수 학

수 학

대표 유형01 ^{(-3)¤ =9}의 양의 제곱근은 '9=3이므로 a=3 '∂16=4의 음의 제곱근은 -'4=-2이므로 b=-2

∴ a+b=3+(-2)=1

01-

x는 a의 제곱근이므로 x=—'a, 즉 x¤ =a

01-

미영：6의 제곱근은 —'6이다.

대성：0의 제곱근은 0이다.

수진：4의 음의 제곱근은 -'4=-2이다.

민준：음수의 제곱근은 없다.

은애：제곱근 10은 '∂10이다.

따라서 바르게 말한 학생은 수진이다.

01-

①, ②, ③, ⑤ —3 ④ '9=3

01-

① '∂0.01=0.1의 제곱근은 —'∂0.1

② —æ–;1™4∞4;=—;1∞2;

③ 2.H7=;;™9∞;;의 제곱근은 —æ–;;™9∞;;=—;3%;

④ —'∂0.64=—0.8 ⑤ —'∂400=—20

01-

(직사각형의 넓이)=7_5=35(cm¤ ) 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 x¤ =35 ∴ x='3å5 (∵ x>0)

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 '3å5 cm이다.

대표 유형02 ①, ②, ③, ④ 7 ⑤ -7

02-

㉡ (-'∂12)¤ =12 ㉢ -æ≠;3¡6;=-æ≠{;6!;}2 =-;6!;

㉣ "√(-3)¤ =3이므로 -"√(-3)¤ =-3 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다.

I ^{. 실수와 그 계산}

1. 제곱근과 실수

│4쪽, 6쪽│

01^{2, 1, 0} 02⑴ '5 ⑵ -'5 ⑶ —'5

03⑴ 3 ⑵ 3 ⑶ 3 ⑷ 3 04^{<, >}

05⑴ 유리수 ⑵ 무리수 ⑶ 유리수 ⑷ 무리수

06⁴, 2, '2, '2, '2 07'3, '3, <, <

│5쪽, 7쪽│

01⑴ 5, -5 ⑵ 10, -10 ⑶ 0.2, -0.2 ⑷ ;7!;, -;7!;

⑸ 0 ⑹ 없다.

02⑴ —'2 ⑵ —'∂11 ⑶ —Æ;5!; ⑷ —'∂0.3

03⑴ 2 ⑵ -0.9 ⑶ ;8#; ⑷ —6

04⑴ —'3, '3 ⑵ —'7, '7

05⑴ 7 ⑵ 6 ⑶ 3 ⑷ ;1£0; ⑸ -10 ⑹ -5

06⑴ 11 ⑵ -5 ⑶ 2 ⑷ 3

07⑴ a, -a ⑵ a, -a ⑶ -a, a ⑷ -a, a

08⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ <

09⑴ 유 ⑵ 무 ⑶ 유 ⑷ 유 ⑸ 무 ⑹ 유

10

⑴ ⑵ ⑶ × ⑷ × ⑸ × ⑹ ×

11

⑴ ⑵ × ⑶ × ⑷ ⑸

12

⑴ 2 ⑵ '2 ⑶ 2-'2 ⑷ 2+'2

13

'3 , '3 , '3 , >

14

⑴ > ⑵ > ⑶ < ⑷ <

│8~13쪽│

대표 유형01③ 01- ⑤ 01- 수진 01- ④

01- ① 01- ③ 대표 유형02⑤ 02- ② 02- ④ 대표 유형03④ 03- ②, ⑤03- 1 대표 유형04④ 04- ①, ⑤04- ①

04- 3a+2b

대표 유형05⑤ 05- ④ 05- ③ 05- 3개 대표 유형06④ 06- 6 06- ⑤

대표 유형07③ 07- 3, '8, 0, -æ;2!;, -'2

07- ③

대표 유형08③ 08- ① 08- 20개 대표 유형09② 09- ③, ⑤09- 민경, 희정 대표 유형

10

④

10-

-1

10-

4

10-

_-3-'∂10

10-

② 대표 유형

11

④

11-

2개

대표 유형

12

④

12-

①

12-

⑤

12-

①

01⁰ 02²⁸ 03⁵⁴

│실수하기쉬운 문제│

수학

06

⑴ ('6)¤ +(-'5)¤ =6+5=11

⑵ '9 -"√(-8)¤ =3-8=-5

⑶ {-Æ;4#; }¤ _æ–{;3*;}¤ =;4#;_;3*;=2

⑷ '∂36÷(-'2)¤ =6÷2=3

14

⑴ ('5+1)-3='5-2='5-'4>0

⑴∴ '5+1>3

⑵ (4-'6)-(4-'7)=-'6+'7>0

⑴∴ 4-'6>4-'7

⑶ ('2+'5)-(2+'5)='2-2

='2-'4<0

⑴∴ '2+'5<2+'5

⑷ (3-'2)-('∂10-'2)=3-'∂10

='9-'∂10<0

⑴∴ 3-'2<'∂10-'2

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02-

(-'∂25)¤ =25의 양의 제곱근은 '∂25=5이므로 a=5

"√(-9)¤ =9의 음의 제곱근은 -'9=-3이므로 b=-3

∴ a-b=5-(-3)=8 대표 유형03 (주어진 식)=4+9-8=5

03-

① "≈3¤ +"√(-5)¤ =3+5=8

② "√(-1)¤ -(-'2 )¤ =1-2=-1

③ "ç8¤ ÷"√(-2)¤ =8÷2=4

④ ('5 )¤ _{-æ;5!; }2 =5_;5!;=1

⑤ '4_(-'5 )¤ -"√(-6)¤ =2_5-6=10-6=4

03-

(주어진 식)=15÷5-;3!;_6=3-2=1 대표 유형04 a<0이므로 -3a>0

∴ "√a¤ -"√(-3a)¤ =-a-(-3a)

=-a+3a=2a

04 -

①, ⑤ a ②, ③, ④ -a

04-

2<a<4이므로 a-2>0, a-4<0

∴ "√(a-2)¤ -"√(a-4)¤ =(a-2)-{-(a-4)}

=a-2+a-4=2a-6

04-

a>0, b<0이므로 -a<0, 2a>0, 3b<0, -5b>0

∴ (주어진 식)="√(-a)¤ +"ç(2a)¤ +"√(3b)¤

-"√(-5b)¤

=-(-a)+2a+(-3b)-(-5b)

=a+2a-3b+5b

=3a+2b

대표 유형05 '∂84x="√2¤ _3_7_x이므로 x=3_7_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_7=21

05-

_æ≠ ⁼_æ≠ 이므로 x=3_11, 2¤ _3_11 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_11=33

05-

'∂12n="√2¤ _3_n이므로 n=3_(자연수)¤ 의 꼴이어 야 한다.

① 3=3_1¤ ② 12=3_2¤ ③ 15=3_5

④ 27=3_3¤ ⑤ 75=3_5¤

05 -

æ–;;¢2∞;; x=æ≠ 이므로 x=2_5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 0<x<100인 자연수 x는 2_5=10, 2‹ _5=40, 2_3¤ _5=90의 3개이다.

대표 유형06 'ƒ40-x가 정수가 되려면 40-x는 0 또는 40보 다 작은 제곱수이어야 하므로

40-x=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36

∴ x=4, 15, 24, 31, 36, 39, 40 따라서 자연수 x의 개수는 7개이다.

06-

'ƒ10+x 가 자연수가 되려면 10+x는 10보다 큰 제곱 수이어야 하므로

10+x=16, 25, 36, y ∴ x=6, 15, 26, y 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 6이다.

3¤ _5_x 2 2¤ _3_11

x 132

x

06-

'∂24x="√2‹ _3_x이므로 x=2_3_(자연수)¤ 의 꼴 이어야 한다.

∴ x=2_3, 2‹ _3, 2_3‹ , y

또, '∂15-x가 자연수가 되려면 15-x는 15보다 작은 제곱수이어야 하므로

15-x=1, 4, 9 ∴ x=6, 11, 14 따라서 구하는 자연수 x의 값은 6이다.

대표 유형07 ① '8å0<'8å1이므로 '8å0<9

② '5>'3이므로 -'5<-'3

③ 'ƒ0.01<'∂0.1이므로 0.1<'∂0.1

④ Æ;3!; >Æ;4!;이므로 Æ;3!; >;2!;

⑤ '5å0>'4å9이므로 -'5å0<-7

07-

æ;2!;<'2이므로 -æ;2!; >-'2 3='9이므로 0<'8<3

∴ 3>'8>0>-æ;2!;>-'2

07-

1+'5>0, 1<'5이므로 1-'5<0

∴ øπ(1+'5 )¤ -øπ(1-'5 )¤

=(1+'5 )-{-(1-'5 )}

=1+'5+1-'5=2

대표 유형08 1<'x<2의 각 변을 제곱하면 1<x<4 따라서 이를 만족하는 자연수 x는 2, 3이므로 2+3=5

08-

4<'∂3x<6의 각 변을 제곱하면 16<3x<36 ∴ :¡3§:<x<12

따라서 이를 만족하는 자연수 x의 값 중 가장 큰 수는 11, 가장 작은 수는 6이므로 11-6=5

08-

2<'ƒx-1<5의 각 변을 제곱하면 4<x-1<25 ∴ 5<x<26

따라서 이를 만족하는 자연수 x는 6, 7, 8, y, 25의 20 개이다.

대표 유형09 '9=3, -Æ…;2!5^;=-;5$;, øπ0.H1=æ;9!;=;3!;이므로 무리수는 '8, '∂1.6 의 2개이다.

09-

① 순환소수　　② '1å0å0=10 (유리수)

④ =;2$;=2 (유리수)

09-

민경 : 무한소수 중에서 순환소수는 유리수이다.

희정 : '4=2, '9=3과 같이 근호가 있다고 해서 모두 무리수인 것은 아니다.

따라서 틀리게 말한 학생은 민경, 희정이다.

대표 유형

10

① 점 P에 대응하는 수는 3-'2이다.

② 점 Q에 대응하는 수는 2+'2이다.

