수 학

수 학

V ^{. 통계}

1. 대푯값과 산포도

│4^쪽│

01⑴ 6, 45, 6, 7.5

⑵ 5, 6, 7, 8, 8, 11, 7, 8, 7.5

⑶ 8, 8

02-3, 2, 1, 0

03⁵, 6, 6, 16, 6, 4, 6, 0, 6, 4, 6, 16, 40, 40, 8, 8, 2'2

│5쪽│

0124회

02해설 참조, 82점

03⑴ 중앙값：4, 최빈값：4 ⑵ 중앙값：2, 최빈값：1, 2

⑶ 중앙값：15.5, 최빈값：없다.

04⑴ 47.5 kg ⑵ 52.5 kg

05㉣, ㉡, ㉤, ㉠, ㉢

06⑴ 7점 ⑵ 해설 참조 ⑶ 2 ⑷ '2점

07⑴ 10권 ⑵ 해설 참조 ⑶ 16 ⑷ 4권

01

^{(평균)= = =24(회)}

02

(평균)= =82(점)

03

⑶ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면

10, 12, 15, 16, 18, 19이므로 (중앙값)= =15.5 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 없다.

04

⑴ 크기순으로 8번째 값은 45 kg 이상 50 kg 미만인 계급 에 속하므로 (중앙값)= =47.5(kg)

⑵ 도수가 가장 큰 계급은 50 kg 이상 55 kg 미만인 계급 이므로 (최빈값)= =52.5(kg)

06

^{⑴ (평균)=} =;;£5∞;;=7(점)

⑵

7+9+5+8+6 5

50+55 2

45+50 2

15+16 2 1640

20

120 5 15+21+34+17+33

5

수학 성적(점) 도수(명) 계급값(점) (계급값)_(도수)

60^이상~170^미만 2 65 65_2=130

70^이상~180^이상 7 75 75_7=525

80^이상~190^이상 6 85 85_6=510

90^이상~100^이상 5 95 95_5=475

합계 20 1640

성적(점) 7 9 5 8 6

0 2 -2 1 -1

0 4 4 1 1

합계 0 10 편차

(편차)¤

수학

│6~9^쪽│

대표 유형01²² 01- 11 01- ④ 01- 5 대표 유형02^14.5초 02- ⑤ 02- ①

02- 6.5회

대표 유형03² 03- 미국 03- 68 대표 유형04중앙값：12.5 cm, 최빈값：7.5 cm

04- 60 04- 평균：40분, 중앙 값：50분, 최빈값：50분

대표 유형05^64점 05- 3 05- ③ 대표 유형06^6.8 06- ⑤ 06- _{'2 cm}

06- 4

대표 유형07¹¹⁰ 07- 10 L 07- ⑤ 대표 유형08^⑤ 08- ① 08- 민준

01^{149 cm} 02¹⁹ 0310분

│실수하기쉬운 문제│

대표 유형01 (평균)= =15이므로

=15, x+68=90 ∴ x=22

01-

a, b, c의 평균이 12이므로

=12 ∴ a+b+c=36 따라서 5개의 변량 7, a, b, c, 12의 평균은

= =;;∞5∞;;=11

01-

(평균)= = =72.4(점)

01-

(평균)=

(평균)=61

이므로 =61, 55a+945=61a+915 6a=30 ∴ a=5

55a+945 a+15

45_4+55_a+65_7+75_3+85_1 4+a+7+3+1

3620 50 24_75+26_70

24+26

7+36+12 5 7+a+b+c+12

5 a+b+c

3 x+68

6

14+11+x+16+8+19 6

⑶ (분산)=;;¡5º;;=2

07

⑴ (평균)=

(평균)=;;¡1º0º;;=10(권)

⑵

⑶ (분산)= =16

⑷ (표준편차)='∂16=4(권) 160

10

2_1+6_2+10_3+14_4 10

계급값(권) 도수(명) 편차 (편차)¤ (편차)¤ _(도수)

2 1 -8 64

16 0 16

64_1=64

6 2 -4 16_2=32

10 3 0 0_3=0

14 4 4 16_4=64

합계 10 160

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대표 유형02 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 18이므로

(중앙값)= =14.5(초)

02-

중앙값을 각각 구하면

① 8 ② 6.5 ③ 8 ④ 7.5 ⑤ 10

02 -

중앙값이 25이므로 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 15, 20, 25, x, 30 또는 15, 20, 25, 30, x이어 야 한다.

따라서 x는 25 이상인 수이다.

02-

(평균)= =7이므

로 =7, x+64=70 ∴ x=6 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10이므로

(중앙값)= =6.5(회)

03-

가장 많은 학생이 선택한 나라는 미국이므로 최빈값은 미국이다.

03-

x g을 제외한 사과 4개의 무게가 모두 다르므로 최빈값 은 x g이다.

(평균)= =x이므로

=x, x+272=5x, 4x=272 ∴ x=68 대표 유형04 크기순으로 20번째와 21번째 값은 모두 10 cm

이상 15 cm 미만인 계급에 속하므로 (중앙값)= =12.5(cm)

도수가 가장 큰 계급은 5 cm 이상 10 cm 미만인 계급 이므로 (최빈값)= =7.5(cm)

04-

크기순으로 15번째 값은 20 m 이상 30 m 미만인 계급 에 속하므로

(중앙값)= =25(m) ∴ a=25

도수가 가장 큰 계급은 30 m 이상 40 m 미만인 계급이 므로

(최빈값)= =35(m) ∴ b=35

∴ a+b=25+35=60

04-

(평균)=

(평균)=;;¡;3@0);º;;=40(분)

크기순으로 15번째와 16번째 값은 모두 40분 이상 60분 미만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =50(분)

도수가가장큰계급은40분이상60분미만인계급이므로 (최빈값)=40+60=50(분)

2 40+60

2

10_5+30_9+50_12+70_4 30

30+40 2 20+30

2 5+10

2 10+15

2 x+272

5

65+68+x+70+69 5

6+7 2 x+64

10

10+9+5+7+x+4+6+6+8+9 10

14+15 2

대표 유형05 편차의 합은 0이므로

10+(-8)+2+x+(-3)+5=0 ∴ x=-6 따라서 민지의 국어 성적은

70+(-6)=64(점)

05-

편차의 합은 0이므로

-4+6+(-3)+x+(-2)=0 ∴ x=3

05-

(평균)=

(평균)= =43(회)

따라서 각 변량들의 편차는 차례로 6회, 9회, -7회, -1회, -5회, -2회이다.

대표 유형06 (평균)= = =11(점)

∴ (분산)= = =6.8

06-

(평균)= = =4(시간)

(분산)=

(분산)=;;™7•;;=4

∴ (표준편차)='4=2(시간)

06-

편차의 합은 0이므로

2+0+x+(-2)+1=0 ∴ x=-1 (분산)=

(분산)=:¡5º:=2

∴ (표준편차)='2(cm)

06-

(평균)= =41이므로

=41, x+205=246 ∴ x=41

∴ (분산)=

∴ (분산)= =4

대표 유형07 (평균)=

(평균)=;;∞2º0º;;=25(분)

∴ (분산)

∴=

∴= =110

07-

(평균)=

(평균)= =25(L) (분산)=

(평균)= =100

∴ (표준편차)='∂100=10(L) 4000

40

(-15)¤ _5+(-5)¤ _20+5¤ _5+15¤ _10 40

1000 40

10_5+20_20+30_5+40_10 40

2200 20

(-20)¤ _2+(-10)¤ _4+0¤ _7+10¤ _6+20¤ _1 20

5_2+15_4+25_7+35_6+45_1 20

24 6

1¤ +0¤ +3¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +1¤

6 x+205

6

42+x+44+38+39+42 6

2¤ +0¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +1¤

5

(-2)¤ +1¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +0¤ +2¤ +3¤

7 28

7 2+5+3+1+4+6+7

7

34 5 0¤ +2¤ +(-5)¤ +1¤ +2¤

5

55 5 11+13+6+12+13

5 258

6

49+52+36+42+38+41 6

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수 학 07-

16회 이상 24회 미만인 계급의 도수는

10-(2+3+2)=3(명) (평균)=

(평균)=;;¡1§0º;;=16(회)

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;§1¶0™;;=67.2

대표 유형08 성적이 가장 고르게 분포된 학생은 표준편차가 가장 작은 형수이다.

08-

각 자료의 평균은 모두 3이므로 표준편차가 가장 큰 것, 즉 자료가 평균으로부터 가장 멀리 떨어진 것은 ①이다.

08-

지은, 영훈 : A, B 두 반의 평균이 같으므로 어느 반이 더 우수하다고 할 수 없다.

수지, 민준 : B반의 표준편차가 A반의 표준편차보다 더 작으므로 B반의 성적이 더 고르다고 할 수 있다.

은선：B반의 표준편차가 A반의 표준편차보다 더 작으 므로 B반의 성적의 산포도가 더 작다.

따라서 바르게 말한 학생은 민준이다.

01

미영이를 제외한 학생 9명의 키의 합을 A cm라 하고 잘못 측정한 미영이의 키를 x cm라고 하면

-1=

A+159-10=A+x

∴ x=149

따라서 미영이의 키를 149 cm로 측정하였다.

