Ⅱ. 이론적 배경
3. 문제 해결력
문제 해결은 이미 알고 있는 지식으로는 해결되기 어려운 장애나 곤란에 직면했을 때, 창조적으로 새로운 해결 방법을 생각해 내어 그것을 사고 상태 의 조작, 실험, 논증에 의하여 확인해 가는 상태라고 할 수 있다. 따라서 문제 해결을 통하여 생각하는 힘을 길러 발전적으로 논리적, 수학적, 합리적 사고 력이 육성된다고 하겠다.24)
가. 문제 해결의 전략 및 해결과정
문제 해결에 도움이 되는 일반적인 절차나 해결방법의 실마리를 얻도록 하 는 대표적인 전략을 소개하면 다음과 같다.
① Schoenfeld는 문제 해결 전략으로 분석, 계획, 탐색, 실행, 검증을 들면서 그 과정을 다음과 같이 도식화하였다.
주어진 문제 → 분 석 → 계 획 → 실 행 → 검 증 ↑ ↓↑
탐 색
위의 Schoenfeld의 문제해결 전략에 대한 도식화를 구체적으로 살펴보면 다 음과 같다25).
24) 沈甲燮, 問題設定 -學習에 關한 硏究-Meta 認知活動을 중심으로, 동국대학교 교육대학 원 석사학위논문, 1994, p.6-10.
25) Schoenfeld, A.H.(1985). Mathematical Problem Solving. Academic Press. INC.
주어진 문제를 ‘진술문의 이해’, ‘문제의 단순화’, ‘문제의 재공식화’의 전략을 사용하여 분석한다. 이 분석을 바탕으로 ‘유용한 공식화’ 즉 원리나 법칙을 이 용하여 계획하게 된다. 이때 계획의 구체적인 전략으로는 ‘논의를 구조화할 것’, ‘전체적인 것에서 특수한 것으로 위계적인 분해를 할 것’을 들고 있다. 여 기서 계획한 것을 바로 실행하지 못할 어려움에 직면하게 되면 본질적으로
‘동치의 문제’나 ‘수정한 문제’로 바꾸는 탐색을 하게 된다. 이 탐색의 과정을 거쳐 다시 분석하여 계획하거나 또 다시 수정된 계획의 과정을 거쳐서 실행 하게 된다. 마지막 단계로 실행의 결과를 ‘특별한 검사’나 ‘일반적인 검사’를 통하여 검증하게 된다.
② 신성균 외(한국교육개발원)의 견해26)
- 식 만들기 : 주어진 조건들 사이의 관계를 나타내는 식을 만들어 그것은 문제 해결에 이용하는 전략
- 예상과 확인 : 어떤 문제를 해결하는 경우 미리 그 문제의 답을 얼마라고 예상해 보고 그것이 문제의 조건에 맞는지 확인해 보는 전략 - 그림 그리기 : 어떤 문제를 풀 때에 그 문제에 포함되어 있는 정보 및 관
계를 그림으로 나타내는 전략
- 표 만들기 : 주어진 문제의 정보들을 표로 나타냄으로써 그 정보들을 일 목요연하게 볼 수 있을 뿐만 아니라 그 답을 직접 구할 수 있 는 전략
- 규칙성 찾기 : 문제에 주어진 문제보다 좀 더 단순한 문제로 만들어 해결 해 보고 이 해결과정에서 사용된 원리를 본 문제의 해결에 사 용하거나 원래의 문제를 몇 개의 부분적인 문제로 만들어 그들 을 해결함으로써 원래의 문제를 해결하는 전략.
26) 신성균 외, 문제 해결력 신장을 위한 학습 자료 개발연구, 연구보고서 RR89-11, 서울 : 한국교육개발원,1989.