③ AP”=BP”-BA”='2-1

⑤ BP”='2

10-

a=-3+'2, b=2-'2이므로 a+b=(-3+'2)+(2-'2 )=-1

'1å62

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수 학 10-

ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로

ABCD의 한 변의 길이는 '5이다.

따라서 AP”=AB”='5, AQ”=AD”='5이므로 a=2+'5, b=2-'5

∴ a+b=(2+'5)+(2-'5)=4

10-

`ABCD=4_4-4_{;2!;_3_1}=10이므로

`ABCD의 한 변의 길이는 '∂10이다.

따라서 AP”=AD”='∂10이므로 점 P에 대응하는 수는 -3-'∂10이다.

10-

점의 좌표는 각각 다음과 같다.

A(-1-'2), B(-2+'2), C(1-'2), D(2-'2 ), E('2 )

따라서 '2-2에 대응하는 점은 점 B이다.

대표 유형

11

④ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하 는 점들로 완전히 메울 수 있다.

11-

㉠ '2와 '3 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.

㉣ 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수와 무리수가 있다.

㉤ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들 로 완전히 메울 수 있다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢의 2개이다.

대표 유형

12

① (1-'3)-(1-'2)=-'3+'2<0

∴ 1-'3<1-'2

② 4-('8+1)=3-'8='9-'8>0

∴ 4>'8+1

③ -3-(-2-'2)=-1+'2=-'1+'2>0

∴ -3>-2-'2

④ (3-'5 )-1=2-'5='4-'5<0

∴ 3-'5<1

⑤ ('5+'3 )-('6+'5)='3-'6<0

∴ '5+'3<'6+'5

12-

3<'∂11<4에서 -4<-'∂11<-3

∴ -3<1-'∂11<-2

따라서 1-'∂11에 대응하는 점은 점 A이다.

12-

② '3-0.2=1.532 ③ '2+0.1=1.514

④ =1.573 ⑤ '3-1=0.732

12-

a-b=('ß10+'3)-('3+4)='ß10-4

='ß10-'ß16<0 ∴ a<b b-c=('3+4)-6='3-2='3-'4<0

∴ b<c

∴ a<b<c

01

a>b이고 ab<0이므로 a>0, b<0 ∴ b-a<0

∴ "≈a¤ -"√(b-a)¤ +"≈b¤ =a-{-(b-a)}+(-b)

=a+b-a-b=0 '2+'3

2

│실수하기

쉬운 문제│

│14~15쪽│

01 ①, ⑤02④ 03'∂13 m 04⑤ 05③

06② 07⑤ 08²⁵ 09Æ:¡3Δº:

10

④

11

②

12

④

13

점 C

14

②

15

③

16

①

➊회

01

② 음수의 제곱근은 없다.

③ 0의 제곱근은 0이다.

④ '∂121=11의 제곱근은 —'∂11이다.

⑤ 6¤ =(-6)¤ =36이므로 6¤ 의 제곱근과 (-6)¤ 의 제곱근 은 —6으로 같다.

02

'∂81=9의 양의 제곱근은 '9=3이므로 a=3

(-8)¤ =64의 음의 제곱근은 -'∂64=-8이므로 b=-8

∴ a-b=3-(-8)=11

03

만들려는 정사각형 모양의 화단의 한 변의 길이를 x m라 고 하면 x¤ =2¤ +3¤ 이므로

x¤ =13 ∴ x='∂13 (∵ x>0)

따라서 만들려는 화단의 한 변의 길이는 '∂13 m이다.

04

① '∂16=4 ② (-'6 )¤ =6 ③ -'∂64=-8

④ "√(-7)¤ =7 ⑤ "ç5¤ =5 따라서 세 번째로 큰 수는 ⑤ "ç5¤ 이다.

05

① "≈7¤ -"√(-7)¤ =7-7=0

② -"≈5¤ +"√(-5)¤ =-5+5=0

③ (-'2)¤ +('2)¤ =2+2=4

④ "≈4¤ -(-'4)¤ =4-4=0

⑤ "√(-9)¤ -"ç9¤ =9-9=0

06

(주어진 식)=;3@;_9+2-4÷;5@;

(주어진 식)=6+2-4_;2%;

(주어진 식)=8-10=-2

02

'ƒƒ98-x 가 가장 큰 정수가 되어야 하므로 98-x=81 ∴ x=17

'ƒ53+y 가 가장 작은 정수가 되어야 하므로 53+y=64 ∴ y=11

∴ x+y=17+11=28

03

'1=1, '4=2, '9=3, '∂16=4이므로 N(1)=N(2)=N(3)=1

N(4)=N(5)=N(6)=N(7)=N(8)=2 N(9)=N(10)=N(11)=y=N(15)=3 N(16)=N(17)=N(18)=N(19)=N(20)=4

∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(20)

=3_1+5_2+7_3+5_4

=54

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07

^a>0, ;a!;>0이므로 a+;a!;>0 a<1, ;a!;>1이므로 a-;a!;<0

∴ (주어진 식)={a+;a!;}-[-{a-;a!;}]

∴ (주어진 식)=a+;a!;+a-;a!;=2a

08

'2ƒ8-x 가 정수가 되려면 28-x는 0 또는 28보다 작은 제 곱수이어야 하므로 28-x=0, 1, 4, 9, 16, 25

∴ x=3, 12, 19, 24, 27, 28

따라서 a=28, b=3이므로 a-b=28-3=25

09

'9 >æ;3$; 이므로 -3<-æ;3$;

2<:¡3º:<5이므로 '2<æ≠:¡3º:<'5

∴ -3<-æ;3$;<'2<æ≠:¡3º:<'5 따라서 네 번째에 오는 수는 Æ:¡3Δº: 이다.

10

3<'∂4x<5의 각 변을 제곱하면 9<4x<25 ∴ ;4(;<x<;;™4∞;;

따라서 이를 만족하는 자연수 x는 3, 4, 5, 6의 4개이다.

11

① 'ƒ0.04=0.2 (유리수) ③ Æ;4!; =;2!; (유리수)

④ '4=2 (유리수) ⑤ '∂400=20 (유리수)

12

① ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5

② AP”=AB”='5

③ AQ”=AD”='5

⑤ 점 Q에 대응하는 수는 1-'5이다.

13

점의 좌표는 각각 다음과 같다.

A(-'2), B(-1+'2), C(2-'2), D(1+'2) 따라서 2-'2에 대응하는 점은 점 C이다.

14

② 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.

15

① 6-(1+'2å0 )=5-'2å0='2å5-'2å0>0

∴ 6>1+'2å0

② 5-(3+'3 )=2-'3='4-'3>0

∴ 5>3+'3

③ (3+'1å5 )-7='1å5-4='1å5-'1å6<0

∴ 3+'1å5<7

④ (4-'3 )-2=2-'3='4-'3>0

∴ 4-'3>2

⑤ (-2+'5 )-(-2+'3 )='5-'3>0

∴ -2+'5>-2+'3

16

②, ③`에서 -'5+1>-'5

①, ④, ⑤`에서 '5+1>1+'3, '5+1<'5+'2이므로 1+'3<'5+1<'5+'2

따라서 -'5<-'5+1<1+'3<'5+1<'5+'2이 므로 수직선 위에 나타내었을 때, 오른쪽에서 두 번째에 위 치하는 점에 대응하는 수는 ① '5+1이다.

│16~17쪽│

01 ⑤ 02④ 03③ 04③ 05②

06^-3 07② 08¹⁹ 09⑤

10

②

11

⑤

12

대전

13

P(-4-'5), Q(-4+'5), R(1-'∂10), S(1+'∂10)

14

③

15

3개

16

③

➋회

02

① Æ;9!;=;3!;의 제곱근은 —Æ;3!;이다.

② '4å9=7의 제곱근은 —'7이다.

③ 0.01의 제곱근은 —'∂0.01=—0.1이다.

⑤ 제곱근 15는 '∂15이다.

03

각각의 제곱근을 구해 보면

—'∂0.25=—0.5, —Æ…;8¢1;=—;9@;, —'1å5, —'0å.å4,

—'∂36=—6

따라서 주어진 수 중 근호를 사용하지 않고 제곱근을 나타 낼 수 있는 것은 0.25, ;8¢1;, 36의 3개이다.

04

①, ②, ④, ⑤ -5 ③ 5

05

① '∂16+'9=4+3=7

② "ç3¤ -"√(-2)¤ =3-2=1

③ (-'∂12 )¤ -"ç4¤ =12-4=8

④ '∂36 ÷Æ…{-;5^;}2 =6÷;5^;=6_;6%;=5

⑤ "ç18¤ _{-Æ;3!; }2 =18_;3!;=6

06

(주어진 식)=5-3-7+2=-3

07

a<0이므로 3a<0, -2a>0, 4a<0

∴ "ç9a¤ +"ç(-2a)¤ -"√16a¤

="√(3a)¤ +"ç(-2a)¤ -"√(4a)¤

=-3a+(-2a)-(-4a)

=-3a-2a+4a=-a

08

'∂168x="√2‹ _3_7_x이므로 x=2_3_7_(자연수)¤

의 꼴이어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_3_7=42이므로 a=42

또, '∂24-x가 자연수가 되려면 24-x는 24보다 작은 제 곱수이어야 하므로

24-x=1, 4, 9, 16 ∴ x=8, 15, 20, 23 따라서 가장 큰 자연수 x의 값은 23이므로 b=23

∴ a-b=42-23=19

09

① '2<'4이므로 -'2 >-2

② Æ;9!; <'3이므로 ;3!;<'3

③ '3<'4이므로 '3<2 ④ '∂12<'∂17

⑤ Æ;3!; >Æ;4!;이므로 -Æ;3!; <-;2!;

10

3>'5이므로 3-'5 >0, '5-3<0

∴ øπ(3-'5 )¤ -øπ('5-3)¤ =(3-'5 )-{-('5-3)}

=3-'5 +'5-3=0

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수 학

│18~19쪽│

01⑴ 7 ⑵ 10 ⑶ -5 02⑴ 5a ⑵ -a+1 ⑶ 2a

03'6 cm 04¹³ 0512개 06¹⁰

07- 15 07- 6개 07- 18

11

-5<-'ƒx+3…-2에서 2…'ƒx+3<5 각 변을 제곱하면 4…x+3<25 ∴ 1…x<22 따라서 이를 만족하는 정수 x의 값 중 가장 큰 수는 21, 가 장 작은 수는 1이므로 21+1=22

12

'3 → '∂0.1 → p → '3+1 → '∂17 → '5 → → 대전

13

ABCD=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로 ABCD 의 한 변의 길이는 '5이다.

