <연구 문제 나>에 대한 결과 분석···56
가. 수학 교과에 대한 태도 및 흥미도에 관한 설문조사 결과··· 56
나. 수학 교과에 대한 태도 및 흥미도에 관한 검사 결과 비교 분석··· 59
3. 문제설정 수업에서의 문제점 및 학생의 반응 ···66
-ⅱ-
Ⅴ. 결론 및 제언
···671. 결론···67
2. 제언 ···68
참 고 문 헌···69
ABSTRACT···72
부 록···74
표 목 차
<표1> 사전 사후 문제해결력 검사결과 비교···48<표2> <학생1>의 문제해결에 대한 수행변화···52
<표3> <학생2>의 문제해결에 대한 수행변화···55
<표4> 수학 교과에 대한 사전 태도 및 흥미도 검사 결과··· 57
<표5> 수학 교과에 대한 사후 태도 및 흥미도 검사 결과··· 58
<표6> 수학 교과에 대한 자신감에 대한 질문 분석···59
<표7> 수학 교과에 대한 동기에 대한 질문 분석···60
<표8> 수학 교과에 대한 학습습관에 대한 질문 분석···61
<표9> 수학 교과에 대한 유용성에 대한 질문 분석···62
<표10> 수학 교과에 대한 반성에 대한 질문 분석···63
<표11> 수학 교과에 대한 가치에 대한 질문 분석···64
부 록
<부록1> 수학교과에 대한 태도와 흥미도 설문지···74<부록2> 수학 학습 부진아 판별을 위한 자체 평가지···75
<부록3> 문제설정 학습 활동지···78
<부록4> 문제 해결력 검사지(사전, 사후)···81
<부록5> 문제설정 교수-학습 전개 지도안···83 -ⅲ-
Ⅰ. 서 론
1. 연구의 필요성 및 목적
21C 지식 기반 사회는 기초, 기본이 되는 지식을 탄탄히 갖추고 이를 바탕 으로 그 때 그 때 자신에게 필요한 지식을 끊임없이 습득, 가공, 관리, 창조할 수 있는 능력을 갖춘 자만이 생존하고 발전 할 수 있는 사회이다. 이런 사회 를 살고 있는 아이들은 사회적 변화의 흐름에 대응할 수 있는 자기 주도적 학습 능력이 길러져야 한다. 이를 위해 학교는 모든 학생에 대하여 균등한 교 육의 기회를 제공해야 한다. 그러나 현재의 학교 현장에서는 교육의 양적 확 대로 다수의 학습 부진아가 발생하고 이러한 현상은 학년이 올라 갈수록 누 적되고 있다. 이로 인하여 학습 부진아들은 수업에 대한 흥미를 잃고 자신감 을 상실하고, 더 나아가 사회성 발달도 미진해 지는 경우가 많다. 또한 학교 생활에 대한 부적응, 소외감 등으로 인하여 비행 청소년으로 전환되는 등 악 순환이 나타나고 있다. 그럼에도 불구하고 이들을 위한 관심과 교육 프로그램 은 성과를 이루지 못하고 있는 실정이며 그들을 지도할 수 있는 교육 여건 또한 부족한 실정이다.
2000년부터 초등학교 1, 2학년을 시작으로 단계적으로 적용 되고 있는 제7차 교 육과정은 학습 내용의 30% 감축, 학습자 중심의 교육과정, 수준별 교육과정, 국민 공통 기본 교육과정, 선택중심 교육과정 등을 그 핵심 내용으로 하고 있다. 특히 10년간의 국민공통 기본 교육과정 기간을 설정함으로써 모든 학생이 기본적인 공 통 교과를 제대로 이수해야 함을 명시하고 있으며 이 기간 동안에는 학년에 상관 없이 서로 일관성 있게 연계될 수 있도록 하였다. 이는 개별화 교육을 지향하는 동시에 기초 교육을 강화하는 것으로 수준별 교육과정을 통하여 모든 학생이 최 소한의 필수 내용이라도 반드시 이수할 수 있도록 하는데 그 목적이 있다. 그러나
아직도 우리의 교육 현장은 입시 위주의 교육으로 인해 획일화된 교과서 중심의 교육과정에서 벗어나지 못하여 학생들의 개인차를 고려한 교수․학습 활동이 원 활히 전개되지 못하고 있다. 그래서 대다수의 학생들은 수동적인 학습 활동에 머 물게 되고 그 결과 자율적인 문제해결 능력이 크게 뒤떨어져 있는 것이 현실이다.
특히 학력이 부진한 학생들은 교육과정을 제대로 소화해 내지 못하고 있으며 이 러한 경향은 중학교, 고등학교로 올수록 더욱 심각해져 학습 부적응 문제가 큰 사 회문제로 떠오르고 있다.
제 7차 교육과정에서 수학의 목표가 “수학의 기본적인 지식과 기능을 습득하고, 수학적으로 사고하는 능력을 길러 실생활의 여러 가지 문제를 합리적으로 해결할 수 있는 능력과 태도를 기른다.”라고 명시되어 있다. 최근 수학 교육에서는 이런 문제 해결 능력을 기르기 위한 많은 연구와 노력이 활발해 지고 있는 추세이다.
그중에서 문제 해결 교수 학습을 개선하고 그것을 발전시키기 위한 수단으로 문 제설정에 대한 논의가 많이 일어나고 있다.
Polya는 “How to solve it"에서 문제설정이란 문제를 해결하는 과정에서 해결 수단으로 문제를 새롭게 재구성하는 것이고, 문제를 해결하고 난 뒤 반성 검토 과 정에서 그 문제의 의미와 이해를 심화하기 위한 중요한 수단이라고 보고 있다1). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics(NCTM.1989)와 P rofessional Standards for Teaching Mathematics(NCTM.1991)에서 학생들은 이 미 만들어진 문제를 해결할 줄 알아야 하고 또 그 문제의 문제 해결 과정을 중시 해야 할 뿐 만 아니라 학생들 스스로 실세계의 활동으로부터 문제를 구성하는 활 동도 해야 한다고 강조하고 있다. Brown &Walter는 ”The art of problem posing
"에서 학생들이 문제를 받아들이기만 하는 소극적인 자세가 아니라 그들이 학습 에 직접 참여하여 활동하는 적극적인 자세를 가져야 한다고 했다. 문제 해결 과정 에서도 문제설정이 필요하며 문제를 해결하고 난 다음에도 의문을 가져 새로운
1) Polya, "How to Solve it - A New Aspect of Mathematical Method(2nd ed.)", 우정호(역)(2002). 어떻게 문제를 풀 것인가?. 서울: 교우사, 1957.p.193-205.
문제설정이 요구된다고 했다2). 또한 구성주의자들은 지식은 이미 만들어진 상태 로 학생들에게 전수되는 것이 아니라 학생 자기 자신의 경험 위에 스스로 지식을 만들어 가는 것이라고 하였다. 특히 수학적 지식이나 문제 해결력은 학생 바깥에 서 즉 교사가 가르치는 대로 획득되는 것이 아니라 학생 자신의 기존 경험 위에 서 학생이 직접 수학적 관계를 찾아보고 구성해 보는 활동을 통하여 학생들 나름 대로 지식 체계를 이룰 때 얻어지는 것이라고 했다. 임문규는 수학교육에서 문제 설정과 문제해결의 관한 연구에서 학생들은 문제를 설정하는 활동에 대해 흥미와 관심을 나타내고 이와 같은 문제설정학습을 통하여 학생들의 발산적 사고에 의한 창조적 사고력의 육성이 가능함을 시사해 주고 있다3).
이에 본 연구에서는 학습 부진아들이 좀 더 자기 주도적 학습을 할 수 있도록 중학교 1학년을 대상으로 3월 초에 초등과정의 “문자와 식”영역의 내용을 이용하 여 문제설정 교수학습을 실시하고자 한다. 이를 통해 문제해결력 신장에 도움이 되는지 알아보고, 수학적 태도 및 흥미도에 미치는 효과를 통계적 유의미성을 통 해 분석해 보고자 한다.
2. 연구 문제
가. 문제설정 교수방법이 학습 부진아의 수학과 문장제 문제 해결력 신장에 영향을 줄 것이다.
나. 문제설정 교수방법이 학습 부진아들의 수학교과에 대한 태도 및 흥미도 에도 영향을 줄 것이다.
2) Brown, S. I. & Walter, M. I.(1983). The art of problem posing. Philadelphia, PA : Franklin Institute press. p.47.
3) 임문규, 수학 교육에서 문제설정과 문제 해결의 관련에 관한 연구. 수학교육논 문집, 대한수학교육학회, 1992.
