Ⅱ. 이론적 배경
2. 문제설정 교수방법
가. 문제설정을 보는 관점
문제설정은 모든 지적인 탐구 활동 영역에서 빈번히 일어나는 활동이다. 우 리가 사회생활 속에서 부딪히는 많은 문제를 해결하려고 할 때 보통은 그 해 결 방법이 얼른 보이지 않는다. 그 문제를 해결하기 위해 가설을 세우고 자료 와 조건을 수집하고 잠정적인 결론을 내려 그 타당성을 여러 특수한 경우에 비추어 검정하고자 한다. 이 때 추측이나 유추로 만든 가설이나 잠정적 결론 이 모순에 부딪히게 되면 문제를 변형 수정하여 다시 검정을 하는 활동이 반 복하여 일어난다. 수학의 지적인 탐구 활동에서도 이 문제 만들기 활동은 빈 번히 일어나는데 곤란에 부딪히면 주어진 문제를 재 진술하거나 변형된 문제 를 만들어 보거나 하여 문제 해결을 용이하게 한다. 문제설정은 새로운 문제 를 생성해 내거나 주어진 문제로부터 문제를 재 진술하는 것과 관련이 있다.
그래서 문제설정은 문제를 풀기 전에도, 푸는 중에도, 풀고 난 후에도 일어난 다(Silver).19)
Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematic(NCTM,1989) 과 Professional Standards for Teaching Mathematics(NCTM,1991)에서는 교 실 수업에서 문제 만들기 활동을 많이 하도록 요구하고 있다. 문제 해결 능력 을 개발하기위해 이미 만들어져 있는 문제를 푸는 것뿐만 아니라 소집단 또 는 학급 전체 학생이 오랜 시간이 걸려 협력해야 하는 문제도 다룰 필요가 있다. 바로 답이 주어지지 않는 탐구형 문제도 다루어야 하며 아울러 학생들 이 문제를 구성하는 활동도 필요하다며 이를 강조하고 있다. 또한 수학 학습 19) Silver, E. A.(1993) On mathematical problem posing. Proceedings of seventeenth international conference for psychology of mathematics education, Vol.Ⅰ, p.66-85.
의 본질은 탐구하고, 유추하고, 조사하고 평가하는 그 자체이다. 과제는 학생 이 쉽게 접근해서 그들의 수학적 지식과 문제해결력을 향상시켜 줄 수 있도 록 학생들에게 제시해야 한다. 또 한편으로 학생들은 주어진 상황으로부터 문 제를 새로 꾸며 보거나 주어진 문제에서 조건을 바꾸어 새 문제를 구성해 볼 수 있는 기회를 가져야 한다고 문제 만들기 활동을 강조하고 있다.
또한 Silver는 수학 학습에서 문제설정의 역할이나 그 중요성을 다음과 같 은 몇 가지 관점에서 보고 있다.
첫째, 문제설정을 창조적 활동이나 특별한 수학적 능력의 한 특출한 성질로 본다.
둘째, 문제설정을 탐구 지향 학습 활동의 한 특징으로 보고 있다.
셋째, 문제설정은 수학 활동의 다른 무엇보다 두드러진 한 특징이다.
넷째, 문제설정은 학생들의 문제 해결 능력을 향상시키는 수단이 된다.
다섯째, 문제설정은 학생들의 수학에 대한 이해 정도를 들여다 볼 수 있는 창이 된다.
여섯째, 문제설정은 학생들의 수학에 대한 성향을 향상시키는 한 수단으로 본다.
Brown과 Walter도 문제 풀이 과정에서 문제를 새롭게 재구성해야 하고 또 문제를 풀고 난 후에도 새로운 문제를 만들어 분석을 다시 해야 더 이상의 확산된 사고를 할 수 있다고 하면서 문제설정이 수학 활동에서 중요한 활동 이라고 했다.20)
또 Brown과 Walter는 문제 만들기를 ‘수용’과 ‘도전’ 두 가지로 나누어 필 요한 전략을 제시하고 있다. 첫째, ‘수용’ 단계는 주어진 문제를 탐구하는 과 정에서 원문제에서 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아 들여 문제 만들기 활동을 하는 단계이며, 이 단계에서 사용되는 전략으로 ⑴관찰과 추측 ⑵구체 적인 것과 특별한 것 ⑶내적 탐구와 외적 탐구 ⑷정밀한 탐구와 근사적 탐구 20) Brown, S. I. & Walter, M. I..“전게서”, 1983.