∴ AP”=AD”='5, AQ”=AB”='5

EFGH=4_4-4_{;2!;_3_1}=10이므로 EFGH의 한 변의 길이는 '∂10이다.

∴ ER”=EH”='∂10, ES”=EF”='∂10 따라서 점의 좌표는 각각 다음과 같다.

P(-4-'5), Q(-4+'5), R(1-'∂10), S(1+'∂10)

14

③서로다른두유리수사이에는무수히많은무리수가있다.

15

'9<'∂12<'∂16, '9<æ≠:™2¡:<'∂16이므로 3과 4 사이에 있는 수는 '∂12, 3.2, æ≠:™2¡:의 3개이다.

16

a-b=('5+'6 )-('6+2)='5-2='5-'4>0

∴ a>b

a-c=('5+'6 )-(3+'5 )='6-3='6-'9<0

∴ a<c

∴ b<a<c

'2 7

01

⑴ (주어진 식)=10-5-(-2)

=10-5+2=7

⑵ (주어진 식)=1-3÷{-;3!; }=1-3_(-3)

⑵ (주어진 식)=1+9=10

⑶ (주어진 식)=2-4_3`+5

=2-12+5=-5

02

⑴ a>0이므로 -5a<0

∴ "√(-5a)¤ =-(-5a)=5a

⑵ a<1이므로 a-1<0

∴ "√(a-1)¤ =-(a-1)=-a+1

⑶ -2<a<2이므로 a+2>0,` a-2<0

∴ "√(a+2)¤ -"√(a-2)¤ =(a+2)-{-(a-2)}

=a+2+a-2

=2a

03

⑴ 두 정사각형의 닮음비가 1：2이므로 넓이의 비는 1¤：2¤ =1：4이다.

⑵ 작은 정사각형의 넓이를 x cm¤ 라고 하면 큰 정사각형 의 넓이는 4x cm¤ 이므로

x+4x=30, 5x=30 ∴ x=6 따라서 작은 정사각형의 넓이는 6 cm¤ 이다.

⑶ 작은 정사각형의 넓이가 6 cm¤ 이므로 한 변의 길이는 '6 cm이다.

04

⑴ '∂21<'∂144이므로 -'∂21>-12 '∂14<'∂16이므로 '∂14<4

따라서 출발점에서 시작하여 큰 수쪽으로만 이동하면 출발점 → -'∂21 → 4 ∴ A=4

⑵ '∂81<'∂100이므로 '∂81<10

따라서 출발점에서 시작하여 작은 수쪽으로만 이동하면 출발점 → -12 → '∂81 ∴ B='∂81

⑶ A+B=4+'∂81=4+9=13

05

5<'∂2x+3…7의 각 변을 제곱하면

25<2x+3…49 …… [1.5점]

22<2x…46 ∴ 11<x…23 …… [1.5점]

따라서 이를 만족하는 자연수 x는 12, 13, 14, …, 23의 12

개이다. …… [1점]

06

ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 대각선 의 길이는 '2이다.

따라서 CP”=CA”='2이므로 점 P에 대응하는 수는 -'2

이다. ∴ a=0, b=2 …… [2점]

EFGH=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로 EFGH의 한 변의 길이는 '5이다. ∴ FG”='5 따라서 FQ”=FG”='5이므로 점 Q에 대응하는 수는 3+'5이다. ∴ c=3, d=5 …… [2점]

∴ a+b+c+d=0+2+3+5=10 …… [1점]

07-

'∂135x="√3‹ _√5_x 이므로 x=3_5_(자연수)¤ 의 꼴

이어야 한다. …… [2점]

따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_5=15 …… [1점]

07-

'ƒ35+n이 자연수가 되려면 35+n은 35보다 큰 제곱수

이어야 하므로 …… [1점]

35+n=36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, y

∴ n=1, 14, 29, 46, 65, 86, 109, y …… [2점]

따라서 100 이하의 자연수 n의 개수는 6개이다.

…… [1점]

07 -

æ–;¡;[@;§;;=æ– 이므로 x=2_7, 2_3¤ _7 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_7=14이므로

a=14 …… [2점]

'∂20-x가 정수가 되려면 20-x는 0 또는 20보다 작은 제곱수이어야 하므로 20-x=0, 1, 4, 9, 16

∴ x=4, 11, 16, 19, 20

따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 4이므로

b=4 …… [2점]

∴ a+b=14+4=18 …… [1점]

2_3¤ _7 x

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08

⑴ '∂45-'5=3'5-'5=2'5

⑵ '∂18-3'8+2'2=3'2-6'2+2'2=-'2

⑶ '∂48-'∂12+'∂75=4'3-2'3+5'3=7'3

10

^{⑴ = =} =2-'3

⑵ =

=3('5+'2)='5+'2 5-2

3('5+'2) ('5-'2)('5+'2) 3

'5-'2

2-'3 4-3 2-'3

(2+'3)(2-'3) 1

2+'3

2. 근호를 포함한 식의 계산

│20쪽│

01 ⑴ 3, 15 ⑵ 6, 3 ⑶ 2, 2 ⑷ 3, 3

026, 6, 30

032.7, 1, 1.646

04⑴ 2, 5 ⑵ 1, 4

05⑴ 2, 3, 15 ⑵ 7, 5, 21

│21쪽│

01⑴ '∂35 ⑵ '5 ⑶ 12'∂10 ⑷ -2'3

02⑴ 2'2 ⑵ -3'3 ⑶ 10'3 ⑷ 6'2

03⑴ '∂32 ⑵ '∂24 ⑶ -'∂63 ⑷ -'∂75

04⑴ ⑵ ⑶ ⑷

05⑴ ⑵ ⑶ ⑷

06⑴ 2.005 ⑵ 2.025 ⑶ 2.059 ⑷ 2.081

07⑴ 11'3 ⑵ 2'7 ⑶ '5`+3'∂11

08⑴ 2'5 ⑵ -'2 ⑶ 7'3

09⑴ 2'3+2 ⑵ '∂35-'∂14 ⑶ '5+'2 ⑷ '7-'3

10

⑴ 2-'3 ⑵ '5+'2 '∂30

3 '6

8 '∂10

5 '3

3

'2 5 '5 10 '∂13

9 '5

4

대표 유형01 5'3="√5¤ _3='∂75 '∂0.12=æ–;1¡0™0;=æ–;2£5;=æ– =

따라서 a=75, b=;5!;이므로 ab=75_;5!;=15

01-

철민：'∂50="√5¤ _2=5'2 지아：-'∂45=-"√3¤ _5=-3'5 민지：4'3="√4¤ _3='∂48 현수：'∂125="√5¤ _5=5'5 은정：-6'2=-"√6¤ _2=-'∂72 따라서 바르게 적은 학생은 현수이다.

01-

'1å8="√3¤ _2=('3 )¤ _'2=ab¤

대표 유형02 ① 4'∂30÷'5= =4'6

② '3'∂15=3'5

③ '∂24Æ;3@;=2'6_ =4

④ '∂12÷'3= =2

02-

(주어진 식)= _ _ ='5

02-

'6 '∂10'∂24='6_'∂10_2'6=12'∂10 ∴ k=12

02-

삼각형의 높이를 h cm라고 하면

;2!;_'2å8_h=8'7, ;2!;_]2'7_h=8'7 '7h=8'7 ∴ h=8

따라서 삼각형의 높이는 8 cm이다.

대표 유형03 = = =

∴ a=;6%;

= = = =

∴ b=;1¡0;

∴ ab=;6%;_;1¡0;=;1¡2;

03 -

① = = ='6

② = = =5'3

③ = = =

④ = =

⑤ = = =

대표 유형04 ⑤ '∂0.03=æ–;10#0;= = =0.1732

04-

'∂641=10'∂6.41=10_2.532=25.32

04-

① æ;4%;= = =1.118

② '∂20=2'5=2_2.236=4.472 2.236

2 '5

2

1.732 10 'å3 10

'6 3 2'6

6 2'å3_'å2 3'å2_'å2 2'3

3'2

'1å0 10 'å2_'å5 2'å5_'å5 'å2

2'å5

3'å2 8 3_'å2 4'å2_'å2 3

4'å2 3 '3å2

15'å3 3 15_'3 'å3_'å3 15

'3

6'å6 6 6_'å6 'å6_'å6 6

'6

'3å0 10 '3_'∂10 '∂10_'∂10 '3

'1å0 2'3 2'1å0 '1å2 '4å0

5'3 6 5_'3 2'3_'3 5

2'3 5 '1å2

2'2 3'2 '5 '6 3'3

'2 2'3

'3 '2 '3

4'∂30 '5

'3 5 3 5¤

│22~25쪽│

대표 유형01¹⁵ 01- 현수 01- ⑤

대표 유형02⑤ 02- ① 02- ④ 02- ③ 대표 유형03① 03- ③

대표 유형04⑤ 04- 25.3204- ③ 대표 유형05⑤ 05- 2 05- _3'2-'7

대표 유형06② 06- ① 06- ⑤

06- ③ 06- _14+10'6

대표 유형07⑤ 07- ② 07- ②, ⑤ 대표 유형08⁷ 08- ④ 08- 18 대표 유형095-'5 09- 해설 참조

01 ³ 02²¹⁶ 03'∂11-1

│실수하기쉬운 문제│

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수 학

∴ ;[};+;]{;= =

∴ ;[};+;]{;= = =;;™4•;;=7

08-

x=2-'5에서 x-2=-'5, (x-2)¤ =(-'5 )¤

x¤ -4x+4=5이이∴ x¤ -4x=1

∴ x¤ -4x+9=1+9=10

08 -

x+y=('2+'7)+('2-'7)=2'2 xy=('2+'7)('2-'7)=2-7=-5

∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(2'2)¤ -2_(-5)

=8+10=18

대표 유형09 2<'5<3이므로 3<'5+1<4 '5+1의 정수 부분은 3이므로 a=3

소수 부분은 ('5+1)-3='5-2이므로 b='5-2

∴ a-b=3-('5-2)=5-'5

09 -

4<'∂18<5이므로 '∂18의 정수 부분은 4이다.

