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09 여러 가지 부등식

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(1)

Ⅲ. 부등식

65

09

여러 가지 부등식 ⑴

㉣_3-㉤을 하면    -2c=-2    ∴ c=1 c=1을 ㉣에 대입하면    b=4

b=4, c=1을 ㉠에 대입하면    a=4

따라서 갑이 가진 카드 중 숫자 2가 적힌 카드는 모두 4장이다.

   ④

19

전략xÜ`항을 소거한 방정식의 해를 구한 후 조건을 만족시키는 값을 구한다.

풀이 두 방정식의 공통근을 a라 하면

    aÜ`+aaÛ`+ba+1=0  ……`㉠  

    aÜ`+baÛ`+aa+1=0  ……`㉡   

㉠-㉡을 하면    (a-b)aÛ`+(b-a)a=0     (a-b)(aÛ`-a)=0,    (a-b)a(a-1)=0     ∴ a=b 또는 a=0 또는 a=1

Ú   a=b일 때, 두 삼차방정식은 xÜ`+axÛ`+ax+1=0으로 일치하 므로 공통근은 3개이다.

Û   a=0일 때, ㉠, ㉡에서 1=0이므로 등식이 성립하지 않는다.

Ü a=1일 때, ㉠, ㉡에서    1+a+b+1=0       ∴ a+b=-2

이상에서    a+b=-2   ①

20

전략인수분해되는 식의 좌변을 인수분해한 후 x, y, z가 정수임을 이용한다.

풀이 xÛ`-3xy+2yÛ`+xz-yz=-1에서     (x-y)(x-2y)+z(x-y)=-1

    ∴ (x-y)(x-2y+z)=-1    y ❶

x, y, z가 정수이므로 x-y,   x-2y+z도 정수이고 그 값은  오른쪽과 같다.

Ú x-y=1, x-2y+z=-1, x+y+z=2일 때,        x=2, y=1, z=-1

Û x-y=-1, x-2y+z=1, x+y+z=2일 때,        x=- 23 , y=1

3 , z=7 3

  그런데 x, y, z는 정수이므로 조건을 만족시키지 않는다. y  Ú, Û에서    a=2, b=1, c=-1

    ∴ abc=-2  y 

   -2

x-y 1 -1

x-2y+z -1 1

채점기준 비율

❶ 이차방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형할 수 있다. 30%

❷ 연립방정식의 해를 구할 수 있다. 50%

❸ abc의 값을 구할 수 있다. 20%

본책

153 ~ 157

Ⅲ. 부등식

09 여러 가지 부등식

01

부등식

확 인 본책 156~157쪽

1

a<0<b이므로 a<b, a는 음수, b는 양수이다.

⑴ a<b의 양변에 b를 더하면    a+b<b+b        ∴ a+b<2b

⑵ a<0이므로 a<b의 양변에 a를 곱하면         aÛ`>ab

⑶ a<b의 양변에 3을 곱하면    3a<3b    위의 식의 양변에서 2를 빼면         3a-2<3b-2

⑷ a<b의 양변에 -1을 곱하면    -a>-b    위의 식의 양변에 3을 더하면

       -a+3>-b+3

   ⑴ <  ⑵ >  ⑶ <  ⑷ >

2

ax>a+1에서

Ú a>0일 때,    x> a+1a Û a<0일 때,    x< a+1a

Ü a=0일 때, 0´x>1이므로 해는 없다.   풀이 참조

3

⑴ |x+1|>6에서

    x+1<-6 또는 x+1>6    ∴ x<-7 또는 x>5

⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 4x-6=0에서    x= 32

Ú x< 32 일 때, 4x-6<0이므로

       -(4x-6)¾2x,    -6x¾-6    ∴ xÉææ1    그런데 x< 32 이므로    xÉ1

Û x¾ 32 일 때, 4x-6¾0이므로

       4x-6¾2x,    2x¾6    ∴ x¾3    그런데 x¾ 32 이므로    x¾3

Ú, Û에서 부등식의 해는    xÉ1 또는 x¾3

   ⑴ x<-7 또는 x>5  ⑵ xÉ1 또는 x¾3

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(2)

66

정답 및 풀이

본책 158~160쪽 유 제

1

① a>b에서    a-2>b-2

② a>b에서    2a>2b    ∴ 2a+1>2b+1

③ a>b에서    -a<-b    ∴ 3-a<3-b

④ a>b에서    - a3<-b

3     ∴ -a

3 +1<-b 3 +1

a=3, b=1, c=-1이면 a>b이지만 ac<bc이다.

 ③

2

. a=-1, b=2, c=1, d=5이면 a<b, c<d이지만 a+d>b+c이다.

ㄴ. a<b에서    a+c<b+c …… ㉠ ㄴ. c<d에서    b+c<b+d …… ㉡ ㄴ. ㉠, ㉡에서    a+c<b+c<b+d

ㄴ. 즉 a+c<b+d이므로    a-d<b-c

. a=-1, b=2, c=-3, d=-1이면 a<b, c<d이지만 ac>bd이다.

ㄹ. a<b에서    a-b<0 …… ㉠ ㄴ. c<d에서    c-d<0 …… ㉡ ㄴ. ㉠, ㉡에서    (a-b)(c-d)>0

ㄴ. ac-ad-bc+bd>0 ㄴ.     ∴ ac+bd>ad+bc

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.  ㄴ, ㄹ

3

(a+b)x+2a-b<0에서

(a+b)x<-2a+b …… ㉠

이 부등식의 해가 x>- 12 이므로

a+b<0 …… ㉡

㉠의 양변을 a+b로 나누면    x> -2a+ba+b 따라서 -2a+b

a+b =-1 2 이므로

4a-2b=a+b ∴ a=b …… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면     b+b<0 ∴ b<0

㉢을 부등식 bx-a+2b>0에 대입하면 bx-b+2b>0,    bx>-b

∴ x<-1 (∵ b<0)  x<-1

4

부등식 (a+1)(a-3)xÉa-2가 모든 실수 x에 대하여 성 립하려면

(a+1)(a-3)=0, a-2¾0

이어야 하므로    a=3  3

5

aÛ`x-a+2>4x에서    (aÛ`-4)x>a-2(a+2)(a-2)x>a-2

이 부등식의 해가 없으려면 (a+2)(a-2)=0, a-2¾0

이어야 하므로    a=2  2

6

⑴ |4-3x|<x+2에서    |3x-4|<x+2

절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 3x-4=0에서 x= 43

Ú x< 43 일 때,    -(3x-4)<x+2

    -4x<-2 ∴ x> 12 그런데 x< 43이므로    1

2 <x<4 3 Û x¾ 43 일 때,    3x-4<x+2 2x<6 ∴ x<3 그런데 x¾ 43이므로    4

3 Éx<3 Ú, Û에서 부등식의 해는 12 <x<3

⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 3x-1=0, 2x-5=0에서 x=1

3 , x=5 2

Ú x< 13 일 때,    -(3x-1)¾-(2x-5)-x¾4 ∴ xÉ-4

  그런데 x< 13이므로    xÉ-4 Û 13 Éx<5

2 일 때,    3x-1¾-(2x-5)5x¾6 ∴ x¾ 65

  그런데 1 3 Éx<5

2 이므로    6 5 Éx<5

2 Ü x¾ 52 일 때,    3x-1¾2x-5    ∴ x¾-4

  그런데 x¾ 52이므로    x¾5 2

이상에서 부등식의 해는 xÉ-4 또는 x¾6 5

 ⑴ 1

2 <x<3 ⑵ xÉ-4 또는 x¾6 5

절댓값 기호를 포함한 부등식을 풀 때에는 절댓값 기호 안의 식의 값이 0 이 되는 x의 값을 경계로 구간을 나누어 구한 해가 그 범위에 속하는지 반 드시 확인해야 한다.

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(3)

Ⅲ. 부등식

67

09

여러 가지 부등식 ⑴

본책

158 ~ 163

7

절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-3=0,

x+1=0에서 x=-1, x=3

Ú x<-1일 때, -3(x-3)+(x+1)<4   -2x<-6 ∴ x>3

  그런데 x<-1이므로 해는 없다.