3. 용어의 정의
가. 학습 부진아
학습 부진아는 학습자가 가지고 있는 것으로 생각되는 잠재적인 능력과 실 제로 받은 학업성취가 불일치되는 아동 또는 지능은 보통이면서도 지능 이외 의 어떤 요인에 의해서 자신의 지적인 학습 능력만큼 학습 성과를 올리지 못 하는 아동을 말한다.
교육부에서는 학습 부진아를 읽기, 쓰기, 셈하기에서 최소 학업성취 수준에 미달하는 아동인 기초학습 부진아와 각 교과가 요구하는 최소 학업성취 수준 에 미달하는 아동인 교과학습 부진아로 나누어 정의하고 있다.4)
이를 바탕으로 하여 본 연구에서는 기초적인 학습 기능은 갖추고 있으나 수 학교과의 최소 학업성취 수준에 미달하는 교과학습 부진아를 학습 부진아로 정의한다.
나. 문제설정
문제설정은 학자에 따라 problem generation, problem formulation, problem posing, problem definition 등의 다양한 용어를 사용하고 있다. 이것은 두 가 지 관점으로 생각해볼 수 있다. 하나는 “문제 만들기”로서 주어진 수학적 문 제를 보고 새로운 문제로 바꾸어 나가는 활동이고 다른 하나는 “문제 꾸미기”
로서 현실적 상황을 수학적 문제로 바꾸는 활동, 즉 상황을 수학적으로 해결 하는 활동이라고 볼 수 있다.5)
4) 교육부, 창조적 지식기반 국가건설을 위한 교육발전 5개년 계획, 서울: 교육 부.1999. p.109-110.
5) 정지호, 임문규, 문제설정의 교수-학습에 관하여(1). 수학교육, 제31권 3호, 한국수학교육 학회지,1992.8. p.55-62
다. 문제 해결력
문제 해결이란 “ 새로운 문제에 직면했을 때 자신의 경험을 토대로 수학적 아이디어를 적용시켜 구체적으로 문제를 해결해 가는 능력”을 말한다. 구체적 으로 문제 이해능력, 해결능력, 계획수립능력, 검증능력, 일반화능력 등이다.
본 연구에서 문제 해결력은 문장제 문제를 해결하는 능력으로 정의한다.
라. 문장제 문제
문장제 문제란 여러 문장으로 구성된 수학 문제를 말하는데 이러한 문제는 아동에게 수학 지식을 구성할 수 있는 경험을 제공한다. 그리고 단순한 셈뿐 아니라 수학 개념, 추리와 평가 기술, 언어와 읽기, 이해력도 발달시킬 수 있 다. 또한 문장제 문제는 “다면적인 과정”이라 볼 수 있다. 환경과 관련된 ‘상 황 변인’, 학생들의 선행 지식, 흥미, 태도와 동기적인 필요 그리고 능력과 관 련되는 ‘개인 변인’, 교수방법과 전략, 자료의 정의와 관련된 교수 변인이 포함 되기 때문이다. 즉, 문장제 문제는 단순히 계산만을 요하는 것이 아니라 문장 이해력과 문제 해결력을 길러 주는 효과가 있다고 할 수 있다.
4. 연구의 제한점
본 연구에는 다음과 같은 제한점을 갖는다.
가. 본 연구는 경기도에 있는 중학교 1학년을 대상으로 하였으므로 타 지역, 다른 연령층의 학생들에게도 본 연구의 결과가 동일하게 적용될 것이라고 일 반화하는 데는 제한점이 있을 것이다.
나. 본 연구에서 사용한 수학 학습 내용은 초등학교 4학년, 5학년, 6학년 ‘문 자와 식’ 영역으로 한정한다.
다. 본 연구의 모든 과목의 부진아에 대한 연구가 아니라 수학과목의 성적 이 부진한 학생들에 대해서만 한정한다.
라. 본연구의 학습 부진아 선별은 연구자의 주관적인 분류이므로 일반화를 하는데 제한점 있다.
Ⅱ. 이론적 배경
1. 학습 부진아
가. 학습 부진아의 개념
우리나라에서 학습 부진의 개념들이 어떻게 형성되어 왔으며 학습 부진아 연구들이 어떻게 발전되어 왔는지를 살펴보면, 학습 부진아는 주로 지능과 같 은 지적 능력이나 학습 가능성에 치중하여 개념화되었고 학습지진아와는 별개 의 개념으로 간주되었다. 예를 들어, 이화여자대학교 인간발달연구소에서는 학 습 지진아는 보통 이하의 지능을 가진 아동인 반면, 학습 부진아는 지능은 보 통이고 다른 어떤 요인에 의해 개인의 가능성만큼 성취하지 못하고 있는 아동 으로 정의했다.6) 학습 부진아의 경우 지능이 보통 이상이어야 한다는 제한은 없지만 지능과 비교하여 학습 성취가 뒤떨어지는 아동으로 개념화하려는 경향 은 여러 곳에서 찾아볼 수 있다. 이와는 달리 정원식 외는 지능의 수준에 대 해서는 별다른 제약을 두지 않고 개인의 학습 가능성에 비추어 보아 기대되는 6) 이화여자대학교 인간발달연구소, 중학교의 학습부진 학생 지도를 위한 실험적 연구. 이화여자대학교, 1972. p.6.
성취 수준에 미달되어 있는 아동을 학습 부진아라고 정의했다.7) 이상로는 학 습부진의 현상을 선천적인 능력이 부족하여 아무리 노력해도 되지 않는 정신 박약아(mental deficiency)와 정상적인 능력을 갖추었음에도 불구하고 자신의 노력이나 성격 및 기타 환경적 요인으로 인해 자신의 능력만큼의 성취를 보이 지 않는 학습 부진아(underachiever)의 두 가지로 나누어 설명했다. 이때 정신 박약아는 1～3%, 학습 부진아는 19～24%의 출현율을 보인다고 하며 학습 부 진아 문제의 심각성을 지적했다.8) 한편, 황정규는 최저 수준이라는 개념을 도 입했는데, 그는 개인의 내적 혹은 외적 원인에 의해 그 개인의 발달 수준 및 교육단계에서 요구하는 학습과제에서 수락할 수 있는 최저성취 수준(acceptab le minimum performance)에 도달하지 못한 학습자를 학습 부진아로 정의했 다.9)
박성익(1986)은 과밀학습, 교수-학습 자료의 부족 등으로 누적적인 학습결손 이 초래된다는 우리나라의 교육적 특수성을 지적하며 학습 부진아를 정상적인 학교학습을 할 수 있는 능력이 있으면서도 선수학습기능의 결손으로 인하여 수락할 수 있는 최저 학업성취 수준에 도달하지 못한 학습자라고 정의했다10).
교육부는 1999년에 발표 한 ‘교육발전 5개년계획’에 학습 부진아 교육 강화 에 대한 구체적인 정책을 포함시켰다. 여기에서 학습 부진아를 “지능은 정상 이나 읽기, 쓰기, 셈하기(3R's)를 포함한 각 교과가 요구하는 최소한의 학업성 취 수준에 미달한 자”로 정의했다.11)
7) 정원식 외, 학습 부진아의 원인 규명을 위한 사례연구, 한국교육개발원, 1979, p.20.
8) 이상로, 학습 부진아 지도를 위한 시책과 방향, 서울: 교육과학사, 1971, p.14 9) 황정규, 학습사의 맥락에서 본 학습 부진아, 서울: 교육과학사, 1979, p.13-28 10) 박성익, 학습 부진아 교육, 서울 : 한국교육개발원, 1986.
11) 교육부, 전게서, p.109-110.
이상을 종합해볼 때 우리나라에서 학습부진에 대하여 합의된 정의는 없지만 대체로 다음과 같은 일반적인 특징이 있다.12)
첫째, 학습부진의 발생 원인보다는 결과적으로 나타나는 현상에 초점을 둔 다.
둘째, 학업성취와의 비교준거를 지적 능력(주로 지능지수)에 두고 있다.
셋째, 학습부진의 원인을 정보처리의 결함, 뇌손상과 같은 개인 내적인 원인 보다는 누적적 학습결손, 학습전략과 같은 교수-학습 환경에 두고 있다
따라서 학습 부진아 교육을 효과적으로 하기 위해서는 우선적으로 이러한 개 념들의 재정립이 필요하다. 또한 지속적인 연구와 실천이 계속되어야 한다.