∴ a=4

1<'3<2이므로 -2<-'3<-1, 4<6-'3<5 즉, 6-'3의 소수 부분은 (6-'3)-4=2-'3이다.

∴ b=2-'3

∴ 2a-b=2_4-(2-'3 )=8-2+'3=6+'3

01

'2'3'a'8'∂3a='∂2_3_a_∂8_3a="√(12a)¤ =12a 따라서 12a=36이므로 a=3

02

(2'3+'∂18 )‹ (3'2-'∂12)‹

=(2'3+3'2)‹ (3'2-2'3)‹

={(3'2+2'3)(3'2-2'3)}‹

=(18-12)‹ =6‹ =216

03

^{= =}

= ='ƒx+1-'ßx

∴ + + +y+

∴=('2-'1 )+('3-'2 )+('4-'3 )+y

+('∂11-'∂10)

∴='∂11-1

1 f(10) 1

f(3) 1

f(2) 1

f(x)

'ßx-'ƒx+1 x-(x+1)

'ßx-'ƒx+1 ('ßx +'ƒx+1)('ßx -'ƒx+1) 1

'ßx +'ƒx+1 1

f(x)

36-8 4 6¤ -2_4

4

(x+y)¤ -2xy xy x¤ +y¤

xy

│실수하기

쉬운 문제│

③ '∂75=5'3이므로 값을 구할 수 없다.

④ '∂0.05=æ–;10%0;= = =0.2236

⑤ '∂50000=100'5=100_2.236=223.6 대표 유형05 8'3-4'6-'∂108+'∂24

=8'3-4'6-6'3+2'6

=2'3-2'6

따라서 a=2, b=-2이므로 a-b=2-(-2)=4

05 -

'∂45-a'5+'∂125=3'5-a'5+5'5=(8-a)'5 따라서 8-a=6이므로 a=2

05-

'∂28- +5'2- =2'7-2'2+5'2-3'7

=3'2-'7 대표 유형06 '2(4-5'3 )-

=4'2-5'6-(2'2-'6 )

=4'2-5'6-2'2+'6

=2'2-4'6

따라서 a=2, b=-4이므로 a-b=2-(-4)=6

06 -

(주어진 식)=2'3-9-(2'3-6)_;2!;

(주어진 식)=2'3-9-'3+3='3-6

06-

(2'5-'3)¤ =(2'5 )¤ -2_2'5_'3+('3 )¤

=20-4'∂15+3=23-4'∂15 따라서 a=23, b=-4이므로

a+b=23+(-4)=19

06-

(4'5+a)(2'5-5)=40-20'5+2a'5-5a

=40-5a+(2a-20)'5 이 수가 유리수가 되려면 2a-20=0이어야 하므로 2a=20 ∴ a=10

06-

(겉넓이)=2_{('2+'3)_'3 +'3_'8

+('2+'3)_'8 } (겉넓이)=2_('6+3+2'6+4+2'6)

(겉넓이)=2_(7+5'6)=14+10'6 대표 유형07 ⁼

= =6+2'7

따라서 a=6, b=2이므로 a-b=6-2=4

07-

^{- =}

- = =-4

07-

② = =2'2-'6

⑤ = =

⑤ =5-2'6

대표 유형08 x+y=(3+'5 )+(3-'5 )=6 xy=(3+'5)(3-'5 )=9-5=4

3 -2'6+2 3-2 ('3 -'2 )¤

('3+'2 )('3-'2 ) '3 -'2

'3+'2

(4-2'3)_'2 '2 _'2 4-2'3

'2

'5-2-'5-2 5-4

( '5-2)-('5+2) ('5+2)('5-2) 1

'5-2 1

'5+2

12+4'7 9-7

4(3+'7) (3-'7)(3+'7) 4

3-'7

2'6-'∂18 '3 21 '7 2'6

'3

2.236 10 'å5 10

│26~27쪽│

01 ② 02정원 03② 04 05③

06'6 07⑤ 08④ 09^-1

10

;5$;배

11

③

12

^④

13

14+'2

14

-8'3

15

^③

16

^②

3'5 5

➊회

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16

1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 '3-1이다.

따라서 a='3-1이므로

= =

=3-3'3=1-'3 3

'3-3 '3 ('3-1)-2 ('3-1)+1 a-2

a+1

│28~29쪽│

01 ⑤ 02③ 03;3!; 04③ 05①

06a=2.693, b=7.32 07^39.2408^① 09^③

10

^④

11

-1-3'6

12

^⑤

13

9'2+9'6

14

^③

15

^⑤

16

^⑤

➋회

01

'∂27="√3¤ _3=3'3 ∴ a=3 3'2="√3¤ _2='∂18 ∴ b=18

∴ a+b=3+18=21

02

'∂0.98=æ–;1ª0•0;= = =

03

Æ;4#;÷ _ = _ _ =

∴ a=;3!;

04

BC”='6 cm, CD”=3'2 cm이므로 ABCD='6_3'2=6'3(cm¤ )

05

^{= =} ∴ a=;5@;

= = = ∴ b=;1∞2;

∴ 'aåb=Æ…;5@;_;1∞2;= = =

06

'∂7.25=2.693이므로 a=2.693 '∂7.32=2.706이므로 b=7.32

07

'∂1540=10'∂15.4=10_3.924=39.24

08

⁺ -'3å2='2+'2-4'2=-2'2

∴ A=-2

09

A-B=(5'2-2)-(3'2+1)=2'2-3='8-'9<0

∴ A<B

A-C=(5'2-2)-(4'3-2)=5'2-4'3

='∂50-'∂48>0

∴ A>C

∴ B>A>C

10

aæ– +bæ– =æ–a¤ _ +æ–b¤ _

='∂2ab+'∂18ab='∂2_3+'∂18_3

='6+3'6=4'6

11

'2a-'3 b='2('2-5'3 )-'3(-2'2+'3 )

=2-5'6+2'6-3=-1-3'6 18a

b 2b

a 18a

b 2b

a '7å2

6 2 '2

'6 6 '6 '6_'6 1

'6 5'3

12 5_'3 4'3_'3 5

4'3 5 '4å8

2'1å0 5 2'2_'5

'5_'5 2'2

'5

'3 3 '2 '5 '∂10

3 '3

2 '2 '5 3 '∂10

ab¤

10

"2_("7 )¤

10

"√2_7¤

10

01

① 3'5="√3¤ _5='∂45 ∴ =45

② -'ƒ162=-"√9¤ _2=-9'2 ∴ =2

③ -2'2=-"√2¤ _2=-'8 ∴ =8

④ 'ƒ700="√10¤ _7=10'7 ∴ =10

⑤ 'ƒ360="√6¤ _10=6'∂10 ∴ =6

02

'∂180="√2¤ _3¤ _5=2_('3 )¤ _'5=2a¤ b 따라서 바르게 적은 학생은 정원이다.

03

② '8_ ='4=2

04

(주어진 식)= _ _ =

05

^{= = = = ∴ a=5}

06

(삼각형의 넓이)=;2!;_'∂20_'∂12=;2!;_2'5_2'3 (삼각형의 넓이)=2'∂15

삼각형과 직사각형의 넓이가 같으므로 (가로의 길이)_'∂10=2'∂15

∴ (가로의 길이)= = = ='6

07

⑤ 'ƒ3500=10'∂35=10_5.916=59.16

08

① '∂32=4'2=4_1.414=5.656

② '∂200=10'2=10_1.414=14.14

③ 'ƒ20000=100'2=100_1.414=141.4

④ 'ƒ0.002= 이므로 값을 구할 수 없다.

⑤ = = =0.707

09

'∂24-'∂108+'∂54=2'6-6'3+3'6=-6'3+5'6 따라서 a=-6, b=5이므로 a+b=-6+5=-1

10

b='5- ='5- =;5$;'5

따라서 b의 값은 a의 값의 ;5$;배이다.

