범위 부등식 직선의 방정식 : -
1.
1) 가 실수이고 일 때 두 이차부등식 가, ( ), 나 에 대하여 보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은( ) [ ] ?
가
( ) 나
( )
가 의 해가 존재하면 나 의 해도 존재한다
. ( ) ( ) .
ㄱ
가 의 해가 존재하면 가 와 나 를 모두 만족시키는
. ( ) ( ) ( )
ㄴ
해가 존재한다.
가 와 나 를 모두 만족시키는 해가 존재하면 . ( ) ( )
ㄷ
이 성립한다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ \
④ㄱ ㄴ, ⑤ㄱ ㄷ,
2.
2)
인 상수 에 대하여 연립부등식
≥ 을 만족시키는 정수 의 개수가 개일 때 모든 실수, 값의 합은?
①
② ③
④ ⑤
3.
3)두 실수 , 에 대하여4.
4)연립부등식
≤ 의 해가 또는 ≥ 일 때, [보기 의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은] ? (단,, , , , , , , 는 상수이고, ≠, ≠, 이다.)
.
ㄱ 이다.
ㄴ 이면 .
이다.
.
ㄷ 또는 ≥ 인 에 대하여
이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ㄱ ㄷ,
④ㄴ ㄷ, ⑤ㄱ ㄴ ㄷ, ,
5.
5 )두 이차함수 와 를 다음과 같이 정의하자.
모든 실수 , 에 대하여 부등식 ≥ 가 항상
성립하도록 하는 실수 의 최댓값을 부등식, ≥ 가 성립하도록 하는 실수 의 최솟값을 이라 하자. 의 값은?
①
② ③
④
⑤
6.
6)세 꼭짓점의 좌표가 A , B , P 인 삼각형 ABP 가 있다 그림과 같이 선분. PB사이에 점 C 를 지나고 직선 AP에 평행인 직선이 선분 AB와 만나는 점을 D라 하자. CD 일 때, 의 값은?① ② ③
④
⑤
7.
7)두 점 A , B 에 대하여 선분 AB와 만나는 기울기가 양수인 직선 이 있다 점. A와 직선 사이의 거리와 점 B와 직선 사이의 거리의 합이
일 때 직선,과 기울기가 같고
를 지나는 직선의 절편은?① ② ③
④ ⑤
8.
8)이차함수 의 그래프 위의 서로 다른 두 점이 직선 에 대하여 대칭일 때 두 점 사이의 거리는, ?① ②
③④
⑤9.
9 )세 점 A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다 선분. AB를 로 내분하는 점을 D, 선분 AC를 으로 내분하는 점을 E라 하자 선분. BE와 선분 CD의 교점을 F라 할 때 선분, AF의 연장선이 선분 BC와 만나는 점을 G라 하자 점. G가 선분 BC를 으로 내분할 때, 의 값은? (단, 과 은 서로소인자연수이다.)
① ② ③
④ ⑤
10.
10)좌표평면 위의 세 직선 , , (, , , 는 정수 이) 있다. A는 , 의 교점, 는 , 의 교점, C는 , 의 교점이라 할 때 아래의 조건을 만족한다, . 의 값은?
가 삼각형
( ) ABC의 외심은 선분 BC 위에 있다.
나 점
( ) P 에서 직선까지 이르는 거리가 이다.
다
( ) 가 점 을 지난다.
라 점
( ) B는 선분 QA를 로 외분하는 점이다.
조 건
[ ]
① ② ③
④ ⑤
11.
1 1)좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB를 ( 으로 외분하는 점을) Q라 하자 점. P 에 대하여 삼각형 PAQ의 넓이가 일 때 점, Q의 좌표를 라 하자. 의 값은?① ② ③
④ ⑤
12.
1 2)다음은 나폴레옹 삼각형에 대한 설명이다 임의의 삼각형. ABC에 대하여 변 AB BC CA를 한 변으로 하는 세 개의 삼각형 ADB BEC CFA를 삼각형 ABC의 외부에 그리고 세 정삼각형 ADB, BEC, CFA의 무게중심을 각각 X Y Z라 하자.이때 삼각형, 는 정삼각형이 되고 이 삼각형을 나폴레옹‘ 삼각형 이라 한다’ . ( ,단 모든 점은 같은 평면 위에 있다.) 좌표평면 위의 점 A
, B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC에서 얻어지는 나폴레옹 삼각형 XYZ의 한 변의 길이를 라 할 때 의 값은?① ②
③
④
⑤
13.
13)점 를 지나는 직선 과 이차함수 이 두 점 A, B에서 만나고 이차함수의 꼭짓점을 C라 하자.∆ABC의 무게중심 에 대하여 가 되도록 하는 직선 의 기울기는?
