1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식 01
1.1.두 포물선 , 의 초점을 각각 F, F라고 할 때, FF의 값을 구하시오.
[3점][2004(가) 10월/교육청 20]
2.2.로그함수 log 의 그래프가 포물선 의 초점을 지나고, 이 로그함수의 그래프의 점근선이 포물선 의 준선과 일 치할 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?
[3점][2008(가) /수능(홀) 5]
①
②
③
④
⑤
3.3.그림과 같이 실수 에 대하여 함수 의 그래프와 포물선 가 있다. 일 때, 함수 의 그래프와 포물 선 의 준선, 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2016(가) 4월/교육청 11]
O
① ② ③
④
⑤
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
4.4.좌표평면에서 초점이 F인 포물선 위의 점 A 가 AF 을 만족시킨다. 점 B 에 대하여 AB 일 때, 의 값을 구하시 오.
[3점][2016(가) 9월/평가원 25]
두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합 03
무게중심을 이용한 포물선의 정의 04
초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의 05
5.5.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 위에
∠O FA ∠AFB
인 두 점 A B 가 있다. 삼각형 AFB 의 넓이 는? (단, O 는 원점이고 두 점 A B 는 제 사분면 위의 점이다.)
[4점][2012(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화
06
6.6.그림과 같이 포물선 의 초점 F를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 A , B 에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 C , D 라 하 자. AC 일 때, 선분 BD 의 길이는?
[3점][2015(B) /수능 10]
① ②
③
④
⑤
7.7.그림과 같이 포물선 위의 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으 로 하는 사각형 ABCD 에 대하여 두 선분 AB 와 CD 가 각각 축과 평행하다. 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 F와 일 치하고 D F 일 때, 사각형 ABCD 의 넓이는?
[4점][2015(B) 7월/교육청 17]
A
B
C
D
O F
최단거리 구하기
07
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
2 타원
타원의 방정식 01
8.8.타원 의 두 초점 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2007(가) 9월/평가원 20]
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합 02
9.9.그림과 같이 타원
의 두 초점은 F F′이고, 제사분면 에 있는 두 점 P Q 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P F
(나) 점 Q 는 직선 P F′과 타원의 교점이다.
삼각형 P FQ 의 둘레의 길이와 삼각형 P F′F의 둘레의 길이의 합을 구 하시오.
[4점][2016(가) 9월/평가원 27]
타원 위의 점에서 거리의 합의 활용 03
타원의 방정식과 중점연결 정리 04
타원의 성질 05
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기 06
10.10.그림과 같이 좌표평면에 축 위의 두 점 F , F′과 점 P
이 있다. 삼각형 P F′F 가 ∠FP F′
인 직각이등변삼각형일
때, 두 점 F , F ′ 을 초점으로 하고 점 P 를 지나는 타원과 직선 P F ′ 이 만나는 점 중 점 P 가 아닌 점을 Q 라 하자.
삼각형 FP Q 의 둘레의 길이가
일 때, 삼각형 FP Q 의 넓이는?[4점][2015(B) 10월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
11.11.한 변의 길이가 인 마름모 ABCD 에 대하여 대각선 BD 를 장 축으로 하고, 대각선 AC 를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리 가
이다. 마름모 ABCD 의 넓이는?[3점][2012(가) /수능 11]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 1. 이차곡선
12.12.타원
의 한 초점을 F 이 타원이 축과 만나는 점 중에서 좌표가 음수인 점을 A , 축과 만나는 점 중에서
좌표가 양수인 점을 B 라 하자. ∠AFB
이고 삼각형 AFB 의
넓이는
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)[3점][2013(B) 9월/평가원 9]
① ② ③
④ ⑤
13.13.타원
의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F, 음수인
점을 F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 를 ∠FP F′
가 되도록 제 사분면에서 잡고, 선분 FP 의 연장선 위에 좌표가 양수인 점 Q 를
FQ 이 되도록 잡는다. 삼각형 Q F′F 의 넓이를 구하시오.
[4점][2015(B) /수능 27]
14.14.타원
의 두 초점을 F , F ′ 라 하자. 타원 위의 점 P
가 ∠FP F ′
를 만족시킬 때, 삼각형 FP F ′ 의 넓이는?