Û -1Éx<3일 때, -3(x-3)-(x+1)<4   -4x<-4 ∴ x>1

  그런데 -1Éx<3이므로 1<x<3 Ü x¾3일 때, 3(x-3)-(x+1)<4   2x<14 ∴ x<7

  그런데 x¾3이므로 3Éx<7 이상에서 부등식의 해는 1<x<7

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4, 5, 6의 5개

이다.  5

8

|ax-3|<b에서 -b<ax-3<b ∴ 3-b<ax<3+b

Ú a>0일 때, 3-ba <x<3+b a   이 부등식의 해가 -2<x<4이므로   3-ba =-2, 3+b

a =4   3-b=-2a, 3+b=4a

  두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=9 Û a<0일 때, 3+ba <x<3-b

a   이 부등식의 해가 -2<x<4이므로   3+ba =-2, 3-b

a =4   3+b=-2a, 3-b=4a

  두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-9   그런데 이것은 a<0, b>0을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=3, b=9

∴ a+b=12  12

02

이차부등식

확 인 본책 161~162쪽

1

⑴ 이차부등식 xÛ`-5x+6>0의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+6 의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 x<2 또는 x>3

⑵ 이차부등식 xÛ`-5x+6É0의 해는 이차함수 y=xÛ`-5x+6의 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위와 x

축과 만나는 점의 x좌표를 합친 것이므로

2ÉxÉ3

 ⑴ x<2 또는 x>3 ⑵ 2ÉxÉ3

2

⑴ xÛ`+5x-6>0에서 (x+6)(x-1)>0

⑵ ∴ x<-6 또는 x>1

⑵ xÛ`-3x+2<0에서 (x-1)(x-2)<0

⑵ ∴ 1<x<2

⑶ xÛ`-4x+4>0에서 (x-2)Û`>0

⑵ 따라서 xÛ`-4x+4>0의 해는 x+2인 모든 실수이다.

⑷ xÛ`-2x+4<0에서 (x-1)Û`+3<0

⑵ 따라서 xÛ`-2x+4<0의 해는 없다.

 ⑴ x<-6 또는 x>1 ⑵ 1<x<2

⑶ x+2인 모든 실수 ⑷ 해는 없다.

본책 163~166쪽 유 제

1

⑴ 부등식 f(x)¾g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위와 만나는 점의 x좌표를 합친 것이므로

xÉ- 12 또는 x¾3

`f(x)g(x)>0이면

` f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0 Ú f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는   `f(x)>0일 때, x<0 또는 x>4 …… ㉠   g(x)>0일 때, -2<x<2 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<x<0

Û f(x)<0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는   `f(x)<0일 때, 0<x<4 …… ㉢   g(x)<0일 때, x<-2 또는 x>2 …… ㉣   ㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 2<x<4

Ú, Û에서 부등식의 해는 -2<x<0 또는 2<x<4

 ⑴ xÉ- 12 또는 x¾3

⑵ -2<x<0 또는 2<x<4

2

axÛ`+(b-m)x+c-n>0에서 axÛ`+bx+c>mx+n

따라서 이 부등식의 해는 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 직 선 y=mx+n보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 x<-2 또는 x>3  x<-2 또는 x>3

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(4)

68

정답 및 풀이

3

⑴ 3xÛ`+7x>-x+3에서 3xÛ`+8x-3>0

(x+3)(3x-1)>0 ∴ x<-3 또는 x>1 3

-xÛ`+10xÉ25에서 xÛ`-10x+25¾0

(x-5)Û`¾0

⑵ 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

81Éx(18-x)에서 xÛ`-18x+81É0

(x-9)Û`É0 ∴ x=9  ⑴ x<-3 또는 x>1

3 ⑵ 모든 실수 ⑶ x=9

4

(x+4)(x-2)É2(3x+2)에서

xÛ`+2x-8É6x+4

xÛ`-4x-12É0, (x+2)(x-6)É0-2ÉxÉ6

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -2, -1, 0, …, 6

의 9개이다.  9

5

. xÛ`-4x+5É0에서 (x-2)Û`+1É0 ㄴ. 따라서 부등식의 해는 없다.

. xÛ`-12x+36É0에서 (x-6)Û`É0 ㄴ. ∴ x=6

. 3-4x>-4xÛ`에서 4xÛ`-4x+3>0 ㄴ. 4{x- 12}Û`+2>0

ㄴ. 따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

. 25xÛ`<10x-1에서 25xÛ`-10x+1<0 ㄴ. (5x-1)Û`<0

ㄴ. 따라서 부등식의 해는 없다.

이상에서 해가 없는 부등식은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ

6

⑴ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은

ㄴ. x=0

ㄴ. Ú x<0일 때, 3xÛ`+2x<x ㄴ.   3xÛ`+x<0, x(3x+1)<0 ㄴ.   ∴ - 13 <x<0

ㄴ.   그런데 x<0이므로 - 13 <x<0 ㄴ. Û x¾0일 때, 3xÛ`-2x<x ㄴ.   3xÛ`-3x<0, 3x(x-1)<0 ㄴ.   ∴ 0<x<1

ㄴ.   그런데 x¾0이므로 0<x<1 ㄴ. Ú, Û에서 부등식의 해는

ㄴ. -1

3 <x<0 또는 0<x<1

⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x+1=0에서 ㄴ. x=-1

ㄴ. Ú x<-1일 때, xÛ`-3x-4¾-2(x+1) ㄴ.   xÛ`-x-2¾0, (x+1)(x-2)¾0 ㄴ.   ∴ xÉ-1 또는 x¾2

ㄴ.   그런데 x<-1이므로 x<-1 ㄴ. Û x¾-1일 때, xÛ`-3x-4¾2(x+1) ㄴ.   xÛ`-5x-6¾0, (x+1)(x-6)¾0 ㄴ.   ∴ xÉ-1 또는 x¾6

ㄴ.   그런데 x¾-1이므로 x=-1 또는 x¾6 ㄴ. Ú, Û에서 부등식의 해는

ㄴ. xÉ-1 또는 x¾6

 ⑴ -1

3 <x<0 또는 0<x<1

⑵ xÉ-1 또는 x¾6

7

2x(2x+1)¾|1-2x|-1에서 2x(2x+1)¾|2x-1|-1

절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 2x-1=0에서 x= 12

Ú x< 12 일 때, 2x(2x+1)¾-(2x-1)-1   4xÛ`+4x¾0, 4x(x+1)¾0   ∴ xÉ-1 또는 x¾0

  그런데 x< 12 이므로   xÉ-1 또는 0Éx< 12

Û x¾ 12 일 때, 2x(2x+1)¾(2x-1)-1   4xÛ`+2¾0

  따라서 부등식의 해는 모든 실수이다.

  그런데 x¾ 12 이므로 x¾1 2 Ú, Û에서 부등식의 해는 xÉ-1 또는 x¾0

따라서 a=-1, b=0이므로 a+b=-1  -1

8

배구공의 높이가 1.5`m 이상이어야 하므로 -5tÛ`+4t+2.5¾1.5, 5tÛ`-4t-1É0 (5t+1)(t-1)É0 ∴ -1

5 ÉtÉ1 그런데 t¾0이므로 0ÉtÉ1

따라서 배구공의 높이가 1.5 m 이상인 시간은 1초 동안이다.

 1초

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(5)

Ⅲ. 부등식

69

09

여러 가지 부등식 ⑴

본책

164 ~ 167

9

새로 만든 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각

(16-x)`cm, (12+x)`cm 이므로 넓이가 180`cmÛ` 이상이 되려면 (16-x)(12+x)¾180

-xÛ`+4x+192¾180, xÛ`-4x-12É0 (x+2)(x-6)É0 ∴ -2ÉxÉ6 그런데 x>0이므로 0<xÉ6

따라서 x의 최댓값은 6이다.  6

10

작년의 티셔츠 한 장의 가격을 a원, 판매량을 b장이라 하면 올해의 티셔츠 한 장의 가격과 판매량은 각각

a{1+ x100 }원, b{1-3x 500 }장 이므로 올해의 총 판매 금액은 a{1+ x100 }´b{1-3x

500 }원

이때 올해의 총 판매 금액이 작년의 총 판매 금액 이상이려면 a{1+ x100 }´b{1-3x

500 }¾ab {1+ x100 }{1-3x

500 }¾1 (∵ a>0, b>0) 양변에 50000을 곱하여 정리하면

3xÛ`-200xÉ0, x(3x-200)É0 ∴ 0ÉxÉ 2003

따라서 x의 최댓값은 2003 이다. 200 3

01

전략 실수 a, b, c, d에 대하여 a<x<b, c<y<d이면 a+c<x+y<b+d임을 이용한다.

