수학

2 　1 정답 및 해설

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1. 일차함수 y = ax- 2의 그래프가 두 직선 y =- x+ 1과 y = 3x - 7의 교점을 지날 때, 상수 a 의 값을 구하시오.

답 : a =

(답) 1 2

{

㉠ -㉡하면

0 =- 4x+ 8 ∴ x = 2 x = 2를 ㉠에 대입하면 y =- 1

따라서 두 직선의 교점의 좌표 ( 2, - 1)을 y = ax- 2에 대입하면

-1= 2a -2 ∴ a = 1 2

2. 일차함수 y = - x + 3, y = 2x - 3의 그래프와 y 축으 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

(답) 6

y = -x+ 3 과 y = 2x - 3 의 교점은 - x+ 3 = 2x -3 에서 x = 2

y = -x + 3 에서 y = 1

따라서, 구하는 넓이는 1

2 ×6×2 = 6

3. 두 직선 2x - 3y = 1, 4x + y = 9의 교점 P를 지나고, 기울기가 2인 직선의 방정식은?

① y = 2x - 1 ② y = 2x - 3

③ y = 2x + 1 ④ y = 2x + 4

⑤ y = 2x + 6

(답) ②

(풀이)

{

4x + y = 9 ⋯②의 교점은

② ×3 : 12x + 3y = 27

① +② ×3 : 14x = 28 ∴ x = 2 ∴ y = 1

( 2, 1)를 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식은 y -1 = 2( x - 2), y = 2x - 4 + 1

∴ y = 2x - 3

4. x , y 가 수 전체의 집합의 원소일 때, 일차방정식 x + y - 3 = 0 과 a x + b y +c = 0 의 그래프는 그림과 같이 y 축 위에서 만난다. 이때, 연립방정식

{

a x+ b y + c = 0의 해는?

① ( 0, 3) ② ( 3, 0) ③ ( 3, 3)

④ ( - 1, 0 ) ⑤ ( - 1, 3 )

(답) ①

(풀이) 두 그래프의 교점이 연립방정식의 해이므로 ( 0, 3) 이다.

5. 두 일차방정식 x- 4 y + 4 = 0 , 7 x + 4 y = 0 의

그래프와 좌표축에 평행한 두 직선 l , m 이 다음 그림과 같을 때, p q 의 값을 구하여라.

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(답) 21

(풀이)

{

7 x+ 4 y = 0 ……㉡

㉠+㉡ 을 하면 8 x+ 4 = 0 ∴ x =- 1 2 x =- 1

2 을 ㉡ 에 대입하면 - 7

2+ 4 y = 0 ∴ y = 7 8

∴ p = 7 8

x - 4 y + 4 = 0 의 그래프의 x 절편이 - 4 이므로 직선 l 의 방정식은 x =- 4

한편 직선 x =- 4 와 7 x + 4 y = 0 의 그래프의 교점의 좌표는 ( - 4, 7) 이므로 직선 m 의 방정식은

y = 7

직선 y = 7 과 x - 4 y+ 4 = 0 의 그래프의 교점의 좌표 는 ( 24, 7) 이므로 q = 24

∴ p q = 21

6. 다음 그림의 세 직선 중에서 두 개의 직선은 일차방정식 2 x - 5 y + 20 = 0 , 3 x + 2 y - 12 = 0 의 그래프이다.

연립방정식

{

3 x + 2 y - 12 = 0의 해를 나타내는 점을 A , B , C 중 고르고, 그 점의 좌표를 바르게 나타낸 것은?

① A

(

)

(

)

③ B

(

)

(

)

⑤ C

(

)

(답) ⑤

(풀이) 일차방정식 2 x - 5 y + 20 = 0 , 즉 y = 2

5 x + 4 의 그래프의 기울기가 2

5 로 양수이므로 오른쪽 위로 향하는 직선이다.

일차방정식 3 x + 2 y - 12 = 0 , 즉 y =- 3

2 x + 6 의 그래프의 기울기가 -3

2 으로 음수이므로 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. 즉, 일차방정식 3 x + 2 y - 12 = 0 의 그래프는 직선 AC 이다.

한편 일차방정식 3 x + 2 y - 12 = 0 의 y 절편은 6 이고, 일차방정식 2 x - 5 y + 20 = 0 의 y 절편은 4 이므로 일 차방정식 2 x - 5 y + 20 = 0 의 그래프가 일차방정식 3 x + 2 y - 12 = 0 의 그래프보다 아래쪽에서 y 축과 만 난다. 즉, 일차방정식 2 x - 5 y + 20 = 0 의 그래프는 직 선 BC 이다.

따라서 주어진 연립방정식의 해는 직선 BC 와 직선 AC 의 교점의 좌표와 같으므로 구하는 점은 점 C 이다.

점 C 의 좌표는 연립방정식

{

3 x + 2 y -12 = 0 ……㉡의 해와 같다.

㉠ , ㉡ 을 연립하여 풀면

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x = 20

19 , y = 84

19 ∴ C

(

)

7. 두 직선 y = ax+ 4 , y =-2x + b 가 한 점 ( 2, 6) 에 서 만날 때, 상수 a, b 의 값을 각각 구하여라.

(답) a = 1 , b = 10

(풀이) 연립방정식의 해가 ( 2, 6) 이므로 x = 2 , y = 6 을 각각의 방정식에 대입하면

6 = 2a + 4 에서 a = 1 , 6 =- 2×2+ b 에서 b = 10

8. 세 직선 x- y = 2 , 3 x + 2 y = 6 , 3 x- y = a 에 의해 삼각형이 만들어지지 않을 때, 상수 a 의 값은?

① 2 ② 3 ③ 5

④ 6 ⑤ 8

(답) ④

(풀이) x - y = 2 에서 y = x - 2 3x + 2y = 6 에서 y =- 3

2 x + 3 3x -y = a 에서 y = 3x- a

어느 두 직선도 평행하지 않으므로 세 직선에 의해 삼각 형이 만들어지지 않는 경우는 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.

{

㉠×2+㉡ 을 하면 5x = 10 ∴ x = 2

㉠ 에 x = 2 를 대입하면 2 - y = 2 ∴ y = 0

즉, 두 직선 ㉠ , ㉡ 의 교점의 좌표는 ( 2, 0) 따라서 직선 3x -y = a 가 점 ( 2, 0) 을 지나므로

3×2- 0 = a ∴ a = 6

9. 다음 그림은 두 일차방정식 x - y = 4 , 2x + 3y = 3 의 그래프이다. 두 직선의 교점의 좌표 ( a, b ) 에 대하여

a +b 의 값을 구하여라.

(답) 2

(풀이) 연립방정식

{

따라서 a = 3 , b =- 1 이므로 a +b = 2

10. 세 직선 x - 3y - 22 = 0 , 2x + y - 2 = 0 ,

ax -y + 6 = 0 이 삼각형을 만들지 않도록 하는 모든 a 의 값의 곱을 구하여라. (단, a 는 상수)

(답) 2

(풀이) 세 직선을 각각 y 에 관하여 풀면

{

(ⅰ) ㉠, ㉢이 평행할 때 : a =1 3 (ⅱ) ㉡, ㉢이 평행할 때 : a =-2

(ⅲ) ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때 : ㉠, ㉡의 교점의 좌 표는 ( 4, - 6) 이므로 ㉢에 대입하면

- 6 = 4a + 6 ∴ a =-3

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 a 의 값의 곱은 1

3 ×( - 2) +( -3) = 2

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