1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식 01
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
1.1.그림과 같이 포물선 의 초점 F 를 중심으로 하고 원점을 지 나는 원 가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B 에 대하여 선분 FA 와 선분 FB 가 원 와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P 는 선분 FA 의 중점이고, 점 Q 는 선분 FB 를 로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB 의 넓이가 일 때, 의 값은? (단, 점 A 와 점 B 는 제 사분면 위에 있다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 18]
B
O
A
P Q
F
① ② ③
④ ⑤
2.2.포물선 의 초점을 F , 준선이 축과 만나는 점을 P , 점 P 를 지나고 기울기가 양수인 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. FA FB 일 때, 직선 의 기울기는?
[4점][2012(가) 6월/평가원 20]
①
②
③
④
⑤
두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합 03
무게중심을 이용한 포물선의 정의 04
3.3.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정삼각형 O AB 의 무게중심 G 가 축 위에 있다. 꼭짓점이 O 이고 초점이 인 포물선과 직선 G B 가 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, 선분 G P 의 길이를 구하시오.(단, O 는 원점이다.)
[4점][2011(가) 6월/평가원 29]
4.4.두 양수 , 에 대하여 포물선 와 직선 가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과 축이 만 나는 점을 B , 직선 와 축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼 각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 28]
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의
05
5.5.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 위의 점 P 에서 축에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 P FH 의 넓이가
일 때, 선분 P F 의 길이는? (단, 점 P 의 좌표는 점 F 의 좌표보다 크다.)[3점][2016(가) 4월/교육청 13]
O F H
P
① ② ③
④ ⑤
초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화 06
최단거리 구하기 07
2 타원
타원의 방정식 01
6.6.원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원 의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.
[3점][2012(가) 7월/교육청 23]
7.7.타원 의 한 초점의 좌표가 일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 6월/평가원 26]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합
02
8.8.아래 그림과 같이 두 초점 F F ′ 이 축 위에 있는 타원
위의 점 P 가 FP 를 만족시킨다. 점 F 에서 선분 P F ′에 내린 수선의 발 H 에 대하여 FH
일 때, 상수 의 값 은?[4점][2014(B) 6월/평가원 17]
① ② ③
④ ⑤
9.9.그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 , ,
, 이고 반지름의 길이가 모두 같은 개의 원에 동시에 접하고, 초점이 축 위에 있는 타원이 있다.
이 타원의 두 초점 사이의 거리가
일 때, 장축의 길이를 구하시 오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.)[4점][2007(가) 10월/교육청 21]
10.10.그림과 같이 타원
의 장축을 등분한 후 장축의 양 끝점 을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직 인 직선을 그어 축 위쪽 부분에 있는 타원과의 교점을 차례로 P, P, P,
⋯ , P라 하자. 타원의 한 초점을 F 라고 할 때,
FP의 값을 구하
시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 23]
11.11.그림과 같이 두 초점이 F , F′ c 인 타원
이 있다. 타원 위에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에 대하여 선분 P F′
의 중점을 Q , 선분 P F 를 으로 내분하는 점을 R 라 하자.
∠P Q R
, Q R
, RF 일 때, 의 값을 구하시오.(단, , , 는 양수이다.)
[4점][2016(B) /수능 26]
기하와벡터 1. 이차곡선 타원 위의 점에서 거리의 합의 활용
03
타원의 방정식과 중점연결 정리 04
12.12.그림과 같이 타원
의 두 초점 중 좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P 에 대하여 선분 P F′
의 중점 M 의 좌표가 이고 P M P F 일 때, 의 값은?
(단, , 는 상수이다.)
[4점][2016(가) 4월/교육청 17]
O
F F′
M
P
① ② ③
④ ⑤
타원의 성질 05
13.13.그림과 같이 타원
에 내접하는 정삼각 형 ABC 가 있다. 타원의 두 초점 F , F ′이 각각 선분 AC , AB 위에 있을 때,
의 값은? (단, 점 A 는 축 위에 있다.)
[3점][2008(가) 10월/교육청 5]
①
②
③
④
⑤
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기 06
14.14.오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCD EF 의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 개를 그 린 것이다.