11

(주어진 식)=2'3-3'2+

(주어진 식)=2'3-3'2+3'2-2'3=0

12

(a-'5)(1+2'5)=a+2a'5-'5-10

=(a-10)+(2a-1)'5 a-10=-7, 2a-1=b이므로 a=3, b=5

∴ a+b=3+5=8

13

a=3+'2, b=6-'2이므로 '2a+2b='2(3+'2 )+2(6-'2 )

=3'2+2+12-2'2=14+'2

14

^{(주어진 식)=}

(주어진 식)= (주어진 식)=-8'3

15

(x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=(2'5)¤ -4_(-3)=32

∴x-y=—'∂32=—4'2

(4-4'3+3)-(4+4'3+3 ) 4-3

(2-'3 )¤ -(2+'3 )¤

(2+'3 )(2-'3 ) 6'2-4'3

2 '5

5 1

'5

1.414 2 '2

2 1 '2

'∂20 100

2'62 2'3

'2 2'∂15

'∂10

'3 3 a'3

15 a_'3 5'3_'3 a

5'3 a '∂75

3'5 5 '5 2'2 2'3

5 6 '6 1 '2

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수 학 12

(5+3'2 )(a-6'2 )=5a-30'2+3a'2-36

=5a-36+(3a-30)'2 이 수가 유리수가 되려면 3a-30=0이어야 하므로 3a=30 ∴ a=10

13

(넓이)=;2!;_{'4å8+('1å2+6)}_'1å8 (넓이)=;2!;_(4'3+2'3+6)_3'2 (넓이)=;2!;_(6+6'3)_3'2=9'2+9'6

14

^{= =}

=10-7'2

따라서 a=10, b=-7이므로 a+b=10+(-7)=3

15

^{x= =} ='∂10+3

x-3='∂10에서 (x-3)¤ =('∂10)¤

x¤ -6x+9=10 ∴ x¤ -6x=1

∴ x¤ -6x+3=1+3=4

16

2<'7<3이므로 -3<-'7<-2

∴ 7<10-'7<8

10-'7의 정수 부분은 7이므로 a=7

소수 부분은 (10-'7)-7=3-'7이므로 b=3-'7

∴ a¤ +b¤ =7¤ +(3-'7)¤ =49+9-6'7+7=65-6'7 '∂10+3

('∂10-3)('∂10+3) 1

'∂10-3

6-4'2-3'2+4 9-8 (2-'2)(3-2'2)

(3+2'2)(3-2'2) 2-'2

3+2'2

01

⑴ (주어진 식)=8'3_ _(-2'3 )=-2'6

⑵ (주어진 식)=9'2+3'5-7'2+2'5=2'2+5'5

⑶ (주어진 식)=2'5 { -'5}+

⑶ (주어진 식)='∂10-10+4-'∂10=-6

02

⑴ 2<'7<3이므로 4<'7+2<5

∴'7+2의 정수 부분은 4이므로 a=4

∴소수 부분은 ('7+2)-4='7-2이므로 b='7-2

∴∴ ab=4_('7-2)=4'7-8

⑵ 3<'∂12<4이므로 '∂12의 소수 부분은 '∂12-3=2'3-3

∴따라서 a=2'3-3이므로

∴ = =

∴ = =2-'3

2 6-3'3

6

2'3-3 2'3 2'3-3

(2'3-3)+3 a

a+3

4'3-'∂30 '3 '2

2 1 4'6

│30~31쪽│

01 ⑴ -2'6 ⑵ 2'2+5'5 ⑶ -6

02⑴ 4'7-8 ⑵ ⑶ 10-'3 03^15.6496

04⁶ 05 ^+10b 06^{해설 참조}

07- _{2'∂34 cm} 07- _2'3 07- _{18'2 m}

a 10

2-'3 2

⑶ 2'6='∂24이고 4<'∂24<5이므로 2'6의 정수 부분은 4이다. ∴ a=4

∴1<'3<2이므로 -2<-'3<-1, 3<5-'3<4

∴5-'3의 소수 부분은 (5-'3)-3=2-'3이므로

∴b=2-'3

∴∴ 2a+b=2_4+(2-'3 )=10-'3

03

⑴ '∂0.23= = =0.4796

⑵ '∂230=10'∂2.3=10_1.517=15.17

⑶ '∂0.23+'∂230=0.4796+15.17=15.6496

04

^{⑴ x= =}

x= ='3-1

y= =

x= ='3+1

⑵ x+y=('3-1)+('3+1)=2'3 xy=('3-1)('3+1)=3-1=2

⑶ x¤ -xy+y¤ =(x+y)¤ -3xy

=(2'3)¤ -3_2

=6

05

'ß0.02+'∂20å0å0=æ– +10'2å0 ^{…… [2점]}

'ß0.02+'∂20å0å0= +10'2å0 ^{…… [1점]}

'ß0.02+'∂20å0å0= +10b …… [1점]

06

-'2(2'6-'∂18)

= -'2(2'6-3'2)

= -4'3+6 …… [1점]

= -4'3+6 ^{…… [1점]}

=2'3+2-4'3+6 ^{…… [1점]}

=8-2'3 ^{…… [1점]}

07-

두 정사각형의 넓이의 합은

6¤ +10¤ =136 (cm¤ ) …… [1점]

이와 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는

'∂136=2'∂34 (cm) ^{…… [2점]}

07-

(부피)='∂128_x_2'6=192(cm‹ )이므로^{…… [1점]}

8'2_x_2'6=192, 32'3x=192

∴ x= = =2'3 ^{…… [3점]}

07-

세 정사각형 모양의 밭의 한 변의 길이는 각각 '2 m, '8=2'2 (m), '1å8=3'2 (m)이다. ^{…… [2점]}

∴ (밭의 둘레의 길이)=2_'2+2_2'2+4_3'2

=2'2+4'2+12'2

=18'2(m) ^{…… [3점]}

6 '3 192 32'3 12'3+12

9-3 4'3(3+'3) (3-'3)(3+'3)

4'3 3-'3 4'3 3-'3

a 10 '2 10 2 100 2('3+1)

3-1

2('3+1) ('3-1)('3+1) 2

'3-1 2('3-1)

3-1

2('3-1) ('3+1)('3-1) 2

'3+1

4.796 10 '∂23

10

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⑶ x¤ +xy+5x+5y=x(x+y)+5(x+y)

=(x+y)(x+5)

⑷ 4x¤ +4xy+y¤ -4=(4x¤ +4xy+y¤ )-4

=(2x+y)¤ -2¤

=(2x+y+2)(2x+y-2)

09

⑴ 42¤ -38¤ =(42+38)(42-38)

=80_4=320

⑵ 95¤ +10_95+5¤ =95¤ +2_95_5+5¤

=(95+5)¤

=100¤ =10000

10

⑴ x¤ -6x+9=(x-3)¤ =(303-3)¤

=300¤ =90000

⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=(2.5+1.5)(2.5-1.5)

=4_1=4

II . 다항식의 인수분해

1. 다항식의 인수분해

│32쪽│

01⑴ 1, x, x+1, x(x+1)

⑵ 1, x+2, x+3, (x+2)(x+3)

02⑴ 1, 5 ⑵ -4, -3 03해설 참조

04x+y, x+y+1

0535, 62, 35, 2, 70

│33^쪽│

01 ⑴ 3 ⑵ 2a ⑶ xy ⑷ 2y

02⑴ x(x-3) ⑵ a(x+y-z) ⑶ 2ab(2b-3a)

⑷ (a+b)(x+y)

03⑴ (a+3)¤ ⑵ (x-5)¤ ⑶ (2a+1)¤ ⑷ (3x-2y)¤

04⑴ 16 ⑵ 64 ⑶ —14 ⑷ —;3@;

05⑴ (x+4)(x-4) ⑵ {x+;3!;}{x-;3!;}

⑶ (2x+7)(2x-7) ⑷ (5+x)(5-x)

06⑴ (x+1)(x+6) ⑵ (x-2)(x+3)

⑶ (x-2)(x-9) ⑷ (x+2y)(x-5y)

07⑴ (x+3)(2x+1) ⑵ (x-1)(3x-2)

⑶ (2x-1)(3x+2) ⑷ (x+3y)(5x-2y)

08⑴ x¤ (x+3)(x-3) ⑵ (x+2)(x+8)

⑶ (x+y)(x+5) ⑷ (2x+y+2)(2x+y-2)

09⑴ 320 ⑵ 10000

10

⑴ 90000 ⑵ 4

04

^⑴ ={;2*;}¤ =16

⑵ ={ }¤ =64

⑶ =—2_1_7=—14

⑷ =—2_1_;3!;=—;3@;

08

⑴ x› -9x¤ =x¤ (x¤ -9)=x¤ (x+3)(x-3)

⑵ x+3=A라고 하면 (주어진 식)=A¤ +4A-5

=(A-1)(A+5)

=(x+3-1)(x+3+5)

=(x+2)(x+8) -16

2

│34~39쪽│

대표 유형01①, ⑤ 01- ③ 01- ④

01- ③, ⑤01- ③ 대표 유형02④ 02- ② 02- 2x+1

02- ② 02- ㉡, ㉢

02- 12 02- (x+2)(x-14)

02- ③

대표 유형03③ 03- ③ 03- 42 대표 유형04²⁶ 04- -1504- ①

대표 유형05⑤ 05- 3x+5 05- ③

05- x+705- ④

대표 유형06② 06- xy(x+2y)¤ 06- ① 대표 유형07② 07- (x+y-4)(x+y+6)

07- ④ 07- ① 대표 유형08③ 08- ①

08- (3x-y+4)(3x-y-4)

08- -1 대표 유형09② 09- ⑤

대표 유형

10

50'2

10-

민주

10-

0.6

10-

④ 대표 유형

11

⑤

11-

①

11-

48

01④ 02(x¤ +4x+2)(x¤ +4x-4) 03^-36

│실수하기쉬운 문제│

대표 유형01 8a¤ -4ab=4a(2a-b)

01 -

③ ㉡의 과정에서 분배법칙이 이용된다.

01-

x¤ y-xy¤ =xy(x-y) 6x-6y=6(x-y)

따라서 두 다항식의 공통 인수는 x-y이다.

03

2x¤ +5x+3에서 1 1 ⁄ 2 2 3 ⁄ 3 2 3 ⁄ 5

∴ 2x¤ +5x+3=(x+1)(2x+3) 11⁄11⁄

(+

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수 학 01-

① 5a-10b=5(a-2b)

② 3xy+y¤ =y(3x+y)

④ 2a¤ -4a¤ b=2a¤ (1-2b)

01-

(2x-1)(x-2)-(2-x)(x+5)

=(2x-1)(x-2)+(x-2)(x+5)

=(x-2){(2x-1)+(x+5)}

=(x-2)(3x+4) 따라서 a=-2, b=3이므로 a+b=-2+3=1

대표 유형02 ① 36x¤ -y¤ =(6x+y)(6x-y)

② x¤ -6x+8=(x-2)(x-4)

③ 2x¤ -13xy+6y¤ =(x-6y)(2x-y)

⑤ 2m¤ -m-6=(m-2)(2m+3)

02-

x¤ -9=(x+3)(x-3) x¤ -8x+15=(x-3)(x-5)

따라서 두 다항식의 공통 인수는 x-3이다.