[3점][2016(가) 7월/교육청 10]
F ′ F
O
P
① ② ③
④ ⑤
15.15.그림과 같이 두 점 F , F ′ 을 초점으로 하는 타원
과 직선 의 교점을 A B 라 하자.
두 점 C , D 에 대하여, 사각형 AD BC 의 넓이를 구하 시오.(단, 와 는 양수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 23]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원과 원
07
16.16.그림과 같이 두 점 F F′ 을 초점으로 하고 장축의 길이가 인 타원이 있다. 점 F 를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원이 타원과 점 P 에서 만난다. 점 P 에서 원에 접하는 직선이 점 F′을 지날 때, 의 값은?
[3점][2015(B) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
17.17.두 초점이 ′이고, 장축의 길이가 , 단축의 길이가 6인 타원 이 있다. 중심이 이고 점 ′을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을 라 하자. 삼각형 ′의 넓이는?
[3점][2011(가) 9월/평가원 13]
①
②
③
④
⑤
18.18.타원
의 두 초점 F , F′ 에 대하여 선 분 F′ F 를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제 사분면 에 있는 점을 P 라 하자. 원 위의 점 P 에서의 접선이 축의 양의 방향 과 이루는 각의 크기가
일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, , 는
인 상수이다.)[4점][2016(가) 10월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
타원과 포물선
08
기하와벡터 1. 이차곡선
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식 01
19.19.쌍곡선
의 두 꼭짓점은 타원
의 두 초점 이다. 의 값은?
[3점][2012(가) 6월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
쌍곡선의 점근선 02
20.20.그림과 같이 한 초점이 F 이고 점근선의 방정식이 ,
인 쌍곡선이 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 에 대하여 선분 P F 의 중점을 M 이라 하자. O M , MF 일 때, 선 분 O F의 길이는? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2013(B) 10월/교육청 16]
①
②
③
④
⑤
21.21.한 변의 길이가 인 정육각형 ABCD EF 와 쌍곡선 가 다음 조 건을 만족시킨다.
(가) 쌍곡선 의 초점은 점 A 와 점 D 이다.
(나) 쌍곡선 의 점근선은 직선 BE 와 직선 CF 이다.
쌍곡선 와 변 AB 가 만나는 점을 P 라 할 때, D P AP 의 값은?
[3점][2011(가) 10월/교육청 16]
①
② ③
④
⑤ 22.22.쌍곡선 의 초점을 지나고 점근선과 평행한 4개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
[3점][2009(가) 9월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이
03
쌍곡선의 정의와 원의 활용 04
23.23.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F , F′ 이라 하자. 두 점 F F′ 을 지름의 양 끝점으로 하는 원과 쌍곡선
이 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, cos∠P FF′ 의 값은? (단, 는 양수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
쌍곡선의 정의를 이용한 넓이 05
24.24.쌍곡선
의 두 초점을 각각 F , F′ 이라 하고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 P 의 원점에 대한 대칭인 점을 Q 라 하자. 사 각형 F′Q FP 의 넓이가 가 되는 점 P 의 좌표를 라 할 때,
의 값은?
[3점][2006(가)/수능(홀) 5]
① ② ③
④ ⑤
쌍곡선과 타원 06
25.25.보다 큰 실수 에 대하여 타원
의 두 초점과 쌍곡선
의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 일 때,
의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 9월/평가원 25]
쌍곡선과 포물선 07
이차곡선과 함수의 연속
08
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식 01
26.26.곡선 과 축이 만나는 점에서의 접선의 기울 기는?
[3점][2011(가) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 02
27.27.곡선 위의 점 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2016(가) 10월/교육청 14]
① ② ③
④ ⑤
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식 01
28.28.포물선 위의 점 A 에서의 접선을 이라 하자. 직선
과 포물선의 준선이 만나는 점을 B , 직선 과 축이 만나는 점을 C , 포물선의 준선과 축이 만나는 점을 D 라 하자. 삼각형 BCD 의 넓이 는??
[3점][2016(B) /수능 9]
①
② ③
④
⑤
29.29.그림과 같이 초점이 F인 포물선 위의 한 점 P 에서의 접 선이 축과 만나는 점의 좌표가 이다. cos∠P FO 의 값은? (단, O 는 원점이다.)