- 거꾸로 풀기 : 문제의 구성을 가정과 결론으로 나누어 볼 경우 가정 부분 에 찾고자 하는 요소가 있을 때에 결론에서 출발하여 가정에로 역순으로 생각해 봄으로써 문제를 해결하는 전략
- 수형도 그리기 : 경우의 수를 구할 때 흔히 사용되는 전략으로 문제의 조 건을 만족하는 경우의 조건을 만족하는 경우의 수들을 수형도 를 그려서 해결하는 전략
- 논리적 추론 : 연역, 귀납, 유추 등의 추론을 사용하여 문제를 해결하는 전략
이상에서 문제해결의 전략은 다양하게 분류되고 있다. 주어진 문제를 효율 적으로 해결하기 위해서는 적절한 전략을 개발하여 적용하는 것이 특징이다.
한국교육개발원에서 연구된 전략이 적절한 문제해결의 전략으로 일반화의 가 치가 있다고 생각된다.
문제 해결단계로는 다음 몇 가지를 들 수 있다.
① Polya(1957)의 4단계
Polya는 그의 저서 “How to Solve it - A New Aspect of Mathematical Method"에서 문제해결 과정을 다음과 같이 4단계로 구분하고 있다.
문제에 대한 이해 → 계획의 작성 →계획의 실행 → 반성
② NCTM(1989)의 5단계27)
미국 NCTM의 1989년도의 보고에서는 문제해결의 과정을 다음과 같이 5단 계로 구분하고 있다.
의식 → 이해 → 계획 → 실행 → 검증
③ 신성균 외(한국교육개발원,1989)의 6단계
27) NCTM,(1989), Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.
VA. : NCTM
한국교육개발원에서는 문제해결의 과정으로 다음의 6단계로 구분하고 있다.
문제의식 → 문제이해 → 자력해결→ 비교, 검토→ 적용 → 정리 이상에서 문제해결 과정에 대해서는 거의 공통적으로 주어진 문제를 파악 하고 문제해결 계획을 수립하여 계획을 실행에 옮기고 난 뒤 반성, 검증의 절 차를 거치고 있는 것이 특징이다.
나. 문제 해결과 문제설정과의 관계
여러 학자들이 말하는 문제 해결 단계를 살펴보며 문제설정이 문제 해결 단계 속에서 하나의 전략으로 중요시하고 있음을 알 수 있다.
Polya(1957)는 문제설정에 대하여 특별히 언급하고 있지는 않으나 문제설정 의 방법이나 정신이 그의 문제 해결 단계에 많이 녹아 있다. Polya의 문제 해 결 단계는 ‘문제에 대한 이해’, ‘계획의 작성’, ‘계획의 실행’, ‘반성’ 네 가지로 나누고 있다. 그 중 ‘계획의 작성’ 단계에서의 자료와 미지인 것 사이의 관계 를 찾아보는 것인데 그러한 관계를 곧 발견할 수 없다면 보조 문제를 고려하 지 않으면 안 된다고 했다.28)
보다 문제 해결에 접근하기 쉬운 관련된 문제를 생각해 내는 것뿐만 아니 라 관련된 문제를 만들어 내야 한다. 다시 말해 알고 있는 여러 가지 문제나 정리의 적용을 시도해 보며, 그것이 여의치 않으면 조건 가운데 일부분만 남 기고 다른 것은 다 버린다든지, 미지인 것 또는 자료를 어떻게 변형할 것인 지, 필요하다면 두 가지 다 변형하는 방법으로 여러 문제를 변형 수정하여 고 려해 보고 또 여러 가지 보조 문제를 만들어 검토해 보는 가운데 원문제의 풀이의 단서를 얻을 수 있다는 것이다.
이 과정은 문제의 조건을 변경하여 그 결과가 어떻게 되는지를 살펴보는
28) Polya,“전게서”. p.53-101.
과정이라고 생각할 수 있다. 즉 조건 변경의 문제설정 방법이 가장 흔하게 일 어나는 과정이라 생각할 수 있겠다.
Polya는 이 때 일반화, 특수화, 유추, 조건의 일부를 떼어 내기 등이 일어난 다고 했다.