풀이 1ÉxÉ4에서 2É2xÉ8 -2ÉyÉk에서 -kÉ-yÉ2 ∴ 2-kÉ2x-yÉ10 2x-y의 최솟값이 -1이 되려면

2-k=-1 ∴ k=3  ⑤

01

02

03

2

04

x>-5

05

06

07

-14

08

09

10

풀이 참조

11

12

5

13

814

14

2초

15

16

-1ÉxÉ 32

17

18

19

10

20

5`km

중단원 연습 문제

본책 167~169쪽

02

전략 A-B>0이면 A>B임을 이용한다.

풀이 ㄱ. a>b에서 a+c>b+c ㄴ. 이때 a+c>0, b+c>0이므로 ㄴ. 1

a+c < 1 b+c

. a>1, b>1에서 a-1>0, b-1>0이므로 ㄴ. ab+1-(a+b) =ab-a-b+1

=a(b-1)-(b-1)

=(a-1)(b-1)>0 ㄴ. ∴ ab+1>a+b

. a<b에서 b-a>0이므로 ㄴ. a+b

2 -a=b-a

2 >0 ∴ a<a+b

2 …… ㉠ ㄴ. b- a+b2 =b-a

2 >0 ∴ a+b

2 <b …… ㉡ ㄴ. ㉠, ㉡에서 a< a+b2 <b

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.  ⑤

03

전략 부등식 Ax<B의 해가 없으면 A=0, BÉ0임을 이용한다.

풀이 ax+b<-x+3에서 (a+1)x<3-b 이 부등식의 해가 없으므로

a+1=0, 3-bÉ0 ∴ a=-1, b¾3

따라서 a+b¾-1+3=2이므로 a+b의 최솟값은 2이다.  2

04

전략 부등식 ax>b의 해가 x>;aB;이면 a>0이고, x<;aB;이면 a<0 임을 이용한다.

풀이 (a-b)x-3a+2b<0에서

(a-b)x<3a-2b …… ㉠ 이 부등식의 해가 x>-1이므로

a-b<0 …… ㉡ y

㉠의 양변을 a-b로 나누면 x>3a-2b a-b 따라서 3a-2b

a-b =-1이므로 3a-2b=-a+b, 4a=3b

b= 43 a …… ㉢ y ❷

㉢을 ㉡에 대입하면 a- 43 a<0, -1

3 a<0 ∴ a>0 y ❸

㉢을 부등식 (b-a)x>a-2b에 대입하면 { 43a-a}x>a-2´4

3 a, 1

3 ax>-5 3 a

x>-5 (∵ a>0) y

 x>-5

개념쎈라이트(수1-09정답)066~072.indd 69 15. 9. 25. 오후 12:26

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(6)

70

정답 및 풀이

05

전략 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 x의 값 의 범위를 나눈다.

풀이 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 2x-5=0 에서 x= 52

Ú x< 52 일 때, -(2x-5)É-x+4   -xÉ-1 ∴ x¾1

  그런데 x< 52 이므로 1Éx<5 2 Û x¾ 52 일 때, 2x-5É-x+4   3xÉ9 ∴ xÉ3   그런데 x¾ 52이므로 5

2 ÉxÉ3 Ú, Û에서 부등식의 해는

1ÉxÉ3

따라서 a=1, b=3이므로

aÛ`+bÛ`=1Û`+3Û`=10  ③

06

전략 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 x의 값 의 범위를 나눈다.

풀이 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x+2=0, x-1=0에서 x=-2, x=1

Ú x<-2일 때, -(x+2)-2(x-1)<9   -3x<9 ∴ x>-3

  그런데 x<-2이므로 -3<x<-2 Û -2Éx<1일 때, (x+2)-2(x-1)<9   -x<5 ∴ x>-5

  그런데 -2Éx<1이므로 -2Éx<1 Ü x¾1일 때, (x+2)+2(x-1)<9   3x<9 ∴ x<3

  그런데 x¾1이므로 1Éx<3 이상에서 부등식의 해는

-3<x<3

따라서 모든 정수 x의 값의 합은

-2+(-1)+0+1+2=0  ③

07

전략 |x|>a (a>0)이면 x<-a 또는 x>a임을 이용한다.

풀이 |ax+1|>b에서 ax+1<-b 또는 ax+1>b ∴ ax<-b-1 또는 ax>b-1

채점기준 비율

❶ a-b의 부호를 구할 수 있다. 20%

❷ b를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 30%

❸ a의 부호를 구할 수 있다. 20%

❹ 부등식 (b-a)x>a-2b의 해를 구할 수 있다. 30%

Ú a>0일 때, x< -b-1a 또는 x> b-1a   이 부등식의 해가 x<-3 또는 x>4이므로   -b-1a =-3, b-1

a =4   -b-1=-3a, b-1=4a

  두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-7   그런데 이것은 a>0, b>0을 만족시키지 않는다.

Û a<0일 때, x< b-1a 또는 x>-b-1 a   이 부등식의 해가 x<-3 또는 x>4이므로   b-1a =-3, -b-1

a =4   b-1=-3a, -b-1=4a

  두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=7 Ú, Û에서 a=-2, b=7

∴ ab=-14  -14

08

전략 부등식 f(x)>g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.

풀이 부등식 0<g(x)<f(x)의 해는 y=g(x)의 그래프가 x축 보다 위에 있고 y=f(x)의 그래프보다 아래쪽에 있는 부분의 x 의 값의 범위이므로

2<x<5

따라서 a=2, b=5이므로 ab=10  ⑤

09

전략 이차식이 인수분해되지 않는 부등식은 완전제곱식의 꼴로 변 형한다.

풀이 ① xÛ`-3x+2¾0에서 (x-1)(x-2)¾0

① ∴ xÉ1 또는 x¾2

② xÛ`-6x+9>0에서 (x-3)Û`>0

① 따라서 부등식의 해는 x+3인 모든 실수이다.

xÛ`-x-1=0의 해가 x=1Ñ156

2 이므로 xÛ`-x-1<0에서

¦x-1-156

2 ¥¦x-1+156 2 ¥<0

① ∴ 1-156

2 <x<1+156 2

2xÛ`-4x+3É0에서 2(x-1)Û`+1É0

① 따라서 부등식의 해는 없다.

2xÛ`-5x+2<0에서 (2x-1)(x-2)<0

① ∴ 1

2 <x<2  ④

10

전략 주어진 부등식의 좌변을 인수분해한 후 a>0, a<0인 경우로 나누어 생각한다.

풀이 axÛ`-7aÛ`x+10aÜ`¾0에서 a(xÛ`-7ax+10aÛ`)¾0a(x-2a)(x-5a)¾0 y

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(7)

Ⅲ. 부등식

71

09

여러 가지 부등식 ⑴

본책

167 ~ 169

Ú a>0일 때, (x-2a)(x-5a)¾0   이때 2a<5a이므로

  xÉ2a 또는 x¾5a y ❷

Û a<0일 때, (x-2a)(x-5a)É0   이때 5a<2a이므로

  5aÉxÉ2a y ❸

Ú, Û에서 부등식의 해는

[ a>0일 때, xÉ2a 또는 x¾5a

a<0일 때, 5aÉxÉ2a y ❹

 풀이 참조

참고 a=0이면 주어진 부등식이 이차부등식이 아니므로 a+0이다.

11

전략 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 x의 값 의 범위를 나눈다.

풀이 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-1=0에서 x=1

Ú x<1일 때, xÛ`-2x-5<-(x-1)   xÛ`-x-6<0, (x+2)(x-3)<0   ∴ -2<x<3

  그런데 x<1이므로 -2<x<1 Û x¾1일 때, xÛ`-2x-5<x-1   xÛ`-3x-4<0, (x+1)(x-4)<0   ∴ -1<x<4

  그런데 x¾1이므로 1Éx<4 Ú, Û에서 부등식의 해는 -2<x<4

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3의 5

개이다.  ②

12

전략 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 x의 값 의 범위를 나눈다.