02-

x¤ +x-12=(x-3)(x+4) 따라서 두 일차식의 합은 (x-3)+(x+4)=2x+1

02-

① 4x¤ +20x+25=(2x+5)¤

③ 2x¤ +20x+50=2(x¤ +10x+25)

=2(x+5)¤

④ ;2¡5;x¤ -;5!;x+;4!;={;5!;x-;2!;}¤

⑤ 9x¤ -24xy+16y¤ =(3x-4y)¤

02-

㉠ x¤ -x-6=(x+2)(x-3)

㉡ x¤ -4=(x+2)(x-2)

㉢ 2x¤ -5x+2=(x-2)(2x-1)

㉣ 3x¤ +7x+2=(x+2)(3x+1) 따라서 x-2를 인수로 갖는 것은 ㉡, ㉢이다.

02-

(5x-4)(x+1)-18=5x¤ +x-22

=(x-2)(5x+11) 따라서 a=1, b=11이므로

a+b=1+11=12

02-

(x+4)(x-7)=x¤ -3x-28이므로 민호는 상수항 -28을 바르게 본 것이고,

(x-2)(x-10)=x¤ -12x+20이므로 수진이는 x의 계수 -12를 바르게 본 것이다.

∴x¤ -12x-28=(x+2)(x-14)

02-

"√x¤ -8x+16-"√x¤ +14x+49

="√(x-4)¤ -"√(x+7)¤

이때 3<x<4이므로 x-4<0, x+7>0

∴ (주어진 식)=-(x-4)-(x+7)

=-x+4-x-7

=-2x-3

대표 유형03 2k+9={ }2 에서 2k+9=25 2k=16 ∴ k=8

-10 2

03-

9x¤ +Ax+4=(3x)¤ +Ax+2¤에서 A=—2_3_2=—12

그런데 A>0이므로 A=12

03-

x¤ +ax+9에서 a=—2_1_3=—6 그런데 a>0이므로 a=6

x¤ +12x+b에서 b={:¡2™:}2 =36

∴ a+b=6+36=42

대표 유형04 8x¤ -ax+15=(4x-3)(2x+m)이라고 하면 15=-3_m ∴ m=-5

따라서 (4x-3)(2x-5)=8x¤ -26x+15이므로 a=26

04-

x¤ -2x+a=(x-5)(x+m)이라고 하면 -2=m-5 ∴ m=3

따라서 (x-5)(x+3)=x¤ -2x-15이므로 a=-15

04-

3x¤ +ax+6=(x-3)(3x+m)이라고 하면 6=-3_m ∴ m=-2

즉, (x-3)(3x-2)=3x¤ -11x+6이므로 a=-11

2x¤ -11x+b=(x-3)(2x+n)이라고 하면 -11=n-6 ∴ n=-5

즉, (x-3)(2x-5)=2x¤ -11x+15이므로 b=15

∴ a+b=-11+15=4

대표 유형05 3x¤ +9xy+6y¤ =3(x¤ +3xy+2y¤ )

=3(x+y)(x+2y) 이므로 직사각형의 세로의 길이는 x+2y이다.

∴ (둘레의 길이)=2 {(3x+3y)+(x+2y)}

=2(4x+5y)

=8x+10y

05 -

9x¤ +30x+25=(3x+5)¤이므로 이 땅의 한 변의 길 이는 3x+5이다.

05-

큰 직사각형의 넓이는 x¤ +5x+6=(x+2)(x+3)이 므로 가로의 길이와 세로의 길이의 합은

(x+2)+(x+3)=2x+5

05-

(꽃밭 ㈎의 넓이)=(x+4)¤ -3¤

=x¤ +8x+16-9

=x¤ +8x+7

=(x+1)(x+7)

이때 두 꽃밭 ㈎, ㈏의 넓이가 같으므로 꽃밭 ㈏의 가로 의 길이는 x+7이다.

05 -

사다리꼴의 높이를 h라고 하면

2a¤ +3a+1=;2!;_{(a-2)+(a+4)}_h 2a¤ +3a+1=(a+1)h

이때 2a¤ +3a+1=(a+1)(2a+1)이므로 사다리꼴 의 높이는 2a+1이다.

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대표 유형06 (x-y)x¤ +(y-x)=(x-y)x¤ -(x-y)

=(x-y)(x¤ -1)

=(x-y)(x+1)(x-1)

06-

x‹ y+4x¤ y¤ +4xy‹ =xy(x¤ +4xy+4y¤ )

=xy(x+2y)¤

06-

㈎ (주어진 식)=(a+3)(b¤ -a¤ )

=(a+3)(b+a)(b-a)

㈏ (주어진 식)=(a+b)(a¤ -2a-3)

=(a+b)(a+1)(a-3) 따라서 두 다항식의 공통 인수는 a+b이다.

대표 유형07 2x+3=A라고 하면 (주어진 식)=A¤ -4A-12

=(A-6)(A+2)

=(2x+3-6)(2x+3+2)

=(2x-3)(2x+5)

07-

x+y=A라고 하면

(x+y)(x+y+2)-24=A(A+2)-24

=A¤ +2A-24

=(A-4)(A+6)

=(x+y-4)(x+y+6)

07-

x+5=A라고 하면 (주어진 식)=A¤ +2A-8

=(A-2)(A+4)

=(x+5-2)(x+5+4)

=(x+3)(x+9) 따라서 두 일차식의 합은 (x+3)+(x+9)=2x+12

07-

x+1=A, x-2=B라고 하면 (x+1)¤ -4(x+1)(x-2)+3(x-2)¤

=A¤ -4AB+3B¤

=(A-B)(A-3B)

={(x+1)-(x-2)} {(x+1)-3(x-2)}

=3(-2x+7)

=-3(2x-7)

따라서 a=-3, b=-7이므로 a+b=-3+(-7)=-10

대표 유형08 xy-x+y-1=x(y-1)+(y-1)

=(y-1)(x+1)

08-

x‹ +x¤ -4x-4=x¤ (x+1)-4(x+1)

=(x+1)(x¤ -4)

=(x+1)(x+2)(x-2)

08-

9x¤ -6xy+y¤ -16=(9x¤ -6xy+y¤ )-16

=(3x-y)¤ -4¤

=(3x-y+4)(3x-y-4)

08-

1+12xy-x¤ -36y¤ =1-(x¤ -12xy+36y¤ )

=1-(x-6y)¤

=(1+x-6y)(1-x+6y)

따라서 a=-6, b=-1, c=6이므로 a+b+c=-6+(-1)+6=-1 대표 유형09 x¤ -5xy+2x+5y-3

=-5xy+5y+x¤ +2x-3

=-5y(x-1)+(x¤ +2x-3)

=-5y(x-1)+(x-1)(x+3)

=(x-1)(x-5y+3)

09-

(주어진 식)=x¤ +2xy+3x+y¤ +3y-4

=x¤ +(2y+3)x+(y¤ +3y-4)

=x¤ +(2y+3)x+(y-1)(y+4)

=(x+y-1)(x+y+4) [다른 해설]

(주어진 식)=(x¤ +2xy+y¤ )+3(x+y)-4

=(x+y)¤ +3(x+y)-4 이때 x+y=A라고 하면

(주어진 식)=A¤ +3A-4

=(A-1)(A+4)

=(x+y-1)(x+y+4) 대표 유형

10

"√75¤ -25¤ ="√(75+25)(75-25)

='ƒ100_50='ƒ5000

=50'2

10-

(주어진 식)=103¤ -2_103_3+3¤

=(103-3)¤

=100¤

=10000

따라서 바르게 적은 학생은 민주이다.

10-

(주어진 식)=3_(1.05¤ -0.95¤ )

=3_(1.05+0.95)(1.05-0.95)

=3_2_0.1

=0.6

10-

201_205+4=201_(201+4)+4

=201¤ +4_201+4

=201¤ +2_201_2+2¤

=(201+2)¤

=203¤

∴ x=203

대표 유형

11

a+b=('5+2)+('5-2)=2'5, a-b=('5+2)-('5-2)=4이므로 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

=2'5_4

=8'5

11 -

x= =

x= ='2+1='2+1 2-1

'2+1 ('2-1)('2+1) 1

'2-1

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수 학

│40~41쪽│

01 ①, ⑤02⑤ 03③ 04^-4 05^(x-2)(x+6) 06④ 07⁴¹ 08③

09^4x+6

10

(a+1)(a-1)(a+2)

11

③

12

①

13

③

14

③

15

③

16

해설 참조

➊회

01

① a¤ b-ab‹ =ab(a-b¤ )

⑤ x¤ +7x-8=(x-1)(x+8)

02

x¤ +3x-4=(x-1)(x+4) (x+2)(x+5)+2=x¤ +7x+12

=(x+3)(x+4) 따라서 두 다항식의 공통 인수는 x+4이다.

03

x¤ +x-30=(x-5)(x+6) 따라서 두 일차식의 합은 (x-5)+(x+6)=2x+1

∴ x¤ -8x+7=(x-1)(x-7)

=('2+1-1)('2+1-7)

='2_('2-6)

=2-6'2

11-

a¤ (a-b)+b¤ (b-a)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)

=(a-b)(a¤ -b¤ )

=(a-b)(a+b)(a-b)

=(a-b)¤ (a+b)

이때 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -4_1=12이므로 (a-b)¤ (a+b)=12_4=48

01

a+b=A, ab=-18이므로 곱이 -18이 되는 두 정수 a, b는 1과 -18, 2와 -9, 3과 -6, 6과 -3, 9와 -2, 18과 -1이다.

따라서 A의 값이 될 수 있는 수는 -17, -7, -3, 3, 7, 17이다.

02

(주어진 식)={(x-1)(x+5)} {(x+1)(x+3)}+7

=(x¤ +4x-5)(x¤ +4x+3)+7 이때 x¤ +4x=A라고 하면

(주어진 식)=(A-5)(A+3)+7

=A¤ -2A-8

=(A+2)(A-4)

=(x¤ +4x+2)(x¤ +4x-4)

03

(주어진 식)=(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+(5¤ -6¤ )+(7¤ -8¤ )

=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)

+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)

=(-1)_(1+2+3+4+5+6+7+8)

=-36

04

x¤ +Ax-6=(x+2)(x+B)에서 A=2+B, -6=2B이므로 A=-1, B=-3

∴ A+B=-1+(-3)=-4

05

(x+3)(x-4)=x¤ -x-12이므로 중원이는 상수항 -12를 바르게 본 것이고, (x+5)(x-1)=x¤ +4x-5 이므로 영희는 x의 계수 4를 바르게 본 것이다.