그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형 개 의 넓이의 합이
일 때, 타원의 단축 의 길이는?[3점][2006(가) /수능(홀) 7]
①
② ③
④ ⑤
타원과 원 07
타원과 포물선
08
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식 01
쌍곡선의 점근선 02
15.15.쌍곡선
이 점 을 지나고 두 점근선의 방정식이
, 이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[3점][2016(가) 4월/교육청 24]
16.16.점근선의 방정식이 ±
이고 두 초점이 F ,
F ′ 인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 P F ′ ,
≤ P F ≤ 이다.
(나) 좌표가 양수인 꼭짓점 A 에 대하여 선분 AF 의 길이는 자연수이다.
이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[4점][2017(가) /수능 28]
17.17.원 과 쌍곡선
이 서로 다른 네 점에서 만 나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방 정식이
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)[3점][2015(B) 7월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
18.18.두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡 선의 한 점근선이
일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는?[3점][2004(가) 9월/평가원 5]
①
②
③
④ ⑤
19.19.점근선의 방정식이 ±
이고, 한 초점의 좌표가 인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[3점][2013(B) 7월/교육청 24]
20.20.쌍곡선
과 직선 는 상수의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. 이고 일 때 교점은 없다.
ㄴ. 이고 일 때 교점은 개이다.
ㄷ.
이고 일 때 교점은 개이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이
03
21.21.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F , F′이라 하자.
제 사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 와 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 Q 에 대하여 P F′ Q F′ 일 때, Q F P F 의 값을 구하시오.
[3점][2008(가) /수능(홀) 21]
22.22.그림과 같이 초점이 각각 F F′과 G G ′이고, 주축의 길이가
중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분 면에서 만나는 점을 Q 라 하자. P G × Q G P F× Q F 일 때, 사 각형 P G Q F 의 둘레의 길이는? (단, 점 F의 좌표와 점 G 의 좌표 는 양수이다.)
[4점][2015(B) 6월/평가원 19]
①
②
③ ④
⑤
23.23.쌍곡선
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 ∠F ′P F 의 이등분선이 축과 점 A 에서 만 날 때, 삼각형 P F ′ F 의 둘레의 길이를 구하시오.
[3점][2007(가) 10월/교육청 19]
쌍곡선의 정의와 원의 활용 04
24.24.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점은 F , F ′이고, 점 F 를 중심으로 하는 원 는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제사분면에 있 는 쌍곡선 위의 점 P 에서 원 에 접선을 그었을 때 접점을 Q 라 하자.
P Q 일 때, 선분 P F ′의 길이는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
25.25.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P 를 중심으로 하고 선분 P F′을 반지름으로 하는 원을 라 하자. 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여 선분 FQ 의 길 이의 최댓값이 일 때, 원 의 넓이는? (단, P F′ P F )
[4점][2016(가) 6월/평가원 18]
① ② ③
④ ⑤
26.26.원 과 쌍곡선 이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수 의 최댓값은?
[3점][2011(가) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
쌍곡선의 정의를 이용한 넓이 05
27.27.두 초점이 F F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 가 다음 조건 을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 제 사분면에 있다.
(나) 삼각형 P F ′F 가 이등변삼각형이다.
삼각형 P F ′F 의 넓이를 라 할 때, 모든 의 값의 곱은?
[4점][2015(B) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
쌍곡선과 타원 06
쌍곡선과 포물선 07
28.28.그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
과 점 F 를 초점으로 하는 포물선 가 있 다.
쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여 P F P F′ 이 성립하고, 포 물선의 꼭짓점 A 에 대하여 AF′ FF′ 이 성립한다. 이 때,
의 값은? (단, 이다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
이차곡선과 함수의 연속
08
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식 01
29.29. 가 의 함수일 때, 곡선 ln 위의 점 에서의 접선 의 기울기는?
[3점][2006(가) 9월/평가원 27]
① ②
③
④ ⑤
30.30.곡선 ln 위의 점 에서의 접선의 기울기는?
[3점][2012(가) 4월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
31.31.좌표평면에서 곡선 위의 점 에서의 접선의 기 울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 4월/교육청 24]
32.32.좌표평면에서 곡선 ln 위의 점 에서 의 접선의 기울기는?
[3점][2011(가) /수능 27]
①
②
③
④
⑤
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 02
33.33.그림과 같이 포물선 위의 점 A 에서 이 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B 라 하자. 다음은 점 A 에서의 접선과 직선 O B 가 만나는 점을 P 라 할 때, 점 P 의 좌표를 구하는 과정이다. (단,
≠ 이고 O 는 원점이다.)