나. 학습 부진아의 특성
학습 부진아들은 지적, 정의적 행동 특성 면에서 보통의 또래들과는 의미 있게 다르다. 그 동안 많은 학자들이 학습 부진아들의 행동특성에 대해 여러 가지로 설명해 왔다. 학습 부진아 연구가 시작된 비교적 초기에 Kirk 등(1955) 은 학습 부진아들이 지적, 정의적, 사회적, 신체 및 신경 발달에 있어서 일반 아동에 비해 현저한 차이를 보인다고 하면서 다음과 같은 특성들을 지적한 다.13)
․주의력의 지속성이 없고 산만하다.
․상상력과 창의력, 사고력이 제한되어 있다.
․자극에 대한 반응시간이 더디다.
12) 김선, 김경옥, 김수동, 이신동, 임혜숙, 한순미 공저 .「학습 부진아의 이해와 교육」, 학 지사, 2001.p.18-20
13) Kirk, S.Q., Karnes, M.B., & Kirk, W.D.(1955). You and your retarded child.
N.Y : The Macmillan Co.
․매사에 무관심하고 자신이 없으며, 의타적이고 흥분과 민감성을 보인다.
․지적으로 지진하며 특히 읽기에서 더 심하고 성취연령이 생활연령에 비해 낮은 편이다.
․자기 신뢰감이 결여되어 있거나 쉽게 상실된다.
․남에게 잘 속고 마음이 불안정하며 수줍음을 잘 타고 복종적이다.
․파지 및 기억력이 낮다.
․추상적 사고, 상징적 표현, 결과의 평가, 예측 등의 능력이 약하다.
․관념의 전이, 흥미의 지속성이 결여되어 있다.
․자제력이나 상황의 변화, 대인관계의 적응력이 약하다.
․독창성, 어휘력, 합리성, 개념구성, 판별력, 분석력 등의 수준이 낮다.
․공포, 불안 등에 의하여 쉽게 혼란을 느낀다.
․게으른 편인데, 이것은 건강 및 정서적인 부적응에서 기인된다.
․조속한 결과를 기대하며 결론을 비약하려는 경향이 강하다.
학습 부진아들 간에는 개인차가 크기 때문에 이들이 여기에서 제시한 특성 들을 모두 가진다고 일반화하는 것은 주의를 요하는 일이다. 그래서 모든 범 주의 학습 부진아에게서 나타날 수 있는 행동 특성에 대해 인지적 특성과 정 의적 특성으로 나누어 살펴보기로 한다. 아울러 학습 부진아들을 다시 공통되 는 특성에 따라 하위 유형별로 분류하여 그들의 특성들에 대해 살펴보면 다음 과 같다.14)
1) 인지적 특성
학습 부진아의 행동특성들 가운데 가장 일반적으로 지적되는 특성들은 인지 적 특성에 관련된 사항들이다. 학습 부진아의 인지적 행동특성으로 자주 지적 되는 대표적인 것들로는 낮은 지능, 낮은 기억력, 기초적인 학습 기능의 결손, 언어능력의 결함, 느린 학습속도와 같은 것들이다. 여기에서는 지능, 학습기능, 14) 김선, 김경옥, 김수동, 이신동, 임혜숙, 한순미 공저 . “전게서”, p.57-82
언어능력, 기억능력을 중심으로 학습 부진아의 행동특성을 살펴보기로 하겠다.
⑴ 지능지수(IQ)
일반적으로 IQ는 학업성취를 예측하는 데 있어 단일 지수로서 가장 큰 변량 을 설명할 수 있는 예언 변인이라는 점이 여러 연구 결과로 나타났다. 많은 교육자 및 여러 연구자들은 학습 부진아들의 지능이 대체적으로 낮다고 생각 한다. 실제로 이 아동들 가운데는 지능 검사의 결과가 평균에 비해 낮게 나타 나는 경우가 자주 있다.
⑵ 학습기능 및 학습전략
학습 부진 아동들이 결함을 나타내는 보편적인 학습 영역은 읽기, 쓰기, 셈 하기이다. 이 아동들은 대체로 한 두 영역에서 결함을 보이지만 여러 영역에 서 결함을 보이는 아동들도 있다. 학습 부진아들은 특히 학년이 올라갈수록 선행 지식 및 기능의 부족으로 말미암아 누적적인 학습 결손을 초래하게 되고 학습 부진 현상은 심화되어 간다.
학습 부진아들은 학습기능의 결함 외에도 학습전략이나 지식 획득전략 또한 잘 사용하지 못한다. 이러한 결핍현상은 노트하기, 개요 쓰기 기능과 같은 단 순한 것에서부터 지식 획득전략의 필요성과 유용성을 의식하지 못하는 것과 같은 보다 복잡한 것에 이르기까지 다양할 수 있다.(Langone,1990)15).
⑶ 언어능력
교과서를 비롯한 여러 종류의 교재들은 언어 위주로 구성되어 있기 마련이 다. 교육내용을 전달하려 하는 교사들의 교수활동 또한 주로 언어를 그 매개 로 한다. 따라서 학습자의 언어능력은 학업성취를 좌우하는 주 요인이라 할
15) 김선, 김경옥, 김수동, 이신동, 임혜숙, 한순미 공저 . “전게서”, p.57-82에서 재 인용
수 있다 다양한 언어 능력의 결핍은 모든 범주의 학습 부진아들에게 공통적으 로 나타난다.
학습 부진아에 대한 많은 연구들은 학습 부진아들이 어휘력, 표현력 등이 부족하고 의사소통능력이 떨어진다고 보고하고 있다. 학습 부진아는 언어능력, 의사소통능력에 장애를 가지고 있어서 언어검사에서 정상아보다 낮은 성취를 보이며, 이들의 부적절한 언어 사용은 학습부진의 주요 원인이 된다는 것이다.
⑷ 기억능력
기억능력은 학습과 매우 밀접한 관련을 맺는 능력으로서 기억에 결함을 갖 는 개인들은 학업 상, 그리고 여러 가지 문제해결에서 많은 어려움을 갖게 된 다. 기억 문제는 여러 학습 부진아들을 괴롭히는 문제이다. 시각적, 청각적 기 억장애는 학습과정에 큰 영향을 미치게 된다.
2) 정의적 특성
학습 부진아들은 앞서 살펴본 바와 같은 여러 형태의 인지적 결함을 보일 수 있는 것 외에도 정서적이고 사회적인 적응에 많은 어려움을 겪을 수 있다.
학습 부진아들의 동기적이고 사회적인 요인들이 학습부진을 가져오는 중요한 역할을 한다는 데 대한 인식이 증가하고 있다. 학업성취를 결정하는 요인들은 지능을 비롯한 인지적 특성만이 아니라 정의적 특성을 포함한 개인의 모든 생 득적, 개인적 요인과 문화적 환경적 상호작용에 기인하게 된다.
정의적 행동특성은 태도나 인성과 같이 아동의 내면적 요인들을 말하는 것 으로서, 이것들은 아동의 학습사와 관련을 맺으면서 습관과 같이 지속성을 갖 는다. 이는 주의력 결핍, 부정적 자아개념, 과잉행동, 충동성, 공격성, 낮은 학 습동기, 낮은 지적 호기심, 사회적 부적응성 등이 지적되어 왔다. 여기에서는 보다 자주 거론되는 것들을 중심으로 살펴보기도 하겠다.
⑴ 주의력 결핍
일반적으로 학습부진 아동들에게 가장 자주 지적되는 행동특성 중 하나가 주의력이 결핍되어 있다는 점이다. 주의력 결핍에 대한 연구들은 특히 학습장 애(learning disability:LD)를 가진 아동들과 주의력 장애를 가진 아동들을 대 상으로 많이 이루어져오면서 여러 형태의 주의력 결핍을 확인해 왔다.
⑵ 부정적 자아개념
자아개념은 자신의 행동, 능력, 신체 또는 인간으로서의 가치에 대해 가지는 태도, 견해 가치관의 총체라 할 수 있다. 아동의 자아개념은 타인과의 관계에 서 발달하게 된다. 아동들은 가정에서는 부모 및 형제들과 그리고 학교에서는 교사 및 또래들과 관계를 형성하고 그러한 사회적 관계 속에서 자신의 모습을 지각하게 된다. 이러한 관계 속에서 아동들은 자신에 대한 일정한 관점인 자 아 개념을 형성하게 되는데 이것은 시간의 경과와 더불어 점차 긍정적으로나 부정적으로 영글어 가게 된다. 자아개념은 주어진 환경에서의 경험을 통해 형 성되며, 환경적인 강화와 중요한 타인에 의해 많은 영향을 받게 된다.
