수 학

수 학

수학

01

⑵ 4x-5=0이므로 이차방정식이 아니다.

⑷ 2x‹ -x¤ -x=0이므로 이차방정식이 아니다.

02

⑴ 0_(0-11)=0

⑵ (6-3)¤ +3

⑶ 1¤ +2_1-1+0

⑷ (-1)¤ -4_(-1)-5=0

04

⑴ x¤ -4x=0에서 x(x-4)=0

∴ x=0 또는 x=4

⑵ x¤ -9=0에서 (x+3)(x-3)=0

∴ x=-3 또는 x=3

⑶ x¤ +3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0

∴ x=-5 또는 x=2

⑷ 2x¤ -5x-3=0에서 (2x+1)(x-3)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=3

05

⑸ x¤ +10x+25=0에서 (x+5)¤ =0 ∴ x=-5 (중근)

⑹ 4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0 ∴ x=;2!; (중근)

06

⑶ (x-6)¤ -7=0에서 (x-6)¤ =7 x-6=—'7 ∴ x=6—'7

⑷ 4(x+2)¤ =12에서 (x+2)¤ =3 x+2=—'3 ∴ x=-2—'3

07

⑶ x¤ +x-3=0에서 x¤ +x=3 x¤ +x+;4!;=3+;4!; ∴ {x+;2!;}¤

=;;¡4£;;

⑷ 2x¤ -8x+1=0에서 x¤ -4x+;2!;=0 x¤ -4x=-;2!;, x¤ -4x+4=-;2!;+4

∴ (x-2)¤ =;2&;

08

⑶ 2x¤ +20x+10=0에서 x¤ +10x+5=0 x¤ +10x=-5, x¤ +10x+25=-5+25 (x+5)¤ =20, x+5=—2'5

∴ x=-5—2'5

⑷ 3x¤ +4x-2=0에서 x¤ +;3$;x-;3@;=0 x¤ +;3$;x=;3@;, x¤ +;3$;x+;9$;=;3@;+;9$;

{x+;3@;}

¤=;;¡9º;;, x+;3@;=—

∴ x=-2—'1å0 3

'1å0 3

대표 유형01 ① 이차식이다.

② 일차방정식이다.

③ 2x¤ +x+3=0이므로 이차방정식이다.

④ x‹ -x=x‹ -4x¤ , 즉 4x¤ -x=0이므로 이차방정식 이다.

⑤ -x‹ +5x-4=0이므로 이차방정식이 아니다.

III ^{. 이차방정식}

1. 이차방정식의 풀이

│4쪽│

01^{이차방정식}

02⑴ 참, 해이다 ⑵ 참, 해이다 ⑶ 거짓, 해가 아니다

03⑴ 6, -6 ⑵ 2, -2 ⑶ 10, 10 ⑷ 5, -8, 5

049, 9, 3, 11

│5^쪽│

01⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×

02⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯

03⑴ x=0 또는 x=3 ⑵ x=-2 또는 x=5

03⑶ x=-4 또는 x=-7 ⑷ x=1 또는 x=-;2#;

04⑴ x=0 또는 x=4 ⑵ x=-3 또는 x=3

03⑶ x=-5 또는 x=2 ⑷ x=-;2!; 또는 x=3

05⑴ x=-5 (중근) ⑵ x=;6&; (중근) ⑶ x=1 (중근)

03⑷ x=-;3@; (중근) ⑸ x=-5 (중근) ⑹ x=;2!; (중근)

06⑴ x=—4 ⑵ x=—

03⑶ x=6—'7 ⑷ x=-2—'3

07⑴ (x-1)¤ =6 ⑵ (x+3)¤ =5

03⑶ {x+;2!;}¤

=;;¡4£;; ⑷ (x-2)¤ =;2&;

08⑴ x=-4—'∂17 ⑵ x=

03⑶ x=-5—2'5 ⑷ x=-2—'1å0 3 5—'1å3

2 '6

5

│6~9쪽│

대표 유형01③, ④ 01- ⑤ 01- a+2 대표 유형02③ 02- ② 02- ④

대표 유형03⑤ 03- ④ 03- ③ 03- -2 대표 유형04⑤ 04- 현수 : x=4 또는 x=-2

04- 은희 : x=;2!; 또는 x=-;3@;

대표 유형05② 05- ① 05- -3

05- x=205- ⑤

대표 유형06⑤ 06- ② 06- 13 06- ① 대표 유형07① 07- ③ 07- _2'2 07- 1 대표 유형08¹² 08- p=1, q=;4&; 08- 5

01¹⁸ 02^-2 03;1¡8;

│실수하기쉬운 문제│

http://zuaki.tistory.com

01-

① 이차방정식이다.

② x¤ -6x+9=1, 즉 x¤ -6x+8=0이므로 이차방정 식이다.

③ ;6!;x¤ -1=0이므로 이차방정식이다.

④ 3x¤ -2x+10=0이므로 이차방정식이다.

⑤ 4x¤ -1=4x¤ +4x-3, 즉 -4x+2=0이므로 일차 방정식이다.

01 -

x(ax+3)=2x¤ -7에서 ax¤ +3x=2x¤ -7 (a-2)x¤ +3x+7=0

이 식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 a-2+0이어야 한다.

∴ a+2

대표 유형02 ① 1¤ -5_1-4+0

② 2¤ -3_2+0

③ (-1)¤ -(-1)-2=0

④ (-2)¤ +2_(-2)+3+0

⑤ 2_(-3)¤ +3_(-3)+5+0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은

③이다.

02-

① 2¤ +2_2+0 ② 2¤ +5_2-14=0

③ 2¤ -2+2+0 ④ (2-1)¤ +3

⑤ 2_2¤ +2-6+0

따라서 x=2를 해로 갖는 것은 ②이다.

02-

x=-2일 때, (-2)¤ +3_(-2)-4+0 x=-1일 때, (-1)¤ +3_(-1)-4+0 x=1일 때, 1¤ +3_1-4=0

x=2일 때, 2¤ +3_2-4+0

따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=1이다.

대표 유형03 x=2를 (a-2)x¤ -ax+2=0에 대입하면 4(a-2)-2a+2=0, 4a-8-2a+2=0 2a=6 ∴ a=3

03-

x=-1을 x¤ -x+a=0에 대입하면 1+1+a=0 ∴ a=-2

x=-1을 -x¤ +bx=-4에 대입하면 -1-b=-4 ∴ b=3

∴ a+b=-2+3=1

03-

x=a를 x¤ -6x+1=0에 대입하면 a¤ -6a+1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-6+;a!;=0 ∴ a+;a!;=6

03-

x=a를 2x¤ +x-1=0에 대입하면 2a¤ +a-1=0 ∴ 2a¤ +a=1 x=b를 x¤ -4x-3=0에 대입하면 b¤ -4b-3=0 ∴ b¤ -4b=3

∴ 2a¤ +a-b¤ +4b=2a¤ +a-(b¤ -4b)

=1-3=-2

대표 유형04 ⑤ 2x+1=0 또는 ;3!;x-1=0

∴ x=-;2!; 또는 x=3

04-

현수：x-4=0 또는 x+2=0

현수：

∴ x=4 또는 x=-2 은희：2x-1=0 또는 3x+2=0

현수：

∴ x=;2!; 또는 x=-;3@;

대표 유형05 (x+1)(x-2)=-3x+13에서 x¤ -x-2=-3x+13, x¤ +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0

∴ x=-5 또는 x=3

05-

2x¤ -3x-2=0에서 (2x+1)(x-2)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=2

이때 a<b이므로 a=-;2!;, b=2

∴ 2a-b=2_{-;2!;}-2=-3

05-

x¤ -x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0

∴ x=-3 또는 x=4

3x¤ +4x-15=0에서 (x+3)(3x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=;3%;

따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 -3 이다.

05-

x=5를 x¤ -(a-3)x+a=0에 대입하면 25-5(a-3)+a=0, -4a+40=0

∴ a=10

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ -7x+10=0이므로 (x-2)(x-5)=0

∴ x=2 또는 x=5

따라서 다른 한 근은 x=2이다.

05-

x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

이때 두 근 중 큰 근은 3이므로 x=3을 x¤ -9x+a=0 에 대입하면

9-27+a=0 ∴ a=18

대표 유형06 ① x¤ -4=0에서 (x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2

② x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3

③ x¤ +6x+8=0에서 (x+2)(x+4)=0

∴ x=-2 또는 x=-4

④ 2x¤ -4x-6=0에서 2(x¤ -2x-3)=0 2(x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

⑤ 9x¤ -6x+1=0에서 (3x-1)¤ =0

∴ x=;3!; (중근)

http://zuaki.tistory.com

수 학

│10~11쪽│

01 ④ 02② 03④ 04^x=2 05② 06①

07④ 08③ 09^x=5

10

⁵

11

^-6

12

①, ③

13

x=-;2#; 또는 x=5

14

④

15

⑤

16

^③

➊회

01

① 2x¤ +1=2x¤ +2x, 즉 -2x+1=0이므로 일차방정식 이다.

② 5x‹ -x¤ +4=0이므로 이차방정식이 아니다.

③ x¤ -2x+3=x¤ +4x+3, 즉 -6x=0이므로 일차방 정식이다.

④ x¤ -2x+1+6=7x¤ +14x, 즉 -6x¤ -16x+7=0이 므로 이차방정식이다.

⑤ x‹ -x¤ =x‹ -x¤ +2x, 즉 -2x=0이므로 일차방정식 이다.

