정답과 풀이

(1)

정답과 풀이

실전모의고사

수학영역 나형

(2)

한눈에 보는 정답

실전모의고사 1

^회 | 본문 3 ~ 12쪽 |

01

^②

02

^②

03

^③

04

^①

05

^④

06

^④

07

^④

08

^④

09

^③

10

^③

11

^②

12

^⑤

13

^①

14

^④

15

^①

16

^⑤

17

^①

18

^②

19

^④

20

^⑤

21

^①

22

20

23

26

24

92

25

9

26

35

27

140

28

119

29

33

30

254

실전모의고사 2

^회 | 본문 13 ~ 22쪽 |

01

^④

02

^⑤

03

^②

04

^④

05

^②

06

^②

07

^⑤

08

^①

09

^③

10

^③

11

^①

12

^②

13

^④

14

^①

15

^④

16

^③

17

^④

18

^⑤

19

^③

20

^②

21

^⑤

22

¹¹

23

³²

24

²⁴

25

²⁹⁵

26

³⁰⁸

27

¹²⁸

28

¹¹⁸

29

⁷⁰

30

⁹¹

실전모의고사 3

^회 | 본문 23 ~ 32쪽 |

01

^④

02

^④

03

^⑤

04

^②

05

^④

06

^①

07

^①

08

^③

09

^④

10

^①

11

^③

12

^④

13

^③

14

^①

15

^②

16

^⑤

17

^③

18

^③

19

^①

20

^④

21

^⑤

22

²³

23

⁵

24

⁴⁶

25

⁴⁹

26

¹²⁰

27

¹⁰⁷

28

⁹

29

²⁴

30

⁹

실전모의고사 4

^회 | 본문 33 ~ 42쪽 |

01

^②

02

^④

03

^③

04

^④

05

^③

06

^④

07

^②

08

^①

09

^⑤

10

^②

11

^⑤

12

^③

13

^④

14

^②

15

^①

16

^⑤

17

^①

18

^⑤

19

^③

20

^①

21

^④

22

¹⁵

23

¹²

24

⁹

25

⁵⁷

26

²²⁵

27

⁶⁰

28

⁵⁷

29

¹²⁰

30

³

실전모의고사 5

^회 | 본문 43 ~ 52쪽 |

01

^③

02

^②

03

^③

04

^⑤

05

^③

06

^④

07

^⑤

08

^①

09

^③

10

^①

11

^②

12

^⑤

13

^③

14

^④

15

^①

16

^⑤

17

^④

18

^⑤

19

^②

20

^②

21

^④

22

5

23

8

24

16

25

10

26

256

27

28

143

29

721

30

25

실전모의고사 6

^회 | 본문 53 ~ 62쪽 |

01

^④

02

^③

03

^⑤

04

^④

05

^⑤

06

^②

07

^①

08

^②

09

^①

10

^③

11

^③

12

^④

13

^④

14

^③

15

^⑤

16

^②

17

^①

18

^⑤

19

^①

20

^③

21

^④

22

4

23

6

24

28

25

20

26

3

27

32

28

64

29

31

30

100

실전모의고사 7

^회 | 본문 63 ~ 72쪽 |

01

^⑤

02

^③

03

^⑤

04

^②

05

^⑤

06

^③

07

^③

08

^③

09

^①

10

^②

11

^②

12

^⑤

13

^①

14

^①

15

^⑤

16

^⑤

17

^③

18

^①

19

^③

20

^①

21

^⑤

22

35

23

15

24

10

25

18

26

20

27

120

28

39

29

20

30

8

(3)

따라서

x Ú 1+ lim`f(x)+lim

x Ú 1-`f(-x)‌‌=-2+3‌ ‌ ‌

=1

 ④

07

E(XÁÕ)=m,‌E(XªÕ)=m이므로 E(XÁÕ)

E(XªÕ) = m m =1 또,‌r(XÁÕ)= r

'¶n ,‌r(XªÕ)= r

'¶4n 이므로‌‌

r(XÁÕ) r(XªÕ) =

'¶n`r '¶4n`r

=2

따라서‌E(XÁÕ)

E(XªÕ) + r(XÁÕ)

r(XªÕ) =1+2=3‌

 ④

08

등차수열‌{aÇ}의‌공차를‌d라‌하면 SÁ¼¼>0,‌SÁ¼Á<0이므로‌d<0이다.

Ú SÁ¼¼=aÁ+aª+y+a»»+aÁ¼¼

‌ ‌ ‌ ‌=100(aÁ+aÁ¼¼) 2 SÁ¼¼>0이므로‌aÁ+aÁ¼¼

2 >0

‌ d<0이므로‌0<aÁ+aÁ¼¼

2 <aÁ+a»»

2 =a°¼‌

‌ 에서‌a°¼>0‌

Û‌SÁ¼Á=aÁ+aª+y+aÁ¼¼+aÁ¼Á

‌‌‌‌‌‌‌‌‌=101(aÁ+aÁ¼Á) 2

‌‌‌‌SÁ¼Á<0이므로‌aÁ+aÁ¼Á 2 <0

‌‌‌‌aÁ+aÁ¼Á

2 =a°Á<0

Ú,‌Û에서‌aÇ<0을‌만족시키는‌자연수‌n의‌최솟값은‌51이다.

 ④

09

limn Ú ¦ 1n Án

k=1 `f‌{1+ kn }=:!2 f(x)dx

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ ‌ =:!2 (xÛ`-2x+2)dx

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ ‌ =[ 13 xÜ`-xÛ`+2x]2!

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ={ 83 -4+4}-{1

3 -1+2}=4 3

 ③

10

이‌지역‌신생아‌1명의‌몸무게를‌확률변수‌X라‌하면‌X는‌정규분포‌N(3.3,‌0.2Û`) 을‌따르고,‌Z= X-3.30.2 으로‌놓으면‌확률변수‌Z는‌표준정규분포‌N(0,‌1)을‌

따른다.‌따라서

P(2.9ÉXÉ3.6)=P{ 2.9-3.30.2 É X-3.30.2 É 3.6-3.30.2 }

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=P(-2ÉZÉ1.5)

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=P(-2ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1.5)

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=P(0ÉZÉ2)+P(0ÉZÉ1.5)

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=0.4772+0.4332=0.9104

 ③

실전모의고사 1

^회

01

^②

02

^②

03

^③

04

^①

05

^④

06

^④

07

^④

08

^④

09

^③

10

^③

11

^②

12

^⑤

13

^①

14

^④

15

^①

16

^⑤

17

^①

18

^②

19

^④

20

^⑤

21

^①

22

²⁰

23

²⁶

24

⁹²

25

⁹

26

³⁵

27

¹⁴⁰

28

¹¹⁹

29

³³

30

²⁵⁴

| 본문 3 ~ 12 쪽 |

01

Ü'9_á'¶27=9^;3!;_27^;9!;

‌ ‌ ‌ ‌ =(3Û`)^;3!;_(3Ü`)^;9!;

‌ ‌ ‌ ‌ =3^;3@;_3^;3!;

‌ ‌ ‌ ‌ =3^;3@;+;3!;=3

 ②

02

limn Ú ¦ 2nÛ`+n+1 nÛ`-3n+2=lim

n Ú ¦

2+ 1n + 1 nÛ`

1-` 3n +` 2 nÛ`

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ =2

 ②

03

f(x)=xÝ`-2xÛ`+1이므로 f`'(x)=4xÜ`-4x 따라서

f`'(2)=4_8-4_2=24

 ③

04

{(A;B)'(A;B )}'{(A 'B);(A 'B )}

={A;(B'B )}'{A '(B;B )}

=(A;U)'(A '/)

=A'A =U

 ①

05

{2xÛ`+ 1x }Þ`의‌일반항은‌

°C¨(2xÛ`)^5-r‌{ 1x }¨`에서

°C¨_2^5-r_x^10-3r‌(r=0,‌1,‌2,‌y,‌5) 10-3r=1일‌때,‌r=3

따라서‌x의‌계수는

°C£_2Û`=10_4=40

 ④

06

x Ú 1+ lim`f(x)=-2

x Ú 1-lim`f(-x)= lim

t Ú -1+`f(t)=3‌

(4)

k=lim

x Ú 1 x f(x)+2 xÜ`-1

‌=lim_x Ú 1 x(2xÛ`+ax)+2 xÜ`-1

x‌‌Ú‌1일‌때‌극한값이‌존재하고‌(분모)‌‌Ú‌0이므로‌(분자)‌‌Ú‌0이어야‌한다.

lim

x Ú 1 {x(2xÛ`+ax)+2}=0에서‌a=-4

따라서 k=lim

x Ú 1 x(2xÛ`-4x)+2

xÜ`-1

‌‌=lim_x Ú 1 2(x-1)(xÛ`-x-1) (x-1)(xÛ`+x+1)

‌‌=lim

x Ú 1 2(xÛ`-x-1) xÛ`+x+1

‌‌=- 23

 ④

15

함수‌g(x)는‌최고차항의‌계수가‌ 13 인‌삼차함수이고,

조건‌(가)에서‌함수‌y=g(x)의‌그래프가‌원점에‌대하여‌대칭이므로 g(x)= 13 xÜ`+ax(a는‌상수)로‌놓을‌수‌있다.