포물선의 방정식 의 양변을 에 대하여 미분하여 정리 하면
㈎ (단, ≠ )
이므로 점 A 에서의 접선의 방정식을 구하면
㈏ × ··· ㉠
이다.
B ㈐ 이므로 직선 O B 의 방정식은
㈐
··· ㉡
이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P 의 좌표를 구하면
㈐ ×
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, × 의 값은?
[4점][2016(가) 6월/평가원 17]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식 01
34.34.포물선 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. P Q
일 때, 의 값은?[3점][2010(가) /수능 4]
① ② ③
④ ⑤
35.35.두 양수 에 대하여 점 A 에서 포물선 에 그 은 두 접선이 축과 만나는 두 점을 각각 F F ′, 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 할 때, ∠P AQ
이다. 두 점 F F ′을 초점으로
하고 두 점 P Q 를 지나는 타원의 장축의 길이가
일 때, 의 값은?
[4점][2017(가) 수능 19]
① ② ③
④ ⑤
기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식 02
접점이 주어진 타원의 접선의 방정식 03
36.36.그림과 같이 두 초점이 F , F ′인 타원 위를 움직이 는 제 사분면 위의 점 P 에서의 접선 이 축과 만나는 점을 Q , 점 P 에서 접선 과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R 라 하자. 세 삼각형 P RF , P F ′R , P FQ 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P 의 좌표는?
[4점][2014(B) 7월/교육청 20]
O R F
F′ Q
P
①
②
③
④
⑤
37.37.점 에서 타원
에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q 라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F 라 할 때, 삼각형 P FQ 의 둘레의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2011(가) 6월/평가원 28]
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식
04
접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식 05
38.38.쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 타원
의 넓이를 이등분할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 26]
39.39.그림과 같이 두 초점이 F , F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 에서의 접선과 축과의 교점이 선분 F′F 를 로 내분할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 26]
40.40.쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선 에 대하여 원점 O 에서 에 내린 수선의 발을 H , 직선 O H 와 이 쌍곡선이 제 사 분면에서 만나는 점을 Q 라 하자. 두 선분 O H 와 O Q 의 길이의 곱
O H ⋅ O Q 를 구하시오.
[3점][2008(가) 9월/평가원 20]
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
06
41.41.좌표평면에서 쌍곡선
의 한 점근선에 평행하고 타원
에 접하는 직선을 이라 하자. 원점과 직선 사이의 거
리가 일 때,
의 값은?
[3점][2012(가) 9월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
42.42.직선 가 쌍곡선
에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?
[3점][2005(가) 9월/평가원 5]
①
②
③ ④
⑤
곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식 07
곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건 08
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법 01
매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법 02
43.43.매개변수 로 나타내어진 함수
tan , cos
단,
에 대하여 이 곡선 위의 점
에서의 접선의 기울기는?[3점][2011(가) 4월/교육청 20]
① ②
③
④
⑤
매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 03
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
사이클로이드
05
기하와벡터 1. 평면벡터의 연산
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈 01
정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우 02
이차곡선의 벡터의 크기 03
벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소 04
44.44.AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB , CD , D A , BD 의 중점을 각각 E , F , G , H 라 하자. 선분 CF 를 지 름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 EG HP의 최댓값은?
[4점][2016(가) 10월/교육청 18]
① ②
③
④
⑤
부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용 05
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산 01
벡터의 평행 02
벡터와 방향이 같은 단위벡터
03
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터
1 위치벡터
01 위치벡터
위치벡터와 삼각형의 넓이의 비 02
45.45.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가
P A P B P C P D CA
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 16]
ㄱ. P B P D CP ㄴ. AP
AC
ㄷ. 삼각형 AD P 의 넓이가 이면 직사각형 ABCD 의 넓이는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
위치벡터를 이용한 점의 자취 03
46.46.평면 위에 삼각형 O AB 가 있다.
O P O A O B ( ≥ , ≥ )를 만족하는 점 P 가 그리는 도형 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2005(가) 10월/교육청 9]
ㄱ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.
ㄴ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.