⑶ 과잉행동
학습 부진아들의 과잉행동은 주의력 결핍과 더불어 빈번하게 지적되는 사항 중 하나이다. 박성익은 기존의 연구들을 검토하면서 학습 부진아의 과잉행동 관련 연구들을 분석하여, 결과들을 세 가지로 분류하여 제시하였다. 첫째로, 학습 부진아는 정상아에 비해 더 과잉 행동적이다. 정상아에 비해 학습 부진 아들은 ‘교실 돌아다니기’, ‘많이 떠들기’ 등 학습과제와 관련 없는 자기 목적 적 행동을 더 많이 한다는 것이다. 둘째, 학습 부진아들은 높은 활동 수준을 보고하기는 하나 학습 부진아와 정상아 간의 활동 수준에 있어서 뚜렷한 양적 차이를 입증할 만한 증거가 없다는 것이다. 셋째, 학습 부진아는 자유로운 상 황 하에서는 정상아보다 더 활동적인 것은 아니나 구조화된 상황 하에서는 보
다 더 과잉 행동적이라는 것이다.16)
⑷ 사회적 기술의 부족
학습 부진아들은 사회적 상황을 잘못 이해하거나 사회적 문제해결력이 부족 하며 다른 사람의 입장이나 감정을 이해하는데 어려움을 갖는 것으로 지적된 다. 학습 부진아에 대해 또래, 교사, 부모는 부정적인 태도를 취하거나 거부하 는 경향이 있으며, 이들은 교실에서 인기가 없고 더 자주 거부당하는 것으로 나타났다. 이와 같은 결과는 학습 부진아에게 사회적 기술이 부족하고 사회적 적응에 어려움이 있음을 나타내는 것으로서 여러 연구들에서도 학습 부진아들 의 학업성취와 사회적 지위 간에는 정적인 상관이 있음을 보여준다.
⑸ 충동성
학습 부진아의 행동특성 가운데 자주 언급되는 것 중의 하나의 충동성(impu lsivity)이다. 충동성이란 문제 해결 시에 여러 다른 대안들을 사려 깊게 충분 히 고려하지 않고 빨리 반응해 버리는 것을 일컫는다.
⑹ 파괴적 행동
학습 부진아들은 정상적인 또래들에 비해 더 파괴적이다. 여기에는 여러 이 유가 있을 수 있는데, 학업내용을 숙달하려는 그들의 성공적이지 못한 시도에 좌절할 수 있다. 또한 충동의 통제가 잘 안될 수 있고 쉽게 혼란될 수 있고, 상식적으로 행동하지 못할 수 있다.
16) 박성익, “전게서”, p.409-415
다. 학습 부진아의 발생원인
학습 부진의 문제를 다룰 때 가장 주목해야 할 변인 학습자 변인이고 다음 은 환경 변인을 들고 있다. 이 두 변인을 중심으로 학습 부진의 원인을 열거 해 보고자 한다.17)
1)학습자 원인
⑴ 신체적인 원인
① 시각, 청각 등 감각기관의 결함
눈이 나빠서 칠판의 글씨를 알아보지 못해 공부가 뒤떨어지는 경우 가 흔히 있다.
② 운동기능의 장애
운동기능이 부족해서 남을 따라가지 못하고 학습에 흥미를 잃게 되 거나, 직접적으로 운동기능이 필요한 학습에서 실패를 가져온다.
③ 허약한 몸
몸이 허약해서 지구력이나 주의집중력이 부족해지는 경우이다.
⑵ 인지적 내지 능력특성에 관계되는 원인
① 선수 학습의 누적적 결손
과거에 실패한 것이 쌓여 와서 점점 학습 과제가 어려워지게 되고 동기와 학습 의욕을 잃는 것을 말한다. 결손의 역사가 오래될수록 실 력은 부족해지고 성적의 큰 차이를 가져오게 된다. 특히 기초학력의 부족은 모든 과목에서 치명적인 부진의 요인이 된다.
② 언어능력의 부족
학교 학습에서 학습활동의 매개체로 크게 활용되는 것이 언어이다.
17) 한국교육개발원, 중학교 학습 부진 학생을 위한 프로그램 개발 연구,1984.
p.26-31
언어의 능력이 부족하면 학습활동에 지장을 초래하기 마련이다. 특히 언어는 사고의 근본이 되므로 사고를 요하는 학습에서 더욱 장애가 된다.
③ 특수능력의 부족
학습과제에 따라서는 특수능력이 필요한 것이 있다. 예컨대 음악 학 습에는 음을 변별할 수 있는 능력과 소리를 정확하게 낼 수 있는 힘 등이 필요하다. 계산을 요하는 학습에는 계산력이 필요하다. 이러한 학습에 그 필요한 능력이 부족한 경우에는 잘 따라가지 못한다.
④ 보다 광범위한 문화의 경험의 결핍
어린이가 성장하는 과정에서 풍부한 문화적 자극을 받느냐, 단조롭고 비약한 문화적 환경 속에서 자라느냐 하는 것은 지적 발달에 큰 영향 을 끼친다. 문화적 환경은 지능 발달과도 직접적인 관계가 있다.
⑶ 정의적 내지 인성 특성에 관계되는 원인
① 학습 동기, 성취동기의 결여
동기와 학업성취와는 높은 상관이 있음을 여러 연구에서 밝히고 있다.
다만 동기는 그 강도를 측정하는 일이 어려우므로 조작적으로 다루기 가 힘든 변인이다. 동기의 개선은 곧 성적 향상의 수단이 될 수 있다.
동기 중의 하나인 성취동기는 육성이 가능한 것으로 학업성취와는 높 은 상관이 있음을 여러 연구에서 밝히고 있다.
② 학습에 대한 흥미
학습에 대한 흥미 역시 중요한 변인이다.
③ 좋지 않는 학습 습관
공부할 때 자세를 바로 하고 일정한 시간을 지속하면서 열중하는 습관 을 갖는다는 것은 매우 중요하다. 일정한 과제에 열중하고 사전이나 안내서를 이용하면서 스스로 문제해결에 도전하는 자세로서 공부하는 요령과 습관을 가지고 있는 경우와 그렇지 못한 경우와는 성적에 큰
차이를 자져온다. 학습 부진아는 대개 이러한 학습 습관이 확립되어 있지 않다.
④ 부정적 자아개념
학습 부진아는 일반적인 자아개념에 있어서도 부정적일 뿐만 아니라 특 정한 학습과제에 관련되어 자아 개념은 특히 부정적이다. 그러므로 특 정 관계에 대해서 자신감이 없고 배우기를 두려워하거나 자기와는 무관 한 것으로 여기기 쉽다.
⑤ 인성적 통정의 결여
인성이 통정되어 있지 않아 때로는 높은 포부수준을 갖다가 갑자기 포 부수준을 내리는 등 균형을 잃은 행동을 하거나 행동의 방향이 불완전 해지면 공부에서도 성과를 기대하기 어렵다. 심한 열등감에 젖어 있거 나 주위가 산만하고 자기중심성이 강한 어린이에게서도 이러한 인성의 통정이 결여된 것을 엿볼 수 있다. 결과적으로 학업성적이 뒤떨어지게 된다. 인성의 통정이라는 변인은 광범위한 특성들을 포함하고 있어서 조작적으로 변별해내기 어려운 것이나 생활지도에서 중시해야 할 요인 이다.
2) 환경요인
⑴ 가정환경상의 원인
가정환경 원인을 다음과 같이 주장하였다.
① 부모 자녀 관계의 장애
부모 자녀 관계가 원만하지 못하고 특히 갈등관계에 있으면 부모가 요 구하는 학업에 태만하게 되고 때로는 심한 반발을 하게 된다. 갈등이 심하면 인성적인 문제를 유발하게 될 뿐만 아니라 학업에도 지장을 주 게 된다. 부모가 너무 지나진 기대를 하거나 방임을 하는 경우도 학업 의 부진이 될 수 있다.
② 형제간의 갈등
여러 형제들 속에서 자라고 있는 어린이가 불평등한 대우를 받거나 형 제간의 갈등을 가지고 가정에서의 학습생활에 지장을 초래하게 된다.
③ 가정의 낮은 경제 사회적 지위
일반적으로 경제 사회적 지위가 낮은 하류 가정 출신 어린이들이 성적 이 떨어진다는 것이 사회학자들의 연구의 결과이다. 포부 수준이 낮고 문화적으로 빈약한 가정의 어린이들은 자신도 포부 수준이 낮고 성취 동기가 낮게 된다.
이상과 같이 학습 부진아들은 발달 초기에 지적 자극의 결핍, 지적 경험의 부족, 가정환경의 교육적 결함으로 기초개념의 부족, 언어능력의 부족, 지적 흥미 및 지적 호기심의 상실, 언어 모델의 불량, 정적 자아개념의 형성 등 학 습 기능이 부족한 상태로 유년기를 보낸다.