[3점][2015(B) 9월/평가원 12]
①
②
③
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
30.30.그림과 같이 실수 에 대하여 함수 의 그래프와 포물 선 가 있다. 포물선 위의 점 에서의 접선이 축 과 만나는 점을 함수 의 그래프가 지날 때, 의 값은?
[3점][2016(가) 4월/교육청 12]
O
① ln ② ln
③ ln
④ ln ⑤ ln
기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식 02
31.31.자연수 에 대하여 직선 이 꼭짓점의 좌표가
이고 초점이 인 포물선에 접할 때,
의 값은?
[3점][2014(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
32.32.다음은 포물선 위의 꼭짓점이 아닌 임의의 점 P 에서의 접 선과 축과의 교점을 T , 포물선의 초점을 F 라고 할 때, FP FT 임을 증명한 것이다.
점 P 의 좌표를 이라고 하면, 접선의 방정식은 (가)
이 식에 을 대입하면 교점T 의 좌표는 이다.
초점F 의 좌표는 (나) 이므로
FT (다)
한편 FP
(다) 따라서 FP FT 이다.
< 증 명 >
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
[3점][2004(가) 9월/평가원 15]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
33.33.포물선 에 접하고 기울기가
인 직선의 절편을 구하시 오.
[3점][2015(B) 6월/평가원 24]
34.34.좌표평면에서 포물선 에 접하는 기울기가
인 직선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
[3점][2015(B) 10월/교육청 25]
35.35.자연수 에 대하여 점 을 지나고 제 사분면에서 포물선
에 접하는 직선의 기울기를 이라 하자.
의 값을구하시오.
[3점][2014(B) 10월/교육청 25]
36.36.좌표평면에서 포물선 에 접하는 두 직선 의 기울기 가 각각 이다. 가 방정식 의 서로 다른 두 근일 때, 과 의 교점의 좌표는?
[3점][2014(B) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
접점이 주어진 타원의 접선의 방정식 03
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 04
접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 05
37.37.쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표는?
[3점][2012(가) 10월/교육청 5]
① ②
③
④
⑤
38.38.쌍곡선
위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나 는 점을 B 라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F 라 할 때, 삼각형 FAB 의 넓이는?
[3점][2014(B) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
06
39.39.쌍곡선 위의 점 에서의 접선이 쌍곡선의 한 점 근선과 수직이다. 의 값은? (단, 는 양수이다.)
[3점][2013(가) /수능 6]
① ② ③
④ ⑤
40.40.좌표평면 위의 점 에서 쌍곡선 에 그은 접선의 방정식을 이라 할 때, 의 값은? (단, , 은 상수 이다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 4]
①
② ③
④ ⑤
곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식 07
곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건 08
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 01
41.41.매개변수 으로 나타내어진 함수
에서 일 때,
의 값을 구하시오.
[3점][2015(B) 6월/평가원 25]
42.42.매개변수 으로 나타내어진 함수
에서 일 때,
의 값은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 14]
①
② ③
④
⑤
43.43.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 좌표 가 을 매개 변수로 하여
,
으로 나타내어진다. 점 P 가 그리는 곡선 위의 한 점 에서의 접 선의 기울기가 일 때, 의 값은?
[3점][2016(가) 7월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법
02
44.44.매개변수 로 나타내어진 함수
sin cos
에 대하여 일 때,
의 값은?
[3점][2016(가) 10월/교육청 6]
①
②
③
④
⑤
매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 03
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
사이클로이드
05
1. 벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
45.45.삼각형 ABC 에서 AB , ∠B , ∠C 이다.
점 P 가 P B P C 를 만족시킬 때, P A 의 값은?
[3점][2012(가) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용 05
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산 01
벡터의 평행 02
벡터와 방향이 같은 단위벡터
03
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
46.46.두 벡터 과 에 대하여 의 값은?
[3점][2015(B) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
47.47.두 벡터 에 대하여 의 모든 성분의 합 은?
[2점][2017(가) 수능 1]
① ② ③
④ ⑤
48.48.두 벡터 , 에 대하여 는?
[2점][2016(가) 10월/교육청 1]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터
49.49.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성 분의 합은?
[2점][2016(가) 9월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
50.50.두 벡터 , 에 대하여 의 값은?
[2점][2016(가) 7월/교육청 3]
①
②
③
④
⑤
51.51.벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2016(가) 6월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
52.52.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정 육각형 ABCD EF 가 있다. 두 벡터
AD , AE 의 내적 AD ∙ AE 의 값을 구하시오.