이때‌g‌'(x)=xÛ`+a이고,

g(x)=:)/ f(t)dt에서‌g‌'(x)=f(x)이므로 f(x)=xÛ`+a

조건‌(나)에서‌함수‌g(x)의‌극값이‌존재하므로‌a<0이다.

g‌'(x)=0에서‌x=-'§-a‌또는‌x='§-a

함수‌g(x)가‌x='§-a에서‌극소이고,‌g‌'(0)=a이므로 g('§-a)= 13 _('§-a)Ü`+a'§-a=2

3 a'§-a 23 a'§-a=4

3 a에서‌'§-a=2 따라서‌a=-4이므로 f(x)=xÛ`-4 즉, f(5)=5Û`-4=21

 ①

16

조건‌(가)에서 f(m_n)=f(m)_f(n)이고,‌조건‌(다)에서 f(2)=3이므로 f(4)=f(2)_‌f(2)=3_3=9

f(8)=f(2)_‌f(4)=3_9=27 f(32)=f(4)_‌f(8)=9_27=243 한편, f(3)=k라‌하면

f(9)=f(3)_f(3)=k_k=kÛ`

f(27)=f(3)_f(9)=k_kÛ`=kÜ`

그런데‌조건‌(나)에서

f(8)<‌f(9)<‌f(27)<‌f(32)이므로 27<kÛ`<kÜ`<243

이‌부등식을‌만족시키는‌자연수‌k의‌값은‌6뿐이므로 f(3)=6

따라서

f(12)=f(3)_f(4)=6_9=54

 ⑤

17

Ú‌두‌선분‌PÁA,‌PÁB에‌의하여‌반원의‌내부가‌3개의‌부분으로‌나누어지므로

‌ a1=3

Û‌‌‌선분‌Pn+1A에‌의하여‌2n개의‌선분에‌의해‌반원의‌내부가‌나누어진‌부분보 다‌ n+1 개의‌부분이‌더‌생기고,‌선분‌Pn+1B에‌의하여‌2n개의‌선분에‌의 해‌반원의‌내부가‌나누어진‌부분보다‌ 1 개의‌부분이‌더‌생긴다.

11

12장의‌카드를‌일렬로‌배열하는‌경우의‌수는 12!

숫자‌1이‌적힌‌카드‌3장을‌하나로‌묶어‌10장의‌카드를‌일렬로‌배열하는‌경우의‌

수는 10!

이‌각각에‌대하여‌숫자‌1이‌적힌‌카드‌3장의‌자리를‌정하는‌경우의‌수는 3!

따라서‌구하는‌확률은 10!_3!

12! = 122

 ②

12

72=2Ü`_3Û`이므로

2Å`=72에서‌x=logª`72=logª(2Ü`_3Û`)=3+2`logª`3 3´`=72에서‌y=log£`72=log£(2Ü`_3Û`)=3`log£`2+2 즉,‌x-3=2`logª`3,‌y-2=3`log£`2

따라서‌xy-2x-3y+10‌‌=(xy-2x-3y+6)+4‌ ‌

=(x-3)(y-2)+4‌‌

=2`logª`3_3`log£`2+4‌ ‌

=6+4=10

 ⑤

다른 풀이

72=2Ü`_3Û`이므로

2Å`=72에서‌ 2Å`8 =9이므로‌2^x-3=9‌

3´`=72에서‌ 3´`9 =8이므로‌3^y-2=8‌

즉,‌x-3=logª`9,‌y-2=log£`8

따라서‌xy-2x-3y+10‌‌=(xy-2x-3y+6)+4‌ ‌

=(x-3)(y-2)+4‌‌ ‌ ‌

=logª`9_log£`8+4‌‌

=2`logª`3_3`log£`2+4‌ ‌

=6+4=10

13

[제k행]에‌적힌‌모든‌수의‌합‌Sû는 Sû= 2+2Û`+2Ü`+y+2û`

3û`

‌ = 2^k+1-2 3û`

‌ =2{ 23 }û`-2{1 3 }û

따라서‌_n=1Á^¦ SÇ=_n=1Á^¦ [2{ 23 }Ç`-2{1 3 }Ç``]

=2_

23

1- 23 -2_

13 1- 13 =4-1=3

 ①

14

조건‌(나)에서‌lim_x

Ú ¦ g(x)=2이므로

함수 f(x)는‌최고차항의‌계수가‌2인‌이차함수이다.

조건‌(가)에서 f(0)=0이므로

f(x)=2xÛ`+ax(a는‌상수)로‌놓을‌수‌있다.

한편,‌함수‌g(x)가‌x=1에서‌연속이므로‌g(1)=lim_x Ú 1 g(x)

(5)

따라서‌lim_n

Ú ¦ ‌SÇ은‌첫째항이‌(6-p)이고,‌공비가‌13

50 인‌등비급수의‌합이므로 limn Ú ¦ ‌SÇ= 6-p

1- 1350

‌ ‌ ‌ =50(6-p) 37

 ④

20

ㄱ.‌‌‌조건‌(가)에서 f(x)=0인‌x의‌값의‌개수가‌2이므로

‌‌‌‌함수‌y=f(x)의‌그래프가‌x축과‌만나는‌서로‌다른‌점의‌개수는‌2이다.‌(참) ㄴ.‌‌‌‌함수‌y=f(x)의‌그래프와‌x축이‌만나는‌서로‌다른‌두‌점의‌x좌표를‌각각‌

a,‌b‌(a<b)라‌하면‌ㄱ에서‌최고차항의‌계수가‌1인‌삼차함수‌y=f(x)의‌

그래프는‌그림과‌같이‌두‌가지‌경우가‌있다.

Ú ^y=f(x)

a 2a+b b x

3

Û y=f(x)

b

a x

a+2b3

‌‌‌‌위의‌두‌가지‌경우‌모두‌함수‌|f(x)|는‌극댓값‌1개와‌극솟값‌2개를‌갖는다.

‌‌‌‌‌‌그런데‌함수‌|f(x)|의‌극솟값이‌모두‌0이므로‌함수‌|f(x)|의‌서로‌다른‌

극값의‌개수는‌2이다.‌(참) ㄷ.‌Ú의‌경우

‌‌‌‌`f(x)=(x-a)(x-b)Û`‌(a<b)로‌놓으면

‌‌‌‌`f‌'(x)‌‌=(x-b)Û`+(x-a)_2(x-b)‌ ‌

=(x-b)(3x-2a-b)

‌‌‌‌`f‌'(x)=0에서‌x=b‌또는‌x= 2a+b 3

‌ 즉,‌함수 f(x)는‌x= 2a+b 3 에서‌극대이다.

‌‌‌‌함수‌|f(x)|의‌두‌극솟값은‌모두‌0이고‌극댓값은

‌‌‌‌`f{ 2a+b 3 }={ 2a+b 3 -a}{ 2a+b 3 -b}Û`= 4 27 (b-a)Ü`

‌‌‌‌이므로‌조건‌(나)에서

‌‌‌ 4 27 (b-a)Ü`=32

27 에서‌b-a=2

‌‌‌‌이때‌방정식 f`'(x)=0의‌두‌근이‌x= 2a+b 3 ,‌x=b이므로‌

‌‌‌‌두‌근의‌차는

‌‌‌‌b- 2a+b 3 =2(b-a)

3 = 2_23 =4 3

‌‌‌‌Û의‌경우

‌‌‌‌`f(x)=(x-a)Û`(x-b)‌(a<b)로‌놓으면

‌‌‌‌`f‌'(x)‌‌=2(x-a)_(x-b)+(x-a)Û`‌ ‌

=(x-a)(3x-a-2b)

‌‌‌‌`f‌'(x)=0에서‌x=a‌또는‌x= a+2b 3

‌ 즉,‌함수 f(x)는‌x= a+2b 3 에서‌극소이다.‌

‌‌‌`함수‌|f(x)|의‌두‌극솟값은‌모두‌0이고‌극댓값은

‌‌‌‌`-f‌{ a+2b 3 }=-{ a+2b 3 -a}Û`{ a+2b 3 -b}= 4 27 (b-a)Ü`

‌‌‌‌이므로‌조건‌(나)에서

‌‌‌‌ 4 27 (b-a)Ü`=32

27 에서‌b-a=2

‌‌‌‌이때‌방정식 f‌'(x)=0의‌두‌근이‌x=a,‌x= a+2b 3 이므로

‌‌‌‌두‌근의‌차는

‌‌‌‌즉,‌an+1=an+(n+1)+1이다.