풀이 부등식 xÛ`-4|x|-5<0에서 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은

x=0

Ú x<0일 때, xÛ`+4x-5<0

  (x+5)(x-1)<0 ∴ -5<x<1   그런데 x<0이므로 -5<x<0 Û x¾0일 때, xÛ`-4x-5<0

  (x+1)(x-5)<0 ∴ -1<x<5   그런데 x¾0이므로 0Éx<5

채점기준 비율

❶ 주어진 부등식의 좌변을 인수분해할 수 있다. 20%

❷ a>0일 때, 부등식의 해를 구할 수 있다. 30%

❸ a<0일 때, 부등식의 해를 구할 수 있다. 30%

❹ 주어진 부등식의 해를 구할 수 있다. 20%

Ú, Û에서 부등식 xÛ`-4|x|-5<0의 해는

-5<x<5 …… ㉠ y ❶

|x-a|<b에서 -b<x-a<b

a-b<x<a+b …… ㉡ y ❷

㉠, ㉡이 같아야 하므로 a-b=-5, a+b=5

두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=5 y ❸

∴ 2a+b=5 y ❹

 5

13

전략 주어진 부등식의 좌변을 완전제곱식의 꼴로 변형해 본다.

풀이 xÛ`+9x+aÉ0에서

{x+ 92 }Û`- 814 +aÉ0 …… ㉠ {x+ 92 }Û`¾0이므로 ㉠의 해가 오직 하나 존재하려면 -81

4 +a=0 ∴ a=81

4 81

4

다른 풀이 주어진 부등식이 오직 하나의 해를 갖는 것은 이차방정 식 xÛ`+9x+a=0이 중근을 가질 때이므로 이 이차방정식의 판별 식을 D라 하면

D=9Û`-4a=0 ∴ a=81 4

참고 부등식 xÛ`+9x+814É0에서 {x+92}Û`É0 따라서 주어진 부등식의 해는 x=-92

14

전략 주어진 조건을 이용하여 이차부등식을 세운다.

풀이 물 로켓의 높이가 40`m 이상이어야 하므로 -5tÛ`+20t+25¾40, tÛ`-4t+3É0 (t-1)(t-3)É0 ∴ 1ÉtÉ3

따라서 높이가 40`m 이상인 시간은 2초 동안이다.  2초

15

전략 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=2x-1의 교점의 y좌 표를 이용하여 y=f(x)의 그래프의 개형을 그려 본다.

풀이 y=2x-1에서 y=1일 때, x=1 y=7일 때, x=4

이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=2x-1의 교점의 좌표는

(1, 1), (4, 7)

채점기준 비율

❶ 부등식 xÛ`-4|x|-5<0의 해를 구할 수 있다. 40%

❷ 부등식 |x-a|<b의 해를 구할 수 있다. 30%

❸ a, b의 값을 구할 수 있다. 20%

❹ 2a+b의 값을 구할 수 있다. 10%

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(8)

72

정답 및 풀이

따라서 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직

O 1 1 7

4 y=2x-1

y=f{x}

y

x 선 y=2x-1은 오른쪽 그림과 같다.

`f(x)-2x+1¾0에서 `f(x)¾2x-1

이므로 주어진 부등식의 해는 y=f(x)의 그래프가 직선 y=2x-1보다 위쪽에 있

는 부분의 x의 값의 범위와 만나는 점의 x좌표를 합친 것이다.

∴ 1ÉxÉ4

따라서 모든 정수 x의 값의 합은

1+2+3+4=10  ④

16

전략 `f(x)<2의 해를 이용하여 f(x)¾2의 해를 구한다.

풀이 이차부등식 f(x)<2의 해가 x<-2 또는 x>3이므로

`f(x)¾2의 해는 -2ÉxÉ3이다.

따라서 f(-2x+1)¾2의 해는

-2É-2x+1É3, -3É-2xÉ2-1ÉxÉ3

2 -1ÉxÉ3

2

17

전략 [x]를 한 문자로 생각하여 부등식의 해를 구한 후 정수 n에 대하여 [x]=n이면 nÉx<n+1임을 이용한다.

풀이 [x-1]=[x]-1이므로 [x-1]Û`+[x]-7<0에서 ([x]-1)Û`+[x]-7<0

[x]Û`-[x]-6<0, ([x]+2)([x]-3)<0-2<[x]<3

이때 [x]는 정수이므로 [x]=-1, 0, 1, 2 Ú [x]=-1일 때, -1Éx<0

Û [x]=0일 때, 0Éx<1 Ü [x]=1일 때, 1Éx<2 Ý [x]=2일 때, 2Éx<3 이상에서 부등식의 해는 -1Éx<3 따라서 a=-1, b=3이므로

a+b=2  ③

참고 [x-1]=m (m은 정수)이라 하면 mÉx-1<m+1, 즉 m+1Éx<m+2 이므로 [x]=m+1, m=[x]-1 ∴`[x-1]=[x]-1

18

전략 부등식 f(x)>0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.

풀이 조건 ㈏에서 이차부등식 f(x)>0의

O 2

y=f{x}

y

x 해가 x+2인 모든 실수이므로 이차함수

`f(x)에서 xÛ`의 계수는 양수이고 y=f(x) 의 그래프는 x축과 점 (2, 0)에서 접한다.

f(x)=a(x-2)Û` (a>0)으로 놓으면 조건 ㈎에서 `f(0)=4a=8 ∴ a=2

따라서 f(x)=2(x-2)Û`이므로

`f(5)=2´(5-2)Û`=18  ④

19

전략 |x-a|=0인 경우와 |x-a|>0인 경우로 나누어 생각한다.

풀이 모든 실수 x에 대하여 |x-a|¾0이므로 y Ú |x-a|=0, 즉 x=a일 때,

0É0이므로 주어진 부등식이 성립한다.

Û |x-a|>0, 즉 x+a일 때, (x-9)|x-a|É0의 양변을`|x-a|로 나누면   x-9É0 ∴ xÉ9

Ú, Û에서 부등식의 해는

x=a 또는 xÉ9 …… ㉠ y

이때 ㉠을 만족시키는 자연수 x의 개수가 10이려면 a는 9보다 큰 자연수이어야 하므로 a의 최솟값은 10이다. y

 10

20

전략 A의 위치를 원점으로 하는 수직선을 생각한다.

풀이 A의 위치를 원점으로 하는 수직선 위에 A, B, C를 놓으면

A(0), B(8), C(12) y

보관창고의 좌표를 x라 하면 보관창고가 A, B 사이에 있으므로

0<x<8 …… ㉠

이때 보관창고와 A, B, C 사이의 거리가 각각 x`km, (8-x)`km, (12-x)`km이므로 A, B, C의 하루 운송비는 각각

(x+1)Û` 만 원, (9-x)Û` 만 원, (13-x)Û` 만 원 이다.

세 공장의 하루 운송비의 합이 116만 원 이하이려면 (x+1)Û`+(9-x)Û`+(13-x)Û`É116 3xÛ`-42x+135É0, xÛ`-14x+45É0

(x-5)(x-9)É0 ∴ 5ÉxÉ9 …… ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 5Éx<8 y 따라서 보관창고는 공장 A에서 최소 5`km 떨어진 곳에 지어야

한다. y

 5`km

채점기준 비율

❶ 모든 실수 x에 대하여 |x-a|¾0임을 알 수 있다. 20%

❷ 부등식의 해를 구할 수 있다. 50%

❸ a의 최솟값을 구할 수 있다. 30%

채점기준 비율

❶ 수직선 위에 A, B, C의 좌표를 정할 수 있다. 20%

❷ 이차부등식을 세워 해를 구할 수 있다. 60%

❸ 답을 구할 수 있다. 20%

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(9)

Ⅲ. 부등식

73

10

여러 가지 부등식 ⑵

본책

169 ~ 174

Ⅲ. 부등식

10 여러 가지 부등식

01

이차부등식의 활용

확 인 본책 172 ~173쪽

1

⑴ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 xÛ`+kx+1>0이 성립 하려면 이차함수 y=xÛ`+kx+1의 그래프가 x축보다 항상 위 쪽에 있어야 한다.

따라서 이차방정식 xÛ`+kx+1=0의 판별식을 D라 하면 D=kÛ`-4´1´1<0

(k+2)(k-2)<0 ∴ -2<k<2

⑵ ‌‌모든 실수 x에 대하여 이차부등식 -xÛ`+kx-4<0이 성립하 려면 이차함수 y=-xÛ`+kx-4의 그래프가 x축보다 항상 아 래쪽에 있어야 한다.