02

(x-1)(x+1)=ax¤ +3x에서 x¤ -1=ax¤ +3x (1-a)x¤ -3x-1=0

이 식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 1-a+0이어야 한다.

∴ a+1

03

㉠ (-1)¤ +9_(-1)-10+0

㉡ (-1)¤ +3_(-1)+2=0

06-

① x¤ -6x=-9에서 x¤ -6x+9=0 (x-3)¤ =0 ∴ x=3 (중근)

② x¤ -16=0에서 (x+4)(x-4)=0

②

∴ x=-4 또는 x=4

③ x=7 (중근)

④ ;4!;x¤ -x+1=0에서 {;2!;x-1}¤ =0

②

∴ x=2 (중근)

⑤ 3x¤ -6x+3=0에서 3(x¤ -2x+1)=0 3(x-1)¤ =0 ∴ x=1 (중근)

06-

k+3={ }2 에서 k+3=16

∴ k=13

06 -

(x-1)(x+5)=k에서 x¤ +4x-5-k=0 이 이차방정식이 중근을 가지므로 -5-k={;2$;}¤

에서 k=-9

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ +4x+4=0이므로 (x+2)¤ =0 ∴ x=-2 (중근)

따라서 m=-2이므로 k+m=-9+(-2)=-11

대표 유형07 2(x-3)¤ =10에서 (x-3)¤ =5 x-3=—'5 ∴ x=3—'5 따라서 A=3, B=5이므로 A-B=3-5=-2

07-

4(x+2)¤ =32에서 (x+2)¤ =8 x+2=—2'2 ∴ x=-2—2'2

07-

^{(x-1)¤ =2}에서 x-1=—'2

∴ x=1—'2

따라서 a=1+'2, b=1-'2이므로 a-b=(1+'2)-(1-'2)=2'2

07 -

2(x+A)¤ =B에서 (x+A)¤ = x+A=—æ≠ ∴ x=-A—æ≠

따라서 -A=5, =3이므로 A=-5, B=6

∴ A+B=-5+6=1

대표 유형08 a={ }2 =4, b=2, c=6이므로 a+b+c=4+2+6=12

08-

4x¤ +8x-3=0에서 x¤ +2x-;4#;=0 x¤ +2x=;4#;, x¤ +2x+1=;4#;+1 (x+1)¤ =;4&; ∴ p=1, q=;4&;

08-

x¤ +6x-a=0에서 x¤ +6x=a x¤ +6x+9=a+9, (x+3)¤ =a+9 x+3=—'∂a+9

∴ x=-3—'∂a+9

따라서 a+9=14이므로 a=5 -4

2 B

2

B 2 B

2

B 2 -8

2

01

x=a를 x¤ +5x+1=0에 대입하면 a¤ +5a+1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면 a+5+;a!;=0 ∴ a+;a!;=-5

∴ a¤ +a+;a!;+ ={a+;a!;}¤ -2+a+;a!;

∴ a¤ +a+;a!;+

=(-5)¤ -2+(-5)=18

02

x=a-1, y=3a¤ -4를 y=ax+2에 대입하면 3a¤ -4=a(a-1)+2, 3a¤ -4=a¤ -a+2 2a¤ +a-6=0, (a+2)(2a-3)=0

∴ a=-2 또는 a=;2#;

이때 일차함수의 그래프가 제 3 사분면을 지나지 않으려면 a<0이어야 하므로 a=-2

03

모든 경우의 수는 6_6=36

이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 가지려면 b={;2A;}¤ , 즉 a¤ =4b이어야 한다.

a¤ =4b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (4, 4)의 2가 지이므로 구하는 확률은 ;3™6;=;1¡8;

1 a¤

│실수하기

쉬운 문제│

http://zuaki.tistory.com

│12~13쪽│

01 ① 02^a+5 03④ 04²¹ 05② 06②

07x=;2!; 또는 x=308⑤ 09^-13

10

③

11

④

12

①

13

선호

14

²

15

⑤

16

-;2#;

➋회

㉢ (-1)¤ -2_(-1)+0

㉣ (-1)¤ -4_(-1)-5=0

따라서 x=-1을 해로 갖는 이차방정식은 ㉡, ㉣이다.

04

x=-1일 때, (-1)¤ -5_(-1)+6+0 x=0일 때, 0¤ -5_0+6+0

x=1일 때, 1¤ -5_1+6+0 x=2일 때, 2¤ -5_2+6=0

따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=2이다.

05

x=-3을 x¤ +2x+a=0에 대입하면 9-6+a=0 ∴ a=-3

06

x=a를 x¤ -2x-3=0에 대입하면 a¤ -2a-3=0, a¤ -2a=3

∴ a¤ -2a+2=3+2=5

x=b를 x¤ -2x-3=0에 대입하면 b¤ -2b-3=0, b¤ -2b=3

∴ b¤ -2b-6=3-6=-3

∴ (a¤ -2a+2)(b¤ -2b-6)=5_(-3)=-15

07

x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면 a¤ -3a+1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-3+;a!;=0 ∴ a+;a!;=3

∴ a¤ + ={a+;a!;}¤-2=3¤ -2=7

08

(x-1)(x+5)=7에서 x¤ +4x-5=7 x¤ +4x-12=0, (x+6)(x-2)=0

∴ x=-6 또는 x=2

09

x¤ +x-30=0에서 (x+6)(x-5)=0

∴ x=-6 또는 x=5

2x¤ -11x+5=0에서 (2x-1)(x-5)=0

∴ x=;2!; 또는 x=5

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=5이다.

10

x=-3을 x¤ +x+2a=0에 대입하면 9-3+2a=0, 2a=-6 ∴ a=-3 즉, 주어진 이차방정식은 x¤ +x-6=0이므로 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=-3 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 2이므로 b=2

∴ b-a=2-(-3)=5

11

x¤ -4x-32=0에서 (x+4)(x-8)=0

∴ x=-4 또는 x=8

이때 두 근 중 작은 근은 -4이므로 x=-4를 x¤ +ax-40=0에 대입하면

16-4a-40=0, -4a=24 ∴ a=-6

12

① x¤ -9=0에서 (x+3)(x-3)=0

①

∴ x=-3 또는 x=3

② x¤ -10x+25=0에서 (x-5)¤ =0 ∴ x=5 (중근)

③ 2x¤ -3x-2=0에서 (2x+1)(x-2)=0

①

∴ x=-;2!; 또는 x=2 1

a¤

01

㉠ -4x¤ +4x-1=0이므로 이차방정식이다.

㉡ ;3!;x¤ =;3!;x¤ +;3!;x, 즉 -;3!;x=0이므로 일차방정식이다.

㉢ x‹ +2x¤ =x‹ +5, 즉 2x¤ -5=0이므로 이차방정식이다.

㉣ 6x¤ =6x¤ -15x+1, 즉 15x-1=0이므로 일차방정식 이다.

따라서 이차방정식인 것은 ㉠, ㉢이다.

02

5x¤ +3x=(ax-1)(x+2)에서 5x¤ +3x=ax¤ +2ax-x-2 (5-a)x¤ +(4-2a)x+2=0

이 식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 5-a+0이어야 한다.

∴ a+5

④ 3x¤ -12x+12=0에서 3(x¤ -4x+4)=0 3(x-2)¤ =0 ∴ x=2 (중근)

⑤ x¤ -;2!;x+;1¡6;=0에서 {x-;4!;}2 =0

①

∴ x=;4!; (중근)

13

이차방정식 x¤ -6x+k=0이 중근을 가지므로 k={ }¤=9

k=9를 (k-7)x¤ -7x-15=0에 대입하면 2x¤ -7x-15=0, (2x+3)(x-5)=0

∴ x=-;2#; 또는 x=5

14

2(x-5)¤ =4에서 (x-5)¤ =2 x-5=—'2 ∴ x=5—'2 따라서 a=5+'2, b=5-'2이므로 2a+b=2(5+'2)+(5-'2)

=10+2'2+5-'2=15+'2

15

x¤ -8x-3=0에서 x¤ -8x=3

x¤ -8x+16=3+16 ∴ (x-4)¤ =19 따라서 a=-4, b=19이므로

a+b=-4+19=15

16

-x¤ -12x+a=0에서 x¤ +12x-a=0 x¤ +12x=a, x¤ +12x+36=a+36 (x+6)¤ =a+36, x+6=—'∂a+36

∴ x=-6—'∂a+36

따라서 a+36=39이므로 a=3 -6

2

http://zuaki.tistory.com

수 학

01

⑴ x=a를 x¤ -4x+1=0에 대입하면

⑴

a¤ -4a+1=0, a¤ -4a=-1

⑴

∴ a¤ -4a+7=-1+7=6

⑵ a¤ -4a+1=0에서 a+0이므로 양변을 a로 나누면

⑴

a-4+;a!;=0 ∴ a+;a!;=4

⑴

이때 {a-;a!;}¤ ={a+;a!;}¤ -4=4¤ -4=12이므로

⑴

a-;a!;=—'∂12=—2'3

02

⑴ 3x¤ -5x-2=0에서 (3x+1)(x-2)=0

∴ x=-;3!; 또는 x=2

⑵ 2(x-3)¤ -8=0에서 2(x-3)¤ =8

(x-3)¤ =4, x-3=—2 ∴ x=1 또는 x=5

㉢ x¤ -6x=-5에서 x¤ -6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5

㉣ (x-2)¤ =-8x에서 x¤ -4x+4=-8x

x¤ +4x+4=0, (x+2)¤ =0 ∴ x=-2 (중근) 따라서 중근을 갖는 것은 ㉡, ㉣이다.

