편미분 방정식
Laplace 방정식
2 0
전하가 없는 공간에서 정전기 포텐셜 질량이 없는 공간에서 중력 포텐셜
열원이 없는 영역에서 정상상태의 온도 등 정전기장의 포텐셜 표현 E
전하가 없을 때의 가우스 법칙 D 0 0
0 )
( 2
D
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
0
0 2
2 2
2
2
y
V x
V V
0 V
0 ) V
0(y V V
x at V
x at y V V
a y at V
y at V
0
0 )
( 0
0 0
0
경계조건: 경계에서 포텐셜이 가질 수 있는 값 (cf. 초기조건)
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
) ( ) (x Y y X
V
풀이법: separation of variable
로 가정함. (주의!)
1 0 1
0 )
( )
(
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
y Y X Y
x X
y Y X x X
Y y XY
x XY y
V x
V
) (x
f g(x)
x만의 함수 y만의 함수
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
Y k y Y
X k x X
k y Y
k Y x X
X
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
1
0 ) ( )
(x g y
f 이 성립할 조건 (x,y 와 상관없이) 0
) (
; )
(x C1 g x C2 with C1 C2 f
두개의 이차상미분 방정식!
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
kx
kx Be
Ae X
X k x X
2
2 2
따라서
이차 상미분 방정식의 풀이
ky D
ky C
Y or De
Ce Y
Y k y Y
ikx
ikx sin cos
2 2
2
) cos sin
)(
(Ae Be C ky D ky
XY
V kx kx
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
에서 경계조건의 대입
) cos sin
(C ky D ky e
V kx
at x
V 0 A 0
0
0
at y
V 에서
ky Ce
V D
D C
V 1( 0 1) 0 0 kx sin
a y at
V 0 에서
n y Ce
V a
n k ka
Ce
V a x
n
kxsin 0
/ sin
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
일반해: 경계조건을 만족하는 모든 해의 합 (see superposition principle)
n n a x
n
a y C n
e
V
sin
Cn 의 추출: 남은 경계조건 및 푸리에 변환을 활용
n
n y
a C n
y
V
sin )
, 0 (
0 )
0(
V y at x V
양변에 y
a n'
sin 를 곱하고 적분함
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
' 0 '
0 0 0
2 2
sin ' sin
sin ' ' sin
sin ) (
n n
n nn a
n n
a
n n a
a C a C
a ydy y n
a C n
a ydy y n
a C n
a ydy y n
V
n a ydy
a y n
a V
C 2 0 0( )sin
2차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
0 인 경우
0(y) V
V
,...
5 , 3 , 1 0 /
/ 0 0
0 0
1 sin 4
sin )
, (
4 0 )
1 2 (cos
2 sin
n
a x n n
a x n n a n
a y e n
n V
a y e n
C y
x V
n n V
n V
a ydy n a
C V
숙제 8, 문제중심학습 A급, 정경호
3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
경계조건
2 0
2 2
2 2
2
z V y
V x
V
0 V
0 V
) ,
0(y z V
V
x at V
x at z y V V
a y y
b z z
at V
0
0 )
, (
, 0 ,
, 0 0
0
3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
풀이
0 )
(
, 1 , 1
0 1 1
1 1
) ( ) ( ) ( )
, , (
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
l k l
k with
dz l Z d k Z
dy Y d l Y
dx k X d X dz
Z d Z dy
Y d Y dx
X d X
z Z y Y x X z
y x V
lz F
lz E
z Z ky D
ky C
y Y Be
Ae x
X( ) k2 l2x k2 l2x, ( ) sin cos , ( ) sin cos
3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
경계조건
0 ,
0
0
at z y
V 에서
lz ky
Be Ae
z Z y Y x X
F D
x l k x
l
k )sin sin
( ) ( ) ( ) (
0
2 2 2
2
at x
V 0 에서
lz ky
Ce z
Z y Y x X A
x l
k sin sin
) ( ) ( ) ( 0
2 2
3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
경계조건
a y b z at
V 0 , 에서
b z y m
a Ce n
z Z y Y x X
b m l a n k
x b m a
n
sin sin
) ( ) ( ) (
/ ,
/
2 2 2
2/ /
일반해
m n
x b m a n n
m z
b y m
a e n
C z
y x
V
sin sin
) , ,
( , 2/ 2 2/ 2
3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식
Cm,n의 추출
0 )
,
0(
V y z at x
V 에서 푸리에 급수전개방법을 이용하면
일반해
a b
n
m zdydz
b y m
a z n
y ab V
C , 4 0 0 0( , )sin
sin
' ,' '
' 0 0 ,
, 0 0
4 sin 4
' sin ' sin
sin
sin ' sin '
) , , 0 (
n m
m n
mm nn n m
m n
a b n m a b
abC ab C
zdydz b
y m a z n
b y m
a C n
zdydz b
y m a z n
y V
원통좌표계에서 라플라스 방정식
Separation of variable 1 0 ) 1 (
0 2
2 2
2 2
2
V
V z V r
r r r V r
1 0 1
) 1 1 (
1
1 0 )
1 (
) ( ) ( ) (
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
z Z Z R r
r r r r R
z Z r R
RZ r R
r r Z r
z Z r
R V
단순하게 분리되지 않음!
