2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가
수학영역 나형 수학영역 나형
수학영역 나형 정답 및 풀이 정답 및 풀이 정답 및 풀이
01. ③ 02. ① 03. ③ 04. ⑤ 05. ④ 06. ④ 07. ② 08. ② 09. ⑤ 10. ⑤ 11. ① 12. ② 13. ④ 14. ③ 15. ② 16. ④ 17. ⑤ 18. ③ 19. ① 20. ③ 21. ② 22. 23. 24. 25.
26. 27. 28. 29. 30.
1. 출제의도 : 지수법칙을 이용하여 지수 를 포함한 식의 값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
×
정답 ③
2. 출제의도 : 집합의 연산을 할 수 있는 가?
정답풀이 :
∩ ∩
따라서 집합 ∩의 모든 원소의 합은
정답 ①
3. 출제의도 : 역함수의 성질을 이용하여 함수의 값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
이므로
정답 ③
4. 출제의도 : 극한을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
lim
→∞
×
lim
→∞
×
정답 ⑤
５. 출제의도 : 함수의 극한값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
→일 때, →이므로
lim
→
또, → 일 때, → 이므로
lim
→
따라서
lim
→
lim
→
정답 ④
6. 출제의도 : 원순열의 수를 구할 수 있 는가?
정답풀이 :
정답 ④
７. 출제의도 : 주어진 구간에서 유리함 수의 최댓값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
함수
의 점근선의 방정식은
이므로 닫힌 구간 에서 이 함수의 그래프는 다음 그림과 같다.
닫힌 구간 에서 함수
은 일 때 최댓값을 갖는다.
따라서 구하는 최댓값은
정답 ②
8. 출제의도 : 정적분으로 표현된 함수를 미분할 수 있는가?
정답풀이 :
′ 이므로
′ ×
정답 ②
９. 출제의도 : 명제의 참, 거짓을 판별 할 수 있는가?
정답풀이 :
두 조건 의 진리집합을 각각 라 하면
≠ ≠ 는 실수,
≤ ≤
① ⊂이므로 명제 → 는 거짓이 다.
② 두 조건 ∼, ∼의 진리집합은 각각
이다. 이때,
또는 ,
또는
이므로 ⊂이다.
따라서 명제 ∼ → ∼는 거짓이다.
③ ≤ ≤ ,
또는
이므로 ⊂ 이다.
따라서 명제 → ∼는 거짓이다.
④ ≤ ≤ ,
≠ ≠ 는 실수
이므로 ⊂ 이다.
따라서 명제 → 는 거짓이다.
⑤ 또는 ,
≤ ≤
이므로 ⊂ 이다.
따라서 명제 ∼ → 는 참이다.
정답 ⑤
10. 출제의도 : 조건부확률을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
임의로 선택한 한 개의 공이 검은색일 사건을 , 공에 적혀 있는 수가 짝수일 사건을 라 하면
P
, P ∩
이므로
P P P ∩
정답 ⑤
11. 출제의도 :
의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가?정답풀이 :
이므로
이때,
이므로
따라서
정답 ①
12. 출제의도 : 함수의 극한의 성질을
이용하여 다항함수를 구할 수 있는가?
정답풀이 :
조건 (가)에 의하여 다항함수 는
(는 상수) 로 놓을 수 있다.
조건 (나)에 의하여 →일 때
(분모)→이므로 (분자)→이어야 하므로
lim
→
이때,
lim
→
lim
→
이므로
따라서
× ×
정답 ②
13. 출제의도 : 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
log log 이므로
log log
log
log
log
log
log log
log
정답 ④
14. 출제의도 : 정규분포를 따르는 확률 변수에서 확률을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
확률변수 는 정규분포 N 을 따 르므로
P ≤≤ P ≤
P
≤≤
P
≤
P
≤≤
P
≤
P
≤≤
P
≥
…… ㉠ 한편
P
≤≤
P
≥
……㉡㉠,㉡에서 P
≤≤
이므로
따라서
정답 ③
15. 출제의도 : 확률을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
A A A B B C의 문자가 하나씩 적 혀 있는 6장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는
×
양 끝 모두에는 A가 적힌 카드가 나와 야 하므로 A B B C가 적혀 있는 4장 의 카드를 A A가 적혀 있는 2장의 카 드 사이에 나열해야 한다. 이때 카드를 나열하는 경우의 수는
따라서 구하는 확률은
정답 ②
16. 출제의도 : 중복조합을 이용하여 주 어진 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수 를 구할 수 있는가?