ㄷ. ≤ 일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 O AB 를 포함한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기 01
47.47.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터
O P , O Q 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 각각 P ′, Q ′ 이라 할 때, <보 기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) /수능(홀) 4]
ㄱ. O P O P ′
ㄴ. O P O QO P ′ O Q ′ ㄷ. O P ⋅O Q O P ′⋅O Q ′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적 01
48.48.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점 과 각 분점을 왼쪽부터 차례로
P, P, P, P, P, P, P
이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P ≤ ≤ 이라 하고, 선분 PP의 중점을 O 라 하자.
두 벡터 O P, O P의 내적 O P⋅O P의 값을 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 27]
벡터의 내적의 부호 02
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
평면벡터의 수직 조건과 평행 조건 04
벡터의 내적의 성질 05
49.49.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P
가 두 조건
P A ⋅ P B ≤ , O P ⋅ O A O B ≤ 를 만족할 때, 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는?
[4점][2004(가) 10월/교육청 13]
① ②
③ ④ ⑤
50.50.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를 로 내 분하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를 과 으로 내분하는 점을 각각 E , F 라 할 때, BF D E 의 값은?
[3점][2013(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면벡터의 내적의 성질의 활용
06
성분으로 주어진 내적의 최대 최소 07
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
51.51.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 꼭짓점 A 에서 변 BC 에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,
P A ⋅P B의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(가) /수능 26]
내적의 기하학적 의미의 활용 09
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식 01
52.52.함수
의 그래프는 그림과 같다. 함수 의
그래프 위의 두 점 P , Q
을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가
인 벡터를 라 하자. 의 값은?[3점][2016(가) 7월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식 02
평면상 두 직선이 이루는 각의 크기 03
53.53.좌표평면에서 두 직선
,
이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2016(가) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적 두 직선의 평행 조건과 수직 조건
04
방향벡터와 법선벡터의 위치 관계 05
벡터를 이용한 원의 방정식
06
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 01
평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기 02
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
시간에 대한 길이의 변화율 04
시간에 대한 넓이의 변화율 05
54.54.두 곡선 과 축 위의 점 P 가 있다.
점 P 를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선 과 만나 는 점을 각각 A B 라 하자. 또, 점 B 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 C 라 하고, 점 C 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 D 라 하자. 점 P 가 점 를 출 발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다. 점 P 가 점 를 지나는 순간, 삼각형 AD C 의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?
[4점][2013(B) 3월/교육청 14]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
시간에 대한 부피의 변화율 06
시간에 대한 각의 변화율 07
2 속도와 거리
평면운동에서 점이 움직인 거리 01
치환적분을 이용한 움직인 거리 02
곡선의 길이(1) 03
곡선의 길이(2) 04
55.55.좌표평면 위의 곡선
≤ ≤ 에 대하여 에서 까지의 곡선의 길이를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 7월/교육청 25]
기하와벡터 1. 공간도형
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
56.56.사면체 ABCD 의 면 ABC , ACD 의 무게중심을 각각 P , Q 라고 하자. <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고르면?
[3점][2004(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 직선 CD 와 직선 BQ ㄴ. 직선 AD 와 직선 BC ㄷ. 직선 P Q 와 직선 BD
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
삼수선의 정리 02
57.57.공간에서 평면 위에 세 변의 길이가 AB AC BC
인 삼각형 ABC 가 있다. 점 A 를 지나고 평면 에 수직인 직선 위 의 점 D 에 대하여 AD 이 되도록 점 D 를 잡을 때 ∆D BC 의 넓 이를 구하시오.
[4점][2006(가) 10월/교육청 24]
58.58.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFG H 가 있다. 모서리 AB 를 로 내분하는 점을 L , 모서리 HG 의 중점 을 M 이라 하자. 점 M 에서 선분 LD 에 내린 수선의 발을 N 이라 할 때, 선분 MN 의 길이는?
[4점][2013(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④
⑤
59.59.평면 위에 거리가 인 두 점 A , C 와 중심이 C 이고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 점 A 에서 이 원에 그은 접선의 접점을 B 라 하 자. 점 B 를 지나고 평면 와 수직인 직선 위에 BP 가 되는 점을 P 라 할 때, 점 C 와 직선 AP 사이의 거리는?