02

(평균)= =6이므로

x+y+22=30 ∴ x+y=8

(분산)= =6.4이

므로 x¤ +y¤ -12(x+y)+102=32

∴ x¤ +y¤ =12(x+y)-70=12_8-70=26 이때 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로

26=8¤ -2xy, 2xy=38 ∴ xy=19

03

2+4+a+b=20이므로

a+b=14 yy㉠

(평균)= =25이므로

25a+35b+70=500

∴ 5a+7b=86 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=8 (분산)=

(분산)= =100

∴ (표준편차)='∂100=10(분) 2000

20

(-20)¤ _2+(-10)¤ _4+0¤ _6+10¤ _8 20

5_2+15_4+25_a+35_b 20

(-2)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +1¤ +5¤

5 4+x+y+7+11

5 A+x

10 A+159

10

(-12)¤ _2+(-4)¤ _3+4¤ _3+12¤ _2 10

4_2+12_3+20_3+28_2 10

│실수하기쉬운 문제│

│10~11쪽│

01③ 02② 03⑤ 0477점 05③ 06¹² 07⑤ 08²²

09중앙값：210 kWh, 최빈값：150 kWh

10

해설 참조

11

⑤

12

'2 회

13

③

14

⁸⁹

15

분산：81, 표준편차：9개

16

②

➊회

02

(평균)= =7이므로

=7, x+64=70 ∴ x=6

03

다음 번 시험에서 수학 성적을 x점 받는다고 하면 (평균)= æ80, 228+xæ320 ∴ xæ92 따라서다음번시험에서수학성적을92점이상받아야한다.

04

남학생의 미술 성적의 평균을 x점이라고 하면

(전체 평균)= =79이므로

10x+1600=2370, 10x=770 ∴ x=77 따라서 남학생의 미술 성적의 평균은 77점이다.

05

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 305, 375, 395, 405, 435, 480, 510이므로 중앙값은 405 kcal이다.

06

중앙값이 11이므로 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나 열하면 6, 8, 10, x, 15, 18이어야 한다.

즉, (중앙값)= =11이므로 10+x=22 ∴ x=12

07

최빈값을 각각 구하면

① 4 ② 1 ③ 4 ④ 3 ⑤ 5

08

^{(평균)= =6이므로}

=6, x+44=48 ∴ x=4 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 4, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9이므로

(중앙값)= =5.5 ∴ a=5.5 최빈값은 4이므로 b=4

∴ ab=5.5_4=22

09

크기순으로 25번째와 26번째 값은 모두 180 kWh 이상 240 kWh미만인 계급에 속하므로

(중앙값)= =210(kWh)

도수가 가장 큰 계급은 120 kWh 이상 180 kWh 미만인 계급이므로 (최빈값)= =150(kWh)

10

편차의 합은 0이므로 3+0+(-1)+x=0 ∴ x=-2

㉠ 1회의 기록이 가장 좋지 않다.

㉢ 3회의 기록은 평균보다 빠르다.

120+180 2 180+240

2 5+6

2 x+44

8

5+4+x+8+4+9+6+8 8

10+x 2

10_x+20_80 10+20 3_76+x

4 x+64

10

8+9+4+6+6+7+5+x+10+9 10

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11

① 편차의 합은 항상 0이다.

② 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이다.

③ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다.

④ 표준편차는 분산의 양의 제곱근이다.

12

^(평균)= =;;¢5º;;=8(회)

(분산)= =;;¡5º;;=2

∴ (표준편차)='2(회)

13

^{(평균)= =54이므로}

=54, x+221=270 ∴ x=49

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;™;5^;™;;=52.4

14

^{(평균)= =5이므로}

a+b+13=25 ∴ a+b=12 표준편차가 3, 즉 분산이 9이므로

=9 a¤ +b¤ -10(a+b)+76=45

∴ a¤ +b¤ =10(a+b)-31=10_12-31=89

15

(전체 학생 수)=2+4+3+1=10(명)이므로

(평균)= =;;¡1•0º;;=18(개)

(분산)=

(분산)= =81

∴ (표준편차)='∂81=9(개)

16

수면 시간이 가장 규칙적인 사람은 표준편차가 가장 작은 B이고, 가장 불규칙적인 사람은 표준편차가 가장 큰 E이 다.

810 10

(-13)¤ _2+(-3)¤ _4+7¤ _3+17¤ _1 10

5_2+15_4+25_3+35_1 10

(-4)¤ +(-1)¤ +3¤ +(a-5)¤ +(b-5)¤

5 1+4+8+a+b

5

14¤ +(-5)¤ +(-1)¤ +(-6)¤ +(-2)¤

5 x+221

5

68+x+53+48+52 5

2¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-2)¤

5 10+7+9+8+6

5

03

(평균)= = =67(점)

04

^{(평균)= =}

이때 중앙값이 10이므로 =10 x+36=50 ∴ x=14

05

㈎ 중앙값이 36이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 a, 35, 37, 39이어야 한다. ∴ a…35

㈏ 중앙값이 35이므로 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 25, 30, 35, a, 40 또는 25, 30, 35, 40, a이어 야 한다. ∴ aæ35

따라서 a=35이므로 주어진 두 조건을 만족하는 자연수 a 는 1개이다.

07

(평균)= =;1%0%;=5.5

∴ a=5.5

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8이므로

(중앙값)= =6.5 ∴ b=6.5 최빈값은 7이므로 c=7

∴ a+b+c=5.5+6.5+7=19

08

작은 값에서부터 크기순으로 8번째와 9번째 회원의 나이는 각각 28세, 30세이므로 (중앙값)= =29(세)

∴ a=29

최빈값은 22세이므로 b=22

∴ a+b=29+22=51

09

최빈값이 25분이므로 도수가 가장 큰 계급은 20분 이상 30 분 미만인 계급이다.

∴ a>11 yy㉠

이때 a+b=35-(2+11+3+1)=18이고 a>b이므로 10…a…18 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여 11<a…18

10

편차의 합은 0이므로

-4+x+11+(-8)+2=0 ∴ x=-1

11

③ 최빈값은 존재하지 않을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있 다.

⑤ 편차의 제곱의 평균을 분산이라고 한다.

12

온유가 어제 하루 동안 받은 문자 메시지의 개수의 편차를 x개라고 하면 편차의 합은 0이므로

2+(-2)+(-1)+x+(-5)=0 ∴ x=6

(분산)= =;;¶5º;;=14

∴ (표준편차)='∂14(개)

13

^(평균)= =;1#0);=3(점)

∴ (분산)=

∴ (분산)=;1!0@;=1.2

(-2)¤ _1+(-1)¤ _2+0¤ _4+1¤ _2+2¤ _1 10

1_1+2_2+3_4+4_2+5_1 10

2¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +6¤ +(-5)¤

5

28+30 2 6+7

2

3+7+5+6+7+8+3+7+1+8 10

x+36 5

x+36 5 5+8+10+13+x

5 402

6 65_5+77

6

│12~13쪽│

01 87점 02③ 03③ 04② 051개 06③

07③ 08⑤ 09①, ⑤

10

^-1

11

③, ⑤

12

②

13

^1.2

14

⁴

15

²⁶

16

②, ③

➋회

01

^(평균)= =;;∞;6@;™;;=87(점)

02

=3이므로 a+b+c+d+e=15

따라서 a+4, b+2, c-1, d-3, e+5의 평균은

= =15+7=;;™5™;;=4.4 5

a+b+c+d+e+7 5

(a+4)+(b+2)+(c-1)+(d-3)+(e+5) 5

a+b+c+d+e 5

84+92+88+91+82+85 6

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수 학

14

=5이므로 a+b+c+d=20

=4이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ =16 따라서 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3에서

(평균)= = =13

(분산)

=

=

= =16

∴ (표준편차)='∂16=4

15

{(편차)_(도수)}의 총합은 0이므로

(-8)_2+(-4)_4+0_5+4_x+8_3=0 4x=8 ∴ x=2

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;¢1¡6§;;=26

16

①, ② 수학 성적의 평균이 영어 성적의 평균보다 더 높으 므로 수학 성적이 영어 성적보다 더 우수하다.

③, ④ 영어 성적의 표준편차가 수학 성적의 표준편차보다 더 작으므로 영어 성적이 수학 성적보다 더 고르다.

⑤ 학생 수는 알 수 없다.

(-8)¤ _2+(-4)¤ _4+0¤ _5+4¤ _2+8¤ _3 2+4+5+2+3

4_16 4

4 {(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ } 4

(2a+3-13)¤ +(2b+3-13)¤ +(2c+3-13)¤ +(2d+3-13)¤

4

2_20+12 4 2(a+b+c+d)+4_3

4

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤

4 a+b+c+d

4

│14~15쪽│

01⑴ 8시간 ⑵ 6시간 ⑶ 3시간, 6시간

02⑴ 3 ⑵ 33 03⁹ 04'7점 05^{176.5 cm} 0649회

07- _2'2 07- '∂38권 07- '∂5.8시간

01

^{⑴ (평균)=}

⑴ (평균)=;1*0);=8(시간)

⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 2, 3, 3, 4, 6, 6, 9, 12, 15, 20이므로

⑴(중앙값)= =6(시간)

⑶ 가장 많이 나타나는 값은 3시간, 6시간이므로 최빈값은 3시간, 6시간이다.