정답풀이 :
조건 (가)를 만족시키는 순서쌍 의 개수는
H C
C
×
이때, 인 순서쌍 의 개 수는 (10, 0, 0)의 이고,
인 순서쌍 의 개수는
H C
C
C
즉, 이므로 구하고자 하는 순서쌍
의 개수는
정답 ④
17. 출제의도 : 함수의 연속의 성질을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
일 때,
일 때,
한편, 함수 가 에서 연속이므 로
lim
→
lim
→
이다. 이때,
→
lim
lim
→
lim
→
lim
→
이므로
lim
→
lim
→
에서
따라서
정답 ⑤
18. 출제의도 : 무한히 반복되는 도형에 서 규칙을 찾아 넓이의 극한값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
반지름의 길이가 2인 원에 내접하는 정삼각형의 높이
AD
이므로 정삼각형 ABC의 한 변의 길 이를 라 하면
즉, 따라서
× ×
×
×
또한, 삼각형 ABD에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 하면
× ×
따라서 닮음비가
이므로
lim
→∞
정답 ③
19. 출제의도 : 귀납적으로 정의된 수열 에서 특정한 항을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
이고
모든 자연수 에 대하여
이므로
⋮ 이므로 수열
은
≥
이다.
한편
이므로
이때, 이므로
따라서
정답 ①
20. 출제의도 : 삼차함수의 그래프와 직 선의 위치관계를 이해하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가?
정답풀이 :
ㄱ. 곡선 과 직선 는 한 점에서 만나므로 이다.
따라서, 함수 는 상수함수이다. (참) ㄴ. 삼차함수 의 그래프와 직선
의 교점의 개수가 2개인 경우
는 다음 그림과 같은 경우이다.
따라서 삼차함수 의 그래프와 직 선 가 세 점에서 만나도록 하
는 실수 가 존재한다. (참) ㄷ. ( 는 상수)라 하자.
함수 가 상수함수이면 방정식
의 실근이 1개가 존재해야 한다.
즉, 방정식 에 서 함수 의 그 래프와 직선 가 단 한 점에서 만나 야 한다.
즉, 함수 가 극 값이 존재하지 않아야 하므로
′
에서 방정식 의 판 별식을 이라 하면
≤ 이다.
한편, ′ 에서
방정식 ′ 의 판별식을 라 하면
그런데, , , 이면
× × × ≤ 을 만족시키지만
× × 이므로 함수 는 극값을 갖는다.
(거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.
정답 ③
21. 출제의도 : 합성함수와 역함수의 성 질을 이용하여 역함수가 존재하기 위한
조건을 구할 수 있는가?
정답풀이 : (i) 일 때,
≤ 이면
∘
이므로 합성함수 ∘는 일대일대응이 아니므로 합성함수 ∘의 역함수는 존 재하지 않는다.
(ii) 일 때,
∘ 를 만족시키는 의 값이 존 재하지 않으므로 합성함수 ∘는 실 수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖 지 않는다.
(iii) 일 때,
일 때,
≤ 일 때, ≤
≥ 일 때, ≥
이때, 이면 합성함수 ∘는 실 수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖 지 않는다.
따라서 ≤ 일 때, 합성함수
∘는 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖는지 알아보자.
lim
→
이므로
일 때
에서
≥ 일 때,
에서
따라서 합성함수 ∘가 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 가지려면
lim
→
이어야 한다.
lim
→
에서
⋯⋯ ㉠
에서
, ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
정답 ②
22. 출제의도 : 순열의 수를 구할 수 있 는가?