① ② ③
④ ⑤
14.
14)다음 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 A , B , C , D 을 꼭짓점으로 하는 직사각형 ABCD와 세 점 E , F , G 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 EFG가 있다 직사각형. ABCD와 삼각형 EFG의 넓이를 동시에 이등분하는 직선 의 기울기는?① ②
③
④
⑤
15.
15)세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다 이 삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 내린. 세 수선의 교점을 H라 하고, ∠A, ∠B, ∠C의 이등분선의 교점을 I 라 할 때 선분, HI 의 길이는?주관식
16.
1 6)에 대한 부등식 ≤ 의 해가 존재하지 않도록 하는 정수 의 최댓값을 구하시오.17.
1 7) 에서 이차부등식 이 항상 성립하도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.18.
18)
이 최대일 때 실수, 의 값을라 하고,
이 최소일 때 실수, 의 값을라 하자 세 점. A , B , C 와 직선 AC 위의 점 D 에 대하여 선분 BC 의 길이가 선분 BD 의 길이의
배일
때, 의 값을 구하시오. ( , 는 실수이고, 이다.)단
19.
19)직사각형 ABCD와 점 P 가 같은 평면 위에 있고PA , PB , PC 일 때, PD의 값을 구하시오.
빠른정답
1) ⑤ 2) ③ 3) ⑤ 4) ③ 5) ⑤ 6) ⑤ 7) ④ 8) ① 9) ③ 10) ② 11) ② 12) ④ 13) ② 14) ③ 15) ③ 16) 17) 18) 19)
정답 및 풀이
1) ⑤가 의 해가 존재하면 나 는 가 를
. ( ) ( ) ( )
ㄱ 축의
방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 나 의 해도( ) 존재한다.
가 의 그래프의 폭에 따라 가 와 나 를 모두
. ( ) ( ) ( )
ㄴ
만족시키는 해가 존재하지 않을 수도 있다.
공통된 해를 .
ㄷ 라고 하면
이고
이다.
두 부등식을 더하여 정리하면
이다.
이 부등식의 해가 존재하므로
방정식 에 대한 판별식을 라 하면
이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다.
2) ③
연립부등식을 풀면
≥ 이다.i
일 때
이므로 부등식의 해는
≤ 또는 ≤ 이고 이를 만족시키는 정수는 로
개 존재한다.
ii
일 때
,
, 이므로
부등식의 해는
≤ 고
만족하는 정수 는 로 개 존재한다.
iii
일 때
이므로 부등식의 해는 ≤ 이고 만족하는 정수 는 으로 개다.
iv 일 때
, , 이므로
이를 만족하는 정수 는 로 개다.
따라서 정수 의 개수가 개가 되도록 하는 실수 는
또는 이고 그 합은
이다.
3) ⑤
점 , , 라고 하자.
≥
이므로 최솟값은
×
이므로 이다.4) ③
연립부등식의 해가 , ≥ 이므로
방정식 의 다른 한 근을 라고 할 때 부등식 의 해는 또는 따라서 이다.
방정식 의 다른 한 근을 라고 하면 부등식 ≤ 의 해는 ≤ 또는 ≥ 따라서 이다.
, 라고 하면 두 함수의 그래프는 다음과 같다.
.
ㄱ , 이므로 이다.
.
ㄴ 이면 , 는 모두 양수 또는 모두 음수이므로
, 이다.
,
, 이므로
이다.
.
ㄷ , ≥ 인 에 대하여 이므로
이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ ㄷ, 이다.
의 최솟값 ≥ 의 최댓값이어야 한다.
≥
≤
≤
≤ ≤ ∴
≥
≥
≥ 이
모든 실수 에 대하여 성립하려면
의 판별식 ≤ 이어야 한다.
≤
≤
≤ ≤
∴
6) ⑤
AP
이고CD PA 이므로
삼각형 DBC와 삼각형 ABP는 닮음이다.
BC BP 이고 BC CP 이므로 점 C는 선분 BP를 로 내분하는 점이다.
∴ C
a
b
C 따라서 ,
이므로 이다.
7) ④
직선 의 기울기를 ( 라고 하자) .
기울기가 이고 선분 AB와 만나는 직선은 절편과 관계없이 두 점 A B에서 이 직선까지의 거리의 합이 항상 일정하다.
따라서 직선 을 라고 하자.
이므로
,
이므로
이다.기울기가
이고 점
를 지나는 직선의 방정식은
이다.따라서 이 직선의 절편은 이다.
8) ①
대칭인 두 점을 A , B 라 하자 두 점. A, B는 직선 에 대칭이므로 직선 는 선분 AB의 수직이등분선이다.