02

^{⑴ (평균)=} =;;¡3∞;;=5

분산이 6이므로 =6

2a¤ =18, a¤ =9 ∴ a=3(∵ a>0) (-a)¤ +0¤ +a¤

3 (5-a)+5+(5+a)

3 6+6

2

20+3+15+9+6+12+4+3+2+6 10

⑵ (평균)= =3이므로 a+b+c=9

분산이 2이므로 =2

a¤ +b¤ +c¤ -6(a+b+c)+27=6

∴ a¤ +b¤ +c¤ =6(a+b+c)-21=6_9-21=33

03

⑴ 자료 A의 중앙값이 10이므로 a=10

⑵ a=10, a-3=7이므로 A, B 두 자료 전체를 작은 값 에서부터 크기순으로 나열하면

5, 6, 7, 7, 8, 10, 12, 12, 15, 16

⑶ (중앙값)= =9

04

⑴ (분산)= 이므로 (편차)¤ 의 총합은 (변량의 개수)_(분산)이다.

따라서 남학생과 여학생의 수학 성적의 (편차)¤ 의 총합은 각각 4_4=16, 6_9=54

⑵ 16+54=70

⑶ 전체 학생 10명의 수학 성적의 분산은 ;1&0);=7이므로 표 준편차는 '7점이다.

05

새로 입단한 학생 2명의 키의 평균을 x cm라고 하면 (25명의 키의 평균)= =174.2`…… [2점]

4002+2x=4355, 2x=353 ∴ x=176.5 `…… [2점]

따라서 새로 입단한 학생 2명의 키의 평균은 176.5 cm이

다. `…… [1점]

06

민경이의 줄넘기 기록의 편차를 x회라고 하면 편차의 합은 0이므로 5+2+(-2)+(-3)+(-1)+x=0

∴ x=-1 …… [2점]

따라서 민경이의 줄넘기 기록은

50+(-1)=49(회) …… [2점]

07-

(분산)=

(분산)=;;∞7§;;=8 ^{…… [2점]}

∴ (표준편차)='8=2'2 ^{…… [1점]}

07-

(평균)=

(평균)=;;¡;5);º;;=20(권) ^{…… [1점]}

(분산)=

(평균)=;;;!5(;º;;=38 ^{…… [2점]}

∴ (표준편차)='∂38(권) ^{…… [1점]}

07 -

(평균)=

(평균)= =7(시간) …… [2점]

(분산)=

(평균)= =5.8 …… [2점]

∴ (표준편차)='∂5.8(시간) ^{…… [1점]}

174 30

(-3)¤ _6+(-1)¤ _12+1¤ _6+3¤ _3+5¤ _3 30

210 30

4_6+6_12+8_6+10_3+12_3 30

(-4)¤ +7¤ +4¤ +(-10)¤ +3¤

5

16+27+24+10+23 5

(-2)¤ +5¤ +(-3)¤ +2¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +2¤

7 23_174+2_x

25 (편차)¤ 의 총합 (변량의 개수)

8+10 2

(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤

3 a+b+c

3

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VI ^{. 피타고라스 정리}

1. 피타고라스 정리

│16, 18^쪽│

01⑴ c, b, c, b ⑵ c, a, c, a ⑶ a, b, a, b

02¹, '5, SAS, '5, 5

03⑴ +, 직각삼각형이 아니다 ⑵ =, 직각삼각형이다

04⑴ >, 둔각 ⑵ <, 예각

05b, d, a¤ +d¤

06b, d, b¤ +c¤

07S£, S£, △ABC

│17, 19쪽│

01⑴ 13 ⑵ 2 ⑶ '5 ⑷ 2'∂14

02⑴ x=3'5, y=10 ⑵ x=12, y=5

03⑴ EBC ⑵ AB”, ABF, SAS, ABF ⑶ ABF

04⑴ 25 cm¤ ⑵ 5 cm

05⑴ '7 cm ⑵ 7 cm¤

06⑴ 12 cm ⑵ 7 cm ⑶ 49 cm¤

07⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯

084, 7, 4, 25, 5, 5, 7

09⑴ 둔 ⑵ 예 ⑶ 직 ⑷ 예

10

⑴ x='3, y=1 ⑵ x=3'3, y=3'2

11

⑴ 25 ⑵ 41

12

⑴ '3 ⑵ 3'5

13

^{b¤ +d¤}, b¤ +c¤ , DP”¤

14

⑴ 2'3 ⑵ '∂10

15

⑴ 25 cm¤ ⑵ 19 cm¤ ⑶ 90 cm¤ ⑷ 26 cm¤

01

⑴ x="√12¤ +5¤ =13

⑵ x="√1¤ +('3 )¤ =2

⑶ x="√3¤ -2¤ ='5

⑷ x="√√√√9¤ -5¤ =2'∂14

02

^{⑴ △ABD에서}

x="√√√√6¤ +3¤ =3'5

△ABC에서

y="√√√6¤ +(3+5)¤ =10

⑵ △ABC에서 x="√√√√15¤ -9¤ =12

△ACD에서 y="√√√√13¤ -12¤ =5

04

^{⑴ BFGC= ADEB+ ACHI}

=16+9=25(cm¤ )

⑵ BC”='∂25=5(cm)(∵ BC”>0)

05

^{⑴ △AEH에서}

EH”="√('3 )√¤ +2¤ ='7(cm)

⑵ △AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동) 이므로 EFGH는 한 변의 길이가 '7 cm인 정사각형 이다.

∴ EFGH=('7 )¤ =7(cm¤ )

06

^{⑴ △AHD에서}

AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)

⑵ AE”=DH”=5 cm이므로 EH”=AH”-AE”

=12-5=7(cm)

⑶ EFGH는 한 변의 길이가 7 cm인 정사각형이므로 EFGH=7¤ =49(cm¤ )

07

⑴ 3¤ +5¤ +7¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

⑵ ('2 )¤ +3¤ =('∂11 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

⑶ 7¤ +8¤ +10¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

⑷ 5¤ +5¤ =(5'2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

09

⑴ 3¤ >2¤ +2¤ 이므로 둔각삼각형이다.

⑵ 7¤ <5¤ +6¤ 이므로 예각삼각형이다.

⑶ (2'3 )¤ =('5 )¤ +('7 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

⑷ 12¤ <8¤ +11¤ 이므로 예각삼각형이다.

10

⑴ △AHC에서 x="√(2'3√ )¤ √-3¤ ='3 AH”¤ =BH”_CH”이므로

('3 )¤ =y_3 ∴ y=1

⑵ BH”=9-6=3이고 AB”¤ =BH”_BC”이므로 x¤ =3_9=27 ∴ x=3'3 (∵ x>0) AH”¤ =BH”_CH”이므로

y¤ =3_6=18 ∴ y=3'2 (∵ y>0)

11

⑴ DE”¤ +BC”¤ =4¤ +3¤ =25

⑵ DE”¤ +BC”¤ =5¤ +4¤ =41

12

⑴ AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 ('3 )¤ +x¤ =('2 )¤ +2¤ , x¤ =3

∴ x='3 (∵ x>0)

⑵ AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 8¤ +9¤ =x¤ +10¤, x¤ =45

∴ x=3'5 (∵ x>0)

14

⑴ AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로 7¤ +x¤ =6¤ +5¤, x¤ =12

∴ x=2'3 (∵ x>0)

⑵ AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로 3¤ +3¤ =x¤ +(2'2 )¤ , x¤ =10

∴ x='∂10 (∵ x>0)

15

⑴ (넓이)=10+15=25(cm¤ )

⑵ (넓이)=35-16=19(cm¤ )

⑶ (넓이)=△ABC=90(cm¤ )

⑷ (넓이)=12+14=26(cm¤ )

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수 학

│20~25쪽│

대표 유형012'∂13 cm 01- 12 01- ④

01- 45자 01- 4 cm01- ②

01- ②

대표 유형02⑤ 02- ③ 02- 14 cm

02- _{8'∂21 cm¤}

대표 유형03② 03- _{5'5 cm¤}

03- 36 cm¤

대표 유형04② 04- 49 04- _{8'7 cm}

대표 유형05^{4 cm¤} 05- 영석 05- 68

대표 유형06^{50 cm¤} 06- _{:™2∞: cm¤} 06- ③ 대표 유형07;3%; cm 07- ① 07- cm¤

대표 유형08①, ③ 08- ⑤ 08- 5, '7 대표 유형09'∂130<x<16 09- ⑤ 대표 유형

10

①, ③

10-

⑤

10-

3개

대표 유형

11

:¡5™: cm

11-

_{2'3 cm}

11-

④

11

-

대표 유형

12

¹¹

12-

_{3'2 km}

12-

④ 대표 유형

13

④

13-

4p cm¤

13-

17 cm

018'5 cm 02:¢3º: cm¤ 034'5 cm 3'∂10

5

'3 2

│실수하기쉬운 문제│

대표 유형01 △ABH에서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm) 따라서 △AHC에서

AC”="√4¤ +6¤ =2'∂13(cm)

01-

x¤ +9¤ =(x+3)¤이므로 6x=72 ∴ x=12

01 -

△ADC에서 DC”="√(2'5)¤ -4¤ =2(cm) 따라서 △ABC에서

AB”="√(2+2)¤ +4¤ =4'2(cm)

01-

연못의 깊이를 x자라고 하면 x¤ +24¤ =(x+6)¤

x¤ +576=x¤ +12x+36, 12x=540 ∴ x=45 따라서 연못의 깊이는 45자이다.