정답풀이 :
P × ×
정답
23. 출제의도 : 다항함수의 미분법을 이 용하여 미분계수를 구할 수 있는가?
정답풀이 :
에서
′ 따라서
′ ×
정답
24. 출제의도 : 무리함수의 그래프를 평 행이동할 수 있는가?
정답풀이 :
의 그래프가 점 (1, 5)를 지 나므로
따라서
정답
25. 출제의도 : 등차수열의 일반항을 이 용하여 특정한 항의 값을 구할 수 있는 가?
정답풀이 :
등차수열
의 첫째항과 공차가 같으 므로 첫째항과 공차를 모두 라 하자.등차수열
의 일반항 은
이다.
이때, 에서
따라서 이므로
×
정답
26. 출제의도 : 곡선과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가?
정답풀이 :
이므로 구하고자 하는 넓이 는
정답
27. 출제의도 : 표본평균에 대한 확률을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
E , V
이므로 확률변수 는 정규분포 N
을 따르고,
로 놓으면 확률변
수 는 표준정규분포 N 을 따른 다.
이때,
P
≤ ≤
P
≤≤
P
≤≤
P
≤≤
이므로
P
≤ ≤
≥ 에서P
≤≤
≥ 즉, P
≤≤
≥ 한편
P ≤≤
이므로
≥ , 즉 ≥ 이어야 한다.
따라서 구하는 의 최솟값은 이다.
정답
28. 출제의도 : 이산확률변수에서 기댓값 을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
E
P E
P
P
P
×
×
×
따라서
이므로
×
정답
29. 출제의도 : 다항함수의 극대, 극소의 성질을 이용하여 함수를 구한 후, 미분 계수의 값을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
에서 삼차함수 의 최고차항의 계수가 이 고, 함수 의 최고차항의 계수가
이므로 삼차함수 의 최고차항의 계 수는
이다.
(i) 다항식 가 서로 다른 세 개의 일 차식을 인수로 가질 때,
이므로 함수
의 그래프의 개형은 다음과 같다.
이때, 함수 은
에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
(ii) 다항식 가 을 인수로 가 질 때,
또는
이다.
함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
이때, 함수 는
에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 의 그래 프의 개형은 다음과 같다.
′
′ 에서
또는
함수 는 에서 극댓값을 갖고,
에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 은
에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
(iii) 다항식 가 을 인수로 가질 때,
또는
이다.
함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
함수 은 에서 극솟값을 가지므로 주어진 조건을 만족 시키지 않는다.
한편, 함수 의 그 래프의 개형은 다음과 같다.
함수 은 에서 극댓값을 가지므로 주어진 조건을 만족 시킨다.
(iv) 다항식 가 을 인수로 가 질 때,
또는
이다.
함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다.
′
′ 에서
또는
함수 는
에서 극댓값을 갖고,
에서 극솟값을 갖는다.
따라서 함수 은
에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
또, 함수 의 그래프 의 개형은 다음과 같다.
이때, 함수 은
에서 극값을 갖지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
(i)~(iv)에서
이므로
이다.
이때,
′
이므로
′
× ×
따라서 이므로
정답
30. 출제의도 : 두 함수의 그래프로 둘 러싸인 부분의 넓이가 최소가 될 조건을 구할 수 있는가?
정답풀이 :
≤
≤
≤ 이므로 ≤ ≤ 에서
≤ ≤
≤
≤
따라서 모든 실수 에 대하여
≤ ≤ 이고
의 값이 최소가 되기 위해서는 두 함수 , 의 그래프가 그림과 같아야 한다.
O
P Q
R
따라서 R 단 이라 하면
Q 이고
사다리꼴 OPQR의 넓이 가 최대가 되어야 하므로
× ×
′
따라서 는
에서 극대이면서 최댓값을 가지고 그때
의 값은 최솟값을 가지므로
×
,
,
따라서
×
정답 200
■ 9월 모평 이후 스타강사의 30일 마무리 전략!
■ 9월 모의평가 이후 내가 필요한 강좌만 골라 듣는다！
■ 고퀄의 문항으로 마지막 실전 능력을 폭발시켜라!