따라서 이차방정식 -xÛ`+kx-4=0의 판별식을 D라 하면 D=kÛ`-4´(-1)´(-4)<0

(k+4)(k-4)<0 ∴ -4<k<4

 ⑴ -2<k<2 ⑵ -4<k<4

2

⑴ 해가 xÉ-3 또는 x¾7이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식

(x+3)(x-7)¾0 ∴ xÛ`-4x-21¾0

⑵ 해가 -6<x<5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+6)(x-5)<0 ∴ xÛ`+x-30<0

⑶ 해가 x<-2 또는 x>- 13이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등 식은

(x+2){x+ 13}>0 ∴ xÛ`+;3&;x+;3@;>0 따라서 이 부등식의 양변에 3을 곱하면

3xÛ`+7x+2>0

⑷ 해가 1 3 ÉxÉ3

2 이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 {x- 13}{x-3

2 }É0 ∴ xÛ`-;;Á6Á;;x+;2!;É0 따라서 이 부등식의 양변에 6을 곱하면

6xÛ`-11x+3É0  풀이 참조

본책 174 ~176쪽 유 제

1

Ú a-2=0, 즉 a=2일 때,

3<0이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다.

Û a-2+0, 즉 a+2일 때,

주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함수 y=(a-2)xÛ`+(a-2)x+2a-1의 그래프가 x축보다 항상 아래쪽에 있어야 한다.

따라서 이차함수의 그래프가 위로 볼록해야 하므로

a-2<0 ∴ a<2 …… ㉠   또 이차방정식 (a-2)xÛ`+(a-2)x+2a-1=0의 판별식을

D라 하면

D=(a-2)Û`-4(a-2)(2a-1)<0 (a-2){a-2-4(2a-1)}<0

(a-2)(-7a+2)<0, (a-2)(7a-2)>0 ∴ a<;7@; 또는 a>2 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 a<;7@;

Ú, Û에서 a<;7@;  a<;7@;

2

부등식 (m-1)xÛ`+2(m-1)x-5>0의 해가 존재하지 않 으려면

(m-1)xÛ`+2(m-1)x-5É0 …… ㉠   이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 한다.

Ú m-1=0, 즉 m=1일 때,

-5É0이므로 부등식 ㉠은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.

Û m-1+0, 즉 m+1일 때,

부등식 ㉠이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함수 y=(m-1)xÛ`+2(m-1)x-5의 그래프가 x축에 접하거나

x축보다 아래쪽에 있어야 한다.

따라서 이차함수의 그래프가 위로 볼록해야 하므로

m-1<0 ∴ m<1 …… ㉡   또 이차방정식 (m-1)xÛ`+2(m-1)x-5=0의 판별식을 D

라 하면 D

4 =(m-1)Û`-(m-1)´(-5)É0

(m-1)(m-1+5)É0, (m-1)(m+4)É0

∴ -4ÉmÉ1 …… ㉢  

㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 -4Ém<1 Ú, Û에서 -4ÉmÉ1

 -4ÉmÉ1

이차부등식의 해가 없을 조건

① 이차부등식 axÛ`+bx+c>0을 만족시키는 실수 x의 값이 없다.

 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`+bx+cÉ0이 성립한다.

② 이차부등식 axÛ`+bx+c¾0을 만족시키는 실수 x의 값이 없다.

 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`+bx+c<0이 성립한다.

알짜 PLUS

개념쎈라이트(수1-10정답)073~082.indd 73 15. 9. 25. 오후 12:56

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(10)

74

정답 및 풀이

3

이차함수 y=xÛ`-kx+3의 그래프가 직선 y=3x-k보다 항 상 위쪽에 있으므로

xÛ`-kx+3>3x-k ∴ xÛ`-(k+3)x+k+3>0

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함수 y=xÛ`-(k+3)x+k+3의 그래프가 x축보다 항상 위쪽에 있어 야 한다.

이차방정식 xÛ`-(k+3)x+k+3=0의 판별식을 D라 하면 D={-(k+3)}Û`-4(k+3)<0

(k+3)(k+3-4)<0, (k+3)(k-1)<0

∴ -3<k<1  -3<k<1

4

f(x)=xÛ`-4x-aÛ`+10이라 하면 f(x)=(x-2)Û`-aÛ`+6

-2ÉxÉ3에서 f(x)¾0이 항상 성립해 야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같아야 한다.

이때 f(x)의 최솟값이 f(2)이므로 f(2)¾0, -aÛ`+6¾0

aÛ`-6É0, (a+16 )(a-16 )É0

∴ -16ÉaÉ16  -16ÉaÉ16

5

xÛ`+6x<8-aÛ`에서 xÛ`+6x+aÛ`-8<0 f(x)=xÛ`+6x+aÛ`-8이라 하면

f(x)=(x+3)Û`+aÛ`-17

-4ÉxÉ1에서 f(x)<0이 항상 성립해 야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같아야 한다.

이때 f(x)의 최댓값이 f(1)이므로 f(1)<0, aÛ`-1<0 (a+1)(a-1)<0 ∴ -1<a<1

따라서 정수 a는 0의 1개이다.  1

함수 y=f(x)의 그래프가 함수 y=g(x)의 그래프보다

① 위쪽에 있으면  f(x)>g(x)

② 아래쪽에 있으면  f(x)<g(x) 알짜 PLUS

y=f{x}

-a@+6 y

O x -2 2 3

제한된 범위에서 항상 성립하는 부등식

aÉxÉb에서 부등식 f(x)>0이 항상 성립하면

 ( f(x)의 최솟값)>0

aÉxÉb에서 부등식 f(x)<0이 항상 성립하면  ( f(x)의 최댓값)<0

알짜 PLUS

y=f{x} y O x -4 1

6

-3<x<2에서 이차함수 y=xÛ`+2x+3의 그래프가 직선 y=m(x+6)보다 항상 아래쪽에 있으려면 -3<x<2에서 부등 식 xÛ`+2x+3<m(x+6), 즉 xÛ`+(2-m)x+3-6m<0이 항 상 성립해야 한다.

f(x)=xÛ`+(2-m)x+3-6m이라 하 면 -3<x<2에서 f(x)<0이 항상 성 립해야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같아야 한다.

f(-3)É0에서

-3m+6É0 ∴ m¾2 …… ㉠   f(2)É0에서

-8m+11É0 ∴ m¾;;Á8Á;; …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 m¾2  m¾2

다른 풀이 직선 y=m(x+6)은 m의 값에 관계없이 항상 점 (-6, 0)을 지 나므로 -3<x<2에서 함수 y=xÛ`+2x+3의 그래프가 직선 y=m(x+6)보다 항상 아래쪽에 있 으려면 오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉 직선 y=m(x+6)의 기울기가 두 점 (-6, 0), (-3, 6)을 지나는 직선의 기울기와 두 점 (-6, 0), (2, 11)을 지나는 직선 의 기울기보다 모두 크거나 같아야 하므로

6-0

-3-(-6)=2, m¾ 11-0

2-(-6)= 118 ∴ m¾2

7

해가 -3ÉxÉ2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+3)(x-2)É0 ∴ xÛ`+x-6É0

이 부등식이 xÛ`+ax+bÉ0과 같으므로

a=1, b=-6  a=1, b=-6

8

해가 x<-1 또는 x>5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-5)>0 ∴ xÛ`-4x-5>0 …… ㉠   부등식 axÛ`+bx+c<0과 ㉠의 부등호의 방향이 다르므로 a<0

㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-4ax-5a<0 이 부등식이 axÛ`+bx+c<0과 같으므로 b=-4a, c=-5a

이것을 부등식 bxÛ`+ax-c>0에 대입하면 -4axÛ`+ax+5a>0

양변을 -a로 나누면 4xÛ`-x-5>0`(∵ -a>0) (x+1)(4x-5)>0 ∴ x<-1 또는 x>;4%;

 x<-1 또는 x>;4%;

y=f{x} y O x

-3 2

y=x@+2x+3

y=m{x+6}

y

O 2 x 2 6

11

-1 -3 -6

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(11)

Ⅲ. 부등식

75

10

여러 가지 부등식 ⑵

본책

174 ~ 178

9

해가 -4<x<3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

(x+4)(x-3)<0 …… ㉠   이차식 f(x)에서 xÛ`의 계수를 a라 하면 부등식 f(x)<0과 ㉠의 부등호의 방향이 같으므로

a>0

㉠의 양변에 a를 곱하면 a(x+4)(x-3)<0 즉 f(x)=a(x+4)(x-3)이므로

f(-3x) =a(-3x+4)(-3x-3)