12

-2m+3={ }

¤에서 m¤ +2m-3=0 (m+3)(m-1)=0 ∴ m=-3 또는 m=1 그런데 m은 자연수이므로 m=1

13

3(x+1)¤ =15에서 (x+1)¤ =5 x+1=—'5 ∴ x=-1—'5 따라서 바르게 푼 학생은 선호이다.

14

2(x+A)¤ -6=0에서 2(x+A)¤ =6

(x+A)¤ =3, x+A=—'3 ∴ x=-A—'3 따라서 A=-1, B=3이므로

A+B=-1+3=2

15

x¤ +10x+18=0에서 x¤ +10x=-18 x¤ +10x+25=-18+25, (x+5)¤ =7 x+5=—'7 ∴ x=-5—'7

16

;2!;x¤ -3x+a=0에서 x¤ -6x+2a=0 x¤ -6x=-2a, x¤ -6x+9=-2a+9

∴ (x-3)¤ =-2a+9

따라서 -3=b, -2a+9=6이므로 a=;2#;, b=-3

∴ a+b=;2#;+(-3)=-;2#;

-2m 2

03

① 2¤ -2_2-8+0

② 3_(-2)¤ -5_(-2)-2+0

③ 2_(5+5)_(5-1)+0

④ (6-2)¤ -16=0

⑤ 2_{-;2!;}2 +{-;2!;}-1+0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ④ 이다.

04

x=-2를 x¤ +9x+a=0에 대입하면 4-18+a=0 ∴ a=14

x=-2를 x¤ +bx+10=0에 대입하면 4-2b+10=0, -2b=-14 ∴ b=7

∴ a+b=14+7=21

05

x=a를 x¤ -5x+7=0에 대입하면 a¤ -5a+7=0 ∴ a¤ -5a=-7

∴ a¤ -5a+3=-7+3=-4

06

① x-3=0 또는 x+2=0 ∴ x=3 또는 x=-2

③ x+3=0 또는 x+2=0 ∴ x=-3 또는 x=-2

④ 2x+1=0 또는 3x-1=0

∴ x=-;2!; 또는 x=;3!;

⑤ 2x+1=0 또는 3x+1=0

∴ x=-;2!; 또는 x=-;3!;

07

2x¤ -7x+3=0에서 (2x-1)(x-3)=0

∴ x=;2!; 또는 x=3

08

(x+1)(x+2)-12=0에서 x¤ +3x+2-12=0 x¤ +3x-10=0, (x+5)(x-2)=0

∴ x=-5 또는 x=2

이때 a>b이므로 a=2, b=-5

∴ a-b=2-(-5)=7

09

x=-1을 x¤ +ax-3=0에 대입하면 1-a-3=0 ∴ a=-2

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ -2x-3=0이므로 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3

따라서 다른 한 근은 3이므로 x=3을 2x¤ +bx+15=0에 대입하면

18+3b+15=0, 3b=-33 ∴ b=-11

∴ a+b=-2+(-11)=-13

10

점 (a-4, a+5)는 제 1 사분면 위에 있으므로 a-4>0, a+5>0 ∴ a>4

x=a-4, y=a+5를 y=ax+a에 대입하면 a+5=a(a-4)+a, a+5=a¤ -4a+a a¤ -4a-5=0, (a+1)(a-5)=0

∴ a=-1 또는 a=5 그런데 a>4이므로 a=5

11

㉠ x¤ -25=0에서 (x+5)(x-5)=0

㉠

∴ x=-5 또는 x=5

㉡ x¤ -2x+1=0에서 (x-1)¤ =0 ∴ x=1 (중근)

│14~15쪽│

01 ⑴ 6 ⑵ —2'3

02⑴ x=-;3!; 또는 x=2 ⑵ x=1 또는 x=5

03^x=-2또는 x=-20 04³

05¹ 06해설 참조 07- 6

07- x=1 07- x=3

http://zuaki.tistory.com

03

⑴ x=5를 x¤ +ax+30=0에 대입하면 25+5a+30=0, 5a=-55 ∴ a=-11

⑵ x=5를 x¤ +3x+b=0에 대입하면 25+15+b=0 ∴ b=-40

⑶ a=-11, b=-40을 x¤ -2ax-b=0에 대입하면 x¤ +22x+40=0, (x+2)(x+20)=0

∴ x=-2 또는 x=-20

04

⑴ 이차방정식 x¤ -ax+a-1=0이 중근을 가지려면 a-1={ }2 , a-1=

a¤ -4a+4=0, (a-2)¤ =0 ∴ a=2

⑵ a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면

x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0 ∴ x=1 (중근)

∴ b=1

⑶ a+b=2+1=3

05

2x¤ +6=x(x-5)에서 2x¤ +6=x¤ -5x x¤ +5x+6=0, (x+2)(x+3)=0

∴ x=-2 또는 x=-3 …… [2점]

이때 a>b이므로 a=-2, b=-3

∴ a-b=-2-(-3)=1 …… [2점]

06

2x¤ -3x-1=0에서 x¤ -;2#;x-;2!;=0

x¤ -;2#;x+;1ª6;=;2!;+;1ª6; ^{…… [1점]}

{x-;4#;}¤ =;1!6&; ^{…… [1점]}

x-;4#;=— …… [1점]

∴ x= …… [1점]

07-

x=2를 x¤ +(a+6)x-(a¤ -8)=0에 대입하면 4+2(a+6)-(a¤ -8)=0, a¤ -2a-24=0

(a+4)(a-6)=0 ∴ a=-4 또는 a=6 …… [3점]

그런데 a>0이므로 a=6 …… [1점]

07 -

x=-3을 x¤ -2ax+3a=0에 대입하면

9+6a+3a=0, 9a=-9 ∴ a=-1 …… [2점]

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ +2x-3=0이므로

(x+3)(x-1)=0∴∴∴ x=-3 또는 x=1 …… [2점]

따라서 다른 한 근은 x=1이다. …… [1점]

07-

x=2를 (a-1)x¤ -(a¤ +1)x+2(a+1)=0에 대입 하면

4(a-1)-2(a¤ +1)+2(a+1)=0

4a-4-2a¤ -2+2a+2=0, -2a¤ +6a-4=0 a¤ -3a+2=0, (a-1)(a-2)=0

∴ a=1 또는 a=2 …… [2점]

그런데 a-1+0, 즉 a+1이어야 하므로 a=2 …… [1점]

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ -5x+6=0이므로

(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 …… [2점]

따라서 다른 한 근은 x=3이다. …… [1점]

3—'∂17 4

'∂17 4

a¤

4 -a

2

02

⑶ 2x¤ +x-7=0에서 a=2, b=1, c=-7이므로 x=

x=

⑷ 3x¤ -3x-2=0에서 a=3, b=-3, c=-2이므로 x=

x=3—'∂33 6

-(-3)—"√(-3)¤ -4_3_√(-2) 2_3

-1—'∂57 4

-1—"√1¤ -4_2_(-7) 2_2

2. 이차방정식의 근의 공식과 활용

│16쪽, 18쪽│

01⑴ 4 ⑵ 10

026, 5, 1, 5, -1, -5, -1, -5, 0, -4

03>, =, <

04⑴ -5 ⑵ 4

054-'3

06⑴ 2, 1, 2, 2, 6, 4 ⑵ 3, 2, 3, 12

071, 1, x, 4, 5, 4, -5, 4, 4, 5

│17쪽, 19쪽│

015, -1, 5, 5, -1, 5, 37

02⑴ x= ⑵ x=

⑶ x= ⑷ x=

03-2, 1, -2, -2, 1, 2, 2

04⑴ x=1—'2 ⑵ x=3—'2

⑶ x= ⑷ x=

05⑴ x= ⑵ x=-;3%; 또는 x=1

06⑴ x=-2 또는 x=5 ⑵ x=0 또는 x=;3&;

07⑴ -15, 0 ⑵ 16, 2 ⑶ 0, 1 ⑷ -23, 0

08⑴ 2개 ⑵ 0개 ⑶ 1개 ⑷ 2개

09⑴ 합：1, 곱：-10 ⑵ 합：-;4%;, 곱：;4!;

⑶ 합：-3, 곱：0 ⑷ 합：0, 곱：-;2%;

10

⑴ 3 ⑵ -1 ⑶ 11 ⑷ -3

11

⑴ 1-'5 ⑵ 2+'3 ⑶ -2'2-1 ⑷ 4-3'2

12

⑴ 2x¤ -4x-16=0 ⑵ x¤ -8x+16=0

⑶ -x¤ +5x+3=0

13

⑴ x+2 ⑵ x+2

⑶ 4, 4, 4, 70, 2, 35, 7, 5, -7, 5 ⑷ 5, 5, 7

14

⑴ 0 m ⑵ 8초

15

⑴ x(x+3)=130 ⑵ 10 3—'3

3

1—'∂11 5 -2—'7

3

3—'∂33 6 -1—'∂57

4

-7—'∂29 2 5—'∂21

2

http://zuaki.tistory.com

수 학 04

⑶ 3x¤ +4x-1=0에서 a=3, b'=2, c=-1이므로

x=

x=

⑷ 5x¤ -2x-2=0에서 a=5, b'=-1, c=-2이므로 x=

x=

05

⑴ 양변에 6을 곱하면 3x¤ -6x+2=0

∴ x=

∴ x=

⑵ 양변에 10을 곱하면 3x¤ +2x-5=0

(3x+5)(x-1)=0 ∴ x=-;3%; 또는 x=1

06

⑴ x+1=A라고 하면 A¤ -5A-6=0 (A+1)(A-6)=0

∴ A=-1 또는 A=6

즉, x+1=-1 또는 x+1=6이므로 x=-2또는 x=5

⑵ x-2=A라고 하면 3A¤ +5A-2=0

(A+2)(3A-1)=0 ∴ A=-2 또는 A=;3!;