Ú,‌Û에서

aÁ=3,‌an+1=an+ n+2 ‌(n=1,‌2,‌3‌y) 이‌성립한다.

따라서 f(n)=n+1,‌g(n)=n+2,‌p=1이므로 g(13)+p

f(7) = 15+1 8 =2

 ①

18

점‌P가‌수직선의‌양의‌방향,‌음의‌방향으로‌1만큼‌움직이는‌것을‌각각‌‌Ú,‌Û`

로‌나타내자.

주사위를‌9번‌던진‌후‌점‌Q(1)에‌도착하는‌경우의‌수는 Ú 5개,‌Û‌‌4개

를‌일렬로‌나열하는‌경우의‌수와‌같다.

그런데‌점‌P가‌주사위를‌9번‌던졌을‌때,‌처음으로‌점‌Q(1)에‌도착해야‌하므로 첫‌번째는‌Û‌`이어야‌하고,‌8번째와‌9번째는‌‌Ú 이어야‌한다.

이때‌나머지‌Ú 3개와‌Û 3개를‌일렬로‌나열하는‌경우의‌수는 3!_3! =206!

이고,‌이‌중에서

Ú 2개가‌먼저‌나열되는‌경우와 Û‌,‌ ‌Ú,‌ Ú,‌ ‌Ú,‌ Û‌,‌ Û Ú,‌ Û,‌ ‌Ú,‌ ‌Ú,‌ Û‌,‌ Û‌

인‌경우는‌제외해야‌하므로‌조건을‌만족시키도록‌‌Ú‌5개,‌Û‌`‌4개를‌일렬로‌나 열하는‌경우의‌수는

20- 4! 3! -2=14

따라서‌주사위의‌눈의‌수가‌홀수일‌확률과‌짝수일‌확률은‌모두‌1 2 이므로 구하는‌확률은

14_{ 1 2 }á`= 7 256

 ②

19

Ú 두‌반원‌CÁ,‌CÁ'의‌넓이가‌모두‌ p 2 이므로

‌‌‌‌SÁ=3_2-2_p 2 =6-p Û AªBªÓ=2a,‌AªDªÓ=3a로‌놓으면

‌‌‌‌직각삼각형‌AªMÁDª에서

‌‌‌‌(3a)Û`+aÛ`=1

‌ ‌aÛ`= 1 10 이므로‌직사각형‌AÁBÁCÁDÁ과‌직사각형‌AªBªCªDª의‌넓이의‌비는‌

1‌:‌ 1 10 이다.

‌‌‌‌또,‌Aª'Bª'Ó=2b,‌Aª'Dª'Ó=3b로‌놓으면

‌‌‌‌직각삼각형‌Aª'Bª'NÁ에서

‌‌‌‌(2b)Û`+{ 3b 2 }Û`=1‌

‌‌‌‌‌bÛ`= 4 25 이므로‌직사각형‌AÁBÁCÁDÁ과‌직사각형‌Aª'Bª'Cª'Dª'의‌넓이의‌비 는‌1‌:‌ 4 25 이다.

‌‌‌ 즉,‌도형‌Rª에서‌새로‌색칠한‌부분의‌넓이는

‌‌‌‌(6-p)_{ 1 10 + 4

25 }=(6-p)_13 50 Ü‌‌도형‌R£에서‌새로‌색칠한‌부분의‌넓이는

‌‌‌‌(6-p)_{ 1 10}Û`+(6-p)_ 1 10_4

25+(6-p)_4 25_1

10+(6-p)_{4 25}Û`

‌‌‌‌=(6-p)_{ 1 10 + 4 25 }Û

‌ =(6-p)_{ 13 50 }Û

(6)

24

그림의‌가장‌작은‌정사각형의‌한‌변의‌길이를‌1이라‌하자.

가로의‌길이가‌a이고‌세로의‌길이가‌b인‌직사각형의‌크기를‌a_b로‌나타내면‌

a_b인‌직사각형의‌개수와‌b_a인‌직사각형의‌개수는‌같으므로‌a>b인‌경우 를‌생각하자.

Ú b=1인‌경우

‌‌‌‌2_1인‌직사각형의‌개수는‌1+2+3+4+5=15

‌‌‌‌3_1인‌직사각형의‌개수는‌1+2+3+4=10

‌‌‌‌4_1인‌직사각형의‌개수는‌1+2+3=6

‌‌‌‌5_1인‌직사각형의‌개수는‌1+2=3

‌‌‌‌6_1인‌직사각형의‌개수는‌1 Û b=2인‌경우

‌‌‌‌3_2인‌직사각형의‌개수는‌1+2+3=6

‌‌‌‌4_2인‌직사각형의‌개수는‌1+2=3

‌‌‌‌5_2인‌직사각형의‌개수는‌1 Ü b=3인‌경우

‌‌‌‌4_3인‌직사각형의‌개수는‌1

Ú,‌Û,‌Ü에서‌a_b‌(a>b)인‌직사각형의‌개수는 35+10+1=46

따라서‌구하는‌직사각형의‌개수는 2_46=92

 92

25

g(2)=f(2)- 4_2Û`

2+2 =4-4=0‌

Ú‌-2<x<2일‌때,

‌‌‌‌g(x)=xÛ`- 4xÛ`

x+2 =xÛ`(x-2) x+2 이므로‌

‌‌‌‌ lim

x Ú 2- ` g(x)-g(2) x-2 =lim_x Ú 2-`

xÛ`(x-2) x+2 -0

x-2

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌=lim_x Ú 2-` xÛ`

x+2 =1‌

Û x>2일‌때,

‌‌‌‌g(x)=2x- 4xÛ`

x+2 =2x(2-x) x+2 이므로‌

‌‌‌‌ lim

x Ú 2+ ` g(x)-g(2) x-2 =lim_x Ú 2+`

2x(2-x) x+2 -0

x-2

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌=lim_x Ú 2+` -2x x+2 =-1‌

Ú,‌Û에서 10_lim

x Ú 2- ` g(x)-g(2) x-2 +lim

x Ú 2+ ` g(x)-g(2) x-2 =10_1+(-1)=9

 9

26

O 4

4 -4

-4 y

x 2 2

조건‌p,‌q,‌r의‌진리집합은‌각각‌Bµ,‌BÇ,‌C이다.

Ú‌p‌jK‌~r이므로‌r‌jK‌~p에서‌C,Bµ , 즉‌C;Bµ=∅

‌‌‌‌|x|+|y|=4가‌나타내는‌도형에‌내접하고‌중심이‌원점인‌원의‌방정식은

‌‌‌‌xÛ`+yÛ`=8이므로‌m<8이다.

‌‌‌‌ a+2b 3 -a= 2(b-a) 3 = 2_2 3 =4 3

‌‌‌‌따라서‌방정식 f‌'(x)=0의‌두‌근의‌차는‌ 4 3 이다.‌(참) 이상에서‌옳은‌것은‌ㄱ,‌ㄴ,‌ㄷ이다.

 ⑤

21

0Éx<3일‌때,‌g(x)=-|x-2|+2

3Éx<6일‌때,‌g(x)=f(x-3)+1=-|x-5|+3 6Éx<9일‌때,‌g(x)=f(x-6)+2=-|x-8|+4

‌ ‌y

이므로‌함수‌y=g(x)의‌그래프는‌그림과‌같다.

O

y=g(x)

3 6

2 1 4 3

9

… y

x

함수‌y=-g(x)의‌그래프는‌함수‌y=g(x)의‌그래프를‌x축에‌대하여‌대칭이 동시킨‌것이므로‌함수‌y=g(x)의‌그래프와‌함수‌y=-g(x)의‌그래프‌및‌세‌

직선‌x=3,‌x=6,‌x=9는‌그림과‌같다.