01-

△ABC에서 BC”="√(4'5 √)¤ +8¤ =12(cm) 이때 점 D는 △ABC의 외심이므로

AD”=BD”=CD”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)

∴ AG”=;3@;AD”=;3@;_6=4(cm)

01-

BE”=BD”="√1¤ +1¤ ='2(cm) BG”=BF”="√('2 )√¤ +1¤ ='3(cm) 따라서 △BGH에서

BH”="√('3 )√¤ +1¤ =2(cm)

01-

AC”="√1¤ +1¤ ='2 AD”="√('2 )¤ +1¤ ='3 AE”="√('3 )¤ +1¤ =2

∴ AF”="√2¤ +1¤ ='5 대표 유형02 꼭짓점A에서BC”에내린

수선의 발을 H라고 하면 HC”=AD”=3 cm이므로 BH”=5-3=2(cm)

△ABH에서

AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm)

따라서 DC”=AH”=2'3 cm이므로 △DBC에서 BD”=øπ5¤ +(2'3)¤ ='3å7(cm)

A D

B H C

4 ##cm

3 ##cm

5 ##cm

02-

BD”를 그으면 △ABD에서 BD”=øπ6¤ +(2'∂11)¤ =4'5 따라서 △BCD에서 DC”=øπ(4'5)¤ -8¤ =4

A

B C

D

8 6

2 11

02-

꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면 BH”=AD”=8 cm, DH”=AB”=8 cm

△DHC에서 HC”="√10¤ -8¤ =6(cm)

∴ BC”=BH”+HC”=8+6=14(cm) A

B H C

D 8###cm 10###cm

8###cm

02-

두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 E, F라고 하면

EF”=AD”=6 cm,

BE”=CF”=;2!;_(10-6)=2(cm)

△ABE에서 AE”="√5¤ -2¤ ='∂21(cm)

∴ ABCD=;2!;_(6+10)_'∂21=8'∂21(cm¤ ) 5###cm

6###cm

B C

A D

E F

10###cm

대표 유형03 ① △BCH™△GCA(SAS 합동)이므로 BH”=AG”

④ BI”∥CH”이므로 △ACH=△BCH

△BCH™△GCA(SAS 합동)이므로

△BCH=△GCA

AK”∥CG”이므로 △GCA=△GCJ=△JKC

∴ △ACH=△JKC

⑤ ④와 마찬가지로 △AEB=△BFJ이므로 ADEB= BFKJ

03 -

BFGC= ACHI+ ADEB이므로 45=25+ ADEB ∴ ADEB=20(cm¤ ) 따라서 AB”='∂20=2'5(cm),

AC”='∂25=5(cm)(∵ AB”>0, AC”>0)이므로

△ABC=;2!;_2'5_5=5'5(cm¤ )

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04-

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동) 이므로 EFGH는 정사각형이다.

이때 EFGH=25이므로 EH”='∂25=5 (∵ EH”>0)

△AEH에서 AH”="√5¤ -3¤ =4

따라서 AD”=AH”+DH”=4+3=7이므로 ABCD=7¤ =49

04-

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동) 이므로 EFGH는 정사각형이다.

AE”=x cm라고 하면 △AEH에서 x¤ +x¤ =('∂14 )¤``, 2x¤ =14 x¤ =7 ∴ x='7 (∵ x>0)

∴ AB”=2AE”=2'7(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 4_2'7=8'7(cm)

대표 유형05 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH 는 정사각형이다.

AB”=BC”=2'5 cm이므로 △ABE에서 BE”="√(2'5 )¤ -2¤ =4(cm)

이때 BF”=AE”=2 cm이므로 EF”=BE”-BF”=4-2=2(cm)

∴ EFGH=2¤ =4(cm¤ )

05-

영석 : △AED+2 EFGH

05-

4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사 각형이다.

이때 EFGH=8이므로 EF”='8=2'2 (∵ EF”>0)

∴ AE””=AF””-EF””=5'2-2'2=3'2 BF”=AE”=3'2이므로 △ABF에서 AB”="√(3'2 )¤ +(5'2 )¤ =2'∂17

∴ ABCD=(2'∂17 )¤ =68

대표 유형06 △AED는 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;AE”¤ =26, AE”¤ =52

∴ AE”=2'∂13(cm) (∵ AE”>0)

△ABE에서 BE”=øπ(2'∂13)¤ -4¤ =6(cm) 따라서 BC”=BE”+EC”=6+4=10(cm), CD”=BE”=6 cm이므로

ABCD=;2!;_(4+6)_10=50(cm¤ )

06-

AB”=EC”=3 cm이므로 △ABE에서 AE””="ç3¤ +4¤ =5(cm)

이때 △AED는 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_5_5=:™2∞:(cm¤ )

06-

BE”=CD”=2'2이므로 △ABE에서 AE”=øπ4¤ +(2'2)¤ =2'6

△AED는 직각이등변삼각형이므로 AD”=øπ(2'6)¤ +(2'6)¤ =4'3

대표 유형07 BE”=BC”=5 cm이므로 △ABE에서 AE”="√5¤ -3¤Ω =4(cm)

∴ DE”=5-4=1(cm) EF”=x cm라고 하면

CF”=EF”=x cm, DF”=(3-x) cm

△DEF에서 1¤ +(3-x)¤ =x¤ , 6x=10 x=;3%; ∴ EF”=;3%;(cm)

07 -

BM”=;2!;BC”=;2!;_8=4(cm)

BE”=x cm라고 하면 ME”=AE’”=(6-x) cm

△EBM에서 x¤ +4¤ =(6-x)¤ , 12x=20 x=;3%; ∴ BE”=;3%;(cm)

07-

∠FBD=∠DBC(접은 각)이고 ∠FDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠FBD=∠FDB

즉, △FBD는 FB”=FD”인 이등변삼각형이다.

AF”=x cm라고 하면 FB”=FD”=(3-x) cm

△ABF에서 x¤ +('3 )¤ =(3-x)¤

6x=6 ∴ x=1

∴ △ABF=;2!;_1_'3='3(cm¤ ) 2

대표 유형08 ① 2¤ +(2'3 )¤ =4¤ 이므로 직각삼각형이다.

② 2¤ +('6 )¤ +(2'2 )¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

③ ('7 )¤ +3¤ =4¤ 이므로 직각삼각형이다.

④ 2¤ +('∂10 )¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

⑤ ('3 )¤ +2¤ +3¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

08-

(x-2)¤ +8¤ =x¤이므로 4x=68 ∴ x=17

08 -

^⁄가장 긴 변의 길이가 x일 때

3¤ +4¤ =x¤이므로 x¤ =25 ∴ x=5(∵ x>0)

¤가장 긴 변의 길이가 4일 때

3¤ +x¤ =4¤, x¤ =7 ∴ x='7 (∵ x>0)

⁄, ¤에 의하여 구하는 x의 값은 5, '7이다.

03-

△EBC™ABF(SAS 합동) 이므로 △EBC=△ABF BF”∥AK”이므로

△ABF =△JBF

∴ △JBF=△EBC

=32 cm¤

따라서 BFKJ=2△JBF=2_32=64(cm¤ )이므로 JKGC= BFGC- BFKJ

=10¤ -64=36(cm¤ )

A

B

H

K J C D E

F G

I

10###cm

대표 유형04 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG (SAS 합동)이므로 EFGH는 정사각형이다.

AH”=10-4=6(cm)이므로 △AEH에서 EH”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm)

∴ EFGH=(2'∂13 )¤ =52(cm¤ )

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수 학

대표 유형09 x cm가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건에 의하여

9<x<7+9 ∴ 9<x<16 yy`㉠ 둔각삼각형이 되려면 x¤ >7¤ +9¤ , x¤ >130

∴ x>'∂130 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여 '∂130<x<16

09-

삼각형이 되기 위한 조건에 의하여

17-15<x<15 ∴ 2<x<15 yy`㉠ 예각삼각형이 되려면 17¤ <15¤ +x¤ , x¤ >64

∴ x>8 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여 8<x<15

따라서 구하는 자연수 x는 9, 10, 11, 12, 13, 14의 6개 이다.

대표 유형

10

① 5¤ >2¤ +4¤ 이므로 둔각삼각형이다.

② 8¤ <4¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.

③ 10¤ >4¤ +8¤ 이므로 둔각삼각형이다.

④ 11¤ <7¤ +9¤ 이므로 예각삼각형이다.

⑤ 15¤ =9¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이다.

10-

7¤ >3¤ +6¤이므로 △ABC는 ∠B>90˘인 둔각삼각형 이다.