⑵ 학교 환경상의 원인
대부분의 교사들은 정상적인 환경에서 정상적으로 발달한 아동을 대상으로 지시하고 설명한다. 따라서 교육적으로 부족한 환경에서 자란 아동들은 기초 개념 및 언어 능력의 부족으로 학교생활의 초기부터 교사들의 지시나 설명을 이해하기가 힘들다. 더욱이 이들은 추상적인 개념과 표현력이 부족하기 때문 에 교사들의 질문에는 더욱 반응하기가 곤란하다. 그리고 지적 흥미와 지적 호기심이 부족하고, 학습속도도 느리다. 때문에 획일적이고 속도가 강조되는 학교 학습에서 날이 갈수록 이들의 실패가 많아지고 지적 흥미나 학습 동기는 더욱 줄어들고 주위 집중력도 약화된다. 결과적으로 이들의 계속적인 지적 실 패는 지적 흥미와 학습동기의 상실, 부정적인 자아개념 형성, 주위집중의 약화 를 가져온다.
이상에서 살펴본 바와 같이 학습 부진아는 가정과 학교에서의 교육적 혜택 을 못 받아 주어진 학습과제를 수행하는 데에 필요한 학습기능에 결함을 갖게
되어 정상적인 학교 학습을 수행하기 어려운 처지에 이르게 된다.
라 . 수학과 학습 부진과 지도방안
특히 수학에서의 학습 부진아의 원인에 대해 알아보면 다음과 같다.18)
1) 학습 부진아의 수학 학습부진 원인과 기피원인
수학의 학습에서 부진함을 보이는 학습 부진아들은 인지적인 면에서 학습의 어려움을 갖고 있거나, 인지 외적인 면인 사회적, 감성적 또는 동기유발 면에 서의 결함을 갖고 있다. 학습 부진아들은 수학의 내용이나 개념을 학습하는데 필요로 하는 추론의 능력이나 논리적인 과정의 수행 능력 면에서 평균적인 지 적 수준에 못 미치는 경우가 많다. 그리고 이해가 된 내용이라도 그 내용이 처음에 주어진 상황과 다른 상황에 적용하는 데는 또 다른 어려움을 나타낸 다. 반영적인 사고가 어려운 학생들의 경우 복합적인 문제 해결의 과정을 수 행하거나 정리를 증명하는 능력이 부족하다. 이러한 학생들은 주어진 개념을 이해하려 기보다는 외우려 하고, 문제 해결에서도 그 문제 해결의 부분적인 과정의 이해가 되지 않은 상태에서 각 문제해결의 단계들을 단순히 암기하려 는 경향이 강하다. 그리고 학습 부진아들은 논리적인 추론의 순서나 구조 등 의 면에서 제대로 갖추고 있지 못하다. 즉, 이들은 수학을 개별적인 규칙이나 과정들이 임의로 모여 있는 집합체라는 수학에 대한 잘못된 개념을 갖고 있는 경우가 많다. 따라서 이러한 학생들에게 수학은 아무 의미가 없이 무미건조하 면서 자신들에게 좌절감만을 안겨 주는 교과가 되는 것이다.
학습 부진아들이 평균적인 학생들에 비하여 저조한 수학 성취도를 보이게 18) 이용률 성현경 정동권 박영배 정은실 박교식 강문봉 백석윤 유현주 공저,
「초등수학교육론」, 경문사, 1997, p.288-292
되는 이유는 인지적인 면에서와 같은 부족한 점 외에도 학교 수학 학습과 관 련된 사회적, 감성적 동기유발 등의 면에서도 그 원인을 찾아 볼 수 있다. 우 선 학습 부진아들은 수학 시간에 교사나 동료 학생들로부터 인정을 받지 못하 는 상태에 처한 경우가 대부분이다. 따라서 수학 이외의 다른 교과나 행위를 통하여 인정을 받으려 하는 심리가 강하다. 어떤 학생들은 수학을 함으로써 얻게 되는 이득에 대하여 단기적인 기대에만 치우쳐 우선 전체적인 수학 학습 의 중간 부분에 그 학습이 흥미롭지 않거나 즉각적인 소득이 없다고 생각되는 경우 이를 쉽게 포기하려는 경향이 있다. 즉 장기적인 수학 학습의 의욕을 갖 고 있지 못하는 경우도 있다. 그리고 수학 학습자의 주위에 있는 학습자의 부 모, 친구 들이 수학 학습에 대하여 갖고 있는 생각이나 태도가 이러한 학습자 에게 미치는 영향이 크다고 할 수 있다. 특히 부모가 수학이라는 교과에 대하 여 갖고 있는 학문적 사회적인 효용성에 대한 생각은 학습자가 수학을 대하면 서 갖게 되는 수학이라는 교과에 대한 생각과 수학 학습의 태도에 지대한 영 향을 미친다.
2) 학습 부진아의 수학 학습 부진 지도방안
수학교과에서 하위집단 학생들은 수학 학습에서 특별한 문제점이 있는 셈이 다. 그러므로 학교에서 이들에게 적절한 수준의 성취를 이루게 하기 위해서는 이들에게 알맞게 특별히 고려된 조치가 필요하다. 이러한 조치는 우선적으로 학습 부진아들의 현재의 수학적 능력에 대한 정확한 평가의 작업과 이들이 갖 고 있는 여러 측면에서의 학습부진에 대한 이유의 파악이 필요하다. 대부분의 학습 부진아들은 학습시키고자 하는 수학의 내용들이 가능한 작은 단위로 제 시되어야 하며, 다양한 과제나 행위의 형태로 부여 되어야 한다. 그리고 학습 부진아들은 교사의 개별적인 관심과 지도 조언을 필요로 하며, 각 개인들 나 름대로의 학습 방식이나 학습의 속도에 맞추어진 수학 학습을 하도록 해야 한
다.
수학교과의 흥미와 동기유발을 돕기 위한 방법으로 내용의 제시나 설명에서 수학사의 관련 자료를 이용하거나, 그 내용과 관련된 수학자의 업적이나 실제 생활에서의 소재 또는 흥미 있는 수학의 개념이나 원리 그리고 학습자 중심의 수업 활동 등을 이용하는 것을 생각해 볼 수 있다. 또한 그들로 하여금 수학 에 대하여 갖는 부정적인 느낌을 자유로이 토론할 수 있게 하여 교사가 학습 자 개개인이 갖고 있는 문제의 해결에 참고할 수 있어야 한다. 그리고 학습 부진아들을 위한 학습 목표는 항상 분명하고 구체적으로 명시되어야 하며 학 습자도 이를 알고 있어야 한다. 인지적 목표는 부과되는 과제를 비롯하여 수 업의 활동이나 학습자의 성취도 검사 시에도 모두 관련되어 있어야 한다. 학 습의 목표는 학습자 개인별로 지정되어야 하며 각 학습자가 모두 자신의 학습 목표를 거의 달성할 수 있다는 전망을 하기에 충분할 정도로 실제성을 띠어 전체적으로 성공 지향적이 되어야 한다.
학습 부진아들은 일반적으로 수학 학습에 싫증을 내기가 쉽기 때문에 이들 에게는 다양한 학습 형태를 선택할 수 있게 하여야 된다. 단순히 반복되는 형 태로의 교수방법은 지양되어야 하며, 항상 새로운 소재와 시청각적인 방법의 도입이 중요하다. 수업의 분위기를 자유로우면서도 학습의 의지를 이끌어 낼 수 있는 자극제의 사용과 학습자 나름대로 보여 주는 창의성이나 독창성을 격 려하는 등의 방법으로 수학 학습에 지속적이고 의욕적인 관심을 갖도록 유도 해야 할 것이다. 그리고 이와 같은 학습을 하는 가운데 학습 부진아들도 스스 로가 수학 학습을 한다는 일종의 자신감과 인정을 받는다는 느낌을 가질 수 있어야 한다.
2. 문제설정 교수방법
가. 문제설정을 보는 관점
문제설정은 모든 지적인 탐구 활동 영역에서 빈번히 일어나는 활동이다. 우 리가 사회생활 속에서 부딪히는 많은 문제를 해결하려고 할 때 보통은 그 해 결 방법이 얼른 보이지 않는다. 그 문제를 해결하기 위해 가설을 세우고 자료 와 조건을 수집하고 잠정적인 결론을 내려 그 타당성을 여러 특수한 경우에 비추어 검정하고자 한다. 이 때 추측이나 유추로 만든 가설이나 잠정적 결론 이 모순에 부딪히게 되면 문제를 변형 수정하여 다시 검정을 하는 활동이 반 복하여 일어난다. 수학의 지적인 탐구 활동에서도 이 문제 만들기 활동은 빈 번히 일어나는데 곤란에 부딪히면 주어진 문제를 재 진술하거나 변형된 문제 를 만들어 보거나 하여 문제 해결을 용이하게 한다. 문제설정은 새로운 문제 를 생성해 내거나 주어진 문제로부터 문제를 재 진술하는 것과 관련이 있다.
