범위 부등식 직선의 방정식 : -
1.
1)자연수 에 대하여
이 무리수일 때,
(는 자연수, 라 하자) . 을 만족시키는의 값은?
① ② ③
④ ⑤
2.
2)두 양수 , 에 대하여 를만족시키는 정수 의 개수를 라 할 때, [보기 에서 옳은] 것만을 있는 대로 고른 것은? ( , 은 자연수)단
가. 나.
다.
보 기
[ ]
① 가 ② 가 나, ③ 가 다,
④ 나 다, ⑤ 가 나 다, ,
3.
3)의 계수가 인 이차함수 의 그래프와 의 계수가 인 이차함수 의 그래프가 , 에서 만난다 모든 실수. 에 대하여 ≥ 를 만족하는 자연수 의 최솟값은?
① ② ③
④ ⑤
4.
4 )부등식 의 해가 일 때 부등식, 의 해는? ( , , 는 상수)단
①
②
③
또는
④
⑤
또는
5.
5 )다음 조건을 만족하는 이차함수 에 대하여 의 최댓값을 최솟값을, 이라 할 때, 의 값은?가 부등식
( ) ≤ 의 해가
≤ ≤
이다.
나 모든 실수
( ) 에 대하여 부등식 ≥ 이 성립한다.
보 기
[ ]
①
②
③
④
⑤
6.
6)수직선 위의 서로 다른 두 점 A, B 에 대하여 선분 AB를 으로 외분하는 점을 P 라 하자.수직선 위의 점 Q 에 대하여 선분 PQ의 중점이 점 B가 된다고 할 때, <보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은> ?
단
( , )
ㄱ , 이면 A Q이다.. .
ㄴ 이면 이고, Q는 선분 AB를
으로 내분하는 점이다.
ㄷ 이면 이고, Q는 선분 AB를.
으로 외분하는 점이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄴ,
④ㄱ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
7.
7)그림과 같이 일직선으로 뻗은 해안선의 지점에 부두가 있고 부두로부터, km 떨어진 지점에 창고가 있다 배는. 부두를 출발하여 해안선에 대하여 를 이루면서 분에km의 속력으로 움직이고 자동차는 창고를 출발하여,
해안선을 따라 부두 쪽으로 분에 km의 속력으로 움직일 때, 배와 자동차 사이의 최단 거리는? (단 배와 자동차는,
직선으로 움직이고 배와 자동차의 크기는 무시한다.)
①
②
③
④
⑤
8.
8 )좌표평면 위의 네 점 A , A , A , A 에 대하여 제 사분면 위의 네 점 P, P, P, P는 다음 조건을 만족시킨다.
네 점 P, P, P, P는 각각
AP, AP, AP, AP의 중점이다.
점 P의 좌표를
이라고 할 때, 의 값은?①
②
③
④
⑤
9.
9 )다음 그림과 같은 직사각형 ABCD 와 그 내부의 임의의 점 P , BC 의 중점 M 에 대하여CM PA PC PD PM이 성립한다고 할 때, 상수 , , , 에 대하여 의 값은?
① ② ③
④ ⑤
10.
1 0)그림과 같이 세 점 A, B , C와 직선 에 대하여 직선 과 선분 AB 선분, AC가 만나는 점을 각각 P , Q라 하고 세 점, A, B, C로부터 직선 까지의 거리는 모두 같다.직선 과 수직이고 점 Q를 지나는 직선과 삼각형 ABC의 무게중심 G 사이의 거리를 라 할 때,
×의 값은?① ② ③
④ ⑤
11.
1 1)다음 그림과 같이 두 점 A, B는 원점 O에서 동시에 출발하여 각각 축, 축의 양의 방향으로 움직이고 이와, 동시에 점 C는 점 에서 출발하여 직선 을 따라 오른쪽 위로 움직인다 세 점. A, B, C의 속력이 각각 초속 ,,
라고 할 때 점, C와 두 점 A B를 지나는 직선 사이의 거리가
인 순간 삼각형 ABC의 넓이는?
①
②
③
④
⑤
12.
12)다음 그림과 같이 점 O, A, B, C, D, E를 꼭짓점으로 하는 육각형 모양의 땅이 있다 점. C , P , Q 에 대하여, [그림 에서] CP 와 PQ 를 경계선으로 하여 왼쪽은 대성이의 땅이며 오른쪽은 호돌이의 땅이다 대성이와, . 호돌이는 땅의 경계선을 그림[ 와 같이 직선모양으로] 변경하려 하는데 경계선을 기준으로 둘이 가진 땅의 넓이는, 기존과 변화가 없어야 한다 새로운 경계선이 점. R 을 지날 때 이 경계선이 지나는 축 위의 점 S의 좌표를 구하면? ( , 단 CD 와 AO 는 평행하다.)그림 [ 1]
⇓
변경그림 [ 2]
①
② ③
④ ⑤
13.