10-

㉠ 2¤ <('2 )¤ +('3)¤ 이므로 예각삼각형이다.

㉡ 2¤ =1¤ +('3)¤ 이므로 직각삼각형이다.

㉢ 4¤ <3¤ +3¤ 이므로 예각삼각형이다.

㉣ 6¤ >3¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.

㉤ 8¤ <5¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.

㉥ (2'2 )¤ =2¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다.

따라서 예각삼각형인 것은 ㉠, ㉢, ㉤의 3개이다.

대표 유형

11

BC”="√4¤ +3¤ =5(cm) AB”_AC”=BC”_AD”이므로

4_3=5_AD” ∴ AD”=:¡5™:(cm)

11-

DE” ¤ +BC” ¤ =BE” ¤ +CD” ¤이므로 DE”¤+7¤ =6¤ +5¤

DE” ¤ =12 ∴ DE”=2'3(cm) (∵ DE”>0)

11 -

BH”=x cm라고 하면 CH”=(8-x) cm AH”¤ =BH”_CH”이므로 (2'3)¤ =x_(8-x) x¤ -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0

∴ x=2 또는 x=6

그런데 BH”>CH”이므로 x=6 ∴ BH”=6(cm)

11 -

3x+y=6에 y=0을 대입하면 3x=6, x=2 ∴ A(2, 0) 3x+y=6에 x=0을 대입하면 y=6 ∴ B(0, 6)

OA”=2, OB”=6이므로 △OAB에서 AB”="√6¤ +2¤ =2'∂10

이때 OA”_OB”=AB”_OH”이므로 2_6=2'∂10_OH” ∴ OH”=3'∂10

5

대표 유형

12

△OBC에서 BC”=ø(π3'3 )¤ +4¤ ='∂43 AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤이므로

10¤ +8¤ =AD” ¤ +('∂43 )¤ , AD”¤ =121

∴ AD”=11 (∵ AD”>0)

12-

영화관, 학교, 백화점, 도서관, 은수네 집을 각각 A, B, C, D, P라고 하면

PA”¤ + PC”¤ =PB”¤ + PD”¤

이므로 PA”¤ +4¤ =5¤ +3¤

PA”¤ =18

∴ PA”=3'2 (km)(∵ PA”>0)

따라서은수네집에서영화관까지의거리는3'2 km이다.

P

B C

A D

4###km P

B C

A D

3###km 3###km 4###km

P

5###km 5###km

13-

S£=;2!;_(p_2¤ )=2p(cm¤ ) 이때 S£=S¡+S™이므로

S¡+S™+S£=2S£=2_2p=4p(cm¤ )

13-

색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 60=;2!;_AB”_8 ∴ AB”=15(cm) 따라서 △ABC에서 BC”="√15¤ +8¤ =17(cm)

12-

AB”=DC”이고 AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 2AB”¤ =3¤ +5¤, AB”¤ =17

∴ AB”='∂17(cm) (∵ AB”>0)

대표 유형

13

△ABC에서 AC”="√10¤ -6¤ =8(cm) 이때 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로

;2!;_6_8=24(cm¤ )

│실수하기쉬운 문제│

01

ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 OB”=;2!;BC”=;2{;(cm)

OA”를 그으면 △ABO에서 x¤ +{;2{;}2 =20¤ , ;4%;x¤ =400 x¤ =320 ∴ x=8'5 (∵ x>0)

따라서 ABCD의 한 변의 길이는 8'5 cm이다.

B C

A D

20###cm O

02

BD” : DC”=2: 1이므로 BD”=;3@; BC”=;3@;_12=8(cm) EB”=x cm라고 하면 ED”=AE”=(12-x) cm이므로

△EBD에서 x¤ +8¤ =(12-x)¤

24x=80 ∴ x=:¡3º:

∴ △EBD=;2!;_8_:¡3º:=:¢3º:(cm¤ )

03

AD”=;2!;AB”=;2!;_16=8(cm), CE”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)

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03

BE”=BD”="√1¤ +1¤ ='2 BG”=BF”=øπ('2 )¤ +1¤ ='3 BI”=BH”=øπ('3)¤ +1¤ =2

따라서 △BIJ에서 BJ”="√2¤ +1¤ ='5 DE”를 긋고 DE”=x cm라고 하면

△ABC에서 BD”=DA”, BE”=EC”이므로 AC”=2DE”=2x(cm)

ADEC에서

AC”¤ +DE”¤ =AD”¤ +CE”¤이므로 (2x)¤ +x¤ =8¤ +6¤

5x¤ =100, x¤ =20 ∴ x=2'5 (∵ x>0)

∴ AC”=2x=2_2'5=4'5(cm)

A

B C

D

E 12###cm 16###cm

04

BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√9¤ +12¤ =15 따라서 △BCD에서 x="√15¤ -5¤ =10'2

A

B

C

D x

12 9

5

05

점 C에서 AD”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면

AH”=BC”=10 m이므로 DH”=50-10=40(m)

△DHC에서

CD”="√40¤ +30¤ =50(m)

따라서 독수리가 이동한 거리가 50 m이므로 ;1%0);=5(초) 후에 B 나무 꼭대기에 도착한다.

A H

B 50###m

10###m 30###m A H D D

C C B 50###m

10###m 30###m

06

ADEB=144 cm¤이므로 AB”='∂144=12(cm)(∵ AB”>0)

즉, △ABC=;2!;_12_AC”=30이므로 AC”=5(cm)

△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13(cm)

∴ BFGC=13¤ =169(cm¤ )

07

^△ABC에서

AB”="√5¤ -3¤ =4(cm) BF”∥AM”이므로

△BFL=△ABF

△EBC™△ABF(SAS 합동)이 므로 △EBC=△ABF 또, EB”∥DC”이므로

△EBC=△EBA

∴ △BFL=△EBA=;2!; ADEB=;2!;_4¤ =8(cm¤ ) A

B L C

M E

H I

F G D

3 ##cm

5 ##cm

08

4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사각 형이다.

△ABE에서 BE”="√√15¤ -12¤ =9 이때 AH”=BE”=19이므로 HE”=AE”-AH”=12-9=3

따라서 EFGH의 둘레의 길이는 4_3=12

09

△AED는 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;AE”¤ =2, AE”¤ =4

∴ AE”=2(cm)(∵ AE”>0)

△ABE에서 AB”="√2¤ -('3)¤ =1(cm)

따라서 EC”=AB”=1 cm, CD”=BE”='3 cm이므로 ABCD=;2!;_(1+'3)¤ =2+'3(cm¤ )

10

DF”=AD”=15 cm이므로 △DFC에서

FC”="√15¤ -9¤ =12(cm) ∴ BF”=15-12=3(cm) BE”=x cm라고 하면 EF”=AE”=(9-x) cm

△BFE에서 x¤ +3¤ =(9-x)¤ `, 18x=72 ∴ x=4

∴ BE”=4(cm)

11

㉠ 2¤ +(2'5 )¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

㉡ 2¤ +('∂14 )¤ =(3'2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

㉢ 1¤ +3¤ =('∂10 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

㉣ 3¤ +3¤ +(2'3 )¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

따라서 직각삼각형인 것은 ㉡, ㉢이다.

12

① x=6이면10¤ =6¤ +8¤ 이므로△ABC는직각삼각형이다.

② x=7이면10¤ <7¤ +8¤ 이므로△ABC는예각삼각형이다.

③ x=4'5이면 10¤ <8¤ +(4'5 )¤ 이므로 △ABC는 예각 삼각형이다.

④ x=15이면 15¤ >8¤ +10¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각 형이다.

⑤ x=2'∂41이면 (2'∂41)¤ =8¤ +10¤ 이므로 △ABC는 직 각삼각형이다.

14

△AHC에서 AH”="√2¤ -1¤ ='3(cm) AH”¤ =BH”_CH”이므로 ('3 )¤ =BH”_1

∴ BH”=3(cm)

∴ △ABC=;2!;_(3+1)_'3=2'3(cm¤ )

│26~27^쪽│

01 ^④ 02^⑤ 03'5 04^③ 05^5초 06^{169 cm¤} 07^③ 08^④ 09(2+'3) cm¤

10

^③

11

^{㉡, ㉢}

12

^②

13

x, cx, y, cy, cx, cy, x+y

14

^①

15

^{2 cm}

16

^③

➊회

01

CM”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)이므로 △AMC에서 AC”="√(5'2 √)¤ -5¤ =5(cm)

따라서 △ABC에서 AB”="√10¤ +5¤ =5'5(cm)

02

넓이가 36 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는

'∂36=6(cm), 넓이가 64 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이 는 '∂64=8(cm)이므로 x="√(6+8)¤ +8¤ =2'∂65

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수 학

│28~29^쪽│

01 ^② 02^② 03^{3 cm} 04^④ 05^③ 06^{32 cm¤} 07'∂26 cm 08^③ 09:£5§: cm¤

10

³, '∂41

11

세경

12

③

13

①

14

③

15

5'2 cm

16

④

➋회

15

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤이므로 5¤ +(2'2 )¤ =AD”¤ +(2'5 )¤ , AD”¤ =13