[3점][2009(가) 10월/교육청 19]
53.53.세 점 O A B 에 대하여 두 벡터 O A , O B 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∙
(나)
이때, 두 선분 O A , O B 를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는?
[3점][2007(가) 10월/교육청 4]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적 벡터의 내적의 부호
02
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
54.54.두 벡터 , 에 대하여 내적
∙ 의 값을 구하시오.
[3점][2005(가) 10월/교육청 18]
55.55.좌표평면 위의 네 점 O , A , B , C 에 대하여 O A ∙ BC 의 값은?
[3점][2015(B) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
56.56.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 을 만족시키 는 실수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 23]
평면벡터의 수직 조건과 평행 조건 04
57.57.두 벡터 가 서로 수직일 때, 의 값은?
[2점][2011(가) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
58.58.두 벡터 에 대하여 이고, 두 벡터 와
가 서로 수직일 때, ∙ 의 값은?
[3점][2016(가) 9월/평가원 8]
①
②
③
④
⑤
59.59.서로 평행하지 않은 두 벡터 에 대하여 이고,
∙ 일 때, 두 벡터 와 가 서로 수직이 되도록 하는 실수 의 값은?
[3점][2014(B) 9월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 벡터의 내적의 성질
05
60.60.크기가 인 두 벡터 , 가 을 만족할 때, , 가 이루는 각 의 크기는? (단, ≤ ≤ )
[3점][2004(가) 9월/평가원 3]
①
②
③
④
⑤
61.61.두 평면벡터 , 가
, ,
를 만족시킬 때, 두 평면벡터 , 가 이루는 각을 라 하자. cos 의 값은?
[3점][2016(가) 7월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
62.62.좌표공간에서 원점에 대한 세 점 A B C 의 위치벡터를 차례로
, , 라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같 다.
∙
예를 들어, ∙
이다. 세 점 A B C 에 대하여 두 점 사 이의 거리의 대소 관계로 옳은 것은?[4점][2017(가) /수능 16]
① AB AC BC ② AB BC AC
③ AC AB BC ④ BC AB AC
⑤ BC AC AB
평면벡터의 내적의 성질의 활용 06
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
내적의 기하학적 의미의 활용 09
63.63.그림과 같이 AB 인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 중심을 I 라 하고, 점 I 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 하자. BD 일 때, BA ∙ BI 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/교육청 25]
64.64.그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때, CA ∙ CH 의 값은?
[4점][2016(가) 7월/교육청 19]
A H B
C
(가) 점 H 가 선분 AB 를 으로 내분한다.
(나) AB ∙ AC
(다) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다.
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
두 직선의 평행 조건과 수직 조건 04
방향벡터와 법선벡터의 위치 관계 05
벡터를 이용한 원의 방정식
06
3. 평면 운동 Ⅱ 평면벡터
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
65.65.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치
가
이다. 시각 에서 점 P 의 속력은?
[3점][2017(가) /수능 10]
①
② ③
④
⑤
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
66.66.수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos
이다. 점 P 의 시각
에서의 가속도의 크기를 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 26]
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
시간에 대한 길이의 변화율 04
시간에 대한 넓이의 변화율 05
시간에 대한 부피의 변화율 06
시간에 대한 각의 변화율 07
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
치환적분을 이용한 움직인 거리 02
곡선의 길이(1) 03
곡선의 길이(2)
04
기하와벡터 1. 공간도형
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
삼수선의 정리 02
67.67.평면 위에 있는 서로 다른 두 점 A , B 를 지나는 직선을 이라 하고, 평면 위에 있지 않은 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. AB P A P B , P H 일 때, 점 H 와 직선 사이의 거리는?
[3점][2015(B) /수능 12]
①
②
③
④
⑤
68.68.좌표공간의 점 P 에서 평면에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 평면 위의 한 직선 과 점 P 사이의 거리가
일 때, 점 H 와 직선 사이의 거리는?[3점][2014(B) 10월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤ 69.69.그림과 같이 AB AC , BC
인 삼각형 ABC 가 평 면 위에 있고, 점 P 의 평면 위로의 정사영 Q 는 삼각형 ABC 의 무게중심과 일치한다. 점 P 에서 직선 BC 까지의 거리는?[4점][2015(B) 7월/교육청 15]
A
C B
Q
평면
P
①
②
③
④
⑤
70.70.좌표공간에 서로 수직인 두 평면 와 가 있다. 평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 AB
이고 직선 AB 는 평면 에 평행하다.점 A 와 평면 사이의 거리가 이고, 평면 위의 점 P 와 평면 사이의 거리는 일 때, 삼각형 P AB 의 넓이를 구하시오.