즉, x-2=-2 또는 x-2=;3!;이므로 x=0또는 x=;3&;

08

⑴ b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_2=8>0 ∴ 2개

⑵ b¤ -4ac=(-1)¤ -4_2_5=-39<0 ∴ 0개

⑶ b¤ -4ac=(-4)¤ -4_4_1=0 ∴ 1개

⑷ (x-1)¤ =3-4x에서 x¤ +2x-2=0

b¤ -4ac=2¤ -4_1_(-2)=12>0 ∴ 2개

10

⑶ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_(-1)=11

⑷ + = = =-3

12

⑴ 2(x+2)(x-4)=0에서 2(x¤ -2x-8)=0

∴ 2x¤ -4x-16=0

⑵ (x-4)¤ =0 ∴ x¤ -8x+16=0

⑶ -(x¤ -5x-3)=0 ∴ -x¤ +5x+3=0

14

⑵ 40t-5t¤ =0에서 t¤ -8t=0 t(t-8)=0 ∴ t=0 또는 t=8 그런데 t>0이므로 t=8

따라서 공이 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 8초이다.

15

⑴ 가로의 길이는 (x+3) cm이고 넓이가 130 cm¤ 이므로 x(x+3)=130

⑵ x(x+3)=130에서 x¤ +3x-130=0

(x+13)(x-10)=0 ∴ x=-13 또는 x=10 그런데 x는 자연수이므로 x=10

3 -1 a+b

ab 1 b 1 a

3—'3 3

-(-3)—"√(-3)¤ -3_2 3

1—'∂11 5

-(-1)—"√(-1)¤ -5_(-2) 5

-2—'7 3

-2—"√2¤ -3_(-1) 3

│20~25쪽│

대표 유형01② 01- ④ 01- 2 01- 3 대표 유형02x=-;2#; 또는 x=5 02- ④ 02- ①

02- ④ 02- x=3또는 x=4

02- -5

대표 유형03^-1 03- ② 03- k<;;¡8£;;

03- ⑤ 03- 4

03- x=

대표 유형04⑤ 04- 1 04- ④ 04- ③

04- -1904- 7 04- ① 대표 유형05① 05- ③ 05- 3

05- 진섭, 희선 대표 유형06③ 06- ① 06- 1 대표 유형07④ 07- 6 07- ⑤

07- 2x¤ -6x-1=0

대표 유형08⁹ 08- 10, 12 08- ②

08- 12 08- 1초 후 대표 유형09^{10 m} 09- 3 09- 7 cm

09- 2 m 09- 14 cm

0112'5 02x=-4 또는 x=6

033초 후 또는 7초 후

2—'7 3

│실수하기쉬운 문제│

대표 유형01 x=

x=

따라서 A=-1, B=33이므로 A+B=-1+33=32

01-

x¤ -5x=-2에서 x¤ -5x+2=0

∴ x=

∴ x=

01-

^x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-2)

=2—'6

따라서 k=2+'6이므로 k-'6=2+'6-'6=2

01 -

x= =

따라서 a=2, 9-ab=7에서 9-2b=7 -2b=-2 ∴ b=1

∴ a+b=2+1=3 대표 유형02 양변에 15를 곱하면

3x(x-1)=5(x+1)(x-3)

3x¤ -3x=5x¤ -10x-15, 2x¤ -7x-15=0 (2x+3)(x-5)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=5

3—'ƒ9-ab a -(-3)—"√(-3)¤ -a_b

a 5—'1å7

2

-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_2 2_1

-1—'∂33 4

-1—"√1¤ -4_2_(-4) 2_2

http://zuaki.tistory.com

02-

양변에 6을 곱하면 3x¤ +4x-2=0

∴ x= =

∴ A=10

02-

양변에 10을 곱하면 x¤ +7x=-10 x¤ +7x+10=0, (x+5)(x+2)=0

∴ x=-5 또는 x=-2

02-

;1¡2;x¤ -;6!;x-;4!;=0의 양변에 12를 곱하면 x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

;5!;x¤ -0.3x=0.9의 양변에 10을 곱하면 2x¤ -3x=9, 2x¤ -3x-9=0

(2x+3)(x-3)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 ④ x=3이다.

02-

x-2=A라고 하면 A¤ -3A+2=0 (A-1)(A-2)=0 ∴ A=1 또는 A=2 즉, x-2=1 또는 x-2=2이므로

x=3또는 x=4

02-

x-y=A라고 하면 A(A+10)=-25 A¤ +10A+25=0, (A+5)¤ =0

∴ A=-5 (중근)

∴ x-y=-5

대표 유형03 b¤ -4ac=(2k)¤ -4_1_(2-k)=0이어야 하 므로

4k¤ +4k-8=0, k¤ +k-2=0

(k+2)(k-1)=0 ∴ k=-2 또는 k=1 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -2+1=-1

03-

① b¤ -4ac=(-3)¤ -4_1_2=1>0 ∴ 2개

② b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_6=-8<0 ∴ 0개

③ b¤ -4ac=(-1)¤ -4_6_0=1>0 ∴ 2개

④ b¤ -4ac=3¤ -4_2_(-1)=17>0 ∴ 2개

⑤ b¤ -4ac=(-6)¤ -4_9_1=0 ∴ 1개

03-

b¤ -4ac=3¤ -4_1_(2k-1)>0이어야 하므로 9-8k+4>0, -8k>-13 ∴ k<;;¡8£;;

03-

x¤ +10x-k=0에서

b¤ -4ac=10¤ -4_1_(-k)=100+4k

㉠ k=25이면 100+100=200>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.

㉡ k=-3이면 100-12=88>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.

㉢ k=-25이면 100-100=0이므로 중근을 갖는다.

㉣ k>-25이면 100+4k>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ㉢, ㉣이다.

-2—'1å0 3 -2—"√2¤ -3_(-2)

3

03-

이차방정식 x¤ +px+4=0이 중근을 가지므로 b¤ -4ac=p¤ -4_1_4=0, p¤ -16=0 (p+4)(p-4)=0 ∴ p=-4 또는 p=4 이차방정식 x¤ +x+p-1=0이 근을 갖지 않으므로 b¤ -4ac=1¤ -4_1_(p-1)<0, 1-4p+4<0 -4p<-5 ∴ p>;4%;

따라서 두 조건을 모두 만족하는 p의 값은 4이다.

03-

이차방정식 x¤ -4x+k+2=0이 중근을 가지므로 b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_(k+2)=0

16-4k-8=0, -4k=-8 ∴ k=2 k=2를 (k+1)x¤ -2kx-1=0에 대입하면 3x¤ -4x-1=0

∴ x=

∴ x=

대표 유형04 (두 근의 합)=-3+4=p

∴ p=1

(두 근의 곱)=-3_4=-q∴∴

∴ q=12

∴ p+q=1+12=13

04 -

A=:¡3º:, B=;3&;이므로 A-B=:¡3º:-;3&;=1

04-

이차방정식 x¤ -2x-3=0의 두 근의 곱은 -3이므로 x=-3을 x¤ +4x+m=0에 대입하면

9-12+m=0 ∴ m=3

04-

이차방정식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 -1, 7이므로 (두 근의 합)=-1+7=a

∴ a=6

(두 근의 곱)=-1_7=b∴∴

∴ b=-7

6x¤ -7x+1=0에서 (6x-1)(x-1)=0

∴ x=;6!; 또는 x=1

04 -

2x¤ -5x-3=0에서

(두 근의 합)=;2%;, (두 근의 곱)=-;2#;

즉, 이차방정식 4x¤ +ax+b=0의 두 근이 ;2%;, -;2#;이 므로

(두 근의 합)=;2%;+{-;2#;}=-;4A;

1=-;4A; ∴ a=-4 (두 근의 곱)=;2%;_{-;2#;}=;4B;

-;;¡4∞;;=;4B; ∴ b=-15

∴ a+b=-4+(-15)=-19 2—'7

3

-(-2)—"√(-2)¤ -3_(-1) 3

http://zuaki.tistory.com

수 학

대표 유형07 두 근이 -1, 4이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+1)(x-4)=0, 2(x¤ -3x-4)=0

∴ 2x¤ -6x-8=0

07-

중근이 -1이고 x¤ 의 계수가 3인 이차방정식은 3(x+1)¤ =0, 3(x¤ +2x+1)=0

∴ 3x¤ +6x+3=0 따라서 a=3, b=3이므로 a+b=3+3=6

07-

a+b=-2, ab=-5이므로

두 근이 -2, -5이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+2)(x+5)=0 ∴ x¤ +7x+10=0

07-

a+b=-6, ab=-2이므로

;å!;+;∫!;= = =3

;å!;_;∫!;= = =-;2!;

따라서 구하는 이차방정식은 2{x¤ -3x-;2!;}=0

∴ 2x¤ -6x-1=0

대표 유형08 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1(xæ2)이 라고 하면

(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =194, 3x¤ -192=0 x¤ -64=0, (x+8)(x-8)=0∴∴

∴ x=-8 또는 x=8 그런데 xæ2이므로 x=8 따라서 가장 큰 수는 9이다.