그래서 문제설정은 문제를 풀기 전에도, 푸는 중에도, 풀고 난 후에도 일어난 다(Silver).19)
Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematic(NCTM,1989) 과 Professional Standards for Teaching Mathematics(NCTM,1991)에서는 교 실 수업에서 문제 만들기 활동을 많이 하도록 요구하고 있다. 문제 해결 능력 을 개발하기위해 이미 만들어져 있는 문제를 푸는 것뿐만 아니라 소집단 또 는 학급 전체 학생이 오랜 시간이 걸려 협력해야 하는 문제도 다룰 필요가 있다. 바로 답이 주어지지 않는 탐구형 문제도 다루어야 하며 아울러 학생들 이 문제를 구성하는 활동도 필요하다며 이를 강조하고 있다. 또한 수학 학습 19) Silver, E. A.(1993) On mathematical problem posing. Proceedings of seventeenth international conference for psychology of mathematics education, Vol.Ⅰ, p.66-85.
의 본질은 탐구하고, 유추하고, 조사하고 평가하는 그 자체이다. 과제는 학생 이 쉽게 접근해서 그들의 수학적 지식과 문제해결력을 향상시켜 줄 수 있도 록 학생들에게 제시해야 한다. 또 한편으로 학생들은 주어진 상황으로부터 문 제를 새로 꾸며 보거나 주어진 문제에서 조건을 바꾸어 새 문제를 구성해 볼 수 있는 기회를 가져야 한다고 문제 만들기 활동을 강조하고 있다.
또한 Silver는 수학 학습에서 문제설정의 역할이나 그 중요성을 다음과 같 은 몇 가지 관점에서 보고 있다.
첫째, 문제설정을 창조적 활동이나 특별한 수학적 능력의 한 특출한 성질로 본다.
둘째, 문제설정을 탐구 지향 학습 활동의 한 특징으로 보고 있다.
셋째, 문제설정은 수학 활동의 다른 무엇보다 두드러진 한 특징이다.
넷째, 문제설정은 학생들의 문제 해결 능력을 향상시키는 수단이 된다.
다섯째, 문제설정은 학생들의 수학에 대한 이해 정도를 들여다 볼 수 있는 창이 된다.
여섯째, 문제설정은 학생들의 수학에 대한 성향을 향상시키는 한 수단으로 본다.
Brown과 Walter도 문제 풀이 과정에서 문제를 새롭게 재구성해야 하고 또 문제를 풀고 난 후에도 새로운 문제를 만들어 분석을 다시 해야 더 이상의 확산된 사고를 할 수 있다고 하면서 문제설정이 수학 활동에서 중요한 활동 이라고 했다.20)
또 Brown과 Walter는 문제 만들기를 ‘수용’과 ‘도전’ 두 가지로 나누어 필 요한 전략을 제시하고 있다. 첫째, ‘수용’ 단계는 주어진 문제를 탐구하는 과 정에서 원문제에서 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아 들여 문제 만들기 활동을 하는 단계이며, 이 단계에서 사용되는 전략으로 ⑴관찰과 추측 ⑵구체 적인 것과 특별한 것 ⑶내적 탐구와 외적 탐구 ⑷정밀한 탐구와 근사적 탐구 20) Brown, S. I. & Walter, M. I..“전게서”, 1983.
⑸역사적 탐구 등을 들고 있다. 둘째, ‘도전’ 단계는 원문제에서 주어진 조건 이나 속성을 나열하고 그것을 여러 가지로 바꾸어 그 결과가 어떻게 변하는 지를 알아보는 즉 새로운 문제를 탐구해 보는 단계이다. 이 단계에서 사용되 는 전략으로 What - if - not전략을 제시하고 있다.
수준 0 : 출발점 선택 수준 1 : 속성 나열
수준 2 : What - if - not - ing 수준 3 : 발문 또는 문제 만들기 수준 4 : 문제 분석
Brown과 Walter의 What - if - not의 전략은 새로운 문제를 만들 때 어떻 게 접근해야 하는지를 보여주는 매우 효율적인 전략이라 할 수 있겠다.
나. 문제설정 교수방법의 개념 및 의의
수학교육에서 사용하는 [문제설정(Problem Posing)] 교수·학습이란 간단히 말하면 교사와 학생이 함께 수학의 문제나 정리 등을 만들어 가는 교수·학습 을 의미한다. 영어권에서는 Problem Generation, Problem Posing, Problem F ormulation 등의 용어가 사용되고 있는데, 수학의 문제나 정리 등을 만들어 가는 단계에서 생각하면, Problem Generation(문제생성) Problem Posing(문제 설정) Problem Formulation (문제의 정식화(定式化))의 순서로 생각할 수 있 다. 미국의 Walter & Brown(1969) 등은 학교 수학교육에서 문제해결에 대한 지나친 강조에 대하여 문제설정 교수·학습 또한 그 이상으로 가치가 있음을 강조하고, 그에 대한 연구를 계속하고 있다.
일반적인 학교 수학교육의 현상을 생각하면, 학생에게 수학의 개념을 이해 시키고 그에 관련되는 다양한 형태의 문제를 풀게 하여 그 개념이나 문제를 학생 스스로 수학화 하는 능력을 함양하도록 하고 있다. 문제설정 교수·학습
에서는 학생이 교과서나 참고서, 교사가 제시하는 문제를 단지 푸는 수동적인 활동에서 벗어나 학생 자신이 문제를 발견하고 만들어 가는 능동적이고 창조 적인 활동을 기대할 수 있다. 문제해결에서는 그 문제를 풀려고 하는 수검적 (收斂的)인 사고활동 및 자세로 되는 경향이 우세하지만, 문제설정에서는 폭 넓고 다양하게 생각하는 광산적(壙散的)인 사고활동 및 그 자세가 요구되므로 문제해결 이상으로 창의력의 신장을 기대할 수 있다고 생각한다.
문제설정 교수·학습에 대한 의의를 수학교육의 목표와 성취도 및 학생의 태 도, 이후의 연구·실천을 위하여 다음과 같이 정리·분류하고 있다.21)
1) 지식·이해에 관한 면
⑴ 수학의 개념형성을 촉진하는데 도움이 된다.
⑵ 이해의 폭과 깊이를 확대한다.
⑶ 장기 기억으로 연결된다.
2) 수학적 사고에 관한 면
⑴ 분석력과 통합력이 길러진다.
⑵ 실용력(實用力)과 응용력이 길러진다.
⑶ 일반화하는 사고가 길러진다.
⑷ 유연한 사고력과 창조력이 길러진다.
⑸ 보다 발전적인 사고력이 길러진다.
3) 관심·태도에 관한 면
⑴ 자주적인 학습능력을 향상시키는데 도움이 된다.
⑵ 흥미와 관심을 갖게 되어 적극적인 수업태도가 길러진다.
4) 문제설정 능력의 육성
⑴ 수학화 하는 능력이 육성된다.
⑵ 문제해결의 발전적 활동이 가능하게 된다.
이 이외에도 학생들이 만든 문제를 보면 그들의 수학에 대한 능력이 자연 21) , 임문규, “전게문”, p.55-62.
스럽게 표출되므로 평가에 그대로 적용할 수 있다. 또한 현직 교사 및 장래에 수학 교사가 될 사람은 학생들의 평가를 위하여 실제로 많은 문제를 만들어 야 하므로 다양한 문제설정 능력을 갖추어야 할 것이다.실제로 문제설정 교 수·학습을 실시하여 보면, 학생들은 자기가 만드는 수학 문제를 자연스럽게 풀어 가면서 만들고 있다. 이것은 문제설정의 학습뿐만이 아니라 문제해결 학 습도 동시에 이루어지는 두 가지 학습효과를 거둘 수 있다.