[4점][2016(B) /수능 27]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
71.71.평면 위에 ∠A ° 이고 BC 인 직각이등변삼각형 ABC 가 있다. 평면 밖의 한 점 P 에서 이 평면까지의 거리가 이고, 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발이 점 A 일 때, 점 P 에서 직선 BC 까 지의 거리는?
[3점][2010(가) /수능 5]
①
② ③
④
⑤ 72.72.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 구 위에 점 C 가 있다. 점 A 를 지나고 직선 AB 에 수직인 직선 이 직선 BC 에 수직이다. 직선
위의 점 D 에 대하여 BD , CD 일 때, 선분 AC 의 길이는?
(단, 점 C 는 선분 AB 위에 있지 않다.)
[4점][2016(가) 10월/교육청 15]
①
② ③
④
⑤
직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각 03
73.73.정팔면체 ABCD EF 에서 두 모서리 AC 와 D E 가 이루는 각의 크 기를 라 할 때, cos 의 값은?
단 ≤ ≤
[3점][2012(가) 10월/교육청 7]
① ②
③
④
⑤
두 평면이 이루는 이면각의 크기 04
74.74.사면체 ABCD 에서 모서리 CD 의 길이는 , 면 ACD 의 넓이 는 이고, 면 BCD 와 면 ACD 가 이루는 각의 크기는 ° 이다. 점 A 에서 평면 BCD 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 AH 의 길이 는?
[3점][2009(가) 9월/평가원 5]
①
② ③ ④
⑤
여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기
05
기하와벡터 1. 공간도형
2 정사영
정사영의 길이 01
정사영을 이용한 타원의 넓이 구하기 02
두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이 03
75.75.그림과 같이 좌표공간에 세 점 A , B , C 이 있다. 선분 AB 위의 한 점 P 에서 선분 BC 에 내린 수 선의 발을 H 라 할 때, P H 이다. 삼각형 P BH 의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2013(B) 10월/교육청 15]
①
②
③
④ ⑤
76.76.그림과 같이 AB BC cos∠ABC
인 사면체 ABCD 에 대하여 점 A 의 평면 BCD 위로의 정사영을 P 라 하고 점 A 에서 선분 BC 에 내린 수선의 발을 Q 라 하자.
cos∠AQ P
일 때, 삼각형 BCP 의 넓이는 이다. 의 값 을 구하시오.
[4점][2015(B) 9월/평가원 26]
두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04
두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각 05
복잡한 도형의 정사영의 넓이 06
부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이 07
태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이 08
정사면체의 활용
09
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 공간좌표
공간좌표의 이해 01
77.77.좌표공간에서 점 P 과 점 A 사이의 거리는 점 P 와 점 B 사이의 거리의 배이다. 양수 의 값은?
[2점][2011(가) /수능 3]
①
②
③
④ ⑤
78.78.좌표공간에서 평면 과 평면 의 교선을 이라 하자. 점 P 가 직선 위를 움직일 때, 선분 O P 의 길이의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)
[3점][2008(가) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
79.79.좌표공간의 점 P 을 평면에 대하여 대칭이동시킨 점을 Q 라 하자. 두 점 P 와 Q 사이의 거리는?
[3점][2015(B) 9월/평가원 4]
① ② ③
④ ⑤
80.80.좌표공간에서 두 점 A , B
을 지나는 직선 이 있다. 점 P
로부터 직선 에 이르는 거리는?[3점][2005(가) 9월/평가원 8]
① ②
③
④ ⑤
81.81.좌표공간에 점 A 가 있고, 평면 위에 타원
이 있다. 타원 위의 점 P 에 대하여 AP 의 최댓값을 구하시오.
[3점][2012(가) /수능 24]
기하와벡터 2. 공간좌표
2 선분의 내분점과 외분점
선분의 내분점과 외분점 01
82.82.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은?