[4점][2012(가) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각
03
60.60.그림과 같이 AB BF , AD 인 직육면체 ABCD EFG H 에서 대각선 AG 가 세 면 ABCD BFG C ABFE 와 이루는 각의 크기를 각각 , , 라고 할 때, cos cos cos 의 값은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
두 평면이 이루는 이면각의 크기 04
61.61.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 선분 AD 를 으로 내분하는 점을 P , 로 내분하는 점을 Q 라 하자. 두 평면 P BC 와 Q BC 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2015(B) 10월/교육청 26]
62.62.그림과 같이 사면체 ABCD 의 각 모서리 의 길이는 AB AC , BD CD ,
BC , AD 이다. 평면 ABC 와 평면 BCD 가 이루는 이면각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은? (단, 는 예각)
[4점][2005(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기
05
기하와벡터 1. 공간도형
2 정사영
정사영의 길이 01
정사영을 이용한 타원의 넓이 구하기 02
두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이 03
63.63.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정팔면체 ABCD EF 가 있다. 두 삼각형 ABC , CBF 의 평면 BEF 위로의 정사영의 넓이를 각각 ,
라 할 때, 의 값은?
[4점][2015(B) 10월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
64.64.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD EFG H 의 내부에 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥이 있다. 원기둥의 밑면 의 중심은 두 정사각형 ABCD , EFG H 의 두 대각선의 교점과 각각 일치한다.
이 원기둥이 세 점 A F H 를 지나는 평면에 의하여 잘린 단면의 넓이 는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04
65.65.그림과 같이 평면 위에 넓이가 인 삼각형 ABC 가 있고, 평 면 위에 넓이가 인 삼각형 ABD 가 있다. 선분 BC 를 로 내 분하는 점을 P 라 하고 선분 AP 를 로 내분하는 점을 Q 라 하자.
점 D 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 Q 는 선분 BH 의 중점이다. 두 평면 , 가 이루는 각을 라 할 때, cos
이
다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 10월/교육청 27]
두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각 05
66.66.오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이 가 인 정육면체 ABCD EFG H 의 세 모서리 AD BC FG 위에
D P BQ G R 인 세 점 P Q R 이 있다. 평면 P Q R 와 평면 CG HD 가 이루 는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값 은?
단, ＜＜
[3점][2005(가) /수능(홀) 7]
①
②
③
④
⑤
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 복잡한 도형의 정사영의 넓이
06
67.67.반지름의 길이가 , 중심이 O 인 원을 밑면으로 하고 높이가
인 원뿔이 평면 위에 놓여있다. 그림과 같이 태양광선이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면 에 생기는 그림자 의 넓이는? (단, 원뿔의 한 모선이 평면 에 포함된다.)[3점][2013(B) 7월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤
부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이 07
태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이 08
정사면체의 활용 09
68.68.그림은 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC D EF 의 밑 면 ABC 와 모든 모서리의 길이가 인 정사면체 O ABC 의 밑면 ABC 를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 O B , BE 의 중점을 각각 M , N 이라 하고, 두 평면 MCA , NCA 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[4점][2014(B) 10월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 공간좌표
1 공간좌표
공간좌표의 이해 01
69.69.좌표공간에 두 점 과 을 지나는 직선 이 있 다. 점 와 직선 사이의 거리가 5일 때, 의 값은?
[4점][2014(B) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
70.70.좌표공간의 세 점 A , B , C 에 대하여
일 때, 삼각형 ABC 의 넓이의 최솟값은? (단, ＞ 이고
＞ 이다.)
[3점][2006(가) 9월/평가원 5]
①
②
③ ④
⑤ 71.71.좌표공간에서 점 A 를 축에 대하여 대칭이동한 점을 B 라 하고, 점 A 를 평면에 대하여 대칭이동한 점을 C 라 하자. 세 점 A , B , C 를 지나는 원의 반지름의 길이는?
[3점][2011(가) 10월/교육청 13]
①
②
③
④
⑤ 72.72.좌표공간에서 축을 포함하는 평면 에 대하여 평면 위의 원
의 평면 위로의 정사영의 넓이와 평면 위의 원 의 평면 위로의 정사영의 넓이가 로 같을 때, 의 값은?