1 3)그림과 같이 세 점 A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다 선분. AC 위를 움직이는 점 P를 지나고 직선 BC와 평행한 직선이 선분 AB와 만나는 점을 Q 점, Q를 지나고 직선 AC와 평행한 직선이 선분 BC와 만나는 점을 R 점, R를 지나고 직선 AB와 평행한 직선이 선분 AC와 만나는 점을 S라 하자 사각형. PQRS의 넓이가 최대가 되는 점 P 의 좌표는? ( , 단 AP PC)①
②
③
④
⑤
14.
1 4)좌표평면 위의 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD에서 선분 AD를 으로 내분하는 점을 지나는 직선 이 사각형 ABCD의 넓이를 이등분한다 직선. 이 선분 BC와 만나는 점의 좌표가
일 때, 의 값은? ( , 는 실수이다.)단
① ② ③
④ ⑤
15.
15)그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 O , A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 OABC에 대하여 점 를 지나고 축과 만나는 세 직선 , , 이 정사각형 OABC의 넓이를 등분한다 직선. 의 절편을 라 하고 ≤ ≤ 일 때 두 직선, 과 의 기울기의 곱의 최댓값과 최솟값의 합은?①
②
③
④
⑤
주관식
16.
16)에 대한 연립부등식
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수가 이 되도록 하는 모든 실수 에 대하여 부등식, 이 성립하도록 하는 정수의 개수를 구하시오. ( , ≤ ≤ 단
)17.
1 7)그림과 같이 좌표평면에서 두 점 A , B 과 제 사분면 위의 점 C 가 AC BC를 만족시킨다 두. 선분 AC, BC를 으로 내분하는 점을 각각 P, Q라 할 때, 삼각형 CPQ의 무게중심을 G라 하자 선분. CG의 길이가
일 때, 의 값을 구하시오.18.
1 8)직선 위의 점 A 직선, 위의 점 B 두 직선의 교점, P 에 대하여 선분 PA와 선분 PB를 으로 외분하는 점을 각각 C, D라 한다 직선. BC와 직선 AD의 교점 Q에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오. ( , , )단
19.
19)두 점 A , B 과 y축 위의 점 P 에 대하여
AP BP
의 값이 최대가 되도록 하는 점 P 라고 할 때, 이때 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.빠른정답
1) ③ 2) ② 3) ③ 4) ⑤ 5) ④ 6) ⑤ 7) ④ 8) ④ 9) ③ 10) ① 11) ④ 12) ④ 13) ④ 14) ① 15) ② 16) 17) 18) 19)
정답 및 풀이
1) ③
이므로
이다.
이므로 위 식에 대입하면
여기서
은 무리수이고 , 는 자연수이므로 , 이다.
이므로 ,
, 에서
또는 이다.
그런데 는 자연수이므로 이다.
∴
2) ②
라고 하자.
i 일 때
ii ≤ 일 때
iii ≥ 일 때
이므로 의 그래프는 다음과 같다.
가. , 이므로 이다.
일 때 에서
,
에서
이다.
따라서 부등식 을 만족하는 의 범위는
이므로 정수 의 개수는
개다.
∴
나. , 일 때 이다.
일 때 에서 ,
에서 이다.
따라서 부등식 를 만족하는
의 범위는 이므로 정수 의 개수는 개다.
∴
다. , 일 때
이다.
위 그림에서 부등식 를 만족하는 의 범위는 이므로 정수 의 개수는 이다.
∴ ≠
따라서 옳은 것은 가 나이다, .
3) ③
방정식 의 해가 , 이므로 이다.
, 이라 하면
에서
, 이다.
, 이고
함수 의 그래프가 두 점 , 를 지나므로 이다.
∴ ,
이므로
이고 이다.
즉, , 이다.
∴ ,
모든 실수 에 대하여 ≥ 는
≥ 이므로
≥ 이다.
따라서 ≥ 이므로
≥
또는 ≤
이다.이를 만족하는 자연수 의 최솟값은 이다.
4) ⑤
의 해가 이므로
이고, 의 두 근이 이다.
,
,
∴
,
이고 두 근이
,
이므로
또는
이다.
5) ④
≤ 의 해가
≤ ≤
이므로
이라 하자.
로 치환하면
≥ 에서 ≥
≥ 이 모든 실수 에 대하여 성립하려면
의 판별식 ≤ 이어야 한다.
≤
≤
≤
∴
≤ ≤
이므로
≤ ≤
∴ ×
6) ⑤
ㄱ , 이면 . AB BP 이므로 A Q이다.
.
ㄴ 일 때 네 점의 위치는 다음과 같다.
이므로 점 Q는 선분 AB를 으로 내분하는 점이다.
.
ㄷ 일 때 네 점의 위치는 다음과 같다.
따라서 이고, AQ BQ 이므로 점 Q는 선분 AB를 으로 외분하는 점이다.
따라서 모두 옳다.
7) ④
점 A가 원점 선분, AB가 축 위에 오도록 좌표평면 위에 놓으면 점 의 좌표는 B 이다.
분 후에 배의 위치를 P 자동차의 위치를, Q라고 하자.
OP 이므로 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H라고 하면
OH cos ×
,
PH sin ×
이다.따라서 점 P
이다.BQ 이므로 점 Q의 좌표는 Q 이다.