∴ AD”='∂13(cm) (∵ AD”>0)

따라서 △AOD에서 DO”="√('∂13 √)¤ -3¤ =2(cm)

16

S¡=;2!;_[p_{ }2 ]=;8#;p

`S™=;2!;_[p_{;2!;}2 ]=;8!;p S£=S¡+S™=;8#;p+;8!;p=;2!;p

∴ S¡ : S™ : S£=;8#;p : ;8!;p : ;2!;p=3 : 1 : 4 '3

2

01

△ABH에서 AH”="√20¤ -16¤ =12(cm) 따라서 △AHC에서 HC”="√13¤ -12¤ =5(cm)

02

(x+1)¤ +(3x)¤ =3¤이므로 5x¤ +x-4=0 (x+1)(5x-4)=0 ∴ x=;5$; (∵ x>0)

03

△ABC에서 BC”="√(3'6√ )¤ -√('6 )¤ =4'3(cm) 이때 AD”는 ∠A의 이등분선이므로

BD”: CD”=AB” : AC”='6 : 3'6=1 : 3

∴ BD”=;4!;BC”=;4!;_4'3='3(cm)

따라서 △ABD에서 AD”="√('6 )√¤ +(√'3 )¤ =3(cm)

04

AC”="√2¤ +2¤ =2'2(cm) AD”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm)

∴ △ADE=;2!;_2'3_2=2'3(cm¤ )

05

꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

BH”=AD”=6 cm이므로 CH”=8-6=2(cm)

△DHC에서

DH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)

따라서 AB”=DH”=4'2 cm이므로 △ABC에서 AC”="√(4'2 )¤ √+8¤ =4'6(cm)

6###cm 6###cm

A

B H C

D

8###cm

06

^△ABC에서

AC” ="√10¤ -6¤ =8(cm)

△AGC™△HBC(SAS 합동) 이므로 △AGC=△HBC IB”∥HC”이므로

△HBC=△HAC

D I

H

C

G F

B E

A 6 ##cm

10 ##cm

∴ △AGC=△HAC=;2!; ACHI=;2!;_8¤ =32(cm¤ )

07

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG(SAS 합동)이므 로 EFGH는 정사각형이다.

△AEH에서 EH”="√3¤ +2¤ ='∂13(cm)

따라서 △HEG는 HE”=HG”인 직각이등변삼각형이므로 EG”="√('∂13)¤ +('∂13)¤ ='∂26(cm)

08

AE”=x cm라고 하면 △AED는 직각이등변삼각형이므로 x¤ +x¤ =(4'5 )¤ , 2x¤ =80, x¤ =40

∴ x=2'∂10 (∵ x>0)

△ABE에서 BE”="√(2'∂1√0 )¤ -2¤ =6(cm) 따라서 BC”=BE”+EC”=6+2=8(cm), CD”=BE”=6 cm이므로

ABCD=;2!;_(2+6)_8=32(cm¤ )

09

BD”=x cm라고 하면 CD”=AD”=(10-x) cm

△BCD에서 x¤ +8¤ =(10-x)¤ , 20x=36 ∴ x=;5(;

∴ △BCD=;2!;_8_;5(;=:£5§:(cm¤ )

10

^⁄빗변의 길이가 x일 때

4¤ +5¤ =x¤이므로 x¤ =41 ∴ x='4å1 (∵ x>0)

¤빗변의 길이가 5일 때

4¤ +x¤ =5¤이므로 x¤ =9 ∴ x=3 (∵ x>0)

⁄, ¤에 의하여 구하는 x의 값은 3, '∂41이다.

11

은영 : 7¤ <4¤ +6¤ 이므로 예각삼각형이다.

선균 : 9¤ <6¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.

미선 : 13¤ =5¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이다.

승원 : 10¤ <6¤ +9¤ 이므로 예각삼각형이다.

세경 : 9¤ >4¤ +8¤ 이므로 둔각삼각형이다.

따라서 둔각삼각형이 되는 카드를 들고 있는 학생은 세경 이다.

12

AB”="√10¤ -6¤ =8

AB”_AC”=BC”_AH”이므로 8_6=10_x ∴ x=:™5¢:

AB” ¤ =BH”_BC”이므로 8¤ =y_10 ∴ y=:£5™:

∴ x+y=:™5¢:+:£5™:=:∞5§:

13

△ABC에서 BD”=DA”, BE”=EC”이므로 DE”=;2!;AC”=;2!;_12=6(cm)

∴ AE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +AC”¤ =6¤ +12¤ =180

14

공원의 위치를 점 P라고 하면

PA” ¤ +PC” ¤ =PB” ¤ +PD” ¤이므로 4¤ +(2'6)¤ =2¤ +PD”¤

PD” ¤ =36 ∴ PD”=6(km) (∵ PD”>0) 따라서 학생 D가 공원까지 가는 데 걸리는 시간은

;2^;=3(시간)

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02

⑴ x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 에 의하여

6<x<6+4 ∴ 6<x<10 yy`㉠ 예각삼각형이 되려면 x¤ <4¤ +6¤ , x¤ <52

∴ x<2'∂13 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여 6<x<2'∂13

⑵ x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 에 의하여

6<x<6+4 ∴ 6<x<10 yy`㉠ 둔각삼각형이 되려면 x¤ >4¤ +6¤ , x¤ >52

∴ x>2'∂13 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡에 의하여 2'∂13<x<10

03

⑴ ∠EBD=∠DBC(접은 각)이고 ∠EDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠EBD=∠EDB

따라서 △EBD는 EB”=ED”인 이등변삼각형이다.

⑵ BE”=x cm라고 하면 DE”=BE”=x cm이므로 AE””=(8-x) cm

⑶ △ABE에서 (8-x)¤ +6¤ =x¤

16x=100 ∴ x=:™4∞:

∴ BE”=:™4∞:(cm)

04

⑴ △ABC에서 BC”=øπ(4'6)¤ +(4'3)¤¤ =12(cm) AB”_AC”=BC”_AE”이므로 4'6_4'3=12_AE”

∴ AE”=4'2(cm)

⑵ 직각삼각형에서 빗변의 중점은 직각삼각형의 외심이므 로 점 D는 △ABC의 외심이다.

∴ AD”=BD”=CD”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)

⑶ △ADE에서

DE”="√6¤ -(4'2)¤ =2(cm)

⑷ △ADE에서 AE”_DE”=AD”_EF”이므로 4'2_2=6_EF” ∴ EF”=4'2(cm)

3

05

△ABC에서 BC”="√20¤ -12¤ =16(cm) `…… [1점]

이때 AD”가 ∠A의 이등분선이므로 BD” : CD”=AB” : AC”=20 : 12=5 : 3

∴ DC”=;8#;BC”=;8#;_16=6(cm) ^{…… [2점]}

따라서 △ADC에서

AD”="√6¤ +12¤ =6'5(cm) ^{…… [1점]}

06

^{AB”=x라고 하면}

AC”="√x¤ +x¤ ='2x, AD”="√('2x)¤ √+x¤ ='3x AE”="√('3x)¤ √+x¤ =2x, AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x AG”="√('5√x)¤ +x¤ ='6x ^{…… [4점]}

이때 AG”=6'2이므로 '6x=6'2

∴ x=6'2=2'3 ^{…… [1점]}

'6

07-

R=;2!;_(p_4¤ )=8p(cm¤ ) ^{…… [1점]}

∴ P+Q=R=8p(cm¤ ) …… [2점]

07-

△ABC에서 AC”="√13¤ -5¤ =12(cm) ^{…… [1점]}

색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로

…… [1점]

;2!;_5_12=30(cm¤ ) ^{…… [2점]}

07-

AC”를 그으면 …… [1점]

(색칠한 부분의 넓이)

=△ABC+△ADC

= ABCD

=3_5=15(cm¤ ) …… [4점]

B C

A D

3###cm

5###cm

│30~31쪽│

01 ⑴ 2'5 cm ⑵ 144 cm¤ ⑶ 4'5 cm

02⑴ 6<x<2'∂13 ⑵ 2'∂13<x<10

03:™4∞: cm 04 ^cm 056'5 cm 062'3

07- 8p cm¤ 07- 30 cm¤ 07- 15 cm¤

4'2 3

15

AB”=DC”이고 AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 2AB”¤ =6¤ +8¤, AB”¤ =50

∴ AB”=5'2(cm) (∵ AB”>0)

16

S¡+S™=△ABC이므로 (색칠한 부분의 넓이)

=2△ABC

=S¡+S™+△ABC

=2_{;2!;_12_9}=108(cm¤ )

01

⑴ BFGC= ADEB+ ACHI

=12+8=20(cm¤ )

∴ BC”='∂20=2'5(cm) (∵ BC”>0)

⑵ △ABC에서 AB”="√15¤ -9¤ =12(cm) BF”∥AK”이므로 △JBF=△ABF

△ABF™△EBC(SAS 합동)이므로

△ABF=△EBC

EB”∥DC”이므로 △EBC=△EBA

∴ △JBF=△EBA

∴ BFKJ=2△BFJ=2△EBA

= ADEB=12¤ =144(cm¤ )