[4점][2013(B) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
2 선분의 내분점과 외분점
선분의 내분점과 외분점 01
73.73.그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABCD EF 가 있다. 변 D E 의 중점 M 에 대하여 선분 BM 을 로 내분하는 점을 P 라 하자. CP 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 27]
E C
P
M
B A
D
F
삼각형의 무게중심 02
74.74.그림과 같이 좌표공간에서 한 변의 길이가 인 정육면체를 한 변 의 길이가 인 개의 정육면체로 나누었다. 이 중 그림의 세 정육면체 A , B , C 안에 반지름의 길이가 인 구가 각각 내접하고 있다. 개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표를 라 할 때,
의 값은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 8]
① ②
③
④ ⑤
3 구의 방정식
구의 방정식 01
75.75.구 을 평면으로 자른 단면 을 밑면으로 하고, 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?
[3점][2012(가) 7월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
76.76.좌표공간에서 구 과 구 이 원점에서 서로 접할 때,
의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
77.77.좌표공간에서 중심의 좌표, 좌표, 좌표가 모두 양수인 구 가 축과 축에 각각 접하고 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 구
가 평면과 만나서 생기는 원의 넓이가 이고 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 일 때, 구 의 반지름의 길이는?
[4점][2014(B) /수능 19]
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 공간좌표 구의 위치 관계
02
구 밖의 한 점에서 그은 접선의 자취 03
구의 방정식의 활용 04
78.78.좌표공간에 반구 , ≥ 가 있다. 축을 포함하는 평면 가 반구와 접할 때, 와 평면이 이루는 각을
라 하자. 이때, cos 의 값을 구하시오.
단,
[4점][2004(가) 9월/평가원 23]
1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
구의 벡터의 크기 02
공간벡터의 성분과 크기 03
공간벡터의 위치벡터 04
79.79.좌표공간의 세 점 A , B , C 과
평면 위의 점 P 에 대하여
P A P B P C
의 최솟값은?[3점][2011(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
세 점이 한 직선 위에 있을 조건 05
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
공간벡터의 내적의 범위의 활용 02
성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03
80.80.그림과 같이 AB AD ,
AE 인 직육면체 ABCD EFG H 에서 모서리 AE 를 으로 내분하 는 점을 P , 모서리 AB , AD , FG 의 중점을 각각 Q R S라 하자.
선분 Q R 의 중점을 T라 할 때, 벡터
TP 와 벡터 Q S의 내적 TP ∙ Q S의 값을 구하시오.
[3점][2009(가) /수능 20]
두 벡터가 이루는 각의 크기 04
공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소 07
81.81.좌표공간에서 세 점 A B C 에 대하여 선분 AB 의 중점을 D , 선분 BC 를 로 내분하는 점을
E 라고 하자.
점 P 가 선분 D E 위를 움직일 때, 두 벡터 O P 와 AP 의 내적
O P ⋅AP 의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 10월/교육청 16]
① ②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 도형의 방정식
1 직선과 평면의 방정식
공간상 직선의 방정식 01
82.82.좌표공간에 두 점 이 있고, 평면 위에 원 이 있다. 이 원 위의 점 을 지나고 축에 평행한 직선이 직선 와 만날 때, 의 값은?
[4점][2011(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
직선과 교점의 좌표 구하기 02
평면의 방정식 03
83.83.좌표공간에 점 P 가 있고 평면 위의 원 위에 두 점 A , B 가 있다. 평면 ABP 의 법선 벡터가
일 때, 선분 AB 의 길이는?
[4점][2016(가) 9월/평가원 18]
①
②
③
④
⑤
84.84.좌표공간에서 직선
에 수직이고
점 를 지나는 평면의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) /수능 20]
직선과 평면의 교점 04
85.85.점 A 을 지나고 직선
에 수직
인 평면을 라 하자. 평면 와 직선
의 교점 을 B 라 할 때, 선분 AB 의 길이는?
[3점][2005(가) /수능(홀) 6]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면의 활용 05
86.86.중심이 C 이고 반지름의 길이가
인 구와 직선
가 만나는 두 점을 A B 라 하자.
삼각형 CAB 의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) /수능(홀) 21]
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터 두 평면의 교선의 방정식
06
평면에 대하여 대칭인 점 07
직선과 평면의 위치 관계 08
두 직선과 평면이 이루는 교각 09
87.87.두 평면
, 이 이루는 각의 크기를 라 할 때, sin 의 값은?[3점][2016(가) 10월/교육청 11]
①
②
③
④
⑤
직선과 평면이 이루는 각 10
두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11
점과 평면 사이의 거리 12
PA PB 의 최솟값 13
직선과 평면의 내적 계산 14
88.88.좌표공간에서 직선
과 평면 가 점
P 에서 수직으로 만난다. 직선 위의 점 A 와 평면 위의 점 Q 에 대하여 AP ⋅AQ 일 때, 의 값은? (단,
)
[4점][2015(B) /수능 19]
① ② ③
④ ⑤
OA∙ OP OP
의 내적 계산 15
평면과 정사영의 활용 16
2 평면과 구의 방정식
구와 평면이 접하는 경우 01
89.89.평면 와 구 이 점 A 에서 접할 때, 평면 에 평행하고 구 와 접하는 평면의 방정식은?