08-

연속하는 두 짝수를 x, x+2(xæ2)라고 하면 x(x+2)=120, x¤ +2x-120=0

(x+12)(x-10)=0 ∴ x=-12 또는 x=10 그런데 xæ2이므로 x=10

따라서 연속하는 두 짝수는 10, 12이다.

08-

동생의 나이를 x살이라고 하면 언니의 나이는 (x+4) 살이므로

(x+4)¤ =2x¤ +7, x¤ +8x+16=2x¤ +7 x¤ -8x-9=0, (x+1)(x-9)=0

∴ x=-1 또는 x=9 그런데 x는 자연수이므로 x=9 따라서 동생의 나이는 9살이다.

08-

=78에서 n(n+1)=156 n¤ +n-156=0, (n+13)(n-12)=0

∴ n=-13 또는 n=12 그런데 n은 자연수이므로 n=12 따라서 12까지의 자연수를 더해야 한다.

08-

20t-5t¤ =15에서 t¤ -4t+3=0 (t-1)(t-3)=0

∴ t=1 또는 t=3

따라서 물체의 높이가 처음으로 15 m가 되는 것은 물체 를 던져 올린 지 1초 후이다.

n(n+1) 2

1 -2 1 ab

-6 -2 a+b

ab

04-

두 근을 a, a+5라고 하면 (두 근의 합)=a+(a+5)=9 2a=4 ∴ a=2

따라서 두 근은 2, 7이므로

(두 근의 곱)=2_7=2k ∴ k=7

04-

두 근을 2a, 3a라고 하면 (두 근의 합)=2a+3a=-10 5a=-10 ∴ a=-2 (두 근의 곱)=2a_3a=-6k

6a¤ =-6k, 6_(-2)¤ =-6k ∴ k=-4 대표 유형05 a+b=2, ab=-2이므로

;å©;+;∫ƒ:= =

;å©;+;∫ƒ:= =-4

05-

a+b=-7, ab=-5이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

=(-7)¤ -4_(-5)=69

05-

^a+b=2, ab=;3!;이므로

a¤ -ab+b¤ =(a+b)¤ -2ab-ab

=(a+b)¤ -3ab

a¤ -ab+b¤

=2¤ -3_;3!;=3

05-

진섭：a+b=-3 은영：ab=-2

미연：;å!;+;∫!;= = =;2#;

희선：a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=(-3)¤ -2_(-2)=13

재석： + = =

재석： +

= =;;¡4£;;

따라서 구한 식의 값이 틀린 학생은 진섭, 희선이다.

대표 유형06 한 근이 3+'7이므로 다른 한 근은 3-'7이다.

(두 근의 곱)=(3+'7)(3-'7)=a

∴ a=2

06-

한 근이 '2-1이므로 다른 한 근은 -'2-1이다.

(두 근의 합)=('2-1)+(-'2-1)=a

∴ a=-2

따라서 구하는 합은 (-'2-1)+(-2)=-'2-3

06-

= =2+'3이므로 다른 한

근은 2-'3이다.

(두 근의 합)=(2+'3)+(2-'3)=-;a$;

4=-;a$; ∴ a=-1

(두 근의 곱)=(2+'3)(2-'3)=-b 1=-b ∴ b=-1

∴ ab=-1_(-1)=1 2+'3 (2-'3)(2+'3) 1

2-'3

13 (-2)¤

a¤ +b¤

(ab)¤

a¤ +b¤

a¤ b¤

1 b¤

1 a¤

-3 -2 a+b

ab 2¤ -2_(-2)

-2

(a+b)¤ -2ab ab a¤ +b¤

ab

http://zuaki.tistory.com

대표 유형09 처음 정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이를 x m 라고 하면

(x+2)(x-4)=72, x¤ -2x-80=0

(x+8)(x-10)=0 ∴ x=-8 또는 x=10 그런데 x>4이므로 x=10

따라서 처음 정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이는 10 m이다.

09-

p_(8+x)¤ =p_8¤ +57p에서 x¤ +16x-57=0 (x+19)(x-3)=0 ∴ x=-19 또는 x=3 그런데 x>0이므로 x=3

09-

가로의 길이를 x cm라고 하면 세로의 길이는 (10-x) cm이므로

x(10-x)=21, x¤ -10x+21=0 (x-3)(x-7)=0 ∴ x=3 또는 x=7

이때 가로의 길이가 세로의 길이보다 길므로 가로의 길 이는 7 cm이다.

09-

길의 폭을 x m라고 하면 길을 제외한 텃밭의 넓이는 가 로의 길이가 (30-x) m, 세로의 길이가 (22-x) m인 직사각형의 넓이와 같으므로

(30-x)(22-x)=560, x¤ -52x+100=0 (x-2)(x-50)=0 ∴ x=2 또는 x=50 그런데 0<x<22이므로 x=2

따라서 길의 폭은 2 m이다.

09-

처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 x cm라고 하면

2(x-4)¤ =200, (x-4)¤ =100 x-4=—10 ∴ x=-6 또는 x=14 그런데 x>4이므로 x=14

따라서 처음 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는 14 cm이다.

01

a+b=6, ab=4이므로 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

=6¤ -4_4=20

∴ a-b=—2'5

그런데 a>b이므로 a-b>0

∴ a-b=2'5

∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=6_2'5=12'5

02

두 근이 -8, 3이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+8)(x-3)=0, 즉 x¤ +5x-24=0

이때 우철이는 상수항을 바르게 보았으므로 상수항은 -24 이다.

두 근이 -3, 5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+3)(x-5)=0, x¤ -2x-15=0

이때 보라는 x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수는 -2 이다.

따라서 처음에 주어진 이차방정식은 x¤ -2x-24=0이므로 (x+4)(x-6)=0 ∴ x=-4 또는 x=6

03

출발한 지 x초 후에 △QDP의 넓이가 21 cm¤ 가 된다고 하면

PD”=(20-2x) cm, DQ”=x cm이므로

;2!;_(20-2x)_x=21, x¤ -10x+21=0 (x-3)(x-7)=0 ∴ x=3 또는 x=7

따라서 △QDP의 넓이가 21 cm¤ 가 되는 것은 출발한 지 3초 후 또는 7초 후이다.

│실수하기

쉬운 문제│

│26~27^쪽│

01 ④ 02x=-;2!; 03¹⁰ 04④

05③, ④06^-12 07② 08④ 09;8#;

10

4'3

11

^②

12

^①

13

2x¤ -18x+22=0

14

⁸

15

④

16

^1+'5₂

➊회

01

^x=

x=

따라서 A=-3, B=13이므로 A+B=-3+13=10

02

0.2x¤ -0.5x-0.3=0의 양변에 10을 곱하면 2x¤ -5x-3=0, (2x+1)(x-3)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=3

;3!;x¤ -;;¡6¡;;x-1=0의 양변에 6을 곱하면 2x¤ -11x-6=0, (2x+1)(x-6)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=6

따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=-;2!;이다.

03

x+y=A라고 하면 A(A-8)=20 A¤ -8A-20=0, (A+2)(A-10)=0

∴ A=-2 또는 A=10 즉, x+y=-2 또는 x+y=10 따라서 x+y의 값 중 큰 수는 10이다.

04

① b¤ -4ac=0¤ -4_1_(-16)=64>0 ∴ 2개

② (x+2)¤ =6에서 x¤ +4x-2=0

b¤ -4ac=4¤ -4_1_(-2)=24>0 ∴ 2개

③ x(x-2)=8에서 x¤ -2x-8=0

b¤ -4ac=(-2)¤ -4_1_(-8)=36>0 ∴ 2개

④ b¤ -4ac=12¤ -4_1_36=0 ∴ 1개

⑤ b¤ -4ac=1¤ -4_2_(-1)=9>0 ∴ 2개 -3—'∂13

2

-3—"√3¤ -4_1_ç(-1) 2_1

http://zuaki.tistory.com

수 학 05

x¤ -2m(x-2)-3=0에서 x¤ -2mx+4m-3=0

b¤ -4ac=(-2m)¤ -4_1_(4m-3)=0이어야 하므로 4m¤ -16m+12=0, m¤ -4m+3=0

(m-1)(m-3)=0 ∴ m=1 또는 m=3

06

;2!;x¤ -3x-1=0의 양변에 2를 곱하면 x¤ -6x-2=0

따라서 A=6, B=-2이므로 AB=6_(-2)=-12

07

이차방정식 2x¤ -px+q=0의 두 근이 -3, 5이므로 (두 근의 합)=-3+5=;2P;

2=;2P; ∴ p=4 (두 근의 곱)=-3_5=;2Q;

-15=;2Q; ∴ q=-30

따라서 이차방정식 4x¤ +15x-30=0의 두 근의 곱은 -;;£4º;;=-;;¡2∞;;이다.

08

두 근을 a, a+2라고 하면 (두 근의 합)=a+(a+2)=5 2a=3 ∴ a=;2#;

따라서 두 근은 ;2#;, ;2&;이므로 (두 근의 곱)=;2#;_;2&;=k+2

:™4¡:=k+2 ∴ k=;;¡4£;;

09

a+b=-3, ab=-8이므로

;å!;+;∫!;= = =;8#;

10

(x-3)¤ =2x+5에서 x¤ -6x+9=2x+5 x¤ -8x+4=0

∴ a+b=8, ab=4

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=8¤ -4_4=48

∴ a-b=—'∂48=—4'3 그런데 a>b이므로 a-b>0

∴ a-b=4'3

11

한 근이 1+2'2이므로 다른 한 근은 1-2'2이다.