원통좌표계에서 라플라스 방정식
Z 부터 분리
2 2
2
2 2
2 2
1
1 ) 1
1 ( 1
K z Z
Z
r K r R
r r r
R
Kz
Kz B
Ae Z
K z Z
Z
2
2
1 2
원통좌표계에서 라플라스 방정식
r2을 곱하고 분리
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
1
0 )
( ) 1 (
n
r K n
r R r r
R r
r K r R
r r R
r
D nn
Csin cos
원통좌표계에서 라플라스 방정식
R 방정식
0 )
( 2 2 2
R n K r
r r r R
r
이 방정식의 해는 간단하게 주어지지 않음!
) ( )
(Kr FN Kr EJ
R n n
J: Bessel function
N: Neumann function
원통좌표계에서 라플라스 방정식
경계조건: 원통형 금속 내의 정전 포텐셜
0
) 2 (
) 0 (
0
0 ,
0 0
r at V
V V
a r at V
z at V
z at V V
0 int,
,
0
A n F
n
Kr n
n
n Kr C n D n e
J
V ( )( sin
cos
)) ( )
(Kr FN Kr EJ
R n n
D nn
Csin cos
Kz
Kz B
Ae
Z
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
Separation of variable
sin 0 ) 1
sin (sin ) 1
1 (
0 2
2 2
2 2
2 2
2
V
V r V r
r r r V r
) ( ) ( )
(
R r V
sin 0 1 ) 1
sin (sin 1 ) 1
1 (
2 2 2
2
R
r r r R
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
를 곱하면
sin2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
1
0 )
1 (sin sin
) 1 (
sin
1 0 ) 1 (sin
sin )
1 ( sin
m
m r R
r r R
r R r r
R
m Asinm
Bcosm1 2
2
2
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
남은 식을 sin2
로 나누고 정리
k r R
r r R
m k R m
r r r R
) 1 (
sin 0 )
1 (sin sin
1
sin 0 )
1 (sin sin
) 1 1 (
2
2 2
2 2 2
θ 방정식의 추출
0 )
1 (sin 1
2
2
m k
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
로 놓으면 )
1 (
ll k
이 방정식의 해: Legendre 함수
0 ) 1 sin (
) 1 (sin
sin 1
2
2
m l l
) (cos
m
Pl
) 3 5
2( ) 1 ( ), 1 3
2( ) 1 (
) ( ,
1 ) (
0 3 3 0 2
2
0 1 0
0
x x
x P x
x P
x x P x
P
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
R 방정식의 풀이
Trial solution
) 1 ( )
1 ( 2
R l l
r r r R
1
l l
r R r
) 1 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 1 (
) 1 ( ) 1 (
) 1 (
1 2
2 1
2
1 2
l l r
l l r
r l
r r
l l r r
l l r r
l r r r
r r r
l l
l
l l l
l l
l
구면 좌표계에서 라플라스 방정식
일반해
) cos sin
)(
(cos )
(Ar Br 1 P
C m
D m
V l l lm
구의 내부인 경우 B=0
mn
m l l mn
ml ml
m l
lP C m D m r Y
r
V (cos
)( sin
cos
) (
,
) )cos sin
)(
(cos )
,
(
P
C m
D m
Ylm lm ml ml Spherical harmonics function 구의 외부인 경우 A=0
mn
m l l
mn
ml ml
m
l l Y
m r D
m C
r P
V 1 ( , )
) cos sin
)(
1 (cos
1
1