[3점][2015(B) /수능 5]
① ② ③
④ ⑤
83.83.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[점][2014(B) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
84.84.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[2점][2013(가) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
85.85.좌표공간의 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 외분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은?
[3점][2017(가) /수능 8]
① ② ③
86.86.좌표공간에서 두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표가 이다. 의 값은?
[2점][2016(가) 9월/평가원 3]
① ② ③
④ ⑤
87.87.좌표공간에서 점 P 를 평면에 대하여 대칭이동한 점 을 Q 라 하자. 선분 P Q 를 로 내분하는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 9월/평가원 18]
88.88.좌표공간의 세 점 A B C 에 대하여 선분 BC 를 로 내분하는 점을 P , 선분 AC 를 로 내분하는 점을 Q 라 하자. 점 P , Q 의 평면 위로의 정사영을 각각 P ′, Q ′이 라 할 때, 삼각형 O P ′Q ′ 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.)
[3점][2005(가) 9월/평가원 14]
① ② ③
④ ⑤
89.89.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점이 평면 위에 있을 때, 의 값은?
[2점][2013(B) 7월/교육청 3]
① ② ③
④ ⑤
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 삼각형의 무게중심
02
90.90.좌표공간에서 세 점 A , B , C 을 꼭 짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표가 일 때, 의 값 은?
[2점][2016(B) /수능 3]
① ② ③
④ ⑤
3 구의 방정식
구의 방정식 01
구의 위치 관계 02
구 밖의 한 점에서 그은 접선의 자취 03
구의 방정식의 활용
04
기하와벡터 1. 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
구의 벡터의 크기 02
공간벡터의 성분과 크기 03
공간벡터의 위치벡터 04
세 점이 한 직선 위에 있을 조건 05
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
공간벡터의 내적의 범위의 활용 02
성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03
두 벡터가 이루는 각의 크기 04
91.91.두 벡터 이 이루는 각의 크기 의 값은? (단, ≤ ≤ 이다.)
[2점][2006(가) 9월/평가원 3]
①
②
③
④
⑤
공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소
07
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식 01
92.92.좌표공간에서 두 점 A , B 을 지나는 직선과 직 선 이 서로 수직일 때, 의 값은?
[3점][2014(B) /수능 6]
① ② ③
④ ⑤
직선과 교점의 좌표 구하기 02
93.93.좌표공간에서 직선
가 평면 와 만나는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[2점][2010(가) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
평면의 방정식 03
94.94.좌표공간에서 직선
에 수직이고,
점 를 지나는 평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)
[3점][2014(B) 9월/평가원 24]
직선과 평면의 교점 04
직선과 평면의 활용 05
두 평면의 교선의 방정식 06
평면에 대하여 대칭인 점 07
직선과 평면의 위치 관계 08
두 직선과 평면이 이루는 교각 09
95.95.좌표공간에서 평면 과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos의 값은?
[3점][2017(가) /수능 12]
①
②
③
④
⑤
96.96.평면 과 평면 이 이루는 각의 크기 가 °일 때, 양의 상수 의 값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 6]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 도형의 방정식 직선과 평면이 이루는 각
10
두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11
97.97.좌표공간에 점 A 과 평면 이 있 다. 평면 위의 점 P 가 AP ≤ 을 만족시킬 때, 점 P 가 나타내는 도형의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2016(B) /수능 19]
①
②
③
④
⑤
98.98.좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 높이는 이다.
(나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 과 오직 한 점 에서 만난다.
이 원기둥의 한 밑면의 평면 위로의 정사영의 넓이는?
[4점][2012(가) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
점과 평면 사이의 거리 12
99.99.좌표공간에서 점 A 가 직선
위 에 있을 때, 점 A 와 평면 사이의 거리는?
(단, , 는 상수)
[3점][2005(가) 10월/교육청 8]
① ② ③
④ ⑤
100.100.구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 와 평면 사이의 거리의 최댓값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 10월/교육청 24]
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터
2 평면과 구의 방정식
구와 평면이 접하는 경우 01
101.101.좌표공간에서 평면 이 구
에 접하도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오.
[3점][2017(가) /수능 24]
구와 평면이 교선(원)으로 만나는 경우 02
평면 위로의 정사영
03
정답과 해설 교육청/평가원
빠른 정답 정답과 해설
1. [정답]
[풀이]
[출제의도] 포물선의 초점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
포물선 의 초점 F의 좌표는 F 즉, F 이다.