=3a(3x-4)(x+1) f(-3x)¾0에서 3a(3x-4)(x+1)¾0

양변을 3a로 나누면 (x+1)(3x-4)¾0 (∵ 3a>0) ∴ xÉ-1 또는 x¾;3$;

 xÉ-1 또는 x¾;3$;

02

연립이차부등식

확 인 본책 177쪽

1

⑴ 3x-1>2에서 3x>3 ∴ x>1 …… ㉠   xÛ`-2x-15É0에서 (x+3)(x-5)É0

∴ -3ÉxÉ5 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<xÉ5

⑵ 2x-1>x+2에서 x>3 …… ㉠   xÛ`>-2x에서 xÛ`+2x>0

x(x+2)>0 ∴ x<-2 또는 x>0 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

x>3

⑶ xÛ`-x-6¾0에서 (x+2)(x-3)¾0

∴ xÉ-2 또는 x¾3 …… ㉠   2xÛ`+5x-3<0에서 (x+3)(2x-1)<0

∴ -3<x<;2!; …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-3<xÉ-2

⑷ xÛ`+xÉ2에서 xÛ`+x-2É0

(x+2)(x-1)É0 ∴ -2ÉxÉ1 …… ㉠   3xÛ`+8x-3¾0에서 (x+3)(3x-1)¾0

∴ xÉ-3 또는 x¾;3!; …… ㉡  

1 5

-3

x

0

-2 3

x

-2

-3 3

㉠ ㉠

x 2

1

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 ;3!;ÉxÉ1

 ⑴ 1<xÉ5 ⑵ x>3 ⑶ -3<xÉ-2 ⑷ 13 ÉxÉ1

2

3<xÛ`+2x에서 xÛ`+2x-3>0

(x+3)(x-1)>0 ∴ x<-3 또는 x>1 …… ㉠   xÛ`+2x<8에서 xÛ`+2x-8<0

(x+4)(x-2)<0 ∴ -4<x<2 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -4<x<-3 또는 1<x<2

 -4<x<-3 또는 1<x<2

본책 178 ~182쪽 유 제

1

⑴ xÛ`-xÉ20에서 xÛ`-x-20É0

(x+4)(x-5)É0 ∴ -4ÉxÉ5 …… ㉠   xÛ`+2x>6(x+2)에서 xÛ`-4x-12>0

(x+2)(x-6)>0

∴ x<-2 또는 x>6 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-4Éx<-2

⑵ 6-x<x(x+4)에서 xÛ`+5x-6>0 (x+6)(x-1)>0

∴ x<-6 또는 x>1 …… ㉠   x(x+4)<5x+6에서 xÛ`-x-6<0

(x+2)(x-3)<0 ∴ -2<x<3 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

1<x<3

 ⑴ -4Éx<-2 ⑵ 1<x<3

2

⑴ |2x-5|<7에서 -7<2x-5<7

-2<2x<12 ∴ -1<x<6 …… ㉠   xÛ`+3x-18¾0에서 (x+6)(x-3)¾0

∴ xÉ-6 또는 x¾3 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 3Éx<6

⑵ |xÛ`-3x-5|<5에서 -5<xÛ`-3x-5<5 -5<xÛ`-3x-5에서 xÛ`-3x>0

x(x-3)>0 ∴ x<0 또는 x>3 …… ㉠   -2

-3 1

㉡ ㉡

x 3 1

-4-3 1 2

㉠ ㉠

x

-4 -2 5 6

㉡ ㉡

x

-6 -2 1 3

㉠ ㉠

x

-6 -1 3 6

㉡ ㉡

x

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(12)

76

정답 및 풀이

6

이차방정식 xÛ`-kx+4=0의 판별식을 DÁ이라 하면 이 방정 식이 허근을 가지므로

DÁ=(-k)Û`-4´4<0, kÛ`-16<0

(k+4)(k-4)<0 ∴ -4<k<4 …… ㉠   이차방정식 4xÛ`-2kx+k+3=0의 판별식을 Dª라 하면 이 방정 식이 허근을 가지므로

4 =(-k)Û`-4(k+3)<0, kÛ`-4k-12<0

(k+2)(k-6)<0 ∴ -2<k<6 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<k<4

 -2<k<4

7

이차방정식 xÛ`-6kx-3k+2=0의 판별식을 DÁ이라 하면 이 방정식이 실근을 가지므로

4 =(-3k)Û`-(-3k+2)¾0

9kÛ`+3k-2¾0, (3k+2)(3k-1)¾0

∴ kÉ-;3@; 또는 k¾;3!; …… ㉠   이차방정식 xÛ`+2kx+2k=0의 판별식을 Dª라 하면 이 방정식 이 실근을 가지므로

4 =kÛ`-2k¾0, k(k-2)¾0

∴ kÉ0 또는 k¾2 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 kÉ-;3@; 또는 k¾2 따라서 a=-;3@;, b=2이므로

3a+b=3´{-;3@;}+2=0  0

8

이차방정식 xÛ`-(a-1)x+a+2=0의 두 실근을 a, b, 판별 식을 D라 하면

D ={-(a-1)}Û`-4(a+2)

=aÛ`-6a-7=(a+1)(a-7)

⑴ Ú D =(a+1)(a-7)¾0에서

aÉ-1 또는 a¾7 …… ㉠  

‌ Û a+b=a-1>0에서 a>1 …… ㉡  

‌ Ü ab=a+2>0에서 a>-2 …… ㉢   ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

a¾7

4 6 -4-2

k

0 2

㉡ ㉡

k 3

1 3 -2

1 -1

-2 7

㉠ ㉠

a xÛ`-3x-5<5에서 xÛ`-3x-10<0

(x+2)(x-5)<0 ∴ -2<x<5 …… ㉡   ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-2<x<0 또는 3<x<5

 ⑴ 3Éx<6 ⑵ -2<x<0 또는 3<x<5

3

àxÛ`-5x-14<0  …… ㉠

xÛ`-ax<0 …… ㉡

㉠에서 (x+2)(x-7)<0 ∴ -2<x<7

㉡에서 x(x-a)<0 Ú a<0일 때, a<x<0 Û a=0일 때, 해는 없다.

Ü a>0일 때, 0<x<a

㉠, ㉡의 해의 공통부분이 0<x<7 이 되도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위 에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므 로 부등식 ㉡의 해는 0<x<a

따라서 실수 a의 값의 범위는 a¾7이므로 a의 최솟값은 7이다.

 7

4

àxÛ`-x-aÉ0  …… ㉠

xÛ`-x+b>0 …… ㉡

㉠, ㉡의 해의 공통부분이 -3Éx<-1 또는 2<xÉ4가 되 도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같아야 한다.

따라서 부등식 ㉠은 해가 -3ÉxÉ4이고 xÛ`의 계수가 1인 이차 부등식이므로

(x+3)(x-4)É0, 즉 xÛ`-x-12É0 ∴ a=12

부등식 ㉡은 해가 x<-1 또는 x>2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차 부등식이므로

(x+1)(x-2)>0, 즉 xÛ`-x-2>0

∴ b=-2  a=12, b=-2

5

àxÛ`+3x-4>0 …… ㉠

2xÛ`-(2a+5)x+5aÉ0 …… ㉡

㉠에서 (x+4)(x-1)>0 ∴ x<-4 또는 x>1

㉡에서 (2x-5)(x-a)É0

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 정수 x의 값이 2뿐이도록 ㉠, ㉡의 해 를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같아야 하므로

-5<aÉ2  -5<aÉ2

0 3 5 -2

㉠ ㉠

x

-2 0 7 a

x

-1 2 4

-3

㉡ ㉡

x

-4 1 2

-5a

㉠ ㉠

x 2 5

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(13)

Ⅲ. 부등식

77

10

여러 가지 부등식 ⑵

본책

178 ~ 182

⑵ Ú D =(a+1)(a-7)¾0에서

aÉ-1 또는 a¾7 …… ㉠   Û a+b=a-1<0에서 a<1 …… ㉡   Ü ab=a+2>0에서 a>-2 …… ㉢   ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

-2<aÉ-1

 ⑴ a¾7 ⑵ -2<aÉ-1

9

f(x)=xÛ`-(a+1)x+a+4라 하면 이 차방정식 f(x)=0의 두 근이 모두 -3보다 크므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같아야 한다.