∴ x¤ +4x-12=(x-2)(x+6)

06

x¤ -18x+A가 완전제곱식이 되므로 A={ }¤ =81

x¤ -18x+81=(x-9)¤이므로 B=-9

∴ A+B=81+(-9)=72

07

16x¤ +(k-1)x+25=(4x)¤ +(k-1)x+5¤에서 k-1=—2_4_5=—40

∴ k=-39 또는 k=41 그런데 k>0이므로 k=41

08

x¤ +x+a=(x-1)(x+m)이라고 하면 1=m-1 ∴ m=2

즉, (x-1)(x+2)=x¤ +x-2이므로 a=-2

x¤ +bx+3=(x-1)(x+n)이라고 하면 3=-1_n ∴ n=-3

즉, (x-1)(x-3)=x¤ -4x+3이므로 b=-4

∴ ab=-2_(-4)=8

09

x¤ +3x-10=(x-2)(x+5)이므로 직사각형의 세로의 길이는 x+5이다.

∴ (둘레의 길이)=2 {(x-2)+(x+5)}

=2(2x+3)

=4x+6

10

(주어진 식)=(a+1)(a¤ +a-2)

=(a+1)(a-1)(a+2)

11

^{x-5=A라고 하면}

(x-5)¤ +2(x-5)-24=A¤ +2A-24

=(A-4)(A+6)

=(x-5-4)(x-5+6)

=(x-9)(x+1) 따라서 a=-9, b=1 또는 a=1, b=-9이므로 ab=-9

12

(주어진 식)={(a-1)(a+3)} {(a-2)(a+4)}+6

=(a¤ +2a-3)(a¤ +2a-8)+6 이때 a¤ +2a=A라고 하면

(주어진 식)=(A-3)(A-8)+6

=A¤ -11A+30

=(A-5)(A-6)

=(a¤ +2a-5)(a¤ +2a-6) -18

│실수하기

쉬운 문제│ 2

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06

^① ={;2@;}2 =1

② x¤ -4x+1= `x¤ -2_2x_1+1¤ 에서

=2¤ =4

③ =—2_1_;4!;=— ;2!;

④ 36a¤ -12a+ =(6a)¤ -2_6a_1+ 에서

=1¤ =1

⑤ 4b¤ + b+;4!;=(2b)¤ + `b+{;2!;}2 에서

=—2_2_;2!;=—2

07

x¤ +Ax-12=(x+3)(x+m)이라고 하면 -12=3_m ∴ m=-4

따라서 (x+3)(x-4)=x¤ -x-12이므로 A=-1

08

큰 직사각형의 넓이는 2x¤ +5x+2=(x+2)(2x+1)이 므로

(둘레의 길이)=2{(x+2)+(2x+1)}

=2(3x+3)

=6x+6

09

(x-2)(x¤ +9)-6x(2-x)

=(x-2)(x¤ +9)+6x(x-2)

=(x-2)(x¤ +9+6x)

=(x-2)(x+3)¤

10

x+y=A라고 하면 (주어진 식)=A(A-4)+3

=A¤ -4A+3

=(A-1)(A-3)

=(x+y-1)(x+y-3)

11

3x-1=A, x+2=B라고 하면 (3x-1)¤ -(x+2)¤ =A¤ -B ¤

=(A+B)(A-B)

={(3x-1)+(x+2)}

{(3x-1)-(x+2)}

=(4x+1)(2x-3)

12

49x¤ -14x+1-y¤ =(49x¤ -14x+1)-y¤

=(7x-1)¤ -y¤

=(7x-1+y)(7x-1-y)

=(7x+y-1)(7x-y-1) 따라서 a=7, b=1, c=7이므로

a+b+c=7+1+7=15

13

(주어진 식)=x¤ +2xy-7x+y¤ -7y+12

=x¤ +(2y-7)x+(y¤ -7y+12)

=x¤ +(2y-7)x+(y-3)(y-4)

=(x+y-3)(x+y-4) [다른 해설]

(주어진 식)=(x¤ +2xy+y¤ )-7(x+y)+12

=(x+y)¤ -7(x+y)+12 이때 x+y=A라고 하면

13

a‹ -a-a¤ +1=a(a¤ -1)-(a¤ -1)

=(a¤ -1)(a-1)

=(a+1)(a-1)(a-1)

=(a+1)(a-1)¤

14

999¤ -1=(999+1)(999-1)

=1000_998

=998000

15

2x¤ -12x+18=2(x¤ -6x+9)

=2(x-3)¤

=2 {(3-'3 )-3}¤

=2_3=6

16

x¤ +2x-y¤ -2y=(x¤ -y¤ )+(2x-2y) x¤ +2x-y¤ -2y=(x+y)(x-y)+2(x-y) x¤ +2x-y¤ -2y=(x-y)(x+y+2) x+y=3, x-y=4를 대입하면 (주어진 식)=4_(3+2)=20

│42~43쪽│

01 윤주, 성주, 수진 02⑤ 03^-2 04②

05^2x-3 06② 07② 08^6x+6 09④

10

①

11

②, ④

12

¹⁵

13

(x+y-3)(x+y-4)

14

²⁰¹⁴

15

⑤

16

②

➋회

01

8a¤ b-6a¤ b¤ =2a¤ b(4-3b)이므로 인수가 적힌 카드를 들고 있는 학생은 윤주, 성주, 수진이다.

02

① 3x¤ -6x+3=3(x¤ -2x+1)

=3(x-1)¤

② a¤ -;5@;a+;2¡5;={a-;5!;}2

③ 16a¤ +8a+1=(4a+1)¤

④ x¤ +x+;4!;={x+;2!;}2

03

(2x-1)(3x+5)-15=6x¤ +7x-20

=(2x+5)(3x-4) 따라서 A=2, B=-4이므로

A+B=2+(-4)=-2

04

① x¤ -4=(x+2)(x-2)

② x¤ +6x-16=(x-2)(x+8)

③ 2x¤ +3x-2=(x+2)(2x-1)

④ 2x¤ +7x+6=(x+2)(2x+3)

⑤ 3x¤ +8x+4=(x+2)(3x+2)

따라서 ①, ③, ④, ⑤`는 모두 x+2를 인수로 갖는다.

05

"√x¤ -√2x+Ω1-"√x¤ -√4x+Ω4 ="√(x-ç1)¤ -"√(x-ç2)¤

이때 1<x<2이므로 x-1>0, x-2<0

∴ (주어진 식)=(x-1)-{-(x-2)}

=x-1+x-2

=2x-3

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수 학

(주어진 식)=A¤ -7A+12

=(A-3)(A-4)

=(x+y-3)(x+y-4)

14

^{(주어진 식)=}

(주어진 식)= =

(주어진 식)=2014

15

a¤ -b¤ -3a+3b=(a¤ -b¤ )-3(a-b)

=(a+b)(a-b)-3(a-b)

=(a-b)(a+b-3) 이때 a+b=('3-1)+('3+1)=2'3, a-b=('3-1)-('3+1)=-2이므로 (a-b)(a+b-3)=-2 _(2'3-3)

=-4'3+6

16

1<'2<2이므로 x='2-1

∴ x¤ +2x+1=(x+1)¤

={('2-1)+1}¤ =2 2014¤

2014 (2015-1)¤

2014

2015¤ -2_2015_1+1¤

2014

│44~45쪽│

01⑴ (2x+3)(4x+1) ⑵ (a-3b)(a-2)

⑶ (x-3)(x+y-2)

02⑴ 23 ⑵ 400 ⑶ 2 03^-11 04²⁰ 05²⁵ 06^2x+3

07- 0.3 07- 5 07- _8'3

01

⑴ (주어진 식)=8x¤ +14x+3

=(2x+3)(4x+1)

⑵ (주어진 식)=a(a-3b)-2(a-3b)

=(a-3b)(a-2)

⑶ (주어진 식)=xy-3y+x¤ -5x+6

=y(x-3)+(x-2)(x-3)

=(x-3)(x+y-2)

02

⑴ 23_47-23_46=23_(47-46)=23

⑵ 24¤ -8_24+16=24¤ -2_24_4+4¤

=(24-4)¤

=20¤ =400

⑶ "√5.2¤ -4.8¤ ="√(5.2+4.8)√(5.2-4.8)

='∂10_0.4

='4=2

03

⑴ x¤ +ax-15=(x+3)(x+m)이라고 하면

⑴-15=3_m ∴ m=-5

⑴따라서 (x+3)(x-5)=x¤ -2x-15이므로 a=-2

⑵ 2x¤ +3x+b=(x+3)(2x+n)이라고 하면

⑴3=n+6 ∴ n=-3

⑴따라서 (x+3)(2x-3)=2x¤ +3x-9이므로 b=-9

⑶ a+b=-2+(-9)=-11

04

⑴ 두 생일 카드의 둘레의 길이의 합이 80이므로 4a+4b=80 ∴ a+b=20

⑵ 두 생일 카드의 넓이의 차가 100이므로 a¤ -b¤ =100, (a+b)(a-b)=100 이때 a+b=20이므로

(a+b)(a-b)=20(a-b)=100

∴ a-b=5

⑶ 두 생일 카드의 둘레의 길이의 차는 4a-4b=4(a-b)=4_5=20

05

(x+2)(x-8)+k=x¤ -6x-16+k `…… [1점]

이 식이 완전제곱식이 되려면

-16+k={ }¤ `…… [2점]

-16+k=9 ∴ k=25 `…… [1점]

06

^{x+2=A라고 하면 `…… [1점]}

(x+2)¤ -(x+2)-20=A¤ -A-20

=(A+4)(A-5)

=(x+2+4)(x+2-5)

=(x+6)(x-3) `…… [2점]

따라서 두 일차식의 합은

(x+6)+(x-3)=2x+3 …… [1점]

07 -

x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) …… [1점]

=(0.65+0.35)(0.65-0.35)

=1_0.3=0.3 …… [2점]

07-

x= =

x= ='5+2 ^{…… [1점]}

∴ x¤ -4x+4=(x-2)¤ …… [1점]

={('5+2)-2}¤ =5 ^{…… [2점]}

07-

^{x= =}

x= =2+'3 ^{…… [1점]}

y= =

y= =2-'3 ^{…… [1점]}

이때 x‹ y-xy‹ =xy(x¤ -y¤ )=xy(x+y)(x-y)이고

…… [1점]

x+y=(2+'3)+(2-'3)=4, x-y=(2+'3)-(2-'3)=2'3, xy=(2+'3)(2-'3)=4-3=1이므로 (주어진 식)=xy(x+y)(x-y)

=1_4_2'3=8'3 ^{…… [2점]}

2-'3 4-3

2-'3 (2+'3)(2-'3) 1

2+'3 2+'3

4-3

2+'3 (2-'3)(2+'3) 1

2-'3 '5+2 5-4

'5+2 ('5-2)('5+2) 1

'5-2 -6

2

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01

⑵ 4x-5=0이므로 이차방정식이 아니다.