포물선 초점 F의 좌표는 F 즉, F 이다.
∴FF
2. [정답] ① [풀이]
log 의 점근선은 , 포물선 의 준선은
이므로
log 가
의 초점
을 지나므로 log
log
∴
∴
3. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 정적분의 활용 이해하기
포물선 의 준선의 방정식은 이다.
의 그래프와 직선 ,
축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
4. [정답]
[풀이]
[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 좌표를 구하고 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가?
포물선 의 초점은 F 이다.
이때, 점 A에서 준선 에 수선의 발을 H라 하면
AF AH이다.
이때 AF 이므로 점 A의 좌표를 라 하면 , 이때, 점 A의 좌표는 에 대입하면 ×
또는
이때, 점 A 또는 A 이므로
AB
따라서 이므로
5. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한 다.
1 2 ① 3 ② 4 5 ③
6 ① 7 ⑤ 8 32 9 10 ②
11 ③ 12 ④ 13 14 ④ 15 32
16 ④ 17 ④ 18 ② 19 ④ 20 ②
21 ⑤ 22 ⑤ 23 ① 24 ① 25 19
26 ① 27 ① 28 ③ 29 ② 30 ①
31 ① 32 ② 33 34 35
36 ④ 37 ① 38 ② 39 ① 40 ④
41 42 ① 43 ② 44 ① 45 ③
46 ⑤ 47 ⑤ 48 ④ 49 ⑤ 50 ④
51 ⑤ 52 53 ② 54 17 55 ⑤
56 57 ① 58 ② 59 ② 60 ③
61 ③ 62 ② 63 64 ① 65 ③
66 40 67 ① 68 ⑤ 69 ① 70
71 ② 72 ③ 73 ③ 74 ② 75 ③
76 77 ① 78 ② 79 ④ 80 ①
81 82 ④ 83 ⑤ 84 ③ 85 ①
86 ① 87 88 ① 89 ② 90 ④
91 ② 92 ① 93 ④ 94 10 95 ④
96 ④ 97 ⑤ 98 ② 99 ② 100
101
기하와벡터 정답과 해설
∠EFB
이고 BF BE이므로 ∆BEF는 정삼각형이다.
FC 이므로 FB FE FC
AF AD이고 ∠DAE
이므로 AE AD AF에서 AF 즉,
AF
∴ ∆AFB
⋅⋅⋅
6. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 이차곡선 – 포물선
AF BF
에서,
∴ BD BF
7. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 포물선의 성질을 활용하여 문제 해결하기
포물선 의 초점 F의 좌표는
점 D에서 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 D ′이라 하면
DD′ FD 이므로 점 D의 좌표는 4이고 점 D 의 좌표는 점 B 의 좌표를 라 하면
직선 BF의 기울기와 직선 FD의 기울기가 같으므로
,
이므로
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
× ×
8. [정답] 32 [풀이]
에서
[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 삼각형의 둘레의 길이의 합을 구 할 수 있는가?
타원
의 두 초점은 F , F′ 즉, F , F′ 이다.
이때, 그림과 같이 PF′ , PQ , QF 라 하자.
이때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이와 삼각형 PF′F의 둘레의 길이의 합은
FF′
··· ㉠
한편, 타원의 정의에 의해 QF QF′ × 이므로
이 값을 ㉠에 대입하면 구하는 둘레의 길이의 합은 이다.
10. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 타원의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다.
타원의 장축의 길이를 라 하면 삼각형 FPQ 의 둘레의 길이가
이므로
PQ QF PF PF PF ′ QF QF ′
PF PF ′
F ′Q 라 하면 삼각형 FPQ 는 직각삼각형이므로
에서 따라서 구하는 넓이는
× ×
11. [정답] ③ [풀이]
마름모 ABCD를 오른쪽 그림처럼 놓고 점 A, D의 좌표를 각각 ,
이라 하자. 그리고 초점을 F 이라 하자.
AD 이므로 ⋯⋯ ㉠
이므로
⋯⋯ ㉡
㉠+㉡에서
∴ 마름모 ABCD의 넓이는
⋅
이다.12. [정답] ④ [풀이]
원점에서 초점까지의 거리를 라고 하면 ∠AFB
이고 OF c 이므로
FB , OB 이다.
또, BF