(두 근의 곱)=(1+2'2 )(1-2'2 )=a

∴ a=-7

12

중근이 3이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2(x-3)¤ =0, 2(x¤ -6x+9)=0

∴ 2x¤ -12x+18=0

따라서 a=-12, b=18이므로 a-b=-12-18=-30

13

a+b=7, ab=3이므로

(a+1)+(b+1)=a+b+2=7+2=9

(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=3+7+1=11 따라서 구하는 이차방정식은 2(x¤ -9x+11)=0

∴ 2x¤ -18x+22=0 -3 -8 a+b

ab

14

어떤 자연수를 x라고 하면 2x=x¤ -48, x¤ -2x-48=0

(x+6)(x-8)=0 ∴ x=-6 또는 x=8 그런데 x는 자연수이므로 x=8

따라서 어떤 자연수는 8이다.

15

물로켓이 바닥에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 30t-5t¤ =0, t¤ -6t=0

t(t-6)=0 ∴ t=0 또는 t=6 그런데 t>0이므로 t=6

따라서물로켓이바닥에떨어지는것은발사한지6초후이다.

16

ABCD∽ DEFC이므로 BC”=x라고 하면 AB”：DE”=AD”：DC”에서 1：(x-1)=x：1 x(x-1)=1, x¤ -x-1=0

∴ x=

∴ x=

그런데 x>1이므로 x=

따라서 BC”의 길이는 1+'5이다.

2 1+'5

2 1+'5

2

-(-1)—"√(-1)¤ -4√_1_(-1) 2_1

│28~29쪽│

01 ① 02^x=-4또는 x=-2 03③ 04④

05^-2 06③ 07① 08^-14 09⁰

10

④

11

⑤

12

2x¤ -8x-42=0

13

^x=-6또는 x=1

14

②

15

^{6 m}

16

^{4 cm}

➋회

01

^x=

x=

따라서 q=1, 1-3p=13에서 -3p=12 ∴ p=-4

∴ p+q=-4+1=-3

02

양변에 10을 곱하면 2(x-1)¤ =3x¤ +2(x+5) 2(x¤ -2x+1)=3x¤ +2x+10, x¤ +6x+8=0 (x+4)(x+2)=0 ∴ x=-4 또는 x=-2

03

x+3=A라고 하면 A¤ +3A-4=0

(A+4)(A-1)=0 ∴ A=-4 또는 A=1 즉, x+3=-4 또는 x+3=1이므로

x=-7또는 x=-2

따라서 두 근의 차는 -2-(-7)=5

04

b¤ -4ac=(-6)¤ -4_1_(2m+3)<0이어야 하므로 36-8m-12<0, -8m<-24 ∴ m>3 따라서 자연수 m의 값 중 가장 작은 수는 4이다.

1—'1ƒ-3p 3

-(-1)—ø(π-1)¤ -3_p 3

http://zuaki.tistory.com

05

이차방정식 x¤ -2x-k=0이 중근을 가지므로 b¤ -4ac=(-2)¤ -4_1_(-k)=0 4+4k=0, 4k=-4 ∴ k=-1

k=-1을 (1-k)x¤ -4kx-5=0에 대입하면 2x¤ +4x-5=0

따라서 두 근의 합은 -;2$;=-2

06

(두 근의 합)=-2+4=p

∴ p=2

(두 근의 곱)=-2_4=q

∴ q=-8

∴ p+q=2+(-8)=-6

07

두 근의 합이 -5이므로 -5=-(m+1) ∴ m=4 따라서 두 근의 곱은 -m=-4

08

이차방정식 x¤ +8x-2=0의 두 근의 곱은 -2이므로 x=-2를 2x¤ -3x+k=0에 대입하면

8+6+k=0 ∴ k=-14

09

두 근을 a, 2a라고 하면 (두 근의 합)=a+2a=5m 3a=5m ∴ m=;5#;a (두 근의 곱)=a_2a=50 a¤ =25 ∴ a=-5 또는 a=5

⁄ a=-5일 때, m=;5#;_(-5)=-3

¤ a=5일 때, m=;5#;_5=3

⁄, ¤에 의하여 모든 상수 m의 값의 합은 -3+3=0

10

③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=2¤ -2_(-1)=6

④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

=2¤ -4_(-1)=8

⑤ + = = =-2

11

한 근이 3-'5이므로 다른 한 근은 3+'5이다.

(두 근의 합)=(3-'5 )+(3+'5 )=-p

∴ p=-6

(두 근의 곱)=(3-'5 )(3+'5 )=q

∴ q=4

∴ p+q=-6+4=-2

12

두 근이 -3, 7이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+3)(x-7)=0, 2(x¤ -4x-21)=0

∴ 2x¤ -8x-42=0

13

두 근이 -3, 2이고 x¤`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+3)(x-2)=0, 즉 x¤ +x-6=0

이때 성진이는 상수항을 바르게 보았으므로 b=-6 2

-1 a+b

ab 1 b 1 a

두 근이 -7, 2이고 x¤`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+7)(x-2)=0, 즉 x¤ +5x-14=0

이때 효진이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 a=5 따라서 x¤ +5x-6=0에서 (x+6)(x-1)=0

∴ x=-6 또는 x=1

14

전체 학생 수를 x명이라고 하면 한 학생이 받는 귤의 개수 는 (x+3)개이므로

x(x+3)=180, x¤ +3x-180=0

(x+15)(x-12)=0 ∴ x=-15 또는 x=12`

그런데 x는 자연수이므로 x=12 따라서 전체 학생 수는 12명이다.

15

처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이를 x m라고 하면 (x+2)(x-1)=40, x¤ +x-42=0

(x+7)(x-6)=0 ∴ x=-7 또는 x=6 그런데 x>1이므로 x=6

따라서 처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 6 m 이다.

16

작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 큰 정사 각형의 한 변의 길이는 (10-x) cm이므로

(10-x)¤ +x¤ =52, x¤ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴ x=4 또는 x=6 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.

│30~31쪽│

01⑴ k>-;8(; ⑵ 2 ⑶ k>12

02⑴ 10초 후 ⑵ 1초 후 또는 8초 후

034—2'3 04¹⁷ 05²¹

0616마리 또는 48마리 07- 11

07- 5 07- 2

01

⑴ b¤ -4ac=3¤ -4_2_(-k)>0이어야 하므로

∴9+8k>0, 8k>-9

∴ k>-;8(;

⑵ b¤ -4ac=k¤ -4_1_(k-1)=0이어야 하므로

∴k¤ -4k+4=0, (k-2)¤ =0

∴ k=2

⑶ b¤ -4ac=(-8)¤ -4_1_(k+4)<0이어야 하므로

∴64-4k-16<0, -4k<-48

∴ k>12

02

⑴ 공이 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 50+45t-5t¤ =0, t¤ -9t-10=0

(t+1)(t-10)=0 ∴ t=-1 또는 t=10 그런데 t>0이므로 t=10

따라서 공이 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 10초 후이다.

http://zuaki.tistory.com

수 학

⑵ 50+45t-5t¤ =90에서 t¤ -9t+8=0 (t-1)(t-8)=0 ∴ t=1 또는 t=8

따라서 공의 높이가 90 m가 되는 것은 쏘아 올린 지 1초 후 또는 8초 후이다.

03

⑴ (3x-1)◉x=(3x-1)x-(3x-1)-x

=3x¤ -5x+1

⑵ 3x¤ -5x+1=2x¤ +3x-3에서 x¤ -8x+4=0

∴ x=-(-4)—"√(-4√)¤ -√1_4

=4—2'3

04

⑴ 한 근이 4+'7이므로 다른 한 근은 4-'7이다.

⑵ (두 근의 합)=(4+'7)+(4-'7)=a

∴ a=8

⑶ (두 근의 곱)=(4+'7)(4-'7)=b

∴ b=9

⑷ a+b=8+9=17

05

양변에 6을 곱하면 2x(x-4)=(x+1)¤ …… [1점]

2x¤ -8x=x¤ +2x+1, x¤ -10x-1=0

∴ x=-(-5)—"√(-5)¤ -1_(-1)

∴ x=5—'∂26

…… [3점]

따라서 A=5, B=26이므로

B-A=26-5=21 …… [1점]

06

원숭이의 수를 x마리라고 하면 x={;8!;x}¤

+12 …… [3점]

x=;6¡4;x¤ +12, x¤ -64x+768=0 (x-16)(x-48)=0

∴ x=16 또는 x=48 …… [2점]

따라서 이 시에 나오는 원숭이는 16마리 또는 48마리이다.

…… [1점]

07 -

(x+2)(x-3)=4에서 x¤ -x-6=4

∴ x¤ -x-10=0 …… [1점]

따라서 A=1, B=-10이므로

A-B=1-(-10)=11 …… [2점]

07-

^a+b=-2, ab=-;2!;이므로 ^{…… [1점]}

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab …… [2점]

a¤ +b¤

=(-2)¤ -2_{-;2!;}

a¤ +b¤

=4+1=5 …… [1점]

07-

이차방정식 x¤ -3x+2=0에서

(두 근의 합)=3, (두 근의 곱)=2 …… [1점]

즉, 이차방정식 2x¤ +ax+b=0의 두 근이 3, 2이므로 (두 근의 합)=3+2=-;2A;

5=-;2A; ∴ a=-10 …… [1.5점]

(두 근의 곱)=3_2=;2B;

6=;2B; ∴ b=12 …… [1.5점]

∴ a+b=-10+12=2 …… [1점]

IV ^{. 이차함수}

1. 이차함수와 그 그래프

│32쪽│

01이차함수

02⑴ 원점, 아래 ⑵ y ⑶ 감소, 증가 ⑷ 위

03⑴ y=x¤ +5 ⑵ y=(x+3)¤ ⑶ y=(x-2)¤ -1

04⑴ 1, 3 ⑵ 1, 3 ⑶ 1

│33쪽│

01⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _

02⑴ y=4x, 이차함수가 아니다.