⑸역사적 탐구 등을 들고 있다. 둘째, ‘도전’ 단계는 원문제에서 주어진 조건 이나 속성을 나열하고 그것을 여러 가지로 바꾸어 그 결과가 어떻게 변하는 지를 알아보는 즉 새로운 문제를 탐구해 보는 단계이다. 이 단계에서 사용되 는 전략으로 What - if - not전략을 제시하고 있다.
수준 0 : 출발점 선택 수준 1 : 속성 나열
수준 2 : What - if - not - ing 수준 3 : 발문 또는 문제 만들기 수준 4 : 문제 분석
Brown과 Walter의 What - if - not의 전략은 새로운 문제를 만들 때 어떻 게 접근해야 하는지를 보여주는 매우 효율적인 전략이라 할 수 있겠다.
나. 문제설정 교수방법의 개념 및 의의
수학교육에서 사용하는 [문제설정(Problem Posing)] 교수·학습이란 간단히 말하면 교사와 학생이 함께 수학의 문제나 정리 등을 만들어 가는 교수·학습 을 의미한다. 영어권에서는 Problem Generation, Problem Posing, Problem F ormulation 등의 용어가 사용되고 있는데, 수학의 문제나 정리 등을 만들어 가는 단계에서 생각하면, Problem Generation(문제생성) Problem Posing(문제 설정) Problem Formulation (문제의 정식화(定式化))의 순서로 생각할 수 있 다. 미국의 Walter & Brown(1969) 등은 학교 수학교육에서 문제해결에 대한 지나친 강조에 대하여 문제설정 교수·학습 또한 그 이상으로 가치가 있음을 강조하고, 그에 대한 연구를 계속하고 있다.
일반적인 학교 수학교육의 현상을 생각하면, 학생에게 수학의 개념을 이해 시키고 그에 관련되는 다양한 형태의 문제를 풀게 하여 그 개념이나 문제를 학생 스스로 수학화 하는 능력을 함양하도록 하고 있다. 문제설정 교수·학습
에서는 학생이 교과서나 참고서, 교사가 제시하는 문제를 단지 푸는 수동적인 활동에서 벗어나 학생 자신이 문제를 발견하고 만들어 가는 능동적이고 창조 적인 활동을 기대할 수 있다. 문제해결에서는 그 문제를 풀려고 하는 수검적 (收斂的)인 사고활동 및 자세로 되는 경향이 우세하지만, 문제설정에서는 폭 넓고 다양하게 생각하는 광산적(壙散的)인 사고활동 및 그 자세가 요구되므로 문제해결 이상으로 창의력의 신장을 기대할 수 있다고 생각한다.
문제설정 교수·학습에 대한 의의를 수학교육의 목표와 성취도 및 학생의 태 도, 이후의 연구·실천을 위하여 다음과 같이 정리·분류하고 있다.21)
1) 지식·이해에 관한 면
⑴ 수학의 개념형성을 촉진하는데 도움이 된다.
⑵ 이해의 폭과 깊이를 확대한다.
⑶ 장기 기억으로 연결된다.
2) 수학적 사고에 관한 면
⑴ 분석력과 통합력이 길러진다.
⑵ 실용력(實用力)과 응용력이 길러진다.
⑶ 일반화하는 사고가 길러진다.
⑷ 유연한 사고력과 창조력이 길러진다.
⑸ 보다 발전적인 사고력이 길러진다.
3) 관심·태도에 관한 면
⑴ 자주적인 학습능력을 향상시키는데 도움이 된다.
⑵ 흥미와 관심을 갖게 되어 적극적인 수업태도가 길러진다.
4) 문제설정 능력의 육성
⑴ 수학화 하는 능력이 육성된다.
⑵ 문제해결의 발전적 활동이 가능하게 된다.
이 이외에도 학생들이 만든 문제를 보면 그들의 수학에 대한 능력이 자연 21) , 임문규, “전게문”, p.55-62.
스럽게 표출되므로 평가에 그대로 적용할 수 있다. 또한 현직 교사 및 장래에 수학 교사가 될 사람은 학생들의 평가를 위하여 실제로 많은 문제를 만들어 야 하므로 다양한 문제설정 능력을 갖추어야 할 것이다.실제로 문제설정 교 수·학습을 실시하여 보면, 학생들은 자기가 만드는 수학 문제를 자연스럽게 풀어 가면서 만들고 있다. 이것은 문제설정의 학습뿐만이 아니라 문제해결 학 습도 동시에 이루어지는 두 가지 학습효과를 거둘 수 있다.