⑶ △ABF=△JBF=;2!; BFKJ=;2!; ADEB

⑶ △ABF=32 cm¤

이므로 ADEB=64(cm¤ )

∴ AB”='∂64=8(cm) (∵ AB”>0)

따라서 △ABC에서 AC”="√12¤ -8¤ =4'5(cm) 9###cm A

B C

12###cm

S¡ S™

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수 학 2. 평면도형에서의 활용

│32쪽│

01⑴ 2, '∂13 ⑵ '2, 3'2

02⑴ , '3 ⑵ , '3

03², 2, 2, 4, '3, '3, 2'3 '3

4 '3

2

│33쪽│

01⑴ 5'3 cm ⑵ 7'2 cm

02⑴ 높이 : 2'3 cm, 넓이 : 4'3 cm¤

⑵ 높이 : cm, 넓이 : cm¤

03⑴ 7 cm ⑵ '∂51 cm ⑶ 7'∂51 cm¤

04^6-x, x, 6-x, x, 6-x, 12, 1, 1, 2'6

05⑴ x=4, y=4'2 ⑵ x=2, y=2

⑶ x=6'3, y=12 ⑷ x=4, y=4'3

06^-3, 5, -4, 5, 5, 5, 5'2

07⑴ 2'∂13 ⑵ '∂17 ⑶ '∂41 ⑷ 5'2 25'3

4 5'3

2

01

⑴ BD”="√(5'2)¤ +5¤ =5'3(cm)

02

^{⑴ (높이)=} _4=2'3(cm)

(넓이)= _4¤ =4'3(cm¤ )

⑵ (높이)= _5= (cm)

(넓이)= _5¤ =25'3(cm¤ ) 4 '3

4

5'3 2 '3

2 '3 4 '3

2

03

⑴ BH”=;2!;_14=7(cm)

⑵ △ABH에서

AH”="√10¤ -7¤ ='∂51(cm)

⑶ △ABC=;2!;_14_'∂51=7'∂51(cm¤ )

05

⑴ AB” : AC”=1 : '2이므로 4 : y=1 : '2 ∴ y=4'2

⑵ AB” : AC”='2 : 1이므로 2'2 : x='2 : 1 '2x=2'2 ∴ x=2

⑶ AB” : BC”=1 : '3이므로 6 : x=1 : '3 ∴ x=6'3 AB” : AC”=1 : 2이므로 6 : y=1 : 2 ∴ y=12

⑷ AB” : AC”=2 : 1이므로 8 : x=2 : 1 2x=8 ∴ x=4

AB” : BC”=2 : '3이므로 8 : y=2 : '3 2y=8'3 ∴ y=4'3

07

⑴ AB”="√4¤ +6¤ =2'∂13

⑵ CD”="√(1-√2)¤ √+(5√-1)¤ ='∂17

⑶ EF”="√{4-√(-1√)}¤ +√(5-1)¤ ='∂41

⑷ GH”="√{-1-(-2)}¤ √+{4-(-3)¤ =5'2

대표 유형01 BD”="√4¤ +3¤ =5(cm)

△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로 3_4=5_AH” ∴ AH”=:¡5™:(cm)

│34~37^쪽│

대표 유형01:¡5™: cm01- ③ 01- _{5'2 cm}

대표 유형02② 02- _{20'2 cm} 02- _6'2

대표 유형03① 03- ④ 03- ⑤

03- 4 cm03- ⑤ 대표 유형048'5 04- ④ 04- 10 cm 대표 유형05⁸⁴ 05- ③ 05-

대표 유형063'2 06- ② 06- 06- ④

06- 40('2+1) cm

대표 유형07³ 07- ④ 07- ③ 07- ① 대표 유형088'2 08- _{400'∂13 m}

016'3 cm 0232'2 cm¤ 03^{(-4, 0)}

5'3 2 '∂65

2

│실수하기쉬운 문제│

01-

AB”="√(2'∂13 )¤ -6¤ =4(cm)

∴ ABCD=6_4=24(cm¤ )

01 -

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 AB”="√(3x)¤ +x¤ ='∂10x=10 ∴ x='∂10

∴ AC”="√(2x)¤ +x¤ ='5x='5_'∂10=5'2(cm) 대표 유형02 정사각형의 한 변의 길이를 x라고 하면

'2 x=6'2 ∴ x=6

따라서 원의 반지름의 길이가 3이므로 구하는 원의 둘 레의 길이는 2p_3=6p

02 -

정사각형을 최대한 크게 만들려면 원에 내접하는 정사 각형이 되어야 한다.

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 '2x=40 ∴ x=20'2

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 20'2 cm이다.

02-

ABCD에서 AC”=2'2

ECFG에서 CG”="√(2'2 )¤ +(2'6 )¤ =4'2

∴ AC”+CG”=2'2+4'2=6'2 대표 유형03 ^AD”= _6=3'3(cm)

∴ △ADE= _(3'3 )¤ =27'3(cm¤ ) 4 '3

4 '3 2

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03 -

BD”=4'2 cm이므로

△BED='3_(4'2)¤ =8'3(cm¤ ) 4

03-

AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로 AD”= _4'3=6(cm)

∴ AG”=;3@;AD”=;3@;_6=4(cm) '3

2

03 -

정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 x¤ =27'3, x¤ =108 ∴ x=6'3 (∵ x>0) 따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 6'3 cm이다.

'3 4

03-

주어진 정육각형은 한 변의 길이가 6인 정삼각형 6개로 이루어져 있으므로 구하는 정육각형의 넓이는

6_{'3_6¤ }=54'3 4

대표 유형04 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=;2!;BC”=;2!;_8=4

△ABH에서 AH”="√6¤ -4¤ =2'5

∴ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5

6 6

8 C

A

B H

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면

BH”=;2!;BC”=;2!;_4=2 따라서 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

△ABC=;2!;_12_AH”=48

∴ AH”=8(cm)

이때 BH”=;2!;BC”=;2!;_12=6(cm)이므로

△ABH에서 AB”="√6¤ +8¤ =10(cm) 대표 유형05 꼭짓점 A에서 BC”에 내린

수선의 발을 H라 하고 BH”=x 라고 하면 CH”=14-x

△ABH에서 AH”¤ =15¤ -x¤

yy㉠

△AHC에서 AH”¤ =13¤ -(14-x)¤ yy㉡

㉠, ㉡에서 15¤ -x¤ =13¤ -(14-x)¤

28x=252 ∴ x=9

따라서 AH”="√15¤ -9¤ =12이므로

△ABC=;2!;_14_12=84

05-

BH”=x라고 하면 CH”=12-x

△ABH에서 AH”¤ =11¤ -x¤ yy㉠

` △AHC에서 AH””¤ =13¤ -(12-x)¤ yy㉡

㉠, ㉡에서 11¤ -x¤ =13¤ -(12-x)¤

24x=96 ∴ x=4

∴ AH”="√11¤ -4¤ ='∂105

05-

BH”=x라고 하면 CH”=7-x

△ABH에서 AH”¤ =5¤ -x¤ yy`㉠

△AHC에서 AH”¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤ yy`㉡

㉠, ㉡에서 5¤ -x¤ =(4'2)¤ -(7-x)¤

14x=42 ∴ x=3 따라서 AH”="√5¤ -3¤ =4,

HM”=BM”-BH”=;2&;-3=;2!;이므로 △AHM에서 AM””=æ≠4¤ +{;2!;}2 ='∂65

2

대표 유형06 △ACD에서 AC” : CD”='3 : 1이므로 AC” : 2'3='3 : 1 ∴ AC”=6

△ABC에서 AC” : AB”='2 : 1이므로 6 : AB”='2 : 1, '2AB”=6

∴ AB”=3'2

06-

△DBC에서 DB” : BC”='2 : 1이므로 6'2 : BC”='2 : 1, '2 BC”=6'2

∴ BC”=6(cm)

△ABC에서 AC” : BC”=2 : '3이므로 AC” : 6=2 : '3, '3 AC”=12

∴ AC”=4'3(cm)

06-

△ABD에서 ∠ADC=∠ABD+∠BAD이므로 60˘=30˘+∠BAD ∴ ∠BAD=30˘

즉, △ABD는 이등변삼각형이므로 AD”=BD”=5

△ADC에서 AD” : AC”=2 : '3이므로 5 : AC”=2 : '3, 2AC”=5'3

∴ AC”=5'3 2

06-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

△AHC에서

AC” : AH”=2 : '3이므로 4: AH”=2 : '3, 2AH”=4'3

∴ AH”=2'3(cm)

△ABH에서 AB” : AH”='2 : 1이므로 AB” : 2'3='2 : 1 ∴ AB”=2'6(cm)

06-

정팔각형의 한 외각의 크기는 =45˘이므로 잘라낸 네 귀퉁이의 삼각형은 직각이등변삼각형이다.