O

y=g(x)

y=-g(x)

x=3 x=6 x=9

3 6

2 1 4 3

-3 -4 -1 -2

9

…

… y

x

그림에서

h(3)=1+(3+5+3)=1+11

h(6)=h(3)+(5+7+5)=1+11+17 h(9)=h(6)+(7+9+7)=1+11+17+23 h(12)=h(9)+(9+11+9)=1+11+17+23+29 h(15)=h(12)+(11+13+11)=1+11+17+23+29+35 따라서

Á5

k=1 h(3k)‌‌=1_5+11_5+17_4+23_3+29_2+35_1‌

=5+55+68+69+58+35‌ ‌

=290

 ①

22

E(X)=100_ 1 5 =20

 20

23

두‌여행지‌A,‌B를‌여행한‌회원의‌집합을‌각각‌A,‌B라‌하면 n(A;B)=8,‌n(A'B)=44

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 n(A)=3_n(B)이므로

44=3_n(B)+n(B)-8 즉,‌n(B)=13,‌n(A)=39

따라서‌|n(A)-n(B)|=39-13=26

 26

(7)

즉,‌P(E;F)= 5

2à`_3+ 5

2ß`_3Û`+ 1

2ß`_3Ü`= 77 2à`_3Ü`` 따라서

P(F|E)=P(E;F) P(E)

‌ ‌ ‌ ‌ ‌= 77 2à`_3Ü`

7 2Þ`

‌ ‌ ‌ ‌ ‌= 112Û`_3Ü`` = 11 108 이므로

p+q=108+11=119

 119

29

f‌'(x)=3xÛ`-3이므로

곡선‌y=f(x)‌위의‌점‌(t, f(t))에서‌그은‌접선의‌방정식은 y-(tÜ`-3t)=(3tÛ`-3)(x-t)

y=(3tÛ`-3)x-2tÜ`

점‌P의‌좌표를‌(p,‌q)로‌놓으면‌접선이‌점‌P를‌지나야‌하므로 q=(3tÛ`-3)p-2tÜ`

조건‌(나)에서‌t에‌대한‌삼차방정식‌q=(3tÛ`-3)p-2tÜ`이‌서로‌다른‌세‌실근을‌

가져야‌한다.

2tÜ`-3ptÛ`+3p+q=0에서 g(t)=2tÜ`-3ptÛ`+3p+q라‌하면

함수‌g(t)의‌극댓값과‌극솟값이‌서로‌다른‌부호를‌가져야‌한다.

g‌'(t)=6tÛ`-6pt=0에서 t=0‌또는‌t=p

즉,‌함수‌g(t)는‌t=0에서‌극대이고,‌t=p에서‌극소이므로 g(0)_g(p)=(3p+q)_(-pÜ`+3p+q)<0

을‌만족시켜야‌한다.

즉,‌-3p<q<pÜ`-3p Ú‌p=1일‌때,

‌ -3<q<-2이므로‌정수‌q는‌존재하지‌않는다.

Û‌p=2일‌때,

‌ ‌-6<q<2이므로‌정수‌q의‌값은‌-5,‌-4,‌-3,‌y,‌1이고,‌그‌개수는‌7 이다.

Ü‌‌p=3일‌때,

‌ ‌-9<q<18이므로‌정수‌q의‌값은‌-8,‌-7,‌-6,‌y,‌17이고,‌그‌개수는‌

26이다.

따라서‌점‌P의‌개수는‌7+26=33

 33

30

조건‌(나)의 f(x+a)-f(x)+5=0에‌x=0을‌대입하면

`f(a)-f(0)+5=0

aÝ`-8aÜ`+16aÛ`+(bÛ`-3b)a+5=0‌ ‌ ……‌㉠

또,‌조건‌(가)에서‌닫힌‌구간‌[0,‌a]에서‌함수 f(x)는‌다항함수이고,‌함수 f(x) 가‌실수‌전체의‌집합에서‌미분가능하므로

`f`'(0)=f`'(a) 가‌성립해야‌한다.

0ÉxÉa에서 f`'(x)=4xÜ`-24xÛ`+32x+bÛ`-3b이므로

`f`'(0)=bÛ`-3b

`f`'(a)=4aÜ`-24aÛ`+32a+bÛ`-3b

`f`'(0)=f`'(a)에서‌4aÜ`-24aÛ`+32a=0 4a(a-2)(a-4)=0

a>0이므로‌a=2‌또는‌a=4

‌‌‌‌즉,‌m의‌값이‌될‌수‌있는‌것은‌1,‌2,‌3,‌4,‌5,‌6,‌7이고,‌그‌개수는‌7이다.

Û r‌jK‌q에서‌C,BÇ

‌‌‌‌|x|+|y|=4가‌나타내는‌도형에‌외접하고‌중심이‌원점인‌원의‌방정식은

‌‌‌‌xÛ`+yÛ`=16이므로‌n¾16이다.

‌‌‌‌즉,‌n의‌값이‌될‌수‌있는‌것은‌16,‌17,‌18,‌19,‌20이고,‌그‌개수는‌5이다.

Ú,‌Û에서‌모든‌순서쌍‌(m,‌n)의‌개수는 7_5=35

 35

27

g(x)=xÛ`+2x- 5 2 -k로‌놓으면

주어진‌부등식을‌만족시키는‌정수‌x의‌최댓값이‌n이어야‌하므로 두‌부등식

g(n)<0,‌g(n+1)¾0 이‌성립해야‌한다.

g(n)=nÛ`+2n- 5 2 -k<0에서 k>nÛ`+2n- 5 2 ‌ ‌ ……‌㉠

g(n+1)=(n+1)Û`+2(n+1)- 5 2 -k¾0에서 kÉnÛ`+4n+ 1 2 ‌‌ ‌‌……‌㉡

㉠,‌㉡을‌동시에‌만족시키는‌자연수‌k의‌값이 nÛ`+2n-2,‌nÛ`+2n-1,‌…,‌nÛ`+4n 이므로

f(n)=(nÛ`+4n)-(nÛ`+2n-2)+1

‌ ‌ ‌=2n+3 따라서 Á10

n=1 `f(n)=_n=1Á¹⁰(2n+3)

‌ ‌ ‌ ‌‌=2_ 10_11 2 +3_10‌

‌ ‌ ‌ ‌‌=110+30=140

 140

28

홀수의‌눈이‌3번‌나오고‌짝수의‌눈이‌5번‌나오는‌사건을‌E,‌3번째‌시행에서‌5 의‌눈이‌처음‌나오는‌사건을‌F라‌하면

구하는‌확률은‌P(F|E)=P(E;F) P(E) 이때‌P(E)=¥C£{ 1 2 }¡`= 7

2Þ`

한편,‌3번째‌시행에서‌5의‌눈이‌처음‌나오는‌경우를‌표로‌나타내면‌다음과‌

같다.

1~2번째‌시행 3번째‌시행 4~8번째‌시행

① 짝수의‌눈‌2번 5의‌눈 홀수의‌눈‌2번,

짝수의‌눈‌3번

② 짝수의‌눈‌1번,

1‌또는‌3의‌눈‌1번‌ 5의‌눈 홀수의‌눈‌1번, 짝수의‌눈‌4번

③ 1‌또는‌3의‌눈‌2번 5의‌눈 짝수의‌눈‌5번

①의‌경우의‌확률은 ªCª{ 1 2 }Û`_ 1 6 _°Cª{1

2 }Þ`= 5 2à`_3`

②의‌경우의‌확률은 {ªCÁ_ 1 2 _1

3 }_1

6 _°CÁ{1

2 }Þ`= 5 2ß`_3Û``

③의‌경우의‌확률은 ªCª{ 1 3 }Û`_ 1 6 _°C¼{1

2 }Þ`= 1 2ß`_3Ü``

(8)

Ú a=2인‌경우

‌‌‌‌㉠에‌a=2를‌대입하면

‌‌‌‌16-64+64+2(bÛ`-3b)+5=0

‌‌‌‌정리하면‌2bÛ`-6b+21=0

‌‌‌‌이차방정식‌2bÛ`-6b+21=0의‌판별식을‌D라‌하면

‌‌‌‌D

4 =3Û`-2_21<0이므로

‌‌‌‌2bÛ`-6b+21=0을‌만족시키는‌실수‌b의‌값이‌존재하지‌않는다.

