1차 상미분 방정식
물리학과 미분방정식
물리학의 연구과정
물리법칙 → 미분방정식
2 2
dt r m d a m F
자연의 관찰 → 수학적 기술 (자연을 기술하는 함수의 추출)
→ 실험 → 방정식으로 기술 (미분방정식) → 미분방정식의 풀이
→ 자연현상의 예측 및 검증 → 물리법칙 도출
뉴튼의 법칙
파동방정식 2 1 22 0 dt
E d E c
슈뢰딩거 방정식 2
V(r)
E
2
미분방정식의 예
조화진동자
ky F
2 2
dt r m d a m F
뉴튼의 법칙 에서
후크의 법칙
dt ky y m d22
RLC 회로
저항 (R), 코일 (L), 및 축전기 (C) 로 구성된 회로
키르히호프의 법칙: 폐회로에서 전압강하양은 전압상승양과 같다.
0
L C
R V V
V
전류를 전하량으로 표기 C V Q
dt L di V
iR
VR , L , C
2 0
2
C
Q dt
Q L d dt R
dQ
우변이 0
(homogeneous eq.) 우변이 1
(inhomogeneous eq.) 상미분방정식 1차 상미분방정식
2차 상미분방정식 다변수 1차
상미분방정식
편미분방정식 1차 편미분방정식
2차 편미분 방정식 (Laplace eq.) (Poisson eq.)
미분방정식의 종류
0
2 kx
dt dx dt
x m d
2 0
0 dt N
dN
dt r B d dt q
r m d
2
dt V R dQ C
Q
) (
2
t F dt kx
dx dt
x
m d
) , ,
2 (
z y x
f
2 2
2
d
/ dt
1차 상미분방정식: 방사성 붕괴 (homogeneous equation)
방사성 붕괴물질의 붕괴율은 남은 원자수에 비례 dt N
dN
변수분리법으로 풀이함.
N dt
dN
양변 적분 dt N t C N e t C N e t N
dN
ln 0일반해, 특수해
상미분 방정식의 일반해: N N0et 미정계수
상미분 방정식의 특수해: 미정계수의 특정화
초기조건 (initial condition, t=0 일 때, N의 값) 또는 경계조건 (boundary condition) 의 대입을 통해 미정계수를 특정화함.
축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
Homogeneous solution (E=0인 경우) 먼저 추출
C E Q dt
R dQ
RC t H
H
H H
H
Ae Q
RC a Q t
RC dt Q
dQ C
Q dt
R dQ
ln
0
축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
Non-Homogeneous solution (E=E인 경우) 상수해의 추출 c
t
QN( ) (상수해) ) 0
( dt
t QN
에서
CE Q
C E Q
N
N
0
Homogeneoous solution 과 Non-Homogeneous solution 의 합으로 최종 해를 구함 CE
Ae Q
Q
Q RC
t N
H
축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)
검산
초기조건: t=0 일 때 Q=0
) 1
( )
(
0 )
0 ( )
(
RC t RC
t RC
t
e CE
CE CEe
t Q
CE A
CE A
Q CE
Ae t
Q
C E e CE
C e A
C A
C
CE e Ae
RC R A C
Q dt
R dQ
RC t RC
t
RC t RC
t
숙제 1, 문제중심학습 B급 (김영만)
인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
전기장이 주기함수인 경우 )
(t E dt RI
L dI
t
ei
E dt RI
L dI 0 0
Homogeneous solution (E=0인 경우)
Lt R
e I I L dt
R I
RI dI dt
L dI 0 0
인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
A yeLt
R
라 하면
Non-homogeneous solution: Homogeneous solution 을 이용
) 1 (
)
( Ry
dt L dy L e
L ye e R
dt e dy
dt y d dt e
ye dy dt
d LRt RLt LRt RLt LRt LRt
y 를 주어진 미분방정식의 해라고 하면
C dt e E e
ye
e E L e
dt ye e d
L e dt Ry
L dy Le
t t i L t R