Ú 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 하면 D={-(a+1)}Û`-4(a+4)¾0 aÛ`-2a-15¾0, (a+3)(a-5)¾0

∴ aÉ-3 또는 a¾5 …… ㉠  

Û f(-3)=9+3a+3+a+4>0에서

4a+16>0 ∴ a>-4 …… ㉡   Ü 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x= a+12 이

므로 a+1

2 >-3 ∴ a>-7 …… ㉢  

㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 -4<aÉ-3 또는 a¾5

 -4<aÉ-3 또는 a¾5

10

f(x)=xÛ`-3kx+kÛ`-11이라 하면 이 차방정식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있 으므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같아야 한다.

f(1)<0이어야 하므로

1-3k+kÛ`-11<0, kÛ`-3k-10<0 (k+2)(k-5)<0 ∴ -2<k<5

따라서 정수 k는 -1, 0, 1, 2, 3, 4의 6개이다.  6

-2 1 7

㉠ ㉠

a -1

이차방정식의 실근의 부호

계수가 실수인 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D 라 하면

① 두 근이 모두 양수  D¾0, a+b>0, ab>0

② 두 근이 모두 음수  D¾0, a+b<0, ab>0

③ 두 근이 서로 다른 부호  ab<0 알짜 PLUS

x y=f{x}

-3

-3 5

-7 -4

㉠ ㉠

a

x y=f{x}

1

11

f(x)=xÛ`+2(2a-1)x-2a+3이라 하면 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 모두 0과 3 사이에 있으므로 이차함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

Ú 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 하면 D

4 =(2a-1)Û`-(-2a+3)¾0 4aÛ`-2a-2¾0, 2aÛ`-a-1¾0 (2a+1)(a-1)¾0

∴ aÉ-;2!; 또는 a¾1 …… ㉠   Û f(0)=-2a+3>0에서

a<;2#; …… ㉡  

f(3)=9+12a-6-2a+3>0에서

10a+6>0 ∴ a>-;5#; …… ㉢   Ü 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-(2a-1)

이므로

0<-(2a-1)<3, -3<2a-1<0

-2<2a<1 ∴ -1<a<;2!; …… ㉣  

㉠~㉣의 공통부분을 구하면 -;5#;<aÉ-;2!;

 -;5#;<aÉ-;2!;

12

상판의 짧은 변의 길이를 x`m라 하면 둘레의 길이가 20`m 이므로 긴 변의 길이는

(10-x)`m

10-x>x이므로 2x<10

∴ x<5 …… ㉠  

상판의 넓이가 16`mÛ` 이상 24`mÛ` 이하가 되려면 16Éx(10-x)É24

16Éx(10-x)에서 xÛ`-10x+16É0

(x-2)(x-8)É0 ∴ 2ÉxÉ8 …… ㉡   x(10-x)É24에서 xÛ`-10x+24¾0

(x-4)(x-6)¾0 ∴ xÉ4 또는 x¾6 …… ㉢  

㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 2ÉxÉ4

따라서 짧은 변의 길이의 범위는 2`m 이상 4`m 이하이다.

 2`m 이상 4`m 이하

x y=f{x}

0 3

-1 1

㉠ ㉠

a

2 3 2

-1 5

-3 21

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(14)

78

정답 및 풀이

13

x, x+2, x+4는 변의 길이이므로

x>0 …… ㉠  

이때 x, x+2, x+4가 삼각형의 세 변의 길이가 되려면 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 하므로 x+4<x+(x+2)

∴ x>2 …… ㉡  

또 이 삼각형이 둔각삼각형이 되려면 xÛ`+(x+2)Û`<(x+4)Û`

xÛ`-4x-12<0, (x+2)(x-6)<0

∴ -2<x<6 …… ㉢  

㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 2<x<6

 2<x<6

14

한 모서리의 길이가 x인 정육면체의 부피는 xÜ`

직육면체 A는 밑면의 가로의 길이가 x, 세로의 길이가 x-5, 높 이가 x+7이므로 그 부피는

x(x-5)(x+7)=xÜ`+2xÛ`-35x

직육면체 B는 밑면의 가로의 길이가 x, 세로의 길이가 x-2, 높 이가 x+4이므로 그 부피는

x(x-2)(x+4)=xÜ`+2xÛ`-8x

직육면체 A의 부피는 처음 정육면체의 부피보다 작고 직육면체 B의 부피는 처음 정육면체의 부피보다 크므로

xÜ`+2xÛ`-35x<xÜ`<xÜ`+2xÛ`-8x xÜ`+2xÛ`-35x<xÜ`에서

2xÛ`-35x<0, x(2x-35)<0

∴ 0<x<;;£2°;; …… ㉠   xÜ`<xÜ`+2xÛ`-8x에서

2xÛ`-8x>0, 2x(x-4)>0

∴ x<0 또는 x>4 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 4<x<;;£2°;;

그런데 x>5이므로 5<x<;;£2°;;

따라서 자연수 x는 6, 7, 8, …, 17의 12개이다.  12 -2 0 2 6 x

㉢ ㉡

삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c`(a<b<c)일 때

① 예각삼각형  aÛ`+bÛ`>cÛ`

② 직각삼각형  aÛ`+bÛ`=cÛ`

③ 둔각삼각형  aÛ`+bÛ`<cÛ`

알짜 PLUS

01

전략 이차함수 y=xÛ`-2(k-1)x-kÛ`+7k-6의 그래프가 x축에 접하거나 x축보다 위쪽에 있어야 함을 이용한다.

풀이 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함 수 y=xÛ`-2(k-1)x-kÛ`+7k-6의 그래프가 x축에 접하거나 x축보다 위쪽에 있어야 한다.

이차방정식 xÛ`-2(k-1)x-kÛ`+7k-6=0의 판별식을 D라 하 면

D

4 ={-(k-1)}Û`-(-kÛ`+7k-6)É0 2kÛ`-9k+7É0, (k-1)(2k-7)É0 ∴ 1ÉkÉ;2&;

따라서 정수 k는 1, 2, 3의 3개이다.  ③

02

전략 1A6가 실수가 되려면 A¾0이어야 함을 이용한다.

풀이 !%axÛ`-2x+a^ 가 실수가 되려면 모든 실수 x에 대하여

axÛ`-2x+a¾0 …… ㉠  

이 성립해야 한다.

Ú a=0일 때,

-2x¾0이므로 xÉ0일 때만 부등식 ㉠이 성립한다.

Û a+0일 때,

모든 실수 x에 대하여 부등식 ㉠이 성립하려면 이차함수 y=axÛ`-2x+a의 그래프가 x축에 접하거나 x축보다 위쪽에

있어야 한다.

따라서 이차함수의 그래프가 아래로 볼록해야 하므로

a>0 …… ㉡  

이차방정식 axÛ`-2x+a=0의 판별식을 D라 하면 D

4 =(-1)Û`-a´aÉ0

aÛ`-1¾0, (a+1)(a-1)¾0

∴ aÉ-1 또는 a¾1 …… ㉢  

㉡, ㉢에서 공통부분을 구하면 a¾1

Ú, Û에서 a¾1  a¾1

01

02

a¾1

03

-1ÉkÉ2

04

05

-;2#;<x<1

06

07

9

08

1

09

-1ÉaÉ5

10

11

-2<a<-13 또는 13<a<2

12

16

13

-2<kÉ-1

14

③

15

16

3

17

18

19

풀이 참조

20

21

2<PQÓ<4

중단원 연습 문제

본책 183 ~185쪽

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(15)

Ⅲ. 부등식

79

10

여러 가지 부등식 ⑵

본책

182 ~ 183

03

전략 부등식 f(x)>0의 해가 존재하지 않으면 부등식 f(x)É0이

모든 실수 x에 대하여 성립함을 이용한다.

풀이 부등식 (k-2)xÛ`+2(k-2)x-3>0의 해가 존재하지 않 으려면 부등식

(k-2)xÛ`+2(k-2)x-3É0 …… ㉠   이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 한다. y ❶

Ú k-2=0, 즉 k=2일 때,

-3É0이므로 부등식 ㉠은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.

y ❷

Û k-2+0, 즉 k+2일 때,

부등식 ㉠이 성립하려면 이차함수 y=(k-2)xÛ`+2(k-2)x-3 의 그래프가 x축에 접하거나 x축보다 아래쪽에 있어야 한다.