다. 문제설정 교수방법의 유형
실(實) 세계적인 상황(未 수학적 세계)으로부터와 수학적 상황으로부터의 둘로 크게 유형화하였다. 여기서 말한 실 세계적인 상황이란 아직 수학화 되 어 있지 않은 자연 및 사회적 상황을 의미하며, 수학적 상황이란 식이나 정 리, 수학의 문제 등 이미 수학화 된 상황을 의미한다. 그 내용을 살펴보면 다 음과 같다.22)
첫째, 실 세계적 상황으로부터의 문제설정 교수·학습은 현실 세계로부터 수 학적 요소를 발견·추출하여 문제나 정리 등으로 수학화 하는 활동이므로, 갑 자기 실시하여서는 좋은 학습효과를 기대할 수 없을 것이다. 그러므로 현실적 인 교수·학습의 실제(實際)에서는 가능한 한 접근하기 쉬운 수학의 내용을 많 이 품고 있으며 또한 교과서의 단원 내용에도 접근하기 쉬운 상황을 제시하 고 충분한 연습이 요구된다. 실제로 문제설정 교수·학습에 적용가능하다고 생 각되는 실 세계적 상황으로는 다음과 같은 것을 들 수 있다.
⑴ 일상생활의 일과(가정생활, 학교생활, 시장보기, 통학, 여러 가지 행사,…)
⑵ 놀이, 게임(술래잡기, 줄넘기, 제기차기, 운동의 시합,…)
⑶ 뉴스의 내용(신문, 잡지, TV,…)
22) 정지호, 임문규, “전게문”, p.55-62.
⑷ 역사(수학자와 과학자의 전기, 역사적 사실,…)
⑸ 서적(교과서, 참고서, 전기,…)
⑹ 타 교과의 내용(과학, 사회, 국어, 음악, 체육,…)
⑺ 그림, 모형(여러 가지 그림, 사진, 건축물, 다리,…)
둘째로 수학적 상황으로부터는 위에서 언급한 바와 같이, 수학의 내용 및 교재 안에서 이미 다루어지고 있는 용어, 수, 기호, 식, 정리, 문제 등을 사용 하는 교수·학습을 의미한다.
좀 더 구체적인 내용을 살펴보면, 다음과 같은 것들을 들 수 있다.
1) 수학의 문제 이외의 내용으로부터의 문제설정
⑴ 용어(길이, 무게, 넓이, 삼각형, 곱셈, 배수, 분수, 부등식, 함수, …)
⑵ 숫자 및 문자(3, 4, 7, 50, 100, x, y, S, V,…)
⑶ 도형 및 모형(점, 선, 삼각형, 사각형, 구의 모형, 원추의 모형,…)
⑷ 그래프(함수의 그래프, 통계의 그래프, …)
⑸ 식(여러 가지 공식, 방정식, 부등식,…)
⑹ 자료(통계자료, 학급 어린이의 신장·몸무게·성적, 인구통계, 가계부,…)
⑺ 기호 및 부호(+, -, ÷, ×, =, >, <, ≥, ∠, ∫, ⊆, ⊃, ∑, ∏, √,…)
⑻ 교구(자, 삼각자, 각도기, 컴퍼스,…)
2) 수학의 문제로부터의 문제설정
교과서나 참고서의 문제라 하더라도 문제를 푸는 과정이나 문제를 푼 후에 그 문제와 유사하거나 새로운 문제를 만들게 하는 방법, 완성된 수학의 문제 가 아니라 조건이 과부족(過不足)한 문제, 질문이 없는 문제 상황만을 제시하 여 문제설정 교수·학습이 가능하다. 이들을 좀 더 구체적으로 정리하면 아래 와 같이 들 수 있다.
⑴ 원(原) 문제와 유사 또는 새로운 발전적인 문제설정
⑵ 다양한 해결방법에 따른 문제설정
⑶ ‘일반에서 특수로’와 그의 역(逆) 방향으로의 문제설정
⑷ 조건이 과부족한 문제해결에서의 문제설정
⑸ 질문이 없는 문제 상황에서의 문제설정
문제설정 교수·학습에서는 처음에는 기성의 문제나 정의, 정리, 수학용어등 과 같이 친숙한 것에서부터 시작하여, 점차 어려운 실 세계적 상황으로 진행 하여 가는 것이 바람직 할 것이다. 즉, 처음에는 기성의 문제에서 숫자를 바 꾸든지, 상황 및 속성을 바꾸어 보도록 하여, 문제설정에 대하여 흥미와 관심, 문제를 만들 수 있다는 자신감을 가지게 하고, 학생들의 두려움 및 저항감을 줄여 점차 임의의 실 세계적 상황으로부터 발전적인 문제설정 학습으로 향상 시킬 수 있을 것이기 때문이다.
라. 문제설정의 예
문제설정의 예와 해결과정을 자세히 살펴보면 다음과 같다23).
이 문제는 둘레의 길이가 일정한 평면도형 가운데 넓이가 최대인 도형을 구하는 등주문제로 그리스 시대부터 연구된 ‘Dido 문제’라고 불리는 유명한 문제이다.
[등주 문제] 둘레의 길이가 일정한 평면도형 가운데 넓이가 최대인 도형 구 하기
[교과서문제] ‘둘레의 길이가 100m인 직각이등변삼각형의 넓이를 구하여라.’
[문제설정] ‘전설적인 미국 서부개척 시대는 땅은 풍부하지만 그 밖의 모든 물자는 매우 부족하던 시절이었다. 당시에 서부로 이주한 한 농부 는 매우 넓은 초원을 소유하고 있었지만, 가축을 가둘 울타리를 23) 박혜향, 「희소 박혜향수학교육론」,2004, p.513-514.
칠 철망은 100m 밖에 가지고 있지 않았다. 그는 여러 가지 모양 을 생각하고 울타리를 두른 땅의 넓이가 몇 ㎡가 될지를 생각하 였다. 넓이를 가장 크게 하려고 할 때 여러분이라면 어떤 모양을 택하겠는가?’
[학생들의 반응] 학생들은 정사각형, 가로 세로의 길이가 30m, 20m인 직사 각형, 정삼각형, 직각이등변 삼각형, 원 등을 제시한다.
[교사의 제한] 학생들의 반응에 가로 세로의 길이가 40m, 10m인 직사각형, 변의 길이가 42m, 29m, 29m인 이등변삼각형, 변의 길이가 42m, 1 3m, 32m, 13m인 등변사다리꼴, 정육각형, 반원 등을 고려해 볼 것을 제안한다.
[과제] ① 넓이가 가장 큰 것과 가장 작은 것을 추측해보아라.
② 넓이를 계산하여 순서대로 나열해보아라.
[유도질문] 원 796 정육각형 722 정사각형 625 직사각형(30, 20) 600 반원 594 정삼각형 481 등변사다리꼴(42, 13, 32, 13) 444 직각이등변삼각형 430 이등변삼각형(42, 29, 29) 420 직사각형(40, 10) 400
나열된 도형과 그 넓이에 주목하고 관찰을 통해 의견을 개진하도록 조심스 럽게 유도 질문을 한다.
㉠ 원, 삼각형, 사각형에 주목하여라.
㉡ 삼각형은 한 변이 퇴화된 사각형으로 볼 수 있다.
[학생들의 추측]
둘레가 같은 평면도형 가운데 원은 최대의 넓이를 갖는다.
둘레의 길이가 같은 사각형 가운데 정사각형은 최대의 넓이를 갖는다.
둘레의 길이가 같은 삼각형 가운데 정삼각형은 최대의 넓이를 갖는다.
둘레의 길이가 n각형 가운데 정n각형은 가장 큰 넓이를 갖는다.
둘레의 길이가 같은 정다각형 가운데 변의 수가 더 많은 다각형의 넓이가
더 크다.
곧, 다각형이 원과 닮을수록 그 넓이가 더 크다.
3. 문제 해결력
문제 해결은 이미 알고 있는 지식으로는 해결되기 어려운 장애나 곤란에 직면했을 때, 창조적으로 새로운 해결 방법을 생각해 내어 그것을 사고 상태 의 조작, 실험, 논증에 의하여 확인해 가는 상태라고 할 수 있다. 따라서 문제 해결을 통하여 생각하는 힘을 길러 발전적으로 논리적, 수학적, 합리적 사고 력이 육성된다고 하겠다.24)
가. 문제 해결의 전략 및 해결과정
문제 해결에 도움이 되는 일반적인 절차나 해결방법의 실마리를 얻도록 하 는 대표적인 전략을 소개하면 다음과 같다.
① Schoenfeld는 문제 해결 전략으로 분석, 계획, 탐색, 실행, 검증을 들면서 그 과정을 다음과 같이 도식화하였다.
주어진 문제 → 분 석 → 계 획 → 실 행 → 검 증 ↑ ↓↑
탐 색
위의 Schoenfeld의 문제해결 전략에 대한 도식화를 구체적으로 살펴보면 다 음과 같다25).
24) 沈甲燮, 問題設定 -學習에 關한 硏究-Meta 認知活動을 중심으로, 동국대학교 교육대학 원 석사학위논문, 1994, p.6-10.