Û a=4인‌경우

‌‌‌‌㉠에‌a=4를‌대입하면

‌‌‌‌256-512+256+4(bÛ`-3b)+5=0

‌‌‌‌정리하면‌4bÛ`-12b+5=0

‌‌‌‌(2b-1)(2b-5)=0

‌‌‌‌b= 1 2 ‌또는‌b=5 2 ‌

따라서‌a=4이고,‌양수‌b의‌최댓값이‌ 5 2 이므로 a+100M=4+100_ 5 2 =4+250=254

 254

실전모의고사 2

^회

01

^④

02

^⑤

03

^②

04

^④

05

^②

06

^②

07

^⑤

08

^①

09

^③

10

^③

11

^①

12

^②

13

^④

14

^①

15

^④

16

^③

17

^④

18

^⑤

19

^③

20

^②

21

^⑤

22

¹¹

23

³²

24

²⁴

25

²⁹⁵

26

³⁰⁸

27

¹²⁸

28

¹¹⁸

29

⁷⁰

30

⁹¹

| 본문 13~22 쪽 |

01

4H5‌=4+5-1C5‌ ‌

=8C5‌‌ ‌ ‌

=8C3‌

‌‌‌‌= 8_7_63_2_1

‌‌‌‌=56

 ④

02

A;B={3,‌7}이므로 A ;B =B;A ‌‌ ‌

=B-A‌ ‌

=B-(A;B)‌ ‌

={3,‌7,‌11,‌15}-{3,‌7}‌ ‌

={11,‌15}

따라서‌집합‌A ;B의‌모든‌원소의‌합은 11+15=26

 ⑤

03

log£` 54 +log£`36

5 =log£‌{ 54 _36 5 }‌ ‌

=log£`9‌ ‌ ‌

=log£`3Û`‌‌

=2`log£`3‌ ‌

=2_1=2

 ②

04

P(A )= 14 이므로

P(A)‌‌=1-P(A )‌ ‌

=1- 14 =3 4

한편,‌두‌사건‌A와‌B가‌서로‌독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= 12 즉,‌ 34 P(B)=1

2 따라서

P(B)= 12 _4 3 =2

3

 ④

(9)

O

y=f(x)

P

Q 3 2 R y

x

두‌점근선의‌방정식은‌각각‌x=3,‌y=2이고‌유리함수‌y=f(x)의‌그래프는‌두‌

점근선의‌교점‌(3,‌2)에‌대하여‌대칭이다.‌

이때‌원점‌O가‌함수‌y=f(x)의‌그래프‌위의‌점이므로‌점‌(3,‌2)는‌선분‌OP 의‌중점이다.‌

따라서‌점‌P의‌좌표는‌(6,‌4)이므로‌사각형‌OQPR의‌넓이는 6_4=24

 ③

11

자연수‌1,‌2,‌3,‌4,‌5,‌6‌중에서‌소수는‌2,‌3,‌5이므로‌다음과‌같이‌나누어‌생각 할‌수‌있다.‌

Ú 앞면이‌2번‌나올‌확률‌:‌¤Cª‌{ 12 }Û`{ 12 }Ý`= 1564 Û‌앞면이‌3번‌나올‌확률‌:‌¤C£‌{ 12 }Ü`{ 12 }Ü`= 2064 = 5

16 Ü 앞면이‌5번‌나올‌확률‌:‌¤C°‌{ 12 }Þ`{ 12 }Ú`= 664 = 3 32 따라서‌구하는‌확률은‌

1564 + 5 16 + 3

32 =41 64

 ①

12

시각‌t에서의‌두‌점‌P,‌Q의‌위치를‌각각 f(t),‌g(t)라‌하면 t=5일‌때‌두‌점의‌위치는‌각각‌다음과‌같다.

f(5)=:)5`(3tÛ`+t)‌dt

‌‌‌‌‌‌=[tÜ`+ 12 tÛ`]5)

‌‌‌‌‌‌=125+ 252

‌‌‌‌‌‌= 2752

g(5)=:)5`(-t+4)‌dt

‌ ‌ =[- 12 tÛ`+4t]5)

‌ ‌ =- 252 +20

‌ ‌ = 152

따라서‌구하는‌두‌점‌사이의‌거리는

|f(5)-g(5)|=| 2752 -15 2 |=130

 ②

다른 풀이

시각‌t에서의‌두‌점‌P,‌Q의‌위치를‌각각 f(t),‌g(t)라‌하면‌t=5일‌때‌두‌점‌사 이의‌거리는

|f(5)-g(5)|=|:)5`(3tÛ`+t)‌dt-:)5`(-t+4)‌dt|

‌ ‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌‌=|:)5`(3tÛ`+2t-4)dt|

‌ ‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌‌=|[tÜ`+t-4t]5)|

‌ ‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌‌=|125+25-20|

‌ ‌‌‌‌‌ ‌ ‌ ‌‌=130

05

2_3x=(x-1)+(2x+3)에서 6x=3x+2

3x=2 따라서‌x= 23

 ②

06

(‌f½f‌)(1)‌=f(‌f(1))‌ ‌

=f(4)‌‌

=3

`f‌^-1(4)=k라‌하면 f(k)=4이므로‌k=1 따라서

(‌f½f)(1)+`f‌^-1(4)=3+1=4

 ②

07

:)3`x|x-1|‌dx=:)1`x(-x+1)‌dx+:!3`x(x-1)‌dx

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌=:)1`(-xÛ`+x)‌dx+:!3`(xÛ`-x)‌dx

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌=[- 13 xÜ`+1

2 xÛ`]1)+[ 13 xÜ`-1 2 xÛ`]3!

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌={- 13 +1

2 }+{9-9 2 }-{1

3 -1 2 }

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌= 296

 ⑤

08

x Ú-1-lim f(x)=-1,‌lim

x Ú1+ f(x)=-1‌‌‌

따라서‌

x Ú-1-lim f(x)+lim

x Ú1+ f(x)=(-1)+(-1)=-2

 ①

09

점‌(1,‌2)가‌곡선‌y=xÝ`-3xÛ`+a‌위에‌있으므로 2=1Ý`-3_1Û`+a

a=4

한편,‌y=xÝ`-3xÛ`+4에서‌

y'=4xÜ`-6x이므로‌x=1인‌점에서의‌접선의‌기울기는 4_1Ü`-6_1=-2

즉,‌점‌(1,‌2)에서의‌접선의‌방정식은 y-2=-2(x-1)

y=-2x+4

점‌(0,‌b)가‌이‌직선‌위에‌있으므로 b=4

따라서‌a+b=4+4=8

 ③

10

f(x)= 2xx-3 = 6 x-3 +2

이므로‌함수‌y=f(x)의‌그래프는‌그림과‌같다.‌

(10)

이때‌임의로‌뽑은‌1명의‌학생이‌일본어를‌선택한‌학생인‌사건을‌A,‌미술을‌선 택한‌학생인‌사건을‌B라‌하면

P(A)= 9k15k =3

5 ,‌P(A;B)= 4k 15k = 4

15 따라서‌구하는‌확률은

P(B|A)= P(A;B)P(A) = 154

35 = 49

 ④

16

모표준편차가‌10인‌모집단에서‌크기가‌25인‌표본을‌임의추출하여‌구한‌표본평 균을‌x ò라‌하면‌신뢰도‌95‌%로‌추정한‌모평균‌m에‌대한‌신뢰구간은

x ò-1.96_ 10'¶25`ÉmÉx ò+1.96_ 10'¶25`

즉,‌x ò-3.92ÉmÉx ò+3.92 따라서‌

b -a =(xò+3.92)-(xò-3.92)‌ ‌

=2_3.92‌ ‌

=7.84

 ③

17

y=xÛ`에서‌y'=2x이므로‌점‌P(t,‌tÛ`)에서의‌접선의‌기울기는‌2t이다.‌

따라서‌직선‌l의‌방정식은 y-tÛ`=2t(x-t)

이고,‌이‌식에‌y=0을‌대입하면 -tÛ`=2t(x-t)에서‌x= t2 이므로‌

f(t)= t2

또,‌직선‌m의‌방정식은 y-tÛ`=- 12t (x-t)

이고,‌이‌식에‌x=0을‌대입하면 y-tÛ`= 12 에서‌y=tÛ`+1

2 이므로 g(t)=tÛ`+ 12

따라서‌

limt Ú ¦ g(t) t_f(t)=lim

t Ú ¦

tÛ`+ 12 12 tÛ`

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=lim_t Ú ¦ 2tÛ`+1 tÛ`

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌‌=lim_t Ú ¦{2+ 1tÛ` }=2

 ④

18

삼각형‌PÁBÁCÁ은‌세‌변의‌길이가‌각각‌3,‌4,‌5인‌직각삼각형이므로‌내접원의‌

반지름의‌길이를‌rÁ이라‌하면 12 _(3+4+5)_rÁ=1

2 _4_3 에서

rÁ=1

즉,‌SÁ=prÁÛ`=p

13

등차수열‌{aÇ }의‌첫째항을‌a,‌공차를‌d라‌하자.