어떤 문제를 풀 때 그 문제보다 보다 ‘일반화’된 문제를 만들어 볼 수 있는 데 어떤 경우는 이 일반화된 문제를 해결하기가 더 쉬울 때가 있다. 이러한 일반화는 수학 학습에 매우 유용하다고 했다. ‘수에 관한’문제를 ‘문제에 관한’
문제로 바꾸면 새로운 방법에 접근하게 된다는 것이다. 곧, 주어진 자료를 변 경시킬 수 있고, 그렇게 함으로 써 결과를 여러 가지 방법으로 점검 해 볼 수 있다.
문제를 해결하는 데 ‘특수화’ 또한 유용하다고 했다. 일반적인 명제를 논박 하기 위해서 우리는 주어진 명제와 관계있는 집합으로부터 ‘특수화’하여 한 대상을 골라내어 점검 결과 일반적인 명제를 따르지 않으면 그 명제는 거부 된다. 만일 그 대상이 일반적인 명제를 따른다고 하더라도 우리는 그 점검으 로부터 어떤 단서를 얻어 낼 수 있다.
또 우리가 문제를 풀 때 원문제와 관련이 있거나 유사한 보다 단순한 ‘유추’
문제를 고려하여 해답을 얻을 수 있다. 문제 해결에서 어느 정도 그럴듯한 결 과나 적어도 결과의 몇 가지 특징을 예견해 보는 것은 바람직한 일인데 이러 한 예측은 흔히 ‘유추’에 의존하게 된다. 물론 ‘유추’에 의해 유사한 문제를 만 들었을 때 이 문제의 풀이 방법이나 결과를 원문제 풀이에 바로 이용할 수도 있으나 그렇지 않을 때도 있다. 그럴 때에는 여러 가지 형태의 풀이를 시도해 본 후에 결국에는 본래의 문제에까지 확장시켜 볼 수 있는 문제를 찾을 때가 지 풀이를 재차 생각해 보거나 변형 수정해 보는 것도 문제 해결에 매우 가 치 있는 일이다.
그리고 Polya는 파푸스의 “발견술”에 나오는 ‘거꾸로 풀기’ 또는 ‘역행적 추 론’이라 불리는 문제 해결 전략을 소개하였다. 먼저 ‘요구하고 있는 것으로부
터 시작하여 그것을 이미 찾은 것처럼 가정하라.’ 라고 하여 문제를 푼다. 이 에 쉽게 이르지 못하면 ‘무엇이 그 선행하는 단계의 앞 단계가 될 수 있는지’
를 다시 생각해 본다고 했다. 이는 구하고자 하는 것을 이미 찾은 것처럼, 증 명하는 것은 참인 것처럼 가정한 다음 그 결과를 유도할 수 있는 선행하는 조건이 무엇인지 찾아가는 것이다. 이것은 문제설정 방법 중 결과 변경 문제 설정 방법과 같다고 하겠다. 결국은 문제 풀이 계획을 세우는 단계에서는 조 건 변경이나 결과 변경의 문제설정 방법이 자주 일어난다고 볼 수 있다.
이상 Polya에 의하면 문제 해결의 초기 단계에서부터 문제 해결 단계까지 나아가 문제를 풀고 난 다음에도 문제설정은 늘 일어난다고 할 수 있다. 좀 더 잘 문제를 이해하고 파악하기 위해서는 여러 가지 입장에서 보고 여러 측 면으로부터 그 문제를 살펴보아야 한며 계획을 세우고 실행하는 단계에서도
‘일반화’, ‘특수화’, ‘유추’, ‘거꾸로 풀기’, ‘분해와 재조립’ 등과 같은 방법으로 새로운 문제를 구성할 수 있어야 문제 해결을 쉽게 하며, 또한 문제를 다 풀 고 난 뒤에도 원문제와 관련이 있는 여러 문제를 만들어 풀어 보아야 문제해 결력이 향상된다구 할 수 있다.