다. 문제설정 교수방법의 유형
실(實) 세계적인 상황(未 수학적 세계)으로부터와 수학적 상황으로부터의 둘로 크게 유형화하였다. 여기서 말한 실 세계적인 상황이란 아직 수학화 되 어 있지 않은 자연 및 사회적 상황을 의미하며, 수학적 상황이란 식이나 정 리, 수학의 문제 등 이미 수학화 된 상황을 의미한다. 그 내용을 살펴보면 다 음과 같다.22)
첫째, 실 세계적 상황으로부터의 문제설정 교수·학습은 현실 세계로부터 수 학적 요소를 발견·추출하여 문제나 정리 등으로 수학화 하는 활동이므로, 갑 자기 실시하여서는 좋은 학습효과를 기대할 수 없을 것이다. 그러므로 현실적 인 교수·학습의 실제(實際)에서는 가능한 한 접근하기 쉬운 수학의 내용을 많 이 품고 있으며 또한 교과서의 단원 내용에도 접근하기 쉬운 상황을 제시하 고 충분한 연습이 요구된다. 실제로 문제설정 교수·학습에 적용가능하다고 생 각되는 실 세계적 상황으로는 다음과 같은 것을 들 수 있다.
⑴ 일상생활의 일과(가정생활, 학교생활, 시장보기, 통학, 여러 가지 행사,…)
⑵ 놀이, 게임(술래잡기, 줄넘기, 제기차기, 운동의 시합,…)
⑶ 뉴스의 내용(신문, 잡지, TV,…)
22) 정지호, 임문규, “전게문”, p.55-62.
⑷ 역사(수학자와 과학자의 전기, 역사적 사실,…)
⑸ 서적(교과서, 참고서, 전기,…)
⑹ 타 교과의 내용(과학, 사회, 국어, 음악, 체육,…)
⑺ 그림, 모형(여러 가지 그림, 사진, 건축물, 다리,…)
둘째로 수학적 상황으로부터는 위에서 언급한 바와 같이, 수학의 내용 및 교재 안에서 이미 다루어지고 있는 용어, 수, 기호, 식, 정리, 문제 등을 사용 하는 교수·학습을 의미한다.
좀 더 구체적인 내용을 살펴보면, 다음과 같은 것들을 들 수 있다.
1) 수학의 문제 이외의 내용으로부터의 문제설정
⑴ 용어(길이, 무게, 넓이, 삼각형, 곱셈, 배수, 분수, 부등식, 함수, …)
⑵ 숫자 및 문자(3, 4, 7, 50, 100, x, y, S, V,…)
⑶ 도형 및 모형(점, 선, 삼각형, 사각형, 구의 모형, 원추의 모형,…)
⑷ 그래프(함수의 그래프, 통계의 그래프, …)
⑸ 식(여러 가지 공식, 방정식, 부등식,…)
⑹ 자료(통계자료, 학급 어린이의 신장·몸무게·성적, 인구통계, 가계부,…)
⑺ 기호 및 부호(+, -, ÷, ×, =, >, <, ≥, ∠, ∫, ⊆, ⊃, ∑, ∏, √,…)
⑻ 교구(자, 삼각자, 각도기, 컴퍼스,…)
2) 수학의 문제로부터의 문제설정
교과서나 참고서의 문제라 하더라도 문제를 푸는 과정이나 문제를 푼 후에 그 문제와 유사하거나 새로운 문제를 만들게 하는 방법, 완성된 수학의 문제 가 아니라 조건이 과부족(過不足)한 문제, 질문이 없는 문제 상황만을 제시하 여 문제설정 교수·학습이 가능하다. 이들을 좀 더 구체적으로 정리하면 아래 와 같이 들 수 있다.
⑴ 원(原) 문제와 유사 또는 새로운 발전적인 문제설정
⑵ 다양한 해결방법에 따른 문제설정
⑶ ‘일반에서 특수로’와 그의 역(逆) 방향으로의 문제설정
⑷ 조건이 과부족한 문제해결에서의 문제설정
⑸ 질문이 없는 문제 상황에서의 문제설정
문제설정 교수·학습에서는 처음에는 기성의 문제나 정의, 정리, 수학용어등 과 같이 친숙한 것에서부터 시작하여, 점차 어려운 실 세계적 상황으로 진행
문제설정 교수·학습에서는 처음에는 기성의 문제나 정의, 정리, 수학용어등 과 같이 친숙한 것에서부터 시작하여, 점차 어려운 실 세계적 상황으로 진행