L R
t t i
L t R
L R t
t i L t R
L R
00 0
0
0
) 1 1 (
) 1 (
인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
Lt t R
i
L e i R
E iL
R e t E
I
0 0 0
0
0
)
(
Steady state solution
Transient solution 초기조건: t=0 에서 y=0
L i R C E
L C i R yeLt E
R
0 0 0
0 0
인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류
) cos(
)) ( Re(
) (
2 0 2 0 2
0
2 2 0 2
0 0
0 0
0 0 0
0
t L
R t E
I
e e L R
e E iL e
R E iL
R e t E
I i i t i i t
t i
Steady state solution
위상차 )
arctan( 0 R
L
I
V숙제 2, 문제중심학습 B급, 박성호
Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법
Homogeneous solution )
( )
(t x Q t dt P
dx
P t x x Ae P t dt dt
dx ( )
0 )
(
P t dt
I ( ) 로 치환하면 A
xe Ae
x I I
Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법
를 미분 xeI
Q e dt Px
e dx dt
x dI e dt e
dx dt
x de dt e
xe dx dt
d ( I) I I I I I( ) I
양변을 적분하면
I I
I I
I Qe dt C x e Qe dt Ce
xe
라듐의 붕괴
시간 t=0에서 라듐의 원자수: N0 라돈의 원자수: 0
라듐 (붕괴율 λ1) → 라돈 (붕괴율 λ2) → 폴로늄
시간 t=t0에서 라듐의 원자수: N1 라돈의 원자수: N2 라듐의 붕괴율 방정식: 1 1
1 N
dt
dN
라돈의 붕괴율 방정식: 2 1N1 2N2 dt
dN
라듐 붕괴에 의한 라돈 생성 라돈 붕괴
라듐의 붕괴
시간 t 에서 라듐의 숫자 라돈 붕괴방정식에 대입
e t
N N
dt N
dN 1
0 1
1 1
1
t t
e N dt N
dN
N e
N N
dt N dN
1 1
0 1 2 2 2
2 2 0
1 2 2 1 1 2
t dt
I
2
2
C N e
C dt e
N C
dt e e N e
N t t t t t
2
1 2
(21)
1
0 (21)라듐의 붕괴
초기조건: t=0 에서 N2=0
1 2
0 1 1
2 0 1
0 2
N
C N C
N
)
( 1 2
1 2 2
1 2
0 1 2
1 2
0 ) 1
( 1 2
0 1 2
t t
t
t N e e
N N N e
e
N
숙제 3, 문제중심학습 C급, 신준형
연립 1차 상미분 방정식
Lorentz 힘이 작용할 때 전자의 운동 B
v e
F
z B
B ˆ 일 때
dt z m v dt y
m dv dt x
m dv F
z v y v x v
v x ˆ y ˆ zˆ, x ˆ y ˆ z ˆ
ˆ) ( ˆ
ˆ ) ˆ ˆ
(v xˆ v y v z Bz B v x v y B
v x y z y x
ˆ) ( ˆ
ˆ ˆ
ˆ v x v y
m z eB
dt y v dt x dv dt dv
x y
y z
x
연립 1차 상미분 방정식
x y
y x
m v eB dt
dv
m v eB dt
dv
한 번 미분하여 연립하여 풀면
x
x y v
m B e t
eB dv dt
v d
2 2 2 2
2
Trial solution vx Aeit
연립 1차 상미분 방정식
다른 한 식에 대입
t i x
t i x
t x i
Ae m v
eB
m e B Ae v
B e e
dt A v d
2 2 2 2 22
2 2
,
) 2 /
1 (
x i t i t
y iAe Ae
dt v dv
물리적 해 추출을 위해 실수부 채택
Ω: cyclotron frequency
m t A eB
iAe v
m t A eB
Ae
vx Re( it) cos , y Re( it) sin
연립 1차 상미분 방정식
초기조건: t=0 에서 A
v0
x v v 0ˆ
) ˆsin
ˆcos
0( t
m y eB m t
x eB v
v
등속원운동!
0 2
2
0 cos sin t v
m t eB
m v eB
v
숙제 4, 문제중심학습 B급, 안도현