⑷ 2x‹ -x¤ -x=0이므로 이차방정식이 아니다.

02

⑴ 0_(0-11)=0

⑵ (6-3)¤ +3

⑶ 1¤ +2_1-1+0

⑷ (-1)¤ -4_(-1)-5=0

04

⑴ x¤ -4x=0에서 x(x-4)=0

∴ x=0 또는 x=4

⑵ x¤ -9=0에서 (x+3)(x-3)=0

∴ x=-3 또는 x=3

⑶ x¤ +3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0

∴ x=-5 또는 x=2

⑷ 2x¤ -5x-3=0에서 (2x+1)(x-3)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=3

05

⑸ x¤ +10x+25=0에서 (x+5)¤ =0

∴ x=-5 (중근)

⑹ 4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0

∴ x=;2!; (중근)

06

⑶ (x-6)¤ -7=0에서 (x-6)¤ =7 x-6=—'7 ∴ x=6—'7

⑷ 4(x+2)¤ =12에서 (x+2)¤ =3 x+2=—'3 ∴ x=-2—'3

07

⑶ x¤ +x-3=0에서 x¤ +x=3 x¤ +x+;4!;=3+;4!; ∴ {x+;2!;}¤

=;;¡4£;;

⑷ 2x¤ -8x+1=0에서 x¤ -4x+;2!;=0 x¤ -4x=-;2!;, x¤ -4x+4=-;2!;+4

∴ (x-2)¤ =;2&;

08

⑶ 2x¤ +20x+10=0에서 x¤ +10x+5=0 x¤ +10x=-5, x¤ +10x+25=-5+25 (x+5)¤ =20, x+5=—2'5

∴ x=-5—2'5

⑷ 3x¤ +4x-2=0에서 x¤ +;3$;x-;3@;=0 x¤ +;3$;x=;3@;, x¤ +;3$;x+;9$;=;3@;+;9$;

{x+;3@;}

¤=;;¡9º;;, x+;3@;=—

∴ x=-2—'1å0 3

'1å0 3

대표 유형01 ① 이차식이다.

② 일차방정식이다.

③ 2x¤ +x+3=0이므로 이차방정식이다.

④ x‹ -x=x‹ -4x¤ , 즉 4x¤ -x=0이므로 이차방정식 이다.

⑤ -x‹ +5x-4=0이므로 이차방정식이 아니다.

III ^{. 이차방정식}

1. 이차방정식의 풀이

│46쪽│

01 이차방정식

02⑴ 참, 해이다 ⑵ 참, 해이다 ⑶ 거짓, 해가 아니다

03⑴ 6, -6 ⑵ 2, -2 ⑶ 10, 10 ⑷ 5, -8, 5

049, 9, 3, 11

│47^쪽│

01 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×

02⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯

03⑴ x=0 또는 x=3 ⑵ x=-2 또는 x=5

03⑶ x=-4 또는 x=-7 ⑷ x=1 또는 x=-;2#;

04⑴ x=0 또는 x=4 ⑵ x=-3 또는 x=3

03⑶ x=-5 또는 x=2 ⑷ x=-;2!; 또는 x=3

05⑴ x=-5 (중근) ⑵ x=;6&; (중근) ⑶ x=1 (중근)

03⑷ x=-;3@; (중근) ⑸ x=-5 (중근) ⑹ x=;2!; (중근)

06⑴ x=—4 ⑵ x=—

03⑶ x=6—'7 ⑷ x=-2—'3

07⑴ (x-1)¤ =6 ⑵ (x+3)¤ =5

03⑶ {x+;2!;}¤

=;;¡4£;; ⑷ (x-2)¤ =;2&;

08⑴ x=-4—'∂17 ⑵ x=

03⑶ x=-5—2'5 ⑷ x=-2—'1å0 3 5—'1å3

2 '6

5

│48~51쪽│

대표 유형01③, ④ 01- ⑤ 01- a+2 대표 유형02③ 02- ② 02- ④

대표 유형03⑤ 03- ④ 03- ③ 03- -2 대표 유형04⑤ 04- 현수 : x=4 또는 x=-2

04- 은희 : x=;2!; 또는 x=-;3@;

대표 유형05^② 05- ① 05- -3

05- x=205- ⑤

대표 유형06^⑤ 06- ② 06- 13 06- ① 대표 유형07^① 07- ③ 07- _2'2 07- 1 대표 유형08¹² 08- p=1, q=;4&; 08- 2

01¹⁸ 02^-2 03;1¡8;

│실수하기쉬운 문제│

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수 학 01-

① 이차방정식이다.

② x¤ -6x+9=1, 즉 x¤ -6x+8=0이므로 이차방정 식이다.

③ ;6!;x¤ -1=0이므로 이차방정식이다.

④ 3x¤ -2x+10=0이므로 이차방정식이다.

⑤ 4x¤ -1=4x¤ +4x-3, 즉 -4x+2=0이므로 일차 방정식이다.

01 -

x(ax+3)=2x¤ -7에서 ax¤ +3x=2x¤ -7 (a-2)x¤ +3x+7=0

이 식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 a-2+0이어야 한다.

∴ a+2

대표 유형02 ① 1¤ -5_1-4+0

② 2¤ -3_2+0

③ (-1)¤ -(-1)-2=0

④ (-2)¤ +2_(-2)+3+0

⑤ 2_(-3)¤ +3_(-3)+5+0

따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은

③이다.

02-

① 2¤ +2_2+0 ② 2¤ +5_2-14=0

③ 2¤ -2+2+0 ④ (2-1)¤ +3

⑤ 2_2¤ +2-6+0

따라서 x=2를 해로 갖는 것은 ②이다.

02-

x=-2일 때, (-2)¤ +3_(-2)-4+0 x=-1일 때, (-1)¤ +3_(-1)-4+0 x=1일 때, 1¤ +3_1-4=0

x=2일 때, 2¤ +3_2-4+0

따라서 주어진 이차방정식의 해는 x=1이다.

대표 유형03 x=2를 (a-2)x¤ -ax+2=0에 대입하면 4(a-2)-2a+2=0, 4a-8-2a+2=0 2a=6 ∴ a=3

03-

x=-1을 x¤ -x+a=0에 대입하면 1+1+a=0 ∴ a=-2

x=-1을 -x¤ +bx=-4에 대입하면 -1-b=-4 ∴ b=3

∴ a+b=-2+3=1

03-

x=a를 x¤ -6x+1=0에 대입하면 a¤ -6a+1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-6+;a!;=0 ∴ a+;a!;=6

03-

x=a를 2x¤ +x-1=0에 대입하면 2a¤ +a-1=0 ∴ 2a¤ +a=1 x=b를 x¤ -4x-3=0에 대입하면 b¤ -4b-3=0 ∴ b¤ -4b=3

∴ 2a¤ +a-b¤ +4b=2a¤ +a-(b¤ -4b)

=1-3=-2

대표 유형04 ⑤ 2x+1=0 또는 ;3!;x-1=0

∴ x=-;2!; 또는 x=3

04-

현수：x-4=0 또는 x+2=0 현수：∴ x=4 또는 x=-2 은희：2x-1=0 또는 3x+2=0 현수：∴ x=;2!; 또는 x=-;3@;

대표 유형05 (x+1)(x-2)=-3x+13에서 x¤ -x-2=-3x+13, x¤ +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0

∴ x=-5 또는 x=3

05-

2x¤ -3x-2=0에서 (2x+1)(x-2)=0

∴ x=-;2!; 또는 x=2

이때 a<b이므로 a=-;2!;, b=2

∴ 2a-b=2_{-;2!;}-2=-3

05-

x¤ -x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0

∴ x=-3 또는 x=4

3x¤ +4x-15=0에서 (x+3)(3x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=;3%;

따라서 두 이차방정식을 동시에 만족하는 x의 값은 -3 이다.

05-

x=5를 x¤ -(a-3)x+a=0에 대입하면 25-5(a-3)+a=0, -4a+40=0

∴ a=10

즉, 주어진 이차방정식은 x¤ -7x+10=0이므로 (x-2)(x-5)=0

∴ x=2 또는 x=5

따라서 다른 한 근은 x=2이다.

05-

x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

이때 두 근 중 큰 근은 3이므로 x=3을 x¤ -9x+a=0 에 대입하면

9-27+a=0 ∴ a=18

대표 유형06 ① x¤ -4=0에서 (x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2

② x¤ -4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3

③ x¤ +6x+8=0에서 (x+2)(x+4)=0

∴ x=-2 또는 x=-4

④ 2x¤ -4x-6=0에서 2(x¤ -2x-3)=0 2(x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

⑤ 9x¤ -6x+1=0에서 (3x-1)¤ =0

∴ x=;3!; (중근)

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