25) Schoenfeld, A.H.(1985). Mathematical Problem Solving. Academic Press. INC.
주어진 문제를 ‘진술문의 이해’, ‘문제의 단순화’, ‘문제의 재공식화’의 전략을 사용하여 분석한다. 이 분석을 바탕으로 ‘유용한 공식화’ 즉 원리나 법칙을 이 용하여 계획하게 된다. 이때 계획의 구체적인 전략으로는 ‘논의를 구조화할 것’, ‘전체적인 것에서 특수한 것으로 위계적인 분해를 할 것’을 들고 있다. 여 기서 계획한 것을 바로 실행하지 못할 어려움에 직면하게 되면 본질적으로
‘동치의 문제’나 ‘수정한 문제’로 바꾸는 탐색을 하게 된다. 이 탐색의 과정을 거쳐 다시 분석하여 계획하거나 또 다시 수정된 계획의 과정을 거쳐서 실행 하게 된다. 마지막 단계로 실행의 결과를 ‘특별한 검사’나 ‘일반적인 검사’를 통하여 검증하게 된다.
② 신성균 외(한국교육개발원)의 견해26)
- 식 만들기 : 주어진 조건들 사이의 관계를 나타내는 식을 만들어 그것은 문제 해결에 이용하는 전략
- 예상과 확인 : 어떤 문제를 해결하는 경우 미리 그 문제의 답을 얼마라고 예상해 보고 그것이 문제의 조건에 맞는지 확인해 보는 전략 - 그림 그리기 : 어떤 문제를 풀 때에 그 문제에 포함되어 있는 정보 및 관
계를 그림으로 나타내는 전략
- 표 만들기 : 주어진 문제의 정보들을 표로 나타냄으로써 그 정보들을 일 목요연하게 볼 수 있을 뿐만 아니라 그 답을 직접 구할 수 있 는 전략
- 규칙성 찾기 : 문제에 주어진 문제보다 좀 더 단순한 문제로 만들어 해결 해 보고 이 해결과정에서 사용된 원리를 본 문제의 해결에 사 용하거나 원래의 문제를 몇 개의 부분적인 문제로 만들어 그들 을 해결함으로써 원래의 문제를 해결하는 전략.
26) 신성균 외, 문제 해결력 신장을 위한 학습 자료 개발연구, 연구보고서 RR89-11, 서울 : 한국교육개발원,1989.
- 거꾸로 풀기 : 문제의 구성을 가정과 결론으로 나누어 볼 경우 가정 부분 에 찾고자 하는 요소가 있을 때에 결론에서 출발하여 가정에로 역순으로 생각해 봄으로써 문제를 해결하는 전략
- 수형도 그리기 : 경우의 수를 구할 때 흔히 사용되는 전략으로 문제의 조 건을 만족하는 경우의 조건을 만족하는 경우의 수들을 수형도 를 그려서 해결하는 전략
- 논리적 추론 : 연역, 귀납, 유추 등의 추론을 사용하여 문제를 해결하는 전략
이상에서 문제해결의 전략은 다양하게 분류되고 있다. 주어진 문제를 효율 적으로 해결하기 위해서는 적절한 전략을 개발하여 적용하는 것이 특징이다.
한국교육개발원에서 연구된 전략이 적절한 문제해결의 전략으로 일반화의 가 치가 있다고 생각된다.
문제 해결단계로는 다음 몇 가지를 들 수 있다.
① Polya(1957)의 4단계
Polya는 그의 저서 “How to Solve it - A New Aspect of Mathematical Method"에서 문제해결 과정을 다음과 같이 4단계로 구분하고 있다.
문제에 대한 이해 → 계획의 작성 →계획의 실행 → 반성
② NCTM(1989)의 5단계27)
미국 NCTM의 1989년도의 보고에서는 문제해결의 과정을 다음과 같이 5단 계로 구분하고 있다.
의식 → 이해 → 계획 → 실행 → 검증
③ 신성균 외(한국교육개발원,1989)의 6단계
27) NCTM,(1989), Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.
VA. : NCTM
한국교육개발원에서는 문제해결의 과정으로 다음의 6단계로 구분하고 있다.
문제의식 → 문제이해 → 자력해결→ 비교, 검토→ 적용 → 정리 이상에서 문제해결 과정에 대해서는 거의 공통적으로 주어진 문제를 파악 하고 문제해결 계획을 수립하여 계획을 실행에 옮기고 난 뒤 반성, 검증의 절 차를 거치고 있는 것이 특징이다.
나. 문제 해결과 문제설정과의 관계
여러 학자들이 말하는 문제 해결 단계를 살펴보며 문제설정이 문제 해결 단계 속에서 하나의 전략으로 중요시하고 있음을 알 수 있다.
Polya(1957)는 문제설정에 대하여 특별히 언급하고 있지는 않으나 문제설정 의 방법이나 정신이 그의 문제 해결 단계에 많이 녹아 있다. Polya의 문제 해 결 단계는 ‘문제에 대한 이해’, ‘계획의 작성’, ‘계획의 실행’, ‘반성’ 네 가지로 나누고 있다. 그 중 ‘계획의 작성’ 단계에서의 자료와 미지인 것 사이의 관계 를 찾아보는 것인데 그러한 관계를 곧 발견할 수 없다면 보조 문제를 고려하 지 않으면 안 된다고 했다.28)
보다 문제 해결에 접근하기 쉬운 관련된 문제를 생각해 내는 것뿐만 아니 라 관련된 문제를 만들어 내야 한다. 다시 말해 알고 있는 여러 가지 문제나 정리의 적용을 시도해 보며, 그것이 여의치 않으면 조건 가운데 일부분만 남 기고 다른 것은 다 버린다든지, 미지인 것 또는 자료를 어떻게 변형할 것인 지, 필요하다면 두 가지 다 변형하는 방법으로 여러 문제를 변형 수정하여 고 려해 보고 또 여러 가지 보조 문제를 만들어 검토해 보는 가운데 원문제의 풀이의 단서를 얻을 수 있다는 것이다.
이 과정은 문제의 조건을 변경하여 그 결과가 어떻게 되는지를 살펴보는
28) Polya,“전게서”. p.53-101.
과정이라고 생각할 수 있다. 즉 조건 변경의 문제설정 방법이 가장 흔하게 일 어나는 과정이라 생각할 수 있겠다.
Polya는 이 때 일반화, 특수화, 유추, 조건의 일부를 떼어 내기 등이 일어난 다고 했다.
어떤 문제를 풀 때 그 문제보다 보다 ‘일반화’된 문제를 만들어 볼 수 있는 데 어떤 경우는 이 일반화된 문제를 해결하기가 더 쉬울 때가 있다. 이러한 일반화는 수학 학습에 매우 유용하다고 했다. ‘수에 관한’문제를 ‘문제에 관한’
문제로 바꾸면 새로운 방법에 접근하게 된다는 것이다. 곧, 주어진 자료를 변 경시킬 수 있고, 그렇게 함으로 써 결과를 여러 가지 방법으로 점검 해 볼 수 있다.
문제를 해결하는 데 ‘특수화’ 또한 유용하다고 했다. 일반적인 명제를 논박 하기 위해서 우리는 주어진 명제와 관계있는 집합으로부터 ‘특수화’하여 한 대상을 골라내어 점검 결과 일반적인 명제를 따르지 않으면 그 명제는 거부 된다. 만일 그 대상이 일반적인 명제를 따른다고 하더라도 우리는 그 점검으 로부터 어떤 단서를 얻어 낼 수 있다.
또 우리가 문제를 풀 때 원문제와 관련이 있거나 유사한 보다 단순한 ‘유추’
문제를 고려하여 해답을 얻을 수 있다. 문제 해결에서 어느 정도 그럴듯한 결 과나 적어도 결과의 몇 가지 특징을 예견해 보는 것은 바람직한 일인데 이러 한 예측은 흔히 ‘유추’에 의존하게 된다. 물론 ‘유추’에 의해 유사한 문제를 만 들었을 때 이 문제의 풀이 방법이나 결과를 원문제 풀이에 바로 이용할 수도 있으나 그렇지 않을 때도 있다. 그럴 때에는 여러 가지 형태의 풀이를 시도해 본 후에 결국에는 본래의 문제에까지 확장시켜 볼 수 있는 문제를 찾을 때가 지 풀이를 재차 생각해 보거나 변형 수정해 보는 것도 문제 해결에 매우 가 치 있는 일이다.
그리고 Polya는 파푸스의 “발견술”에 나오는 ‘거꾸로 풀기’ 또는 ‘역행적 추 론’이라 불리는 문제 해결 전략을 소개하였다. 먼저 ‘요구하고 있는 것으로부