360˘

8 4

H 6

A

B C

6

H C

A

B

12 #cm

C B

A

H 14

15 13

H 45˘ 60˘

A

B C

4###cm

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수 학

대표 유형07 AB”="{√x-(-1)}¤ +√(-2-2)¤ =4'2이므로 x¤ +2x-15=0, (x+5)(x-3)=0

∴ x=-5 또는 x=3

이때 점 B는 제 4`사분면 위의 점이므로 x>0

∴ x=3

07-

각각의 두 점 사이의 거리를 구해 보면

① "√{2-(-1)}¤ √+(3√-5)¤ ='∂13

② "√(3-√1)¤ √+(-4√-2)¤ =2'∂10

③ "√{0-(-1)}¤ √+(5-2)¤ ='∂10

④ "√(5-√3)¤ √+(2√-0)¤ =2'2

⑤ "√{2-(-2)}¤ √+{-5-(-7)}¤ =2'5

따라서 두 점 사이의 거리가 가장 짧은 것은 ④이다.

07-

AB”="√{-4-(-2)}¤ √+(-4-3)¤ ='∂53 BC”="√{3-(-4)}¤ √+{-2-(-4)}¤ ='∂53 CA”="√(-2-3)¤ +√{3-(-2)}¤ =5'2

따라서 △ABC는 AB”=BC”인 이등변삼각형이다.

07-

x¤ =-x+2에서 x¤ +x-2=0

(x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 x=-2일 때 y=4, x=1일 때 y=1이므로 A(-2, 4), B(1, 1) 또는 A(1, 1), B(-2, 4) 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는

"√{1-(-2)}¤ +(1-ç4)¤ =3'2 대표 유형08 점 B와 x축에 대하여

대칭인 점을 B'이라고 하면 B'(6, -2)이다.

BP”=B'P”이므로 AP”+BP”=AP”+B'P”

æAB'”="√{6-(-2)}¤ √+(-2-6)¤

=8'2

따라서 AP”+BP”의 최솟값은 8'2이다.

08-

혜진이네 집을 A, 윤성 이네 집을 B, 마을회관 을 P라 하고 도로에 대 하여 점 B와 대칭인 점

을 B'이라고 하면 BP”=B'P”이므로 AP”+BP”=AP”+B'P”æAB'”

="√(500+300)¤ +√1200¤

=400'∂13(m)

따라서 구하는 최단 거리는 400'∂13 m이다.

│실수하기쉬운 문제│

01

^{AP”를 그으면}

△ABC=△ABP+△ACP 이므로

_12¤

=;2!;_12_PQ”+;2!;_12_PR”

36'3=6(PQ”+PR”) ∴ PQ”+PR”=6'3(cm) '3

4

02

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

△ABH에서

AB” : AH”='2 : 1이므로

AB” : 8='2 : 1 ∴ AB”=8'2(cm)

∠DAC=∠BAC`(접은 각)

AD”∥BC”이므로 ∠DAC=∠BCA`(엇각)

∴ ∠BAC=∠BCA

즉, △ABC는 AB”=BC”인 이등변삼각형이므로 BC”=AB”=8'2 cm

∴ △ABC=;2!;_8'2_8=32'2(cm¤ ) 오른쪽 그림의 △ABC에서

AB” : BC”=1 : '2이므로 AB” : 40=1 : '2, '2 AB”=40

∴ AB”=20'2(cm)

따라서 처음 정사각형 모양의 철판

의 한 변의 길이는 2_20'2+40=40('2+1)(cm) 40 cm A

B C

03

x축 위의 점의 좌표를 P(a, 0)이라고 하면 AP”=BP”이므로

"√(1-√a)¤ +(5-0)¤ ="√(3-√a)¤ +(1-0)¤

4a=-16 ∴ a=-4

따라서 구하는 점의 좌표는 (-4, 0)이다.

│38~39쪽│

01① 02④ 03④ 04③ 05^{40 cm}

06③ 079'3 cm 08③ 09③

10

6'2 cm

11

②

12

③

13

'∂58 km

14

④

15

②

16

①

➊회

01

(대각선의 길이)="√(4'2 )¤ +2¤ =6(cm)

02

직사각형의 가로의 길이를 12k, 세로의 길이를 5k`(k>0) 라고 하면

"√(12k)¤ +(5k)¤ =26, 13k=26 ∴ k=2

따라서 가로의 길이는 12k=12_2=24, 세로의 길이는 5k=5_2=10이므로 구하는 직사각형의 둘레의 길이는 2_(24+10)=68

03

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 '2x=8'2 ∴ x=8

따라서 원의 반지름의 길이가 4 cm이므로 구하는 원의 넓 이는 p_4¤ =16p(cm¤ )

04

BD”=4'2 cm이고 △ABD에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로

4_4=4'2_AH” ∴ AH”=2'2(cm) O

B

B' A

P x

y 6

-2 -2

2 6

12###cm A

P Q

R

B C

45˘

A

B H C D 8###cm

300 m 1200 m

B' P

500 m A

B

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│40~41쪽│

01^{35 cm¤} 02③ 034'7 cm 04④

05④ 06⑤ 076'3 cm¤ 0827'7 cm¤

094'3

10

③

11

'9å1 cm

12

36+6'3

13

④

14

③

15

②

16

^{250 m}

➋회

05

표지판의 한 변의 길이를 x cm라고 하면

x¤ =400'3, x¤ =1600 ∴ x=40 (∵ x>0) 따라서 표지판의 한 변의 길이는 40 cm이다.

'3 4

06

△ABC에서 AD”= _8=4'3(cm)

△ADE에서 AF”= _4'3=6(cm)

∴ △AFG='3_6¤ =9'3(cm¤ ) 4

'3 2 '3

2

07

AP”, BP”, CP”를 그으면

△ABC

=△ABP+△BCP+△CAP 이므로

_18¤

=;2!;_18_PD”+;2!;_18_PE”+;2!;_18_PF”

81'3=9(PD”+PE”+PF”)

∴ PD”+PE”+PF”=9'3(cm) '3

4

08

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

BH”=;2!; BC”=;2!;_8=4(cm)

△ABH에서 AH”="√5¤ -4¤ =3(cm)

∴ △ABC=;2!;_8_3=12(cm¤ )

09

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라 하고 BH”=x라고 하면 CH”=8-x

△ABH에서 AH”¤ =9¤ -x¤

yy`㉠

△AHC에서 AH”¤ =('∂65 )¤ -(8-x)¤ yy`㉡

㉠, ㉡에서 9¤ -x¤ =('∂65)¤ -(8-x)¤

16x=80 ∴ x=5

따라서 AH”="√9¤ -5¤ =2'∂14이므로

△ABC=;2!;_8_2'∂14=8'∂14

10

△DBC에서 DB” : BC”=2 : '3이므로 8'3 : BC”=2 : '3, 2BC”=24

∴ BC”=12(cm)

△ABC에서 AB” : BC”=1 : '2이므로 AB” : 12=1 : '2, '2 AB”=12

∴ AB”=6'2(cm)

11

△AOB에서 AB” : AO”='2 : 1이므로 AB” : 12='2 : 1 ∴ AB”=12'2(cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴=;2!;_p_(6'2)¤ +;2!;_12_12-p_12¤ _;3ª6º0;

∴=36p+72-36p

∴=72(cm¤ )

12

점 D에서 CE”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

∠DCH=180˘-(60˘+60˘)

=60˘

이므로 △DCH에서

DC” : DH”=2 : '3, 4：DH”=2 : '3 2DH”=4'3 ∴ DH”=2'3(cm)

∴ △DCE=;2!;_6_2'3=6'3(cm¤ )

13

두 배 A, B의 좌표는 각각 (-4, 1), (3, -2)이므로 두 배 A, B 사이의 거리는

"√{3-√(-4√)}¤ +√(-2√-1)¤ ='∂58(km)

14

AB”="√(3-7)¤ +(√-1-x)¤ =2'∂13이므로 x¤ +2x-35=0, (x+7)(x-5)=0

∴ x=-7 또는 x=5

이때 점 A는 제 1사분면 위의 점이므로 x>0

∴ x=5

15

AB”="√(3-√1)¤ √+(√-3√-1)Ω¤ =2'5 BC”="√(5-√3)¤ √+{√3-(√-3)≈}Ω¤ =2'1å0 CA”="√(1-√5)¤ √+(1√-3)Ω¤ =2'5

AB”=CA”이고 AB”¤ +CA”¤ =BC”¤ 이므로 △ABC는

∠A=90˘인 직각이등변삼각형이다.

∴ △ABC=;2!;_2'5_2'5=10

16

점 B와 x축에 대하여 대칭인 점을 B'이라고 하면 B'(4, -1) BP”=B'P”이므로 AP”+BP”=AP”+B'P”

æAB'”

="√(4-√1)¤ √+(√-1√-3)¤

=5

따라서 AP”+BP”의 최솟값은 5이다.

01

BC”="√('∂74 )¤ -5¤ =7(cm)

∴ ABCD=7_5=35(cm¤ )

02

BD”="√6¤ +8¤ =10(cm)

△ABD에서 AB”¤ =BP”_BD”이므로 6¤ =BP”_10 ∴ BP”=:¡5•:(cm) A

B C

E

D F

18###cm P

A

H C D

E

4 cm 6 cm B 60˘

x y

O A

B

1 P 1

-1 3

4

B' A

B H

C

5`cm 5`cm

8`cm

B C

A

8H

9 65

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