a¦-a°=2d=6에서‌d=3 S¦-S°‌‌=a¤+a¦‌ ‌

=(a+5d)+(a+6d)‌ ‌

=2a+11d‌ ‌

=2a+33=35 에서‌a=1

따라서‌aÁ¼=a+9d=1+9_3=28

 ④

14

limx Ú 0 '¶4+2x¶+axÛ`-bx-2xÛ`

=limx Ú 0 (4+2x+axÛ`)-(bx+2)Û

xÛ`("4+2x+axÛ`+bx+2)

=limx Ú 0 (a-bÛ`)xÛ`+(2-4b)x

xÛ`("4+2x+axÛ`+bx+2)

=limx Ú 0 (a-bÛ`)x+(2-4b)

x("4+2x+axÛ`+bx+2) yy‌㉠

㉠에서‌x‌‌Ú‌0일‌때,‌극한값이‌존재하고‌(분모)‌‌Ú‌0이므로‌(분자)‌‌Ú‌0이어 야‌한다.‌즉,‌

limx Ú 0{(a-bÛ`)x+(2-4b)}=2-4b=0

이므로‌b= 12

b= 12 을‌㉠에‌대입하면 limx Ú 0

{a- 14 }x x{"4+2x+axÛ`+ 12 x+2}

=limx Ú 0

a- 14

"4+2x+axÛ`+1 2 x+2

=a-1

'44 = 4a-116 이므로‌

4a-116 =3 8 즉,‌a= 74

따라서‌a+b= 74 +1 2 =9

4

 ①

15

음악을‌선택한‌학생‌중에서‌중국어를‌선택한‌학생‌수를‌3k‌(k는‌자연수)라‌하 면‌조건‌(가)에‌의하여‌음악을‌선택한‌학생‌중에서‌일본어를‌선택한‌학생‌수는‌

5k이고,‌조건‌(나)에‌의하여‌중국어를‌선택한‌학생‌중에서‌미술을‌선택한‌학생‌

수는‌3k이다.‌

이때‌일본어를‌선택한‌학생‌중에서‌미술을‌선택한‌학생‌수를‌x라‌하면‌이‌학교 의‌2학년‌학생‌중에서‌중국어를‌선택한‌학생‌수는‌3k+3k=6k이고,‌일본어를‌

선택한‌학생‌수는‌x+5k이므로‌조건‌(다)에‌의하여 6k‌:‌(x+5k)=2‌:‌3

18k=2x+10k 즉,‌x=4k

위의‌결과를‌표로‌나타내면‌다음과‌같다.‌

(단위: 명)

구분 중국어 일본어 합계

미술 3k 4k 7k

음악 3k 5k 8k

합계 6k 9k 15k

(11)

이때‌T=ab라‌하면‌T가‌가질‌수‌있는‌값은‌1,‌2,‌3,‌4,‌6,‌9이고,‌각각의‌값에‌

대한‌확률은‌

P(T=1)= 1 4 _ 1

4 = 1 16 ,‌

P(T=2)= 14 _ 14 + 12_ 14 = 316,‌

P(T=3)= 1 4 _ 1

2+ 1 4 _ 1

4 = 3 16,‌

P(T=4)= 12_ 14 = 18 ,‌

P(T=6)= 1 2_ 1

2+ 1 4 _ 1

4 = 5 16,‌

P(T=9)= 14 _ 12= 18

이므로‌T의‌확률분포를‌표로‌나타내면‌다음과‌같다.‌

T 1 2 3 4 6 9 합계

P(T=t) ;1Á6; ;1£6; ;1£6; ;8!; ;1°6; ;8!; 1

따라서‌

E(T)=1_ 116+2_ 316+3_ 316+4_ ;8!; +6_ ;1°6; +9_ 18 = 92 이므로‌

E(S)=E{ 12 - 12T}=12- 12 E(T)=12-1 2 _9

2 = ;;£4»;;

따라서‌p=12,‌q= 18 ,‌r= 5

16 ,‌s= 394 이므로‌

pr

qs =12_ 516 _8_ 439= 4013

 ②

‌

21

Ú x<-1인‌경우,‌점‌P의‌좌표가‌(-1,‌1)일‌때‌PQÓ‌Û`의‌값이‌최소가‌되므로

‌ ‌f(x)=(x+1)Û`+(1-x)Û`=2xÛ`+2

Û‌‌‌-1Éx<1인‌경우,‌점‌P가‌점‌Q에서‌선분‌AB에‌내린‌수선의‌발일‌때‌

PQÓ‌Û`의‌값이‌최소가‌되므로

‌ ‌f(x)=|(2-x)-1|Û`=(x-1)Û`

Ü‌‌‌1Éx<3인‌경우,‌점‌P가‌점‌Q에서‌선분‌AD에‌내린‌수선의‌발일‌때‌PQÓ‌Û`

의‌값이‌최소가‌되므로

‌ ‌f(x)=|x-1|Û`=(x-1)Û`

Ý‌x¾3인‌경우,‌점‌P의‌좌표가‌(1,‌-1)일‌때‌PQÓ‌Û`의‌값이‌최소가‌되므로

‌ ‌f(x)=(x-1)Û`+(3-x)Û`=2xÛ`-8x+10 Ú~Ý에서‌

‌ ‌ ‌ ‌ 2xÛ`+2‌ ‌ ‌ ‌ (x<-1)

`f(x)=( {»

xÛ`-2x+1‌ ‌ ‌(-1Éx<3)

‌ ‌ ‌ ‌ 2xÛ`-8x+10‌ (x¾3) 이때‌

`fÁ(x)=2xÛ`+2,‌

`fª(x)=xÛ`-2x+1=(x-1)Û`,‌

`f£(x)=2xÛ`-8x+10=2(x-2)Û`+2 라‌하면‌함수‌y=f(x)의‌그래프는‌그림과‌같다.

y=f(x)

O 1

4

2

3 -1

y

x

ㄱ.‌‌‌그림과‌같이‌함수‌y=fª(x)의‌그래프는‌직선‌x=1에‌대하여‌대칭이고,‌두‌

함수‌y=fÁ(x),‌y=f£(x)의‌그래프가‌직선‌x=1에‌대하여‌서로‌대칭이므 로‌함수‌y=f(x)의‌그래프는‌직선‌x=1에‌대하여‌대칭이다.‌(참)

ㄴ.‌‌‌‌세‌함수 fÁ(x), fª(x), f£(x)는‌다항함수이므로‌함수 f(x)가‌x=-1,‌

x=3에서‌미분가능하면‌실수‌전체의‌집합에서‌미분가능하다.‌이때

Bn

an

a_n+1 B_n+1

A Dn

P_n D_n+1

C_n C_n+1

그림과‌같이‌사각형‌ABÇCÇDÇ의‌한‌변의‌길이를‌aÇ이라‌하면‌

ABn+1Ó=Bn+1Cn+1Ó=an+1

이고,

BÇBn+1Ó‌:‌Bn+1Cn+1Ó=3‌:‌4‌

이므로

(aÇ-an+1) : an+1=3 : 4 3an+1=4aÇ-4an+1

an+1= 47 aⁿ

즉,‌두‌삼각형‌PÇBÇCÇ,‌Pn+1Bn+1Cn+1에‌내접하는‌두‌원의‌닮음비가‌1‌:‌ 47 이 므로‌넓이의‌비는‌1‌:‌ 1649 이다.

따라서‌수열‌{SÇ}은‌첫째항이‌p이고‌공비가‌16

49 인‌등비수열이므로 Á¦

n=1 SÇ= p 1- 1649

= 4933 p

 ⑤

19

등차수열‌{aÇ}의‌공차를‌dÁ이라‌하면‌

aª=aÁ+dÁ=4,‌a¢=aÁ+3dÁ=10 에서‌aÁ=1,‌dÁ=3이므로

aÇ=3n-2

등차수열‌{bÇ}의‌공차를‌dª라‌하면 b°=bÁ+4dª=9,‌bÁ¼=bÁ+9dª=19 에서‌bÁ=1,‌dª=2이므로‌

bÇ=2n-1

즉,‌수열‌{aÇ}의‌각‌항은‌3으로‌나누면‌1이‌남는‌수이므로‌6으로‌나누면‌1‌또 는‌4가‌남는다.‌

또,‌수열‌{bÇ}의‌각‌항은‌2로‌나누면‌1이‌남는‌수이므로‌6으로‌나누면‌1‌또는‌3‌

또는‌5가‌남는다.‌

따라서‌두‌수열‌{aÇ},‌{bÇ}에‌공통으로‌나타나는‌항은‌6으로‌나누면‌1이‌남는‌

수이므로‌

S={1,‌7,‌13,‌19,‌25,‌y}

이때‌집합‌S의‌원소를‌작은‌수부터‌크기순으로‌나열하여‌얻은‌수열을‌{cÇ}이 라‌하면

cÇ=6n-5

이고, f(n)=cÇ=6n-5라‌하면‌함수 f는‌주어진‌조건을‌만족시킨다.