[3점][2005(가) 9월/평가원 12]
① ②
③ ④
⑤
90.90.좌표공간에서 중심이 C 이고 반지름의 길이가
인 구가 두 평면 , 와 접하는 점을 각각 P , Q 라 하자. 두 평면 , 의 교 선의 방정식이 일 때, 삼각형 CP Q 의 넓이는 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 10월/교육청 29]
기하와벡터 2. 도형의 방정식 구와 평면이 교선(원)으로 만나는 경우
02
91.91.좌표공간에 구 와 구 밖의 한 점 A 가 있다. 점 A 에서 이 구에 그은 접선들의 접점으로 이 루어진 도형을 포함하는 평면과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 6]
①
②
③
④
⑤
92.92.좌표공간에서 중심이 C 인 구 와 평면 이 만나서 생기는 도형을 라 하자.
도형 위의 두 점 P , Q 에 대하여 두 벡터 CP , CQ 의 내적
CP ∙ CQ 의 최솟값은?
[4점][2008(가) /수능(홀) 9]
① ② ③
④ ⑤
93.93.좌표공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 세 점 A , B , C 를 지나는 평면에 의하여 잘린 도형의 넓이는 이다. 이때, 의 값을 구하시오.
[4점][2006(가) 10월/교육청 21]
94.94.좌표공간에서 직선
과 평면 의
교점을 라 하자. 중심이 점 이고 점 A 를 지나는 구가 평면 와 만나서 생기는 도형의 넓이는 이다. 의 값을 구하시오.
[3점][2011(가) /수능 21]
정답과 해설 교육청/평가원
빠른 정답 정답과 해설
1. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 포물선의 성질 이해하기
원의 반지름의 길이가 FP 이므로 AP
AF AH이므로 점 A의 좌표는
FQ 이므로 BQ
BF BG이므로 점 B 의 좌표는
삼각형 AFB 의 넓이는
× ×
따라서 2. [정답] ⑤ [풀이]
, (단, ) 이라 하면
포물선의 정의에서 준선 에서 , 까지의 거리의 비도
이다.
, ⋯⋯ ㉠
과 ,의 기울기에서
, ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하면
, 이므로
∴ 의 기울기는
3. [정답] [풀이]
삼각형의 높이는 3이므로
준선의 방정식은
에서 준선에 내린 수선의 발을 라 하면 와 축이 이루는 각이
이므로 ∠
이므로 삼각형 는 정삼각형이다
준선과 축이 만나는 점을 ′이라 하면 초점과 준선간의 거리 ′
× ′ ×
4. [정답]
[풀이]
[출제의도] 포물선의 성질 이해하기
포물선의 초점을 F , 점 A 라 하면,
1 ④ 2 ⑤ 3 4 5 ③
6 7 8 ② 9 10
11 12 ② 13 ⑤ 14 ④ 15
16 17 ③ 18 ④ 19 20 ⑤
21 22 ④ 23 24 ① 25 ③
26 ② 27 ⑤ 28 ④ 29 ① 30 ①
31 32 ⑤ 33 ① 34 ② 35 ①
36 ④ 37 38 39 40 32
41 ① 42 ④ 43 ② 44 ② 45 ⑤
46 ① 47 ③ 48 49 ① 50 ③
51 52 ② 53 ⑤ 54 ④ 55
56 ③ 57 60 58 ④ 59 ② 60 ③
61 62 ④ 63 ① 64 ③ 65
66 ⑤ 67 ⑤ 68 ③ 69 ⑤ 70 ②
71 ② 72 ⑤ 73 350 74 ② 75 ②
76 ④ 77 ② 78 79 ② 80
81 ④ 82 ② 83 ② 84 85 ④
86 87 ⑤ 88 ② 89 ② 90
91 ④ 92 ① 93 45 94