⑵ y=2x¤ , 이차함수이다.

⑶ y=60x, 이차함수가 아니다.

03⑴ -3 ⑵ -4 ⑶ 12 ⑷ -;4&;

04⑴ ㉠, ㉣ ⑵ ㉢ ⑶ ㉡, ㉣

05⑴ y=x¤ +1, (0, 1), x=0

⑵ y=-5x¤ +3, (0, 3), x=0

05⑶ y=;6!;x¤ -7, (0, -7), x=0

05⑷ y=-;2!;x¤ -2, (0, -2), x=0

06⑴ y=6(x-1)¤ , (1, 0), x=1

05⑵ y=-(x+5)¤ , (-5, 0), x=-5

05⑶ y=;2!;(x-4)¤ , (4, 0), x=4

05⑷ y=-;4!;(x+3)¤ , (-3, 0), x=-3

07⑴ y=2(x-1)¤ +1, (1, 1), x=1

05⑵ y=-10(x+3)¤ +4, (-3, 4), x=-3

05⑶ y=;5!;(x-2)¤ -7, (2, -7), x=2

05⑷ y=-;3!;(x+5)¤ -1, (-5, -1), x=-5

08⑴ (0, 0), x=0

⑵ (0, -2), x=0

05⑶ (-1, 0), x=-1

⑷ (5, 1), x=5

01

⑶ y=x(x+5)-6에서 y=x¤ +5x-6이므로 이차함수 이다.

⑷ y=x¤ -x(x+3)에서 y=-3x이므로 이차함수가 아 니다.

02

⑵ y=;2!;_4x_x=2x¤ 이므로 이차함수이다.

⑶ (거리)=(속력)_(시간)이므로 y=60x 따라서 이차함수가 아니다.

http://zuaki.tistory.com

03-

구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ 이라고 하자.

y=ax¤에 x=2, y=2를 대입하면 2=4a ∴ a=;2!;

∴ y=;2!;x¤

03-

y=-2x¤의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2x¤

y=2x¤에 x=3, y=a를 대입하면 a=18

03-

② 모두 y축(x=0)을 축으로 한다.

03-

y=ax¤에 x=-2, y=12를 대입하면 12=4a ∴ a=3

따라서 y=3x¤ 에 x=1, y=b를 대입하면 b=3

∴ a+b=3+3=6

대표 유형04 그래프가 위로 볼록한 것은 ②, ④, ⑤이고, 이 중 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ④이다.

04-

y=ax¤의 그래프는 y=;3!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁고, y=2x¤의 그래프보다 폭이 넓으므로 ;3!;<a<2

04-

그래프가 색칠한 부분에 있는 이차함수의 식을 y=ax¤

이라고 하자.

y=ax¤의 그래프가 아래로 볼록한 경우에는 0<a<1, 위로 볼록한 경우에는 -;3!;<a<0이어야 하므로 색칠 한 부분에 있는 것은 ③이다.

대표 유형05 ① 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다.

② 아래로 볼록한 포물선이다.

③ 점 (3, 5)를 지난다.

⑤ y=x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이 동한 것이다.

05-

y=-;2!;x¤ +q에 x=2, y=1을 대입하면 1=-2+q ∴ q=3

따라서 이차함수 y=-;2!;x¤ +3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 3)이다.

05-

^y=2x¤의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 y=2x¤ +3

y=2x¤ +3에 x=-1, y=a를 대입하면 a=2+3=5

05-

y=ax¤ +q에 x=1, y=-1을 대입하면 -1=a+q yy㉠

y=ax¤ +q에 x=2, y=8을 대입하면 8=4a+q yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, q=-4

∴ a-q=3-(-4)=7

대표 유형06 ④ x<-3일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감 소한다.

06-

y=;4!;(x-2)¤ 의 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 그래프로 적당한 것은 ④이다.

대표 유형01 ① 일차함수이다.

② 이차함수가 아니다.

③ 이차함수이다.

④ y=2x(x-6)-x¤ =x¤ -12x이므로 이차함수이다.

⑤ y=x‹ -(x+1)¤ =x‹ -x¤ -2x-1이므로 이차함수 가 아니다.

01 -

동현 : y=px¤ 이므로 이차함수이다.

연정 : y= 이므로 이차함수가 아니다.

준수 : y=400x이므로 일차함수이다.

상희 : y= 이므로 이차함수이다.

따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것을 말한 학생은 동 현, 상희이다.

01-

a¤ -4+0이어야 하므로 a¤ +4

∴ a+—2

대표 유형02 f(-2)=12-4-1=7 f(1)=3+2-1=4

∴ f(-2)+f(1)=7+4=11

02-

f(-1)=-1-a-5=3이므로 -a=9 ∴ a=-9

02 -

f(a)=2a¤ -10a=12이므로 2a¤ -10a-12=0 a¤ -5a-6=0, (a+1)(a-6)=0

∴ a=-1 또는 a=6 그런데 a는 양수이므로 a=6 대표 유형03 ② 축의 방정식은 x=0이다.

④ 점 (3, -3)을 지난다.

03 -

y=4x¤에 x=-1, y=a를 대입하면 a=4 x(x-3)

2 100

x

│34~39쪽│

대표 유형01③, ④ 01- 동현, 상희 01- ② 대표 유형02¹¹ 02- ① 02- ⑤

대표 유형03②, ④ 03- ⑤ 03- ② 03- ④

03- 18 03- ② 03- 6 대표 유형04④ 04- ;3!;<a<2 04- ③ 대표 유형05④ 05- ② 05- (0, 3)

05- 5 05- 7

대표 유형06④ 06- ④ 06- ① 06- ③

06- _-;3$; 06- 34 대표 유형07① 07- 3 07- 영채, 기훈

07- 제 4사분면 07- 1

07- ① 07- 3 대표 유형08③ 08- ② 08- 4 대표 유형09③ 09- -3 09- ③

대표 유형

10

a<0, p<0, q>0

10-

②

10-

④

01 ⁴ 02¹⁸ 03-3<a<0

│실수하기쉬운 문제│

http://zuaki.tistory.com

수 학 06-

^y=-2x¤의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이

동하면 y=-2(x+1)¤`

y=-2(x+1)¤에 x=1, y=k를 대입하면 k=-8

06-

그래프가 위로 볼록하고, 축의 방정식이 x=1이므로 x>1일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

06-

축의 방정식이 x=-3이므로 p=-3 y=a(x+3)¤에 x=0, y=4를 대입하면 4=9a ∴ a=;9$;

∴ ap=;9$;_(-3)=-;3$;

06-

^y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하 면 y=a(x-2)¤

y=a(x-2)¤에 x=4, y=8을 대입하면 8=4a ∴ a=2

따라서 y=2(x-2)¤ 에 x=-2, y=b를 대입하면 b=2_16=32

∴ a+b=2+32=34

대표 유형07 ① 꼭짓점의 좌표는 (-2, -1)이다.

07-

y=3(x+1)¤ +4의 그래프는 y=3x¤ 의 그래프를 x축 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동 한 것이므로 a=-1, b=4

∴ a+b=-1+4=3

07-

상현：y=2x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행 이동하면 포갤 수 있다.

지수：y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행 이동하면 포갤 수 있다.

슬기：y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 -3만큼 평행이동하면 포갤 수 있다.

따라서 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 팽행이동하여 포 갤 수 없는 것을 말한 학생은 영채, 기훈이다.

07 -

y=2(x+3)¤ -1의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 제 4사분면을 지나지 않는다.