선분 AB의 기울기가
이므로 이다.
또한 선분 AB의 중점
가직선 위의 점이므로
이때 이므로
이다.
∴
AB
이때 , 이므로 이다.
따라서 AB
이다.9) ③
선분 AB를 로 내분하는 점은 D
D
이고선분 AC를 으로 내분하는 점은 E
E
이다.
직선 AF의 방정식은
이고
점 G는 직선 AF의 절편이므로 G
이다.선분 BC를 으로 내분하는 점은
이므로
즉, , 이므로 이다.
10) ②
가 에 의하여 삼각형
( ) ABC는 빗변이 BC인
직각삼각형이다.
즉 직선 두 직선, 과 는 수직이다.
따라서 과 이 수직이므로 이다.
나 에 의하여
( )
이므로 ∴ 따라서 가 의 식( ) 은 이다.
다 에서 직선
( ) 가 점 을 지나므로
이때 이므로 이다.
따라서 이므로 이고
이므로 이다.
점 A는 두 직선 과 의 교점이므로
과 을 연립하면
, 이다. ∴ A
라 에서 점
( ) 는 선분 QA를 로 외분하므로 B
B 이고직선 은 점 B를 지나므로 ∴
즉, , , , 이므로
이다.
11) ②
이므로 점 Q는 직선 AB 위에서
직선 AB의 방정식은
, 이고,
점 까지의 거리는
따라서 ∆PAQ의 넓이는
×
× AQ 이고 AQ 이다.
점 Q는 AB의 외분점이므로 Q
AQ
이므로
∴
따라서 Q Q 이고 이다.
12) ④
OB OC이므로 점 Y 의 좌표는 이다.
BC 이므로 OE
∴OY OE
, Y
AC
이므로 정삼각형 ACF의 높이는
×
이다.Z
YZ
13) ②
점 C 이다.
직선 의 기울기를 라고 하면
직선 의 방정식은 이다.
두 점 A , B 라고 하면
∴
,
이다. ,
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이므로
,
이다.
이므로 이다.
또는
,
이므로 이다.14) ③
직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하려면 점 를 지나야 한다.
직선 의 방정식의 기울기를 라 하면 직선 의 방정식은 이다.
∆EFG
× ×
직선 과 EG 가 만나는 점을 M이라 하고, 직선 과 FG 와 만나는 점을 N이라 하자.
점 M은 와 의 교점이므로 M
점 N은 와 의 교점이므로
,
N
∆MNG의 밑변의 길이는 MG
,
∆MNG의 높이는
15) ③
점 B에서 AC에 내린 수선은 이다.
직선 AB의 기울기는
이므로
점 C에서 AB에 내린 수선의 기울기는
이다.
즉,
따라서 점 H의 좌표는
이다.∠B의 이등분선은 이므로
점 I의 좌표를 라 하자.
직선 AC의 방정식은 이고 직선 BC의 방정식은 이다.
점 I에서 직선 AC와 직선 BC에 이르는 거리가 같으므로
±
, I
∴HI
16)
이라 하자.
i 일 때
ii ≤ 일 때
iii ≥ 일 때
이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다.
따라서 임의의 실수 에 대해
i
인 경우
에서 ≤ 이다.
≤ 이므로
≤ ≤ 이다.
≤ 이므로
≥ 이다.
즉, ≥ 또는 ≤ 이다.
따라서 또는 ≤
이다.ii
≥ 인 경우 ( ≥
또는 ≤
) 이 최댓값이므로 ≤ 이어야 한다.
≤ 이므로
≤ ≤ 이다.
따라서
≤ ≤ 이다.즉, 또는 ≤
또는
≤ ≤ 이므로 또는 ≤ ≤ 이다.그러므로 이를 만족하는 정수 는 의
개다.
18)
두 점 사이의 거리가
이고 두 점 사이의 거리가
가 최대가 되는 경우는 세 점 가 일직선인 경우이다.즉 두 점 을 지나는 직선 위에
가 있으므로 , ∴
의 최솟값은 를 직선 에 대하여 대칭 이동시킨 점 과 점 사이의 거리이다 두 점. 을 지나는 직선 위에 가 있으므로
A B
C 에서직선 AC의 식 위에 점 D 가 있으므로
선분 BC
이므로 BD
19)
점 B를 원점으로 하고 선분 BC가 축, 선분 AC가 축에 놓이도록 좌표평면에 사각형 ABCD를 나타내면 다음과 같다.
A , C , D 라 하고 P 라 하자.
PB ,
PA ,
PC 이고
PD 이므로
PD ∴ PD