따라서

f(100)=6_100-5=595

 ③

20

a,‌b가‌가질‌수‌있는‌값은‌각각‌1,‌2,‌3이므로‌세‌점‌

O

(4,`b) (a,`6) 6

4 y

x

‌‌

(0,‌0),‌(a,‌6),‌(4,‌b)를‌꼭짓점으로‌하는‌삼각형을‌좌 표평면에‌나타내면‌오른쪽‌그림과‌같다.‌

따라서‌세‌점을‌꼭짓점으로‌하는‌삼각형의‌넓이는 S =24-3a-2b- 12 (4-a)(6-b)‌‌‌

= 12‌- 12 ab 이다.

(12)

26

이‌탐구‌발표‌대회에‌참가한‌학생의‌발표‌시간(분)을‌확률변수‌X라‌하면‌X는‌

정규분포‌N(15,‌2Û`)을‌따르므로‌Z= X-15

2 라‌하면‌확률변수‌Z는‌표준정규 분포‌N(0,‌1)을‌따른다.‌이때

P(XÉ14)‌=P{ZÉ 14-15 2 }‌‌ ‌

=P(ZÉ-0.5)‌‌ ‌

=P(Z¾0.5)‌ ‌

=0.5-P(0ÉZÉ0.5)‌ ‌

=0.5-0.192=0.308 따라서‌p=0.308이므로

1000p=1000_0.308=308

 308

27

조건‌(가)에서‌X,A이므로‌X의‌원소는‌5의‌배수이다.‌

조건‌(나)에서‌X;B=/`이므로‌X의‌원소는‌2‌또는‌3을‌소인수로‌갖는다.‌

U의‌원소‌중에서‌5의‌배수이면서‌2‌또는‌3을‌소인수로‌갖는‌원소는 10,‌15,‌20,‌30,‌40,‌45,‌50

이므로‌집합‌X는‌집합‌{10,‌15,‌20,‌30,‌40,‌45,‌50}의‌부분집합이다.‌

따라서‌집합‌X의‌개수는‌

2à`=128

 128

28

수열‌[ (x-8)²ⁿ 2+(x-3)²ⁿ⁺¹]은‌

(x-8)Û`>(x-3)Û`이면‌발산하고,‌(x-8)Û`<(x-3)Û`이면‌0에‌수렴하므로‌

0이‌아닌‌실수에‌수렴하려면‌(x-8)Û`=(x-3)Û`이어야‌한다.‌즉, xÛ`-16x+64=xÛ`-6x+9‌

에서‌x= 112 이므로‌k=11 2 이때‌‌

limn Ú ¦ (x-8)²ⁿ

2+(x-3)²ⁿ⁺¹=lim

n Ú ¦

{- 52 }²ⁿ 2+{ 52 }²ⁿ⁺¹ =lim

n Ú ¦

{ 254 }Ç 2+` 52 _{25

4 }Ç``

=lim

n Ú ¦

1 2_{ 425 }Ç`+ 52 = 1

52

=;5@;

이므로‌a= 25

따라서‌20(k+a)=20{ 112 +2 5 }=118

 118

29

주문하는‌새우튀김,‌고구마튀김,‌오징어튀김,‌김말이튀김의‌개수를‌각각‌a,‌b,‌c,‌

d라‌하면‌조건‌(가)에‌의하여‌새우튀김과‌오징어튀김을‌각각‌적어도‌한‌개씩‌

주문해야‌하므로

a+b+c+d=10‌(a와‌c는‌자연수,‌b와‌d는‌음이‌아닌‌정수)이다.‌

이때‌a=a'+1,‌c=c'+1이라‌하면‌

a'+b+c'+d=8‌(a',‌b,‌c',‌d는‌음이‌아닌‌정수)

‌ ‌‌`‌‌fÁ'(x)=4x, fª'(x)=2x-2, f£'(x)=4x-8에서‌

‌ `fÁ'(-1)=fª'(-1)=-4

‌ 이므로‌함수 f(x)는‌x=-1에서‌미분가능하고,‌

‌ `fª'(3)=f£'(3)=4

`‌ 이므로‌함수 f(x)는‌x=3에서‌미분가능하다.‌

‌ 따라서‌함수 f(x)는‌실수‌전체의‌집합에서‌미분가능하다.‌(참) ㄷ.‌구간‌[-2,‌3]에서‌곡선‌y=f(x)와‌x축‌사이의‌넓이를‌S라‌하면 S=:_3@ f(x)‌dx

‌‌‌ ‌=:_-@1 fÁ(x)‌dx+:_3! fª(x)dx

‌‌‌ ‌=:_-@1 (2xÛ`+2)‌dx+:_3!`(xÛ`-2x+1)‌dx

‌‌‌ ‌=[ 23 xÜ`+2x]-_1@+[1

3 xÜ`-xÛ`+x]3_!

‌‌‌ ‌=[{- 23 -2}-{-16

3 -4}]+[(9-9+3)-{-1

3 -1-1}]

‌‌‌ ‌=12

‌ ‌‌‌따라서‌구간‌[-2,‌3]에서‌곡선‌y=f(x)와‌x축‌사이의‌넓이는‌12이다.‌(참) 이상에서‌옳은‌것은‌ㄱ,‌ㄴ,‌ㄷ이다.

 ⑤

22

Ü'3_Ý'9‌‌‌=3^;3!;_9^;4!;‌‌

=3^;3!;_(3Û`)^;4!;‌ ‌

=3^;3!;_3^;2!;‌‌

=3^;3!;+;2!;‌ ‌

=3^;6%;

따라서‌p=6,‌q=5이므로 p+q=6+5=11

 11

23

f(x)‌‌=xÛ`(x+5)=xÜ`+5xÛ 이므로

f‌'(x)=3xÛ`+10x

따라서 f‌'(2)=3_2Û`+10_2=32

 32

24

주어진‌명제가‌거짓이‌되려면‌

xÛ`-10x+k<0

을‌만족시키는‌실수‌x가‌적어도‌하나‌존재해야‌하므로‌방정식‌xÛ`-10x+k=0 의‌판별식을‌D라‌하면‌D>0이어야‌한다.‌

즉,‌D=(-10)Û`-4k>0에서 k<25

따라서‌조건을‌만족시키는‌정수‌k의‌최댓값은‌24이다.

 24

25

Á20

n=1 aÇ =_n=1Á¹⁰a_2n-1+Á_n=1¹⁰a_2n‌ ‌

=_n=1Á¹⁰(2n+3)+_n=1Á¹⁰(3n-1)‌ ‌

=_n=1Á¹⁰(5n+2)‌ ‌

=5_ 10_11

2 +2_10‌ ‌

=295

 295

(13)

91

실전모의고사 3

^회

01

^④

02

^④

03

^⑤

04

^②

05

^④

06

^①

07

^①

08

^③

09

^④

10

^①

11

^③

12

^④

13

^③

14

^①

15

^②

16

^⑤

17

^③

18

^③

19

^①

20

^④

21

^⑤

22

²³

23

⁵

24

⁴⁶

25

⁴⁹

26

¹²⁰

27

¹⁰⁷

28

⁹

29

²⁴

30

⁹

| 본문 23~32 쪽 |

01

2Û`+logª`8‌‌=4+logª`2Ü`‌ ‌

=4+3`logª`2‌ ‌

=4+3=7

 ④

02

6²A이고‌A'B={3,‌4,‌5,‌6,‌7}이므로 6<B이다.

따라서‌a+2=6이므로‌a=4이다.

 ④

03

limn Ú ¦{ 3nÛ`+nnÛ`+1 -1}=lim_n_Ú ¦ 3nÛ`+nnÛ`+1 -lim

n Ú ¦ 1 =lim

n Ú ¦

3+ 1n 1+ 1nÛ`

-1

=3-1=2

 ⑤

04

(`f½g)(2)‌‌=f(g(2))‌ ‌

=f(2_2Û`+1)‌ ‌

‌=f(9)‌‌

=9-4=5

 ②

05

x Ú -1+lim` f(x)+lim

x Ú 2-`f(x)‌‌=3+7‌ ‌

=10

 ④

06

y‌‌= 2x-1x+a

= 2(x+a)-2a-1x+a = -2a-1x+a +2

이므로‌함수‌y= 2x-1x+a 의‌그래프의‌두‌점근선의‌방정식은‌x=-a,‌y=2이다.‌

이‌그래프의‌점근선이‌x=4,‌y=b이므로‌-a=4,‌b=2이다.