07 -

y=-x¤의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=-(x+3)¤ +2 y=-(x+3)¤ +2에 x=-2, y=k를 대입하면 k=-1+2=1

07 -

꼭짓점의 좌표가 (2, -1)이므로 p=2, q=-1

y=a(x-2)¤ -1에 x=0, y=5를 대입하면 5=4a-1, 4a=6 ∴ a=;2#;

∴ apq=;2#;_2_(-1)=-3

x y

O -1 -3

17

07-

y=-;2!;(x+p)¤ +2p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-p, 2p)이고, 이 꼭짓점이 일차함수 y=-x+3의 그래프 위에 있으므로

2p=p+3 ∴ p=3

대표 유형08 y=4(x-1)¤ +3의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면

y=4(x-1-m)¤ +3+n -1-m=2에서 m=-3 3+n=-1에서 n=-4

∴ m-n=-3-(-4)=1

08-

y=-(x+2)¤ -2의 그래프를 x축의 방향으로 -2만 큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면

y=-(x+2+2)¤ -2+1, 즉 y=-(x+4)¤ -1 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4, -1)이므로 a=-4, b=-1

축의 방정식은 x=-4이므로 c=-4

∴ a+b+c=-4+(-1)+(-4)=-9

08 -

y=(x+1)¤ -4의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y 축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면

y=(x+1-1)¤ -4-4, 즉 y=x¤ -8 y=x¤ -8에 x=a, y=8을 대입하면 8=a¤ -8, a¤ =16 ∴ a=—4 그런데 a는 양수이므로 a=4

대표 유형09 y=;4!;(x+1)¤ -3의 그래프를 x축에 대하여 대 칭이동하면 -y=;4!;(x+1)¤ -3

즉, y=-;4!;(x+1)¤ +3

09-

y=-2(x-3)¤ +5의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 동하면 y=-2(-x-3)¤ +5

즉, y=-2(x+3)¤ +5

y=-2(x+3)¤ +5에 x=-1, y=a를 대입하면 a=-8+5=-3

09 -

y=(x-2)¤ +3의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하 면 y=(-x-2)¤ +3, 즉 y=(x+2)¤ +3

y=(x+2)¤ +3의 그래프는 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 m=-2, n=3

∴ m+n=-2+3=1

대표 유형

10

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

꼭짓점 (p, q)가 제 2사분면 위에 있으므로 p<0, q>0

10 -

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0 꼭짓점이 x축의 아래쪽에 있으므로 q<0

10-

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

꼭짓점 (p, q)가 제 4 사분면 위에 있으므로 p>0, q<0

④ apq<0

http://zuaki.tistory.com

01

^y=x¤에 y=4를 대입하면 4=x¤ ∴ x=—2

이때 점 R는 제1사분면 위에 있으므로 R(2, 4) PQ”=QR”이므로 Q(1, 4)

y=ax¤에 x=1, y=4를 대입하면 a=4

02

두 이차함수의 그래프의 모양과 폭이 같으므로 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 ACDB의 넓이와 같다.

y=-;3!;x¤ +3에 y=0을 대입하면 0=-;3!;x¤ +3, x¤ =9

∴ x=—3

즉, A(-3, 0), B(3, 0), C(-3, -3), D(3, -3) 이므로

(색칠한 부분의 넓이)= ACDB=6_3=18

03

꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이므로 그 래프가 모든 사분면을 지나려면 오 른쪽 그림과 같이 위로 볼록해야 한다.

∴ a<0 yy`㉠

이때 y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있어야 하므로 y=a(x-1)¤ +3에 x=0을 대입하면 y=a+3 a+3>0 ∴ a>-3 yy`㉡

㉠, ㉡`에 의하여 -3<a<0

3

x y

O 1

04

^y=ax¤에 x=-1, y=-2를 대입하면 a=-2 따라서 y=-2x¤ 에 x=2, y=b를 대입하면 b=-8

∴ a+b=-2+(-8)=-10

05

^y=ax¤의 그래프는 위로 볼록하므로 a<0이고, y=-x¤

의 그래프보다 폭이 넓으므로 a의 절댓값은 1보다 작아야 한다.

따라서 -1<a<0이므로 a의 값이 될 수 있는 것은 ③이다.

06

y=;3!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평행이동하 면 y=;3!;x¤ -5

y=;3!;x¤ -5에 x=-3, y=a를 대입하면

a=;3!;_9-5=-2

07

y=ax¤ +q에 x=-1, y=5를 대입하면 5=a+q11 y y㉠

y=ax¤ +q에 x=2, y=14를 대입하면 14=4a+q y y㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, q=2

∴ a-q=3-2=1

08

⑤ y=;2!;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

09

③ y=;2#;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이 동하면 포갤 수 있다.

⑤ y=;2#;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동 하면 포갤 수 있다.

10

두 이차함수의 그래프의 모양 과 폭이 같으므로 색칠한 부 분의 넓이는 직사각형 AOBC의 넓이와 같다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)

= AOBC=2_4=8

11

① 꼭짓점의 좌표：(-5, 0), 축의 방정식：x=-5

③ 꼭짓점의 좌표：(2, 0), 축의 방정식：x=2

④ 꼭짓점의 좌표：(3, -3), 축의 방정식：x=3

⑤ 꼭짓점의 좌표：(0, 0), 축의 방정식：x=0

12

그래프가 위로 볼록하고, 축의 방정식이 x=3이므로 x<3 일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

13

그래프가 위로 볼록한 것은 ①, ②, ④이다.

주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 각각 구하면

① (0, 1)：y축　

② (-1, 2)：제 2 사분면

③ (2, -3)：제 4 사분면　

④ (-3, -1)：제 3 사분면

⑤ (-3, 4)：제 2 사분면

따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 것은 ②`이다.

y=(x-2)¤

y=(x-2)¤ +4

x y

O 4

2 B A C

│40~41쪽│

01 ①, ⑤02¹⁰ 03경민, 수영 04^-10 05③

06④ 07③ 08⑤ 09③, ⑤

10

⁸

11

②

12

^x<3

13

②

14

^-2

15

⑤

16

③

➊회

01

① 일차함수이다.

② y=x(1-x)=-x¤ +x이므로 이차함수이다.

③ y=(x-2)¤ =x¤ -4x+4이므로 이차함수이다.

④ 이차함수이다.

⑤ 이차함수가 아니다.

02

f (2)=4-2+1=3 f (-4)=16+4+1=21

∴ f(2)+;3!; f(-4)=3+;3!;_21=10

03

경민 : 아래로 볼록한 포물선이다.

수영 : x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

따라서 잘못 설명한 학생은 경민, 수영이다.

│실수하기

쉬운 문제│

http://zuaki.tistory.com

수 학 14

y=3(x-1)¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y

축의 방향으로 3만큼 평행이동하면

y=3(x-1+2)¤ +1+3, 즉 y=3(x+1)¤ +4 y=3(x+1)¤ +4에 x=a, y=7을 대입하면 7=3(a+1)¤ +4, 3(a+1)¤ =3

(a+1)¤ =1, a+1=—1

∴ a=-2 또는 a=0

따라서 a의 값의 합은 -2+0=-2

15

y=2(x-5)¤ +3의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y=2(-x-5)¤ +3, 즉 y=2(x+5)¤ +3

16

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

꼭짓점 (p, q)가 제`3`사분면 위에 있으므로 p<0, q<0

06

^y=ax¤의 그래프는 y=-2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓고, y=-;5@;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로 -2<a<-;5@;

07

y=-x¤ +q의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이 동하면 y=-x¤ +q-4

즉, a=-1, q-4=2에서 q=6

∴ a+q=-1+6=5

08

① y=3x¤ 의 그래프는 아래로 볼록하고, y=-;3!;x¤ +1의 그래프는 위로 볼록하다.

② y=-;3!;x¤ +1의 그래프의 폭이 더 넓다.

③ y=3x¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이고, y=-;3!;x¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 1)이다.

⑤ y=-;3!;x¤ +1의 그래프는 y=-;3!;x¤ 의 그래프를 y축 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

09

축의 방정식이 x=-1이므로 p=-1

y=a(x+1)¤에 x=-2, y=4를 대입하면 a=4

∴ a+p=4+(-1)=3

10

y=x¤ -9의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -9), y=a(x-b)¤의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (b, 0)이다.

y=x¤ -9의 그래프가 점 (b, 0)을 지나므로 y=x¤ -9에 x=b, y=0을 대입하면

0=b¤ -9, b¤ =9

∴ b=—3

그런데 b>0이므로 b=3

또, y=a(x-3)¤ 의 그래프가 점 (0, -9)를 지나므로 y=a(x-3)¤에 x=0, y=-9를 대입하면

-9=9a ∴ a=-1

∴ a+b=-1+3=2

11

④ 그래프는 제1, 2, 4 사분면을 지난다.

12

y=-;5#;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향 으로 7만큼 평행이동하면 y=-;5#;(x-3)¤ +7

y=-;5#;(x-3)¤ +7에 x=-2, y=a를 대입하면 a=-;5#;_25+7=-8

13

꼭짓점의 좌표가 (-2, 6)이므로 p=-2, q=6

y=a(x+2)¤ +6에 x=0, y=4를 대입하면 4=4a+6, 4a=-2 ∴ a=-;2!;

∴ a+p+q=-;2!;+(-2)+6=;2&;

2

-4 4

x y

O

│42~43^쪽│

01 ^③ 02^⑤ 03^④ 04^-1 05^③

06-2<a<-;5@; 07⁵ 08④ 09③

10

⑤

11

④

12

^-8

13

;2&;

14

⁹

15

y=-;3!;(x-1)¤ -6

16

호영

➋회

01

① y=2px이므로 일차함수이다.

② y=3x이므로 일차함수이다.

③ y=6x¤ 이므로 이차함수이다.

④ y=x‹ 이므로 이차함수가 아니다.

⑤ y=(x+2)¤ -x¤ =4x+4이므로 일차함수이다.

02

f(-2)=8-2a+1=3이므로 -2a=-6 ∴ a=3

따라서 f(x)=2x¤ +3x+1이므로 f(1)=2+3+1=6 ∴ b=6

∴ a+b=3+6=9

03

구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ 이라고 하자.

y=ax¤``에 x=3, y=6을 대입하면 6=9a ∴ a=;3@;

∴ y=;3@;x¤

04

^y=4x¤의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내 는 이차함수의 식은 y=-4x¤

y=-4x¤에 x=a, y=a-3을 대입하면 a-3=-4a¤, 4a¤ +a-3=0

(a+1)(4a-3)=0 ∴ a=-1 또는 a=;4#;

그런데 a는 정수이므로 a=-1

05

그래프가 아래로 볼록한 것은 ②, ③이고, 이 중 그래프의 폭이 더 좁은 것은 ③이다.

http://zuaki.tistory.com