PQ
따라서 배와 자동차 사이의 거리의 최솟값은
이다.
8) ④ P P
P
P
에서
에서
∴
9) ③
PB PD PA PC에서
PB PA PC PD 파푸스 정리에 의해
PM CM PB PC
PM CM PA PC PD PC
CM PA PC PD PM
∴
10) ①
선분 AB와 선분 AC와 만나면서 점 B와 점 C에서의 거리가 같으려면 직선 l은 직선 BC와 평행해야한다.
또한 점 A에서의 거리도 같으려면 직선 은 선분 AB의 중점과 선분 AC의 중점을 지나야 한다.
직선 BC의 기울기는 이므로 직선 의 기울기도 이고
선분 AC의 중점 Q 을 지나므로 직선 의 식은 이다.
따라서 직선 과 수직이며 Q 를 지나는 직선은
, 이다.
따라서 삼각형의 무게중심 G
G 에서 직선 까지의 거리는
이다.∴
× 11) ④
초 후에 세 점 A, B의 좌표는 A , B 이다.
점 C가 초 동안 움직인 거리는
이고 직선 의 기울기가 이므로 점 C의 좌표는 C 이다.직선 AB의 방정식은
이다.
점 C 와 직선 사이의 거리는
이므로
이다.
에서 ±이므로
또는 이다.
이므로 이다.
A , B , C
AB
∴ ∆ABC
×
×
12) ④
변경 전의 삼각형 CPQ의 넓잉와 변경 후의 사각형 CRSQ의 넓이가 같다.
삼각형 CPQ에서 밑변을 CQ로 할 때
밑변의 길이는 CQ
이고 높이는 직선 CQ에서 점 P까지의 거리와 같다.직선 CQ의 방정식은
이고
점 P 에서 직선 까지의 거리는
이므로삼각형 CPQ의 넓이는
×
×
이다. 이라 하면
□CRSQ ∆CRQ ∆RSQ
× ×
× ×
∴
따라서 점 S의 좌표는 이다.
13) ④
직선 AC의 방정식은
이다.
점 P 의 좌표를 이라 하자.
AP PC이므로
∴
직선 AB의 방정식은
이다.
,
∴Q
OA와 QP 의 교점을 H라 하면
QP RC , BR
AH a
□PQRS ∆ABC ∆QBR ∆AQP ∆SRC
× ×
×
××
일 때 사다리꼴, PQRS의 넓이는 최대이다.
∴
14) ①
직선 이 AD , BC와 만나는 점을 각각 E F라 하자.
F , DE EA
AD
, BC
이므로 AD BC □ABCD의 넓이를 라 하면
∆CDE ∆EAB
, ∆CEB
∆CDE ∆EAB 이므로
∆CDE
×
CF FB 이라 하면
∆CEF
×
∆CDE ∆CEF
□ABCD이므로
∴
점 F 는 CB를 으로 내분하는 점이다.
⋅ ⋅
⋅ ⋅
∆MQR
□OABC
∴QR
OR OP 이므로 OR Q , R
직선 의 기울기는
이고
직선 의 기울기는
이다.
직선 과 의 기울기의 곱을 라 하면
×
≤ ≤ 에서
는 일 때 최대, 일 때 최소이다.
최댓값
최솟값
따라서 최댓값과 최솟값의 합은
이다.
16)
≤ 에서
≤ ≤ 또는 이다. ≤ ≤
이므로 부등식의 해는 ≤ 이다.
이를 만족하는 정수가 개이므로 ≤ 즉,
≤ 이다.
즉, ≤ ≤ 이고 정수의 개수는 개다.
ii
≤
≤
일 때
이다.대입하여 정리하면
이므로
만족하는 실수 는 존재하지 않는다.
iii
일 때 이므로
즉, 이므로
만족하는 실수 는 존재하지 않는다.
따라서 만족하는 정수 의 개수는 개다.
17)
AC BC 이므로
이므로 이다.
또한 점 P
이고 Q
이다.따라서 CPQ의 무게중심은
G
G
CG
이므로
이다.
여기에 를 대입하면
이므로
이거나 즉, 이거나 이다.
따라서 이거나 이다.
점 는 제 사분면 위의 점이므로
이다.
따라서 이다.
18)
두 직선 , 의 교점은 P
P 와 A 를 으로 외분하는 점 C 는
P 와 B 를 으로 외분하는 점 D 는
따라서 AB DC 이고 AB 와 DC가 평행하므로 QA QD QB QC 점B는 선분 QC 의 중점이다.
에서
이므로
∴
19)
∆APB에서
BP AB AP 이므로 BP AP AB
AP AB BP 이므로 AP BP AB 즉,
AP BP
AB 이다.세 점 P A B가 일직선 위에 있을 때
BP AP AB
∴
AP BP
≤ AB따라서 세 점 P A B가 일직선 위에 있을 때
AP BP
의 값이 최대이다.직선 AB의 방정식은
즉, 이다.
절편은 이므로 P
∴