한편,‌조건‌(나)에‌의하여‌b<d이어야‌하므로‌d=d'+b+1이라‌하면 a'+b+c'+(d'+b+1)=8

a'+2b+c'+d'=7‌(a',‌b,‌c',‌d'은‌음이‌아닌‌정수)‌ ‌ yy ㉠

즉,‌구하는‌경우의‌수는‌㉠을‌만족시키는‌모든‌순서쌍‌(a',‌b,‌c',‌d')의‌개수와‌

같다.‌

Ú b=0일‌때,‌a'+c'+d'=7을‌만족시키는‌모든‌순서쌍의‌개수는‌

‌ ₃H₇=3+7-1C₇=9C₇=9C₂=36‌

Û b=1일‌때,‌a'+c'+d'=5를‌만족시키는‌모든‌순서쌍의‌개수는‌

‌ ₃H₅=3+5-1C₅=7C₅=7C₂=21

Ü‌b=2일‌때,‌a'+c'+d'=3을‌만족시키는‌모든‌순서쌍의‌개수는

‌ ₃H₃=3+3-1C₃=5C₃=5C₂=10

Ý‌b=3일‌때,‌a'+c'+d'=1을‌만족시키는‌모든‌순서쌍의‌개수는‌

‌ ₃H₁=3+1-1C₁=3C₁=3 따라서‌구하는‌경우의‌수는‌

36+21+10+3=70

 70

30

:)^x10(x-t)f(t)‌dt=10x:)^x`f(t)‌dt-10:)^x`t‌f(t)dt 이므로‌주어진‌식의‌양변을‌x에‌대하여‌미분하면 10:)^x`f(t)‌dt+10x‌f(x)-10x‌f(x)=5xÝ`-20axÜ`

:)^x`f(t)‌dt= 12 xÝ`-2axÜ`‌ ‌ yy‌㉠

㉠의‌양변을‌x에‌대하여‌미분하면 f(x)=2xÜ`-6axÛ`=2xÛ`(x-3a)

이므로‌a의‌값의‌범위에‌따른‌y=f(x)의‌그래프의‌개형은‌그림과‌같다.

Ú a>0일‌때,

‌

y=f(x)

O 3a

y

x

Û a=0일‌때,‌

‌

y=f(x)

O y

x

Ü‌a<0일‌때,‌

‌

3a O y

x y=f(x)

Ú,‌Û,‌Ü‌중에서‌x¾-2인‌모든‌실수‌x에‌대하여 f(x)¾0을‌만족시킬‌수‌

있는‌것은‌Ü뿐이고,‌이때‌3aÉ-2,‌즉‌aÉ- 23 이어야‌하므로‌M=-2 3 이다.

한편, f(x)=2xÜ`-6axÛ`에서‌

f‌'(x)=6xÛ`-12ax=6x(x-2a)

이므로‌aÉ- 23 인‌실수‌a에‌대하여‌주어진‌조건을‌만족시키는‌함수 f(x)는‌

x=2a에서‌극댓값을‌갖고‌극댓값은 f(2a)=-8aÜ`,‌즉‌g(a)=-8aÜ`‌{aÉ- 23 } 이때‌aÉ- 23 에서‌-8aÜ`¾64

27 이므로‌함수‌g(a)는‌a=-2

3 일‌때‌최소가‌되 고‌최솟값은‌ 6427 이다.‌

따라서‌p=27,‌q=64이므로‌p+q=27+64=91

 91

(14)

10

{3xÛ`+ 12x }ß`의‌전개식에서‌일반항은

¤C¨(3xÛ`)¨`{ 12x }

6-r‌‌

=¤C¨_3¨`_{ 12 }^6-r_xÛ`¨`_x^r-6‌ ^‌

=¤C¨_3¨`_{ 12 }^6-r_x^3r-6‌(단,‌r=0,‌1,‌y,‌6) xÜ`항은‌3r-6=3에서‌r=3일‌때이므로‌xÜ`의‌계수는

¤C£_3Ü`_{ 12 }³= 6_5_43_2_1 _27_1 8 =135

2

 ①

11

이‌회사에서‌생산한‌LED‌전구‌한‌개의‌수명을‌확률변수‌X라‌하면‌X는‌정규 분포‌N(12000,‌600Û`)을‌따르고‌확률변수‌Z= X-12000600 은‌표준정규분포‌

N(0,‌1)을‌따른다.

따라서‌구하는‌확률은 P(11100ÉXÉ13200)

=P{ 11100-12000600 ÉZÉ 13200-12000600 }

=P(-1.5ÉZÉ2)

=P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2)

=P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ2)

=0.4332+0.4772

=0.9104

 ③

12

(x-3)f(x)-x=xÛ`+k에서 (x-3)f(x)=xÛ`+x+k이므로 x+3일‌때

양변을‌x-3으로‌나누면 f(x)= xÛ`+x+kx-3

함수 f(x)가‌실수‌전체의‌집합에서‌연속이므로‌x=3에서도‌연속이다.

즉,‌lim_x Ú 3`‌f(x)=f(3)

limx Ú 3 ‌xÛ`+x+kx-3 =f(3)‌ ‌ yy ㉠

x‌‌Ú‌3일‌때‌(분모)‌‌Ú‌0이고‌극한값이‌존재하므로‌(분자)‌‌Ú‌0이어야‌한다.

즉,‌lim_x

Ú 3 (xÛ`+x+k)=0 12+k=0

k=-12 따라서 f(3)‌‌=lim

x Ú 3 ‌xÛ`+x-12x-3

=limx Ú 3 ‌(x+4)(x-3)x-3 =lim

x Ú 3 (x+4)=7‌

 ④

13

7개의‌수‌중‌3개의‌수를‌택하는‌경우의‌수는‌¦C£=35

7개의‌수‌중‌홀수는‌4개,‌짝수는‌3개이므로‌합이‌홀수인‌경우는 세‌수가‌모두‌홀수인‌경우와‌한‌수가‌홀수이고‌두‌수가‌짝수인‌경우이다.

Ú 세‌수가‌모두‌홀수인‌경우

‌ ‌4개의‌홀수‌중‌3개를‌택하는‌경우의‌수와‌같으므로‌구하는‌경우의‌수는‌

‌ ₄C3=4

Û 한‌수가‌홀수이고‌두‌수가‌짝수인‌경우

‌ ‌4개의‌홀수‌중‌1개를‌택하고‌3개의‌짝수‌중‌2개를‌택하는‌경우의‌수와‌같으 므로‌구하는‌경우의‌수는‌

즉,‌a=-4,‌b=2이므로

y= 2x-1x-4 의‌그래프가‌직선‌x=2와‌만나는‌점의‌y좌표는 y= 2_2-12-4 =-3

2 이다.‌

 ①

07

선택한‌학생이‌수시전형에서‌두‌군데‌이상‌지원한‌학생일‌사건을‌A,‌종합전형 에‌지원한‌학생일‌사건을‌B라‌하면

P(A)= 300400 =3 4

수시전형에서‌두‌군데‌이상‌지원하고‌종합전형에‌지원한‌학생일‌사건이‌A;B 이므로‌그‌확률은‌P(A;B)= 50400 =1

8

이‌고등학교‌학생‌중에서‌임의로‌선택한‌1명이‌수시전형에‌두‌군데‌이상‌지원 한‌학생일‌때,‌이‌학생이‌종합전형에‌지원한‌학생일‌확률은‌P(B|A)이므로‌구 하는‌확률은‌

P(B|A)=P(A;B) P(A) =

18 34

=;6!;

 ①

다른 풀이

P(B|A)= n(A;B)

n(A) = 50300 =1 6

08

f`'(x)의‌한‌부정적분은 f(x)이므로 :)1 f`'(x)‌dx=[f(x)]1)

=[4xÜ`+ax]1)=4+a=6 즉,‌a=2이므로 f(x)=4xÜ`+2x 따라서‌

:)2 f(x)dx=:)2`(4xÜ`+2x)dx

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ =[xÝ`+xÛ`]2)=20

 ③

09

P(A`;B )=P((A'B) )=1-P(A'B)= 14 에서 P(A'B)= 34

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이고 조건에서‌P(A`;B)=P(B)-P(A;B)= 12 이므로

34 =P(A)+1 2 P(A)= 14

두‌사건‌A와‌B가‌서로‌독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= 14 P(B) 따라서‌P(A'B)= 14 +P(B)-1

4 P(B)=3 4 이므로 P(B)= 23

 ④