따라서 이차함수의 그래프가 위로 볼록해야 하므로

k-2<0 ∴ k<2 …… ㉡   또 이차방정식 (k-2)xÛ`+2(k-2)x-3=0의 판별식을 D라

하면 D

4 =(k-2)Û`+3(k-2)É0

(k+1)(k-2)É0 ∴ -1ÉkÉ2 …… ㉢   ㉡, ㉢에서 공통부분을 구하면

-1Ék<2 y

Ú, Û에서 -1ÉkÉ2 y

 -1ÉkÉ2

04

전략 f(x)=xÛ`-4x-4k+3으로 놓고 y=f(x)의 그래프를 그려 본다.

풀이 f(x)=xÛ`-4x-4k+3이라 하면 f(x)=(x-2)Û`-4k-1 3ÉxÉ5에서 f(x)É0이 항상 성립해 야 하므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

이때 f(x)의 최댓값이 f(5)이므로 f(5)É0, 8-4kÉ0 ∴ k¾2

따라서 k의 최솟값은 2이다.  ②

05

전략 해가 a<x<b이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x-a)(x-b)<0임을 이용한다.

채점기준 비율

❶ 부등식 (k-2)xÛ`+2(k-2)x-3É0이 모든 실수 x에 대하여

성립해야 함을 알 수 있다. 20%

❷ k-2=0일 때, ❶의 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립함을

알 수 있다. 20%

❸ k-2+0일 때, k의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%

❹ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 20%

y

O x 3 5

y=f{x}

풀이 해가 -1<x<3이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+1)(x-3)<0 ∴ xÛ`-2x-3<0 …… ㉠   부등식 axÛ`+bx+c>0과 ㉠의 부등호의 방향이 다르므로 a<0

㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-2ax-3a>0 이 부등식이 axÛ`+bx+c>0과 같으므로 b=-2a, c=-3a

이것을 부등식 bxÛ`-ax-c<0에 대입하면 -2axÛ`-ax+3a<0

양변을 -a로 나누면 2xÛ`+x-3<0`(∵ -a>0) (2x+3)(x-1)<0 ∴ -;2#;<x<1

 -;2#;<x<1

06

전략 부등식 f(x)>g(x)의 해는 함수 y=f(x)의 그래프가 함수 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다.

풀이 이차함수 y=-xÛ`+ax+3의 그래프가 직선 y=x-5보다 위쪽에 있으므로

-xÛ`+ax+3>x-5

∴ xÛ`-(a-1)x-8<0 …… ㉠   또 해가 b<x<2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은

(x-b)(x-2)<0

∴ xÛ`-(b+2)x+2b<0 …… ㉡   부등식 ㉠, ㉡이 일치하므로

a-1=b+2, -8=2b ∴ a=-1, b=-4

∴ ab=4  ⑤

07

전략 각 부등식의 해를 구한 후 공통부분을 구한다.

풀이 |x-1|É6에서 -6Éx-1É6

∴ -5ÉxÉ7 …… ㉠  

(x-2)(x-8)É0에서 2ÉxÉ8 …… ㉡  

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2ÉxÉ7

따라서 a=2, b=7이므로

‌ ‌ a+b=9  9

08

전략 A<B<C 꼴의 부등식은 àA<B

B<C로 변형하여 푼다.

풀이 xÛ`-11x+4É4xÛ`에서 3xÛ`+11x-4¾0 (x+4)(3x-1)¾0

∴ xÉ-4 또는 x¾;3!; …… ㉠   4xÛ`É-5x+6에서 4xÛ`+5x-6É0

(x+2)(4x-3)É0 ∴ -2ÉxÉ;4#; …… ㉡  

-5 2 7 8

x

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(16)

80

정답 및 풀이

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 ;3!;ÉxÉ;4#;

따라서 M=;4#;, m=;3!;이므로 4Mm=1  1

09

전략 각 부등식을 풀어 조건을 만족시키도록 수직선 위에 나타낸다.

풀이 xÛ`-4x-5>0에서 (x+1)(x-5)>0

∴ x<-1 또는 x>5 …… ㉠ y ❶

xÛ`-(a-2)x-2aÉ0에서 (x-a)(x+2)É0

∴ -2ÉxÉa`(∵ a>-2) …… ㉡ y ❷

㉠, ㉡의 공통부분이 -2Éx<-1 이 되도록 수직선 위에 나타내면 오 른쪽 그림과 같으므로

-1ÉaÉ5 y ❸

 -1ÉaÉ5

10

전략 각 부등식의 해를 구하여 공통부분이 존재하도록 수직선 위에 나타낸다.

풀이 xÛ`+4x-21É0에서 (x+7)(x-3)É0

∴ -7ÉxÉ3 …… ㉠  

xÛ`-5kx-6kÛ`>0에서 (x+k)(x-6k)>0

∴ x<-k 또는 x>6k`(∵ k>0) …… ㉡   주어진 연립부등식의 해가 존재하

도록 ㉠, ㉡을 수직선 위에 나타내 면 오른쪽 그림과 같으므로 -k>-7 또는 6k<3 ∴ k<7 또는 k<;2!; 

따라서 양의 정수 k는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다.  ③

11

전략 각 부등식의 해를 구하여 조건을 만족시키도록 수직선 위에 나 타낸다.

풀이 (x-1)(x-3)É0에서 1ÉxÉ3 …… ㉠   (x-aÛ`+3)(x-aÛ`)<0에서 aÛ`-3<x<aÛ` …… ㉡   이차부등식 (x-1)(x-3)É0의 해가 모두 이차부등식 (x-aÛ`+3)(x-aÛ`)<0을 만족시

키려면 ㉠이 ㉡에 포함되어야 하므 로 오른쪽 그림에서

aÛ`-3<1, aÛ`>3 aÛ`-3<1에서 aÛ`-4<0

(a+2)(a-2)<0 ∴ -2<a<2 …… ㉢   -2

-4

㉠ ㉡ ㉠

x 3 1

4 3

-2-1 a 5

㉠ ㉠

x

채점기준 비율

❶ 부등식 xÛ`-4x-5>0을 풀 수 있다. 30%

❷ 부등식 xÛ`-(a-2)x-2aÉ0을 풀 수 있다. 30%

❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%

-k

-7 6k 3

㉡ ㉡

x

1 3 a@

a@-3

x

aÛ`>3에서 aÛ`-3>0 (a+13 )(a-13 )>0

∴ a<-13 또는 a>13 …… ㉣  

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 -2<a<-13 또는 13<a<2

 -2<a<-13 또는 13<a<2

12

전략 두 방정식의 판별식을 구하고 두 방정식이 실근 또는 허근을 갖는 경우를 나누어 생각한다.

풀이 xÛ`+kx+4=0 …… ㉠  

xÛ`-kx+2k=0 …… ㉡  

이차방정식 ㉠, ㉡의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ=kÛ`-16=(k+4)(k-4)

Dª=kÛ`-8k=k(k-8) y

Ú ㉠이 실근, ㉡이 허근을 가질 때, DÁ=(k+4)(k-4)¾0에서

kÉ-4 또는 k¾4 …… ㉢  

Dª=k(k-8)<0에서

0<k<8 …… ㉣  

㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 4Ék<8 y Û ㉠이 허근, ㉡이 실근을 가질 때,

DÁ=(k+4)(k-4)<0에서

-4<k<4 …… ㉤  

Dª=k(k-8)¾0에서

kÉ0 또는 k¾8 …… ㉥  

㉤, ㉥의 공통부분을 구하면 -4<kÉ0 y Ú, Û에서 -4<kÉ0 또는 4Ék<8

따라서 모든 정수 k의 값의 합은

-3+(-2)+(-1)+0+4+5+6+7=16 y

 16

13

전략 이차방정식의 두 근이 모두 양수이면 (판별식)¾0, (두 근의 합)>0, (두 근의 곱)>0임을 이용한다.

풀이 이차방정식 xÛ`+2kx+k+2=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하면

Ú D4 =kÛ`-(k+2)¾0, (k+1)(k-2)¾0

∴ kÉ-1 또는 k¾2 …… ㉠ y Û a+b=-2k>0에서 k<0 …… ㉡ y

채점기준 비율

❶ 두 이차방정식의 판별식을 구할 수 있다. 10%

❷ ㉠이 실근, ㉡이 허근을 가질 때, k의 값의 범위를 구할 수 있다. 30%

❸ ㉠이 허근, ㉡이 실근을 가질 때, k의 값의 범위를 구할 수 있다. 30%

❹ 모든 정수 k의 값의 합을 구할 수 있다. 30%

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